考研数学极限七种运算方法及适用情况
求函数极限的方法总结
求函数极限的方法总结考研高数求极限是考研数学的重要考点，下面将各种求函数极限的方法总结，欢迎阅读参考！求函数极限的方法总结：1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须*拆分后极限依然存在,e的x次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于ax等等。
全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。
2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。
首先他的使用有严格的使用前提!必须是x趋近而不是n趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。
洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。
对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，lnx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，lnx趋近于0)。
3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)e的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。
4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母看上去复杂,处理很简单!5、无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。
面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了!6、夹逼定理(主要对付的是数列极限!)这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。
考研：求数列极限的十五种解法
求数列极限的十五种方法1.定义法；-N 定义：设｛a .｝为数列，a 为定数，若对任给的正数；，总存在正数 N ，使得当n . N 时,有a . -a | .；：「，则称数列｛a .｝收敛于a ；记作：l im a^a ，否则称｛a .｝为发散数列.例1 •求证： 1nim：a —1，其中a 0.证：当a =1时，结论显然成立.III当 a >1 时，记 a =a n_1，则 a >0 ,由 a =n+a $ K 1 +n a =1 + n(c^ _1)，得_1 兰王，v‘ n彳 1 1 1任给E >0，则当n >口 =N 时，就有—1 ，即a 下一1 c 呂，即lim=1 .1综上， lim a n =1，其中 a >0 .例2 .求： 7nlim—.M^n!解： 变式： 7n_7 77 7 77 7 .7 7 771 .. n7--0 7丄丄n! 1 27 8 9 n —1 n 7! n 6! nn! 6! n2•利用柯西收敛准则由柯西收敛准则，数列 ｛x,｝收敛.1丄当—时，令b 蔦，则b 1，由上易知：”呻1lim a nn丄-11 —1lim b 下n ::0，N 丄6!则当n . N 时, •••lim 7=0.f n!柯西收敛准则：数列｛a n ｝收敛的充要条件是: 一；・0 , T 正整数N ，使得当n 、m • N 时，总有：|a n -a m I ■:"'成立.例3 •证明：数列x n 八§n当（n 才，2, 3,）为收敛数列. k 2±2证：X n -X m =sin(m 勺)-2m +当n • m • N 时，有有二丄「；6! n例4 .（有界变差数列收敛定理 ）若数列｛x ｝满足条件:（n =1, 2,），则称｛人｝为有界变差数列，试证：有界变差数列一定收敛.=0, y n 二 X n —X nJ —%1—X n 』"| X ? - X ’那么｛y n ｝单调递增，由已知可知： ｛y n ｝有界，故｛%｝收敛, 从而0， -I 正整数N ，使得当n .m . N 时，有y n -y m ：：：；; 此即X n -X m _X n -X n 』"|X n 丄^/"| X m 1 - X m |八；由柯西收敛准则，数列｛ X,｝收敛.注：柯西收敛准则把 ；—N 定义中的a n 与a 的关系换成了 a n 与a m 的关系，其优点在于无需借用数列以外的数a ，只需根据数列本身的特征就可鉴别其敛散性.3 •运用单调有界定理单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限.例5 •证明：数列 x n = J a +J a +''描 （n 个根式，a >0，n =1, 2, 11|）极限存在，并求l i ^X n • 证：由假设知X n = a • X n1 ；①用数学归纳法可证： X n 1 X, , ^ N :② 此即证｛X,｝是单调递增的.事实上，0 ：：： Xn 1 • ..=a • Xn •；： J a • a • 1 ：：：、'（ ：a • 1）2二 a 1 ；由①②可知： ｛X n ｝单调递增有上界，从而 lim X^ =1存在，对①式两边取极限得：1二JFR ，解得： 1」1如和|/-1 4a(舍负)；.・.limX 」1如.22F 24.利用迫敛性准则（即两边夹法）迫敛性：设数列｛a n ｝、｛b n ｝都以a 为极限，数列｛C n ｝满足：存在正数 N ，当n • N 时，有:1*2 n "郭 n 2 +n 勺 n 2+2n 2+n +n)卫j <X ^n (n 1)；从而lim 単』亠m 吵"2(n ②) 2(n 5 1) "一斗2 (n 2n) 2 r ：2( n n 1)•••由迫敛性，得：朝人+冷…冷弓.注：迫敛性在求数列极限中应用广泛，常与其他各种方法综合使用，起着基础性的作用.证：令力 a^lC n 乞b ，则数列｛C n ｝收敛，且l nim Cn =a .例6 .求:解：记：X n备？