趣味数学--分形艺术
分形艺术所画的抽象花
分形艺术所画的抽象花
推荐理由：数学与艺术审美的完美统一，感受神奇的靓丽世界。
分形艺术是一种数字艺术，与普通的电脑绘画所不同的是，它是使用数学手段进行创作，这就要求创作者有很深的数学功底和对色彩、造型的基本认识。
不同于绘图工具中的阵列，这种科学与艺术融合，带来了数学与艺术审美上的统一，使枯燥的数学不再仅仅是抽象的哲理，而变成具体的感受。
来自意大利的Silvia Cordedda创作了一些非凡的作品。
她的三维抽象艺术的创作往往集中于花，而且是从未存在于这个世界上的花。
明亮的半透明加上丰富多彩的靓丽颜色，使每朵花看起来都惊艳无比，它只可能存在于我们的梦想、又或另一个美妙神奇的世界！让我们一起欣赏神奇的世界吧~。
#插画##透明世界#。
爱乐活收藏。
半透明的花瓣
有序的排列，非凡的美
色彩绚丽
透明状的花
神奇世界里的花
奇妙之旅
不具名的花，像梦游一样
爱乐活——有态度、正能量的品质生活社区。
热爱生活，乐于分享的各类达人聚在这里，分享消费攻略，激发生活灵感，发现城市最IN
的角落。
在这里，有爱，有乐，有生活。
【更多精彩内容尽在爱乐活】
文章来源：/post/437f2b33acf9923b31074370?from=wenku/?from=wenku。
不信炫不晕你(分形艺术)
不信炫不晕你
被过滤广告
分形诞生在以多种概念和方法相互冲击和融合为特征的当代。
分形混沌之旋风，横扫数学、理化、生物、大气、海洋以至社会学科，在音乐、美术间也产生了一定的影响。
分形所呈现的无穷玄机和美感引发人们去探索。
即使您不懂得其中深奥的数学哲理，也会为之感动
分形使人们觉悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美上的统一，使昨日枯燥的数学不再仅仅是抽象的哲理，而是具体的感受；不再仅仅是揭示一类存在，而是一种艺术创作，分形搭起了科学与艺术的桥梁
“分形艺术”与普通“电脑绘画”不同。
普通的“电脑绘画”概念是用电脑为工具从事美术创作，创作者要有很深的美术功底。
而“分形艺术”是用数学的手段进行创作，作者要有很深的数学功底，同时要有色彩和造型方面的基本认识。
随着研究的广泛深入，分形艺术的外延已经不只局限于复数迭代产生的图象了，现代分形艺术的外延等同于超级矢量。
它是传统矢量绘画的扩展，放大图片的时候能在不丢失细节的前提下显现更多的细节层次。
几何里的艺术家——分形几何
几何里的艺术家——分形几何【摘要】分形几何是一门独特的数学领域，它以非整数维度的几何形状为研究对象。
本文将深入探讨分形几何的历史、基本概念和数学原理，以及在自然界中的展现和艺术中的运用。
分形几何不仅仅是一种数学理论，它还具有广泛的应用价值，在自然界的各个领域中都有着重要作用。
分形几何的未来发展也备受关注，展示着一种新颖的数学思维和艺术创意。
几何里的艺术家——分形几何，展现着独特的美学魅力，引领着无限的想象力和创造力，让我们一起探索分形几何的奥秘与魅力。
【关键词】分形几何、艺术家、几何、应用、历史、基本概念、数学原理、自然界、展现、艺术、运用、未来发展、魅力1. 引言1.1 什么是分形几何分形几何是一种研究自然和人造现象中形态结构的几何学领域，它研究的是那些不规则、复杂、自相似的图形或结构。
分形几何的研究对象不同于传统几何学中的简单几何图形，而是更接近自然界和人类创造的复杂形态。
分形几何通过数学建模和图形分析，试图揭示自然现象中隐藏的规律和结构。
在分形几何中，“分形”一词来源于拉丁文中的“fractus”，意为“破碎的”或“不规则的”。
分形几何的主要特点是自相似性和尺度不变性，即无论放大还是缩小，图形的结构都保持不变。
这种自相似性使得分形几何能够描述复杂的、非线性的系统，例如云彩、海岸线、树木等自然现象，以及数字信号处理、人工智能等人造结构。
