(完整版)概率论基本公式
(整理)概率论公式大全
第一章随机事件和概率（1）排列组合公式从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。
（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。
一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。
通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。
为必然事件，Ø为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）事件的关系与运算①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：如果同时有，，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。
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A，B，C，…表示事件，它们是 的子集。 为必然事件，Ø 为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理， 必然事件（Ω）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。
①关系： 如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分，（A 发生必有事件 B 发生）：
A B 如果同时有 A B ， B A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B：
A=B。
A、B 中至少有一个发生的事件：A B，或者 A+B。 属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B，也可
（6）事件 的关系与
表示为 A-AB 或者 AB ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
j 1
此公式即为贝叶斯公式。
P(Bi ) ，（ i 1，2 ，…，n ），通常叫先验概率。P(Bi / A) ，（ i 1，2 ，…， n ），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了
（17）伯努 利概型
“由果朔因”的推断。
我们作了 n 次试验，且满足 每次试验只有两种可能结果， A 发生或 A 不发生； n 次试验是重复进行的，即 A 发生的概率每次均一样； 每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A 发生与
P( X k) q k1 p, k 1,2,3, ，其中 p≥0，q=1-p。
随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p)。
1
概率论与数理统计 公式（全）
均匀分布
设随机变量 X 的值只落在[a，b]内，其密度函数 f (x) 在[a，b] 上为常数 1 ，即
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概率论与数理统计 公式（全）
（4）分布 函数
设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数
F ( x) P( X x)
称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。
n
A Bi
i 1
， P( A) 0 ，
P( Bi / A)
P( Bi ) P( A / Bi )
P( B ) P( A / B )
j 1 j j
n
，i=1，2，„n。
此公式即为贝叶斯公式。
n） ，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了
（17）伯努 利概型 “由果朔因”的推断。 我们作了 n 次试验，且满足 每次试验只有两种可能结果， A 发生或 A 不发生； n 次试验是重复进行的，即 A 发生的概率每次均一样；
F ( x) f ( x)dx
x
，
则称 X 为连续型随机变量。 f ( x) 称为 X 的概率密度函数或密度函数，简称概 率密度。 密度函数具有下面 4 个性质： 1° 2°f (源自x) 0 。
f ( x)dx 1
。
（3）离散 与连续型 随机变量 的关系
P( X x) P( x X x dx) f ( x)dx
P( B | A)
P( AB) P( A) P( B) P( B) P( A) P( A)
（14）独立 性
若事件 A 、 B 相互独立，则可得到 A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B 也都相互独 立。 必然事件 和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。 Ø 与任何事件都互斥。 ②多个事件的独立性 设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A、B、C 相互独立。 对于 n 个事件类似。 设事件 B1, B 2,, Bn 满足 1° B1, B 2,, Bn 两两互不相容， P( Bi ) 0(i 1,2,, n) ，
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第一章随机事件和概率（1）排列组合公式从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。
（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。
一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。
通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。
为必然事件，Ø为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）事件的关系与运算①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：如果同时有，，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。
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。
（3）离散与
