第4章 热传导问题的数值解法
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对于第一类边界条件的热传导问题，处理比较简单，因
为已知边界的温度，可将其以数值的形式加入到内节点 的离散方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解。
对于第二类边界条件或第三类边界条件的热传导问题，
就必须用热平衡的方法，建立边界节点的离散方程，边 界节点与内节点的离散方程一起组成封闭的代数方程组， 才能求解。
直接解法、迭代解法。
采用迭代解法时，需要对被求的物理场预先假定一 个解，称为初场，并在求解的过程中不断改进
（5）求解代数方程组
求解时遇到的问题： ① 线性； ② 非线性； ③ 收敛性等。 ①线性方程组：代数方程中各项系数在整个求解过程中不再 变化； ②非线性方程组：代数方程中各项系数在整个求解过程中不 断更新。 ③是否收敛判断：是指用迭代法求解代数方程是否收敛，即 本次迭代计算所得之解与上一次迭代计算所得之解的偏差是 否小于允许值。
（6）解的分析
热流量 热应力 热变形
建立控制方程及定解条件 确定节点（区域离散化）
框 图
建立节点物理量的代数方程
设立温度场的迭代初值
若： f t 、Q f t ，则求 , Q
求解代数方程 解的分析
是 收敛否
否
改进初场
4.2 内节点离散方程的建立方法
1. 区域离散化 区域的划分取决于几何上的方便、所 要求的计算精度
求量的方法。
3.三种方法的特点
(1) 分析法
a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和 数值计算提供比较依据；
b 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可 见； c 局限性很大，对复杂的问题无法求解。
(2) 数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点， 适应性强，特别对于复杂问题更显其优越性；与 实验法相比成本低。 数值解法：有限差分法（finite-difference） 有限元法（finite-element） 边界元法（boundary- element） (3) 实验法: 是传热学的基本研究方法 a 适应性不好；b 费用昂贵
这样获得的解称之为分析解，或叫理论解；
(2) 数值计算法，把原来在时间和空间连续的物 理量的场，用有限个离散点上的值的集合来代替， 通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数 方程，从而获得离散点上被求物理量的值，并称之
为数值解；
(3) 实验法：就是在传热学基本理论的指导下，
采用对所研究对象的传热过程进行实验而求得所
tm1,n t 2t t m ,n x 2 x m,n x x 2 3t x 3 3 2! x m,n 3! m ,n
用节点(m,n)的温度tm,n来表示节点(m-1,n) 的温度tm-1,n
tm1,n t 2t t m ,n x 2 x m,n x x 2 3t x 3 3 2! x m,n 3! m ,n
x
tm,n 1 tm,n y
Φxy 0
x y 时：
tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1 4tm,n
x 2
0 Φ
4tm,n tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1
x 2
Φ
无内热源时变为：
4 4 q ( T T (3) 辐射边界条件： w f m ,n ) 或其他
2. 节点方程组的求解
写出所有内节点和边界节点的温度差分方程 ,n个未知 节点温度，n个代数方程式：
a11t1 a12t2 ...... a1ntn b1 a21t1 a22t2 ...... a2 ntn b2 ............................................ an1t1 an 2t2 ...... anntn bn
将上两式相加
t m 1,n＋t m1,n 2t m,n 2t x x 2
2
m,n
x 4 4 t 12 x 4
m,n
移项整理即得二阶导数的中心差分：
2t x 2 tm1,n 2tm,n tm1,n 2 o ( x ) 2 x
m ,n
截断误差
对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热 微分方程为： 2 2
t t 2 0 2 x y
