函数、方程与数学模型

x 50t
y
50
3 t 1 gt2 2
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（1-2）
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1.1.5 方程与函数
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一 点的坐标 x ， y 都是某个变数 t 的函数
x f (t)
y
g (t )
（1-3）
并且对于 t 的每一个允许值，由方程组(1-3)所确定的点 M (x, y) 都在这条曲线上，那么方程组（1-3）就称为这条
曲线的参数方程. 联系变数 x ， y 的变数 t 称为参数.
与隐函数的讨论类似，在一定条件下，参数方程中的参 数不管能否消去，都能确定 y与 x 间的函数关系 ，一般有
若参数方程组（1-3）确定 y 与 x 间的函数关系，则称
此函数关系所表达的函数为由参数方程组（1-3）所确定的
函数.
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例4 要建造一个容积为 10 m3 的无盖长方体水池，它的 底为正方形. 如池底的单位面积造价为侧面积造价的 3 倍，试求水池总造价与底面边长之间的函数关系式.
解 设底面边长为 x ，总造价为 y ，侧面单位面积造价
为 k . 由已知可得水池深为 10 x2
，侧面积为
4x g1x02
40 x
，从而可得水池总造价与底面边长之间的函数关系式为
1. 由方程 F(x,确y)定=0的函数──隐函数
一元函数： y f (x)
一定 不一定
二元方程： F(x, y) 0
可以表示为 y f (x) 形式的函数称为显函数.
方程 x2 y2 4 隐式地（隐藏在方程中）定义了函数 f (x) 与 g(x) ，函数 f (x) 与 g(x) 称为由方程 x2 y2 4 确定的隐函数.
y
r
(sin
cos
)
（ 是参数）
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1.1.5 方程与函数
例3 ［摆线］ 当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动
时，圆周上一个定点 M 的轨迹称为平摆线，简称摆线，又
称旋轮线（见图 1-20）. 求摆线的参数方程.
摆线的参数方程为
x y
r( sin) r(1 cos)
（
是参数）
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1.1.6 数学模型
1.1.6 数学模型
数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从 数学角度来反映或近似地反映实际问题时所得出的关于 实际问题的数学描述. 建立数学模型的全过程称为数学 建模（见图 1-24）.
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1.1.6 数学模型
建立函数关系式是解决实际问题时较简单的一类数学模型.
角形，容易知道
AOB
2π n
，所以内接正
n
边形面积
An
为
An
n S△AOB
n
1 2
| OA | g| OB | sin AOB
n R2 sin 2π
2
n
课堂练习
P16，习题1-1: 10,11
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1.1.6 数学模型
例6 ［GDP增长］ 国内生产总值（简称GDP）是指在 一定时期内（一个季度或一年），一个国家或地区的经济 中所生产出的全部最终产品和劳务的价值，常被公认为衡 量国家经济状况的最佳指标. 我国2004—2008年国内生产 总值（单位：万亿元）如表1-3所示.
1.1.5 方程与函数
例2 ［圆的渐开线］ 把一条没有弹性的细绳绕在一 个定圆上，拉开绳子的一端并拉直，使绳子与圆周始终 相切. 绳子端点的轨迹是一条曲线，这条曲线称为圆的 渐开线（见图 1-19），这个定圆称为渐开线的基圆.
由几何或向量的知识可得圆的渐开线的参数方程为
x r(cos sin)
测 2010 年国内生产总值约为 35.601 万亿元.
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1.1.6 数学模型
研究表明最佳的拟合直线是用“最小二乘法”（即最小化 各数据点到直线的垂直距离的平方和）的方法来得到的直 线──回归直线.
解法2（利用最常用的工具软件Excel求解）
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1.1.6 数学模型
类似地，如果散点图的形状近似某种曲线，通过“最小 二乘法”的方法可以求得最佳拟合的近似曲线，即回归曲线， 实现的方法和过程也称曲线回归.
例7 ［种群生长模型］ 表1-4是生物学家皮尔 （R. Pearl）于1927年所采集的酵母细胞（以生物量度 量）在营养物中随时间（以小时度量）增长的数据.