P(X x) P(x X x dx) f (x)dx
连续型随机
变量的关系 积分元 f (x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与 P( X xk) pk 在离散型随机变量理论中所起的作用相类
（4）分布函 数
似。
设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数
F(x) P( X x) 称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。
①两个事件的独立性
设事件 A 、 B 满足 P( AB) P( A)P(B) ，则称事件 A 、 B 是相互独立的。
若事件 A 、 B 相互独立，且 P( A) 0 ，则有
P(B | A) P(AB) P(A)P(B) P(B)
P( A)
P( A)
若事件 A 、 B 相互独立，则可得到 A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B 也都相互独立。
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（7）概率的公理化定义
（8）古典概型
（9）几何概型 （10）加法公式 （11）减法公式 （12）条件概率 （13）乘法公式 （14）独立性
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Ai Ai
德摩根率： i1
i1
AB AB， AB AB
设 为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A)，若满足下列三个条件：
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。
一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大写字母 A，B，C，…表示事件，它
们是 的子集。
为必然事件，Ø 为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为 1， 而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。
《概率论公式大全》Word文档
概率论公式1．随机事件及其概率吸收律：AAB A A A A =⋃=∅⋃Ω=Ω⋃)( AB A A A A A =⋃⋂∅=∅⋂=Ω⋂)( )(AB A B A B A -==-反演律：B A B A =⋃ B A AB ⋃=n i i n i i A A 11=== ni in i i A A 11===2．概率的定义及其计算)(1)(A P A P -=若B A ⊂ )()()(A P B P A B P -=-⇒对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=-加法公式：对任意两个事件A , B , 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃)()()(B P A P B A P +≤⋃)()1()()()()(2111111n n n n k j i k j i n j i j i n i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++-=∑∑∑3．条件概率()=A B P)()(A P AB P乘法公式 ())0)(()()(>=A P A B P A P AB P()())0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P全概率公式 ∑==n i i AB P A P 1)()( )()(1i ni i B A P B P ⋅=∑=Bayes 公式)(A B P k )()(A P AB P k = ∑==n i i i k k B A P B P B A P B P 1)()()()(4．随机变量及其分布分布函数计算)()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<5．离散型随机变量(1) 0 – 1 分布1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k(2) 二项分布 ),(p n B若P ( A ) = pn k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1()( =-==-*Possion 定理0lim >=∞→λn n np 有 ,2,1,0!)1(lim ==---∞→k k e p p C kk n n k n kn n λλ(3) Poisson 分布 )(λP,2,1,0,!)(===-k k e k X P kλλ6．连续型随机变量(1) 均匀分布 ),(b a U⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a ab x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1,,0)(a b a x x F(2) 指数分布 )(λE⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x e x x F x λ(3) 正态分布 N (m , s 2 )+∞<<∞-=--x e x f x 222)(21)(σμσπ⎰∞---=x t t e x F d 21)(222)(σμσπ*N (0,1) — 标准正态分布 +∞<<∞-=-x e x x 2221)(πϕ +∞<<∞-=Φ⎰∞--x t e x xt d 21)(22π7.多维随机变量及其分布二维随机变量( X ,Y )的分布函数⎰⎰∞-∞-=xy dvdu v u f y x F ),(),(边缘分布函数与边缘密度函数⎰⎰∞-+∞∞-=xX dvdu v u f x F ),()( ⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()( ⎰⎰∞-+∞∞-=y Y dudv v u f y F ),()(⎰+∞∞-=du y u f y f Y ),()(8.连续型二维随机变量(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G ) ⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0),(,1),(G y x A y x f(2)二维正态分布+∞<<-∞+∞<<∞-⨯-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+------y x e y x f y y x x ,121),(2222212121212)())((2)()1(21221σμσσμμρσμρρσπσ9.