辽宁高考文科数学试题及答案(Word版)

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招生国统一考试数学文科辽宁卷word试题

卜人入州八九几市潮王学校2021年普通高等招生全国统一考试〔卷〕数学〔供文科考生使用〕第一卷〔选择题一共60分〕本套试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部。

第一卷1至2页，第二卷3至4页。

在在考试完毕之后以后，将本套试卷和答题卡一起交回。

参考公式：假设事件A 、B 互斥，那么球的外表积公式P(A+B)=P(A)+P(B)S =4πR 2假设事件A 、B 互相HY ，那么其中R 表示球的半径P(A ·B)=P(A)·P(B)球的体积公式假设事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么V=43πR 3n 次HY 重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径P n (k )=C kn P k (1-p )n-k (k =0,1,2,…,n )一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.(1)集合M =｛x |-3＜x ＜1|,N={x |x ≤-3},那么M =⋃N(A)∅ (B) {x|x ≥-3} (C){x|x ≥1} (D){x |x ＜1|(2)假设函数y=(x +1)(x-a )为偶函数，那么a =(A)-2(B) -2 (C)1 (D)2 (3)圆x 2+y 2=1与直线y=kx +2没有公一共点的充要条件是 (A)2,2(-∈k )(B)3,3(-∈k ) (C)k ),2()2,(+∞⋃--∞∈ (D) k ),3()3,(+∞⋃--∞∈(4)0＜a ＜1,x =log a2log a 3,y =,5log 21a z =loga 3,那么 (A)x ＞y ＞z (B)z ＞y ＞x (C)y ＞x ＞z (D)z ＞x ＞y(5)四边形ABCD 的三个顶点A (0,2),B (-1,-2),C (3,1),且AD BC2=,那么顶点D 的坐标为 (A)(2,27)(B)(2,－21) (C)(3,2) (D)(1,3) (6)设P 为曲线C :y =x 2+2x +3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π，那么点P 横坐标的取值范围为 (A)⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,1 (B)[-1,0] (C)[0,1] (D)⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21 (7)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4从这4张卡片中随机抽取2张，那么取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 (A)31(B)21 (C)32 (D)43 (8)将函数y=2x +1的图象按向量a 平移得到函数y =2x +1的图象，那么(A)a =(-1,-1)(B)a =(1,-1) (C)a =(1,1) (D)a=(-1,1)(9)变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+,01,013,01x y x y x y 那么z ＝2x+y 的最大值为第二卷〔非选择题一共90分〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分.〔13〕函数23()x y e x +=-∞+∞的反函数是.〔14〕在体积为的球的外表上有A 、B 、C 三点，AB =1,BC，A 、C，那么球心到平面ABC 的间隔为.〔15〕3621(1)()x x x++展开式中的常数项为.〔16〕设(0,)2x π∈，那么函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为. 三、解答题：本大题一一共6小题，一共74分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.〔17〕〔本小题总分值是12分〕在△ABC 中，内角A ，B ,C ，对边的边长分别是a ,b ,c .2,3cC π==. 〔Ⅰ〕假设△ABC，求a ,b ;〔Ⅱ〕假设sin 2sin B A =，求△ABC 的面积.〔18〕〔本小题总分值是12分〕某批发场对某种商品的周销售量〔单位：吨〕进展统计，最近100周的统计结果如下表所示：〔Ⅰ〕根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率;〔Ⅱ〕假设以上述频率作为概率，且各周的销售量互相HY ，求〔i 〕4周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率;〔ii 〕该种商品4周的销售量总和至少为15吨的概率.〔19〕〔本小题总分值是12分〕如图，在棱长为1的正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AP =BQ =b 〔0＜b ＜1〕，截面PQEF ∥A ′D ，截面PQGH ∥AD ′.〔Ⅰ〕证明：平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直;〔Ⅱ〕证明：截面PQEF 和截面PQGH 面积之和是定值，并求出这个值;〔Ⅲ〕假设12b =，求D ′E 与平面PQEF 所成角的正弦值. 〔20〕〔本小题总分值是12分〕数列{a n },{b n }是各项均为正数的等比数列，设(N*)n n nb c n a =∈.〔Ⅰ〕数列{c n }是否为等比数列？证明你的结论; 〔Ⅱ〕设数列{tna n },{lnb n }的前n 项和分别为S n ,T n .假设12,,21n n S n a T n ==+求数列{c n}的前n 项和. (21)〔本小题总分值是12分〕在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点〔0，－3〕、〔0，3〕的间隔之和等于4.设点P 的轨迹为C .(Ⅰ)写出C 的方程； (Ⅱ)设直线y =kx +1与C 交于A 、B 两点.k 为何值时?OB OA⊥此时|AB |的值是多少？(22)〔本小题总分值是14分〕设函数f (x )=ax 3+bx 2－3a 2x +1(a 、b ∈R )在x =x 1，x =x2处获得极值，且|x 1－x 2|=2. (Ⅰ)假设a =1，求b 的值，并求f (x )的单调区间； (Ⅱ)假设a ＞0，求b 的取值范围.。

2024年辽宁高考数学试题(含答案)

