第4章 热传导问题的数值解法
合集下载
第4章 热传导热问题的数值解法
△y
△x
m,n+1 Φ2 m-1,n Φ1
△x
Φ3 m+1,n m,n Φ4 qw m,n-1
边界热流密度q 边界热流密度 w的几种情况：
(1) 绝热边界： qw=0 绝热边界： (2) qw为有限值（热流传入计算区域时为正） 为有限值（热流传入计算区域时为正） (3) 对流边界：qw= h（tf - tm,n） 对流边界： （
△x
1 Φ1 (m-1,n)
2 (m,n+1) Φ2 0(m,n) qw Φ3 3(m,n-1)
m
将各量代入能量守恒方程，并经化简，即可得 将各量代入能量守恒方程，并经化简， 节点 “0”的离散方程 . 的离散方程 △x=△y时，有： △ 时
•
1 ∆x Φm,n 2∆xqw t m,n = (2t m−1,n + tm,n+1 + t m,n−1 + + )⋯(4 − 4b) 4 λ λ • 1 ∆x 2 Φ m,n 2∆xqw = (2t1 − 4b*) 4 λ λ
4-1 导热问题数值求解的基本思想
4.1.1 数值求解的基本思想 见P162)： 数值求解的基本思想(见 ： 把原来在时间、空间坐标系中连续的 把原来在时间、空间坐标系中连续的 连续 物理量的场，用有限个离散点上的值的集 物理量的场，用有限个离散点上的值的集 离散点 合来代替， 合来代替，通过求解按一定方法建立起来 的关于这些值的代数方程（ ），来获得 的关于这些值的代数方程（组），来获得 离散点上被求物理量的值（ 离散点上被求物理量的值（其集合称为该 物理量的数值解） 物理量的数值解）
第四章
主要内容
▲数值求解的基本思想及常用的数值求解方法 数值求解的基本思想及 基本思想 ▲有限差分法 节点离散方程的建立 ▲节点离散方程的建立 ——泰勒级数展开法与热平衡法。 泰勒级数展开法与热平衡法。 泰勒级数展开法与热平衡法 节点离散方程 方程(组 的求解 ▲节点离散方程 组)的求解 1、直接求解 、直接求解; 2、简接求解 高斯-赛德尔 迭代法* 、简接求解——高斯 赛德尔 高斯 赛德尔(Gauss- Seidel)迭代法 迭代法 ▲非稳态导热问题数值求解的有关概念 重点：用热平衡法建立稳态导热问题的离散方程， 重点：用热平衡法建立稳态导热问题的离散方程， 数值求解的高斯-赛德尔 数值求解的高斯 赛德尔(Gauss- Seidel)迭代法 赛德尔 迭代法
△x
m,n+1 Φ2 m-1,n Φ1
△x
Φ3 m+1,n m,n Φ4 qw m,n-1
边界热流密度q 边界热流密度 w的几种情况：
(1) 绝热边界： qw=0 绝热边界： (2) qw为有限值（热流传入计算区域时为正） 为有限值（热流传入计算区域时为正） (3) 对流边界：qw= h（tf - tm,n） 对流边界： （
△x
1 Φ1 (m-1,n)
2 (m,n+1) Φ2 0(m,n) qw Φ3 3(m,n-1)
m
将各量代入能量守恒方程，并经化简，即可得 将各量代入能量守恒方程，并经化简， 节点 “0”的离散方程 . 的离散方程 △x=△y时，有： △ 时
•
1 ∆x Φm,n 2∆xqw t m,n = (2t m−1,n + tm,n+1 + t m,n−1 + + )⋯(4 − 4b) 4 λ λ • 1 ∆x 2 Φ m,n 2∆xqw = (2t1 − 4b*) 4 λ λ
4-1 导热问题数值求解的基本思想
4.1.1 数值求解的基本思想 见P162)： 数值求解的基本思想(见 ： 把原来在时间、空间坐标系中连续的 把原来在时间、空间坐标系中连续的 连续 物理量的场，用有限个离散点上的值的集 物理量的场，用有限个离散点上的值的集 离散点 合来代替， 合来代替，通过求解按一定方法建立起来 的关于这些值的代数方程（ ），来获得 的关于这些值的代数方程（组），来获得 离散点上被求物理量的值（ 离散点上被求物理量的值（其集合称为该 物理量的数值解） 物理量的数值解）
第四章
主要内容
▲数值求解的基本思想及常用的数值求解方法 数值求解的基本思想及 基本思想 ▲有限差分法 节点离散方程的建立 ▲节点离散方程的建立 ——泰勒级数展开法与热平衡法。 泰勒级数展开法与热平衡法。 泰勒级数展开法与热平衡法 节点离散方程 方程(组 的求解 ▲节点离散方程 组)的求解 1、直接求解 、直接求解; 2、简接求解 高斯-赛德尔 迭代法* 、简接求解——高斯 赛德尔 高斯 赛德尔(Gauss- Seidel)迭代法 迭代法 ▲非稳态导热问题数值求解的有关概念 重点：用热平衡法建立稳态导热问题的离散方程， 重点：用热平衡法建立稳态导热问题的离散方程， 数值求解的高斯-赛德尔 数值求解的高斯 赛德尔(Gauss- Seidel)迭代法 赛德尔 迭代法
第四章 热传导问题的数值解法
上的标号m、n来表示。
14
导热问题数值求解的基本思想
（2）区域离散化
N n △y
步长
m,n
△x
m
2、步长（step length）： 相邻两节点之间的距离称
为步长。记为△x、 △y。
M
15
导热问题数值求解的基本思想
（2）区域离散化
N n
△y
m,n
△x
m
3、均分网格
x方向和y方向是各自均分的， 称为均分网格。根据实际问 题的需要，网格的划分常常
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
20
导热问题数值求解的基本思想
设立迭代初场
代数方程组 的解法
直接解法 迭代解法
有限差分法
预设初场 （initial field）
21
导热问题数值求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
导热问题数值求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
18
导热问题数值求解的基本思想
设立节点物理量的代数方程
节点上物理量的代数方程成为离散方程（discretization equation）。当△x=△y时，有
上节回顾
能量守恒方程
傅里叶导热定律
稳态导热 非稳态导热
导热微分方程 边界条件 初始条件
数值解法
典型一维稳态 肋片导热 有内热源的导热
14
导热问题数值求解的基本思想
（2）区域离散化
N n △y
步长
m,n
△x
m
2、步长（step length）： 相邻两节点之间的距离称
为步长。记为△x、 △y。
M
15
导热问题数值求解的基本思想
（2）区域离散化
N n
△y
m,n
△x
m
3、均分网格
x方向和y方向是各自均分的， 称为均分网格。根据实际问 题的需要，网格的划分常常
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
20
导热问题数值求解的基本思想
设立迭代初场
代数方程组 的解法
直接解法 迭代解法
有限差分法
预设初场 （initial field）
21