二维随机变量的 条件分布 0)()()(),(>=x f x y f x f y x f X X Y X 0)()()(>=y f y x f y f Y Y X Y ⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dy y f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()( ⎰⎰+∞∞-+∞∞-==dx x f x y f dx y x f y f X X Y Y )()(),()( )(y x f Y X )(),(y f y x f Y = )()()(y f x f x y f Y X X Y =)(x y f X Y )(),(x f y x f X = )()()(x f y f y x f X Y Y X =10.随机变量的数字特征数学期望 ∑+∞==1)(k k k p x X E⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(随机变量函数的数学期望X 的 k 阶原点矩)(k X EX 的 k 阶绝对原点矩)|(|k X EX 的 k 阶中心矩)))(((k X E X E -X 的 方差)()))(((2X D X E X E =-X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩)(l k Y X EX ,Y 的 k + l 阶混合中心矩()l k Y E Y X E X E ))(())((--X ,Y 的 二阶混合原点矩)(XY EX ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差()))())(((Y E Y X E X E --X ,Y 的相关系数XY Y D X D Y E Y X E X E ρ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--)()())())(((X 的方差D (X ) =E ((X - E (X ))2))()()(22X E X E X D -=协方差()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X --=)()()(Y E X E XY E -= ())()()(21Y D X D Y X D --±±= 相关系数)()(),cov(Y D X D Y X XY =ρ（注：素材和资料部分来自网络，供参考。
概率论重要公式大全必看
概率论重要公式大全必看概率论是数学的一个分支，研究随机事件的概率性质和随机现象的数学模型。
在概率论中有许多重要的公式，下面是一些概率论中常用的重要公式的介绍。
1.加法法则加法法则是计算两个事件一起发生的概率的公式。
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)2.乘法法则乘法法则是计算两个事件同时发生的概率的公式。
P(A∩B)=P(A)×P(B，A)=P(B)×P(A，B)其中P(B，A)表示已知事件A发生下事件B发生的概率。
3.全概率公式全概率公式是计算一个事件的概率的公式，通过将事件分解为若干个互斥事件并计算其概率，然后加权求和得到事件的概率。
P(A)=ΣP(A∩Bi)=ΣP(Bi)×P(A，Bi)其中Bi为一组互斥事件，且它们的并集为样本空间。
4.贝叶斯定理贝叶斯定理是根据条件概率的定义，计算事件的后验概率的公式。
P(A，B)=P(B，A)×P(A)/P(B)其中P(A，B)为已知事件B发生下事件A发生的概率。
5.随机变量与概率分布随机变量是用来描述随机现象结果的变量。
概率分布则是随机变量取不同值的概率的分布情况。
6.期望和方差期望是描述随机变量平均值的概念，可以通过加权平均的方式计算。
E(X)=Σx×P(X=x)方差是描述随机变量离散程度的概念，用来衡量随机变量取值与其期望值之间的偏差。
Var(X) = E((X - E(X))^2) = Σ (x - E(X))^2 × P(X=x)7.二项分布二项分布是描述重复进行n次独立实验中成功次数的概率分布。
P(X=k)=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)其中C(n,k)表示组合数，p为单次实验的成功概率，n为实验次数，k为成功次数。
8.泊松分布泊松分布是描述事件在一定时间或空间范围内发生的次数的概率分布。
P(X=k)=(λ^k/k!)×e^(-λ)其中λ为单位时间或单位空间范围内事件发生的平均次数，k为事件发生的次数。
概率论重要公式大全必看
称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 ②运算：
AB AB，AB AB
（3）古典 概型
1° 1, 2 n ，
2°
P(1 )
P( 2
)
P( n
)
1 n
。
设任一事件 A ，它是由1, 2 m 组成的，则有
F
1 (n2 , n1 )
第四章 随机变量的数字特征
（1） 一维 随机 变量 的数 字特 征
期望 期望就是平均值
函数的期望
离散型
n
E( X ) xk pk k 1
Y=g(X)
n
E(Y ) g(xk ) pk k 1
方差 D(X)=E[X-E(X)]2，
标准差 (X ) D(X ) ， D( X ) [xk E( X )]2 pk k
Cii ， 2
C
i2
2 i
i
i
若 X1, X2 Xn 相 互 独 立 ， 其 分 布 函 数 分 别 为
Fx1 (x)，Fx2 (x) Fxn (x) ，则 Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布
函数为：
Fmax(x) Fx1 (x) • Fx2 (x) Fxn (x)
Fmin (x) 1 [1 Fx1 (x)] • [1 Fx2 (x)][1 Fxn (x)]
否是互不影响的。
C Pn(k)
k n
pk qnk
，
k
0,1,2,, n
。
第二章 随机变量及其分布
（1）离散 型随机变 量的分布 律
（2）连续 型随机变 量的分布 密度 （3）分布 函数
概率论公式大全
第一章随机事件和概率（1）排列组合公式从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。
（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。
一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。
