中小学优质课件用向量法解决立体几何课件.ppt
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空间向量与立体几何PPT课件
⑶∵已知点 A、B 、C 在平面 内且 AB a , AC b ,对于空间任意一点 O ∴点 P 在平面 上 是存在唯一有序实数对(x, y), 使 OP OA x AB y AC ③
（4）对于不共线的三点 A、B 、C 和平面 ABC 外的一点 O , 空间一点 P 满足关系式 OP xOA yOB zOC ,则点 P 在平 面 ABC 内的充要条件是 x y z 1 .
则 D(0,0,0),B
⑴ CD 0, 2，0
2,0,0
,PB
,C 2 2
0, 2,0 ,0, 2
2
,P ,
2 2
,0,
2 2
CD PB 0,CD PB,CD PB
⑵取平面 BDx,y,z)
PB
2021
6
4、两个向量的数量积
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
空间两个向量的数量积的性质
注：空间向量的数量积具有和平面202向1 量的数量积完全相同的性质7 .
(三)空间向量的理论
1.共线向量定理:对空间任意两个向量
a,b(b0),a//b的充要条件是存在实数 使
17
例 1.一副三角板 ABC 和 ABD 如图摆成直二面角， 若 BC＝a，求 AB 和 CD 的夹角的余弦值.
分析:用几何法求两异面直 线所成的角关键在于巧妙地利 用平行线构造角,且能通过解三 角形的知识求出该角的大小.
若在异面直线上选取两个非零向量 a 和 b ，借助向量的夹角 公式计算出这两个向量的夹角的大小就可得出两异面直线所
VD PBC
1 3
1 2
PB
PD
DC
1 3
1 2
（4）对于不共线的三点 A、B 、C 和平面 ABC 外的一点 O , 空间一点 P 满足关系式 OP xOA yOB zOC ,则点 P 在平 面 ABC 内的充要条件是 x y z 1 .
则 D(0,0,0),B
⑴ CD 0, 2，0
2,0,0
,PB
,C 2 2
0, 2,0 ,0, 2
2
,P ,
2 2
,0,
2 2
CD PB 0,CD PB,CD PB
⑵取平面 BDx,y,z)
PB
2021
6
4、两个向量的数量积
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
空间两个向量的数量积的性质
注：空间向量的数量积具有和平面202向1 量的数量积完全相同的性质7 .
(三)空间向量的理论
1.共线向量定理:对空间任意两个向量
a,b(b0),a//b的充要条件是存在实数 使
17
例 1.一副三角板 ABC 和 ABD 如图摆成直二面角， 若 BC＝a，求 AB 和 CD 的夹角的余弦值.
分析:用几何法求两异面直 线所成的角关键在于巧妙地利 用平行线构造角,且能通过解三 角形的知识求出该角的大小.
若在异面直线上选取两个非零向量 a 和 b ，借助向量的夹角 公式计算出这两个向量的夹角的大小就可得出两异面直线所
VD PBC
1 3
1 2
PB
PD
DC
1 3
1 2
立体几何中的向量方法PPT教学课件
CD中点，求证：D1F u平uur面AuuDurE uuuur 证明：设正方体棱长为1，以DA，DC,DD1为单位正交
基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则可得：
uuur DA
(1,
0,
uuur 0)，DE
(1,1,
,
1)
z
D1
C1
2 设平面ADE的一个法向量
A1
B1
为nr=r(x，uuuyr，z) r uuur 则由n DA 0，n DE 0得
（ x，y，z）g(2, 2,1) 0，
是惟一的。
（x，y，z）g(4,5,3) 0,
即24xx
r n
(
1
2y z 0 , 取z 5y 3z 0
, 1,1),
|
r n
|
3
1，得
x y
1 2 1
2
2
求平面ABC的单位法向量为
(1，- 2，2）
3 33
问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为n (x, y, z)
(2)找出（求出）平面内的两个不共线的
向量的坐标a (a1,b1,c1),b (a2,b2, c2 )平面的法向
(3)根据法向量的定义建立关于x,
y,
z的量不惟一， 合理取值即
方程组
r nnr
• •
r ar b
0 0
aa12
x x
b1 y b2 y
c1z c2z
0 0
可。
(4)解方程组，取其中的一 个解，即得法向量。
后果：这种复杂的关系，在封建主之
间“造成一团乱麻般的权利和义务”， 使封建主之间不断发生争夺和混战
查理曼帝国的分裂 公元843 年
空间向量在立体几何中的应用 ppt课件
解 建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A(0，0，0)，M(0，a2， 2a)，
C1(－ 23a，a2， 2a)，B(0，a，0)，
故A→MA→＝C1(＝0，(－a2，23a2，a)a2，， 2a)，
B→C1＝(－ 23a，－a2， 2a)．
15
设平面 AMC1 的法向量为 n＝(x，y，z)．
则A→C1·n＝0，∴－ 23ax＋a2y＋ 2az＝0，