导热问题数值求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
导热问题数值求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
18
导热问题数值求解的基本思想
设立节点物理量的代数方程
节点上物理量的代数方程成为离散方程（discretization equation）。当△x=△y时，有
上节回顾
能量守恒方程
傅里叶导热定律
稳态导热 非稳态导热
导热微分方程 边界条件 初始条件
数值解法
典型一维稳态 肋片导热 有内热源的导热
4第四章导热问题的数值解法
每一个节点可以看作是以它为中心的一个小区域 的代表。它由相邻两节点连线的中垂线构成，这 个小区域称作元体或控制体。
基本概念：网格线、节点、步长、控制容 积
(m,n) N
n
y
y
x x
M m
（b）
（3）建立节点物理量的代数方程（离散方程） 节点上物理量的代数方程称离散方程。其过程 如下： • 首先划分各节点的类型；
2. 数值解(numerical method): 用某种方式把微分方程化为关 于各个离散点(节点)的代数方程,通过解代数方程获得问题近 似解的方法。
连续——离散(任意情况)
一、 数值解法的实质
对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为：把 原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热 物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来代替， 通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程， 来获得离散点上被求物理量的值。该方法称为数值解法。
（5） 求解代数方程组
如前图所示，除 m=1 的左边界上各节点的温度已知外， 其余(M-1)N个节点均需建立离散方程，共有(M-1)N个方 程，则构成一个封闭的代数方程组。实际工程问题代数方 程的个数在103-106数量级，只有利用现代计算机才能迅 速获得所需要的解。 1）常物性、无内热源（或具有均匀的内热源）的导热 代数方程一经建立，其中各项系数在整个求解过程中不再 变化——线性代数方程组；
这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的 数值解。
二、 物理问题的数值求解过程
建立控制方程及定解条件 确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程
改进初场
是否收敛 否
是 解的分析
基本概念：网格线、节点、步长、控制容 积
(m,n) N
n
y
y
x x
M m
（b）
（3）建立节点物理量的代数方程（离散方程） 节点上物理量的代数方程称离散方程。其过程 如下： • 首先划分各节点的类型；
2. 数值解(numerical method): 用某种方式把微分方程化为关 于各个离散点(节点)的代数方程,通过解代数方程获得问题近 似解的方法。
连续——离散(任意情况)
一、 数值解法的实质
对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为：把 原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热 物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来代替， 通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程， 来获得离散点上被求物理量的值。该方法称为数值解法。
（5） 求解代数方程组
如前图所示，除 m=1 的左边界上各节点的温度已知外， 其余(M-1)N个节点均需建立离散方程，共有(M-1)N个方 程，则构成一个封闭的代数方程组。实际工程问题代数方 程的个数在103-106数量级，只有利用现代计算机才能迅 速获得所需要的解。 1）常物性、无内热源（或具有均匀的内热源）的导热 代数方程一经建立，其中各项系数在整个求解过程中不再 变化——线性代数方程组；
这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的 数值解。
二、 物理问题的数值求解过程
建立控制方程及定解条件 确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程
改进初场
是否收敛 否
是 解的分析
四章节导热问题数值解法
O(h2)
(h)
由式(b)和式(d)消去f (x) 得：
f (x)
f (x)
f
(
x
2h) h2
2
f
(x
h)
O(h2
)
(i)
由式(a)和式(b)消去f (x) 得： f (x) f (x h) f (x h) 2 f (x) O(h3) (j) h2
由(e)式～(j)式分别略去 h 、h2 及 h3 以上各项得一阶、二阶
导数向前、向后及中心差分公式为：
、
一阶导数向前差分：
f (x) f (x h) f (x)
h
一阶导数向后差分： f (x) f (x) f (x h) h
一阶导数中心差分：
f (x) f (x h) f (x h) 2h
3 三种方法的特点 (1) 分析法
a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供 比较依据；
b 局限性很大，对复杂的问题无法求解； c 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见。
(2) 数值法
在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性 强，特别对于 复杂问题更显其优越性；与实验法相比成本低。
(3) 实验法
f (x)
fi ,
f (x h)
f i 1 ,
f (x h)
fi
……
1
x
函数 f（x）在点 x 的一、二阶导数的有限差分表达式分别为：
一阶导数向前差分：fi '
fi1 h
fi
一阶导数向后差分：fi '
fi fi1 h
一阶导数中心差分：fi '
第4章 热传导问题的数值解法
相邻节点向中心节点导入的热量：
w
A t
x
Δy 1 tm1,n
Δx
tm,n
e
A
t x
Δy 1 tm1,n
Δx
tm,n
s
A
t y
Δx 1 tm,n1
Δy
tm,n
n
A
t y
Δx
1
tm,n1 Δy
tm,n
热平衡时：
w e s n 0
如果 Δx Δy ：
1 tm,n 4 (tm1,n tm1,n
Δx 1!
t
x m,n
Δx 2 2t 2! x2
m,n
tm1,n
tm,n
Δx 1!
t x
m,n
Δx 2 2!
