中小学优质课件用向量法解决立体几何课件.ppt

uuur
r
|n|
(实质是 AP 在法向量 n 方向上的投影的绝对值)
A
P
h
O
r n
②异面直线 l1, l2 间的距离uuudr:uur
d AB | CDr n |
((实l1, 质l2 的是公Cuu垂Dur 在向公量垂为向nr ,量C、nr 方D 分向|上别n 的是| 投l1, 影l2 上的任绝一对点值)).
锐二面角的余弦值.
解：建立空直角坐系A - xyz如所示,
z
易AC知(D0，,0,(面10,)S,B1CA,(0-的),1S法,D1向,0)量(,0D,n(110,,121A),D0),S((00,,120,,10)),
S
B
C
2
2
uur
x
uur
uuAur uur
Duuur y
设平面
x y 2
yz
SCD的法向量n2 (x, y,
空间向量在立几运用
Ⅰ知识回顾 一、空间向量的运算及其坐标运算的掌握
是平面向量的推广, 有关运算方法几
乎一样,只是 “二维的”变成 “三维的”了.
二、立体几何问题的解决──向量是很好的工具
空间图形问题有: (一)平行与垂直的判断 (二)夹角、距离的计算
1
问题:如何求平面的法向量? r
⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的
r
r
坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
rr
组
n r
a r
0
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
2
(二)夹角与距离的计算
(1)பைடு நூலகம்角
rr
设直线 l, m 的方向向量分别为 a rr
uuuur BD1
|
| |
( , 2
AF1 • AF1 ||
,1) 2
BD1 | BD1 |
|
x
1 4 5
1 3
|
30 10
42
所以 BD与1 所AF成1 角的余弦值为
30 10
7
（ 4 ） 如 图 , ABCD 是 一 直 角 梯 形 , ABC 90o , SA 平 面
BCD , Sa AB BC =1, AD 1 ,求平面 SCD 与平面 SBA 所成的 2
AO2 CO2 AC2 , AOC 90o , 即 AO OC. Q BD I OC O, ∴ AO 平面 BCD ．
同方法一．
⑵解：以 O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则 B(1, 0, 0), D(1, 0, 0),
C(0,
3, 0), A(0, 0,1), E(1 ,
3
,
0),
角的度数是___6_0_o___.
5
题型二：线与线.线面角和面面角
例 2（3）三棱柱 ABC ─A1B1C1 中, BCA 90o , BC CA CC1 , E 、F 分别是棱 A1B1 、A1C1 的中点, 求 BD1 与 AF1 所成的角的余弦值.
F1 A1
A
C1 D1
C
（ 4 ） 如 图 , ABCD 是 一 直 角 梯
r uuur
nr
AD uuur
(x,
⑴求证： AO 平面 BCD；
⑵求异面直线 AB 与 CD 所成角余弦的大小； ⑶求点 E 到平面 ACD 的距离．
9
（ 5 ） ⑴ 证 明 ： 连 结 OC Q BO DO, AB AD, AO BD. Q BO DO, BC CD ，
CO BD ． 在 AOC 中 ， 由 已 知 可 得 AO 1,CO 3. 而 AC 2 ，
0 解得：n2 (1,2,1)
0
z), 由n2
cos
CD, n2
n1, n2
|
n1 n1
SD,
• n2 || n2 |
得：
6 3
,
2
点评：找到两两垂直点建系，正确写出坐标，二面角注意判断锐钝
8
题型三：求距离的问题
（5）四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点，
CA CB CD BD 2 , AB AD 2.
形, ABC 90o , SA 平面 BCD , SA AB BC =1,
S
AD 1 ,求平面 SCD 与平面 SBA 所成的 2
锐二面角的余弦值.
B AD
B1
B
C
6
例 1（3）三棱柱 ABC ─A1B1C1 中, BCA 90o , BC CA CC1 D1、F1
分别是棱 A1B1 、A1C1 的中点,求 BD1 与 AF1 所成的角的余弦值.
解：以点C为坐标原点建立空间
直角坐标系C x如yz图所示，
设 C1 C1 则 1
A(1,0,0), B(0,1,0),
11
所F1(以2 ：,0,1)1, D1
(
2
,
2
,1)
11
AA11
AA
z FF11C1
C1 D1 D1
C
C
BB11
BB y
AF1 ( 2 ,0,1) , BD1
|
cos
uuur AF1,
4
Ⅱ例题讲解
题型一.求法向量
uuur
uuur
例 1 （1）已知 AB (2, 2,1), AC (4, 5, 3), 求平面 ABC
的单位法向量. (1， 2，2）或 ( 1，2， 2）.
3 33
33 3
（ 2 ） 若 两 个 平 面 , 的 法 向 量 分 别 是
r
r
u (1, 0,1), v (1, 1, 0) ,则这两个平面所成的锐二面
的法向量分别为 u, v ，则
①两直线 l , m 所成的角为 (0≤ ≤
, b ，平面 ,
rr ab
),cos r r
；
2
ab r r
②直线 l 与平面
所成的角为
(0≤ ≤
), sin
au rr
；
2
au
rr uv
③二面角 ─l ─ 的大小为 (0≤ ≤ ), cos r r .
uv
3
(2)空间距离
点、直线、平面间的距离有七种.点到平面的距离是重点,
两异面直线间的距离是难点.
七种距离都是指它们所在的两个点集之间所r含两点的距离的最小值. ①点到平面的距离 h(:定理)如图，设 n 是平面 的法向量，
AP 是平面 的一条斜线，其中uuurAuur ，
则点 P 到平面 的距离 h | AuPur n | .
uuur BA
(1,
0,1),
uuur CD
(1,
3, 0).
uuur uuur cos BA,CD
uuur uuur BA CD uuur uuur
22 2 ,∴ 异面直线 AB 与 CD 所成角余弦的大小为
2．
BA CD 4
4
r
⑶解：设平面 ACD 的法向量为 n (x, y, z), 则