高中数学苏教版必修4三角恒等变换练习题
数学必修4单元检测：第3章三角恒等变换附答案 含解析
数学苏教必修4第3章 三角恒等变换单元检测(满分：100分 时间：60分钟)一、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．若α的值为__________．2．设a ＝sin 14°＋cos 14°，b ＝sin 16°＋cos 16°，c a ，b ，c 的大小关系是__________．3．已知2sin 3α＝，则cos(π－2α)＝__________.4．(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)的值是__________． 5__________．6．已知α∈(π，2π)__________.7．若π1sin =63α⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝__________.8．若θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin 2θ的值为__________．9．(2012江苏高考，11)设α为锐角，若π4cos =65α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 212α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为__________．10．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝－1)，n ＝(cosA ，sin A )．若m ⊥n ，且a cosB ＋b cos A ＝c sinC ，则角B ＝__________.二、解答题(本大题共4小题，共50分)11．(12分)已知12cos 13α＝，4sin 5β-＝，α，β均是第四象限角，求sin(α－β)的值． 12．(12分)已知函数()π4cos sin 16f x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－．(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 13．(12分)化简下列各式：；(2)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°. 14．(14分)已知函数()πtan 24f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝. (1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)设α∈π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，若2cos 22f αα⎛⎫⎪⎝⎭＝，求α的大小．参考答案1. 答案：－3 解析：原式＝cos 2sin |cos ||sin |αααθ+＝cos 2sin cos sin αααα+--＝－1－2＝－3.2. 答案：a ＜c ＜b解析：a ，b ，c ， 所以a ＜c ＜b . 3. 答案：19-解析：cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝19-. 4. 答案：4解析：(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝1＋tan 21°＋tan 24°＋tan 21°tan 24°＝1＋[tan(21°＋24°)(1－tan 21°tan 24°)]＋tan 21°tan 24°＝2，同理，(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2， 所以原式＝4.5. 解析：＝cos20cos35(cos10sin10)︒︒⋅︒-︒6. 答案：cos 2α-∵α∈(π，2π)，∴2α∈ππ2⎛⎫⎪⎝⎭，.∴cos <02α.cos 2α-. 7. 答案：79-解析：∵πsin 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝ππcos 26α⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝π1cos =33α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴2πcos 23α⎛⎫+⎪⎝⎭＝πcos 23α⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ＝2π2cos 13α⎛⎫+- ⎪⎝⎭＝2×19－1＝79-.8.答案：3解析：(sin2θ＋cos2θ)2＝sin4θ＋2sin2θcos2θ＋cos4θ＝5192+sin22θ＝1，故28sin29θ＝.又因为2kπ＋π＜θ＜2kπ＋3π2(k∈Z)，所以4kπ＋2π＜2θ＜4kπ＋3π(k∈Z)．所以sin 2θ＞0，即sin 23θ＝.9.解析：∵α为锐角，π4 cos=65α⎛⎫+⎪⎝⎭，∴π3 sin=65α⎛⎫+⎪⎝⎭，∴πsin26α⎡⎤⎛⎫+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝ππ2sin cos66αα⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝34242=5525⨯⨯，且0＜α＋π6＜π4，故0＜α＜π12，∴π26α⎛⎫+⎪⎝⎭＝2α＋π3∈ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭，∴π7 cos2=625α⎡⎤⎛⎫+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴πsin212α⎛⎫+⎪⎝⎭ππsin234α⎡⎤⎛⎫+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝＝ππsin2cos34α⎛⎫+⎪⎝⎭ππcos2sin34α⎛⎫+⎪⎝⎭－＝ππππsin2cos cos2sin6464αα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦＝247 2525-10.答案：π6解析：m⊥n⇒3cos A－sin A＝0⇒A＝π3，sin A cos B＋sin B cos A＝sin C sin C，sin A cosB＋sin B cos A＝sin(A＋B)＝sin C＝sin2C⇒C＝π2，∴B＝π6.11.解：∵α，β均是第四象限角，∴5sin=13α--，3cos5β.∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝5312433=13513565⎛⎫-⨯-⨯-⎪⎝⎭.12.解：(1)因为()π4cos sin16f x x x⎛⎫+⎪⎝⎭＝－＝14cos cos122x x x⎛⎫+⎪⎪⎝⎭－x＋2cos2x－1x＋cos 2x＝π2sin26x⎛⎫+⎪⎝⎭，所以f(x)的最小正周期为π.(2)因为π6－≤x≤π4，所以π6－≤2x＋π6≤2π3.于是，当2x＋π6＝π2，即当π6x＝时，f(x)取得最大值2；当2x＋π6＝π6－，即π6x＝－时，f(x)取得最小值－1．13.解：(1)2sin8012sin50cos10cos102⎛⎫︒︒+︒︒⎪︒()2sin802sin50cos6010︒︒+︒-︒＝2cos5⎫︒︒⎪⎝⎭︒＝2cos(5045)cos5︒-︒︒＝2.(2)解法一：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝12cos 20°cos 40°cos 80°＝2sin20cos20cos40cos804sin20︒︒︒︒︒＝2sin 40cos 40cos802sin 80cos808sin 2016sin 20︒︒︒︒︒=︒︒＝sin160116sin 2016︒==︒. 解法二：令M ＝sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°， N ＝cos 10°cos 30°cos 50°cos 70°， 则MN ＝(sin 10°cos 10°)(sin 30°cos 30°)(sin 50°cos 50°)(sin 70°cos 70°)＝412sin 20°sin 60°sin 100°sin 140° ＝412cos 10°cos 30°cos 50°cos 70°＝412N ， ∴116M ＝，即sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝116.14. 解：(1)由ππ242x k π+≠+，k ∈Z ，得ππ82k x ≠+，k ∈Z ，所以f (x )的定义域为ππ|,82k x x k ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭R Z .f (x )的最小正周期为π2.(2)由2f α⎛⎫⎪⎝⎭＝2cos 2α，得πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2cos 2α，即πsin 4πcos 4αα⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2(cos 2 α－sin 2 α)， 整理得sin cos cos sin αααα+-＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．因为α∈π0,4⎛⎫⎪⎝⎭，所以sin α＋cos α≠0.因此(cos α－sin α)2＝12，即1sin 22α＝.由α∈π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，得2α∈π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以π2=6α，即π=12α.。
苏教版高中数学必修四学同步训练三角恒等变换Word含答案(1)(1)