2t x 2
m,n
tm1,n tm,n
Δx 1!
t
x m,n
Δx 2 2t 2! x2
m,n
两式相加：
tm1,n tm1,n 2tm,n
Δx
2 2t x 2
③ 内部角点
2
hx
3t
m,n
2
tm1,n
tm,n1
tm1,n
tm,n1
3x 2 m ,n 2
2hx
tf
hΔx Δx
1 h BiΔ ——网格 Bi 数
4.3.2 处理不规则区域的阶梯型逼近法
如果边界为曲线，或倾斜边界， 用阶梯形折线模拟真实边界。
4.3.3 求解代数方程的迭代法
求解代数方程组： 直接解法——高斯消元法，矩阵求逆； 迭代法——逐次逼近法。
) 1
2FoΔBiΔt
f
式中，网格毕渥数 BiΔ hΔx ，网格傅里叶数 FoΔ aΔ Δx2
w
A t
x
Δy 1 tm1,n
Δx
tm,n
e
A
t x
Δy 1 tm1,n
Δx
tm,n
s
A
t y
Δx 1 tm,n1
Δy
tm,n
n
A
t y
Δx
1
tm,n1 Δy
tm,n
热平衡时：
w e s n 0
如果 Δx Δy ：
1 tm,n 4 (tm1,n tm1,n
Δx 1!
t
x m,n
Δx 2 2t 2! x2
m,n
tm1,n
tm,n
Δx 1!
t x
m,n
Δx 2 2!
2t x 2
m,n
tm1,n tm,n
Δx 1!
t
x m,n
Δx 2 2t 2! x2
m,n
两式相加：
tm1,n tm1,n 2tm,n
Δx
2 2t x 2
③ 内部角点
2
hx
3t
m,n
2
tm1,n
tm,n1
tm1,n
tm,n1
3x 2 m ,n 2
2hx
tf
hΔx Δx
1 h BiΔ ——网格 Bi 数
4.3.2 处理不规则区域的阶梯型逼近法
如果边界为曲线，或倾斜边界， 用阶梯形折线模拟真实边界。
4.3.3 求解代数方程的迭代法
求解代数方程组： 直接解法——高斯消元法，矩阵求逆； 迭代法——逐次逼近法。
) 1
2FoΔBiΔt
f
式中，网格毕渥数 BiΔ hΔx ，网格傅里叶数 FoΔ aΔ Δx2
No.08 1013 4 导热问题的数值解法
Φ +Φ +Φ +Φ = 0 下 左 右 上
(m,n+1)
∆y
(m-1,n) (m, n) (m+1,n)
(m-1,n)
(m+1,n)
∆y
(m,n-1)
(m,n-1)
y o
∆x
∆x
15
x
以二维、稳态、有内热源的导热问题为例，此时： 以二维、稳态、有内热源的导热问题为例，此时：
Φi = Φ +Φ +Φ ＋ 右 +Φg = 0 下 左 Φ 上
其节点方程为：
ti +1, j − 2ti , j + ti −1, j
∆x 2
& ti , j +1 − 2ti , j + ti , j −1 Φv ,i , j + + =0 2 ∆y λ
13
(2)热平衡法 (控制容积平衡法)
基本思想： 基本思想 对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从而获得
温度场的代数方程组。它从基本物理现象和基本定律出发，不必事 先建立控制方程，依据能量守恒和Fourier导热定律即可。 能量守恒： 流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热= 控制体内能的增量 流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热
即：
Φ i + Φ g = Φ st
单位： 单位 [ W ]
注意：
横坐 标节 点编 号 N
(m,n)
n
（m，n）
∆y
y x
纵坐 标节 点编 号
∆x
m
M
8
N
(m,n)
网格( 网格 grid )划分 划分
网格划分方法: 网格划分方法 方法1： 方法 ： 先确定节点， 先确定节点，后定界面 方法2： 方法 ： 先确定界面，后定节点 先确定界面， 均分网格: 均分网格
第4章 热传导问题的数值解法
界面:控制容积的边界
均分网格:
x const
y const
3. 建立节点物理量的代数方程
关于节点物理量的代数方程也称离散方程，建立 离散方程是数值求解过程中的重要环节，包括计 算区域内部和外部节点的离散方程，是本章的重 点内容。
4. 设立温度场的迭代初值
节点代数方程组的求解一般采用迭代法，这时需要对被求解的温度 场预先假定一个初始温度分布，称为初场
.
x m,n 2hxt f hx 2 2 t m,n 2tm1,n tm,n1 tm,n 1
2
x m,n 2hxt f h x 外部角点： 2 1t m,n t m1,n tm,n 1 2
2
x 4 ...
m,n
t m1,n t m 1,n 2t m,n
0(x 2 )
略去截断误差，得到温度在x方向二阶导数的中心差分表达式:
2t x 2
m,n
t m 1,n t m 1,n 2t m ,n x 2
2t 2t 0 2 2 x y
2 3 4 t 1 t 1 t 1 t 2 3 4 tm1,n tm,n x x x x ... 2 3 4 2! x m,n 3! x m,n 4! x m,n x m,n
6. 解的分析
1. 数学描述 二维矩形区域内的稳态、无内热源、常物性导热问题
2t 2t 0 2 2 x y
x0 xH y0 y W t t0 t h(t t f ) x t h(t f t ) y t h(t t f ) y
均分网格:
x const
y const
3. 建立节点物理量的代数方程
关于节点物理量的代数方程也称离散方程，建立 离散方程是数值求解过程中的重要环节，包括计 算区域内部和外部节点的离散方程，是本章的重 点内容。
4. 设立温度场的迭代初值
节点代数方程组的求解一般采用迭代法，这时需要对被求解的温度 场预先假定一个初始温度分布，称为初场
.