2024年辽宁高考数学试题及答案本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．已知1i z =--，则z =（）A ．0B ．1C D ．22．已知命题p ：x ∀∈R ，|1|1x +>；命题q ：0x ∃>，3x x =，则（）A ．p 和q 都是真命题B ．p ⌝和q 都是真命题C ．p 和q ⌝都是真命题D ．p ⌝和q ⌝都是真命题3．已知向量,a b满足1,22a a b =+= ，且()2b a b -⊥ ，则b = （）A ．12B C D ．14．某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）并部分整理下表亩产量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1100，1150）[1150，1200）频数612182410据表中数据，结论中正确的是（）A ．100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB ．100块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%C ．100块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间D ．100块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间5．已知曲线C ：2216x y +=（0y >），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为（）A ．221164x y +=（0y >）B ．221168x y +=（0y >）C ．221164y x +=（0y >）D ．221168y x +=（0y >）6．设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈-时，曲线()y f x =与()y g x =恰有一个交点，则=a （）A ．1-B ．12C ．1D ．27．已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为（）A ．12B ．1C ．2D ．38．设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为（）A ．18B ．14C ．12D ．1二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．对于函数()sin 2f x x =和π()sin(2)4g x x =-，下列正确的有（）A ．()f x 与()g x 有相同零点B ．()f x 与()g x 有相同最大值C ．()f x 与()g x 有相同的最小正周期D ．()f x 与()g x 的图像有相同的对称轴10．抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（）A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B 三点共线时，||PQ =C ．当||2PB =时，PA AB⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个11．设函数32()231f x x ax =-+，则（）A ．当1a >时，()f x 有三个零点B ．当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若347a a +=，2535a a +=，则10S = .13．已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan tan 4αβ+=，tan tan 1αβ=，则sin()αβ+= .14．在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是．四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =．(1)求A ．(2)若2a =sin sin 2C c B =，求ABC 的周长．16．已知函数3()e x f x ax a =--．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；(2)若()f x 有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．17．如图，平面四边形ABCD 中，8AB =，3CD =，AD =90ADC ︒∠=，30BAD ︒∠=，点E ，F 满足25AE AD = ，12AF AB =，将AEF △沿EF 对折至PEF !，使得PC =(1)证明：EF PD ⊥；(2)求面PCD 与面PBF 所成的二面角的正弦值．18．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p ，乙每次投中的概率为q ，各次投中与否相互独立．(1)若0.4p =，0.5q =，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．(2)假设0p q <<，（i ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？（ii ）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？19．已知双曲线()22:0C x y m m -=>，点()15,4P 在C 上，k 为常数，01k <<．按照如下方式依次构造点()2,3,...n P n =，过1n P -作斜率为k 的直线与C 的左支交于点1n Q -，令n P 为1n Q -关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y .(1)若12k =，求22,x y ；(2)证明：数列{}n n x y -是公比为11kk+-的等比数列；(3)设n S 为12n n n P P P ++ 的面积，证明：对任意的正整数n ，1n n S S +=.1．C【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.【详解】若1i z =--=故选：C.2．B【分析】对于两个命题而言，可分别取=1x -、1x =，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.【详解】对于p 而言，取=1x -，则有101x +=<，故p 是假命题，p ⌝是真命题，对于q 而言，取1x =，则有3311x x ===，故q 是真命题，q ⌝是假命题，综上，p ⌝和q 都是真命题.故选：B.3．B【分析】由()2b a b -⊥ 得22b a b =⋅，结合1,22a a b =+= ，得22144164a b b b +⋅+=+= ，由此即可得解.【详解】因为()2b a b -⊥ ，所以()20b a b -⋅= ，即22b a b =⋅，又因为1,22a a b =+=，所以22144164a b b b +⋅+=+= ，故选：B.4．C【分析】计算出前三段频数即可判断A ；计算出低于1100kg 的频数，再计算比例即可判断B ；根据极差计算方法即可判断C ；根据平均值计算公式即可判断D.【详解】对于 A, 根据频数分布表可知, 612183650++=<,所以亩产量的中位数不小于 1050kg , 故 A 错误；对于B ，亩产量不低于1100kg 的频数为341024=+，所以低于1100kg 的稻田占比为1003466%100-=，故B 错误；对于C ，稻田亩产量的极差最大为1200900300-=，最小为1150950200-=，故C 正确；对于D ，由频数分布表可得，亩产量在[1050,1100)的频数为100(612182410)30-++++=，所以平均值为1(692512975181025301075241125101175)1067100⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故D 错误.故选；C.5．A【分析】设点(,)M x y ，由题意，根据中点的坐标表示可得(,2)P x y ，代入圆的方程即可求解.【详解】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x '，因为M 为PP '的中点，所以02y y =，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y +=>上，所以22416(0)x y y +=>，即221(0)164x y y +=>，即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y +=>.故选：A 6．D【分析】解法一：令()()21,cos a x F x ax G x =-=+，分析可知曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得2a =，并代入检验即可；解法二：令()()()(),1,1h x f x g x x =-∈-，可知()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即可得2a =，并代入检验即可.【详解】解法一：令()()f x g x =，即2(1)1cos 2a x x ax +-=+，可得21cos a x ax -=+，令()()21,cos a x F x ax G x =-=+，原题意等价于当(1,1)x ∈-时，曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，注意到()(),F x G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得()()00F G =，即11a -=，解得2a =，若2a =，令()()F x G x =，可得221cos 0x x +-=因为()1,1x ∈-，则220,1cos 0x x ≥-≥，当且仅当0x =时，等号成立，可得221cos 0x x +-≥，当且仅当0x =时，等号成立，则方程221cos 0x x +-=有且仅有一个实根0，即曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点，所以2a =符合题意；综上所述：2a =.解法二：令()()()2()1cos ,1,1h x f x g x ax a x x =-=+--∈-，原题意等价于()h x 有且仅有一个零点，因为()()()()221cos 1cos h x a x a x ax a x h x -=-+---=+--=，则()h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0，即()020h a =-=，解得2a =，若2a =，则()()221cos ,1,1h x x x x =+-∈-，又因为220,1cos 0x x ≥-≥当且仅当0x =时，等号成立，可得()0h x ≥，当且仅当0x =时，等号成立，即()h x 有且仅有一个零点0，所以2a =符合题意；故选：D.7．B【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高h =的结构特征求得AM =111ABC A B C -补成正三棱锥-P ABC ，1A A 与平面ABC 所成角即为PA 与平面ABC 所成角，根据比例关系可得18P ABC V -=，进而可求正三棱锥-P ABC 的高，即可得结果.【详解】解法一：分别取11,BC B C 的中点1,D D ，则11AD A D =可知1111166222ABC A B C S S =⨯⨯==⨯= 设正三棱台111ABC A B C -的为h ，则(11115233ABC A B C V h -==，解得h =如图，分别过11,A D 作底面垂线，垂足为,M N ，设AM x =，则1AADN AD AM MN x=--=，可得1DD==结合等腰梯形11BCC B可得22211622BB DD-⎛⎫=+⎪⎝⎭,即()221616433x x+=-++，解得x=所以1A A与平面ABC所成角的正切值为11tan1A MA ADAMÐ==；解法二：将正三棱台111ABC A B C-补成正三棱锥-P ABC，则1A A与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角，因为11113PA A BPA AB==，则111127P A B CP ABCVV--=，可知1112652273ABC A B C P ABCV V--==，则18P ABCV-=，设正三棱锥-P ABC的高为d，则11661832P ABCV d-=⨯⨯⨯=，解得d=，取底面ABC的中心为O，则PO⊥底面ABC，且AO=所以PA与平面ABC所成角的正切值tan1POPAOAO∠==.故选：B.8．C【分析】解法一：由题意可知：()f x的定义域为(),b-+∞，分类讨论a-与,1b b--的大小关系，结合符号分析判断，即可得1b a =+，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析ln()x b +的符号，进而可得x a +的符号，即可得1b a =+，代入可得最值.【详解】解法一：由题意可知：()f x 的定义域为(),b -+∞，令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；若-≤-a b ，当(),1x b b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<，此时()0f x <，不合题意；若1b a b -<-<-，当(),1x a b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<，此时()0f x <，不合题意；若1a b -=-，当(),1x b b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +<+<，此时()0f x >；当[)1,x b ∈-+∞时，可知()0,ln 0x a x b +≥+≥，此时()0f x ≥；可知若1a b -=-，符合题意；若1a b ->-，当()1,x b a ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +<+>，此时()0f x <，不合题意；综上所述：1a b -=-，即1b a =+，则()2222211112222a b a a a ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭+，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12；解法二：由题意可知：()f x 的定义域为(),b -+∞，令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；则当(),1x b b ∈--时，()ln 0x b +<，故0x a +≤，所以10b a -+≤；()1,x b ∈-+∞时，()ln 0x b +>，故0x a +≥，所以10b a -+≥；故10b a -+=，则()2222211112222a b a a a ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭+，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12.故选：C.【点睛】关键点点睛：分别求0x a +=、ln()0x b +=的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.9．BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A 选项，令()sin 20f x x ==，解得π,2k x k =∈Z ，即为()f x 零点，令π()sin(2)04g x x =-=，解得ππ,28k x k =+∈Z ，即为()g x 零点，显然(),()f x g x 零点不同，A 选项错误；B 选项，显然max max ()()1f x g x ==，B 选项正确；C 选项，根据周期公式，(),()f x g x 的周期均为2ππ2=，C 选项正确；D 选项，根据正弦函数的性质()f x 的对称轴满足πππ2π,224k x k x k =+⇔=+∈Z ，()g x 的对称轴满足πππ3π2π,4228k x k x k -=+⇔=+∈Z ，显然(),()f x g x 图像的对称轴不同，D 选项错误.故选：BC 10．ABD【分析】A 选项，抛物线准线为=1x -，根据圆心到准线的距离来判断；B 选项，,,P A B 三点共线时，先求出P 的坐标，进而得出切线长；C 选项，根据2PB =先算出P 的坐标，然后验证1PA AB k k =-是否成立；D 选项，根据抛物线的定义，PB PF =，于是问题转化成PA PF =的P 点的存在性问题，此时考察AF 的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设P 点坐标进行求解.【详解】A 选项，抛物线24y x =的准线为=1x -，A 的圆心(0,4)到直线=1x -的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l 和A 相切，A 选项正确；B 选项，,,P A B 三点共线时，即PA l ⊥，则P 的纵坐标4P y =，由24P P y x =，得到4P x =，故(4,4)P ，此时切线长PQ ===，B 选项正确；C 选项，当2PB =时，1P x =，此时244P P y x ==，故(1,2)P 或(1,2)P -，当(1,2)P 时，(0,4),(1,2)A B -，42201PA k -==--，4220(1)AB k -==--，不满足1PA AB k k =-；当(1,2)P -时，(0,4),(1,2)A B -，4(2)601PA k --==--，4(2)60(1)AB k --==--，不满足1PA AB k k =-；于是PA AB ⊥不成立，C 选项错误；D 选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，PB PF =，这里(1,0)F ，于是PA PB =时P 点的存在性问题转化成PA PF =时P 点的存在性问题，(0,4),(1,0)A F ，AF 中点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，AF 中垂线的斜率为114AF k -=，于是AF 的中垂线方程为：2158x y +=，与抛物线24y x =联立可得216300y y -+=，2164301360∆=-⨯=>，即AF 的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P 点，使得PA PF =，D 选项正确.方法二：（设点直接求解）设2,4t P t ⎛⎫⎪⎝⎭，由PB l ⊥可得()1,B t -，又(0,4)A ，又PA PB =，214t =+，整理得216300t t -+=，2164301360∆=-⨯=>，则关于t 的方程有两个解，即存在两个这样的P 点，D 选项正确.故选：ABD11．AD【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为0,x x a ==，根据零点存在定理和极值的符号判断出()f x 在(1,0),(0,),(,2)a a a -上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，则()(2)f x f b x =-为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【详解】A 选项，2()666()f x x ax x x a '=-=-，由于1a >，故()(),0,x a ∞∞∈-⋃+时()0f x '>，故()f x 在()(),0,,a ∞∞-+上单调递增，(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，则()f x 在0x =处取到极大值，在x a =处取到极小值，由(0)10=>f ，3()10f a a =-<，则(0)()0f f a <，根据零点存在定理()f x 在(0,)a 上有一个零点，又(1)130f a -=--<，3(2)410f a a =+>，则(1)(0)0,()(2)0f f f a f a -<<，则()f x 在(1,0),(,2)a a -上各有一个零点，于是1a >时，()f x 有三个零点，A 选项正确；B 选项，()6()f x x x a '=-，a<0时，(,0),()0x a f x '∈<，()f x 单调递减，,()0x ∈+∞时()0f x '>，()f x 单调递增，此时()f x 在0x =处取到极小值，B 选项错误；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，即存在这样的,a b 使得()(2)f x f b x =-，即32322312(2)3(2)1x ax b x a b x -+=---+，根据二项式定理，等式右边3(2)b x -展开式含有3x 的项为303332C (2)()2b x x -=-，于是等式左右两边3x 的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，C 选项错误；D 选项，方法一：利用对称中心的表达式化简(1)33f a =-，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，事实上，32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812f x f x x ax x a x a x a x a +-=-++---+=-+-+-，于是266(126)(1224)1812a a x a x a-=-+-+-即126012240181266a a a a -=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩，解得2a =，即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，32()231f x x ax =-+，2()66f x x ax '=-，()126f x x a ''=-，由()02af x x ''=⇔=，于是该三次函数的对称中心为,22a a f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意(1,(1))f 也是对称中心，故122aa =⇔=，即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确.故选：AD【点睛】结论点睛：（1）()f x 的对称轴为()(2)x b f x f b x =⇔=-；（2）()f x 关于(,)a b 对称()(2)2f x f a x b ⇔+-=；（3）任何三次函数32()f x ax bx cx d =+++都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是()0f x ''=的解，即,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是三次函数的对称中心12．95【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出1,a d ，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.