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
4
2．空间中的角
角的分类
向量求法
设两异面直线所成的角为θ，它们的方
异面直线 所成的角
21
【变式3】 若 PA⊥平面 ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝ 2，
求二面角 A-PB-C 的余弦值． 解 如图所示建立空间直角坐标系，则
A(0，0，0)，B( 2，1，0)，
C(0，1，0)，P(0，0，1)，
故A→P＝(0，0，1)，A→B＝( 2，1，0)，
C→B＝( 2，0，0)，C→P＝(0，－1，1)，
17
题型三 二面角的求法
【例3】 (12分)如图所示，正三棱柱ABC－ A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中 点，求二面角AA1DB的余弦值．
18
[规范解答]如图所示，取BC中点O，连 结AO.因为△ABC是正三角形，所以 AO⊥BC，因为在正三棱柱ABC — A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所 以AO⊥平面BCC1B1. 取 B1C1 中点为 O1，以 O 为原点，O→B，O→O1，O→A为 x，y，z 轴的 正方向建立空间直角坐标系，则 B(1，0，0)，D(－1，1，0)，
则 A(0，0，0)，M(0，a2， 2a)，
C1(－ 23a，a2， 2a)，B(0，a，0)，
故A→MA→＝C1(＝0，(－a2，23a2，a)a2，， 2a)，
B→C1＝(－ 23a，－a2， 2a)．
15
设平面 AMC1 的法向量为 n＝(x，y，z)．
则A→C1·n＝0，∴－ 23ax＋a2y＋ 2az＝0，
是否会认为老师的教学方法需要改进？ • 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我
笨，没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
4
2．空间中的角
角的分类
向量求法
设两异面直线所成的角为θ，它们的方
异面直线 所成的角
21
【变式3】 若 PA⊥平面 ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝ 2，
求二面角 A-PB-C 的余弦值． 解 如图所示建立空间直角坐标系，则
A(0，0，0)，B( 2，1，0)，
C(0，1，0)，P(0，0，1)，
故A→P＝(0，0，1)，A→B＝( 2，1，0)，
C→B＝( 2，0，0)，C→P＝(0，－1，1)，
17
题型三 二面角的求法
【例3】 (12分)如图所示，正三棱柱ABC－ A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中 点，求二面角AA1DB的余弦值．
18
[规范解答]如图所示，取BC中点O，连 结AO.因为△ABC是正三角形，所以 AO⊥BC，因为在正三棱柱ABC — A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所 以AO⊥平面BCC1B1. 取 B1C1 中点为 O1，以 O 为原点，O→B，O→O1，O→A为 x，y，z 轴的 正方向建立空间直角坐标系，则 B(1，0，0)，D(－1，1，0)，
空间向量在立体几何中的应用PPT优秀课件
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＊对应演练＊
如图，四棱锥P—ABCD中， 底面ABCD为矩形，PD⊥ 底面ABCD，AD=PD， E,F分别为CD,PB的中点. (1)求证：EF⊥平面PAB;
【分析】可用空间向量的坐标运算来证明. 【证明】以A为原点，AB,AD,AP分别为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示. 设AB=a,PA=AD=1,
a 则P(0,0,1),C(a,1,0),E( ,0,0), 2 1 1 D(0,1,0),F(0, 2 , 2 ). 1 1 a (1)AF=(0, , ),EP=(- ,0,1), 2 2 2 a 1 1 EC=( ,1,0),∴AF= EP+ EC, 2 2 2 又AF⊂ 平面PEC,∴AF∥平面PEC.
空间向量在立体几何
考点一
考点二 考点三 考点四
考点五
1.平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的 做平面α的法向量.
方向向量a，则 向量a 叫
2.直线l的方向向量是u=(a1,b1,c1)，平面α的法向
a1a2+b1b2+c1c2=0 u· v=0 量v=(a2,b2,c2),则l∥α ⇔ . ⇔
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(2)PD=（0,1,-1）,CD=(-a,0,0), 1 1 ∴AF· PD=(0, , )· (0,1,-1)=0, 2 2 1 1 AF· CD=(0, , )· (-a,0,0)=0, 2 2 ∴AF⊥PD,AF⊥CD，又PD∩CD=D, ∴AF⊥平面PCD.