■生，则:....1 2 小“丘 n ； 21 n 2n 1亠 ％ - x ,| M5•利用定积分的定义计算极限黎曼积分定义：设为f(x)定义在［a, b ］上的一个函数，J 为一个确定的数，若对任给的正数g >0 ,总存在某一正数 5，使得对［a, b ］的任意分割T ，在其上任意选取的点集 {©}，1X 」,x ］，n只要—就有送f(©)织—J £ ■则称函数f(x)在［a, b ］上(黎曼)可积，数J 为f(x)在［a, b ］i J_.兀 .2兀 sin — sin —— lim------ + ---- - +"f 1n 1< 22n2n2n .sin — sinsin sin — sinsin si n — sin sin-n nn ____ n . ___ 亠 亠 n ... n nnnn注：数列极限为“有无穷多项无穷小的和的数列极限，且每项的形式很规范”这一类型问题时， 可以考虑能否将极限看作是一个特殊的函数定积分的定义；部分相关的数列极限直接利用积 分定义可能比较困难，这上的定积分，记作 bJ f (x)dx •=exp "li 琴瓦 ^In(1 +丄)卜exp(』ln(1 +x)dx )=exp(2ln2 —1例8.求: 解：因为:又:.兀亠• 2兀亠亠.n 兀sin — sin sin -n n nn +1 n 1 =lim — ■- y ：n 1 二二 二 2 二 n 二 -—(sin — sin — ■ ■■-sin —) •兀丄• 2兀丄亠• nn sin sin sin 一 •- lim n nJnY ：n -1■nsin同理:sin — si n — s in 」由迫敛性，得:例7.求:1112 n n+評+廿1+討2兀时需要综合运用迫敛性准则等方法进行讨论.6•利用（海涅）归结原则求数列极限（x ）=A=对任何人必（n 宀），有 ”叮（Xn ）=A •2=[im(1 •啤)]im(1 ^^1)^ ^lim(1 n^)^^lim(1 」)x =e ； lim(1 -1 -4)n=e • i ： n n注：数列是一种特殊的函数，而函数又具有连续、可导、可微、可积等优良性质，有时我们可以借助函数的这些优良性质将数列极限转化为函数极限，从而使问题得到简化和解决. 7•利用施托尔茨（Stolz ）定理求数列极限stolz 定理1: （__）型：若｛y n ｝是严格递增的正无穷大数列，它与数列 ｛X n ｝一起满足:□0"m ：x 二辭1，则有卩叹辭1，其中l为有限数，或；，或一stolz 定理2： （0）型：若｛yn ｝是严格递减的趋向于零的数列， n —「:：时，Xn —；0且lim X 1 Xn=］，则有lim Xn=l ，其中I 为有限数，或•：：，或-. n「y n1. -y n7%例11 .求：乍 2P 加:小n p愠 np+ (P^N) •解：令X n =1p ，2p 爲…圧-P , y n =n p1, n • N ，则由定理1,得:lim 1P 2P1 nP Rim (n P11)P P1，lim心 「 rn p1"：( n1)p_ n p n]p1) n p_(P ⑴卩P 1注：本题亦可由 方法五（即定积分定义）求得，也较为简便，此处略.例9•求：lim n-<-.: 1e n-1 1 解：lim■n-s ： 1-1 1例10 •计算: 解：一方面, 另一方面, 1= lim 学n T_on( lim 1 n 扛 (1 - n由归结原则: 1、n “ 1、n 2）：：：（1 ） > n(nr ')；1 1(1 ——1)n （取 X n=(1 2丄_2_ 丁 )心丄—(1—)5-; nn2n n—1 ,n = 2, 3,…)， 归结原则：lim f X十2n2由迫敛性，得:n'TnC ：S n，求：Hm S n •n8.利用级数求和求数列极限由于数列与级数在形式上的统一性，有时数列极限的计算可以转化为级数求和，从而通过级 数求和的知识使问题得到解决.1 2n例13 .求：lim( 21) ， (a >1). n： - a aa n1od解：令x =—，则|x | .；：1，考虑级数：V nx nan 1x而S(x)二x f (x)2;因此，原式(1—X)9.利用级数收敛性判断极限存在由于级数与数列在形式上可以相互转化，使得级数与数列的性质有了内在的密切联系，因此 数列极限的存在性及极限值问题，可转化为研究级数收敛性问题.例14.设焉0，X ：^^ ^(n r O, 1, 2,)，证明：数列｛X ：｝收敛，并求极限2 +X ：证：由x 0・0 ,可得： x：0(：巾 1 2, )，令 f(x ^22 x C),(x 0)，例12 •设 解：令y =n 2，则｛y n ｝单调递增数列，于是由定理2得:nE ln C ；lim S n = lim k~ 2—— j nY ：2n 1n7 ln C n k1 -7 ln C ：= lim - n二 k 纟 k 土 2 2" (n 1) —nn” ln^^ k_on —k +1=lim n：■： 2n -1n +(n - 1)ln(n y ln kk -1=lim — n二2n 1(n 七)ln( n +1) — n In n -ln(n +1) = lim n:2n 1 .z n 1 nln( ) 1= lim :-n注：Stolz 定理是一种简便的求极限方法，特别对分子、分母为求和型，利用Stolz 定理有很大的优越性，它可以说是求数列极限的洛必达(L'Hospita )法则.lim an = lim =1，•••此级数是收敛的.令Q QS(x) nx n士二八'nx n1，再令n —f (x) =7 nx n」，x:: x::o f(t)dt ■ 0nt n1dt ■ x nn ±n 1f (x)二(产)二1 -x1 (1 -==S(a 」)=a(1-a 于2(1 亠x )=x ：1，x ： 0, (n =0,1,2,)，oo考虑级数：.J |X ： 1 -人； n 倉则 0 . f '(x)2(2 x)2由于X n 牛一X f (X n ) f (X nJf '(©(X n -X n£1X n —人iXn—人 1人一X n 1J?2所以, 级数"_人收敛，从而n£Q0壬(X n 牛-X n )收敛.n_0_令Sn=E (x kk_0_%牛一X k ） = X n 牛一人，叮臂^存在，二 n ^X n 丰 M^+U^S nJ (存在)；对式子：X 」= 2（1+X），两边同时取极限：| =2（1知）,2 *2 +I\ =^J 2或 I =―J2 （舍负）；二 lim 人=J2 .n与、 1 1 i例15 .