【详解】因为数列n a 为等差数列，则由题意得()1111237345a d a d a d a d +++=⎧⎨+++=⎩，解得143a d =-⎧⎨=⎩，则()10110910104453952S a d ⨯=+=⨯-+⨯=.故答案为：95.13．【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得()tan αβ+=-，再缩小αβ+的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++===--因为π3π2π,2π,2ππ,2π22k k m m αβ⎛⎫⎛⎫∈+∈++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,Z k m ∈，则()()()22ππ,22π2πm k m k αβ+∈++++，,Z k m ∈，又因为()tan 0αβ+=-<，则()()3π22π,22π2π2m k m k αβ⎛⎫+∈++++ ⎪⎝⎭，,Z k m ∈，则()sin 0αβ+<，则()()sin cos αβαβ+=-+ ()()22sin cos 1αβαβ+++=，解得()sin αβ+=法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cos 0,cos 0αβ><,cos α==，cos β=则sin()sin cos cos sin cos cos (tan tan )αβαβαβαβαβ+=+=+4cos cos αβ=====故答案为：14． 24 112【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，即可求解.【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有432124⨯⨯⨯=种选法；每种选法可标记为(,,,)a b c d ，a b c d ,,,分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有的可能结果为：(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42)，(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40)，(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40)，(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40)，所以选中的方格中，(15,21,33,43)的4个数之和最大，为152********+++=.故答案为：24；112【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列举法写出所有的可能结果.15．(1)π6A =(2)2+【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 2A A =进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长.【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由sin 2A A =可得1sin 12A A =，即sin()1π3A +=，由于ππ4π(0,π)(,)333A A ∈⇒+∈，故ππ32A +=，解得π6A =方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 2A A =，又22sin cos 1A A +=，消去sin A 得到：224cos 30(2cos 0A A A -+=⇔=，解得cos A =又(0,π)A ∈，故π6A =方法三：利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x =<<，则π()2sin (0π)3f x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，显然π6x =时，max ()2f x =，注意到π()sin 22sin(3f A A A A =+==+，max ()()f x f A =，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A =必定是极值点，即()0cos f A A A '==，即tan A =又(0,π)A ∈，故π6A =方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(sin ,cos )a b A A ==，由题意，sin 2a b A A ⋅==，根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b ⋅== ，则2cos ,2cos ,1a b a b =⇔= ，此时,0a b =，即,a b 同向共线，根据向量共线条件，1cos sin tan A A A ⋅=⇔又(0,π)A ∈，故π6A =方法五：利用万能公式求解设tan 2A t =，根据万能公式，22sin 21t A A t ==+整理可得，2222(2(20((2t t t -+==-，解得tan22A t ==22tan 1t A t ==-，又(0,π)A ∈，故π6A =（2）由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=，又,(0,π)B C ∈，则sin sin 0B C ≠，进而cos B =π4B =，于是7ππ12C A B =--=，sin sin(π)sin()sin cos sin cos C A B A B A B B A =--=+=+=由正弦定理可得，sin sin sin a b cA B C ==，即2ππ7πsin sin sin6412b c==，解得b c ==故ABC 的周长为216．(1)()e 110x y ---=(2)()1,+∞【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；（2）解法一：求导，分析0a ≤和0a >两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得2ln 10a a +->，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知()e '=-xf x a 有零点，可得0a >，进而利用导数求()f x 的单调性和极值，分析可得2ln 10a a +->，构建函数解不等式即可.【详解】（1）当1a =时，则()e 1x f x x =--，()e 1x f x '=-，可得(1)e 2f =-，(1)e 1f '=-，即切点坐标为()1,e 2-，切线斜率e 1k =-，所以切线方程为()()()e 2e 11y x --=--，即()e 110x y ---=.（2）解法一：因为()f x 的定义域为R ，且()e '=-x f x a ，若0a ≤，则()0f x '≥对任意x ∈R 恒成立，可知()f x 在R 上单调递增，无极值，不合题意；若0a >，令()0f x '>，解得ln x a >；令()0f x '<，解得ln x a <；可知()f x 在(),ln a -∞内单调递减，在()ln ,a +∞内单调递增，则()f x 有极小值()3ln ln f a a a a a =--，无极大值，由题意可得：()3ln ln 0f a a a a a =--<，即2ln 10a a +->，构建()2ln 1,0g a a a a =+->，则()120g a a a'=+>，可知()g a 在()0,∞+内单调递增，且()10g =，不等式2ln 10a a +->等价于()()1g a g >，解得1a >，所以a 的取值范围为()1,+∞；解法二：因为()f x 的定义域为R ，且()e '=-x f x a ，若()f x 有极小值，则()e '=-x f x a 有零点，令()e 0x f x a '=-=，可得e x a =，可知e x y =与y a =有交点，则0a >，若0a >，令()0f x '>，解得ln x a >；令()0f x '<，解得ln x a <；可知()f x 在(),ln a -∞内单调递减，在()ln ,a +∞内单调递增，则()f x 有极小值()3ln ln f a a a a a =--，无极大值，符合题意，由题意可得：()3ln ln 0f a a a a a =--<，即2ln 10a a +->，构建()2ln 1,0g a a a a =+->，因为则2,ln 1y a y a ==-在()0,∞+内单调递增，可知()g a 在()0,∞+内单调递增，且()10g =，不等式2ln 10a a +->等价于()()1g a g >，解得1a >，所以a 的取值范围为()1,+∞.17．(1)证明见解析【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得2EF =，利用勾股定理的逆定理可证得EF AD ⊥，则,EF PE EF DE ⊥⊥，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；（2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明PE ED ⊥，建立如图空间直角坐标系E xyz -，利用空间向量法求解面面角即可.【详解】（1）由218,,52AB AD AE AD AF AB ====，得4AE AF ==，又30BAD ︒∠=，在AEF △中，由余弦定理得2EF ,所以222AE EF AF +=，则AE EF ⊥，即EF AD ⊥，所以,EF PE EF DE ⊥⊥，又,PE DE E PE DE =⊂ 、平面PDE ，所以EF ⊥平面PDE ，又PD ⊂平面PDE ，故EF ⊥PD ；（2）连接CE，由90,3ADC ED CD ︒∠===，则22236CE ED CD =+=，在PEC中，6PC PE EC ===，得222EC PE PC +=，所以PE EC ⊥，由（1）知PE EF ⊥，又,EC EF E EC EF =⊂ 、平面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD ，又ED ⊂平面ABCD ，所以PE ED ⊥，则,,PE EF ED 两两垂直，建立如图空间直角坐标系E xyz -，则(0,0,0),(0,0,(2,0,0),(0,E P D C F A -，由F 是AB的中点，得(4,B ，所以(4,(2,0,PC PD PB PF =-=-=-=-，设平面PCD 和平面PBF 的一个法向量分别为111222(,,),(,,)n x y z m x y z == ，则11111300n PC x n PD ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，222224020m PB x m PF x ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令122,y x ==，得11220,3,1,1x z y z ===-=，所以(0,2,3),1,1)n m ==-，所以cos ,m nm n m n ⋅===设平面PCD 和平面PBF 所成角为θ，则sin θ==，即平面PCD 和平面PBF.18．(1)0.686(2)（i ）由甲参加第一阶段比赛；（i ）由甲参加第一阶段比赛；【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；（2）（i ）首先各自计算出331(1)P p q ⎡⎤=--⎣⎦甲，331(1)Pq p ⎡⎤=--⋅⎣⎦乙，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到X 和Y 的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可.【详解】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，∴比赛成绩不少于5分的概率()()3310.610.50.686P =--=.（2）（i ）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P p q ⎡⎤=--⎣⎦甲，若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P q p ⎡⎤=--⋅⎣⎦乙，0p q << ，3333()()P P q q pq p p pq ∴-=---+-甲乙()2222()()()()()()q p q pq p p q p pq q pq p pq q pq ⎡⎤=-+++-⋅-+-+--⎣⎦()2222()333p q p q p q pq =---3()()3()[(1)(1)1]0pq p q pq p q pq p q p q =---=---->，P P ∴>甲乙，应该由甲参加第一阶段比赛.(ii)若甲先参加第一阶段比赛，数学成绩X 的所有可能取值为0，5，10，15，333(0)(1)1(1)(1)P X p p q ⎡⎤==-+--⋅-⎣⎦，32123(5)1(1)C (1)P X p q q ⎡⎤==--⋅-⎣⎦，3223(10)1(1)C (1)P X p q q ⎡⎤==--⋅-⎣⎦，33(15)1(1)P X p q ⎡⎤==--⋅⎣⎦，()332()151(1)1533E X p q p p p q⎡⎤∴=--=-+⋅⎣⎦记乙先参加第一阶段比赛，数学成绩Y 的所有可能取值为0，5，10，15，同理()32()1533E Y q q q p=-+⋅()()15[()()3()]E X E Y pq p q p q pq p q ∴-=+---15()(3)p q pq p q =-+-，因为0p q <<，则0p q -<，31130p q +-<+-<，则()(3)0p q pq p q -+->，∴应该由甲参加第一阶段比赛.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出相关概率和期望，采用作差法并因式分解从而比较出大小关系，最后得到结论.19．(1)23x =，20y =(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出2P 的坐标即可；（2）根据等比数列的定义即可验证结论；（3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明n S 的取值为与n 无关的定值即可.思路二：使用等差数列工具，证明n S 的取值为与n 无关的定值即可.【详解】（1）由已知有22549m =-=，故C 的方程为229x y -=.当12k =时，过()15,4P 且斜率为12的直线为32x y +=，与229x y -=联立得到22392x x +⎛⎫-= ⎪⎝⎭.解得3x =-或5x =，所以该直线与C 的不同于1P 的交点为()13,0Q -，该点显然在C 的左支上.故()23,0P ，从而23x =，20y =.（2）由于过(),n n n P x y 且斜率为k 的直线为()n n y k x x y =-+，与229x y -=联立，得到方程()()229n n x k x x y --+=.展开即得()()()2221290n n n n k x k y kx x y kx ------=，由于(),n n n P x y 已经是直线()n n y k x x y =-+和229x y -=的公共点，故方程必有一根n x x =.从而根据韦达定理，另一根()2222211n n n n nn k y kx ky x k x x x k k ---=-=--，相应的()2221n n nn n y k y kx y k x x y k +-=-+=-.所以该直线与C 的不同于n P 的交点为222222,11n n n n n nn ky x k x y k y kx Q k k ⎛⎫--+- ⎪--⎝⎭，而注意到n Q 的横坐标亦可通过韦达定理表示为()()2291n n ny kx k x----，故n Q 一定在C 的左支上.所以2212222,11n n n n n nn x k x ky y k y kx P k k +⎛⎫+-+- ⎪--⎝⎭.这就得到21221n n n n x k x ky x k ++-=-，21221n n nn y k y kx y k ++-=-.所以2211222211n n n n n nn n x k x ky y k y kx x y k k +++-+--=---()()222222*********n n n n n n n nn n x k x kx y k y ky k k kx y x y k k k k+++++++=-=-=-----.再由22119x y -=，就知道110x y -≠，所以数列{}n n x y -是公比为11k k +-的等比数列.（3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点,,U V W ，若(),UV a b = ，(),UW c d =，则12UVW S ad bc =- .（若,,U V W 在同一条直线上，约定0UVW S = ）证明：1sin ,2UVW S UV UW UV UW =⋅=12UV UW =⋅===12ad bc ===-.证毕，回到原题.由于上一小问已经得到21221n n n n x k x ky x k ++-=-，21221n n nn y k y kx y k ++-=-，故()()22211222221211111n n n n n n n n n n n n x k x ky y k y kx k k kx y x y x y k k k k+++-+-+--+=+=+=+---+.再由22119x y -=，就知道110x y +≠，所以数列{}n n x y +是公比为11kk-+的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有n n m n n m x y y x ++-()()()()()()1122n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m x x y y x y y x x x y y x y y x ++++++++=-+-----()()()()1122n n n m n m n n n m n m x y x y x y x y ++++=-+-+-()()()()11112121mmn n n n n n n n k k x y x y x y x y k k -+⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭()22111211mmn n k k x y k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭911211mmk k k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而又有()()()111,n n n n n n P P x x y y +++=---- ，()122121,n n n n n n P P x x y y ++++++=--，故利用前面已经证明的结论即得()()()()1212112112n n n n P P P n n n n n n n n S S x x y y y y x x ++++++++==---+-- ()()()()12112112n n n n n n n n x x y y y y x x ++++++=-----()()()1212112212n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x x y y x ++++++++=-+---2219119119112211211211k k k k k k k k k k k k ⎛⎫-+-+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+-+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.这就表明n S 的取值是与n 无关的定值，所以1n n S S +=.方法二：由于上一小问已经得到21221n n n n x k x ky x k ++-=-，21221n n n n y k y kx y k ++-=-，故()()22211222221211111n n n n n n n n n nn n x k x ky y k y kx k k kx y x y x y k k k k+++-+-+--+=+=+=+---+.再由22119x y -=，就知道110x y +≠，所以数列{}n n x y +是公比为11kk-+的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有n n m n n m x y y x ++-()()()()()()1122n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m x x y y x y y x x x y y x y y x ++++++++=-+-----()()()()1122n n n m n m n n n m n m x y x y x y x y ++++=-+-+-()()()()11112121mmn n n n n n n n k k x y x y x y x y k k -+⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭()22111211mmn n k k x y k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭911211mmk k k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.这就得到232311911211n n n n n n n n k k x y y x x y y x k k ++++++-+⎛⎫-=-=- ⎪+-⎝⎭，以及22131322911211n n n n n n n n k k x y y x x y y x k k ++++++⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.两式相减，即得()()()()232313131122n n n n n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x x y y x x y y x ++++++++++++---=---.移项得到232131232131n n n n n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x y x x y y x x y ++++++++++++--+=--+.故()()()()321213n n n n n n n n y y x x y y x x ++++++--=--.而()333,n n n n n n P P x x y y +++=-- ，()122121,n n n n n n P P x x y y ++++++=--.所以3n n P P + 和12n n P P ++ 平行，这就得到12123n n n n n n P P P P P P S S +++++= ，即1n n S S +=.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.。