通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。
为必然事件，Ø为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）事件的关系与运算①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：如果同时有，，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。
概率统计公式大全
概率统计公式大全概率统计是研究随机现象及其规律性的一门学科，其核心就是用数学方法来描述和分析随机现象。
在概率统计的理论体系中，有很多重要的公式和定理，下面对一些常用的公式进行介绍。
1.概率公式：(1)加法规则：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，其中A和B为事件，P(A)和P(B)分别是事件A和事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
(2)乘法规则：P(A∩B)=P(A)×P(B，A)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
2.条件概率公式：(1)贝叶斯定理：P(A，B)=P(B，A)×P(A)/P(B)，其中P(A，B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别是事件A和事件B发生的概率。
(2)全概率公式：P(B)=ΣP(Ai)×P(B，Ai)，其中B是一个事件，Ai是样本空间的一个划分，即Ai是互不相容且并集为样本空间的一组事件。
3.期望公式：(1) 离散型随机变量的期望：E(X) = ΣxiP(X=xi)，其中X是一个离散型随机变量，xi是X的取值，P(X=xi)是X取值为xi的概率。
(2) 连续型随机变量的期望：E(X) = ∫xf(x)dx，其中X是一个连续型随机变量，f(x)是X的概率密度函数。
4.方差公式：(1) 离散型随机变量的方差：Var(X) = Σ(xi-E(X))^2P(X=xi)，其中Var(X)表示随机变量X的方差，xi是X的取值，E(X)是X的期望，P(X=xi)是X取值为xi的概率。
(2) 连续型随机变量的方差：Var(X) = ∫(x-E(X))^2f(x)dx，其中Var(X)表示随机变量X的方差，E(X)是X的期望，f(x)是X的概率密度函数。
概率论与数理统计公式大全
概率论与数理统计公式大全一、概率论公式1.概率的基本性质：-非负性：对于任意事件A，有P(A)>=0；-规范性：对于必然事件S，有P(S)=1；-可列可加性：对于互不相容的事件Ai（i=1,2,...），有P(A1∪A2∪...)=P(A1)+P(A2)+...。
2.条件概率：-事件B发生的条件下，事件A发生的概率：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)；-乘法公式：P(A∩B)=P(A，B)*P(B)。
3.全概率公式：-事件A的概率：P(A)=ΣP(A，Bi)*P(Bi)，其中Bi为样本空间的一个划分。
4.贝叶斯公式：-事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率：P(Bi，A)=P(A，Bi)*P(Bi)/ΣP(A，Bj)*P(Bj)，其中Bj为样本空间的一个划分。
5.独立性：-事件A与事件B相互独立的充要条件是P(A∩B)=P(A)*P(B)。
二、数理统计公式1.随机变量的概率分布：-离散型随机变量的概率分布函数：P(X=x)；-连续型随机变量的概率密度函数：f(x)。
2.数理统计的基本概念：-样本均值：X̄=ΣXi/n；-样本方差：s^2=Σ(Xi-X̄)^2/(n-1)；-样本标准差：s=√s^2；- 样本协方差：sxy = Σ(Xi-X̄)(Yi-Ȳ) / (n-1)。
3.大数定律：-样本均值的大数定律：当样本容量n趋向于无穷大时，样本均值X̄趋向于总体均值μ。
4.中心极限定理：-样本均值的中心极限定理：当样本容量n足够大时，样本均值X̄服从近似正态分布。
5.参数估计：-点估计：用样本统计量对总体参数进行估计；-置信区间估计：用样本统计量构造一个区间，以估计总体参数的范围。
6.假设检验：-假设检验的基本步骤：提出原假设H0和备择假设H1，选择适当的检验统计量，计算拒绝域，进行假设检验。
以上只是概率论与数理统计中的一些重要公式和定理，还有很多其他的公式和定理没有一一列举。
掌握这些公式和定理，可以帮助我们更好地理解和应用概率论与数理统计的知识。
概率论基本公式
概率论基本公式概率论是数学中非常重要的一个分支，它研究的是随机现象的规律。
在概率论中，有一个基本公式，被广泛应用于各种概率计算问题中。
本文将介绍概率论基本公式的概念和应用。
概率论基本公式，也称为全概率公式，是指当事件A可以分解成若干互不相容的事件B1、B2、…、Bn时，事件A的概率等于各个事件Bi发生的概率乘以它们发生时事件A的条件概率之和。
数学表达如下：P(A) = P(B1) * P(A|B1) + P(B2) * P(A|B2) + … + P(Bn) * P(A|Bn)其中，P(A)表示事件A的概率，P(Bi)表示事件Bi的概率，P(A|Bi)表示在事件Bi发生的条件下事件A发生的概率。
概率论基本公式的应用非常广泛。
下面将通过几个实例来说明其具体应用。
1. 生日问题假设有n个人，问至少有两个人生日相同的概率是多少？我们可以将这个问题转化为逆问题，即所有人的生日都不相同的概率是多少。
根据概率论基本公式，可以得到：P(所有人生日不同) = P(第1个人生日不同) * P(第2个人生日不同|第1个人生日不同) * … * P(第n个人生日不同|前n-1个人生日不同)假设一年有365天，则第1个人生日不同的概率为1，第2个人生日不同的概率为364/365，依此类推，第n个人生日不同的概率为(365-n+1)/365。
将这些概率代入公式，即可计算出所有人的生日都不相同的概率。
然后用1减去这个概率，即可得到至少有两个人生日相同的概率。
2. 疾病检测假设某种疾病的患病率为p，某种检测方法的准确率为q，即检测结果为阳性的患病者的比例为q，检测结果为阴性的健康人的比例也为q。
现在有一个人做了这种检测，结果为阳性，问这个人真的患病的概率是多少？根据概率论基本公式，可以得到：P(真的患病|阳性) = P(患病) * P(阳性|患病) / P(阳性)其中，P(真的患病|阳性)表示在阳性结果的条件下，这个人真的患病的概率。
概率论与数理统计公式整理(完整版)
An 1) 。
①两个事件的独立性
设事件 A 、B 满足 P(AB) P( A)P(B) ，则称事件 A 、B 是相互独立的。
若事件 A 、 B 相互独立，且 P( A) 0 ，则有
P(B | A) P( AB) P( A)P(B) P(B)