证明：lim （1In n ）存在.（此极限值称为 Euler 常数）ii i i证：设 a n =i +— +—…+— —In n ，贝U a * —a*丄=—［in n —ln （n —i ）］；2 3 n n对函数y =1 n n 在［n -i, n ］上应用拉格朗日中值定理，可得：Inn —ln(n —1) - (0：：：小1)，10 •利用幕级数求极限例 16•设 sin x =sinx, sin x 二sin(sin n ±x) (n =2, 3, ■■- )，若 sinx 0 ,求:— i解：对于固定的x ，当n —•:时，单调趋于无穷，由stolz 公式，有:sin n x2nn ，1-1 lim nsin n x =lim lim — n 二 nn ：”： 1n 1 [2 2 2sin n x sin n 1 x sin n x所以 a n —a “ 丄=一1 .n(n -1+0) In -1)2 'OC A因为J 收敛，由比较判别法知: n三（n -1）2心a n -a ni 也收敛,n士1 1所以l j m® 存在，即lim^Vi*1iln n)存在. n利用基本初等函数的麦克劳林展开式, 常常易求岀一些特殊形式的数列极限... 1= lim ——y ： 1 ___ 1 sin 2(sin x) s in 2sin . x .2 2丄1 t sin t= lim lim 2 2 lim -“士一* t0 t -int(0 t^(t2-1t4 o(t4))sin t t 3t 4 -- t 6 o （t 6） 1 -- t 2 o （t 2） = lim 3 lim 33 .3t o （t ）3 o （i ）ii •利用微分中值定理求极限拉格朗日中值定理是微分学重要的基本定理，它利用函数的局部性质来研究函数的整体性质,其应用十分广泛•下面我们来看一下拉格朗日中值定理在求数列极限中的应用. 、 a a 例仃•求：limn 2(arctan arctan ) , (a =0).n二 n n 1解：设f （x ） =arctanx ，在［—a, a］上应用拉格朗日中值定理, n +1 n得：吩…（洽）="吟话），启，故当2知，J 。
极限的求法总结
极限的求法总结引言：在数学中，极限是解决各种问题的关键方法之一，涉及到函数的趋势和趋近性质。
从初等数学到高等数学，极限概念与求法贯穿始终。
本文将总结几种常见的极限求法，旨在帮助读者更好地理解和应用极限概念。
一、代入法代入法是最常见也是最直观的一种极限求法。
当需要求一个函数f(x)在某一点a的极限时，我们可以尝试将x的值逐渐靠近a，观察f(x)的趋势。
若存在一个固定的实数L，使得当x趋近于a时，f(x)趋近于L，则称L为f(x)在点a的极限。
代入法适用于大多数简单的初等函数，例如多项式函数和三角函数。
二、夹逼法夹逼法是一种常用的极限求法，适用于一些特殊函数或复杂函数的极限。
它的思想是通过构造两个较为简单的函数，使得它们夹在待求函数的两侧。
具体步骤为：找到两个函数g(x)和h(x)，它们分别趋近于同一个极限L，且g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)。
如果满足这个条件，那么f(x)在点a的极限也是L。
夹逼法常用于计算无穷小量、复合函数和级数等问题。
三、洛必达法则洛必达法则是一种利用导数的性质来求极限的常用方法。
当使用代入法或夹逼法无法直接得到极限结果时，可以考虑使用洛必达法则。
该法则的关键思想是利用函数的导数与函数的极限之间的关系。
具体步骤为：对于函数f(x)和g(x)，如果当x趋近于某个实数a时，它们的极限都是0或无穷大，并且f'(x)和g'(x)都存在（其中f'(x)表示f(x)的导数），那么f(x)/g(x)的极限等于f'(x)/g'(x)。
洛必达法则常用于处理0/0型和∞/∞型的极限。
四、级数收敛法和发散法级数是数列的和。
在数学中，根据级数的性质，可以判断它的收敛与发散。
对于一个给定的级数，当其各项逐渐趋近于某个极限L（L可能是一个实数或无穷大）时，称该级数收敛于L。
反之，如果级数的和不会趋近于任何值，称该级数发散。
级数的收敛性与发散性在数学中具有广泛应用，特别是在实际问题中的数值分析和近似计算中。
16种求极限的方法及一般题型解题思路分享
千里之行，始于足下。
16种求极限的方法及一般题型解题思路共享求极限是微积分中格外重要的概念，它可以挂念我们争辩函数的性质以及解决各种数学问题。
在求极限的过程中，有很多种不同的方法可以使用。
本文将介绍16种常见的求极限的方法，并共享一般题型的解题思路。
1. 代入法：将变量的值直接代入函数中，求出函数在该点的函数值。
这种方法适用于对于给定的变量值函数值可以直接计算的状况。
2. 合并同类项法：对于多项式函数，可以将同类项合并，化简为简洁的表达式，使得求极限更加便利。
3. 分子有理化法：对于分式函数，可以通过有理化分子的方法将其转化为整式的形式，使得求极限更加便利。
4. 凑微分法：对于含有微分的项，可以通过凑微分的方法将其转化为可求极限的形式。
5. 分部积分法：对于不定积分的形式，可以通过分部积分的方法将其转化为可求极限的形式。
6. 换元法：通过适当的变量替换，将原函数转化为简洁函数的形式，使得求极限更加便利。
7. 反函数法：对于已知函数，可以通过找到其反函数，将原函数的极限转化为反函数的极限来求解。
第1页/共3页锲而不舍，金石可镂。
8. 夹逼定理：假如一个函数在某点四周的两个函数夹住，并且这两个函数的极限都存在且相等，那么该点的极限存在且等于这两个函数的极限。
9. 洛必达法则：对于两个函数的极限，假如它们的导数的极限都存在且有限，那么这两个函数的极限相等。
这个法则对于解决0/0和∞/∞型的极限问题格外有用。
10. 先有界后无穷法则：假如一个函数在某个点四周有界，并且向正无穷或负无穷趋于极限，那么该点的极限等于无穷。
