(完整版)概率论基本公式

1、 A B AB A AB;A

B A (B A)

例： 证明：

A B)

B A AB AB A B.

第一部分 概率论基本公

式 概率论与数理统计基本公式

证明： 由(A B) B ，知 B 不发生， A 发生，则 AB 不发生，从而 A B) B A AB 成立，也即 A B 成立，也即 A B 成立。得证。 2、对偶率： A B A B ；A B A B.

3、概率性率： (1) 有限可加： A 1、 A 2为不相容事件，则 P(A 1 A 2) P(A 1) P(A 2)

P(A B)

P(A

)

P(B);P(A) P(B)

(3) 对任意两个事件有： P(A

B) P(A)

P(B) P(AB)

例：已知： P(A) 0.5， P(AB) 0.2，P(B) 0.4.求：(1)P(AB);P(A B);

P(A

解： AB AB B,且B 、AB 是不相容事件， P(AB) P(AB) P(B) 即P(AB) 0.2.,又 P(A) 0.5, P(A B) P(A) P(AB) 0.3 P(A B) P(A) P(B) P(AB)

0.7, P( AB) PA B 1 P(A B) 0.3.

4、古典概

P(A B) P(A) P(AB),特别， B A 时有： (2) B); P( AB )

例： n 双鞋总共 2n 只，分为 n 堆，每堆为 2只，事件 A 每堆自成一双鞋的概率 2n (2-n 2))!！

2！

,自成一双为： n! C 22

n

解：分堆法： C 22n n ！，则

P(A) 5、条件概率 P(B| A)

P(AB)

,称为在事件 A 条件下，事件 B 的条件概

率， P(A)

P(B)称为无条件概率。

乘法公式： P(AB) P(A)P(B |A) P(AB) P(B)P(A |B) 全概率公式：P(B) P(A i )P(B| A i ) i

贝叶斯公式： P(A i |B)

P(A i B)

P(A i )P(B|A i )

i P(B)

P(A j )P(B |A j )

j

例：有三个罐子， 1号装有 2红1黑共 3个球， 2号装有 3红1黑 4个球， 3号装有 2红2

黑 4 个球，某人随机从其中一罐，再从该罐中任取一个球， (1)求取得红球的概率； ( 2)如 果取得是红球，那么是从第一个罐中取出的概率为多少？

解：(1)设B i ｛球取自 i 号罐 ｝，i 1,2,3。 A ｛取得是红球 ｝，由题知 B 1、B 2、B 3是一个完备事件

231 由全概率公式 P(B) P (A i )P(B| A i )，依题意，有： P(A|B 1) ;P(A|B 2) ;P(A|B 3) .

i 3 4 2 1

P(B 1) P(B 2 ) P(B 3) ， P(A) 0.639.

3

( 2)

由贝叶斯公式： P(B

1| A) P(A|B

1)P(B

1) 0.348.

1 P(A)

6、独立事件

(1)P(AB)=P(A)P(B), 则称 A 、 B 独立。

(2)伯努利概型 如果随机试验只有两种可能结果：事件 A 发生或事件 A 不发生，则称为伯努利试验，即：

P(A)=p, P(A) 1 p q (0

事件 A 首次发生概率为： p(1 p)k 1

例：设事件 A 在每一次试验中发生的概率为 0.3，当 A 发生不少于 3 次时，指示灯发出信号 (1)进行 5 次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率； (2)进行了 7 次重复独立试验， 求指示灯发出信号的概率。

解：(1)设 B “5次独立试验发出指示信 号”，则由题意有：

5

P(B) C 5k p k (1 p)5 k ，代入数据得： P(B) 0.163

i3 (2)设C “7次独立试验发出指示信 号”，则由题意有： 7

P(C)

C 7k p k (1

i3

7k

p) 7 k 1

2

C 7k p k (1 p)n k ，代入数据，得： P(C) 0.353

i0

第二章

7、常用离散型分布

(1)两点分布：若一个随机变量 X 只有两个可能的取值，且其分布为 ： P{ X x 1} p;P{ X x 2} 1 p (0

处参数为 p 的两点分布。

特别地，若 X 服从 x 1 1，x 2 0处 参数为 p 的两点分布，

即：

则称 X 服从参数为 0—1 分布。 其中期望 E( X )=p,D(X)=p(1-p)

2)二项 分布 ：若一 个随 机 变量 X 的概 率分布 由 P ｛X k ｝ C n k p k (1- p)n k

(k=0,1,2 ⋯⋯)给出，则称 X 服从参数为 n，

p 的二项分

布，

记

为：

X~b(n,p

) (

或 B(n ，

p)

n 其中P{X k0 k} 1 ，当 n=1 时变为：P{ X k} p k (1

1k

p)

1 k(k=0,1)

,此时为 0—

1

分布。

其期望 E(X )

=np ，方差 D(X)=n(1-p)

(3)泊松分布：若一个随机变量 X 概率分布

为：

P{ X k} e

k

,

k 0,1,2

k!

则称 X 服从参数为的泊松分布，记为：X ~ P( )(或X ~ ( ),其中P{X k} 1，k0 称为泊松流强度。

泊松定理：在 n 重伯努利试验中，事件 A 在每次试验中发生的概率为P n,如果n 时，nP n ( 0的常数) ，则对任意给定的 k，

k

有lim b(k;n,p) lim C n k p n k (1 p n)n k e ，这表明，当 n很大时， p接近 0或1 n n k!

k

时，有C n k p n k (1 p n)n k e ( np )。

k!

其期望方差相等，即： E(X)=D(X)= 。

8、常用连续型分布

1)均匀分布：若连续随机变量X的概率密度为f(x) 1/(b a),a x b

0,其他则称 X 在区间

a， b)上服从均匀分布，记为X~U(a,b) 。其中

f (x)dx 1，分布函数为：

0,x a

F(x) (x a)/(b a),a x

1,x b.

b.

其期望 E(X)= a b，方差 D(X)=

2 (b a)2

12

2)指数分布：若随机变量的概率为

f(x) e x,x0,其

他0，0

，则称 X 服从参数

为的指数分布，简记为 X~e( ).其分布函数：

x

x,x

1e

F(x)0,其他，

0，