3.1.2 两角和与差的正弦一、填空题1．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是________．2．若锐角α、β满足cos α＝45，cos(α＋β)＝35，则sin β的值是________． 3．已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β的值为________．4．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为________． 5．在三角形ABC 中，三内角分别是A 、B 、C ，若sin C ＝2cos A sin B ，则三角形ABC 一定是________三角形．6．已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，则tan αtan β的值是______． 7．在△ABC 中，cos A ＝35，cos B ＝513，则cos C ＝________. 8．式子sin 68°－cos 60°sin 8°cos 68°＋sin 60°sin 8°的值是________． 二、解答题9．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，求β. 10．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α的值． 11．已知sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β)． 三、探究与拓展12．证明：sin(α＋β)sin(α－β)＝sin 2α－sin 2β，并利用该式计算sin 220°＋sin 80°·sin 40°的值．答案1．－12 2.725 3.±1 4．2 5．等腰 6.137 7.33658. 3 9．解 ∵α为锐角，sin α＝55， ∴cos α＝255. ∵－π2<α－β<π2且sin(α－β) ＝－1010， ∴cos(α－β)＝31010， ∴sin β＝sin[(β－α)＋α] ＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α＝1010×255＋31010×55＝22， ∵β为锐角，∴β＝π4. 10．解 因为π2<β<α<3π4， 所以0<α－β<π4，π<α＋β<3π2. 又cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35， 所以sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513， cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1－⎝⎛⎭⎫－352 ＝－45. 所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)] ＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝513×⎝⎛⎭⎫－45＋1213×⎝⎛⎭⎫－35 ＝－5665. 11．解 ∵0<α<π4<β<3π4， ∴3π4<3π4＋α<π，－π2<π4－β<0. 又sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝－1213，sin ⎝⎛⎭⎫π4－β＝－45. cos(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫3π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β ＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β－cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β ＝513×35－⎝⎛⎭⎫－1213×⎝⎛⎭⎫－45 ＝－3365. 12．证明 左边＝sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β) ＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β＝sin 2α(1－sin 2β)－(1－sin 2α)sin 2β＝sin 2α－sin 2αsin 2β－sin 2β＋sin 2αsin 2β ＝sin 2α－sin 2β＝右边．∴sin(α＋β)sin(α－β)＝sin 2α－sin 2β.∴sin 220°＋sin 80°·sin 40°＝sin 220°＋sin(60°＋20°)·sin(60°－20°)＝sin 220°＋sin 260°－sin 220°＝sin 260°＝34.。
三角恒等变换》单元测试题
三角恒等变换》单元测试题必修④第三章《三角恒等变换》本单元测试题共包含12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、已知cosα=−312π，α∈[π,π]，sinβ=−2513，β是第三象限角，则cos(β−α)的值是（）A、−xxxxxxxxB、无解C、无解D、−xxxxxxxx解析：1、由题意得sinα=−35π，又sinβ=−2513，β∈Ⅲ。
cosα=−4/5，∴cosβ=−3/52、∵cosα=−4/5，∴sinα=−3/5。
又cos(α+β)=−1。
sin(α+β)=−24/5π。
sinβ=sin[(α+β)−α]。
sin(β−α)=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=−xxxxxxxx2、已知α和β都是锐角，且sinα=54，cos(α+β)=−135，求sinβ的值。
A、xxxxxxxxB、无解C、无解D、xxxxxxxx解析：依题意，∵sinα=54，∴cosα=√21/4。
又cos(α+β)=−135。
sin(α+β)=−35π。
sinβ=sin[(α+β)−α]。
sinβ=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=xxxxxxxx3、已知x∈[2kπ−3π4,2kπ+3π4]（k∈Z），且cos(−x)=−，则cos2x的值是（）A、−B、−xxxxxxxxC、无解D、无解解析：x∈[2kπ−3π4,2kπ+3π4]。
cosx−sinx>0。
即sin(−x)=−sinx=cosx<0。
sin(−x)∈(−1,0]。
x∈[2kπ−π2,2kπ]。
x∈[2kπ,2kπ+π2]。
cos2x=2cos2x−1=2cos2(x/2)−1=2cos2(−x/2)−1=2sin2(−x/2)−1=−4、设cos(x+y)sinx−sin(x+y)cosx=12，且y是第四象限角，则y的值是（）A、±2332B、±1212C、无解D、无解解析：由cos(x+y)sinx−sin(x+y)cosx=0得sin(x−y)=−cos(x+y)。
高一必修4三角恒等变换测试题及答案
高一必修4三角恒等变换测试题及答案2一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1、cos 24cos36cos66cos54︒︒︒︒-的值为（ ）A 0B 12C 3 D12-2.3cos 5α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12sin 13β=-，β是第三象限角，则=-)cos(αβ（ ）A 、3365-B 、6365C 、5665 D 、1665-3. tan 20tan 40320tan 40︒︒︒︒++的值为（ ）A 1 B3 C 3 D34. 已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为（ ）A 47-B 47 C 18D 18-5.βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4cos 5αβ+=-，则βsin 的值是（ ）A 、3365B 、1665C 、56653D 、63656.,)4,43(ππ-∈x 且3cos 45x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭则cos2x 的值是（ ） A 、725- B 、2425- C 、2425D 、7257. 函数44sincos y x x=+的值域是（ ）A []0,1B []1,1-C 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于54,则这个三角形底角的正弦值为（ ） A1010 B1010-C10103 D10103-9.要得到函数2sin 2y x =的图像，只需将xx y 2cos 2sin 3-=的图像（ ）A 、向右平移6π个单位B 、向右平移12π个单位C 、向左平移6π个单位D 、向左平移12π个单位 10. 函数sin 322xxy =+的图像的一条对称轴方程是4（ ）A 、x =113π B 、x =53π C 、53x π=- D 、3x π=- 11. 已知1cos sin 21cos sin x xx x-+=-++，则xtan 的值为（ ）A 、34B 、34-C 、43D 、43- 12.若0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0,βπ∈且()1tan 2αβ-=,1tan 7β=-,则=-βα2（ ）A 、56π-B 、23π-C 、 712π- D 、34π-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中的横线上） 13. .在ABC ∆中，已知tanA ,tanB 是方程23720x x -+=的两个实根，则tan C =14. 已知tan 2x =，则3sin 22cos 2cos 23sin 2x xx x+-的值为 15. 已知直线12//l l ，A 是12,l l 之间的一定点，并且A 点到12,l l 的距离分别为12,h h ，B 是直线2l 上一动点，作AC ⊥AB ，且使AC 与直线1l 交于点C ，则ABC ∆面积的最小值为 。
测试题：高中数学必修4三角恒等变换测试题
一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1.已知)2,23(,1312cos ππαα∈=，则=+)4(cos πα （ ）A.1325 B. 1327 C. 26217 D. 2627 2.若均βα,为锐角，==+=ββααcos ,53)(sin ,552sin 则（ ） A.552 B. 2552 C. 2552552或 D. 552-3.=+-)12sin 12(cos )12sin 12(cos ππππ A. 23- B. 21- C. 21 D. 234.=-+0tan50tan703tan50tan70 A.3 B.33 C. 33- D. 3- 5.=⋅+ααααcos2cos cos212sin22（ ） A. αtan B. αtan2 C. 1 D. 216.已知x 为第三象限角，化简=-x 2cos 1（ ）|A.x sin 2 B. x sin 2- C. x cos 2 D. x cos 2-7. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于54,则这个三角形底角的正弦值为（ ） A ．1010 B ．1010- C ．10103 D ．10103- 8. 若).(),sin(32cos 3sin 3ππϕϕ-∈-=-x x x ，则=ϕ（ ）A. 6π-B.6π C. 65π D. 65π-9. 已知1sin cos 3αα+=，则sin 2α=A ．89- B ．21- C ． 21 D ．8910. 已知cos 23θ=，则44cos sin θθ-的值为A ．3- B ．3 C ．49D ．1 11. 求=115cos 114cos 113cos 112cos11cosπππππ（ ）A. 521 B. 421 C. 1 D.12.函数sin22x xy =的图像的一条对称轴方程是 （ ） A ．x =113π B ．x =53π C ．53x π=- D ．3x π=- (二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分） 13．已知βα,为锐角，的值为则βαβα+==,51cos ,101cos ．14．在ABC ∆中，已知tanA ,tanB 是方程23720x x -+=的两个实根，则tan C = ．