x m,n 2hxt f hx 2 2 t m,n 2tm1,n tm,n1 tm,n 1
2
x m,n 2hxt f h x 外部角点： 2 1t m,n t m1,n tm,n 1 2
2
x 4 ...
m,n
t m1,n t m 1,n 2t m,n
0(x 2 )
略去截断误差，得到温度在x方向二阶导数的中心差分表达式:
2t x 2
m,n
t m 1,n t m 1,n 2t m ,n x 2
2t 2t 0 2 2 x y
2 3 4 t 1 t 1 t 1 t 2 3 4 tm1,n tm,n x x x x ... 2 3 4 2! x m,n 3! x m,n 4! x m,n x m,n
6. 解的分析
1. 数学描述 二维矩形区域内的稳态、无内热源、常物性导热问题
2t 2t 0 2 2 x y
x0 xH y0 y W t t0 t h(t t f ) x t h(t f t ) y t h(t t f ) y
《传热学》第4章-导热问题的数值解法
3
4-2. 节点温度差分方程组的求解方法
导热物体所有内部节点和边界节点温度的差分方程都是线性代 数方程。 n个未知节点温度，n个代数方程式：
a11t1 + a12t2 + L + a1 jt j + L + a1ntn = b1
a21t1 + a22t2 + L + a2 jt j + L + t2ntn = b2
空间步长
4
2) 节点温度差分方程的建立
控制 容积
（1）内部节点温度差分方程
对于常物性、无内热源的无限大平壁 的一维非稳态导热问题
热平衡：在k时刻，单位时间内从相邻控制
容积i-1与i+1分别导入的热流量与之和等于该 控制容积热力学能的增加
Φλ′ + Φλ′′ = dU
节点i 的温度对时间的变化率采用向前差分
≤ε
k及k+1表示迭代次数；
t
(k) max
—第k次迭代得到的最大值
当有接近于零的t时，第三个较好
有时还要同时考虑热流密度收敛
4-3. 非稳态导热问题的数值解法
非稳态导热与稳态导热的主要区别：控制方程中多一个非稳 态项；温度随空间和时间变化
∂t ∂τ
=
a(
∂2t ∂x 2
+
∂2t ∂y 2
)
能量平衡关系：网格单元不仅与相邻的网格单元之间有热量的 导入或导出，网格单元本身的热力学能也随时间发生变化
t t 在用第二个方程计算节M点温度
1 2 时，直接将
依a此n1类t1 推+ an2t2 + L + anjt j + L + anntn = bn
传热学—第4章 热传导问题的数值解法
(k ) t max
⎧a11t1 + a12 t2 + a13t3 = b1 ⎪ ⎨a21t1 + a22 t2 + a23t3 = b2 ⎪a t + a t + a t = b 33 3 3 ⎩ 31 1 32 2
假定初场
⎧ (1) ⎪t1 = ⎪ ⎪ Jacobi ⎨t(1) = 2 ⎪ ⎪ (1) ⎪t3 = ⎩
4.1.1 4 1 1 基本思想 把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场， 用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按 定方 建 起来 关 值 代数方程 来获 一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获 得离散点上被求物理量的值。 这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量 的数值解。
4.1.1 基本思想
λ Δy
Δx = Δy 时： tm −1,n
+ tm+1,n + tm,n+1 + tm,n−1 − 4tm,n = 0
tm ,n
1 = ( tm−1,n + tm+1,n + tm,n+1 + tm ,n−1 ) 4
与Taylor级数法相比，热平衡法物理意义明显。
4.3.1 边界节点离散方程的建立
4-2 内部节点离散方程的建立
4.2.1 4 2 1 Taylor级数展开法
4-2 内部节点离散方程的建立 内部节点离散方程的建
∂ 2t ∂x 2
=
m ,n
tm+1 n − 2tm ,n + tm −1 n 1, 1, Δx 2
控制方程
∂ 2t ∂ 2t + =0 ∂x 2 ∂y 2
∂ 2t ∂y 2
⎧a11t1 + a12 t2 + a13t3 = b1 ⎪ ⎨a21t1 + a22 t2 + a23t3 = b2 ⎪a t + a t + a t = b 33 3 3 ⎩ 31 1 32 2
假定初场
⎧ (1) ⎪t1 = ⎪ ⎪ Jacobi ⎨t(1) = 2 ⎪ ⎪ (1) ⎪t3 = ⎩
4.1.1 4 1 1 基本思想 把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场， 用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按 定方 建 起来 关 值 代数方程 来获 一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获 得离散点上被求物理量的值。 这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量 的数值解。
4.1.1 基本思想
λ Δy
Δx = Δy 时： tm −1,n
+ tm+1,n + tm,n+1 + tm,n−1 − 4tm,n = 0
tm ,n
1 = ( tm−1,n + tm+1,n + tm,n+1 + tm ,n−1 ) 4
与Taylor级数法相比，热平衡法物理意义明显。
4.3.1 边界节点离散方程的建立
4-2 内部节点离散方程的建立
4.2.1 4 2 1 Taylor级数展开法
4-2 内部节点离散方程的建立 内部节点离散方程的建
∂ 2t ∂x 2
=
m ,n
tm+1 n − 2tm ,n + tm −1 n 1, 1, Δx 2
控制方程
∂ 2t ∂ 2t + =0 ∂x 2 ∂y 2
∂ 2t ∂y 2
传热学课件第四章 导热问题数值解法基础
i , j
t x
t i 1 , j t i , j x
0 x
2.一阶导级的向后差分表达式：舍去<2>式△x2后各项，则有：
i , j
t x
t i , j t i 1 , j x
0 x
第一节 建立离散方程的方法
二、泰勒级数展开法（有限差分法）
k 2 k 1
对 流 h t f t1 A
k k
显式
△x
C.内能增量△u：
u c
x 2
A t1
k
k 1
t1 /
k
△x/2
k hx
据热平衡A+B=C并整理得：
k f
t 2 t1
k
t
t1
k
1 2
c
x
2
t1
k 1
LP
△y
t i 1 , j t i , j x
t i , j 1 t i , j y
y 2
x 2
1
BP
1
x 2
y 2
EP h t f t i , j
△x
1
FP h t f t i , j
t x
t
2
2
x i , j 2!