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1.1.6 数学模型
解（利用最常用的工具软件Excel求解）
图1-28 回归曲线
图1-29 酵母数量实际观测值与预测值的偏差
图1-29中菱形点曲线是实际中大量存在的S形曲线
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1.1.6 数学模型
科学家们研究发现这类曲线近似于以下函数：
y
1
k cerx
这类函数称为逻辑
斯谛模型，主要用 于描述动、植物的 自然生长过程，故
又称生长曲线. 本例 中酵母培养物增长的 模型被证明是逻辑斯谛函数
图1-30 酵母生成模型
y
1
665 73.8e0
.
5x
5
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y 3kx2 k 40 (0 x ) x
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1.1.6 数学模型
例5 设有半径为 R 的圆（见图 1-25），试建立圆内接 正 n 边形的面积 An 与边数 n（ n≥3 ）之间的函数关系式.
解 如果把内接正多边形各顶点与圆心连结，则得到 n 个
全等的等腰三角形，在图 1-25 中，△AOB 是其中一个三
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1.1.5 方程与函数
一般地，如果变量 x 与 y 满足一个方程 F(x, y) 0 ， 在一定条件下，当 x 取某区间内的任一值时，相应的总有 满足这个方程的唯一的 y 值存在，那么就说方程 F(x, y) 0 在该区间内确定了一个隐函数.
把一个隐函数化成显函数，称为隐函数的显化.
100 m/s 的初速度射出(不考虑空气阻力)，试求抛射体的运动
轨迹.
解 如 图 1-18 建 立 平 面 直 角 坐 标
系. 在时刻 t 时抛射物的位置点为 M (x, y) ，则 x 表示抛射物的水平位移
量， y 表示抛射物距地面的高度. 由 由两种不同的运动得到的，由物理知识可以把抛射运动看成 是做水平方向的匀速直线运动和竖直上抛运动的合成，即
1.1 函数、方程与数学模型
小结
了解方程与函数的关系 隐函数，参数方程的概念 渐开线、摆线的参数方程及实际应用 建立简单实际问题的函数关系式 数学模型的基本概念 由散点图用EXCEL软件求近似曲线（简单回归分析）
作业
P16，习题1-1: 8；9；12；14
2x y3 1 0
显化
y 3 1 2x
ex y xy 0
无法显化
y f (x)
在一定条件下，以方程表达的变量间的关系可以通 过函数关系进行处理研究，不管该方程所确定的隐函数 能否显化。
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1.1.5 方程与函数
2. 由参数方程确定的函数 例1 ［抛射运动］ 某物体以与水平正方向成 π 的夹角、 3
y kx b
取点 (2004,13.6515) 和点 (2007, 24.6619) ，代入上式 得 k 3.6701 ， b 7 341.3 因此所求的函数关系式为 y f (x) 3.6701x 7 341.3 （2）由于 f (2006) 20.920 6 ， | 20.920 6 20.940 7 | 0.0201 说明 2006 年与实际误差小；而 f (2008) 28.260 8 | 28.260 8 30.067 | 1.806 2 ，说明 2008 年与实际误差大. （3）因为 f (2010) 3.6701 2010 7 341.3 35.601 ，则预
（1）画出函数图形猜想它们之间的函数关系，近似地写出 一个函数关系式；
（2）利用得出的关系式求2006年、2008年的生产总值，与 表中实际生产总值比较；
（3）利用关系式预侧2010年我国的国内生产总值.
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1.1.6 数学模型
解法1 （1）根据表中的数据描点画出图形（见图1-26） （这个图形称为散点图） 设所求的函数关系式为
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1.1 函数、方程与数学模型
1.1 函数、方程与数学模型
➢ 1.1.1 函数的概念 ➢ 1.1.2 函数的几种特性 ➢ 1.1.3 反函数与反三角函数 ➢ 1.1.4 初等函数 ➢ 1.1.5 方程与函数 ➢ 1.1.6 数学模型
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1.1.5 方程与函数
1.1.5 方程与函数