15.若542cos ,532sin -==αα，则角α的终边在 象限．16.代数式sin15cos75cos15sin105o o o o += ． 三．解答题（共6个小题，共74分）17．（12分）△ABC 中，已知的值求sinC ,135B c ,53cosA ==os ．18．（12分）已知αβαβαπαβπsin2,53)(sin ,1312)(cos ,432求-=+=-<<<．19．（12分）已知α为第二象限角，且 sinα=,415求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值． ]20. （12分）已知71tan ,21)tan(),,0(),4,0(-==-∈∈ββαπβπα且，求)2tan(βα-的值及角βα-2．21．（12分）已知函数2()cos cos 1f x x x x =++，x R ∈. （1）求证)(x f 的小正周期和最值； （2）求这个函数的单调递增区间．<22. (14分) 已知A 、B 、C 是ABC ∆三内角，向量(m =-(cos ,sin ),n A A =且=1(1)求角A; (2)若221sin 23,cos sin BB B+=--求tanC .《数学必修4》三角恒等变换测试题答案二、填空题13、43π 14、 23- 15、第四 16、 3三、解答题（共6个小题，满分74分）6563135********sin cos cos sin )sin(sin ,1312cos ,180B A ,120,1312cos 6023sin ,1312sin 1cos ,135sin 54sin ,53cos ,:.170002=⨯+⨯=+=+=∴=>+>∴-=>∴>±=-±===∴=∆B A B A B A C B B B A A B B B A A ABC 故不合题意舍去这时若可得又由中在解 6556135)54(131253)sin()cos()cos()sin()]()sin[(2sin 54)cos(,135)sin(23,40432:.19-=⨯-+⨯-=-++-+=-++=∴-=+=-∴<+<<-<∴<<<βαβαβαβαβαβααβαβαπβαππβαπβαπ解右边左边证明=-+=-+⨯+=-+=++-=+=+=xx x xx x x x x xx x x x x x x 4cos 1)4cos 3(24cos 1)24cos 122(224cos 12cos 222sin 41)22cos 1()22cos 1(cos sin cos sin sin cos cos sin :.202222224422224321713417134tan )22tan(1tan )22tan(])22tan[()2tan(0240271tan :.20πβαββαββαββαβαβαππαπβπβ-=-∴=⨯+-=--+-=+-=-∴<-<-∴<<<<∴-= 解21.解：（1）2cos cos 1y x x x =++（cos 212122x x +=++11cos 221222x x =+++3sincos 2cossin 2662x x ππ=++3sin(2)62x π=++（2）因为函数sin y x =的单调递增区间为2,2()22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，由（1）知3sin(2)62y x π=++，故 222()262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈ ()36k x k k Z ππππ∴-+≤≤+∈故函数3sin(2)62y x π=++的单调递增区间为[,]()36k k k Z ππππ-++∈ 三角恒等变换测试题一.选择题(共12小题,每小题5分,共60分)1.下列表达式中,正确的是( )AA.()sin cos sin sin cos αβαβαβ+=+…B. sin()cos sin sin cos αβαβαβ-=-C.s()cos cos sin sin co αβαβαβ+=+D.cos()cos cos sin cos αβαβαβ-=- 设计意图：主要考查学生对公式结构的掌握情况。
苏教版数学 高一苏教版必修4 第3章 三角恒等变换 综合检测
(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上)1．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝________．解析：原式＝cos [(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12. 答案：12 2．计算2cos 2π8－1的值为________． 解析：2cos 2π8－1＝cos(2×π8)＝cos π4＝22. 答案：223.已知tan α＝－43，则tan(α＋134π)的值是________． 解析：tan(α＋134π)＝tan α＋tan 134π1－tan αtan 134π＝ －43＋11－（－43）×1＝－17. 答案：－174.函数y ＝sin x ·(cos x ＋sin x )的最小正周期T ＝________．解析：y ＝sin x (cos x ＋sin x )＝sin x cos x ＋sin 2x＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12(sin 2x －cos 2x )＋12＝22sin(2x －π4)＋12， ∴最小正周期T ＝π.答案：π5．tan 18°＋tan 42°＋3tan 18°tan 42°＝________．解析：原式＝tan(18°＋42°)(1－tan 18°tan 42°)＋3tan 18°·tan 42°＝3(1－tan 18°tan 42°)＋3tan 18°tan 42°＝ 3. 答案： 36.已知α是第二象限角，且cos α＝－45，则tan 2α＝________． 解析：由α是第二象限角，且cos α＝－45，得sin α＝35； ∴sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝725；∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－247. 答案：－2477.已知sin 2α＝13，则tan α＋1tan α＝________． 解析：tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝112sin 2α＝6. 答案：68.若sin(α＋β)＝47，sin(α－β)＝67，则tan αtan β＝________． 解析：由已知得：sin αcos β＋cos αsin β＝47， sin αcos β－cos αsin β＝67， ∴sin αcos β＝57，cos αsin β＝－17， ∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝－5. 答案：－59.3－sin 70°2－cos 210°＝________． 解析：原式＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝6－2sin 70°3－sin 70°＝2. 答案：210.若α是第三象限角，且sin α＝－2425，则tan α2等于________． 解析：∵α是第三象限角，且sin α＝－2425， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－725， ∴tan α2＝sin α1＋cos α＝－24251－725＝－43. 答案：－4311.已知cos α＝－14，则cos （α＋π4）cos 2α－sin 2α＋1＝________． 解析：cos （α＋π4）cos 2α－sin 2α＋1＝22（cos α－sin α）2cos 2α－2sin αcos α＝22（cos α－sin α）2cos α（cos α－sin α）＝24cos α＝－ 2. 答案：－ 212.计算2cos 55°－3sin 5°cos 5°＝________． 解析：原式＝2cos （60°－5°）－3sin 5°cos 5°＝2⎝⎛⎭⎫12cos 5°＋32sin 5°－3sin 5°cos 5°＝1. 答案：113.函数f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x 的最大值为________．解析：∵f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin(2x ＋π4)， ∴当2x ＋π4＝2kπ＋π2(k ∈Z )，即x ＝kπ＋π8(k ∈Z )时，f (x )取最大值1＋ 2. 答案：1＋ 214.已知B 是△ABC 的一个内角，设f (B )＝4sin B ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－B 2＋cos 2B ，若f (B )－m <2恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：f (B )＝4sin B cos 2⎝⎛⎭⎫π4－B 2＋cos 2B＝4sin B 1＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－B 2＋cos 2B ＝2sin B (1＋sin B )＋(1－2sin 2B )＝2sin B ＋1.∵f (B )－m <2恒成立，∴m >2sin B －1恒成立．∵0<B <π，∴0<sin B ≤1.∴－1<2sin B －1≤1，故m >1.答案：(1，＋∞)二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)已知cos(α－β)＝35，sin α＝3365，且α∈(0，π2)，β∈(－π2，0)，求sin β的值．解：由已知得：－β∈(0，π2)，又α∈(0，π2)， ∴α－β∈(0，π)；∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45； 由α∈(0，π2)及sin α＝3365得cos α＝5665； ∴sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝3365×35－5665×45＝－12565×5＝－513. 16.(本小题满分14分)已知α∈(0，π2)，sin α＝55，求tan 2α和sin(2α＋π3)的值．解：由已知得cos α＝255，∴tan α＝12， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－（12）2＝43. ∵α∈(0，π2)，∴2α∈(0，π)， ∵tan 2α＝43>0，∴2α∈(0，π2)， ∴sin 2α＝45，cos 2α＝35. ∴sin(2α＋π3)＝sin 2α·cos π3＋cos 2α·sin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310.17.(本小题满分14分)如图，A 、B 是单位圆O 上的点，C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，点A 的坐标为(35，45)，△AOB 为正三角形．