其节点方程为：
t m1,n＋t m1,n－2t m,n x
2
＋
t m,n1＋t m,n1－2t m,n y
2
＝0
若 x = y ，则
t m,n
1 t m1,n t m1,n t m,n1 t m,n1 4
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迭代解法求解步骤
（1）构建迭代方程
1 t1 b1 a12t2 ...... a1ntn a11 1 t2 b2 a21t1 ...... a2 ntn a22 ............................................ 1 tn bn an1t1 an 2t2 ...... ann
qw
qw
y x
若x y
t m,n
2 1 2x x 2tm1,n qw tm,n1 tm,n1 Φm,n 4
qw
(2) 外部角点
y tm 1,n tm,n y x qw qw 2 x 2 2 x tm,n 1 tm,n x y Φm,n 0 2 y 2 2
tm-1,n
tm,n
tm+1,n
t m ,n1 tm ,n 下 x y
(m-1,n)
(m,n) (m+1,n)
V Φ xy 内热源： Φv Φ
则有： y
tm1,n tm,n x
y x
tm1,n tm,n x tm,n 1 tm,n y
y W
二维矩形域内稳态无内热 源，常物性的导热问题
（2）区域离散化
如图 步长 x , y 网格线的交点为 节（结）点
元体：把节点代 表的小区域称为 元体，又叫控制 容积。
（3）建立节点物理量的代数方程（离散方程） 对节点（m, n）的代数方程，当 x y 时，有： 1 t m ,n t m 1,n t m 1,n t m ,n 1 t m,n 1 4 （4）设立迭代初场 代数方程的求解方法有两大类：
节点↑，网格密，计算精度↑，但计算 时间长
m , n 称为节点，代表了V xy 1
这一单元（温度、物性）。
2. 建立离散方程常用的方法
（1）Taylor（泰勒）级数展开法 （2）控制容积平衡法（也称为热平衡法）
(1) 泰勒级数展开法
根据泰勒级数展开式，用节点(m,n)的温度tm,n 来表示节点(m+1,n)的温度tm+1,n
第4章 热传导问题的数值解法
导热问题数值求解的基本原理 内节点离散方程的建立方法 边界节点离散方程的建立及代数方程的 求解 非稳态导热问题的数值解法
导热问题的求解
1.求解导热问题的三种基本方法：
(1) 理论分析法；(2) 数值计算法；(3) 实验法
2.三种方法的基本求解过程
(1) 所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础 上，直接对微分方程在给定的定解条件下进行积分，
2t 2t 控制方程： 2 0 2 x y
定解条件： t t0 x0
t λ y
t λ y
xH
t λ h2 t H, y t f x x H
y 0
y0
y W
h1 t x,0 t f
h3 t x,W t f
qw
y
若x y
t m,n
2 1 2x x tm1,n tm,n 1 qw Φm,n 2 2
x
(3) 内部角点
tm1,n tm ,n y tm1,n tm ,n y y qw x x 2 2 tm ,n1 tm ,n x tm ,n1 tm ,n x x qw y y 2 2 3xy Φm ,n 0 4
代数方程组的求解方法：直接解法、迭代解法
直接解法：通过有限次运算获得代数方程精确解; 矩阵求逆、高斯消元法
缺点：所需内存较大、方程数目多时不便、不适
用于非线性问题。 迭代解法：先对要计算的场作出假设,在迭代计算 过程中不断予以改进,直到计算结果与假定值的结 果相差小于允许值。称迭代计算已经收敛。
迭代解法有多种：简单迭代（Jacobi迭代）、高斯 -赛德尔迭代等
qw
qw
y x
若x y
tm , n
1 (2tm 1,n 2tm ,n 1 tm ,n 1 6 3x 2 2x tm 1,n m,n qw ) 2
q w 的情况：
(1) 第二类边界条件：将 qw const ，代入上面各 式即可 (2) 第三类边界条件：将 qw h(t f tm,n ) ，代入上 面各式即可
为了求解方便，这里将第二类边界条件及第三类边界条
件合并起来考虑，用 qw表示边界上的热流密度或热流密 表示内热源强度。 度表达式。用
1. 边界节点离散方程的建立
(1) 平直边界上的节点
tm1,n tm ,n y yqw x x tm ,n1 tm ,n x tm ,n1 tm ,n 2 y 2 y x Φm ,n y 0 2
i v o