2
t x
3
x i , j 3!
3
3.一阶导级的中心差分表达式：<1>-<2>式且忽略后项，则有：
i , j
t x
第4章_热传导问题的数值解法
式中，Fo＝
a h x 网格傅里叶数， Bi 网格毕渥数 x 2
14
4.4.5 一维平板非稳态导热显式格式离散方程及稳定性分析 以第三类边界条件下厚度为2的大平板的数值计算问题作一归纳。如图4-10.
i＋1 i i i tn ＝Fo (t n 1 t n 1 ) (1 2 Fo t n ) 0 tn t0
i＋1 i i i i tn tn tn 1 t n 1 2t n a x 2 上式可改写为 i＋1 tn ＝
a i a i i ( t t ) ( 1 2 t ) n 1 n 1 2 2 n x x
求解非稳态导热方程就是从已知的初始温度分布出发，根据 边界条件以次求得以后各个时间层上的温度值，由上式可知， 一旦i时层上各节点的温度已知，可立即求得i+1时层上各节点 的温度，而不必联立方程，因而上式所代表的格式称为显式 差分格式。
4.2 内节点离散方程的建立方法 建立内节点离散方程的方法有： 泰勒级数展开法 热平衡法 考察图4-3。
5
4.2.1 泰勒级数展开法 以节点（m，n）处的二阶偏导数为例，对节点（m+1，n)及（m-1， n）分别写出函数t对（m，n）点的泰勒级数展开式：
t m1,n t m,n t m1,n t m,n t x t x 2t x 2 x m,n 2t x 2 x m,n x 2 3t 3 2 x x 2 3t 3 2 x x 3 (a) 6 x 3 (b) 6
9
（2）外部角点 如图4-5所示。节点（m，n）的离散方程为
y t m1,n t m,n y x x t m,n1 t m,n x y qw qw Φm,n 0 2 x 2 2 2 y 2 2
第四章 热传导问题的数值解法
在计算后面的节点温度时应采用最新值：
( k 1) ( k 1) (k ) (k ) (k ) t2 a21t1 a22t 2 ...... a2 n t n b2 ( k 1) ( k 1) ( k 1) (k ) (k ) t3 a31t1 a32t 2 ...... a3n t n b3
§4-3 边界节点离散方程的建立 及代数方程的求解
节点离散方程的建立基本方法：
传热学 Heat Transfer
内节点
Taylor（泰勒）级数展开法 控制容积平衡法(热平衡法) 边界节点
平直边界节点
边界内节点
为什么要建立边界节点的离散方程？ 一类边界条件：方程组封闭，可直接求解 二类、三类边界条件：边界温度未知，方程组不封闭
§4-2 内节点离散方程的建立方法
内节点离散方程的推导（泰勒级数展开法）
传热学 Heat Transfer
1. 对相邻节点写出温度 t 对内节点(m, n) 的泰勒级数展开式 x : (m,n)的相邻节点为(m+1,n), (m-1,n) y : (m,n)的相邻节点为(m,n+1), (m,n-1) X方向
............................................................
( k 1) ( k 1) ( k 1) ( k 1) (k ) (k ) tn an1t1 an 2 t 2 ...... ann1t n a t b nn n n 1
§4-3 边界节点离散方程的建立 及代数方程的求解
节点离散（代数）方程的求解 n个未知节点温度，n个代数方程式：
传热学 Heat Transfer
传热学-第四章-热传导问题的数值解法
23
判断迭代是否收敛的准则：
迭代次数，表示第k次迭代
Monday, March 30, 2020
表示第k次迭代所得计算域内的最大值 当有温度t接近于零的时，选此准则较好
24
例题：
Monday, March 30, 2020
25
Monday, March 30, 20day, March 30, 2020
27
1. 一维非稳态导热的数值求解： 第三类边界条件下，常物性、无内热源无 限大平壁的一维非稳态导热问题为例。
1) 求解域的离散
2) 节点温度差分方程的建立
运用热平衡法可以建立非稳态导热物体内部节点和 边界节点温度差分方程。
Monday, March 30, 2020
29
➢ 两点结论：
(a) 任意一个内部节点n在(i+1)时刻的温度都可以由该节点及 其相邻节点(n-1) 、(n+1)在i 时刻的温度由上式直接求出，不必联 立求解方程组，这是显式差分格式的优点。这样就可以从初始温 度出发依次求出各时刻的节点温度；
(b) 必须满足显式差分格式的稳定性条件，即
物理意义:
15
§4-3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解
第一类边界条件：已知全部边界的温度，作为已知值加入到内节点的离散方程中， 组成封闭的代数方程组，直接求解。
n=N
封闭
(m,n+1)
第二类边界条件或第三类边界 条件：部分边界温度未知。
不封闭
w (m-1,n)
n e
(m,n) s
(m,n-1)
(m+1,n)
y
n=1
m=1
m
x
m=M
Monday, March 30, 2020
传热学-第4章-热传导问题的数值解珐
若步长∆x=∆y，有： ， 若步长
t m ,n = 1 ( 2 t m −1 , n + t m , n + 1 + t m , n −1 + 4 ∆2 x Φ m , n
λ
+
2 ∆ xq w
λ
)
2. 外部角点 控制容积的热平衡为： 控制容积的热平衡为：
∆y tm−1,n − tm,n ∆x tm,n−1 − tm,n ∆x∆y ∆x + ∆y λ +λ + Φ m, n + qw = 0 ∆x 2 2 ∆y 4 2
4. 边界热流密度的三种情况
q （1）绝热边界： w = 0 ）绝热边界：
（2） qw 值不为零：代入给定的 qw 值。 ） 值不为零： （3）对流边界：qw = h(t f ）对流边界： 平直边界节点： 平直边界节点：
2( h∆x
− t m n = 2 t m − 1 , n + t m , n + 1 + t m , n −1 +
第一类边界条件 — 边界温度已知 m-1,n 第二类边界条件 需建立边界节点温度 ∆y 第三类边界条件 的差分方程 n 1. 位于平直边界上的节点
λ∆y
tm−1,n − tm,n ∆x +λ
m m,n+1
qw
m,n m,n-1
∆x