求sin ∠COA 和cos ∠COB 的值． 解：∵点A 的坐标为(35，45)，根据三角函数定义可知：x ＝35，y ＝45，r ＝1； ∴sin ∠COA ＝y r ＝45， cos ∠COA ＝x r ＝35. ∵△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°，∴cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋60°)＝cos ∠COA cos 60°－sin ∠COA sin 60°＝35×12－45×32＝3－4310. 18.(本小题满分16分)设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，且π2<α<π，0<β<π2，求cos(α＋β)．解：∵π2<α<π，0<β<π2， ∴π4<α－β2<π，－π4<α2－β<π2. 故由cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19， 得sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝459，由sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，得cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝53. ∴cos α＋β2＝cos [(α－β2)－(α2－β)]＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527. ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1 ＝2×⎝⎛⎭⎫75272－1＝－239729. 19.(本小题满分16分)已知函数f (x )＝sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ， (1)求f (x )的最大值及相应的x 的值；(2)若f (θ)＝35，求cos 2(π4－2θ)的值． 解：(1)f (x )＝sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝sin 2x －cos 2x ＝2sin (2x －π4)， ∴当2x －π4＝2kπ＋π2(k ∈Z )， 即x ＝k π＋38π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值 2； (2)由f (θ)＝sin 2θ－cos 2θ，及f (θ)＝35得： sin 2θ－cos 2θ＝35， 两边平方得1－sin 4θ＝925，即sin 4θ＝1625， ∴cos 2(π4－2θ)＝cos(π2－4θ)＝sin 4θ＝1625. 20.(本小题满分16分)已知函数f (x )＝sin x 2cos x 2＋3cos 2x 2， (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的值域；(3)求当x ∈[π，2π]时，f (x )的零点．解：(1)∵f (x )＝sin x 2cos x 2＋3cos 2x 2＝12sin x ＋32(1＋cos x )＝sin(x ＋π3)＋32， ∴最小正周期T ＝2π.(2)由f (x )＝sin(x ＋π3)＋32，得 f (x )的值域为[32－1，32＋1]． (3)令f (x )＝0，即sin(x ＋π3)＋32＝0， 也就是sin(x ＋π3)＝－32； ∵x ∈[π，2π]，∴x ＝π或x ＝43π， ∴当x ∈[π，2π]时，f (x )的零点为x ＝π与x ＝43π.。
苏教版高中数学必修四第三章三角恒等变换单元练习题
三角恒等变换单元练习题一、选择题（5×12＝60分）1．cos 2π8 －12 的值为 A.1B. 12C. 22D. 242．tan π8 －cot π8 等于 A.－2B.－1C.2D.03．若sin θ2 ＝35 ，cos θ2 ＝－45 ，则θ在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4．cos 25π12 ＋cos 2π12 ＋cos 5π12 cos π12 的值等于 A.62B. 32C. 54D.1＋345．已知π＜α＜3π2 ，且sin(3π2 ＋α)＝45 ，则tan α2 等于 A.3 B.2 C.－2D.－36．若tan θ＋cot θ＝m ，则sin2θ等于 A. 1m B. 2m C.2mD. 1m 27．下面式子中不正确的是A.cos(－π12 )＝cos π4 cos π3 ＋64B.cos 7π12 ＝cos π4 ·cos π3 －22sin π3C.sin(π4 ＋π3 )＝sin π4 ·cos π3 ＋32cos π4D.cos π12 ＝cos π3 －cos π4 8．如果tan α2 ＝13 ，那么cos α的值是A. 35B. 45C.－35D.－459．化简cos （π4 ＋x ）－sin （π4 ＋x ）cos （π4 ＋x ）＋sin （π4 ＋x ）的值是 A.tan x2B.tan2xC.－tan xD.cot x10．若sin α＝513 ，α在第二象限，则tan α2 的值为 A.5B.－5C. 15D.－1511．设5π＜θ＜6π，cos θ2 ＝a ，则sin θ4 等于A.－1＋a 2B.－1－a 2 C.－1＋a2 D.－1－a 212．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A2 ，则此三角形为A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形 二、填空题(4×6＝24分)13．若tan α＝－2且sin α＜0，则cos α＝_____.14．已知sin α＝13 ，2π＜α＜3π，那么sin α2 ＋cos α2 ＝_____. 15．cos 5π8 cos π8 ＝_____.16．已知π＜θ＜3π2 ，cos θ＝－45 ，则cos θ2 ＝_____.17．tan19°＋tan26°＋tan19°tan26°＝_____.18．若cos(α＋β)＝45 ，cos(α－β)＝－45 ，且π2 ＜α－β＜π，3π2 ＜α＋β＜2π，则cos2α＝_____，cos2β＝_____.第Ⅱ卷13 14 15 16 17 18 三、解答题(12＋13＋13＋14＋14＝66分)19．已知sin α＋sin β＝1，cos α＋cos β＝0，求cos2α＋cos2β的值.20．已知sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1，α∈(0，π2 )，求sin α、tan α.21．已知sin(x －3π4 )cos(x －π4 )＝－14 ，求cos4x 的值.22．求证cos3α＝4cos3α－3cosα23．若函数y＝x2－4px－2的图象过点(tanα，1)及点(tanβ，1).三角恒等变换单元练习题答案135514 －23315 －2416 －101017 1 18 －725－1三、解答题(12＋13＋13＋14＋14＝66分)19．已知sinα＋sinβ＝1，cosα＋cosβ＝0，求cos2α＋cos2β的值. 120．已知sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1，α∈(0，π2 )，求sin α、tan α. 解：∵sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1 ∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0即：cos 2α(2sin 2α＋sin α－1)＝0⇒cos 2α(sin α＋1)(2sin α－1)＝0又α∈(0，π2 )，∴cos 2α>0，sin α＋1>0. 故sin α＝12 ，α＝π6 ，tan α＝33.21．已知sin(x －3π4 )cos(x －π4 )＝－14 ，求cos4x 的值. 解析：由sin(x －3π4 )cos(x －π4 )＝－14⇒12 ［sin(2x －π)＋sin(－π2 )］＝－14 ⇒sin2x ＝－12 ⇒cos4x ＝1－2sin 22x ＝12 .22．求证cos3α＝4cos 3α－3cos α证明：左边＝cos(2α＋α)＝cos2αcos α－sin2αsin α ＝(2cos 2α－1)cos α－2sin 2αcos α ＝2cos 3α－cos α－2sin 2αcos α＝2cos 3α－cos α－2(1－cos 2α)cos α ＝4cos 3α－3cos α＝右边.23．若函数y ＝x 2－4px －2的图象过点(tan α，1)及点(tan β，1). 求2cos2αcos2β＋p sin2(α＋β)＋2sin 2(α－β)的值. 解：由条件知tan α、tan β是方程 x 2－4px －2＝1的两根. ∴⎩⎨⎧tan α＋tan β＝4p tan αtan β＝－3∴tan(α＋β)＝4p1－（－3）＝p .∴原式＝2cos2αcos2β＋tan(α＋β)sin2(α＋β)＋2sin 2(α－β) ＝cos2(α＋β)＋cos2(α－β)＋2sin 2(α＋β)＋2sin 2(α－β)＝cos2(α＋β)＋cos2(α－β)＋［1－cos2(α＋β)］＋［1－cos2(α－β)］＝2。
苏教版高中数学必修4章末练测：第三章三角恒等变换(含参考答案).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第三章 三角恒等变换（数学苏教版必修4）建议用时 实际用时满分 实际得分120分钟150分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。