【高三】辽宁2021年高考文科数学试题(带答案和解释)

【高三】辽宁2021年高考文科数学试题（带答案和解释）绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（可供文科学生采用）第i卷一、：本大题共12小题，每小题5分后，共40分后.在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的.（1）已知集合（a）（b）（c）（d）（2）复数的模为（a）（b）（c）（d）（3）已知点（a）（b）（c）（d）（4）下面就是关于公差的等差数列的四个命题：其中的真命题为（a）（b）（c）（d）（5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（a）（b）（c）（d）（6）在，内角面元的边长分别为a．b．c．d．（7）未知函数a．b．c．d．（8）继续执行如图所示的程序框图，若输出a．b．c．d．（9）未知点a．b．c．d．（10）已知三棱柱a．b．c．d．（11）已知椭圆的左焦点为f（a）（b）（c）（d）（12）已知函数设表示中的较大值，表示中的较小值，记得最小值为得最小值为,则（a）（b）（c）（d）第ii卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题-第22题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题-第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、题：本大题共4小题，每小题5分后.（13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是.（14）未知等比数列.（15）未知为双曲线.（16）为了实地考察某校各班出席课外书法小组的人数，在全校随机提取5个班级，把每个班级出席该小组的指出做为样本数据.未知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分后）设向量（i）若（ii）设函数18．（本小题满分12分后）如图，（i）澄清：（ii）设19．（本小题满分12分后）现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取3道题解答.试求：（i）所出的2道题都就是甲类题的概率；（ii）所取的2道题不是同一类题的概率.20．（本小题满分12分后）如图，抛物线（i）；（ii）21．（本小题满分12分后）（i）证明：当（ii）若不等式值域范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。