i v o i ( o ) v
即：从所有方向流入控制体的总热流量
＋ 控制体内热源生成热
＝ 控制体内能的增量
注意：上面的公式对内部节点和边界节点均适用
稳态、无内热源时： 从所有方向流入控制体的总热流量＝0
tm,n
1 t m 1,n t m 1,n t m ,n 1 t m ,n 1 4
重要说明：所求节点的温度前的系数一定等于其他所有
相邻节点温度前的系数之和。这一结论也适用于边界节 点。但这里不包括热流(或热流密度)前的系数。
4.3 边界节点离散方程的建立 及代数方程的求解
t t 左 A y x x
可见：当温度场还没有求出来之前，并不知道
t x所以，必须假设相邻节点间的温度分布形式， 这里假定温度呈分段线性分布。
dt tm1,n tm,n 左 y y dx x
tm1,n tm,n 右 y x t m ,n1 t m ,n 上 x y
(2) 热平衡法
基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从 而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和基本定 律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守恒和Fourier 导热定律即可。 能量守恒： 流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热 ＝ 流出控制体的总热流量＋控制体内能的增量 即：
4.1 导热问题数值求解基本思想
1. 基本思想
对物理问题进行数值求解的基本思想可以概括为： 把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场 （如导热物体的温度场）用有限个离散点上的值的 集合来代替 通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代 数方程，来获得离散点上被求物理量的值
2. 数值求解的步骤
（1）建立控制方程及定解条件
( m,n+1)
内部节点：
Φm1,n Φm1,n Φm,n1 Φm,n1 0
y y
(m-1,n)
(m, n)
(m,n-1)
(m+1,n)
Φ上 Φ下 Φ左＋Φ右 0
y o
x
x
x
以二维、稳态、有内热源的导热问题为例，此时：
Φ上 Φ下 Φ左＋Φ右 Φv 0
为已知边界的温度，可将其以数值的形式加入到内节点 的离散方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解。
对于第二类边界条件或第三类边界条件的热传导问题，
就必须用热平衡的方法，建立边界节点的离散方程，边 界节点与内节点的离散方程一起组成封闭的代数方程组， 才能求解。
直接解法、迭代解法。
采用迭代解法时，需要对被求的物理场预先假定一 个解，称为初场，并在求解的过程中不断改进
（5）求解代数方程组
求解时遇到的问题： ① 线性； ② 非线性； ③ 收敛性等。 ①线性方程组：代数方程中各项系数在整个求解过程中不再 变化； ②非线性方程组：代数方程中各项系数在整个求解过程中不 断更新。 ③是否收敛判断：是指用迭代法求解代数方程是否收敛，即 本次迭代计算所得之解与上一次迭代计算所得之解的偏差是 否小于允许值。
（6）解的分析
热流量 热应力 热变形
建立控制方程及定解条件 确定节点（区域离散化）
框 图
建立节点物理量的代数方程
设立温度场的迭代初值
若： f t 、Q f t ，则求 , Q
求解代数方程 解的分析
是 收敛否
否
改进初场
4.2 内节点离散方程的建立方法
1. 区域离散化 区域的划分取决于几何上的方便、所 要求的计算精度
求量的方法。
3.三种方法的特点
(1) 分析法
a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和 数值计算提供比较依据；
b 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可 见； c 局限性很大，对复杂的问题无法求解。
(2) 数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点， 适应性强，特别对于复杂问题更显其优越性；与 实验法相比成本低。 数值解法：有限差分法（finite-difference） 有限元法（finite-element） 边界元法（boundary- element） (3) 实验法: 是传热学的基本研究方法 a 适应性不好；b 费用昂贵
这样获得的解称之为分析解，或叫理论解；