把答案填在题中横线上）1. 在△ABC 中，若cos B cos C-sin B sin C ≥0，则这个三角形一定不是 三角形(填“锐角”“直角”或“钝角”).2. 若△ABC 的内角A 满足sin 2A = ，则sin A+cos A = .3. = .4. 若函数y =f （x ）=sin x+ cos x+2，x ∈[0，2π），且关于x 的方程f （x ）=m 有两个不等实数根α，β，则sin （α+β）= .5. 已知：α-β=，tan α=3m ，tanβ=3-m，则m= .6. 已知函数f (x )=cos(2x+)+sin 2x ，则 f （x ）的最小正周期为 . 7. 已知函数f (x )=a cos 2x-b sin x cos x-2a的最大值为，且f()= ，则f(-)= . 8. 函数y =2sin x -cos 2x 的值域是 . 9. 设-＜α＜，- ＜β＜，tan α，tan β是方程x 2-3x+4=0的两个不等实根，则α+β的值为 . 10.2sin50sin80(1tan 60tan10)1sin100+++= .11. 已知f （cos x ）=cos 2x ，则f （sin x ）的表达式为 ．12. 函数y =lg （sin x+cos x ）的单调递减区间为 ．13.函数f (x )=cos x -cos 2x (x ∈R )的最大值等于 ．14. 若f （x ）是以5为周期的函数，f （3）=4，且cos α=，则f （4cos2α）= . 二、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共80分）15. （12分）已知函数f （x ）=2cos 2x+2 sin x cos x ． （1）求函数f （x ）定义在[-，]上的值域．（2）在△ABC 中，若f （C ）=2，2sin B =cos （A-C ）-cos （A+C ），求tan A 的值．16.(12分)已知0＜x ＜π2,化简:lg(cos x ·tan x+1- 2sin 22x )+lg[2cos(x-π4)-lg(1+sin 2x ).17. (12分) 已知向量 a =(cos α，sin α)， b =(cos β，sin β)，|a - b |= ． （1）求cos （α-β）的值；（2）若0＜α＜，＜β＜0，且sin β= ，求sin α．18. （12分）已知函数f （x ）=tan x ，x ∈（0，π2）．若x 1，x 2∈（0，π2），x 1≠x 2，证明12 [f （x 1）+ f （x 2）]＞f （122x x +）．19. （16分）已知α为第二象限的角，sin α=，β为第一象限的角，cos β=．求tan （2α-β）的值．20.(16分)已知-π2＜x＜0，sin x+cos x=15.（1）求sin x-cos x的值；（2）求223sin2sin cos cos22221tantanx x x xxx-++的值.第三章三角恒等变换（数学苏教版必修4）答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5． 6．7． 8． 9． 10． 11． 12．13． 14．二、解答题15．16.17.18.19.20.第三章三角恒等变换（数学苏教版必修4）答案一、填空题1.锐角解析：在△ABC中，若cos B cos C-sin B sin C≥0，则有cos（B+C）≥0，故B+C为锐角或直角，故角A 为钝角或直角，从而可得此三角形为钝角三角形或直角三角形，故一定不是锐角三角形．2.解析：由sin 2A=2sin A cos A＞0，可知A为锐角，所以sin A+cos A＞0.又(sin A+cos A)2=1+sin 2A=，所以sin A+cos A=．3. 解析：== =sin30°= ．4. 解析：函数y=f（x）=sin x+cos x+2=2（sin x+ cos x）+2=2sin（x+）+2．再由x∈[0，2π）可得≤x+＜2π+，故-1≤sin（x+）≤1，故0≤f（x）≤4．由题意可得2sin（x+）+2=m有两个不等实数根α，β，且这两个实数根关于直线x+=或直线x+=对称，故有ππ332αβ+++=，或ππ332αβ+++=，故α+β=或α+β=，故sin（α+β）= ．5. 解析：∵α-β=，∴tan（α-β）=tan = .又tan α=3m，tan β=3-m，∴tan （α-β）=tan tan 1tan tan αβαβ-+=33133m m m m---+ =（3m -3-m）， ∴（3m -3-m ）= ，即3m -3-m =，整理得：（3m）2-3m-1=0， 解得：3m=，∴3m= 或3m=- （舍去），则m =．6. π 解析：函数f (x )=cos(2x+)+sin 2x =cos 2x cos -sin 2x sin =- sin 2x+， 所以函数f (x )的最小正周期是T ==π．7. 0或- 解析：∵函数f (x )=a cos 2x-b sin x cos x-2a =a •1cos 22x+ -b •sin 2x-2a =2a •cos 2x-b •sin 2x ． 它的最大值为22a b +=，故有a 2+b 2=1． ①再由f ()= 可得-a- b =，即 a+b =- ②由①②解得3,0,21,1,2a ab b ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=-⎪⎩或 ∴f (- )= -a+ b =- ，或 f (- )= -a+ b =0． 8. [32-，3] 解析：由题意可得：y =2sin x-cos 2x =2sin 2x+2sin x-1=2(sin x+12)232-，又sin x ∈[-1，1]， 当sin x =-12时，函数f （x ）取到最小值为32-， 当sin x =1时，函数f （x ）取到最大值为3， 综上函数f （x ）的值域是[32-，3]． 9. 解析：∵tan α，tan β是方程x 2-3x+4=0的两个不等实根， ∴有tan α+tan β=3，① tan α•tan β=4，② ∴tan （α+β）=tan tan 1tan tan αβαβ+- = =-.∵＜α＜，＜β＜，由②知两个角是在同一个象限，由①知两个角的正切值都是正数， ∴0＜α＜，0＜β＜，∴0＜α+β＜π，∴α+β=.10. 2 解析：原式=sin102sin 50sin 80(1tan 60)cos101cos10++∙+=2sin 50(cos103sin10)2cos5++=2sin502sin 402cos5+=22sin 45cos52cos5⨯=2.11. f （sin x ）=-cos 2x 解析：∵ cos 2x =2cos 2x-1， ∴f （cos x ）=cos 2x =2cos 2x-1．∴f （sin x ）=2sin 2x-1=-（1-2sin 2x ）=-cos 2x ． 故答案为f （sin x ）=-cos 2x ．12. [ +2k π， +2k π） 解析：由题意，令m =sin x+cos x = sin （x+）， 由m ＞0得，2k π＜x+ ＜π+2k π，解得- +2k π＜x ＜ +2k π， ∴函数的定义域是（ +2k π， +2k π）. 又∵y =lg x 在定义域内是增函数，∴原函数的单调递减区间是y=sin （x+ ）的递减区间， ∴ +2k π≤x+ ≤ +2k π，解得 +2k π≤x ≤+2k π， ∴所求的单调递减区间是[ +2k π，+2k π）．13. 34 解析： f （x ）=cos x-12cos2x =cos x-12（2cos 2x-1）=-cos 2x+cos x+12=-(cos x-12)2+34， 所以f （x ）的最大值为34．14.4 解析：∵4cos2α=4（2cos 2α-1）=-2，∴ f （4cos2α）=f （-2）=f （-2+5）=f （3）=4．二、解答题15. 解：（1）f （x ）=1+cos 2x+ sin 2x =2sin （2x+）+1. ∵-≤x ≤, ∴- ≤2x+ ≤. ∴- ≤sin(2x+ )≤1.∴f （x ）∈[0，3]，即f （x ）的值域为[0，3].（2）由f （C ）=2得2sin （2C+ ）+1=2，∴sin （2C+ ）= ． ∵0＜C ＜π∴ ＜2C+ ＜. ∴2C+= ∴C = ∴A+B =．又∵2sin B =cos （A-C ）-cos （A+C ），∴2sin B =2sin A sin C ， ∴2sin( -A )= sin A ，即 cos A+sin A = sin A ， ∴( -1)sin A = cos A ，∴tan A = =．16. 解：∵ 0<x <π2， ∴ 原式=lg(cos x ·sin cos xx+cos x )+lg(cos x+ sin x )-lg(1+sin 2x )=lg(sin x+cos x )+lg(cos x+sin x )-lg(1+sin 2x ) =lg(sin x+cos x )2-lg(1+sin 2x ) =lg(1+sin 2x )-lg(1+sin 2x )=0.17. 解：（1）∵ a =(cos α，sin α)， b =(cos β，sin β)， ∴ a - b =(cos α-cos β，sin α-sin β)．∵| a - b |= ， ∴22(cos cos )(sin sin )αβαβ-+- = ，即2-2cos(α-β)= ，∴cos(α-β)= ．（2）∵0＜α＜ ， - ＜β＜0， ∴0＜α-β＜π. ∵cos(α-β)= ，∴sin(α-β)= ．∵sin β=- ，∴cos β= ， ∴sin α=sin[（α-β）+β] =sin （α-β）cos β+cos （α-β）sin β= × ×(- )= .18. 证明：tan x 1+tan x 2=11sin cos x x +22sin cos x x =121212sin cos cos sin cos cos x x x x x x + =1212sin()cos cos x x x x +=1212122sin()cos()cos()x x x x x x +++-.∵x 1，x 2∈（0，π2），x 1≠x 2， ∴2sin （x 1+x 2）＞0，cos x 1cos x 2＞0，且0＜cos （x 1-x 2）＜1， 从而有0＜cos （x 1+x 2）+cos （x 1-x 2）＜1+cos （x 1+x 2）， 由此得tan x 1+tan x 2＞12122sin()1cos()x x x x +++，∴12（tan x 1+tan x 2）＞tan 122x x +，即12 [f （x 1）+f （x 2）]＞f （122x x +）． 19. 解：∵α为第二象限角，sin α=，∴cos α=- ，tan α=- ，tan2α=-又∵β为第一象限角，cos β=，∴sin β=，tan β=，∴tan （2α-β）=tan 2tan 1tan 2tan αβαβ-+ ==.20.解：（1）由sin x+cos x=15，得 sin 2x+2sin x cos x+cos 2x=125，即2sin x cos x=-2425.∴ （sin x-cos x ）2=1-2sin x cos x =4925.又∵ -π2＜x ＜0，∴ sin x ＜0，cos x ＞0，sin x -cos x ＜0，故sin x-cos x=-75.（2）223sin 2sin cos cos 22221tan tan x x x x x x -++=22sin sin 12sin cos cos sin x x x xx x-++=sin x cos x （2-cos x -sin x ）=（-1225）×（2-15）=-108125.。
苏教版高中数学必修4同步练测：第3章+三角恒等变换+本章练测.docx
（2）若0＜ ＜，＜ ＜0，且sin = ，求sin ．
18. （12分）已知函数f（x）=tan x，x∈（0， ）．若x1，x2∈（0， ），x1≠x2，证明 [f（x1）+ f（x2）]＞f（ ）．
19. （16分）已知 为第二象限的角，sin =， 为第一象限的角，cos =．求tan（2 - ）的值．
当sin x=- 时，函数f（x）取到最小值为 ，
当sin x=1时，函数f（x）取到最大值为3，
综上函数f（x）的值域是[ ，3]．
9.解析：∵tan ，tan 是方程x2-3x+4=0的两个不等实根，
∴有tan +tan =3，①
tan •tan =4，②
∴tan（ + ）= = =-.
∵＜ ＜，＜ ＜，
它的最大值为 =，故有a2+b2=1． ①
再由f()= 可得-a- b=，即 a+b=- ②
由①②解得
∴f(- )= -a+ b =- ，或 f(- )= -a+ b =0．
8. [ ，3]解析：由题意可得：y=2sin x-cos 2x=2sin2x+2sin x-1=2(sin x+ )2 ，
又sin x∈[-1，1]，
由②知两个角是在同一个象限，由①知两个角的正切值都是正数，
∴0＜ ＜，0＜ ＜，∴0＜ + ＜π，∴ + =.
10. 2解析：原式= =
= = =2.