通过分形几何的研究，人们可以更好地理解自然界中丰富多样的形态结构，探索规律和规律背后的美学。
分形几何的应用领域也越来越广泛，涵盖了物理学、生物学、经济学、艺术等多个领域。
在当今数字化时代，分形几何不仅是一门独具魅力的数学学科，更是连接自然、艺术和科学的桥梁。
1.2 分形几何的应用价值分形几何的应用价值非常广泛，涉及到许多领域，包括科学、工程、医学和艺术等。
在科学领域，分形几何被广泛应用于天文学、气象学、地质学和生物学等领域。
在天文学中，分形几何被用来研究星系和星云的形态，帮助科学家更好地理解宇宙的结构和演化过程。
分形 数学与艺术结合的明珠
分形数学与艺术结合的明珠大家注意到最近google 图标变成这个样子很多人不明白，这是什么意思，其实这是为了纪念法国数学家Gston Julia是，他发现了在数论中有名的julia序列，就是在这个google LOGO上面看到的数学公式。
通过这个数学公式可以在解析几何上实现很多不规则边的图形。
学名，也叫做分形。
我们在网上搜索了一些资料，为大家做一下分形这个图形学上的概念普及。
认识分形作为一门新兴学科，分形不但受到了科研人员的青睐，而且因为其广泛的应用价值，正受到各行各业人士的关注。
那么，在我们开始学习分形之前，首先应该明白的一件事情是：什么是分形？严格地而且正式地去定义分形是一件非常复杂而且困难的事情。
但是，有一些不太正规的定义却可以帮助我们理解分形的含义。
在这些定义中，最为流行的一个定义是：分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程。
也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已。
让我们来看下面的一个例子。
下图是一棵厥类植物，仔细观察，你会发现，它的每个枝杈都在外形上和整体相同，仅仅在尺寸上小了一些。
而枝杈的枝杈也和整体相同，只是变得更加小了。
那么，枝杈的枝杈的枝杈呢？自不必赘言。
如果你是个有心人，你一定会发现在自然界中，有许多景物和都在某种程度上存在这种自相似特性，即它们中的一个部分和它的整体或者其它部分都十分形似。
其实，远远不止这些。
从心脏的跳动、变幻莫测的天气到股票的起落等许多现象都具有分形特性。
这正是研究分形的意义所在。
例如，在道·琼斯指数中，某一个阶段的曲线图总和另外一个更长的阶段的曲线图极为相似。
上图中的风景图片又是说明分形的另一很好的例子。
这张美丽的图片是利用分形技术生成的。
在生成自然真实的景物中，分形具有独特的优势，因为分形可以很好地构建自然景物的模型。
除了自相似性以外，分行具有的另一个普遍特征是具有无限的细致性。
上面的动画所演示的是对Mandelbrot集的放大，只要选对位置进行放大，就会发现：无论放大多少倍，图象的复杂性依然丝毫不会减少。
几何里的艺术家——分形几何
几何里的艺术家——分形几何几何不仅仅是数学中的一个概念，它也是艺术中的一种灵感源泉。
而分形几何则将几何之美发挥到了极致，成为了一种兼具科学和艺术特质的美学形式。
在分形几何的世界里，数学的精密和艺术的想象交织在一起，勾勒出了独特的美丽景观。
本文将带领读者一起探索几何里的艺术家——分形几何。
1. 分形几何的起源分形几何一词最早由法国数学家贝诺瓦·曼德博特在1975年提出。
分形一词源于拉丁文“fractus”，意为碎片、断裂。
在数学上，分形是指一种具有自相似性的几何形态，即整体的部分在不同尺度上都与整体类似。
这种自相似性使得分形几何成为了一种富有美感和艺术感的数学形式。
分形几何得到了诸多科学和艺术领域的关注，成为了一种跨学科的研究领域。
2. 分形几何和艺术在艺术领域，分形几何为艺术家们带来了无限的灵感。
通过计算机技术和数学算法，艺术家们可以创造出种种奇妙的分形图像，这些图像既具有科学的精密性，又富有艺术的想象力。