11. 拆分法则：假如一个极限可以通过拆分成多个极限来求解，那么可以分别求解这些极限，然后将结果合并。
12. 开放法则：对于含有无穷小量的表达式，可以将其开放成多项式的形式，然后求极限。
13. 不等式法则：可以通过利用一些不等式关系来限定函数的范围，从而求出极限的范围。
14. 递推法：对于递归定义的序列或函数，可以通过递推关系式来求出其极限。
考研高数中求极限的几种特殊方法
考研高数中求极限的几种特殊方法在数学分析中，极限是研究函数的重要工具。
通过极限，我们可以研究函数的性质，进行函数的计算，以及解决与函数相关的问题。
求函数极限的方法有很多种，以下是几种常见的方法。
对于一些简单的初等函数，我们可以直接根据函数的定义代入特定的x值来求得极限。
例如，求lim (x→2) (x-2)，我们可以直接代入x=2，得到极限为0。
当函数在某一点处的极限存在时，如果从该点趋近的数列是无穷小量，则此函数在该点处的极限就等于该数列的极限。
例如，求lim (x→0) (1/x)，我们可以令x=1/t，当t→∞时，x→0，而t=1/x趋近于无穷小量，所以lim (x→0) (1/x) = lim (t→∞) (t) = ∞。
洛必达法则是求未定式极限的重要方法。
如果一个极限的形式是0/0或者∞/∞，那么我们可以通过对函数同时取微分的方式来找到极限的值。
例如，求lim (x→+∞) (x^2+3)/(2x^2+1)，分子分母同时求导，得到lim (x→+∞) (2x/4x) = lim (x→+∞) (1/2) = 1/2。
对于一些复杂的函数，我们可以通过泰勒展开的方式将其表示为无限多项多项式之和的形式。
通过选取适当的x值，我们可以使得多项式的和尽可能接近真实的函数值。
例如，求lim (x→0) ((1+x)^m-1)/x，我们可以使用泰勒展开得到lim (x→0) ((1+x)^m-1)/x = lim (x→0) m(1+x)^(m-1) = m。
夹逼定理是一种通过构造两个有界序列来找到一个数列的极限的方法。
如果一个数列的项可以划分为三部分，而每一部分都分别被两个有界序列所夹逼，那么这个数列的极限就等于这两个有界序列的极限的平均值。
例如，求lim (n→∞) (n!/(n^n))^(1/n)，令a_n=(n!/(n^n))^(1/n)，则a_n ≤ a_{n+1}且a_n ≥ a_{n-1}，因此由夹逼定理可知lim a_n=lim a_{n+1}=lim a_{n-1}=1。
各类未定式求极限处理方法(主要针对考研数学)
各类未定式求极限处理方法（主要针对考研数学）在求极限的过程中，经常会遇到各种各样的未定式形式，如0/0、∞/∞、0*∞、∞-∞等。
对于这些不定式，我们可以通过一些方法进行处理，从而求出极限的值。
在考研数学中，熟练掌握这些处理方法是非常重要的。
下面，我将介绍一些常见的处理方法。
1. 0/0型：当求极限的时候，遇到0/0型的未定式，我们可以考虑使用洛必达法则进行处理。
设f(x)和g(x)都在其中一点a的一些去心邻域内有定义且可导，且满足f(a)=g(a)=0。
如果极限lim（x→a）f'(x)/g'(x)存在，那么极限lim（x→a）f(x)/g(x)也存在，且两者相等。
这就是洛必达法则。
通过多次应用洛必达法则，可以将0/0型的未定式化简为一个更容易求解的形式。
2. ∞/∞型：当求极限的时候，遇到∞/∞型的未定式，我们可以考虑使用洛必达法则的推广形式来处理。
对于同为正无穷或负无穷的函数f(x)和g(x)，如果f(x)/g(x)的极限存在，那么有lim（x→∞）f(x)/g(x) = lim（x→∞）f'(x)/g'(x)。
3.0*∞型：当求极限的时候，遇到0*∞型的未定式，我们可以考虑对函数进行变形。
将0*∞型的表达式转化为一个更有利于求解的形式。
例如，可以将其中的一个因子进行分解或者将整个表达式转化为一个以∞为变量的函数来求极限。
4.∞-∞型：当求极限的时候，遇到∞-∞型的未定式，我们需要使用一些特殊的方法进行处理。
一种常用的方法是通过换元来变换函数，将其化简为一个可以应用洛必达法则的形式。
另一种方法是将该极限转化为一个函数极限求解问题。
例如，可以使用多项式乘法公式对∞-∞型的未定式进行展开化简等。
5.1^∞型：当求极限的时候，遇到1^∞型的未定式，我们可以考虑使用对数函数或指数函数来进行处理。
将1^∞型的表达式转化为一个更容易处理的形式。
对于1^∞型的未定式，可以将其化为0^∞型或∞^0型，进而应用对数和指数的性质进行化简。
[整理]考研数学：求数列极限的方法总结
![[整理]考研数学：求数列极限的方法总结](https://img.taocdn.com/s3/m/f9ec7465f78a6529647d5380.png)
2016考研数学：求数列极限的方法总结
极限是考研数学高数第一章的内容，在考研数学中占有一定的比例，一般有几分到二十分左右的分值。
极限一般有数列极限和函数极限，求数列极限和函数极限的方法很多，有些方法也可以使二者联系起来。
下面中公考研的数学教研老师总结了几种求数列极限的方法，后续会给出求函数极限的方法总结，希望能帮助同学们掌握求极限的方法。
1、定义法
2、利用奇子列和偶子列的极限
一般在选择题中出现，不常考。
3.夹逼准则(两面夹法则)
4、单调有界定理
单调递增有上界，数列极限存在;单调递减有下界，数列极限存在。
5.海涅定理(归结原则)
6、定积分的定义
7、利用级数收敛的必要条件
以上就是几种常用的求数列极限的方法，希望同学们务必重点掌握，在做题的过程中能熟练运用。
考研数学：求极限的16种方法1500字
考研数学：求极限的16种方法1500字极限是数学中的重要概念，是解析数学中很多问题的基础。
求极限的方法有很多种，下面就介绍一下求极限的16种常用方法。
1. 直接代入法：对于某个函数在某个点的极限，如果可以直接将极限点代入函数中计算出极限值，则可以使用直接代入法。
2. 连续性法则：如果一个函数在某个点处连续，那么该点的极限值就是函数在该点的函数值。
3. 无穷小量的性质：利用无穷小量的性质对极限进行求解，例如利用已知的极限，对函数进行分子分母的化简、展开等操作。