11. f（sin x）=-cos 2x解析：∵ cos 2x=2cos2x-1，
∴f（cos x）=cos 2x=2cos2x-1．
∴f（sin x）=2sin2x-1=-（1-2sin2x）=-cos 2x．
苏教版高中数学必修4章末练测：第三章三角恒等变换(含参考答案)
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作第三章 三角恒等变换（数学苏教版必修4）建议用时 实际用时满分 实际得分120分钟150分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。
把答案填在题中横线上）1. 在△ABC 中，若cos B cos C-sin B sin C ≥0，则这个三角形一定不是 三角形(填“锐角”“直角”或“钝角”).2. 若△ABC 的内角A 满足sin 2A = ，则sin A+cos A = .3. = .4. 若函数y =f （x ）=sin x+ cos x+2，x ∈[0，2π），且关于x 的方程f （x ）=m 有两个不等实数根α，β，则sin （α+β）= .5. 已知：α-β=，tan α=3m ，tan β=3-m ，则m= .6. 已知函数f (x )=cos(2x+)+sin 2x ，则 f （x ）的最小正周期为 . 7. 已知函数f (x )=a cos 2x-b sin x cos x-2a的最大值为，且f()= ，则f(-)= . 8. 函数y =2sin x -cos 2x 的值域是 . 9. 设-＜α＜，- ＜β＜，tan α，tan β是方程x 2-3x+4=0的两个不等实根，则α+β的值为 . 10.2sin50sin80(1tan60tan10)1sin100+++= .11. 已知f （cos x ）=cos 2x ，则f （sin x ）的表达式为 ．12. 函数y =lg （sin x+cos x ）的单调递减区间为 ．13.函数f (x )=cos x -cos 2x (x ∈R )的最大值等于 ．14. 若f （x ）是以5为周期的函数，f （3）=4，且cos α=，则f （4cos2α）= . 二、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共80分）15. （12分）已知函数f （x ）=2cos 2x+2 sin x cos x ． （1）求函数f （x ）定义在[-，]上的值域．（2）在△ABC 中，若f （C ）=2，2sin B =cos （A-C ）-cos （A+C ），求tan A 的值．16.(12分)已知0＜x ＜π2,化简:lg(cos x ·tan x+1- 2sin 22x )+lg[2cos(x-π4)-lg(1+sin 2x ).17. (12分) 已知向量 a =(cos α，sin α)， b =(cos β，sin β)，|a - b |= ． （1）求cos （α-β）的值；（2）若0＜α＜，＜β＜0，且sin β= ，求sin α．18. （12分）已知函数f （x ）=tan x ，x ∈（0，π2）．若x 1，x 2∈（0，π2），x 1≠x 2，证明12 [f （x 1）+ f （x 2）]＞f （122x x +）．19. （16分）已知α为第二象限的角，sin α=，β为第一象限的角，cos β=．求tan （2α-β）的值．20.(16分)已知-π2＜x＜0，sin x+cos x=15.（1）求sin x-cos x的值；（2）求223sin2sin cos cos22221tantanx x x xxx-++的值.第三章三角恒等变换（数学苏教版必修4）答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5． 6．7． 8． 9． 10． 11． 12．13． 14．二、解答题15．16.17.18.19.20.第三章三角恒等变换（数学苏教版必修4）答案一、填空题1.锐角解析：在△ABC中，若cos B cos C-sin B sin C≥0，则有cos（B+C）≥0，故B+C为锐角或直角，故角A 为钝角或直角，从而可得此三角形为钝角三角形或直角三角形，故一定不是锐角三角形．2.解析：由sin 2A=2sin A cos A＞0，可知A为锐角，所以sin A+cos A＞0.又(sin A+cos A)2=1+sin 2A=，所以sin A+cos A=．3. 解析：== =sin30°= ．4. 解析：函数y=f（x）=sin x+cos x+2=2（sin x+ cos x）+2=2sin（x+）+2．再由x∈[0，2π）可得≤x+＜2π+，故-1≤sin（x+）≤1，故0≤f（x）≤4．由题意可得2sin（x+）+2=m有两个不等实数根α，β，且这两个实数根关于直线x+=或直线x+=对称，故有ππ332αβ+++=，或ππ332αβ+++=，故α+β=或α+β=，故sin（α+β）= ．5. 解析：∵α-β=，∴tan（α-β）=tan = .又tan α=3m，tan β=3-m，∴tan （α-β）=tan tan 1tan tan αβαβ-+=33133m m m m---+ =（3m -3-m）， ∴（3m -3-m ）= ，即3m -3-m =，整理得：（3m）2-3m-1=0， 解得：3m=，∴3m= 或3m=- （舍去），则m =．6. π 解析：函数f (x )=cos(2x+)+sin 2x =cos 2x cos -sin 2x sin =- sin 2x+， 所以函数f (x )的最小正周期是T ==π．7. 0或- 解析：∵函数f (x )=a cos 2x-b sin x cos x-2a =a •1cos 22x+ -b •sin 2x-2a =2a •cos 2x-b •sin 2x ． 它的最大值为22a b +=，故有a 2+b 2=1． ①再由f ()= 可得-a- b =，即 a+b =- ②由①②解得3,0,21,1,2a ab b ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=-⎪⎩或 ∴f (- )= -a+ b =- ，或 f (- )= -a+ b =0． 8. [32-，3] 解析：由题意可得：y =2sin x-cos 2x =2sin 2x+2sin x-1=2(sin x+12)232-，又sin x ∈[-1，1]， 当sin x =-12时，函数f （x ）取到最小值为32-， 当sin x =1时，函数f （x ）取到最大值为3， 综上函数f （x ）的值域是[32-，3]． 9. 解析：∵tan α，tan β是方程x 2-3x+4=0的两个不等实根， ∴有tan α+tan β=3，① tan α•tan β=4，② ∴tan （α+β）=tan tan 1tan tan αβαβ+- = =-.∵＜α＜，＜β＜，由②知两个角是在同一个象限，由①知两个角的正切值都是正数， ∴0＜α＜，0＜β＜，∴0＜α+β＜π，∴α+β=.10. 2 解析：原式=sin102sin 50sin 80(1tan 60)cos101cos10++∙+=2sin50(cos103sin10)2cos5++=2sin 502sin 402cos5+=22sin 45cos52cos5⨯=2.11. f （sin x ）=-cos 2x 解析：∵ cos 2x =2cos 2x-1， ∴f （cos x ）=cos 2x =2cos 2x-1．∴f （sin x ）=2sin 2x-1=-（1-2sin 2x ）=-cos 2x ． 故答案为f （sin x ）=-cos 2x ．12. [ +2k π， +2k π） 解析：由题意，令m =sin x+cos x = sin （x+）， 由m ＞0得，2k π＜x+ ＜π+2k π，解得- +2k π＜x ＜ +2k π， ∴函数的定义域是（ +2k π， +2k π）. 又∵y =lg x 在定义域内是增函数，∴原函数的单调递减区间是y=sin （x+ ）的递减区间， ∴ +2k π≤x+ ≤ +2k π，解得 +2k π≤x ≤+2k π， ∴所求的单调递减区间是[ +2k π，+2k π）．13.34 解析： f （x ）=cos x-12cos2x =cos x-12（2cos 2x-1）=-cos 2x+cos x+12=-(cos x-12)2+34， 所以f （x ）的最大值为34．14.4 解析：∵4cos2α=4（2cos 2α-1）=-2，∴ f （4cos2α）=f （-2）=f （-2+5）=f （3）=4．二、解答题15. 解：（1）f （x ）=1+cos 2x+ sin 2x =2sin （2x+）+1. ∵-≤x ≤, ∴- ≤2x+ ≤. ∴- ≤sin(2x+ )≤1.∴f （x ）∈[0，3]，即f （x ）的值域为[0，3].（2）由f （C ）=2得2sin （2C+ ）+1=2，∴sin （2C+ ）= ． ∵0＜C ＜π∴ ＜2C+ ＜. ∴2C+= ∴C = ∴A+B =．又∵2sin B =cos （A-C ）-cos （A+C ），∴2sin B =2sin A sin C ， ∴2sin( -A )= sin A ，即 cos A+sin A = sin A ， ∴( -1)sin A = cos A ，∴tan A = =．16. 解：∵ 0<x <π2， ∴ 原式=lg(cos x ·sin cos xx+cos x )+lg(cos x+ sin x )-lg(1+sin 2x )=lg(sin x+cos x )+lg(cos x+sin x )-lg(1+sin 2x ) =lg(sin x+cos x )2-lg(1+sin 2x ) =lg(1+sin 2x )-lg(1+sin 2x )=0.17. 解：（1）∵ a =(cos α，sin α)， b =(cos β，sin β)， ∴ a - b =(cos α-cos β，sin α-sin β)．∵| a - b |= ， ∴22(cos cos )(sin sin )αβαβ-+- = ，即2-2cos(α-β)= ，∴cos(α-β)= ．（2）∵0＜α＜ ， - ＜β＜0， ∴0＜α-β＜π. ∵cos(α-β)= ，∴sin(α-β)= ．∵sin β=- ，∴cos β= ， ∴sin α=sin[（α-β）+β] =sin （α-β）cos β+cos （α-β）sin β= × ×(- )= .18. 证明：tan x 1+tan x 2=11sin cos x x +22sin cos x x =121212sin cos cos sin cos cos x x x x x x + =1212sin()cos cos x x x x +=1212122sin()cos()cos()x x x x x x +++-.∵x 1，x 2∈（0，π2），x 1≠x 2， ∴2sin （x 1+x 2）＞0，cos x 1cos x 2＞0，且0＜cos （x 1-x 2）＜1， 从而有0＜cos （x 1+x 2）+cos （x 1-x 2）＜1+cos （x 1+x 2）， 由此得tan x 1+tan x 2＞12122sin()1cos()x x x x +++，∴12（tan x 1+tan x 2）＞tan 122x x +，即12 [f （x 1）+f （x 2）]＞f （122x x +）． 19. 解：∵α为第二象限角，sin α=，∴cos α=- ，tan α=- ，tan2α=- 又∵β为第一象限角，cos β=，∴sin β=，tan β=，∴tan （2α-β）=tan 2tan 1tan 2tan αβαβ-+ ==.20.解：（1）由sin x+cos x=15，得 sin 2x+2sin x cos x+cos 2x=125，即2sin x cos x=-2425.∴ （sin x-cos x ）2=1-2sin x cos x =4925.又∵ -π2＜x ＜0，∴ sin x ＜0，cos x ＞0，sin x -cos x ＜0，故sin x-cos x=-75.（2）223sin 2sin cos cos 22221tan tan x x x x x x -++=22sin sin 12sin cos cos sin x x x xx x-++=sin x cos x （2-cos x -sin x ）=（-1225）×（2-15）=-108125.。
(完整版)高一必修4三角恒等变换测试题及答案
17. 已知 0
， tan
2
2
1 tan
2
5 ，试求 sin
2
的值．（ 12 分）
3
3 tan120 3
18. 求 sin120 (4 cos2 120
的值．（ 12 分）
2)
3
19. 已知α为第二象限角，且
sinα = 15 ,求