分形艺术作品常常展现出几何的美感和图案的丰富多样性，在细节的赏析上更是令人叹为观止。
分形艺术作品已经成为了一种独特的艺术风格，吸引了众多艺术家和观众的关注。
3. 分形几何的应用除了在艺术领域中发挥重要作用之外，分形几何在科学领域中也有着广泛的应用。
在物理、生物、地质等领域，分形几何被用来研究复杂系统的形态和特性。
分形几何的自相似性和分形维度等特性，为科学家们提供了一种独特的研究方法，帮助他们理解和解释自然界中的复杂现象。
分形几何的应用范围正在不断拓展，有望成为解决复杂问题的重要工具。
4. 分形几何与人类文化分形几何不仅仅是一种数学形式，它还深刻地影响着人类文化的发展。
在建筑、绘画、音乐等领域，分形几何都留下了深远的痕迹。
建筑设计师们常常运用分形几何的原理来设计出富有美感和结构稳定性的建筑物；绘画艺术家们则通过分形几何的图案来展现出作品的纷繁多样；音乐创作家们也借助分形几何的节奏和和谐结构来创作富有艺术感的音乐作品。
分形艺术，数学与艺术完美的结合
分形艺术，数学与艺术完美的结合让人惊叹美丽美丽的不真实这些虚幻的美丽，却被人们真实绘画出来这些图片来自于分形艺术（fractal art），是由IBM研究室的数学家曼德布洛特（Benoit.Mandelbrot，1924-2010）提出。
其维度并非整数的几何图形，而是在越来越细微的尺度上不断自我重复，是一项研究不规则性的科学。
分形诞生在以多种概念和方法相互冲击和融合为特征的当代。
分形混沌之旋风，横扫数学、理化、生物、大气、海洋以至社会学科，在音乐、美术间也产生了一定的影响。
分形所呈现的无穷玄机和美感引发人们去探索。
即使您不懂得分形艺术图片，分形艺术图片其中深奥的数学哲理，也会为之感动。
分形使人们觉悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美上的统一，使昨日枯燥的数学不再仅仅是抽象的哲理，而是具体的感受；不再仅仅是揭示一类存在，而是一种艺术创作，分形搭起了科学与艺术的桥梁。
分形把数学方程式的抽象转化为可见、易懂的艺术图画。
分形是神奇之术是现实与想象力的统一。
分形艺术作品体现出许多传统美学的标准，如平衡、和谐、对称等等，但更多的是超越这些标准的新的表现。
分形艺术内在的秩序，局部与整体的对称屏弃了欧几里德几何形式的对称给人带来呆板的感觉，其结构丰富饱满却不杂乱。
混乱中的秩序，统一中的丰富，形成的强烈视觉冲击力能带给人独特的审美快感。
分形艺术作品中酝涵着无穷的嵌套结构，这种结构的嵌套性给了画面极大的丰富性。
分形艺术具有传统艺术所不具备的一种对称：不同标度下的局部与整体的对称，阐释了“一沙一世界”的哲学美感。
欣赏者不能轻而易举的看出里面的所有内含。
“分形艺术”不同于普通的“电脑绘画”，普通的“电脑绘画”概念是用电脑为工具从事美术创作，创作者要有很深的美术功底，且作品的创作几乎完全依赖于作者的个人意愿。
“分形艺术”则是利用分形几何学原理，借助计算机强大的运算能力，将数学公式反复迭代运算，再结合作者的审美及艺术性的塑造，从而将抽象神秘的数学公式变成一幅幅精美绝伦的艺术画作。
分形艺术启发学生对形对称性的理解
分形艺术启发学生对形对称性的理解形对称性是数学中一个重要的概念，它在自然界和艺术中也得到广泛的应用。
而分形艺术作为一种独特的艺术形式，以其独特的对称性特点，更加深化了人们对形对称性的理解。
本文将通过介绍分形艺术及其对称性特点，探讨它如何启发学生对形对称性的理解。
一、分形艺术的概念分形艺术是一种特殊的艺术形式，它的灵感源于数学中的分形几何。
分形艺术以自相似性为基础，通过重复的图形构成来营造出一种生动而富有变化的艺术效果。
分形艺术通过不断重复放大或缩小的过程，形成了独特的图案和形态，具有丰富的对称性特点。
