(优选)高等数学多元复合函数的求导法则ppt讲解

例 设 z eu sin v , u x2 y2, v x y,
求 z , z . x y
zu v
x
y
解
z z u z v y u y v y
eu sin v 2x2 y eu cos v (1)
ex2y2 ( 2x2 y sin(x y) cos(x y) )
例 设 z f (x2 y2 , exy ) , 求 z 。
,
二、全微分形式不变性
设函数z f (u,v)具有连续偏导数，则有全微分
dz z du z dv ;当u ( x, y)、v ( x, y)
u v 时，有dz z dx z dy .
x y
全微分形式不变性的实质：
无论 z是自变量u、v的函数或中间变量u、v
的函数，它的全微分形式是一样的.
w , f1 , f2
解: 令 u x y z , v xyz , 则
uv
w f (u, v)
w x
f2 yz
x y zx y z
y z f2 (x y z, xyz)
2w xz
f12 xy
f22 x y
为简便 起f11见
,y引(x入 z记) f号12
f1xy
2zf u
f,22f12yf2u2fv
z z u z v o ( )
u v
z f (u,v)
z
uv tt
z z u z v o( ) ( (u)2 (v)2 )
t u t v t t
则有u 0, v 0,
z
u du , v dv t dt t dt
uv
o( )
tt
(△t＜0 时,根式前加“–”号)
x2
y2
z2
2ze
x2
y2
z
2
2
x
sin
y
u
2 x (1 2 x2 sin2 y) ex2 y2 x4 sin 2 y
xyz
u y
f y
f z
z y
2ye x2 y2 z2 2ze x2 y2 z2 x2 cos y
2 ( y x4 sin y cos y ) ex2 y2 x4 sin 2 y
当它们都具有可微条件时, 有
z f
z x
f x
z
y
f1 f21 f2 2
xv xy
注意: 这里 z 与 f 不同, x x
z 表示固定 y 对 x 求导, f 表示固定 v 对 x 求导
x
x
口诀 : 分线相加,连线相乘
例
设 z xsin x , 求 d z .
dx
解 令 z x y , y sin x , 则
（优选）高等数学多元复合函 数的求导法则ppt讲解
那么为什么还要介绍多元复合函数的微分呢？
这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数
如 z f ( x2 y2, xy) 它是由 z f (u,v) 及u x2 y2,v xy 复合而成的 由于 f 没有具体给出， 在求 z , z 时
x y
dz z dx z dy x y
z u
u x
z v
v x
dx
z u u y
z v dy v y
z u dx u dy z v dx v dy u x y v x y
z du z dv.
et (cost sin t) cost.
例 设 z eu sin v , u x2 y2, v x y,
求 z , z . x y
zu v
x
y
解
z z u z v x u x v x
eu sin v 2xy2 eu cosv 1
ex2y2 ( 2xy2 sin(x y) cos(x y) )
一元复合函数的微分法则就无能为力了，为此要 引入多元复合函数的微分法来解决这一问题。
一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数 处偏导连续, 则复合函数
在点 t 可导, 且有链式法则
d z z d u z dv d t u d t v d t
证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量 有增量△u ,△v ,
xy
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例 设z uv sin t ，而u et ，v cos t ， 求全导数dz . dt
解 dz z du z dv z dt u dt v dt t vet usin t cos t et cos t et sin t cos t
x
d z z z d y d x x y d x
z
x
y
yx y1 x y ln x cosx
xsin x sin x cos x ln x
x
例2. u f (x, y, z) ex2 y2 z2 , z x2sin y, 求 u , u x y
解: u f x x
2xe
z
uvw
f1 f2 f3
2) 中间变量是多元函数的情形.例如,
t tt
z f (u,v) , u (x, y), v (x, y)
z x
z u z v u x v x
f11
f21
ห้องสมุดไป่ตู้
z
uv
z z u z v y u y v y
f12 f2 2
x yx y
又如, z f (x,v), v (x, y)
d z z d u z dv d t u d t v d t
( 全导数公式 )
推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z f (u,v, w) ,
u (t), v (t), w (t)
dz z du z dv z dw d t u d t v dt w dt
x
1
解
z
2
x
自
z 己
y y 做
z x
f1
(
x2 x
y2
)
f 2
(e xy ) x
2x f1 yexy f2
z y
2
y
f1
x e xy
f2
例 设函数 z f (x,u, v), v (x, y,u) ,
u g(x, y) 均可微, 求 z , z .
x y
解
x
g
x
z f f g x x u x
z
u
y
x
v
y
f v
x
u
g x
x
u
g
y
例
设函数 z f (x,u, v), v (x, y,u) ,
u g(x, y) 均可微, 求 z , z .
x y
解
x
g
x
z f g y u y
z
u
y
x
v
y
f g
v y u y
x
u
g
y
例.设
f 具有二阶连续偏导数,
求 w, 2w . x xz