sin(
) 4
的值 .（12分）
4 sin 2 cos2 1
20.已知函数 y sin2 x sin 2x 3cos 2 x ，求 （ 1）函数的最小值及此时的 x 的集合。
65
56
C、
65
16
D、
65
3. tan 20 tan 40 3 tan 20 tan 40 的值为（
）
)（ ）
A1
3
B
3
C －3
D3
4. 已知 tan
3,tan
5 ，则 tan 2 的值为（
）
4
A
7
4
B
7
1
C
8
1
D
8
5. , 都是锐角，且 sin
5 ， cos
13
4
，则 sin 的值是（
）
5
33
A、
3 cos x 的图像的一条对称轴方程是 2
（）
A 、 x 11 3
B 、x 5
C 、x
5
D 、x
3
3
3
1 cos x sin x
11. 已知
1 cos x sin x
2 ，则 tan x 的值为
（）
A、 4 3
B
必修4第三章三角恒等变换基础练习
三角恒等变换（必修4第三章）基础练习一、选择题1．已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan --------------------------------------（ ） A ．247 B ．247- C ．724 D ．724-2．函数3sin 4cos 5y x x =++的最小正周期是 --------------------------------------（ ）A .5πB .2πC .πD .2π 3．在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为 ------------------------（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法判定4．设0sin14cos14a =+，0sin16cos16b =+，2c =，则,,a b c 大小关系（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．a c b <<5．函数)cos[2()]y x x ππ=-+是--------------------------------------------（ ）A .周期为4π的奇函数 B .周期为4π的偶函数 C .周期为2π的奇函数 D .周期为2π的偶函数6．已知cos 23θ=，则44sin cos θθ+的值为 -------------------------------------（ ） A ．1813 B ．1811 C ．97D ．1- 二、填空题7．求值：0tan 20tan 4020tan 40++=_____________.8．若1tan 2008,1tan αα+=-则1tan 2cos 2αα+= .9．函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是___________.10．已知sincos223θθ+=那么sin θ的值为 ,cos2θ的值为 .11．ABC ∆的三个内角为A 、B 、C ，当A 为 时，cos 2cos 2B CA ++取得最大值，且这个最大值为 .三、解答题12．已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值.13．若,22sin sin =+βα求βαcos cos +的取值范围。
高中数学苏教版必修4三角恒等变换练习题
第三章 三角恒等变换§ 3.1.1-2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式一．选择题1、sin750= （ ）Ａ、142、tan170+tan280+tan170tan280= （ ）Ａ、-１ Ｂ、１ Ｄ、3、若12sin x x =cos(x +φ)，则φ的一个可能值为 （ ） Ａ、6π-Ｂ、3π-Ｃ、6π Ｄ、3π4、设α、β为钝角，且sin α，cos β＝α+β的值为 （ ）Ａ、34π Ｂ、54π Ｃ、74π Ｄ、54π或74π5、1tan 751tan 75+-＝ （ ）Ｃ、 Ｄ、*6、在△ABC 中，若0<tan A tan B <1，则此三角形是 （ ）Ａ、直角三角形 Ｂ、钝角三角形 Ｃ、锐角三角形 Ｄ、等腰三角形二、填空题7、cos420sin780+cos480sin120____________;8、已知cos α=17，α∈(0,2π)，则cos(α+3π)=_____________;9、已知函数f (x )=sin x +cos x ，则 f (12π)= ; *10、一元二次方程mx 2+(2m -3)x +m -2=0的两根为tan α,tan β，则tan(α+β)的最小值为______.三、解答题11、已知tan(4π+x )= 12，求tan x 12、化简2cos10sin 20cos 20-13、已知4π<α<34π，0<β<4π，且cos(4π-α)=35，sin(34π+β)=513，求sin (α+β)的值。
*14、已知α、β为锐角，sin α=8,17cos(α-β)=2129，求cos β.3.1.3二倍角的正弦、余弦与正切公式班级_________ 姓名_______学号________得分_________一、 选择题 1、已知sin2α=35,cos 2α= -45,则角α终边所在的象限是 （ ） （Ａ）第一象限 （Ｂ）第二象限 （Ｃ）第三象限 （Ｄ）第四象限２、已知sin x tan x <0 , （ ）x （Ｂ）x x （Ｄ）x３、若tan α=12-,则sin 22cos 24cos 24sin 2αααα+-的值是 （ ）（Ａ）114 （Ｂ）-114 （Ｃ）52 （Ｄ）52- 4、log 2sin150+log 2cos150 的值是 （ ） （Ａ）1 （Ｂ）-1 （Ｃ）2 （Ｄ）-25、若θ∈（54π，32π）, （ ）（Ａ）2sin θ （Ｂ）2cos θ （Ｃ）- 2sin θ （Ｄ）-2cos θ*6、已知sin(4π-x )=35,sin2x 的值为 （ ） （Ａ）725 （Ｂ）1425 （Ｃ）1625（Ｄ）1925二、 填空题 7、tan22.50-1tan 22.5= ;8、已知sin x ,则sin2(x -4π)= ;9、计算：sin60 sin 420 sin 660 sin 780= 。
苏教版高中数学必修四学同步训练三角恒等变换Word含答案
3.3 几个三角恒等式一、填空题1．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的取值集合是________．2．函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是______． 3．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是________．4．函数f (x )＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期是______．5．已知等腰三角形顶角的余弦值为45，则底角的正切值为________． 6．当y ＝2cos x －3sin x 取得最大值时，tan x 的值是________．7．若8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，则sin(α＋β)＝________.8．若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tan α21－tan α2＝________. 二、解答题9．已知函数f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求f (x )的最小值及取得最小值时x 的集合． 10．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0，求cos α的值． 11．已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 三、探究与拓展12．已知函数f (x )＝(1＋1tan x)sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．答案1.⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ|θ＝k π－π3，k ∈Z 2．π 3.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋5π6 (k ∈Z ) 4.π2 5．3 6．－32 7.4780 8．－129．解 (1)f (x )＝(cos 4x －sin 4x )－2sin x cos x ＝(cos 2x ＋sin 2x )(cos 2x －sin 2x )－sin 2x＝cos 2x －sin 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. ∴T ＝2π2＝π，∴f (x )的最小正周期为π. (2)∵0≤x ≤π2，∴π4≤2x ＋π4≤5π4， ∴当2x ＋π4＝π，即x ＝3π8时，f (x )min ＝－2，f (x )取最小值时x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫3π8. 10．解 ∵sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α ＝sin αcos π3＋cos αsin π3＋sin α ＝32sin α＋32cos α＝－435. ∴32sin α＋12cos α＝－45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. ∵－π2<α<0，∴－π3<α＋π6<π6， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. ∴cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π6＋ sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π6＝35×32＋⎝⎛⎭⎫－45×12＝33－410. 11．解 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1 ＝4cos x ·⎝⎛⎭⎫sin x cos π6＋cos x sin π6－1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1 ＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3. 于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2； 当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1. 12．解 (1)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋cos 2x ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12， 由tan α＝2得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝－35， 所以f (α)＝12×⎝⎛⎭⎫45－35＋12＝35. (2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12， 由x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2得2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤5π12，5π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1， 从而f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22.。
苏教版数学高一必修四第三章《三角恒等变换》章末综合检测
∴△ABC是钝角三角形．
答案：钝角
8．化简2 ＋ 的结果是__________．
答案：2sin2
9．在△ABC中，若sin2B＝sinAsinC，则cos2B＋cosB＋cos(A－C)的值为__________．
解析：原式＝4sinB· ＋cos2B＝2sinB(1＋sinB)＋(1－2sin2B)＝2sinB＋1.