4. 夹逼法：当一个函数夹在两个函数之间时，利用两个函数的极限值可以求出该函数的极限值。
5. 单调有界原理：对于单调有界的函数，可以通过证明上下确界得到极限值。
6. 极限的四则运算法则：对于两个函数的极限，可以利用四则运算法则求出其和、差、积、商的极限。
7. 换元法：通过对函数进行变量替换，将原来的极限问题转化为更简单的问题求解。
8. 泰勒级数展开法：对于某些函数，可以利用泰勒级数展开的性质，将函数进行级数展开，然后求出极限值。
9. 符号常用极限法：对于一些特殊的函数，例如正弦函数、指数函数等，可以通过符号常用极限值来求出其极限。
10. 隐函数极限法：对于隐函数的极限问题，需要通过隐函数求导的方式来求出极限值。
11. 单调列法：对于一个递增（递减）且有上（下）界的序列，可以通过极限的单调列法求出极限。
12. Stolz定理：当一个数列为无穷大与无穷小的极限的商时，可以利用Stolz定理求出极限。
13. 递推法：对于递归定义的数列，可以通过递推的方式求出极限。
14. 分部积分法：对于一些函数的积分，可以通过分部积分法转化为极限问题求解。
15. L'Hospital法则：对于一些不定型的极限问题，可以通过L'Hospital法则来求出其极限。
16. 堪培拉法则：对于一些含有多个变量的函数，可以利用堪培拉法则求出其极限。
以上是求解极限的16种常用方法，掌握这些方法可以更好地应对极限求解问题。
求极限的方法总结
求极限的方法总结极限是数学中的一个重要概念，它可以描述函数或数列在某一点或某个无穷远的情况下的趋势或结果。
在求解极限时，有许多不同的方法可以使用，下面我将简要总结一下常见的求极限的方法。
一、替换法替换法是求函数极限的常用方法之一。
当我们在计算某一点的函数极限时，可以尝试将该点的数值代入函数中，然后计算函数的值。
如果当点趋近于某个有限值时函数的极限存在，那么我们可以得出该极限的值。
二、分子分母因式分解法当我们计算一个分式的极限时，可以尝试对分子和分母进行因式分解。
通过因式分解，我们可以减少计算的复杂性，进而更容易求得极限的结果。
三、洛必达法则洛必达法则是求解函数极限的重要工具。
这个法则的基本思想是将一个函数的极限转化为同一点处的两个函数的极限之比。
如果这两个函数的极限都存在并且是有限的，那么我们可以得出原函数极限的结果。
四、夹逼定理夹逼定理是求解数列极限的常用方法之一。
这个定理的主要思想是通过两个逼近数列来逼近待求数列，进而确定数列的极限值。
夹逼定理在实际计算中可以大大简化问题的求解。
五、泰勒展开式泰勒展开式是一种将函数展开为无穷项级数的方法。
通过将函数展开为级数，我们可以更加准确地计算函数的极限值。
泰勒展开式有时候可以帮助我们求解一些复杂的函数极限，特别是在计算高阶导数时。
六、变量代换法变量代换法是一种将复杂极限转化为简单极限的方法。
通过对函数中的自变量进行适当的替代，我们可以将复杂的极限转化为简单的极限。
这种方法可以大大减少计算的难度，提高求解极限问题的效率。
七、松弛变量法松弛变量法是一种求解含有未知数的极限问题的方法。
通过引入一个松弛变量，我们可以使得原来的极限问题变得简单，从而更容易求解。
这种方法在求解一些复杂的函数极限时特别有用。
总结：求解极限的方法有替换法、分子分母因式分解法、洛必达法则、夹逼定理、泰勒展开式、变量代换法和松弛变量法等。
每种方法都有其适用的范围和特点，我们可以根据具体问题的不同选择合适的方法。
考研数学：求极限的16种方法
考研数学：求极限的16种方法1500字求极限是数学中一个重要的概念和技巧，经常会在高等数学、微积分、函数分析等课程中出现。
在考研数学中，求极限也是一个比较常见的题型，有时候会要求借助不同的方法来求解极限。
以下是16种常见的求极限的方法：方法1：代入法代入法是求极限中最基本的方法之一，特别适用于极限问题中有指定点的情况。
代入的点可以是有限点或无限点，通过将极限值代入原函数中，来求得极限。
方法2：夹逼定理夹逼定理也是一种常用的方法，适用于需要用两个已知函数夹住待求函数的情况。
通过取两个已知函数逐渐逼近待求函数，来求得极限。
方法3：集中取值法集中取值法是一种常用的方法，适用于需要对待求函数的取值进行讨论的情况。
通过将待求函数的取值限制在一个区间内，来求得极限。
方法4：变量代换法变量代换法是一种常用的方法，适用于需要通过变换变量来求得极限的情况。
通过进行恰当的变换变量，将原极限转化为另一个更容易求解的极限。
方法5：公共因子法公共因子法是一种常用的方法，适用于需要将待求函数的表达式进行分解的情况。
通过进行恰当的分解，将待求函数表达式中的公共因子提取出来，来求得极限。
方法6：三角函数极限法三角函数极限法是一种常用的方法，适用于需要进行三角函数的极限转化的情况。
通过使用三角函数的性质和公式，将原极限转化为更容易求解的三角函数极限。
方法7：幂函数极限法幂函数极限法是一种常用的方法，适用于需要进行幂函数的极限转化的情况。
通过使用幂函数的性质和公式，将原极限转化为更容易求解的幂函数极限。
方法8：自然对数极限法自然对数极限法是一种常用的方法，适用于需要进行自然对数的极限转化的情况。
通过使用自然对数的性质和公式，将原极限转化为更容易求解的自然对数极限。
方法9：常数e极限法常数e极限法是一种常用的方法，适用于需要进行常数e的极限转化的情况。
通过使用常数e的性质和公式，将原极限转化为更容易求解的常数e极限。
方法10：斜率法斜率法是一种常用的方法，适用于需要进行斜率的极限转化的情况。
求极限的方法总结
极限是数学分析中的重要概念，也是微积分的基础。
求极限的方法有很多种，下面将对常用的几种方法进行总结和解析。
1. 直接代入法直接代入法是最基本的求极限方法，适用于函数单调、连续，且直接代入可知极限值的情况。
具体步骤如下：（1）将极限表达式中的变量替换为具体的数值。
（2）根据函数的定义和性质，计算替换后的表达式。
（3）得出极限值。
2. 因式分解法因式分解法适用于有理函数的极限求解，通过分解函数，消除分子、分母中的共同因子，简化极限表达式。
具体步骤如下：（1）对有理函数进行因式分解。
（2）对分解后的表达式进行约分，消除共同因子。
（3）根据约分后的表达式求极限。