二、分形对称性的特点分形对称性是指分形图形具有自我重复的特性，即整体的图形结构在局部的放大或缩小过程中保持不变。
这种自我重复的特性使得分形图形在视觉上具有高度的对称性。
而且，分形图形的对称性不仅仅局限于传统的对称轴，而是在整个图形中体现出来，给人一种独特的视觉享受。
三、分形艺术对学生的启发1. 提高形对称性的观察能力：分形艺术的独特对称性特点能够训练学生观察和感知图形的能力。
通过欣赏分形艺术作品，学生能够更加敏锐地发现形状中的对称性，提高他们对图形对称性的观察和理解能力。
2. 发展创造力和想象力：分形艺术作品通常具有非常独特和复杂的形态，这对激发学生的创造力和想象力具有积极的影响。
学生可以通过观察和分析分形艺术作品，自由发挥他们的想象力，创造出与之类似或不同的分形图形。
3. 深化数学知识的理解：分形艺术与数学中的分形几何密切相关。
学生通过分析分形艺术作品，可以更加深入地理解分形几何的基本概念和原理，进一步巩固和拓展他们在数学方面的知识。
4. 培养审美情趣：分形艺术作为一种独特的艺术形式，它的独特对称性和美感给人一种审美享受和艺术启发。
学生通过欣赏分形艺术作品，可以培养自己的审美情趣，提高对艺术的欣赏和理解能力。
四、在教学中应用分形艺术为了更好地启发学生对形对称性的理解，我们可以将分形艺术引入教学中。
各种有趣的分形
各种有趣的分形我们看到正方形，圆，球等物体时，不仅头脑里会迅速反映出它是什么，同时，只要我们有足够的数学知识，我们头脑中也反映出它的数学概念，如正方形是每边长度相等的四边形，圆是平面上与某一点距离相等的点的集合，等等。
但是，当我们看到一个山的形状时，我们会想到什么"这是山"，没错，山是如此的不同于其他景象，以至于你如果绘画水平不高，根本画不出象山的东西。
可是，山到底是什么"它既不是三角形，也不是球，我们甚至不能说明山具有怎样的几何轮廓，但为什么我们却有如此直观而又强烈的山的印象"分形的创始人是曼德布洛特思考了这个问题。
让我们先来熟悉几个典型的分形。
图中的风景图片又是说明分形的另一很好的例子。
这美丽的图片是利用分形技术生成的。
在生成自然真实的景物中，分形具有独特的优势，因为分形可以很好地构建自然景物的模型。
这是一棵厥类植物，仔细观察，你会发现，它的每个枝杈都在外形上和整体一样，仅仅在尺寸上小了一些。
而枝杈的枝杈也和整体一样，只是变得更加小了。
Sierpinski三角形具有严格的自相似特性Kohn雪花具有严格的自相似特性分维及分形的定义分维概念的提出对于欧几里得几何所描述的整形来说，可以由长度、面积、体积来测度。
但用这种方法对分形的层层细节做出测定是不可能的。
曼德尔布罗特放弃了这些测定而转向了维数概念。
分形的主要几何特征是关于它的构造的不规那么性和复杂性，主要特征量应该是关于它的不规那么性和复杂性程度的度量，这可用"维数〞来表征。
维数是几何形体的一种重要性质，有其丰富的涵。
整形几何学描述的都是有整数维的对象：点是零维的，线是一维的，面是二维的，体是三维的。
这种几何对象即使做拉伸、压缩、折叠、扭曲等变换，它们的维数也是不变的；这种维数称为"拓扑维〞，记为d。
例如当把一地图卷成筒，它仍然是一个二维信息载体；一根绳子团成团，仍然是一维构造。
但曼德尔布罗特认为，在分形世界里，维数却不一定是整数的。
校本课程 趣味数学5 分形几何
美国数学家B.Mandelbrot曾出这样一个 著名的问题：英格兰的海岸线到底有多 长？这个问题在数学上可以理解为：用 折线段拟合任意不规则的连续曲线是否 一定有效？这个问题的提出实际上是对 以欧氏几何为核心的传统几何的挑战。 实际上，数学家们很早就认识到，有的 曲线不能用欧式几何与微积分研究其长 度。但那时解决办法是讨论具备什么条 件的曲线有长度。而没有长度的曲线就 没有深入研究。此外，在湍流的研究。 自然画面的描述等方面，人们发现传统 几何依然是无能为力的。因此就产生一 种新的能够更好地描述自然图形的几何 学，就是分形几何。