高考最新-2018年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)文科数学试题及解答(WORD版) 精品

2018年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学(文史类) 第I 卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式 P （A+B ）=P （A ）+P （B ）24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率P ，那343V R π=么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)kn k n n P k C P P -=-一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.（1）函数1sin(3)2y x =+的最小正周期是（A ）2π（B ）π （C ）2π （D ）4π （2）设集合A={1,2}，则满足A ∪B={1,2,3}的集合B 的个数是（A ）1 （B ）3 （C ）4 （D ）8（3）设()f x 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是（A ）()()f x f x -是奇函数（B ）()()f x f x -是奇函数（C ）()()f x f x +-是偶函数（D ）()()f x f x --是偶函数（4）1234566666C C C C C ++++的值为（A ）61 （B ）62 （C ）63 （D ）64 （5）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（A ）一椭圆和一双曲线的离心率（B ）两抛物线的离心率（C ）一椭圆和一抛物线的离心率（D ）两椭圆的离心率（6）给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③若直线12,l l 与同一平面所成的角相等，则12,l l 互相平行. ④若直线12,l l 是异面直线，则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线. 其中假命题的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（7）双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（A ）0,0,03x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩ （B ）0,0,03x y x y x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ （C ）0,0,03x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ （D ）0,0,03x y x y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩（8）设○+是R 上的一个运算，A 是R 的非空子集.若对任意,a b A ∈有a ○+b A ∈，则称A 对运算○+封闭.下列数集对加法、减法、乘法和法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（A ）自然数集（B ）整数集（C ）有理数集（D ）无理数集（9）ABC 的三内角,,A B C ，所对边的长分别为,,a b c ，设向量p (,),a c b =+q (,).b a c a =--若p ∥q ，则角C 的大小为（A ）6π （B ）3π （C ）2π （D ）23π（10）已知等腰ABC 的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（A）2 （B（C）8 （D）7（11）与方程221(0)xx y ee x =-+≥的曲线关于直线y x =对称的曲线的方程为（A）ln(1y =（B）ln(1y =（C）ln(1y =-（D）ln(1y =-（12）曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y n n n+=<<--的（A ）离心率相等（B ）焦距相等（C ）焦点相同（D ）准线相同第Ⅱ卷（非选择题共90分）二填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.（13）方程(1)(1)22log 2log x x -+=-的解为____________.（14）设,0,()ln ,0,x e x g x x x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =__________（15）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF -，则此正六棱锥的侧面积是___________.（16）5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有__________种。