3. 泰勒公式法泰勒公式法是利用泰勒公式将函数展开，近似表示函数在某一点附近的值，从而求解极限。
具体步骤如下：（1）确定函数在某一点附近的泰勒展开式。
（2）根据泰勒展开式求极限。
4. 洛必达法则洛必达法则（L’Hôpital’s Rule）适用于求解“0/0”或“∞/∞”形式的极限。
该法则通过对分子、分母同时求导，将极限问题转化为导数的极限问题。
具体步骤如下：（1）判断极限形式是否为“0/0”或“∞/∞”。
（2）对分子、分母分别求导。
（3）将求导后的表达式代入原极限表达式。
（4）求解新的极限表达式。
5. 夹逼定理夹逼定理（Squeeze Theorem）适用于求解形如“f(x) = (g(x))/(h(x))”，且当x趋向于某一点时，g(x)和h(x)分别趋向于a和b（a ≠ b）的极限。
具体步骤如下：（1）找到两个函数p(x)和q(x)，使得p(x) ≤ f(x) ≤ q(x)。
（2）证明当x趋向于某一点时，p(x)和q(x)分别趋向于a和b。
（3）根据夹逼定理，得出f(x)趋向于a。
6. 有界函数法有界函数法适用于求解形如“f(x) = g(x)/h(x)”，且当x趋向于某一点时，g(x)趋向于0，h(x)趋向于无穷大的极限。
具体步骤如下：（1）证明g(x)在x趋向于某一点时趋向于0。
关于极限的若干种计算方法
关于极限的若干种计算方法本文将极限的几种计算方法介绍如下： 一 代入求值法：这种方法只适用于在0x 点连续的函数求极限。
例1、计算3121lim 1x x x x →-+-解：321()11x x F x x x -+==+ 在处有定义且连续, 331212111lim 1111x x x x →-+⨯-+∴==++ 例2、计算：22ln lim sin x x x x → 2222l n 2l n 24l n:l i ms i n s i n 2s i n 2x x x x →==解 二 倒数法：这种方法是利用无穷小量与无穷大量的关系来处理的。
例3、2232lim 531n n n n n →∞-++-解：因为分子分母的极限均不存在，故不能运用商的极限运算法则，可先将分子分母分别除以2n ，然后取极限。
于是2222123323lim lim 3153155n n n n n n n n n n→∞→∞-+-+==+-+- 例4、求2143lim 54x x x x →--+解：因为分母极限为零，分子极限不为零，故先考虑1()f x 的极限。
因为 21540l i m 0431x x x x →-+==-所以 2143lim54x x x x →-=∞-+（无穷小量的倒数是无穷大量。
）例5、计算111lim[]1335(21)(21)n n n →∞+++⋅⋅-+解：由于极限的运算法则不适用于无限和的情形，故本题宜先求和，再求极限。
因为1111()(21)(21)22121k k k k =--+-+所以 111lim[]1335(21)(21)n n n →∞+++⋅⋅-+111111111lim[()()()]21323522121111lim[]22(21)2n n n n n →∞→∞=-+-++--+=-=+利用倒数法可得如下结论：111001011()lim 0()(,,00)()m m m n n x n n a m n b a x a x a x a m n m n a b b x b x b x b m n ---→∞-⎧=⎪⎪+++⎪=<≠≠⎨++++⎪∞>⎪⎪⎩m 0为自然数 三 化积约分法：有些函数()f x 在0x x =处无定义，这时不能用代入求值法求极限，但当0x x =时,()f x 的极限存在与否与()f x 在点0x 处是否有定义无关，所以常将()f x 先作适当变形，如分解因式约去极限为零的分母等，转化为在0x x =处有定义的新函数()g x ，再用代入求值法。
考研数学中求极限方法的总结
考研数学中求极限方法的总结1.引言19 世纪建立的极限理论奠定了微积分的基础[1]，使数学这门古老的学科有了质的飞跃，由此建立起来的理论及其应用开创了一个崭新的数学时代。
但是对于数列及函数极限的求解问题，看似简单，但实则方法过于多种多样，往往就是一个比较难一点的极限问题，就会导致学者因选错方法而浪费大量的时间或者根本做不出来。
因此本文针对求极限的方法进行总结归纳，给学者梳理出了一些求极限的方法。
2.利用几种已知公式求极限2.1.和差化积公式积化和差公式解题思路：此方法一般求解的比较简单的极限，比较明显的是两个三角函数相减或相乘的形式。
2.2.伯努利不等式己知实数x＞-1 ，当n≥1时，有(1+x)n≥1+ nx；当0≤n≤1，有(1+x)n≤1+ nx。
解题思路：此种类型一般是在求解极限的过程中，所以在这里就不举例说明。
2.3.泰勒公式[2]解题思路：对于型不定式中，如果运用洛必达则比较麻烦。
此类题目比较明显的特征是含有 e x，sin x，cos x，ln (1+ x)等混在一起的混合运算，此类题大多数是用洛必达做不出来的，而用泰勒公式进行简单的替换就很容易求出来的。
例1.3 求极限解：由泰勒公式展开到第三项得：3.利用洛必达法则求极限[3]定理：对在数列 x n与 y n间有一定关系的商的极限，我们可以用序列的洛比达法则。
满足4.利用单调有界性求极限单调有界定理[3]：在实数系中，有界的单调数列必有极限。
有上界的递增数列必有极限，有下界的递减数列必有极限。
5.利用迫敛性(两边夹定理)求极限迫敛性[3]：设收敛数列{a n }，{b n }都是以a为极限，则数列{c n }满足，存在正数N0，当n ＞N0时有 a n≤c n≤b n，则数列收敛，且满足。
解题思路：一般适用于较复杂的通项。
首先要把从 x n的表达式写出来，然后通过放缩法找到两个有相同极限值的数列。
例题4.1 求极限解：因为由迫敛性得。
考研 高数 极限运算法则
0
( x →∞ )
0
那末 lim f ( x )存在, 且等于 A.
x → x0 ( x→∞ )
准则Ⅰ和准则Ⅰ`称为两边夹原理.
杨 树 文
*利用两边夹关键在于构造不等关系式
网 络 高 等 数 学 教 程
例
求 lim (
n→ ∞
1 n +1