曼德勃罗集逐步放大图
Sierpinski三角形
Sierpinski三角形也是比较典型的分形图形，具有严格的 自相似特性（但是在前面说述的Mandelbrot集合却并不 严格自相似）
谢尔宾斯基地毯
谢尔宾斯基地毯的构造与谢尔宾斯基三角形相似，区别 仅在于谢尔宾斯基地毯是以正方形而非等边三角形为基 础的。将一个实心正方形划分为的9个小正方形，去掉 中间的小正方形，再对余下的小正方形重复这一操作便 能得到谢尔宾斯基地毯。
第一步，给定一个初始图形——一条线段； 第二步，将这条线段中间的 1/3 处向外折起； 第三步，按照第二步的方法不断的把各段线段 中间的 1/3 处向外折起。这样无限的进行下去， 最终即可构造出Koch曲线。
Koch雪花（Koch星）
Cantor集
康托三分集 由重复删除直线段中间的三分之一开区间 而创造出来的。 康托集的被扣下去的部分是等比级数，其长度
这样，康托集的总长度为1-1=0。计 算表明康托集不包括任何非零的长度 。事实上，令人惊讶的是，它可能在 所有中间被扣掉的部分之和就等于它 的最初的长度。然而，仔细观察这个 过程却有很重要的东西被剩下，因为 重复地消除只是中间的1/3开集（这 个集合不包含它的端点）。从最初的 [0，1]线段中除去(1/3, 2/3)，而两个 端点1/3和 2/3被留下。随后的操作， 不移动这些端点，因为被移除的部分 总是在剩余部分的内部。所以康托集 是非空的，而事实上，它包括无限多 个点。
几何里的艺术家——分形几何
几何里的艺术家——分形几何1. 引言1.1 什么是分形几何分形几何是一种数学理论，包括了自相似性、不规则性和复杂性等特点，它能够描述自然界和人造物体中所存在的复杂形态。
分形几何可以将复杂的形状分解为简单的结构单元，从而更好地解释和描述复杂系统的特征。
分形几何的研究对象可以是自然界中的云雾、山脉、植物等，也可以是人类创造的艺术作品、城市景观等。
通过分形几何的研究，人们能够更深入地理解形态的形成规律和演化过程，为科学研究和艺术创作提供了新的视角。
分形几何的特点在于其不规则性和自相似性。
不规则性指的是形状的复杂度和不规则程度，而自相似性则是指在不同尺度上体现相似性。
分形几何的特点使得人们可以用简单的数学模型来描述复杂的自然现象，从而更好地理解事物的本质及其演变规律。
分形几何是一种独特的数学理论，它不仅在科学领域有着广泛的应用，还在艺术领域中扮演着重要的角色。
通过分形几何的研究和应用，人们能够更好地理解世界的复杂性和多样性，从而为人类的进步和发展提供新的思路和方向。
1.2 分形几何的应用分形几何在应用领域有着广泛的用途，其独特的性质和特点使其在科学、工程、医学等领域发挥着重要作用。
分形几何在图像压缩和图像处理中有着重要的应用。
通过分形图像压缩技术，可以大大减少图像传输和存储时所需的数据量，从而提高图像的传输速度和保存效率。
分形图像处理技术还可以用于图像的放大和缩小，不会出现传统方法中所产生的模糊和失真现象。
在地理信息系统中，分形几何可以用来模拟地形特征，以实现更加逼真的地形图像。
分形几何在地震预测、金融市场分析、气象预测等领域也有着广泛的应用。
分形几何的应用领域十分广泛，不断地为各个领域带来新的发展和突破。
1.3 分形几何在艺术中的作用分形几何在艺术中的作用主要体现在其能够呈现出独特而美丽的几何形状和图案。
分形几何的特点使得它能够生成各种复杂、丰富并且具有自相似性的图像。
这种自相似性使得分形几何产生的图案看起来既具有整体性又具有细节性，给人以视觉上的愉悦和惊叹。
神奇的曼德布洛特集合，绚丽的分形艺术图像（2）
神奇的曼德布洛特集合，绚丽的分形艺术图像（2）