高考辽宁文科科数学试题及答案word解析版

20１4年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁）数学（文科)第Ⅰ卷(共６0分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1)【2０１4年辽宁,文1，５分】已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合U ()A B =( ）（A ）{|0}x x ≥ （B ）{|1}x x ≤ (C){|01}x x ≤≤ （D){|01}x x << 【答案】Ｄ【解析】{}10A B x x x =≥≤或，∴{}U ()01A B x x =<<，故选D ．【点评】本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法. （２)【2０14年辽宁，文2,5分】设复数z 满足(2i)(2i)5z --=,则z =( )(A ）23i + (B ）23i - (C ）32i + （D)32i - 【答案】Ａ【解析】由(2i)(2i)5z --=,得:()()()52i 52i 2i 2i 2i 2i z +-===+--+,∴23i z =+，故选A ．【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算,是基础的计算题．（３)【2014年辽宁，文3,５分】已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =,则（）（A ）a b c >> (B)a c b >> （Ｃ)c b a >> （D)c a b >>【答案】D【解析】∵1030221a -<=<=,221log log 103b =<=，12221log log 3log 213c ==>=，∴c a b >>，故选D ．【点评】本题考查指数的运算性质和对数的运算性质,在涉及比较两个数的大小关系时,有时借助于０、１这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题.(4)【２0１4年辽宁，文4,5分】已知,m n 表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是( )ﻩ（A ）若//m α,//n α,则//m n （B ）若m α⊥,n α⊂,则m n ⊥ (C)若m α⊥,m n ⊥，则//n α （D)若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 【答案】B【解析】A:若//m α，//n α,则m ,n 相交或平行或异面,故Ａ错；B.若m α⊥，n α⊂,则m n ⊥，故B 正确；Ｃ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n α⊂，故Ｃ错；D.若//m α，m n ⊥，则//n α或n α⊂或n α⊥,故Ｄ错，故选B ．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质,记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．（5)【2０１4年辽宁,文５，5分】设,,a b c 是非零向量，已知命题p :若0=a b ，0=b c ，则0=a c ;命题q :若a b ,b c ,则a c ，则下列命题中真命题是（ )(A)p q ∨ （B)p q ∧ (C)()()p q ⌝∧⌝ (D)()p q ∨⌝ 【答案】A 【解析】若0=a b ,0=b c ，则a b =b c ，即()0-=a c b ,则0a c =不一定成立，故命题p 为假命题，若a b ,b c ,则a c ,故命题ｑ为真命题，则p q ∨,为真命题，p q ∧，()()p q ⌝∧⌝，()p q ∨⌝都为假命题,故选A ．【点评】本题主要考查复合命题之间的判断,利用向量的有关概念和性质分别判断p ,q 的真假是解决本题的关键． (6）【２0１4年辽宁，文6,5分】若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中,其中2AB =,1BC =,则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )（Ａ)2π （Ｂ）4π （C ）6π （Ｄ)8π【答案】BA【解析】2112()124P A ππ⋅==⨯,故选Ｂ. 【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，求出对应的图形的面积是解决本题的关键,比较基础. （７）【201４年辽宁,文７，5分】某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）（A)84π-(B)82π-(Ｃ)8π- (D)82π-【答案】C【解析】由三视图知：几何体是正方体切去两个14圆柱，正方体的棱长为2,切去的圆柱的底面半径为１，高为2,∴几何体的体积321221284V ππ=-⨯⨯⨯⨯=-,故选C.【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．（8)【2０14年辽宁，文8，５分】已知点(2,3)A -在抛物线C :22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF的斜率为( ）（A)43- (Ｂ)1- (Ｃ）34- (Ｄ）12-【答案】Ｃ【解析】∵点(2,3)A -在抛物线C :22y px =的准线上，∴22p =,∴()2,0F ，∴直线AF 的斜率为33224=---，故选C.【点评】本题考查抛物线的性质,考查直线斜率的计算，考查学生的计算能力，属于基础题.（9)【2０1４年辽宁,文９，5分】设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列{}12n a a 为递减数列，则( )（A ）0d > （B ）0d < (C)10a d > (Ｄ）10a d < 【答案】Ｄ【解析】∵等差数列{}n a 的公差为d ，∴1n n a a d +-=,又数列{}12na a 为递减数列，∴11112212n n a a a d a a +=<，∴10a d <,故选D ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性、指数函数的运算法则等基础知识与基本技能方法,属于中档题．(１0）【2０14年辽宁,文１0，５分】已知()f x 为偶函数，当0x ≥时,1cos ,[0,]2()121,(,)2x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x -≤的解集为( ）(Ａ）1247[,][,]4334 （B)3112[,][,]4343-- (Ｃ)1347[,][,]3434 (Ｄ）3113[,][,]4334--【答案】A【解析】当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,由()12f x =，即1cos 2x π=，则3x ππ=，即13x =,当12x >时,由()12f x =，得1212x -=，解得34x =，则当0x ≥时，不等式()12f x ≤的解为1334x ≤≤，(如图）则由()f x 为偶函数，∴当0x <时，不等式()12f x ≤的解为3143x -≤≤-，即不等式()12f x ≤的解为1334x ≤≤或3143x -≤≤-，则由31143x -≤-≤-或13134x ≤-≤,解得1243x ≤≤或4734x ≤≤，即不等式1(1)2f x -≤的解集为1243x ≤≤或4734x ≤≤，故选Ａ．【点评】本题主要考查不等式的解法，利用分段函数的不等式求出0x ≥时，不等式()12f x ≤的解是解决本题的关键.（１1）【201４年辽宁，文11，5分】将函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度,所得图象对应的函数（）(A)在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减（B ）在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增（C ）在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 (D)在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】B【解析】把函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为:3sin 223y x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．即23sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．由2222232k x k πππππ-+≤-≤+, 得71212k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z ．取0k =,得71212x ππ≤≤． ∴所得图象对应的函数在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故选B ．【点评】本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则,是中档题.（１2)【２０１4年辽宁，文12，5分】当[2,1]x ∈-时,不等式32430ax x x -++≥恒成立,则实数a 的取值范围是( ）（A)[5,3]-- (B)9[6,]8-- （C ）[6,2]-- （D)[4,3]--【答案】C【解析】当0x =时，不等式32430ax x x -++≥对任意a ∈R 恒成立；当01x <≤时,32430ax x x -++≥可化为23143a x x x ≥--，令()23143f x x x x=--,则()()()234491189x x f x x x x x -+'=-++=-(*），当01x <≤时,()0f x '>，()f x 在(]0,1上单调递增，()()max 16f x f ==-∴6a ≥-；当20x -≤<时，32430ax x x -++≥可化为23143a x x x≤--，由(*）式可知，当21x -≤≤-时，()0f x '<,()f x 单调递减，当10x -<<时,()0f x '>，()f x 单调递增，()()min 12f x f =-=-，∴2a ≤-;综上所述，实数a 的取值范围是62a -≤≤-，即实数a 的取值范围是[6,2]--,故选C ．【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想,按照自变量讨论,最后要对参数范围取交集;若按照参数讨论则取并集．第ＩI 卷(共９０分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分 (13）【2014年辽宁，文13,5分】执行右侧的程序框图,若输入3n =，则输出T = ．【答案】20【解析】由程序框图知:算法的功能是求()()()112123123T i =+++++++++++的值,当输入3n =时,跳出循环的i 值为4，∴输出1361020T =+++=．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键.(14)【2０14年辽宁，文14,5分】.已知x ，y 满足条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数34z x y =+的最大值为．【答案】18【解析】由约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩作出可行域如图,联立240330x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩,∴()2,3C ．化目标函数34z x y =+为直线方程的斜截式，得：344zy x =-+．由图可知,当直线344zy x =-+过点C 时，直线在y 轴上的截距最大，即z 最大.∴max 324318z =⨯+⨯=.【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题．(15）【2０14年辽宁,文１5,5分】已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ,线段MN 的中点在C 上,则||||AN BN += ．【答案】1２【解析】如图:MN 的中点为Q ，易得212QF NB =，112QF AN =,∵Q 在椭圆C 上,∴1226QF QF a +==，∴||||12AN BN +=.【点评】本题考查椭圆的定义，椭圆的基本性质的应用，基本知识的考查. (16）【20１4年辽宁，文１6,5分】对于0c >,当非零实数,a b 满足22420a ab b c -+-=,且使|2|a b +最大时,124a b c++的最小值为 . 【答案】1-【解析】∵22420a ab b c -+-=,∴22221342416c b a ab b a b ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭,由柯西不等式得，()22222233223223242b b a b a b a b ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎢⎥-++≥-+⋅=+ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎣⎦，故当2a b +最大时，有344223b a b -=,∴12a b =，2c b =,∴22124224111142a b c b b b b ⎛⎫++=++=+- ⎪⎝⎭，当2b =-时,取得最小值为1-．【点评】本题考查了柯西不等式，以及二次函数的最值问题,属于难题．三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17）【20１4年辽宁，文17，１2分】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边,,a b c ,且a c >,已知2BA BC ⋅=，1cos 3B =，3b =，求:（1)a 和c 的值；（2）cos()B C -的值．解：（1)由2BA BC =得cos 2ac B ⋅=.又1cos 3B =，所以6ac =．由余弦定理得22a c +=22cos b ac B +⋅. 又因为3b =,所以22a c +=21326133+⨯⨯=.解22613ac a c =⎧⎨+=⎩得23a c =⎧⎨=⎩或32a c =⎧⎨=⎩.因为a c >,32a c =⎧∴⎨=⎩． (2）在ABC ∆中,2sin 1cos B B =-21221()3=-=．由正弦定理得sin sin b cB C=, 所以222sin 3sin 3c B C b⨯==42=．因为a c >,所以角C 为锐角．2cos 1sin C C =-24271()99=-=.cos()B C -cos cos sin sin B C B C =+17224239=⨯+⨯2327=．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算,以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．(１8）【2０14年辽宁,文18,1２分】某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查, 喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生 60 ２０ 80 北方学生 10 1０ 2０合计７０ 30 １00(1”;(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取３人,求至多有1人喜欢甜品的概率．附：21212211222112)(++++-=n n n n n n n n n χ，解:(1)由题意，()2210060102010 4.762 3.84170308020X ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯,∴有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．(２）从这5名学生中随机抽取3人，共有3510C =种情况，有2名喜欢甜品,有133C =种情况, ∴至多有1人喜欢甜品的概率710．【点评】本题考查独立性检验的应用，考查古典概型及其概率计算公式，考查学生的计算能力,属于中档题. (19）【２014年辽宁,文１９，１2分】如图,ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直,且AB BC =2BD ==,o 120ABC DBC ∠=∠=,E 、F 、G 分别为AC 、DC 、AD 的中点. （１）求证：EF ⊥平面BC Ｇ; （2)求三棱锥D ﹣BCG 的体积．附:椎体的体积公式13V Sh =,其中S 为底面面积，h 为高.解:（1)∵2AB BC BD ===．120ABC DBC ∠=∠=︒,∴ABC DBC ∆∆≌，∴AC DC =，∵G 为AD 的中点，∴CG AD ⊥．同理BG AD ⊥，∵CG BG G =,∴AD ⊥平面BGC ， ∵//EF AD ，∴EF ⊥平面BCG ．(2）在平面ABC 内，作AO CB ⊥，交CB 的延长线于O ，∵ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直,∴AO ⊥平面BCD ，∵G 为AD 的中点∴G 到平面BCD 的距离h 是AO 长度的一半.在AOB ∆中，sin 603AO AB =︒=,1111sin1203322D BCG D BCD DCB V V S h BD BC --∆===⋅⋅⋅⋅︒=.【点评】本题考查线面垂直,考查三棱锥体积的计算,正确转换底面是关键．(２０）【201４年辽宁,文20,1２分】圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P (如图)． (1）求点P 的坐标;(2）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ,且与直线l :3y x =+交于A 、B 两点，若PAB ∆ 的面积为2，求C 的标准方程．解：（1）解法一：设圆半径r ，P 点上下两段线段长分别为2,,4m n r =，由射影定理得:2r mn =,三角形面积22422422421111444()168168162222s m n r m n r m n r r =++=+++≥++=++，仅当2m n ==时，s 取最大值,这时(2,2)P ．解法二：2()P k χ≥０.１00 0．050 0.0１0 k2.７06３.84１６．６35yxPO设切点P 的坐标为()00,x y ，且00x >,00y >．则切线的斜率为00x y -，故切线方程为()0000xy y x x y -=--，即001x x y y +=．此时，切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成的三角形的面积000014482S x y x y =⋅⋅=⋅.再根据22004x y +=≥00x y ==故点P的坐标为．（2)设椭圆方程22221x y a b +=,11(,)A x y ，22(,)B x y .椭圆过点P 得:22221a b+=，则P到直线y x =+的距离d =．由题得:Δ122ABP S d AB =⋅⋅=，解得AB =.由弦长公式得()()()2222121212123214243AB k x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=++-=+-=⎣⎦⎣⎦，即2121216()-43x x x x +=．把点P 代入方程得:22221a b +=,由22221y x x y a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得2210x a +-=，整理得2102x -=，12x x ∴+=，212232b x x b-=⋅,代入上式得2424831683b b b --⋅=，即4263103b b -+=，解得23b =，26a =，或26b =,23a =(舍)，所以椭圆方程为:22163x y +=.【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质,直线和圆锥曲线的位置关系，点到直线的距离公式、弦长公式的应用,属于难题．(21)【２０1４年辽宁，文２１,12分】已知函数()(cos )2sin 2f x x x x π=---,2()(1xg x x ππ=--.证明:（１)存在唯一0(0,)2x π∈,使0()0f x =；（2）存在唯一1(,)2x ππ∈，使1()0g x =,且对(１）中的01x x π+<.解：（1）2ππ()π(cos )2sin 2(0)π20,()4022f x x x x f f =---∴=--<=->，()f x 在π(0)2，上有零点，()π(1sin )2osx πsin (π2osx)0f x x c x c '=+-=+->，()f x ∴在π(0)2，上单调递增.（2）()(21x g x x ππ=--,,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,()()cos 211sin x x g x x x ππ-∴=-⋅+-+cos π2π(π),(0,)1sin π2x x g x x x x -∴-=-+∈+,设cos π2()1sin πx x h x x x --=++,π(0,)2x ∈，则()g x 与()h x 的零点同.22cos sin (1sin )cos 2cos 2π(-cos )2(1sin )()1sin (1sin )π1sin 1sin ππ(1sin )x x x x x x x x x h x x x x x x x -++--+'=+-=+-=+++++()π(1sin )f x x =+,π(0,)2x ∈．由（１)知，()f x 在π(0,)2上只有一个零点0x ，且在点0x 左负右正. ()h x ∴在0x 点左侧递减，在0x 点右侧递增，且(0)10h =>，π()02h =,故0()0h x <，存在唯一20(0,)x x ∈,使得()20h x =，即2(π)0g x -=，12πx x ∴=-,即1210πx x x x +=<+，01πx x ∴+>，所以()g x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一零点1x ，且01πx x +>.【点评】本题考查零点的判定定理,涉及导数法证明函数的单调性,属中档题．请考生在(22）、（23）、（24)三题中任选一题作答．注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做第一个题目计分，做答时，请用2Ｂ铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.--（２２）【2０1４年辽宁,文22,1０分】（选修４-1:几何证明选讲）如图,EP 交圆于E 、C 两点,PD 切圆于D ,G 为CE 上一点且PG PD =,连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F . （１）求证：AB 为圆的直径； (2)若AC BD =,求证:AB ED =.解:（1）PD PG PDG PGD PD =∴∠=∠为圆的切线,PDA DBA ∴∠=∠ 又PGD EGA DBA EGA DBA BAD EGA BAD ∠=∠∴∠=∠∴∠+∠=∠+∠, 9090BDA PFA AF EP PFA BDA AB ∴∠=∠⊥∴∠=︒∴∠=︒∴为直径．（2)连接,BC DC 90AB BDA ACB ∴∠=∠=︒是直径，在Rt BDA Rt ACB ∆∆与中，,AB BA AC BD ==,Rt BDA Rt ACB ∆≅∆,DAB CBA DCB DAB ∴∠=∠∠=∠ //DAB CBA DC AB ∴∠=∠∴,90AB EP DC EP DCE ⊥∴⊥∠=︒ED ∴为直径，由（1）AB ED =．【点评】本题考查圆的切线的性质，考查三角形全等的证明,考查直径所对的圆周角为直角,属于中档题. (２3）【2014年辽宁，文２3，１0分】（选修４－4：坐标系与参数方程）将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍,得曲线C . (１）写出C 的参数方程;(2)设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解:（1)设11(,)x y 为圆221x y +=上任意一点,按题中要求变换后的点(,)x y .根据题意得112x x y y =⎧⎨=⎩，所以112x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩.由22111x y +=得2214y x +=.故C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)．（2）由2244220x y x y ⎧+=⎨+-=⎩解得10x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩．不妨设1(1,0)P ，2(0,2)P，则线段中点坐标1(,1)2．所求直线的斜率为12k =，于是所求直线方程为111()22y x -=-,即2430x y -+=.化为极坐标方程为2cos 4sin 30ρθρθ-+=，即34sin 2cos ρθθ=-.ﻩ【点评】本题主要考查求点的轨迹方程的方法，极坐标和直角坐标的互化,用点斜式求直线的方程，属于中档题. (24）【２014年辽宁，文24，10分】(选修４-5：不等式选讲)设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+,记()1f x ≤的解集为M ,()4g x ≤的解集为N ． (1)求M ；(2)当x M N ∈时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤．解:（1)()2|1|1f x x x =-+-33,[1,)1,(,1)x x x x -∈+∞⎧=⎨-∈-∞⎩．当1x ≥时，()331f x x =-≤,解得413x ≤≤;当1x <时，()11f x x =-≤，解得01x ≤<．所以()1f x ≤的解集为4{|0}3M x x =≤≤.(2)2()16814g x x x =-+≤，解得13{|}44N x x =-≤≤．M N =3{|0}4x x ≤≤．当x M N ∈时,()1f x x =-.22()[()]x f x x f x +=22(1)(1)x x x x -+-2x x =-211()42x =--，3{|0}4x x x ∈≤≤．221()[()]4x f x x f x ∴+≤.【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论、等价转化的数学思想，属于中档题.。