2
+
1 n +2
2
+L+
1 n +n
2
).
1 1 n n < +L+ < , 解 Q 2 2 2 2 n +n n +1 n +n n +1
则 lim f ( g ( x)) = lim f (lim g ( x)) = A
x →a u →b x→a x →a u →b
例： limsin(sin x)) = limsin x = 0
x →0 x →0
幂指函数的极限运算
f ( x) → A > 0, g ( x) → B, 则f ( x) g ( x ) → AB
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分 子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.
杨 树 文
网 络 高 等 数 学 教 程
例5 解
1 2 n 求 lim ( 2 + 2 + L + 2 ). n→ ∞ n n n
n → ∞时, 是无穷小之和． 先变形再求极限.
1 2 n 1+ 2 +L+ n lim ( 2 + 2 + L + 2 ) = lim 2 n→ ∞ n n→ ∞ n n n
求极限方法汇总（含例题及考研真题）
求极限⽅法汇总（含例题及考研真题）1、常⽤等价⽆穷⼩：当0x →时， sin x x :，tan x x :，arcsin x x :， 211cos 2x x -:，ln(1+x)~x ，ex-1~x ，(1+x)a-1~ax ，ax-1~xlna ） 2、泰勒公式（麦克劳林公式） n n x n f x f x f f x f !)0( !2)0()0()0()()(2++''+'+≈ n x x n x x e !1 !2112++++≈)()!12()1(!51!31sin 212153x R x m x x x x m m m +--+++-=-- 3、洛必达法则定理1 （洛必达法则Ⅰ）若函数)(),(x g x f 满⾜条件： (1) ;0)(lim ,0)(lim ==x g x f(2) )(),(x g x f 在点0x 的某个邻域内(点0x 可除外)可导,且0)(0≠'x g ; (3) A x g x f ='')()(lim(或∞) 则 A x g x f x g x f =='')()(lim )()(lim(或∞). 定理2 （洛必达法则Ⅱ）若函数)(),(x g x f 满⾜条件： (1) ;)(lim ,)(lim ∞=∞=x g x f (2) )(),(x g x f 在点0x 的某个邻域内(点0x 可除外)可导,且0)(0≠'x g ; (3) A x g x f ='')()(lim(或∞) 则 A x g x f x g x f =='')()(lim )()(lim(或∞). 4、定积分定义定积分是⽤极限来定义的∑?=→?=ni i i bax f dx x f 1)(lim )(ξλ5、两个重要极限1sin lim 0=→x x x ，e xx x =+∞→)11(lim1（2010数学⼀）2013(1) 设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2x πα<，则当0x →时，()x α是( )(A) ⽐x ⾼阶的⽆穷⼩ (B) ⽐x 低阶的⽆穷⼩ (C) 与x 同阶但不等价的⽆穷⼩ (D) 与x 等价的⽆穷⼩【答案】(C)【解析】cos 1sin ()x x x α-=?Q ，（已知条件）21cos 1~2x x --21sin ()~2x x x α∴?- 1sin ()~2x x α∴-⼜sin ()~()x x ααQ （sin x x :） 1()~2x x α∴-∴()x α与x 同阶但不等价的⽆穷⼩. 所以选（C ）.3（2010数学三）若1])1(1[lim =--→x o x e a x x 则a =A0 B1 C2 D3 答案：C6（2010数学三）求极限xx x x ln 11)1(lim -+∞→答案：1ln 11ln 2ln ln )1(lim 1ln ln 1lim ln 1ln lim ln )1ln(lim,0ln ,,ln 11lim ln )1ln(limln ln -+∞→+∞→+∞→+∞→∞→∞→=-∴-=-=-?=-→+∞→-?-=-e x x xx x xx e x e xxx x x e xe x e xxx x xx x x x x xx xx 故⽽当Θe^x-1~x9（2011数学⼀）求极限110ln(1)lim xex x x -→+??【答案】12e-【考点分析】：本题考查极限的计算，属于1∞形式的极限。
求极限的几种类型与方法
求极限的几种类型与方法
初级阶段：四则运算法，连续函数用代入法，分子分母同除最高次项法，分离非零定式因式法，分子有理化法，分子分母约去致零因式法。
晋级阶段：等价无穷小替换因式法，不定式的罗比达法则,幂指函数配底或取对数。
高级阶段：泰勒公式展开法，收敛级数通项趋于0，构造定积分法，应用积分和微分中值定理法。
求极限的方法
(1)分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入；
(2)无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化，然后运用(1)中的方法；
(3)运用两个特别极限；
(4)运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小。
比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。
(5)用Mclaurin(麦克劳琳)级数展开，而国内普遍译为Taylor(泰勒)展开。
(6)等阶无穷小代换，这种方法在国内甚嚣尘上，国外比较冷静。
因为一要死背，不是值得推广的教学法；二是经常会出错，要特别小心。
(7)夹挤法。
这不是普遍方法，因为不可能放大、缩小后的结果都一样。
(8)特殊情况下，化为积分计算。
2022考研数学讲解之求极限的11种方法
例 13
求极限
ax ax 2
lim
,
x0
x2
(a 0).