分形（Fractal）是耶鲁大学数学家曼德勃罗创造出来的名词，具有不规则、支离破碎等意义。
分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。
由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。
分形把数学方程式的抽象转化为可见、易懂的艺术图画。
分形是神奇之术是科学与艺术的融合，数学与审美的同步，现实与想象的统一。
上世纪80年代初，分形几何学建立以后，很快就引起了许多学科的关注。
分形作为一种新的概念和方法，正在许多领域开展应用探索。
美国物理学家约翰·惠勒说过：谁不知道熵概念，就不能被认为是科学上的文化人，今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人。
分形图形生成原理探究
分形图形生成原理探究随着计算机技术的不断发展，分形图形在数字艺术、自然科学和工程领域中得到广泛应用。
分形是一种具有自相似性质的数学对象，其生成原理深受人们的关注。
本文将探究分形图形的生成原理，介绍分形的基本概念，以及常用的分形生成算法。
一、分形的基本概念分形是一种具有自相似性质的几何图形。
即整体结构和局部细节之间存在某种相似关系，不论放大还是缩小，都可以看到相同的图形。
分形的自相似性质使得它们具有无限的细节和复杂度。
二、分形图形的生成原理1. 迭代运算迭代运算是生成分形图形的常用方法之一。
这种方法通过重复应用某种变换或映射规则，不断生成新的图形。
具体步骤如下：- 首先选定一个初始图形，例如一个简单的线段或几何形状。
- 然后根据一定的规则进行变换或映射操作，生成下一级的图形。
- 重复上述步骤，直到达到期望的分形效果。
迭代运算可以产生各种各样的分形图形，如科赫曲线、谢尔宾斯基三角形等。
2. 噪声函数噪声函数是通过随机性来生成分形图形的一种方法。
噪声函数可以产生随机性纹理或图案，并通过适当的参数调节，实现分形效果。
生成分形图形的基本步骤如下：- 首先定义一个噪声函数，它可以是简单的随机数生成器或更复杂的数学函数。
- 然后使用噪声函数来计算每个像素的数值或颜色，从而生成图像。
噪声函数可以用于生成山脉、云彩等具有分形特征的自然图像。
三、常用的分形生成算法1. 递归细分递归细分是一种通过使用分形规则进行逐级细分的方法。
它基于拆分和替代的原则，不断将图形细分为更小的部分，然后用更小的部分替代原有的部分。
递归细分可以生成多种复杂的分形图形，如分形树、雪花等。
2. 碎形图像编码碎形图像编码是一种基于碎形压缩理论的分形生成方法。
它通过找到一组变换规则和关联函数，将整个图像分割成小的区域，然后用适当的变换规则对每个区域进行编码。
这种方法可以生成高质量的分形图像，并用较小的存储空间保存。
3. 分形几何建模分形几何建模是一种通过将分形规则应用于三维空间中的几何体来生成分形图形的方法。
分形艺术欣赏2
1、从数学怪物谈起
1.1 冯·科克（von Koch）曲线
A
B
A
B
A
B
A
B
E
A C
B D
E
A C
B D
E
A C
B D
操作无限进行下去，这条曲线将达到无限长。难 以置信的是这条无限长的曲线却“始终只有那么大”。
科赫曲线（1904年）
设 K0 是单位长直线段； K1 是由过原三等分这线段，去掉中间一份而代之以 底边为被去掉的线段的等边三角形向上指的另外两条边所 得到图形，它包 含边长为 1/3 的四条线段；
例3 对于谢尔平斯基垫片 E ，由于每次迭代是由 3
个相似比为 1/2 的相似形构成的，故其自相似维数为
Df
(E)
ln ln
3 2
1.5849
.
例4 对于谢尔平斯基毯片 F ，由于每次迭代是由 8
个相似比为 1/3 的相似形构成的，故其自相似维数为
Df
(F
)
ln ln
8 3
1.8927
.