P( A)
P( A)
（14）独立 性
（15）全概 公式
布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。
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概率论与数理统计 公式（全）
泊松分布
设随机变量 X 的分布律为 P( X k) k e ， 0 ， k 0,1,2， k!
则称随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，记为 X ~ () 或
超几何分布 几何分布
者 P( )。
泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。
当 A=Ω时，P( B )=1- P(B)
（12）条件 概率
定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称 P( AB) 为事件 A 发生条件下，事 P( A)
件 B 发生的条件概率，记为 P(B / A) P( AB) 。 P( A)
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
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一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大写字母
A，B，C，…表示事件，它们是 的子集。 为必然事件，Ø 为不可能事件。
不可能事件（Ø ）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理， 必然事件（Ω）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。
①关系： 如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分，（A 发生必有事件 B 发生）：
设事件 B1， B2 ，…， Bn 及 A 满足
概率基础计算公式
概率基础计算公式概率基础计算公式1.加法公式:P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)2.求逆公式：P ( A ˉ ) = 1 − P ( A ) P(\bar{A})=1-P(A) P(Aˉ)=1−P(A)3.求差公式：P ( A − B ) = P ( A ) − P ( A B ) P(A-B)=P(A)-P(AB) P(A−B)=P(A)−P(AB)4.乘法公式：P ( A B ) = P ( A ) ⋅P ( A ∣B ) = P ( B ) ⋅P ( B ∣A ) P(AB)=P(A)\cdot P(A|B)=P(B)\cdot P(B|A) P(AB)=P(A)⋅P(A∣B)=P(B)⋅P(B∣A)5.全概率公式：设 A 1 , A 2 , . . . , A n A_1,A_2,...,A_n A1,A2,...,An两两互不相容，且所有的 A i A_i Ai并起来为Ω Ω Ω，则称 A 1 , A 2 , . . . , A n A_1,A_2,...,A_n A1,A2,...,An构成一个完备事件组，若P ( A i ) > 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , P(A_i)>0,i=1,2,...,n, P(Ai )>0,i=1,2,...,n,则有如下全概率公式：P ( B ) = ∑ i = 1 n P ( A i ) ⋅ P ( B ∣ A i ) P(B)=\displaystyle \sum^{n}_{i=1}{P(A_i) \cdot P(B|A_i)} P(B)=i=1∑n P(Ai)⋅P(B∣Ai)6.贝叶斯公式（逆概率公式）：设 A 1 , A 2 , . . . , A n A_1,A_2,...,A_n A1,A2,...,An构成一个完备事件组，且P ( A i ) > 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , P(A_i)>0,i=1,2,...,n, P(Ai)>0,i=1,2,...,n,则当P ( B ) > 0 P(B)>0 P(B)>0时，有如下贝叶斯公式：P ( A k ∣ B ) = P ( A k ) ⋅ P ( B ∣ A k ) ∑ i = 1 n P ( A i ) ⋅ P ( B ∣ A i ) , k = 1 , 2 , . . . , n . P(A_k|B)=\displaystyle {\frac{P(A_k) \cdot P(B|A_k)}{\sum^{n}_{i=1}{P(A_i) \cdot P(B|A_i)}}},k=1,2,...,n. P(Ak∣B)=∑i=1n P(Ai)⋅P(B∣Ai)P(Ak)⋅P(B∣Ak),k=1,2,...,n.7.n重伯努利试验：(1)若独立试验序列每次试验的结果只有两个，即A 与A ˉ A与\bar{A} A与Aˉ，记 P ( A ) = p P(A)=p P(A)=p，则n次试验中事件A发生 k k k次的概率为:P n ( A = k ) = P n ( k ) = C n k p k ( 1 − p ) n − k , k = 0 , 1 , 2 , . . . , n . P_n(A=k)=P_n(k)=C_n^kp^k(1-p)^n-k,k=0,1,2,...,n. Pn(A=k)=Pn(k)=Cnkpk(1−p)n−k,k=0,1,2,...,n.(2)独立重复地进行伯努利试验，直到第 k k k次试验时A才首次发生的概率为：P k = ( 1 − p ) k − 1 p , k = 1 , 2 , . . . , n . P_k=(1-p)^{k-1}p,k=1,2,...,n. Pk=(1−p)k−1p,k=1,2,...,n.。
概率论核心概念及公式(全)
型随机变 (X=Xk)的概率为
量的分布
P(X=xk)=pk，k=1,2,…，
律
则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式
给出：
X P(X
xk )
|
x1, x2, , xk, p1, p2, , pk,
。
显然分布律应满足下列条件：
（1） pk 0 ，k 1,2, ， （2） pk 1。 k 1
为必然事件，Ø 为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然
事件（Ω）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。
①关系：