【解】 a x e x ln a 1 x ln a x 2 ln 2 a ( x 2 ) , 2
a x 1 x ln a x 2 ln 2 a ( x2 ) ; 2
a x a x 2 x 2 ln 2 a ( x 2 ).
（Ⅰ）证明
lim
n
xn
存在，并求该极限；
1
（Ⅱ）计算
lim
n
xn1 xn
xn2
.
【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列
极限的存在.
【详解】 （Ⅰ）因为 0 x1 ，则 0 x2 sin x1 1 .
可推得 0 xn1 sin xn 1 , n 1, 2,，则数列xn 有界.
2
例 8：求极限 lim sin x x x0 tan3 x
【解】 lim sin x x
lim sin x x
lim
cos x 1 lim
1 2
x2
1
x0 tan3 x x0
x3
x0 3x 2
x0 3x 2
6
6．用罗必塔法则求极限
例 9：求极限 lim ln cos 2x ln(1 sin 2 x)
1 cosx ~ 1 x2 , 1 axb 1 ~ abx ；
2 (2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因．式．；
(3)此方法在各种求极限的方法中应．作．为．首．选．。
例 7：求极限 lim x ln(1 x) x0 1 cos x
【解】
lim x ln(1 x) lim x x 2 . x0 1 cos x x0 1 x2
求极限的方法总结
求极限的几种常用方法一、 约去零因子求极限例如求极限limx→1x4-1x-1，本例中当x→1时，x-1→0，表明x 与1无限接近，但x≠1,所以x-1这一因子可以约去。
二、 分子分母同除求极限求极限limx→∞x3-x23x3+1∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
limx→∞x3-x23x3+1=limx→∞1-1x3+1x3=13三、 分子(母)有理化求极限例:求极限limx→∞(x3+3-x2+1)分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
()()()()131313lim 13lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x xx x x 0132lim 22=+++=+∞→x x x例：求极限limx→01+tanx -1+sinxx330sin 1tan 1lim x x x x +-+→=()x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim 30+++-→ =300sin tan lim sin 1tan 11lim x x x x x x x -+++→→=41sin tan lim 2130=-→x x x x 本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键。
四、 应用两个重要极限求极限(2)limx→∞(1+1x)x=limx→0(1+x)1x=e在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。
例：求极限limx→∞(x+1x-1)x第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出1，再凑1+1x，最后凑指数部分。
limx→∞(x+1x-1)x=limx→∞(1+2x-1)x=limx→∞[1+1x-122x-1(1+ 2x-1)12]2=e2五、利用无穷小量的性质求极限无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。
这种方法可以处理一个函数极限不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
考研数学极限七种运算方法及适用情况考研数学极限七种运算方法及适用情况
除定义本身以外，极限的趋近状态也要注意区分，对于函数来说有六种趋近状态：各自的含义要非常清楚，而数列只有一种趋近状态，虽然没有指明，但是数列里边的.隐含之意为。
极限的计算则需要首先掌握考研数学要考到的七种基本方法，知道七种方法适用的情况。
第一种是四则运算，此方法大家最为熟悉，但比较容易出错，
需要注意使用四则运算的前提是进行运算的函数极限必须都是存在的;
第三种是洛必达法则，适用于及型未定式，在使用的过程中需
要注意一下几点：
1、洛必达法则必须结合等价无穷小使用;
2、使用一次整理一次;
3、其他类型未定式需要转化成及型才可以使用洛必达法则等;
第四种是泰勒展式，这是解决极限问题的利器，在基础阶段不
必要求掌握如何使用，只需了解泰勒展式的内容即可，具体使用原
则会在强化阶段给出;
第五种是夹逼定理，主要用于解决含有不等式关系的极限问题，特别应用于个分式之和的数列极限问题，通过放缩分母来达到出现
不等关系的目的;
第六种是定积分的定义，与夹逼定理相区别，夹逼定理解决的
问题放缩分母后分子可用一个式子去表示，而定积分的定义可解决
夹逼定理不能解决的问题，通过主要的三步：1、提取，2、凑出，3、
极限符号及连加符号改写为，改写为，改写为计算定积分即可解决个分式之和的数列极限问题;
第七种方法是适用于数列极限的单调有界性定理，难点在于如何确定证明方向，一般单调有界性定理适用于由递推公式给出的数列极限问题，因此可采取数学归纳法证明有界性，做差的办法证明单调性。