图 3 是两种分形曲线的生成元，其中阴影部分是每次迭
对于分形这类复杂奇异的的几何对象， 上述拓扑维数已无法作为刻画他们的特征 量了。事实上：
对于康托三分集 C ，由于
m0 (C) , m1(C) 0,
所以在测量康托三分集 C时，0 维尺度太 细，而 1 维尺度太粗。
对于科赫曲线 K ，由于
m1(K ) , m2 (K ) 0,
所以在测量科赫曲线 K 时，1 维尺度太
假设一个图形的一边具有长度 L，对应的第二个
自相似图形的边具有长度 l ,则定义
p l L
幼儿园探索数学世界之分形教案
幼儿园探索数学世界之分形教案一、教案概述本教案旨在引导幼儿了解分形，探索数学世界的奥秘，培养创新思维，促进幼儿的智力发展和个性特长的培养。
适用于3-6岁幼儿，教学时间2-3课时。
二、教学目标1.了解分形的概念和特点。
2.通过实际操作，认识分形的形态多样性，启发幼儿的创造性思维。
3.培养幼儿对图形的观察能力，加深对数学知识的理解。
4.引导幼儿认识数学的广泛应用，激发学习数学的兴趣。
三、教学内容1.分形概念引入2.分形图形展示与观察3.分形创意制作四、教学过程1.分形概念引入（10分钟）教师引导幼儿探讨一张树叶的照片，为什么这张照片看起来很美？然后，老师介绍分形的概念和特点，让幼儿知道分形不仅具有美学价值，还具有科学价值，存在于我们的日常生活中。
2.分形图形展示与观察（30分钟）老师出示一种分形图形，让幼儿观察、描绘、归类，并用简单的语言阐述各个形状之间的共性和差异。
接着，让幼儿动手操作，进行折纸、剪纸等活动，理解分形的产生原理，增强对图形的空间感知能力。
3.分形创意制作（60分钟）让幼儿运用自己的想象力和创造力，利用各种材料（如彩纸、绸带、贝壳等），完成一个独特的分形艺术作品。
四、教学评价本次课，幼儿能够了解分形的概念和特点，并通过实际操作，深入认识了分形这一概念的产生原理。
同时，幼儿的观察力和空间感知能力得到了锻炼，并能激发幼儿的创造性思维，提高幼儿的个性发展能力。
五、家园联系让幼儿带着自己的分形作品回家，跟家长一起分享今天的学习过程和成果，让家长了解分形的概念和意义，同时也让幼儿在家里得到更多的分享和支持。
六、教学扩展可以引导幼儿观察更多的分形图形，如海绵、云朵等，探索更多的分形形态，并在幼儿的游戏、手工等活动中灵活运用，加深对分形的理解和感性认识。
同时，也可介绍分形与自然、艺术、科技等领域的联系，拓宽幼儿对数学知识的认识和应用。
数学家的艺术创作——一窥分形艺术之谜
Artscircle 艺术论坛TEXT /豆子徐建德数学家的艺术创作——一窥分形艺术之谜著名艺术家达·芬奇反复地将“黄金矩形”、“对数螺线”运用于其为数不多却幅幅经典的画作中，对他而言数学和科学的研究更令他沉迷，他更谦虚地自称为“业余画家”。
达·芬奇让我们意识到艺术从来不是一个孤立的领域，艺术家与数学家的工作虽然看起来截然不同，但数学和艺术却是最为接近的，它们不过是使用不同的语言来进行表达。
20世纪80年代，曼德尔布罗特集（图1）震撼出世，它的命名源于分形理论开创者、数学家——伯努瓦·曼德尔布罗特（BenoitMandelbrot ）。
曼德尔布罗特集是由函数重复与自身复合即进行迭代运算得出数值的集合，被作为分形的标志性图案用于诠释分形。
自相似性是分形最具识别度的特征，即放大或缩小分形图中任意一个局部，其形态结构、粗糙度等均保持和原图的极度相似性（图1，后一幅为前一幅方框内容放大）。
分形理论的出现，为诸多学科中的复杂现象提供了更新、更为便捷的解决方法。
伯努瓦·曼德尔布罗特用毕生的努力使人们渐渐意识到分形的使用价值和艺术价值。
纵观分形艺术作品，艺术的张力与数学的魅力让人们叹为观止，它的魅力和价值更在绘画、设计、影视动画、音乐甚至医疗中得以展现。
一、自然中的分形艺术数学发现了分形，艺术让分形散发出美的光辉，而分形却源于自然，它诠释着大自然的奥秘。
我们所熟知且常见的云和闪电都是分形的结构，如果你能无限放大它们，你会发现其每个最微小的部分和整体极度相似。
树木、西兰花和蕨类植物的叶子等也都是大自然创造的分形艺术，以蕨类植物的叶子（图2）为例，摘下其中一个分枝，就可看出它与主体有着明显的自相似性。
当然，也可以重复的摘下更小的分枝，而这种自相似性是自始至终的。
甚至人体内的血管和神经系统都呈现出分形结构。