高考辽宁数学文科试卷含详细解答(全word版)

2008年普通高等学校招生全国统一考试湖南曾维勇解析第 1 页共 11 页2008年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(012)k kn k n n P k C P p k n -=-=，，，，其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}31M x x =-<<，{}3N x x =-≤，则M N =（ D ）A ．∅B ．{}3x x -≥C ．{}1x x ≥D ．{}1x x <答案：D解析：本小题主要考查集合的相关运算知识。

依题意{}31,M x x =-<<{}3N x x =-…，∴{|1}M N x x ⋃=<.2．若函数(1)()y x x a =+-为偶函数，则a =（ C ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2答案：C解析：本小题主要考查函数的奇偶性。

(1)2(1),f a =-(1)0(1),f f -== 1.a ∴= 3．圆221x y +=与直线2y kx =+没有．．公共点的充要条件是（ B ） A．(k ∈B ．(k ∈。

普通高等学校招生全国统一考试数学文(辽宁卷,含答案)

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学文（辽宁卷，含答案）一、选择题：本大题12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合M=﹛x|-3＜x ≤5﹜,N=﹛x|x ＜-5或x ＞5﹜，则MN=(A) ﹛x|x ＜-5或x ＞-3﹜ (B) ﹛x|-5＜x ＜5﹜ (C) ﹛x|-3＜x ＜5﹜ (D) ﹛x|x ＜-3或x ＞5﹜ （2）已知复数12z i =-，那么1z=（A ）55i + （B ）55- （C ）1255i + （D ）1255i -(3)已知{}n a 为等差数列，且7a -24a =-1, 3a =0,则公差d=（A ）-2 （B ）-12 （C ）12（D ）2 （4）平面向量a 与b 的夹角为060，a=(2,0), | b |=1，则 | a+2b |=（A （B ）（C ）4 （D ）12（5）如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬060纬线长和赤道长的比值为（A ）0.8 （B ）0.75 （C ）0.5 （D ）0.25(6) 已知函数()f x 满足：x ≥4,则()f x =1()2x；当x ＜4时()f x =(1)f x +，则2(2l o g 3)f +=（A ）124 （B ）112 （C ）18 （D ）38(7) 已知圆C 与直线x-y=0 及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C 的方程为（A ）22(1)(1)2x y ++-= (B) 22(1)(1)2x y -++= (C) 22(1)(1)2x y -+-= (D) 22(1)(1)2x y +++=（8）已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=（A ）43-（B ）54（C ）34-（D ）45（9）ABCD 为长方形，AB=2，BC=1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为（A ）4π（B ）14π-（C ）8π（D ）18π-10）某店一个月的收入和支出总共记录了 N 个数据1a ，2a ，。

普通高等学校招生国统一考试数学文试题辽宁卷,含答案试题

卜人入州八九几市潮王学校2021年普通高等招生全国统一考试数学文试题〔卷，含答案〕本卷须知：2．答复第一卷时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在套本套试卷上无效。

3.答复第二卷时，将答案写在答题卡上，写在套本套试卷上无效。

4.在在考试完毕之后以后，将本套试卷和答题卡一起交回。

第一卷一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一个是符合题目要求的。

〔1〕向量a=(1,—1)，b=(2,x)。

.假设a·b=1,那么x=(A)—1(B)—12(C)12(D)1〔2〕全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，那么(A){5,8}(B){7,9}(C){0,1,3}(D){2,4,6}〔3〕复数11i= +(A)1122i-(B)1122i+(C)1i-(D)1i+〔4〕在等差数列{an}中，a4+a8=16，那么a2+a10=(A)12(B)16(C)20(D)24∀x1，x2∈R，(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0，那么⌝p是(A)∃x1，x2∈R，(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0(B)∀x1，x2∈R，(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0(C)∃x1，x2∈R，(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0(D)∀x1，x2∈R，(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0〔6〕sin cos2αα-=，α∈(0，π)，那么sin2α=(A)-1(B)22-(C)22(D)1〔7〕将圆x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线是〔A〕x+y-1=0〔B〕x+y+3=0〔C〕x-y+1=0〔D〕x-y+3=0〔8〕函数y=12x2-㏑x的单调递减区间为〔A〕〔-1,1]〔B〕〔0,1]〔C.〕[1，+∞〕〔D〕〔0，+∞〕〔9〕设变量x，y满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤≤-,15,20,10yyxyx那么2x+3y的最大值为(A)20(B)35(C)45(D)55〔10〕执行如下列图的程序框图，那么输出的S的值是(A)4(B)3 2(C)23(D)-1〔11〕在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，那么该矩形面积大于20cm2 6的概率为(A)16(B)13(C)23(D)45〔12〕P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，-2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，那么点A的纵坐标为(A)1(B)3(C)-4(D)-8第二卷本卷包括必考题和选考题两局部。

2022年辽宁省高考数学试卷(新高考II)附答案解析

2022年辽宁省高考数学试卷(新高考II)附答案解析一、选择题1. 题目：设函数 $ f(x) = \sqrt{x^2 + 1} $，求 $ f'(0) $。

答案：$ f'(0) = \frac{1}{2} $。

解析：根据导数的定义，我们有 $ f'(0) = \lim_{x \to 0}\frac{f(x) f(0)}{x 0} $。

将 $ f(x) $ 和 $ f(0) $ 代入，得到$ f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2 + 1} 1}{x} $。