【评析】用向量证明线面平行时，最后应说明向量 所在的基线不在平面内.
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＊对应演练＊
如图,在正方体ABCD— A1B1C1D1中,E,F,M分别 为棱BB1,CD,AA1的中点. 证明：
立体几何中的向量方法PPT课件
第17页/共67页
(2)假设在棱 AA1 上存在一点 P(0,0，z0)， 使得 DP∥平面 B1AE.此时D→P＝(0，－1，z0)． 又设平面 B1AE 的法向量 n＝(x，y，z)． ∵n⊥平面 B1AE，∴n⊥A→B1，n⊥A→E，得aa2xx＋＋zy＝＝00，.
第18页/共67页
取 x＝1，得平面 B1AE 的一个法向量 n＝1，－a2，－a. 要使 DP∥平面 B1AE，只要 n⊥D→P，有a2－az0＝0，解得 z0＝12. 又 DP⊄平面 B1AE，∴存在点 P，满足 DP∥平面 B1AE， 此时 AP＝12.
第15页/共67页
• [审题视点] (1)证明两直线的方向向量数量积为零；(2)设存在点P(0,0，z0)，构建 z0的方程，若能求出z0的值，说明点P存在；(3)先求出两平面的法向量，利用二面角 的平面角的度数即可得到关于a的方程，从而可求出a的值．
第16页/共67页
[解] (1)以 A 为原点，A→B，A→D，A→A1的方向分别为 x 轴， y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如右图)．
第32页/共67页
求两异面直线所成的角，用向量法就是求两直线上的两方向向量的夹角，但需注 意二者范围的区别．同样地，利用向量法求二面角的大小，就是求两个半平面的 法向量的夹角(或夹角的补角)．在空间直角坐标系中，常采用待定系数法求平面 的法向量．
第33பைடு நூலகம்/共67页
[变式探究] [2013·济宁模拟]已知三棱锥 P－ABC 中， PA⊥平面 ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝12AB，N 为 AB 上一点， AB＝4AN，M，S 分别为 PB，BC 的中点．
第25页/共67页
• 例2 [2012·重庆高考]如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3， D为AB的中点．
(2)假设在棱 AA1 上存在一点 P(0,0，z0)， 使得 DP∥平面 B1AE.此时D→P＝(0，－1，z0)． 又设平面 B1AE 的法向量 n＝(x，y，z)． ∵n⊥平面 B1AE，∴n⊥A→B1，n⊥A→E，得aa2xx＋＋zy＝＝00，.
第18页/共67页
取 x＝1，得平面 B1AE 的一个法向量 n＝1，－a2，－a. 要使 DP∥平面 B1AE，只要 n⊥D→P，有a2－az0＝0，解得 z0＝12. 又 DP⊄平面 B1AE，∴存在点 P，满足 DP∥平面 B1AE， 此时 AP＝12.
第15页/共67页
• [审题视点] (1)证明两直线的方向向量数量积为零；(2)设存在点P(0,0，z0)，构建 z0的方程，若能求出z0的值，说明点P存在；(3)先求出两平面的法向量，利用二面角 的平面角的度数即可得到关于a的方程，从而可求出a的值．
第16页/共67页
[解] (1)以 A 为原点，A→B，A→D，A→A1的方向分别为 x 轴， y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如右图)．
第32页/共67页
求两异面直线所成的角，用向量法就是求两直线上的两方向向量的夹角，但需注 意二者范围的区别．同样地，利用向量法求二面角的大小，就是求两个半平面的 法向量的夹角(或夹角的补角)．在空间直角坐标系中，常采用待定系数法求平面 的法向量．
第33பைடு நூலகம்/共67页
[变式探究] [2013·济宁模拟]已知三棱锥 P－ABC 中， PA⊥平面 ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝12AB，N 为 AB 上一点， AB＝4AN，M，S 分别为 PB，BC 的中点．
第25页/共67页
• 例2 [2012·重庆高考]如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3， D为AB的中点．
用向量方法处理立体几何PPT课件
＝1（1 －1＋ 1 －2）＝－ 1
42 2
2
| PE | 1,| BF | 1
A
C
cos
PE, BF
|
PE PE
• BF || BF
|
1 2 3
2 3
4
E B
所以，所求异面直线所成的角为arccos 2 3