∆x tm,n+1 − tm,n ∆x tm,n−1 − tm,n ∆x∆y +λ + Φm,n + ∆yqw = 0 2 ∆y 2 ∆y 2
若步长∆x=∆y，有： ， 若步长
t m ,n = 1 ( t m −1 , n + t m , n −1 + 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
( m,n+1)
内部节点：
Φm1,n Φm1,n Φm,n1 Φm,n1 0
y y
(m-1,n)
(m, n)
(m,n-1)
(m+1,n)
Φ上 Φ下 Φ左＋Φ右 0
y o
x
x
x
以二维、稳态、有内热源的导热问题为例，此时：
Φ上 Φ下 Φ左＋Φ右 Φv 0
qw
y
若x y
t m,n
2 1 2x x tm1,n tm,n 1 qw Φm,n 2 2
x
(3) 内部角点
tm1,n tm ,n y tm1,n tm ,n y y qw x x 2 2 tm ,n1 tm ,n x tm ,n1 tm ,n x x qw y y 2 2 3xy Φm ,n 0 4
第4章 热传导问题的数值解法
导热问题数值求解的基本原理 内节点离散方程的建立方法 边界节点离散方程的建立及代数方程的 求解 非稳态导热问题的数值解法
导热问题的求解
1.求解导热问题的三种基本方法：
(1) 理论分析法；(2) 数值计算法；(3) 实验法
2.三种方法的基本求解过程
(1) 所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础 上，直接对微分方程在给定的定解条件下进行积分，
迭代解法求解步骤
（1）构建迭代方程
1 t1 b1 a12t2 ...... a1ntn a11 1 t2 b2 a21t1 ...... a2 ntn a22 ............................................ 1 tn bn an1t1 an 2t2 ...... ann
qw
qw
y x
若x y
tm , n
1 (2tm 1,n 2tm ,n 1 tm ,n 1 6 3x 2 2x tm 1,n m,n qw ) 2
q w 的情况：
(1) 第二类边界条件：将 qw const ，代入上面各 式即可 (2) 第三类边界条件：将 qw h(t f tm,n ) ，代入上 面各式即可
（6）解的分析
热流量 热应力 热变形
建立控制方程及定解条件 确定节点（区域离散化）
框 图
建立节点物理量的代数方程
设立温度场的迭代初值
若： f t 、Q f t ，则求 , Q
求解代数方程 解的分析
是 收敛否
否
改进初场
4.2 内节点离散方程的建立方法
1. 区域离散化 区域的划分取决于几何上的方便、所 要求的计算精度
x
tm,n 1 tm,n y
Φxy 0
x y 时：
tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1 4tm,n
x 2
0 Φ
4tm,n tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1
x 2
Φ
无内热源时变为：
节点↑，网格密，计算精度↑，但计算 时间长
m , n 称为节点，代表了V xy 1
这一单元（温度、物性）。
2. 建立离散方程常用的方法
（1）Taylor（泰勒）级数展开法 （2）控制容积平衡法（也称为热平衡法）
(1) 泰勒级数展开法
根据泰勒级数展开式，用节点(m,n)的温度tm,n 来表示节点(m+1,n)的温度tm+1,n
y W
二维矩形域内稳态无内热 源，常物性的导热问题
（2）区பைடு நூலகம்离散化
如图 步长 x , y 网格线的交点为 节（结）点
元体：把节点代 表的小区域称为 元体，又叫控制 容积。
（3）建立节点物理量的代数方程（离散方程） 对节点（m, n）的代数方程，当 x y 时，有： 1 t m ,n t m 1,n t m 1,n t m ,n 1 t m,n 1 4 （4）设立迭代初场 代数方程的求解方法有两大类：
t t 左 A y x x
可见：当温度场还没有求出来之前，并不知道
t x所以，必须假设相邻节点间的温度分布形式， 这里假定温度呈分段线性分布。
dt tm1,n tm,n 左 y y dx x
tm1,n tm,n 右 y x t m ,n1 t m ,n 上 x y
tm1,n t 2t t m ,n x 2 x m,n x x 2 3t x 3 3 2! x m,n 3! m ,n
用节点(m,n)的温度tm,n来表示节点(m-1,n) 的温度tm-1,n
tm1,n t 2t t m ,n x 2 x m,n x x 2 3t x 3 3 2! x m,n 3! m ,n
代数方程组的求解方法：直接解法、迭代解法
直接解法：通过有限次运算获得代数方程精确解; 矩阵求逆、高斯消元法
缺点：所需内存较大、方程数目多时不便、不适
用于非线性问题。 迭代解法：先对要计算的场作出假设,在迭代计算 过程中不断予以改进,直到计算结果与假定值的结 果相差小于允许值。称迭代计算已经收敛。
迭代解法有多种：简单迭代（Jacobi迭代）、高斯 -赛德尔迭代等
直接解法、迭代解法。
采用迭代解法时，需要对被求的物理场预先假定一 个解，称为初场，并在求解的过程中不断改进
（5）求解代数方程组
求解时遇到的问题： ① 线性； ② 非线性； ③ 收敛性等。 ①线性方程组：代数方程中各项系数在整个求解过程中不再 变化； ②非线性方程组：代数方程中各项系数在整个求解过程中不 断更新。 ③是否收敛判断：是指用迭代法求解代数方程是否收敛，即 本次迭代计算所得之解与上一次迭代计算所得之解的偏差是 否小于允许值。
为了求解方便，这里将第二类边界条件及第三类边界条
件合并起来考虑，用 qw表示边界上的热流密度或热流密 表示内热源强度。 度表达式。用
1. 边界节点离散方程的建立
(1) 平直边界上的节点
tm1,n tm ,n y yqw x x tm ,n1 tm ,n x tm ,n1 tm ,n 2 y 2 y x Φm ,n y 0 2
tm-1,n
tm,n
tm+1,n
t m ,n1 tm ,n 下 x y
(m-1,n)
(m,n) (m+1,n)
V Φ xy 内热源： Φv Φ
则有： y
tm1,n tm,n x
y x
tm1,n tm,n x tm,n 1 tm,n y
这样获得的解称之为分析解，或叫理论解；