（6）事 如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分，（A 发生必有事件 B 发生）：A B
件的关 如果同时有 A B ，B A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B：A=B。
加)+P(B) 式
（11） P(A-B)=P(A)-P(AB)
减法公 当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)
式
当 A=Ω时，P( B )=1- P(B)
（12） 条件概 率
P( AB) 定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称 P( A) 为事件 A 发生条件下，事件 B
xa, ba 1，x>b。
a≤x≤b
指数分布
当 a≤x1<x2≤b 时，X 落在区间（x1, x2 ）内的概率为
P( x1
X
x2
)
x2 b
x1 a
（2）连续 设F(x) 是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 f (x) ，对任意实数x ，有
(完整版),概率论公式总结,推荐文档
P( Ai Aj Ak ) (1)n1 P( A1 A2 An )
i 1
i 1
1i jn
1i jk n
3．条件概率 PB A P(AB) 乘法公式 P(AB) P(A)PB A (P(A) 0) P( A)
P( A1 A2 An ) P( A1 )P A2 A1 P An A1 A2 An1
(P( A1 A2 An1 ) 0)
n
全概率公式 P(A) P(ABi ) i 1
n
P(Bi ) P( A
i 1
Bi ) Bayes 公式 P(Bk
A) P( ABk ) P( A)
P(Bk )P( A Bk ) n P(Bi )P( A Bi ) i 1
4．随机变量及其分布
分布函数计算 P(a X b) P(X b) P(X a)
f (x, y)dx
fY X ( y x) f X (x)dx
fX Y (x y)
f (x, y) fY ( y)
fY X ( y x) fX (x) fY ( y)
fY X ( y x)
f (x, y) fX (x)
fX Y (x y) fY ( y) fX (x)
10. 随机变量的数字特征
E ( X E( X ))k (Y E(Y ))l
E(X kY l )
X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩
X ,Y 的 二阶混合原点矩 E(XY ) X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差 E( X E( X ))(Y E(Y ))
X ,Y 的相关系数
E
(X
E( X ))(Y E(Y D( X ) D(Y )
f (x, v)dv
8. 连续型二维随机变量 (1) 区域 G 上的均匀分布，U ( G )
概率论集合公式
概率论集合公式
一、基本集合运算公式。
1. 并集公式。
- 对于任意两个事件A和B，P(A∪ B)=P(A)+P(B)-P(A∩ B)。
- 如果A和B是互斥事件（即A∩ B = varnothing），那么P(A∪
B)=P(A)+P(B)。
2. 交集公式。
- P(A∩ B) = P(A)P(BA)（当P(A)>0时），这是条件概率下的交集公式，也可以写成P(A∩ B)=P(B)P(AB)（当P(B)>0时）。
3. 补集公式。
- 对于事件A，P(¯A) = 1 - P(A)，其中¯A表示A的补集。
二、多个事件的公式。
1. 三个事件的并集公式。
- P(A∪ B∪ C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩ B)-P(A∩ C)-P(B∩ C)+P(A∩ B∩ C)。
2. 容斥原理（一般形式）
- 设A_1,A_2,·s,A_n是n个事件，则P(bigcup_i = 1^nA_i)=∑_i=1^nP(A_i)-
∑_1≤slant i
这些公式在解决概率论中的各种问题，如计算事件发生的概率、分析事件之间的关系等方面有着广泛的应用。
在人教版教材中，这些内容通常在高中数学选修2 - 3或者大学的概率论与数理统计教材中出现，通过大量的例题和练习可以加深对这些公式的理解和运用。
概率论与数理统计(完整公式,知识点梳理)
p
k
；
对于分布 二项分布
f ( x)dx
。
P(X=1)=p, P(X=0)=q
在 n 重贝努里试验中，设事件 A 发生的概率为 p 。事件 A 发生 的次数是随机变量，设为 X ，则 X 可能取值为 0,1,2,, n 。
k k nk P( X k ) Pn(k ) Cn p q
P( A)
（10）加法 公式 （11）减法 公式 （12）条件 概率
L( A) 。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积） 。 L ()
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=Ω 时，P( B )=1- P(B) 定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称
P(a X b) F (b) F (a)
可以得到 X 落入区间 ( a, b] 的概率。分布
函数 F ( x) 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。 分布函数具有如下性质： 1° 2° 3° 4° 5°
0 F ( x) 1,
x ；
F ( x) 是单调不减的函数，即 x1 x2 时，有 F ( x1) F ( x2) ；
积分元 f ( x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与 P( X xk ) pk 在离 散型随机变量理论中所起的作用相类似。
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（4）分布 函数
设 X 为随机变量， x 是任意实数，则函数
F ( x) P( X x)
称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。
完整word版概率论公式总结
第1章随机事件及其概率第二章随机变量及其分布设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f(x)，对任意实数x，有xF(x) f (x)dx密度函数具有下面性质：f(X) 0f(x)dx 1离连随量系散续机的与型变关P(X x) P(x X x dx) f (x)dx。
