第三章-泛函分析初步

第三章：泛函分析初步（参阅教材Ch6）

§3.1 线性空间

定义（线性空间）：

设W ≠∅（W 为非空集合），满足下列两个条件：

第一. W 中的元对“+”构成交换群，即,,W ∀∈X Y Z ，有：

ⅰ）W +∈X Y

（加法封闭性） ⅱ）()()++=++X Y Z X Y Z （结合律） ⅲ） 0W ∃∈，使0+X X =

（存在零元） ⅳ）W ∃-∈X ，使()-+=0X X （存在逆元） ⅴ）+=+X Y Y X

（交换律）

（满足前2条，构成半群；满足前4条，构成群；满足5条，构成加法交换群，又称为Abel 加群，简称Abel 群。）

第二. ,,,/W C R αβ∀∈∀∈X Y (复数域/实数域)，对数乘封闭，即有：

ⅵ）()()W αβαβ=∈X X ⅶ）()αβαβ+=+X X X ⅷ）()ααα+=+X Y X Y ⅸ）⋅1X X =

则称W 是数域/C R 上的线性空间。

若,R αβ∈，则W 为实线性空间；若,C αβ∈，则W 为复线性空间。 注：1）加法封闭＋数乘封闭,i i W C α⇔∀∈∀∈X ，有1N

i i i W α=∈∑X 。

2）[]C ,a b （[],a b 上所有连续函数的全体）是线性空间。 3）{}12,,

,n span X X X 为由12,,

,n X X X 张成的线性空间。

定义（线性算子）：线性空间上的算子L 为线性算子

{}11

L L N N

i i i i i i αα==⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∑∑X X ⇔

（3-1）

推论：零状态线性系统⇔系统算子为线性算子。

§3.2 线性子空间

定义（线性子空间）：设V W ∅≠⊂，V 是W 的线性子空间

⇔对,,,V C αβ∀∈∀∈X Y ，有V αβ∈+X Y 。

定义（直和）：设

12,,,p W W W 是W 的子空间，若W ∀∈X 对，X 可唯一

表示成1p =+

+X X X ，其中() 1,

,i i W i p ∈=X ，则称W 是

12,,

,p W W W 的直和，记为：12p W W W W =⊕⊕

⊕。

§3.3 距离空间（度量空间——Metric Space ）

定义（距离空间）：设W ≠∅，称W 为距离空间，指在W 中定义了映射：

(),W W R ρ+⨯→X Y ：（含0正实数）

，,W ∀∈X Y 满足以下三条公理： ⅰ）(),0ρ≥X Y ，且(),0ρ=⇔X Y X Y = （正定性）

ⅱ）()(),,ρρ=X Y Y X

（可交换性） ⅲ）()()(),,,ρρρ≤+X Z X Y Y Z

（三角不等式）

(),ρX Y 称为W 上的距离，(),W ρ为度量空间。

定义（收敛）：度量空间(),W ρ中的点列{}

1n n x ∞

=收敛于0x (∈W ) !

⇔0x 是{}1n n x ∞

=的极限 ⇔()0,0,n x x ρ→当n →∞

⇒ 趋于W 上的点x 0

⇔0lim n n x x →∞

=

定理：在(),W ρ中，每个收敛点列有唯一的极限点。

证明：设{}1n n x ∞

=→0x ，{}1n n x ∞

=→0y

对1210/2n n n n x x ερε∀>∃≥

,） 2/2n n x y ρε≥

当n ≥ max {n 1, n 2}时，有x y x x x y ρ

ρρε≤ <000n n 0（,）（,）+ （,） 即0 x y x y ρ

→→⇔0000（,）。证毕。 定义（柯西序列——Cauchy Sequence ）：设{}

1i i x ∞

=是(),W ρ中的点列，若对()0,N N εε∀>∃=，使(),,,n m x x n m N ρε<∀>，则称{}1n n x ∞

=是

(),W ρ中的柯西序列。 ⇒ 趋于越来越靠近

注：(),W ρ中任意收敛序列是柯西序列，但(),W ρ中的柯西序列未必收敛到(),W ρ中。

例：

(){}

1

1/n x n n ∞==是(),W ρ上Cauchy 列，W =(0,1]，

则()

,x y x y ρ-。但是，序列收敛于0 ∉ W 。

即该序列不是W=(0,1]上的收敛序列。

定义（完备度量空间——Complete Metric Space）：()

,

Wρ称为完备度量空间，指其中所有柯西序列都收敛。

几点说明：

第一.极限运算在完备时可行，不完备则不能求极限。

第二.如何完备化，是一个问题。

第三.度量空间（W, ρ）不要求W是线性空间！

§3.4 巴拿赫（Banach）空间

1. 赋范线性空间：

定义（赋范线性空间）：设W≠∅是线性空间，若对,W

∀∈

X Y，∃X满足三条公理：

ⅰ）0

X≥，且0

=⇔=0

X X（正定性）

ⅱ）C

ααα

=∀∈

X X，（正齐性）

ⅲ）≤+

+

X Y X Y（三角不等式）

称X为X的范数（Norm）；定义了范数的线性空间W称为赋范线性空间，记为：()

,

W∙。可见，是W 到数域的映射，记作：W C

→

注1：赋范空间与距离空间的差别在于第二条公理，这是显然的，因为前者是空间上一个元素“大小”的度量，后者是空间上两个元素之间“差距”的度量。

注2：赋范空间可以导出度量空间，但反之不然。说明如下：

在()

,

W∙中，可定义：()

,

ρ=-

X Y X Y，即从()

,

W∙⇒()

,

Wρ。

如果满足()()

,,

00

ρααρ

=

X0X0，则()()

,,

W W

ρ⇒∙。可惜，不尽然：反例：

范数举例：（长度概念的推广——广义长度）

♦例1：对于n R，[]

12

,,,T

n

x x x

∀=∈

X n R，n维实数空间n R

()()

()()

()()

()

,

1

,1,1

,,

W

W

ρρ

ρααρα

ρααραα

ρ

=

⎧

=⎨

≠

⎩

≠=≠

≠≠-

X Y

X Y

X Y

X X X

X X X X

，

,，，

，

，；。

，

,

是度量空间可以取

则有但

即亦即:

000

00-00

=

⇒()

W,，不满足范数第(ii)条公理。