(2) 数值计算法，把原来在时间和空间连续的物 理量的场，用有限个离散点上的值的集合来代替， 通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数 方程，从而获得离散点上被求物理量的值，并称之
为数值解；
(3) 实验法：就是在传热学基本理论的指导下，
采用对所研究对象的传热过程进行实验而求得所
(2) 热平衡法
基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从 而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和基本定 律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守恒和Fourier 导热定律即可。 能量守恒： 流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热 ＝ 流出控制体的总热流量＋控制体内能的增量 即：
2t 2t 控制方程： 2 0 2 x y
定解条件： t t0 x0
t λ y
t λ y
xH
t λ h2 t H, y t f x x H
y 0
y0
y W
h1 t x,0 t f
h3 t x,W t f
4 4 q ( T T (3) 辐射边界条件： w f m ,n ) 或其他
2. 节点方程组的求解
写出所有内节点和边界节点的温度差分方程 ,n个未知 节点温度，n个代数方程式：
a11t1 a12t2 ...... a1ntn b1 a21t1 a22t2 ...... a2 ntn b2 ............................................ an1t1 an 2t2 ...... anntn bn
4.1 导热问题数值求解基本思想
1. 基本思想
对物理问题进行数值求解的基本思想可以概括为： 把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场 （如导热物体的温度场）用有限个离散点上的值的 集合来代替 通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代 数方程，来获得离散点上被求物理量的值
2. 数值求解的步骤
（1）建立控制方程及定解条件
i v o
i v o i ( o ) v
即：从所有方向流入控制体的总热流量
＋ 控制体内热源生成热
＝ 控制体内能的增量
注意：上面的公式对内部节点和边界节点均适用
稳态、无内热源时： 从所有方向流入控制体的总热流量＝0
求量的方法。
3.三种方法的特点
(1) 分析法
a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和 数值计算提供比较依据；
b 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可 见； c 局限性很大，对复杂的问题无法求解。
(2) 数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点， 适应性强，特别对于复杂问题更显其优越性；与 实验法相比成本低。 数值解法：有限差分法（finite-difference） 有限元法（finite-element） 边界元法（boundary- element） (3) 实验法: 是传热学的基本研究方法 a 适应性不好；b 费用昂贵
内部节点：
Φm1,n Φm1,n Φm,n1 Φm,n1 0
y y
(m-1,n)
(m, n)
(m,n-1)
(m+1,n)
Φ上 Φ下 Φ左＋Φ右 0
y o
x
x
x
以二维、稳态、有内热源的导热问题为例，此时：
Φ上 Φ下 Φ左＋Φ右 Φv 0
qw
y
若x y
t m,n
2 1 2x x tm1,n tm,n 1 qw Φm,n 2 2
x
(3) 内部角点
tm1,n tm ,n y tm1,n tm ,n y y qw x x 2 2 tm ,n1 tm ,n x tm ,n1 tm ,n x x qw y y 2 2 3xy Φm ,n 0 4
第4章 热传导问题的数值解法
导热问题数值求解的基本原理 内节点离散方程的建立方法 边界节点离散方程的建立及代数方程的 求解 非稳态导热问题的数值解法
导热问题的求解
1.求解导热问题的三种基本方法：
(1) 理论分析法；(2) 数值计算法；(3) 实验法
2.三种方法的基本求解过程
(1) 所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础 上，直接对微分方程在给定的定解条件下进行积分，
迭代解法求解步骤
（1）构建迭代方程
1 t1 b1 a12t2 ...... a1ntn a11 1 t2 b2 a21t1 ...... a2 ntn a22 ............................................ 1 tn bn an1t1 an 2t2 ...... ann
qw
qw
y x
若x y
tm , n
1 (2tm 1,n 2tm ,n 1 tm ,n 1 6 3x 2 2x tm 1,n m,n qw ) 2
q w 的情况：
(1) 第二类边界条件：将 qw const ，代入上面各 式即可 (2) 第三类边界条件：将 qw h(t f tm,n ) ，代入上 面各式即可
（6）解的分析
热流量 热应力 热变形
建立控制方程及定解条件 确定节点（区域离散化）
框 图
建立节点物理量的代数方程
设立温度场的迭代初值
若： f t 、Q f t ，则求 , Q
求解代数方程 解的分析
是 收敛否
否
改进初场
4.2 内节点离散方程的建立方法
1. 区域离散化 区域的划分取决于几何上的方便、所 要求的计算精度
x
tm,n 1 tm,n y
Φxy 0
x y 时：
tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1 4tm,n
x 2
0 Φ
4tm,n tm1,n tm1,n tm,n1 tm,n1
x 2
Φ
无内热源时变为：
节点↑，网格密，计算精度↑，但计算 时间长
m , n 称为节点，代表了V xy 1
这一单元（温度、物性）。
2. 建立离散方程常用的方法
（1）Taylor（泰勒）级数展开法 （2）控制容积平衡法（也称为热平衡法）
(1) 泰勒级数展开法