∵f(B)－m＜2恒成立，
∴2sinB＋1－m＜2恒成立，即m＞2sinB－1恒成立．
∵0＜B＜π，∴0＜sinB≤1.
∴－1＜2sinB－1≤1，故m＞1.
答案：m≥1
二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分14分)已知tan( ＋θ)＋tan( －θ)＝4，且－π＜θ＜－ ，求sin2θ－2sinθcosθ－cos2θ的值．
解：由tan( ＋θ)＋tan( －θ)＝4，得：
＋ ＝
＝
＝ ＝4.则cos2θ＝ .
∵－π＜θ＜－ ，
∴cosθ＝－ ，sinθ＝－ ，
∴sin2θ－2sinθ·cosθ－cos2θ
＝ －2× × － ＝－ .
17．(本小题满分14分)在△ABC中，已知tanB＝ ，试判断△ABC的形状．
解：在△ABC中，A＋B＋C＝π，则A＝π－(B＋C)，
因为tanB＝ ，
所以 ＝
＝ ，
所以sinB＝ ，
整理得cos(B＋C)＝0.
因为0＜B＋C＜π，
所以B＋C＝ .
即△ABC为直角三角形．
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第三章 三角恒等变换
§ 3.1.1-2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
一．选择题
1、sin750= （ ）
Ａ、14
2、tan170+tan280+tan170tan280
= （ ）
Ａ、-１ Ｂ、１ Ｄ、
3、若12sin x x =cos(x +φ)，则φ的一个可能值为 （ ）
Ａ、6π- Ｂ、3π- Ｃ、6π Ｄ、3
π
4、设α、β为钝角，且sin α，cos β＝α+β的值为 （ ）
Ａ、
34π Ｂ、54π Ｃ、74π Ｄ、54π或74
π
5、1tan 751tan 75+-
＝ （ ）
Ｃ、 Ｄ、*
6、在△ABC 中，若0<tan A tan B <1，则此三角形是 （ ）
Ａ、直角三角形 Ｂ、钝角三角形 Ｃ、锐角三角形 Ｄ、等腰三角形
二、填空题
7、cos420sin780+cos480sin120____________;
8、已知cos α=17，α∈(0,2π)，则cos(α+3π
)=_____________;
9、已知函数f (x )=sin x +cos x ，则 f (
12
π)= ;
*
10、一元二次方程mx 2+(2m -3)x +m -2=0的两根为tan α,tan β，则tan(α+β)的最小值为______.
三、解答题
11、已知tan(4π+x )= 1
2
，求tan x
12、化简2cos10sin 20cos20-
13、已知4π<α<34π，0<β<4π，且cos(4π-α)=35，sin(34π+β)=513
，求sin (α+β)的值。
*
14、已知α、β为锐角，sin α=
8,17cos(α-β)=21
29
，求cos β.
3.1.3二倍角的正弦、余弦与正切公式
班级_________ 姓名_______学号________得分_________
一、 选择题 1、已知sin
2α=35,cos 2α= -4
5
,则角α终边所在的象限是 （ ） （Ａ）第一象限 （Ｂ）第二象限 （Ｃ）第三象限 （Ｄ）第四象限
２、已知sin x tan x <0 , （ ）
x （Ｂ）x x （Ｄ）x
３、若tan α=12-,则sin 22cos 24cos 24sin 2αα
αα+-的值是 （ ）
（Ａ）
114 （Ｂ）-114 （Ｃ）52 （Ｄ）52
- 4、log 2sin150+log 2cos150 的值是 （ ） （Ａ）1 （Ｂ）-1 （Ｃ）2 （Ｄ）-2
5、若θ∈（
54
π，32π
）, （ ）（Ａ）2sin θ （Ｂ）2cos θ （Ｃ）- 2sin θ （Ｄ）-2cos θ
*
6、已知sin(
4π-x )=3
5
,sin2x 的值为 （ ） （Ａ）
725 （Ｂ）1425 （Ｃ）1625
（Ｄ）
19
25
二、 填空题 7、tan22.50-
1
tan 22.5= ;
8、已知sin x ,则sin2(x -4π)= ;
9、计算：sin60 sin 420 sin 660
sin 780= 。
*
10、已知f (cos
2x )=3cos x +2，则f (sin 8
π
)= 。
三、 解答题
11、求证：cos4θ-4cos2θ+3=8sin 4θ.
12、在△ABC 中，cos A =3
5
,tan B =2，求tan(2A +2B )的值。
13、已知cos(4π+x )= 35,1712π
<x <74π,求2sin 22sin 1tan x x x
+-的值.
*
14、已知3sin 2α+2sin 2β=1, 3sin2α-2sin2β=0,且α、β都是锐角，求证：α+2β=
2
π.
§3.2简单的三角恒等变换
班级__________ 姓名___________ 学号_______ 得分_______
一、选择题
1．(cos
12
π-sin
12
π) (cos
12
π+sin
12
π)= （ ）
A 、
B 、12-
C 、12 D
2．cos240cos360-cos660cos540的值为 （ ）
A 、0
B 、1
2
C D 、-12
3．函数f (x ) = | sin x +cos x | 的最小正周期是 （ ）
A 、
4π B 、2
π C 、π D 、2π
4．22sin 2cos 1cos2cos2αααα⋅=+ （ ） A 、tan α B 、tan2α C 、1 D 、1
2
5．已知tan
2
α
=3,则cos α= （ ） A 、4
5
B 、4
5
-
C 、
415 D 、35
- *
6．若sin(
6π-α)= 13，则cos(23
π
+2α)= （ ） A 、79- B 、13- C 、13 D 、7
9
二、填空题
7．已知tan α =4
3
-，则tan 2α的值为 _______
8． sin150 + sin750 = 9．若α是锐角，且sin(α-
6π)=1
3
，则cos α 的值是 *10. 若f (tan x )＝sin2x ，则f (-1)＝
三、解答题
11．已知a =(λcos α,3),b =(2sin α,1
3
)，若a ·b 的最大值为5，求λ的值。
12．已知函数f (x )＝sin 2
x ＋sin x cos x ．
(Ⅰ) 求f (256
π)的值； (Ⅱ) 设α∈(0,π)，f (2α)＝14sin α的值．
13．已知cos(α+4π)=35,2
π
≤α<32π,求cos(2α+4π)的值.
*14．已知函数f (x )＝a (2cos
22
x
＋sin x )+b . (1)当a =1时,求f (x )的单调递增区间
(2)当x ∈[0,π]时，f (x )的值域是[3，4]，求a 、b 的值.
参考答案
§3.1.1-2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
一、DBACDB
二、7 8、1114- 9 10、34-
三、11、-13
12 13、56
65
14、
155
493
(提示：若sin(α-β)>0,则sin β<0) 3.1.3二倍角的正弦、余弦与正切公式
一、DBBDCA
二、7、-2 ; 8、、161; 10、2三、11、略 ；12、34-
； 13、28
75
- 14、∵3sin 2
α+2sin 2
β=1, 3sin2α-2sin2β=0,∴cos2β=3sin 2
α,
sin2β=3sin αcos α,
∴cos (α+2β)=cos αcos2β-sin αsin2β=3sin 2αcos α-3sin 2
αcos α=0
又α、β都是锐角，∴0<α+2β<
32π,∴α+2β=2
π. §3.2简单的三角恒等变换
一、DBCBBA
二、7、2或12- 8 9 10、-1
三、11、λ=±4
12、(Ⅰ) 0 ; (Ⅱ) sin α 13、∵
2π≤α<32π,∴34π≤α+4π<74π.从而cos2(α+4π)=7.25- sin2(α+4π)=24.25
-
原式= cos[2(α+
4π)-4π cos2(α+4πα+4π
)=
14、(1) f (x )x +4π)+b +1.由-22242
k x k πππ
ππ+≤+≤+，解得f (x )的单调递增区间为[-
32,242
k k ππ
ππ++](k ∈Z ).
(2) f (x )＝a sin (x +4π)+a +b . x ∈[0,π], ∴4π≤x +4π≤54π∴≤sin (x +
4
π
)≤1.
①当a >0时，b ≤f (x ) ≤a +b , ∴31
1)43b a a b b =⎧⎧=⎪⎪
⇒⎨
⎨
+==⎪⎪⎩⎩;
②当a <0时，a +b ≤f (x ) ≤b , ∴41
1)34b a a b b =⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨
+==⎪⎪⎩⎩
故a b =3或a b =4.。