第28页/共46页
异面直线所成的角
例：在正方体ABCD A' B'C' D'
z
D'
中，M，N分别是AA'，BB'的中
C
B
A
AB' AB BB' b a
BC'• AB' (c a b) • (b a)
9.5 空间向量及其运算
• 空间向量及其线性运算 • 共线向量和共面向量 • 空间向量的分解定理 • 两个向量的数量积
第12页/共46页
空间向量及其线性运算
• 空间向量的概念、表示、相同或相等关系。 • 空间向量的加法、减法、数乘向量 • 加法交换律 • 加法结合律 • 数乘分配律
第13页/共46页
第22页/共46页
法向量例 题
例：已知 , AB, AD , AC ,
DAB 45, CAB 60,求AB与平面ACD
所成角的正弦 z
AD (0,1,1),
D
AC ( 3,1,0), AB (0,1,0),
n (1, 3, 3)
A
By
cos n, AB n • AB 3
n (x, y, z)
AB (4,6,1), AC (4,3,2)
4x 6y z 0 4x 3y 2z 0 x2 y2 z 2 1
3.2--立体几何中的向量方法(全)ppt课件
PB (1,1,1)
故PB DE 0 1
DE 1
(0,1 2
0
,1) 2
P
22 所以PB DE
F
E
由已知 EF PB,
且EF DE E,
所以PB 平面EFD A
X
D
C
Y
B
30
第30页，共70页。
例2. 四棱锥P - ABCD中, 底面ABCD是正方
形, PD 底面ABCD, PD DC ,点E是PC的中点,
A
证1 立体几何法
M
B
D
N C
MN就是异面直线AB与CD的公垂线， 故异面直线AB与CD的距离就是MN.
26
第26页，共70页。
例1 四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD
的中点分别是M、N,求证MN⊥AB, MN⊥CD.
证2 向量法
A
ＭＮ＝MA AD DN
M
1 AB AD 1 DC
⑴设平面的法向量为 n ( x, y,
r 习惯上取n
z);
(
x,
y,1)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的
坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
组
n
a
0
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
6
第6页，共70页。
z
作EF PB交PB于点F . 2 求证 : PB 平面EFD.
证2：立体几何法
P
PD 面ABCD
BC
面ABCD
PD PC
BC BC,
E
PD PC P
立体几何的向量解法PPT课件
例 1 、（ 1994 全国）已知 ABC―A1B1C1 是正三棱柱， D是AC的中点， 求证 AB1∥平面DBC1
A1 B1 C1
D A
l
C B
例 2 、（ 2004 天津）在四棱锥 P － ABCD 中底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。 （1 证明PA∥平面EDB P （2）证明PB⊥平面EFD （3）求二面角C－PB－D的大小。 F
我们把直线 和 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。 异面直线所成角的范围是 2．直线和平面所成角的定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个 平面所成的角；特别地，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°角。 。
专题
立几问题的向量解法
高考复习建议 传统的立几问题是用立几的公理和定理通过从“形”到“式” 的逻辑推理，解决线与线、线与面、面与面的位置关系以及几何体 的有关问题，常需作辅助线，但有时却不易作出，而空间向量解立 几问题则体现了“数”与“形”的结合，通过向量的代数计算解决 问题，无须添加辅助线。 用空间向量解立几问题，其基本思路是选择向量的基底或建立 空间直角坐标系，分析已知向量和需要求解向量的差异，运用向量 代数的运算或坐标运算，依据有关的定理或法则，从已知向求解转 化。用空间向量解决的立体几何问题主要有 ――平行或共面问题 ――垂直问题 ――空间角问题 ――空间距离问题
=（0，4，3），
又因为
=（3，0，2）；
A1 B1
z D1 C1 E
设DE与面A1B1C所成角为 ，则 Sin ∴ =|cos< =arcsin
《向量法解立体几何》课件
根据已知条件，确定各点的坐 标。
应用向量运算法则