由于$ \sqrt{x^2 + 1} $ 在 $ x = 0 $ 附近可近似为 $ 1 +\frac{x^2}{2} $，所以 $ f'(0) $ 可近似为 $ \lim_{x \to 0}\frac{1 + \frac{x^2}{2} 1}{x} = \frac{1}{2} $。

2. 题目：已知等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为$d$，求 $a_5$。

答案：$a_5 = a_1 + 4d$。

解析：根据等差数列的定义，我们有 $a_5 = a_1 + (5 1)d =a_1 + 4d$。

3. 题目：已知函数 $f(x) = x^3 3x$，求 $f(x)$ 的极值点。

答案：极小值点为 $x = 1$，极大值点为 $x = 1$。

解析：求导数 $f'(x) = 3x^2 3$，令 $f'(x) = 0$，解得 $x = \pm 1$。

然后求二阶导数 $f''(x) = 6x$，当 $x = 1$ 时，$f''(1) = 6 > 0$，所以 $x = 1$ 是极小值点；当 $x = 1$ 时，$f''(1) = 6 < 0$，所以 $x = 1$ 是极大值点。

4. 题目：已知函数 $f(x) = \frac{1}{x}$，求 $f(x)$ 的反函数。

辽宁高考文科数学试题及答案解析.docx

普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={x|x>-1}，B={x|x<2}，则A∩B=
A．（-1，+∞）
B．（-∞，2）
C．（-1，2）
2.设z=i（2+i），则z=
A．1+2i
B．-1+2i
C．1-2i
D．-1-2i
3.已知向量a=（2，3），b=（3，2），则|a-b|=
A．√2
B．2
C．5√2
D．50
4.生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标。

若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为
A．2/3
B．3/5
C．2/3
D．1/5
5.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测。

甲：我的成绩比乙高。

乙：丙的成绩比我和甲的都高。

丙：我的成绩比乙高。

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A．甲、乙、丙
B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲
D．甲、丙、乙。

高考文科---辽宁高考试题(文数,word解析版)

2012年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（文科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

（1）已知向量a = (1,—1)，b = (2,x ).若a b ∙= 1,则x =(A) —1 (B) —12 (C) 12(D)1 【答案】 D【解析】21,1a b x x ⋅=-=∴=，故选D（2）已知全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，则 ()()U U C A C B ⋂=(A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6} 【答案】B【解析一】因为全集U=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝，集合A=｛0,1,3,5,8｝，集合B=｛2,4,5,6,8｝，所以{}{}9,7,3,1,0,9,7,6,4,2==B C A C U U ，所以)()(B C A C U U {7,9}。

故选B 【解析二】集合)()(B C A C U U 即为在全集U 中去掉集合A 和集合B 中的元素，所剩的元素形成的集合，由此可快速得到答案，选B （3）复数11i =+ (A) 1122i - (B)1122i + (C) 1i - (D) 1i +【答案】A【解析】11111(1)(1)222i i i i i i --===-++-，故选A （4）在等差数列{n a }中，已知48a a +=16，则210a a +=(A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24 【答案】 B【解析】48111(3)(7)210,a a a d a d a d +=+++=+21011121048()(9)210,16a a a d a d a d a a a a +=+++=+∴+=+=，故选B（5）已知命题()()()()122121:,,--0p x x R f x f x x x ∀∈≥，则p ⌝是A ．()()()()122121,,--0x x R f x f x x x ∃∈≤ B ．()()()()122121,,--0x x R f x f x x x ∀∈≤ C ．()()()()122121,,--<0x x R f x f x x x ∃∈ D ．()()()()122121,,--<0x x R f x f x x x ∀∈【答案】C【解析】全称命题的否定形式为将“∀”改为“∃”，后面的加以否定，即将“()()()()2121--0f x f x x x ≥”改为“()()()()2121--<0f x f x x x ”，故选C.（6）已知sin cos αα-=，α∈(0，π)，则sin 2α=(A) -1 (B) (D) 1 【答案】A【解析】2sin cos (sin cos )2,sin 21,ααααα--=∴=- 故选A （7）将圆222410x y x y +--+=平分的直线是（A ）10x y +-= （B ）30x y ++= （C ）10x y -+= （D ）30x y -+= 【答案】C【解析】圆心坐标为（1，2），将圆平分的直线必经过圆心，故选C （8）函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为（A ）（-1,1] （B ）（0,1] （C.）[1，+∞）（D ）（0，+∞）【答案】B 【解析】211ln ,,00,02y x x y x y x x x x''=-∴=->∴< 由≤，解得-1≤≤1,又≤1,故选B（9）设变量,x y 满足-100+20015x y x y y ≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2+3x y 的最大值为A ．20B ．35C ．45D ．55 【答案】D【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由图知目标函数过点()5,15A 时，2+3x y 的最大值为55，故选D.（10）执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是(A) 4 (B) 32 (C) 23(D) -1 【答案】D【解析】根据程序框图可计算得24,1;1,2;,3;3s i s i s i ===-=== 3,4;4,5;1,6,2s i s i s i =====-=，故选D（11）在长为12cm 的线段AB 上任取一点C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB 的长，则该矩形面积大于20cm 2的概率为 :(A)16 (B) 13 (C) 23 (D) 45【答案】C【解析】设线段AC 的长为x cm ，则线段CB 的长为(12x -)cm,那么矩形的面积为(12)x x -cm 2，由(12)20x x ->，解得210x <<。

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20xx 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
文科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥，则集合()U C A B =（）
A ．{|0}x x ≥
B ．{|1}x x ≤
C ．{|01}x x ≤≤
D ．{|01}x x <<
2.设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =（）
A ．23i +
B ．23i -
C ．32i +
D ．32i -
3.已知1
32a -=，21211log ,log 33
b c ==，则（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>
4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）
A ．若//,//,m n αα则//m n
B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥
C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α
D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥
5.设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：学科网若0a b ∙=，0b c ∙=，则0a c ∙=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（）
A ．p q ∨
B ．p q ∧
C ．()()p q ⌝∧⌝
D ．()p q ∨⌝
6.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（）
A ．2π
B ．4π
C ．6π
D ．8
π
7. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A ．82π-
B ．8π-
C ．82π
- D ．84π
-
8. 已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（）
A ．43-
B ．-1
C ．34-
D ．12
- 9. 设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a 为递减数列，则（）
A ．0d <
B ．0d >
C ．10a d <
D ．10a d >
10.已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2()121,(,)2
x x f x x x π⎧∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式1(1)2f x -≤的解集为（）
A ．1247[,][,]4334
B ．3112[,][,]4343--
C ．1347[,][,]3434
D ．3113[,][,]4334--
11. 将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（） A ．在区间7[,]1212
ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212
ππ上单调递增 C ．在区间[,]63ππ-
上单调递减 D ．在区间[,]63
ππ-上单调递增 12. 当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）
A ．[5,3]--
B ．9
[6,]8
-- C ．[6,2]-- D ．[4,3]-- 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 执行右侧的程序框图，若输入3n =，则输出T = .
14.已知x ，y 满足条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩
，则目标函数34z x y =+的最大值为 .
15. 已知椭圆C ：22
194
x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += .
16. 对于0c >，当非零实数a ，b 满足224240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大时，345a b c
-+的最小值为 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）
在ABC ∆中，学科网内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ∙=，1cos 3B =，3b =，求：
（1）a 和c 的值；
（2）cos()B C -的值.
18. （本小题满分12分）
某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如
下表所示：
（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；
（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.
19. （本小题满分12分）
如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0
120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 、G 分别为AC 、DC 、AD 的中点.
（1）求证：EF ⊥平面BCG ；
（2）求三棱锥D-BCG 的体积. 附：椎体的体积公式13
V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高.
20. （本小题满分12分）
圆22
4x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图）.
（1）求点P 的坐标；
（2）焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ，且与直线:l y x =A ，B 两点，若PAB ∆的面积
为2，求C 的标准方程.
21. （本小题满分12分）
已知函数()(cos )2sin 2f x x x x π=---，2()(1x g x x ππ=--. 证明：（1）存在唯一0(0,
)2x π∈，使0()0f x =；（2）存在唯一1(,)2x π
π∈，使1()0g x =，且对（1）中的01x x π+<.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.
22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG PD =，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F.
（1）求证：AB 为圆的直径；
（2）若AC=BD ，求证：AB=ED.
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
将圆22
1x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
（1）写出C 的参数方程；
（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数()2|1|1f x x x =-+-，2
()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N. （1）求M ；
（2）当
x M N ∈时，证明：221
()[()]4x f x x f x +≤.。