积分元f (x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X xk) P k在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。
连续型随机量的布密度则称X为连续型随机变量。
f (x)称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。
0-1 分布 P (X=1)=P ，P (X=0)=q设X 为随机变量，x 是任意实数，则函数 F(x) P(X x)称为随机变量 X 的分布函数, 本质上是一个累积函数。
P 在刃重贝努里试式验中:b)设事件a) A 可以得到概率落入区间事件,bA 发生率。
分布函数F(x)表示随机变量是随区变量，设为内的概率。
能取值为O,1,2， ，n 。
1. 0 F(x) 1, (5)八大分布) 巳项分布3 ° F(x 0) 随机变量, PX< k)； P°n(k)F(C 是单q 调不减的函数，即 F( 1 )P,0imPF(%)k 00,1,2,F(,n ,) F(x)，即F(x 则是右连续机变量5X 服从参X 数年衣) F(x)X 1 X 其时，有中 lim F(x) 1 ;P的X 二(项。
分对于离散记为xp;加 0.1，这泊松分布P(X则称随机变量者 P( ) °kk) —e , k!畫X 服从参数为 0, k 0,1,2,的泊松分布，记为 X ~ ()或超几何分布P(X k)C k o c n k kC M ?CN M f1 0,1,2 ,lC Nl min(M,n)随机变量X 服从参数为n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M) °几何分布P(X k)k 1q P,k 1,2,3,，其中 pA0, q=1-p °随机变量X 服从参数为P 的几何分布，记为G(P)°设随机变量 X 的值只落在［a , 1 b ］内，其密度函数f(X)在［a , b ］上为常数— —，即b a均匀分布当aw X 1 <X 2W b 时，X 洛在区间1---aw Xw b(为，X 2 )内的概率为f (X) bJa其他X 2 X-i0, P(X 1 X X 2)' 1b aX k XX - B(n, P)。
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1、 A B AB A AB;AB A (B A)例： 证明：A B)B A AB AB A B.第一部分 概率论基本公式 概率论与数理统计基本公式证明： 由(A B) B ，知 B 不发生， A 发生，则 AB 不发生，从而 A B) B A AB 成立，也即 A B 成立，也即 A B 成立。
得证。
2、对偶率： A B A B ；A B A B.3、概率性率： (1) 有限可加： A 1、 A 2为不相容事件，则 P(A 1 A 2) P(A 1) P(A 2)P(A B)P(A)P(B);P(A) P(B)(3) 对任意两个事件有： P(AB) P(A)P(B) P(AB)例：已知： P(A) 0.5， P(AB) 0.2，P(B) 0.4.求：(1)P(AB);P(A B);P(A解： AB AB B,且B 、AB 是不相容事件， P(AB) P(AB) P(B) 即P(AB) 0.2.,又 P(A) 0.5, P(A B) P(A) P(AB) 0.3 P(A B) P(A) P(B) P(AB)0.7, P( AB) PA B 1 P(A B) 0.3.4、古典概P(A B) P(A) P(AB),特别， B A 时有： (2) B); P( AB )例： n 双鞋总共 2n 只，分为 n 堆，每堆为 2只，事件 A 每堆自成一双鞋的概率 2n (2-n 2))!！2！,自成一双为： n! C 22n解：分堆法： C 22n n ！，则P(A) 5、条件概率 P(B| A)P(AB),称为在事件 A 条件下，事件 B 的条件概率， P(A)P(B)称为无条件概率。
乘法公式： P(AB) P(A)P(B |A) P(AB) P(B)P(A |B) 全概率公式：P(B) P(A i )P(B| A i ) i贝叶斯公式： P(A i |B)P(A i B)P(A i )P(B|A i )i P(B)P(A j )P(B |A j )j例：有三个罐子， 1号装有 2红1黑共 3个球， 2号装有 3红1黑 4个球， 3号装有 2红2黑 4 个球，某人随机从其中一罐，再从该罐中任取一个球， (1)求取得红球的概率； ( 2)如 果取得是红球，那么是从第一个罐中取出的概率为多少？解：(1)设B i ｛球取自 i 号罐 ｝，i 1,2,3。
A ｛取得是红球 ｝，由题知 B 1、B 2、B 3是一个完备事件231 由全概率公式 P(B) P (A i )P(B| A i )，依题意，有： P(A|B 1) ;P(A|B 2) ;P(A|B 3) .i 3 4 2 1P(B 1) P(B 2 ) P(B 3) ， P(A) 0.639.3( 2)由贝叶斯公式： P(B1| A) P(A|B1)P(B1) 0.348.1 P(A)6、独立事件(1)P(AB)=P(A)P(B), 则称 A 、 B 独立。
(2)伯努利概型 如果随机试验只有两种可能结果：事件 A 发生或事件 A 不发生，则称为伯努利试验，即：P(A)=p, P(A) 1 p q (0<p<1,p+q=1) 相同条件独立重复 n 次，称之为 n 重伯努利试验，简称伯努利概型。
伯努利定理： b(k;n, p) C n k p k (1 p)n k ( k=0,1,2 ⋯⋯)事件 A 首次发生概率为： p(1 p)k 1例：设事件 A 在每一次试验中发生的概率为 0.3，当 A 发生不少于 3 次时，指示灯发出信号 (1)进行 5 次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率； (2)进行了 7 次重复独立试验， 求指示灯发出信号的概率。
解：(1)设 B “5次独立试验发出指示信 号”，则由题意有：5P(B) C 5k p k (1 p)5 k ，代入数据得： P(B) 0.163i3 (2)设C “7次独立试验发出指示信 号”，则由题意有： 7P(C)C 7k p k (1i37kp) 7 k 12C 7k p k (1 p)n k ，代入数据，得： P(C) 0.353i0第二章7、常用离散型分布(1)两点分布：若一个随机变量 X 只有两个可能的取值，且其分布为 ： P{ X x 1} p;P{ X x 2} 1 p (0<p<1)则称 X 服从 x 1、 x 2处参数为 p 的两点分布。
特别地，若 X 服从 x 1 1，x 2 0处 参数为 p 的两点分布，即：则称 X 服从参数为 0—1 分布。