利用向量的加、减、数乘、数 量积、向积等运算法则进行计 算。
建立空间直角坐标系
根据题意，选择合适的点作为 原点，确定x、y、z轴的方向 。
确定向量的坐标
根据点的坐标，计算相关向量 的坐标。
求解问题
根据具体问题类型，利用向量 法得出结论或求解未知数。
空间几何问题的实例解析
建立向量关系式
根据向量的运算规则，建立向量之间的关系式。
解方程组
通过解方程组，得到向量的坐标。
验证解的正确性
验证解是否符合题目的实际情况。
立体几何问题的实例解析
点线面位置关系的判断
利用向量法判断点、线、面之间的位置关系 ，如平行、垂直、相交等。
角度的计算
利用向量法计算线与线之间、面与面之间、 线与面之间的角度。
03
向量法解决空间几何问题
空间几何问题的分类
点线面位置关系问题：确定点、线、面之间的位 置关系，如平行、垂直、相交等。
角度和距离计算问题：计算两条线之间的夹角、 点到平面的距离、两平面之间的夹角等。
空间几何体的表面积和体积问题：计算给定几何 体的表面积和体积。
空间几何问题的解决步骤
确定点的坐标
适用范围
向量法适用于任何有方向的几何问题 ，特别是与方向和角度有关的问题， 而坐标法则更适用于有固定坐标系的 问题。
向量法与三角法的比较
角度与长度
向量法可以同时处理角度和长度问题，而三角法则主要关注角度问题。
运算方式
向量法在处理几何问题时，注重向量的线性运算，而三角法则涉及更多的三角函数运算。
向量法的优缺点分析
向量的数量积
两个向量的数量积是一个标量，记作$overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b}$，计算公式为$|overset{longrightarrow}{a}| cdot
应用向量运算法则
利用向量的加、减、数乘、数 量积、向积等运算法则进行计 算。
建立空间直角坐标系
根据题意，选择合适的点作为 原点，确定x、y、z轴的方向 。
确定向量的坐标
根据点的坐标，计算相关向量 的坐标。
求解问题
根据具体问题类型，利用向量 法得出结论或求解未知数。
空间几何问题的实例解析
建立向量关系式
根据向量的运算规则，建立向量之间的关系式。
解方程组
通过解方程组，得到向量的坐标。
验证解的正确性
验证解是否符合题目的实际情况。
立体几何问题的实例解析
点线面位置关系的判断
利用向量法判断点、线、面之间的位置关系 ，如平行、垂直、相交等。
角度的计算
利用向量法计算线与线之间、面与面之间、 线与面之间的角度。
03
向量法解决空间几何问题
空间几何问题的分类
点线面位置关系问题：确定点、线、面之间的位 置关系，如平行、垂直、相交等。
角度和距离计算问题：计算两条线之间的夹角、 点到平面的距离、两平面之间的夹角等。
空间几何体的表面积和体积问题：计算给定几何 体的表面积和体积。
空间几何问题的解决步骤
确定点的坐标
适用范围
向量法适用于任何有方向的几何问题 ，特别是与方向和角度有关的问题， 而坐标法则更适用于有固定坐标系的 问题。
向量法与三角法的比较
角度与长度
向量法可以同时处理角度和长度问题，而三角法则主要关注角度问题。
运算方式
向量法在处理几何问题时，注重向量的线性运算，而三角法则涉及更多的三角函数运算。
向量法的优缺点分析
向量的数量积
两个向量的数量积是一个标量，记作$overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b}$，计算公式为$|overset{longrightarrow}{a}| cdot
用向量法解立体几何复习PPT教学课件
野生生物的灭绝或严重减少将导致生态系统稳 定性的破坏，甚至造成生态灾难。
多种多样的生物共 同维持生态系统的 结构与功能
潜在使用价值
潜在使用价值指目前尚未被人发 现的使用价值。目前绝大多数野生 生物的使用价值都未被人充分发掘 出来。如果一种生物灭绝了，它的 任何使用价值都将永远找无法得到 了。
如广泛分布于广东各地山林中的三叉 苦，过去一直被人们砍来作柴烧，使用价 值很低。80年代科学家以它为主要原料生 产出三九胃泰及999感冒灵等药品，使得三 叉苦的身价一下子上升了几百倍。
式各样的生态系统为各种生物提供
了必要的生存环境。
我 国
１、物种丰富。我国是世界上野生生物 物种最丰富的国家之一。
生
２、特有和古老的物种多。许多稀有古 老的物种都能在我国找到。
物
多
３、经济物种丰富。我国有许多具有很 高经济价值的野生生物，有几十种
样
农作物及家养动物起源于我国。
性 ４、生态系统多样。海洋、沼泽、江
用向量法解立体几何复习课
一、立体几何的主要题型：
夹角：
（1）线线的夹角（如01天津卷、洛阳卷、南京卷、 汕头一模、调研）
（2）线面的夹角（如天津卷、04二模） （3）面面的夹角（如01天津卷（甲）（乙）、南京