(2) 数值计算法，把原来在时间和空间连续的物 理量的场，用有限个离散点上的值的集合来代替， 通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数 方程，从而获得离散点上被求物理量的值，并称之
为数值解；
(3) 实验法：就是在传热学基本理论的指导下，
采用对所研究对象的传热过程进行实验而求得所
tm1,n t 2t t m ,n x 2 x m,n x x 2 3t x 3 3 2! x m,n 3! m ,n
用节点(m,n)的温度tm,n来表示节点(m-1,n) 的温度tm-1,n
tm1,n t 2t t m ,n x 2 x m,n x x 2 3t x 3 3 2! x m,n 3! m ,n
x
tm,n 1 tm,n y
Φxy 0
x y 时：
tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1 4tm,n
x 2
0 Φ
4tm,n tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1
x 2
Φ
无内热源时变为：
4 4 q ( T T (3) 辐射边界条件： w f m ,n ) 或其他
2. 节点方程组的求解
写出所有内节点和边界节点的温度差分方程 ,n个未知 节点温度，n个代数方程式：
a11t1 a12t2 ...... a1ntn b1 a21t1 a22t2 ...... a2 ntn b2 ............................................ an1t1 an 2t2 ...... anntn bn
将上两式相加
t m 1,n＋t m1,n 2t m,n 2t x x 2
2
m,n
x 4 4 t 12 x 4
m,n
移项整理即得二阶导数的中心差分：
2t x 2 tm1,n 2tm,n tm1,n 2 o ( x ) 2 x
m ,n
截断误差
对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热 微分方程为： 2 2
t t 2 0 2 x y
其节点方程为：
t m1,n＋t m1,n－2t m,n x
2
＋
t m,n1＋t m,n1－2t m,n y
2
＝0
若 x = y ，则
t m,n
1 t m1,n t m1,n t m,n1 t m,n1 4
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迭代解法求解步骤
（1）构建迭代方程
1 t1 b1 a12t2 ...... a1ntn a11 1 t2 b2 a21t1 ...... a2 ntn a22 ............................................ 1 tn bn an1t1 an 2t2 ...... ann
qw
qw
y x
若x y
t m,n
2 1 2x x 2tm1,n qw tm,n1 tm,n1 Φm,n 4
qw
(2) 外部角点
y tm 1,n tm,n y x qw qw 2 x 2 2 x tm,n 1 tm,n x y Φm,n 0 2 y 2 2
tm-1,n
tm,n
tm+1,n
t m ,n1 tm ,n 下 x y
(m-1,n)
(m,n) (m+1,n)
V Φ xy 内热源： Φv Φ
则有： y
tm1,n tm,n x
y x
tm1,n tm,n x tm,n 1 tm,n y
y W
二维矩形域内稳态无内热 源，常物性的导热问题
（2）区域离散化
如图 步长 x , y 网格线的交点为 节（结）点
元体：把节点代 表的小区域称为 元体，又叫控制 容积。
（3）建立节点物理量的代数方程（离散方程） 对节点（m, n）的代数方程，当 x y 时，有： 1 t m ,n t m 1,n t m 1,n t m ,n 1 t m,n 1 4 （4）设立迭代初场 代数方程的求解方法有两大类：
节点↑，网格密，计算精度↑，但计算 时间长
m , n 称为节点，代表了V xy 1
这一单元（温度、物性）。
2. 建立离散方程常用的方法
（1）Taylor（泰勒）级数展开法 （2）控制容积平衡法（也称为热平衡法）
(1) 泰勒级数展开法
根据泰勒级数展开式，用节点(m,n)的温度tm,n 来表示节点(m+1,n)的温度tm+1,n
第4章 热传导问题的数值解法
导热问题数值求解的基本原理 内节点离散方程的建立方法 边界节点离散方程的建立及代数方程的 求解 非稳态导热问题的数值解法