根据泰勒级数展开式，用节点(m,n)的温度tm,n 来表示节点(m+1,n)的温度tm+1,n
y W
二维矩形域内稳态无内热 源，常物性的导热问题
（2）区பைடு நூலகம்离散化
如图 步长 x , y 网格线的交点为 节（结）点
元体：把节点代 表的小区域称为 元体，又叫控制 容积。
（3）建立节点物理量的代数方程（离散方程） 对节点（m, n）的代数方程，当 x y 时，有： 1 t m ,n t m 1,n t m 1,n t m ,n 1 t m,n 1 4 （4）设立迭代初场 代数方程的求解方法有两大类：
t t 左 A y x x
可见：当温度场还没有求出来之前，并不知道
t x所以，必须假设相邻节点间的温度分布形式， 这里假定温度呈分段线性分布。
dt tm1,n tm,n 左 y y dx x
tm1,n tm,n 右 y x t m ,n1 t m ,n 上 x y
tm1,n t 2t t m ,n x 2 x m,n x x 2 3t x 3 3 2! x m,n 3! m ,n
用节点(m,n)的温度tm,n来表示节点(m-1,n) 的温度tm-1,n
tm1,n t 2t t m ,n x 2 x m,n x x 2 3t x 3 3 2! x m,n 3! m ,n
代数方程组的求解方法：直接解法、迭代解法
直接解法：通过有限次运算获得代数方程精确解; 矩阵求逆、高斯消元法
缺点：所需内存较大、方程数目多时不便、不适
用于非线性问题。 迭代解法：先对要计算的场作出假设,在迭代计算 过程中不断予以改进,直到计算结果与假定值的结 果相差小于允许值。称迭代计算已经收敛。
迭代解法有多种：简单迭代（Jacobi迭代）、高斯 -赛德尔迭代等
直接解法、迭代解法。
采用迭代解法时，需要对被求的物理场预先假定一 个解，称为初场，并在求解的过程中不断改进
（5）求解代数方程组
求解时遇到的问题： ① 线性； ② 非线性； ③ 收敛性等。 ①线性方程组：代数方程中各项系数在整个求解过程中不再 变化； ②非线性方程组：代数方程中各项系数在整个求解过程中不 断更新。 ③是否收敛判断：是指用迭代法求解代数方程是否收敛，即 本次迭代计算所得之解与上一次迭代计算所得之解的偏差是 否小于允许值。
为了求解方便，这里将第二类边界条件及第三类边界条
件合并起来考虑，用 qw表示边界上的热流密度或热流密 表示内热源强度。 度表达式。用
1. 边界节点离散方程的建立
(1) 平直边界上的节点
tm1,n tm ,n y yqw x x tm ,n1 tm ,n x tm ,n1 tm ,n 2 y 2 y x Φm ,n y 0 2
tm-1,n
tm,n
tm+1,n
t m ,n1 tm ,n 下 x y
(m-1,n)
(m,n) (m+1,n)
V Φ xy 内热源： Φv Φ
则有： y
tm1,n tm,n x
y x
tm1,n tm,n x tm,n 1 tm,n y
这样获得的解称之为分析解，或叫理论解；
(2) 数值计算法，把原来在时间和空间连续的物 理量的场，用有限个离散点上的值的集合来代替， 通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数 方程，从而获得离散点上被求物理量的值，并称之
为数值解；
(3) 实验法：就是在传热学基本理论的指导下，
采用对所研究对象的传热过程进行实验而求得所
(2) 热平衡法
基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从 而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和基本定 律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守恒和Fourier 导热定律即可。 能量守恒： 流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热 ＝ 流出控制体的总热流量＋控制体内能的增量 即：
2t 2t 控制方程： 2 0 2 x y
定解条件： t t0 x0
t λ y
t λ y
xH
t λ h2 t H, y t f x x H
y 0
y0
y W
h1 t x,0 t f
h3 t x,W t f
4 4 q ( T T (3) 辐射边界条件： w f m ,n ) 或其他
2. 节点方程组的求解
写出所有内节点和边界节点的温度差分方程 ,n个未知 节点温度，n个代数方程式：
a11t1 a12t2 ...... a1ntn b1 a21t1 a22t2 ...... a2 ntn b2 ............................................ an1t1 an 2t2 ...... anntn bn
4.1 导热问题数值求解基本思想
1. 基本思想
对物理问题进行数值求解的基本思想可以概括为： 把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场 （如导热物体的温度场）用有限个离散点上的值的 集合来代替 通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代 数方程，来获得离散点上被求物理量的值
2. 数值求解的步骤
（1）建立控制方程及定解条件
i v o
i v o i ( o ) v
即：从所有方向流入控制体的总热流量
＋ 控制体内热源生成热
＝ 控制体内能的增量
注意：上面的公式对内部节点和边界节点均适用
稳态、无内热源时： 从所有方向流入控制体的总热流量＝0
求量的方法。
3.三种方法的特点
(1) 分析法
a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和 数值计算提供比较依据；
b 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可 见； c 局限性很大，对复杂的问题无法求解。
(2) 数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点， 适应性强，特别对于复杂问题更显其优越性；与 实验法相比成本低。 数值解法：有限差分法（finite-difference） 有限元法（finite-element） 边界元法（boundary- element） (3) 实验法: 是传热学的基本研究方法 a 适应性不好；b 费用昂贵