二模、长春卷、三校联考）
距离：
（4）两点间的距离（即线段的长度）（如02天津卷、 汕头一模）
例1： COS AB,CD结论 1的表，述则：直线AB，CD的夹角
为： arc c os1
3
3
例2：cos AB, n
1 3
，其中
n 为平面 的法向
量，则直线AB与平面 的夹角为：
1
arcsin
多种多样的生物共 同维持生态系统的 结构与功能
潜在使用价值
潜在使用价值指目前尚未被人发 现的使用价值。目前绝大多数野生 生物的使用价值都未被人充分发掘 出来。如果一种生物灭绝了，它的 任何使用价值都将永远找无法得到 了。
如广泛分布于广东各地山林中的三叉 苦，过去一直被人们砍来作柴烧，使用价 值很低。80年代科学家以它为主要原料生 产出三九胃泰及999感冒灵等药品，使得三 叉苦的身价一下子上升了几百倍。
式各样的生态系统为各种生物提供
了必要的生存环境。
我 国
１、物种丰富。我国是世界上野生生物 物种最丰富的国家之一。
生
２、特有和古老的物种多。许多稀有古 老的物种都能在我国找到。
物
多
３、经济物种丰富。我国有许多具有很 高经济价值的野生生物，有几十种
样
农作物及家养动物起源于我国。
性 ４、生态系统多样。海洋、沼泽、江
用向量法解立体几何复习课
一、立体几何的主要题型：
夹角：
（1）线线的夹角（如01天津卷、洛阳卷、南京卷、 汕头一模、调研）
（2）线面的夹角（如天津卷、04二模） （3）面面的夹角（如01天津卷（甲）（乙）、南京
二模、长春卷、三校联考）
距离：
（4）两点间的距离（即线段的长度）（如02天津卷、 汕头一模）
例1： COS AB,CD结论 1的表，述则：直线AB，CD的夹角
为： arc c os1
3
3
例2：cos AB, n
1 3
，其中
n 为平面 的法向
量，则直线AB与平面 的夹角为：
1
arcsin
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的法向量分别为 u, v ，则
①两直线 l , m 所成的角为 (0≤ ≤
, b ，平面 ,
rr ab
),cos r r
；
2
ab r r
②直线 l 与平面
所成的角为
(0≤ ≤
), sin
au rr
；
2
au
rr uv
③二面角 ─l ─ 的大小为 (0≤ ≤ ), cos r r .
uv
3
(2)空间距离
0 解得：n2 (1,2,1)
0
z), 由n2
cos
CD, n2
n1, n2
|
n1 n1
SD,
• n2 || n2 |
得：
6 3
,
2
点评：找到两两垂直点建系，正确写出坐标，二面角注意判断锐钝
8
题型三：求距离的问题
（5）四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点，
CA CB CD BD 2 , AB AD 2.
uuuur BD1
|
| |
( , 2
AF1 • AF1 ||
,1) 2
BD1 | BD1 |
|
x
1 4 5
1 3
|
30 10
42
所以 BD与1 所AF成1 角的余弦值为
30 10
7
（ 4 ） 如 图 , ABCD 是 一 直 角 梯 形 , ABC 90o , SA 平 面
BCD , Sa AB BC =1, AD 1 ,求平面 SCD 与平面 SBA 所成的 2
解：以点C为坐标原点建立空间
直角坐标系C x如yz图所示，
设 C1 C1 则 1
A(1,0,0), B(0,1,0),
11
所F1(以2 ：,0,1)1, D1
(
2
,
2
,1)
11
AA11
AA
z FF11C1
C1 D1 D1
C
C
BB11
BB y
AF1 ( 2 ,0,1) , BD1
|
cos
uuur AF1,
uuur
r
|n|
(实质是 AP 在法向量 n 方向上的投影的绝对值)
A
P
h
O
r n
②异面直线 l1, l2 间的距离uuudr:uur
d AB | CDr n |
((实l1, 质l2 的是公Cuu垂Dur 在向公量垂为向nr ,量C、nr 方D 分向|上别n 的是| 投l1, 影l2 上的任绝一对点值)).
AO2 CO2 AC2 , AOC 90o , 即 AO OC. Q BD I OC O, ∴ AO 平面 BCD ．
同方法一．
⑵解：以 O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则 B(1, 0, 0), D(1, 0, 0),
C(0,
3, 0), A(0, 0,1), E(1 ,
3
,
0),
形, ABC 90o , SA 平面 BCD , SA AB BC =1,
S
AD 1 ,求平面 SCD 与平面 SBA 所成的 2
锐二面角的余弦值.
