高中数学 第一章 集合与函数的概念 1.2 函数及其表示 1.2.1 第一课时 函数的概念 新人教A

解析:①在对应关系f下,A中不能被3整除的数在B中没有数与它对应,所以不能 确定y是x的函数.②在对应关系f下,A中的数在B中有两个数与之对应,所以不 能确定y是x的函数.③在对应关系f下,A中的数(除去5与-5外)在B中有两个数 与之对应,所以不能确定y是x的函数.⑤A不是数集,所以不能确定y是x的函数. ④⑥显然满足函数的特征,y是x的函数.故选D.
1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念 第一课时 函数的概念
课标要求:1.通过实例理解函数的概念,能用集合语言描述具体的函数.2.体 会对应关系在刻画函数概念中的作用.3.会求一些简单函数的定义域.
自主学习——新知建构·自我整合
【情境导学】 导入一 初中是用运动变化的观点对函数进行定义的,虽然这种定义较为直 观,但并未完全揭示出函数概念的本质.对于y=1(x∈R)是不是函数,如果用运 动变化的观点去看它,就不好解释,显得牵强.但如果用集合与对应的观点来 解释,就十分自然.因此,用集合与对应的思想来理解函数,对函数概念的再认 识,就很有必要.
解析:对A不符合定义域当中的每一个元素都有象,即可排除; 对B满足函数定义,故符合; 对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况,不符合函 数的定义,从而可以否定; 对D因为值域当中有的元素没有原象,故可否定.故选B.
题型三 求函数的定义域 【例3】 求下列函数的定义域.
(1)y=2+ 3 ; x2
x
3
0,
解得 x≤5 且 x≠±3,
即函数定义域为{x|x≤5,且 x≠±3}.
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规范解答:(1)当且仅当 x-2≠0,即 x≠2 时, 函数 y=2+ 3 有意义,……………………………2 分
x2 所以这个函数的定义域为{x|x≠2}.……………3 分
(2)y=(x-1)0+ 2 ; x 1
(3)y= 3 x · x 1 ;
x 1 0,
规范解答:(2)函 数有意义,当且仅当
叫做函数的值域.显然{f,(值x)域|x是∈集A}合B的子集. 探究:函数的概念中,对集合A,B有怎样要求?函数的值域是集合B吗?
答案:集合A,B是非空数集,函数的值域是集合B的子集.
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1.(函数概念)下列对应:
①M=R,N=N*,对应关系f:“对集合M中的元素取绝对值与N中的元素对应”;
②M={1,-1,2,-2},N={1,4},对应关系f:x→y=x2,x∈M,y∈N;
知识探究
函数的概念
设A,B是非空的数集,如果按照某种确定的 对应关系f,使对于集合A中的
数x,任在意集一合个B中都有
确定的数f(唯x)一和它对应,那么就称f:A→B为从集合
A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫
做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合
导入二 2014年世界青年奥林匹克运动会在中国南京举行,中国队获得39枚 金牌,列金牌榜第一.让每个中国人都为之自豪.比赛进行天数与金牌数如下 表所示:
天数 1 2
3
4
5
6
7
8
9 10
金牌数 3 1
2
5
3
4
8
5
3
5
想一想 1:表中比赛天数与金牌数这两个变量之间存在什么关系? (每一个比赛天数都唯一对应着一个确定的金牌数,即金牌数是比赛天数的函数) 想一想 2:比赛天数是金牌数的函数吗? (不是,由函数定义知,我们要检验两个变量之间是否具有函数关系,只要检验: ①定义域和对应关系是否给出; ②根据给出的对应关系,自变量x在其定义域中的每一个值,是否都有唯一确定 的函数值y与之对应)
题型二 函数图象的特征 【例2】 设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图象,其中能表示从集 合M到集合N的函数关系的是( )
解析:A中,当1<x≤2时,在N中无元素与之对应,不满足任意性,所以不能构成 函数关系;B中,同时满足任意性与唯一性.能构成函数关系;C中,当x=0或x=2 时,对应元素y=3∉N,不满足任意性,不能构成函数关系;D中x=1时,在N中有两 个元素与之对应,不满足唯一性.故选B.