导热问题的求解
1.求解导热问题的三种基本方法：
(1) 理论分析法；(2) 数值计算法；(3) 实验法
2.三种方法的基本求解过程
(1) 所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础 上，直接对微分方程在给定的定解条件下进行积分，
2t 2t 控制方程： 2 0 2 x y
定解条件： t t0 x0
t λ y
t λ y
xH
t λ h2 t H, y t f x x H
y 0
y0
y W
h1 t x,0 t f
h3 t x,W t f
qw
y
若x y
t m,n
2 1 2x x tm1,n tm,n 1 qw Φm,n 2 2
x
(3) 内部角点
tm1,n tm ,n y tm1,n tm ,n y y qw x x 2 2 tm ,n1 tm ,n x tm ,n1 tm ,n x x qw y y 2 2 3xy Φm ,n 0 4
代数方程组的求解方法：直接解法、迭代解法
直接解法：通过有限次运算获得代数方程精确解; 矩阵求逆、高斯消元法
缺点：所需内存较大、方程数目多时不便、不适
用于非线性问题。 迭代解法：先对要计算的场作出假设,在迭代计算 过程中不断予以改进,直到计算结果与假定值的结 果相差小于允许值。称迭代计算已经收敛。
迭代解法有多种：简单迭代（Jacobi迭代）、高斯 -赛德尔迭代等
qw
qw
y x
若x y
tm , n
1 (2tm 1,n 2tm ,n 1 tm ,n 1 6 3x 2 2x tm 1,n m,n qw ) 2
q w 的情况：
(1) 第二类边界条件：将 qw const ，代入上面各 式即可 (2) 第三类边界条件：将 qw h(t f tm,n ) ，代入上 面各式即可
为了求解方便，这里将第二类边界条件及第三类边界条
件合并起来考虑，用 qw表示边界上的热流密度或热流密 表示内热源强度。 度表达式。用
1. 边界节点离散方程的建立
(1) 平直边界上的节点
tm1,n tm ,n y yqw x x tm ,n1 tm ,n x tm ,n1 tm ,n 2 y 2 y x Φm ,n y 0 2
i v o
i v o i ( o ) v
即：从所有方向流入控制体的总热流量
＋ 控制体内热源生成热
＝ 控制体内能的增量
注意：上面的公式对内部节点和边界节点均适用
稳态、无内热源时： 从所有方向流入控制体的总热流量＝0
tm,n
1 t m 1,n t m 1,n t m ,n 1 t m ,n 1 4
重要说明：所求节点的温度前的系数一定等于其他所有
相邻节点温度前的系数之和。这一结论也适用于边界节 点。但这里不包括热流(或热流密度)前的系数。
4.3 边界节点离散方程的建立 及代数方程的求解
t t 左 A y x x
可见：当温度场还没有求出来之前，并不知道
t x所以，必须假设相邻节点间的温度分布形式， 这里假定温度呈分段线性分布。
dt tm1,n tm,n 左 y y dx x
tm1,n tm,n 右 y x t m ,n1 t m ,n 上 x y
(2) 热平衡法
基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从 而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和基本定 律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守恒和Fourier 导热定律即可。 能量守恒： 流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热 ＝ 流出控制体的总热流量＋控制体内能的增量 即：
4.1 导热问题数值求解基本思想
1. 基本思想
对物理问题进行数值求解的基本思想可以概括为： 把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场 （如导热物体的温度场）用有限个离散点上的值的 集合来代替 通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代 数方程，来获得离散点上被求物理量的值
2. 数值求解的步骤
（1）建立控制方程及定解条件
( m,n+1)
内部节点：
Φm1,n Φm1,n Φm,n1 Φm,n1 0
y y
(m-1,n)
(m, n)
(m,n-1)
(m+1,n)
Φ上 Φ下 Φ左＋Φ右 0
y o
x
x
x
以二维、稳态、有内热源的导热问题为例，此时：
Φ上 Φ下 Φ左＋Φ右 Φv 0