B AD
B1
B
C
6
例 1（3）三棱柱 ABC ─A1B1C1 中, BCA 90o , BC CA CC1 D1、F1
分别是棱 A1B1 、A1C1 的中点,求 BD1 与 AF1 所成的角的余弦值.
r uuur
nr
AD uuur
(x,
⑴求证： AO 平面 BCD；
⑵求异面直线 AB 与 CD 所成角余弦的大小； ⑶求点 E 到平面 ACD 的距离．
9
（ 5 ） ⑴ 证 明 ： 连 结 OC Q BO DO, AB AD, AO BD. Q BO DO, BC CD ，
CO BD ． 在 AOC 中 ， 由 已 知 可 得 AO 1,CO 3. 而 AC 2 ，
4
Ⅱ例题讲解
题型一.求法向量
uuur
uuur
例 1 （1）已知 AB (2, 2,1), AC (4, 5, 3), 求平面 ABC
的单位法向量. (1， 2，2）或 ( 1，2， 2）.
3 33
33 3
（ 2 ） 若 两 个 平 面 , 的 法 向 量 分 别 是
r
r
u (1, 0,1), v (1, 1, 0) ,则这两个平面所成的锐二面
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的
r
r
坐标 a (a1,bΒιβλιοθήκη ,c1),b (a2,b2,c2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
rr
组
n r
a r
0
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
2
(二)夹角与距离的计算
(1)夹角
rr
设直线 l, m 的方向向量分别为 a rr
点、直线、平面间的距离有七种.点到平面的距离是重点,
两异面直线间的距离是难点.
七种距离都是指它们所在的两个点集之间所r含两点的距离的最小值. ①点到平面的距离 h(:定理)如图，设 n 是平面 的法向量，
AP 是平面 的一条斜线，其中uuurAuur ，
则点 P 到平面 的距离 h | AuPur n | .
空间向量在立几运用
Ⅰ知识回顾 一、空间向量的运算及其坐标运算的掌握
是平面向量的推广, 有关运算方法几
乎一样,只是 “二维的”变成 “三维的”了.
二、立体几何问题的解决──向量是很好的工具
空间图形问题有: (一)平行与垂直的判断 (二)夹角、距离的计算
1
问题:如何求平面的法向量? r
⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z)
uuur BA
(1,
0,1),
uuur CD
(1,
3, 0).
uuur uuur cos BA,CD
uuur uuur BA CD uuur uuur
22 2 ,∴ 异面直线 AB 与 CD 所成角余弦的大小为
2．
BA CD 4
4
r
⑶解：设平面 ACD 的法向量为 n (x, y, z), 则
锐二面角的余弦值.
解：建立空直角坐系A - xyz如所示,
z
易AC知(D0，,0,(面10,)S,B1CA,(0-的),1S法,D1向,0)量(,0D,n(110,,121A),D0),S((00,,120,,10)),
S
B
C
2
2
uur
x
uur
uuAur uur
Duuur y
设平面
x y 2
yz
SCD的法向量n2 (x, y,
角的度数是___6_0_o___.
5
题型二：线与线.线面角和面面角
例 2（3）三棱柱 ABC ─A1B1C1 中, BCA 90o , BC CA CC1 , E 、F 分别是棱 A1B1 、A1C1 的中点, 求 BD1 与 AF1 所成的角的余弦值.
F1 A1
A
C1 D1
C
（ 4 ） 如 图 , ABCD 是 一 直 角 梯
①两直线 l , m 所成的角为 (0≤ ≤
, b ，平面 ,
rr ab
),cos r r
；
2
ab r r
②直线 l 与平面
所成的角为
(0≤ ≤
), sin
au rr
；
2
au
rr uv
③二面角 ─l ─ 的大小为 (0≤ ≤ ), cos r r .
uv
3
(2)空间距离
0 解得：n2 (1,2,1)
0
z), 由n2
cos
CD, n2
n1, n2
|
n1 n1
SD,
• n2 || n2 |
得：
6 3
,
2
点评：找到两两垂直点建系，正确写出坐标，二面角注意判断锐钝
8
题型三：求距离的问题
（5）四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点，
CA CB CD BD 2 , AB AD 2.
uuuur BD1
|
| |
( , 2
AF1 • AF1 ||
,1) 2
BD1 | BD1 |
|
x
1 4 5
1 3
|
30 10
42
所以 BD与1 所AF成1 角的余弦值为
30 10
7
（ 4 ） 如 图 , ABCD 是 一 直 角 梯 形 , ABC 90o , SA 平 面
BCD , Sa AB BC =1, AD 1 ,求平面 SCD 与平面 SBA 所成的 2
解：以点C为坐标原点建立空间
直角坐标系C x如yz图所示，
设 C1 C1 则 1
A(1,0,0), B(0,1,0),
11
所F1(以2 ：,0,1)1, D1
(
2
,
2
,1)
11
AA11
AA
z FF11C1
C1 D1 D1
C
C
BB11
BB y
AF1 ( 2 ,0,1) , BD1
|
cos
uuur AF1,
uuur
r
|n|
(实质是 AP 在法向量 n 方向上的投影的绝对值)
A
P
h
O
r n
②异面直线 l1, l2 间的距离uuudr:uur
d AB | CDr n |
((实l1, 质l2 的是公Cuu垂Dur 在向公量垂为向nr ,量C、nr 方D 分向|上别n 的是| 投l1, 影l2 上的任绝一对点值)).