(A)①
(B)②
(C)③
(D)④
解:对应关系若能构成从M到N的函数,须满足:对M中的任意一个数,通过对应关 系在N中都有唯一的数与之对应, ①中,当x=4时,y=42=16∉N,故①不能构成函数; ②中,当x=-1时,y=-1+1=0∉N,故②不能构成函数; ③中,当x=-1时,y=-1-1=-2∉N,故③不能构成函数; ④中,当x=±1时,y=|x|=1∈N,当x=2时,y=|x|=2∈N,当x=4时,y=|x|=4∈N,故 ④能构成函数.故选D.
所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}.………………9 分
(4)y= x 12 - 1 x .
x 1
规范解答:(4)要 使函数有意义,
自变量
x
的取值必须 满足
x 1 1 x
0, 0,
………………10
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分
解得 x≤1 且 x≠-1,……………………………… 11 分
即函数定义域为{x|x≤1 且 x≠-1}.………………12 分
课堂探究——典例剖析·举一反三
题型一 函数概念的理解
【例1】 下列从集合A到集合B的对应关系中,不能确定y是x的函数的是( )
①A={x|x∈Z},B={y|y∈Z},对应关系f:x→y= ;x ②A={x|x>0,x∈R},B={y|y∈R},对应关系f:x→y3 2=3x; ③A={x|x∈R},B={y|y∈R},对应关系f:x→y:x2+y2=25; ④A=R,B=R,对应关系f:x→y=x2; ⑤A={(x,y)|x∈R,y∈R},B=R,对应关系f:(x,y)→s=x+y; ⑥A={x|-1≤x≤1,x∈R},B={0},对应关系f:x→y=0. (A)①⑤⑥ (B)②④⑤⑥ (C)②③④ (D)①②③⑤
方法技巧 判断某一对应关系是否为函数的步骤: (1)A,B为非空数集. (2)A中任一元素在B中有元素与之对应. (3)B中与A中元素对应的元素唯一. (4)满足上述三条,则对应关系是函数关系.
即时训练1-1:已知集合M={-1,1,2,4},N={1,2,4},给出下列四个对应关系:
①y=x2,②y=x+1,③y=x-1,④y=|x|,其中能构成从M到N的函数是( )
③M={三角形},N={x|x>0},对应关系f:“对M中的三角形求面积与N中元素对
应.”
是集合M到集合N上的函数的有( A )
(A)1个
(B)2个
(C)3个
(D)0个
2.(函数判断)下列表示的是y关于x的函数的是( A) (A)y=x2 (B)y2=x
(C)|y|=x (D)|y|=|x|
3.(定义域)函数y=
的定义域是(
x 1
D)
(A)(-∞,1) (B)(-∞,1]
(C)(1,+∞) (D)[1,+∞)
4.(函数判断)下列四个图象中,是函数图象的是(
B)
(A)①
(B)①③④ (C)①②③
(D)③④
5.(函数的概念)已知函数y=f(x)的定义域为R,则直线x=m与函数y=f(x)的图象
的交点个数为
.
答案:1
x
2
1
0,
…………4
分
x 1 0,
解得 x>-1 且 x≠1,…………………………………………5 分
所以这个函数的定义域为{x|x>-1 且 x≠1}.……………6 分
(3)函数有意义,
当且仅当
3 x
x 1
0, 0,
……………………7
分
解得 1≤x≤3,……………………………………………8 分
方法技巧 判定图象是否是函数的图象的方法: (1)任取一条垂直于x轴的直线l; (2)在定义域内移动直线l; (3)若l与图象有一个交点,则是函数,若有两个或两个以上的交点,则不是函数.
即时训练2-1:(2017·上海高一月考)若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤ x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是( )
误区警示 已知函数解析式,求定义域需注意以下三个方面:一是不能对函数解析 式化简;否则可能造成定义域变化;二是要使函数解析式中的每一部分都有意义;三 是定义域要用集合形式表示.
即时训练 3-1:求函数 y= 5 x 的定义域. x 3
解:要使函数有意义
,自变量
x
的取值必须满足
5 x 0,