完整版10.函数的极值含参问题.ppt

题型三.分类讨论思想在含参数的函数极值中的应用
若a≠0，试求函数f(x)＝－
2 3
ax3－x2＋a2x2＋2ax
的单调区间与极值．
[解析] ∵f(x)＝－23ax3－x2＋a2x2＋2ax， ∴f ′(x)＝－2ax2－2x＋2a2x＋2a ＝－2(ax2＋x－a2x－a) ＝－2(x－a)(ax＋1)． 令f ′(x)＝0，可得x＝－1a或x＝a. 若a>0，当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：
第一章 1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.2 函数的极值与导数
1.当函数f(x)在点x0处连续时，判断f(x0)是否为极大(小)值 的方法是：
(1)如果在x0附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0，那么f(x0)是 极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0，那么f(x0)是 极小值；
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以 利用待定系数法求解后必须验证充分性．
例3.若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a、b 的值依次为________．
[答案] 4 －11
[解析] f ′(x)＝3x2＋2ax＋b.依题意，得
f1＝10，
f
′1＝0，
为4、－11.
注意极大值点与极小值点的区别 跟踪训练： 已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值 0，求常数a、b的值．
[正解] (在上述解法之后继续)当a＝1，b＝3时，f ′(x)＝ 3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去； 当a＝2，b＝9时，f ′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)． 当x∈[－3，－1]时，f(x)为减函数； 当x∈[－1，＋∞)时，f(x)为增函数， 所以f(x)在x＝－1时取得极小值．因此a＝2，b＝9.
即
a2＋a＋b＝9， 2a＋b＝－3，
解得
a＝4， b＝－11
或
a＝－3， b＝3.
但由于当a＝－3，b＝3时，f ′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－
1)2≥0，故f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，
所以ab＝＝－3 3， 不符合题意，应舍去；
而当
a＝4， b＝－11
时，经检验知符合题意，故a、b的值分别
x
(－∞，－1a) －1a
f ′(x)
－
0
(－1a，a) ＋
a (a，＋∞)
0
－
Hale Waihona Puke Baidu
f(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
所以f(x)在区间(－∞，－
1 a
)，(a，＋∞)内为减函数，在区
间(－
1 a
，a)内为增函数．函数f(x)在x＝－
1 a
处取得极小值f(－
1 a
)
＝－1－31a2，在x＝a处取得极大值f(a)＝a2＋13a4.
跟踪训练：
已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0. (1)求f(x)的单调区间； (2)若f(x)在x＝－1处取得极大值，直线y＝m与y＝f(x)的图 象有三个不同的交点，求m的取值范围．
[解析] (1)f ′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)， 当a<0时，对x∈R，有f ′(x)>0， ∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)． 当a>0时，由f ′(x)>0解得x<－ a或x> a； 由f ′(x)<0解得－ a<x< a， ∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－ a )，( a ，＋ ∞)；f(x)的单调减区间为(－ a， a)．
(3)如果f ′(x)在点x0的左右两侧符号不变，则f(x0)不是函数 f(x)的极值．
2.求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求方程f’(x)=0的根 （3）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开 区间，并列成表格 （4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这 个根处取极值的情况
[解析] f ′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)． 由题意，f ′(x)＝0应有根x＝±1，故5a＝3b， 于是f ′(x)＝5ax2(x2－1)
(1)当a＞0时，x变化时，y、y′的变化情况如下表：
(－∞，
x
－1 (－1,0) 0 (0,1)
1 (1，＋∞)
－1)
y′ ＋
0
－
0
(4)极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定 义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能 大于另一点的极___大____值．(如图)
题型二.求参数的值或取值范围问题
已知 f(x)＝ax5－bx3＋c 在 x＝±1 处的极大值为 4， 极小值为 0，试确定 a、b、c 的值．
若f ’(x０)左正右负，则f(x０)为极大值； 若 f ’(x０)左负右正，则f(x０)为极小值
求导—求极点—列表—求极值
或 求导---解导函数不等式得单调区间---求极值
3．理解极值概念时需注意的几点 (1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左、 右两侧__附__近____的点而言的． (2)极值点是函数_定__义__域__内___的点，而函数定义域的端点绝 不是函数的极值点． (3)若f(x)在定义域[a，b]内有极值，那么f(x)在[a，b]内绝 不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数___没__有___极值．
若 a<0，当 x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，a) a
(a，－1a) －1a (－1a，＋∞)
f ′(x) ＋
0
－
0
＋
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以 f(x)在区间(－∞，a)，(－1a，＋∞)内为增函数，在区
间(a，－1a)内为减函数．函数 f(x)在 x＝a 处取得极大值 f(a)＝a2 ＋a34，在 x＝－1a处取得极小值 f(－1a)＝－1－31a2.
－
0
＋
y
极大值
无极值
极小值
由表可知：04＝＝ff1－＝1a＝－－b＋a＋c.b＋c， 又5a＝3b，解之得：a＝3，b＝5，c＝2. (2)当a＜0时，同理可得a＝－3，b＝－5，c＝2.
特别提醒： 已知函数极值，确定函数解析式中的参数 时，注意以下两点：
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利 用待定系数法求解．