AO2 CO2 AC2 , AOC 90o , 即 AO OC. Q BD I OC O, ∴ AO 平面 BCD ．
同方法一．
⑵解：以 O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则 B(1, 0, 0), D(1, 0, 0),
C(0,
3, 0), A(0, 0,1), E(1 ,
3
,
0),
形, ABC 90o , SA 平面 BCD , SA AB BC =1,
S
AD 1 ,求平面 SCD 与平面 SBA 所成的 2
锐二面角的余弦值.
B AD
B1
B
C
6
例 1（3）三棱柱 ABC ─A1B1C1 中, BCA 90o , BC CA CC1 D1、F1
分别是棱 A1B1 、A1C1 的中点,求 BD1 与 AF1 所成的角的余弦值.
r uuur
nr
AD uuur
(x,
⑴求证： AO 平面 BCD；
⑵求异面直线 AB 与 CD 所成角余弦的大小； ⑶求点 E 到平面 ACD 的距离．
9
（ 5 ） ⑴ 证 明 ： 连 结 OC Q BO DO, AB AD, AO BD. Q BO DO, BC CD ，
CO BD ． 在 AOC 中 ， 由 已 知 可 得 AO 1,CO 3. 而 AC 2 ，
4
Ⅱ例题讲解
题型一.求法向量
uuur
uuur
例 1 （1）已知 AB (2, 2,1), AC (4, 5, 3), 求平面 ABC
的单位法向量. (1， 2，2）或 ( 1，2， 2）.
3 33
33 3
（ 2 ） 若 两 个 平 面 , 的 法 向 量 分 别 是
r
r
u (1, 0,1), v (1, 1, 0) ,则这两个平面所成的锐二面
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的
r
r
坐标 a (a1,bΒιβλιοθήκη ,c1),b (a2,b2,c2 )
⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
rr
组
n r
a r
0
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
2
(二)夹角与距离的计算
(1)夹角
rr
设直线 l, m 的方向向量分别为 a rr
点、直线、平面间的距离有七种.点到平面的距离是重点,
两异面直线间的距离是难点.
七种距离都是指它们所在的两个点集之间所r含两点的距离的最小值. ①点到平面的距离 h(:定理)如图，设 n 是平面 的法向量，
AP 是平面 的一条斜线，其中uuurAuur ，
则点 P 到平面 的距离 h | AuPur n | .
空间向量在立几运用
Ⅰ知识回顾 一、空间向量的运算及其坐标运算的掌握
是平面向量的推广, 有关运算方法几
乎一样,只是 “二维的”变成 “三维的”了.
二、立体几何问题的解决──向量是很好的工具
空间图形问题有: (一)平行与垂直的判断 (二)夹角、距离的计算
1
问题:如何求平面的法向量? r
⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z)
uuur BA
(1,
0,1),
uuur CD
(1,
3, 0).
uuur uuur cos BA,CD
uuur uuur BA CD uuur uuur
22 2 ,∴ 异面直线 AB 与 CD 所成角余弦的大小为
2．
BA CD 4
4
r
⑶解：设平面 ACD 的法向量为 n (x, y, z), 则
锐二面角的余弦值.
解：建立空直角坐系A - xyz如所示,
z
易AC知(D0，,0,(面10,)S,B1CA,(0-的),1S法,D1向,0)量(,0D,n(110,,121A),D0),S((00,,120,,10)),
S
B
C
2
2
uur
x
uur
uuAur uur
Duuur y
设平面
x y 2
yz
SCD的法向量n2 (x, y,
角的度数是___6_0_o___.
5
题型二：线与线.线面角和面面角
例 2（3）三棱柱 ABC ─A1B1C1 中, BCA 90o , BC CA CC1 , E 、F 分别是棱 A1B1 、A1C1 的中点, 求 BD1 与 AF1 所成的角的余弦值.
F1 A1
A
C1 D1
C
（ 4 ） 如 图 , ABCD 是 一 直 角 梯