其中期望 E( X )=p,D(X)=p(1-p)2)二项 分布 ：若一 个随 机 变量 X 的概 率分布 由 P ｛X k ｝ C n k p k (1- p)n k(k=0,1,2 ⋯⋯)给出，则称 X 服从参数为 n，p 的二项分布，记为：X~b(n,p) (或 B(n ，p)n 其中P{X k0 k} 1 ，当 n=1 时变为：P{ X k} p k (11kp)1 k(k=0,1),此时为 0—1分布。
其期望 E(X )=np ，方差 D(X)=n(1-p)(3)泊松分布：若一个随机变量 X 概率分布为：P{ X k} ek,k 0,1,2k!则称 X 服从参数为的泊松分布，记为：X ~ P( )(或X ~ ( ),其中P{X k} 1，k0 称为泊松流强度。
泊松定理：在 n 重伯努利试验中，事件 A 在每次试验中发生的概率为P n,如果n 时，nP n ( 0的常数) ，则对任意给定的 k，k有lim b(k;n,p) lim C n k p n k (1 p n)n k e ，这表明，当 n很大时， p接近 0或1 n n k!k时，有C n k p n k (1 p n)n k e ( np )。
k!其期望方差相等，即： E(X)=D(X)= 。
8、常用连续型分布1)均匀分布：若连续随机变量X的概率密度为f(x) 1/(b a),a x b0,其他则称 X 在区间a， b)上服从均匀分布，记为X~U(a,b) 。
其中f (x)dx 1，分布函数为：0,x aF(x) (x a)/(b a),a x1,x b.b.其期望 E(X)= a b，方差 D(X)=2 (b a)2122)指数分布：若随机变量的概率为f(x) e x,x0,其他0，0，则称 X 服从参数为的指数分布，简记为 X~e( ).其分布函数：xx,x1eF(x)0,其他，0，11 其期望 E(X)= ,方差 D(X)=2.(3) 正态分布：若随机变量 X 的概率密度为f(x) 1 e(x22)2 e2，则称 X服从参数为μ和2的正态分布，记为 X~N( 2), 其中μ和>0)都是常数。
分布函数为：F(x) 1x (t22)21 xe22dt,.。
当0, 1时，称为标准正态分布，概率密度函数为：x) 定理：设X ~ N( , 2),则Y12eX~x222, 分布函数(x)t2 e 2dt.其期望 E(X)= μ ,D(X)= 2。
9、随机变量函数的分布( 1)离散型随机变量函数分布一般方法：先根据自变量X 的所有可能取值确定因变量 Y 的所有可能值，然后通过 Y 的每一个可能的取值y i(i=1,2, ⋯⋯ )来确定Y 的概率分布。
2)连续型随机变量函数分布方法：设已知 X 的分布函数F X (x)或者概率密度f X(x) ，则随机变量 Y=g(X) 的分布函数F Y(y) P{Y y} P{g(X) y} P{X C Y} ,其中C y {x|g(x) y}，F Y(y) P{X C Y} Cyf X(x)dx，进而可通过Y 的分布函数F Y (y) ，求出 Y 的密度函数。
例：设随机变量 X 的密度函数为f X(x) 1 | x|, 1 x0,其他1，求随机变量Y X 2 1的分布函数和密度函数f X (x)解：设 F Y (y)和f Y ( y)分别是随机变量 Y 的分布函数和概率密度 函数，则由 1 x 1得：1y 2,那么当 y 1时F Y (y) P{Y y} P{X 2 1 y}P( ) 0,当1 y 2时，得：2y10 (1 x)dx Y (y) P{Y y} P{ X 2 1 y} P{ y1 x y 1 y 1(1 |x|)dx y1y11y 1(1x)dx 2 y 1 (y1),当y 2时， F Y (y) P{Y y} P{ X 2 1y} 0dx0,y 11(1|x|)dx 1 0dx 1,所以， F Y (y)2y1(y 1),1 y 2,1, y 211,1 y 2f X (x) F Y (y)'y10,其他10 、设随机 变量 2X~N( , 2 ),Y= aX b 也服从正态分布.即Y aX b ~ N(a b,(a )2) 。
11、联合概率分布 (1) 离散型联合分布： P ij 10,其他求 f(x), f(y),E(X),E(Y),cov( X,Y)， XY ， D(X+Y).或 x>2 时，由 f X (x)0dy 0dy 0 ，所以，1/8x 2 1/ 4x,0 x 2 0,其他例：设随机变量( X ， Y )的密度函数 f(x, y) 18(x y),08 x 2,0 y 2解：①当 0≤x≤2 时由 f X (x)xx [1/8(xy)dy ，得： f X (x)21/8x 2 1/4x ，当 x<02② E(X)= xf X(x)dx 7/6 ,由对称性同理可求得， E(Y)=7/6 。
22③因为 E(XY)= xyf(x,y)dxdy002所以， cov( X,Y )= E(XY)- E(X) E(Y)=4/3-(7/6) 2=-1/36 。
⑤D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=X的条件分布函数边缘分布概率为F X (x)、F Y(y)，若对于任意 x、y 有：P{X x,Y y} P{X x}P{Y y}，即：F(x,y) F X(x)F Y(y)，则称 X和 Y独立。
14、连续型随机变量的条件密度函数：设二维连续型随机变量 ( X,Y )的概率密度为f(x,y), 边缘概率密度函数为f X ( x)、 f Y ( y) ，则对于一切使f X(x)>0 的 x,定义在 X=x 的条件下 Y 的条件密度函数为：f Y|X(y|x) f(x,y)，同理得到定义在 Y=y 条件下 X 的条件概率密f X (x)度函数为：X|Y(x|y) f(x,y)，若f (x, y) = f X (x) f Y (y)几乎处处成立，则称 X,Y 相互f Y(y) 独立。
例：设二维随机变量(X，Y)的概率密度函数为f (x, y) ce(2x y),x 0, y 00, 其它，求( 1)确定常数 c；(2)X,Y 的边缘概率密同理可求得 : f Y(y)21/8y 21/ 4y,0 y 20，其他221/8xy(x y)dxdy 4/3.00④ D(X) E(X 2) [E(X)]2 2 220 0 x2f(x，y)dxdy (76)21136同理得D(Y)= , 所以，36 XY =cov(X,Y)D(X)D(Y)11112、条件分布：F(x| A) P{ X x| A} P{X P{A x},A},称F(x|A)为在A发生条件下，13、随机变量的独立性：由条件分布设A={Y ≤y}, 且 P{Y ≤ y}>0, 则：F(x|Y y} P{X x,Y y}P{Y y} F F(Y x(,y y))，设随机变量(X,Y )的联合分布概率为 F(x,y)，其中： X X 1 X 2Xi度函数；( 3)联合分布函数 F(x,y);(4)P{Y ≤X}; (5)条件概率密度函数 f X |Y ( x | y ) ；(6) P{X<2|Y<1}变量都有数学期望。