二、绘画中的分形艺术上世纪日本艺术家——葛饰北斋（1760-1849，浮世绘画家）的绘画在世界范围内广受青睐，他的绘画栩栩如生，具有鲜明的特色，这是由于他用艺术眼光对大自然进行探索的过程中，发现并初步运用了分形（虽然那时还没有分形理论）。
分形艺术
这里提供给大家几个函数图形的数学表达式，供大家参考
下面的美丽图案(蝶恋花)，是极坐标函数图形
蝴蝶函数：
花函数：
下面是著名的洛伦兹吸引子。
洛伦兹(E.N.Lorenz)是当代世界知名的动力气象学家、混沌理论的少有几位创立者之一。
他在1963年发表的关于混沌理论的开创性研究在被冷落了12年之久以后才得到广泛承认，并很快引发对混沌研究的热潮，由此诞生和发展起了一门新兴学科—混沌理论，成为现代新兴学科的代表。
洛伦兹吸引子方程如下：
下面函数图形(天鹅)是帮加莱截面映射，映射方程为：
下面图形(稻草)是描述植物生长的PL规则图案，其公理为：G
产生规则为：GFX[+++++GFG][-----GFG]
F-XF
其它美的函数图形
001.jpg
002.jpg
003.jpg
004.jpg
005.jpg
101.jpg
102.jpg
103.jpg
104.jpg
105.jpg
106.jpg
107.jpg。
神奇的分形艺术（二）：一条连续的曲线可以填满整个平面
神奇的分形艺术（二）：一条连续的曲线可以填满整个平面虽然有些东西似乎是显然的，但一个完整的定义仍然很有必要。
比如，大多数人并不知道函数的连续性是怎么定义的，虽然大家一直在用。
有人可能会说，函数是不是连续的一看就知道了嘛，需要定义么。
事实上，如果没有严格的定义，你很难把下面两个问题说清楚。
你知道吗，除了常函数之外还存在其它没有最小正周期的周期函数。
考虑一个这样的函数：它的定义域为全体实数，当x为有理数时f(x)=1，当x为无理数时f(x)=0。
显然，任何有理数都是这个函数的一个周期，因为一个有理数加有理数还是有理数，而一个无理数加有理数仍然是无理数。
因此，该函数的最小正周期可以任意小。
如果非要画出它的图象，大致看上去就是两根直线。
请问这个函数是连续函数吗？如果把这个函数改一下，当x为无理数时f(x)=0，当x为有理数时f(x)=x，那新的函数是连续函数吗？Cauchy定义专门用来解决这一类问题，它严格地定义了函数的连续性。
Cauchy定义是说，函数f在x=c处连续当且仅当对于一个任意小的正数ε，你总能找到一个正数δ使得对于定义域上的所有满足c-δ< x <c+δ的x都有f(c)-ε<f(x)<f(c)+ε。
直观地说，如果函数上有一点P，对于任意小的ε，P点左右一定范围内的点与P的纵坐标之差均小于ε，那么函数在P点处连续。
这样就保证了P点两旁的点与P无限接近，也就是我们常说的“连续”。
这又被称作为Epsilon-Delta定义，可以写成“ε-δ定义”。
有了Cauchy定义，回过头来看前面的问题，我们可以推出：第一个函数在任何一点都不连续，因为当ε< 1时，δ范围内总存在至少一个点跳出了ε的范围；第二个函数只在x=0处是连续的，因为此时不管ε是多少，只需要δ比ε小一点就可以满足ε-δ定义了。
在拓扑学中，也有类似于ε-δ的连续性定义。
假如一个函数f(t)对应空间中的点，对于任意小的正数ε，总能找到一个δ使得定义域(t-δ,t+δ)对应的所有点与f(t)的距离都不超过ε，那么我们就说f(t)所对应的曲线在点f(t)处连续。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
神奇的分形艺术：无限长的曲线可能围住一块有限的面积
很多东西都是吹神了的，其中麦田圈之谜相当引人注目。
上个世纪里人们时不时能听见某个农民早晨醒了到麦田地一看立马吓得屁滚尿流的故事。
上面这幅图就是97年在英国Silbury山上发现的麦田圈，看上去大致上是一个雪花形状。
你或许会觉得这个图形很好看。
看了下面的文字后，你会发现这个图形远远不是“好看”可以概括的，它的背后还有很多东西。
在说明什么是分形艺术前，我们先按照下面的方法构造一个图形。
看下图，首先画一个线段，然后把它平分成三段，去掉中间那一段并用两条等长的线段代替。
这样，原来的一条线段就变成了四条小的线段。
用相同的方法把每一条小的线段的中间三分之一替换为等边三角形的两边，得到了16条更小的线段。
然后继续对16条线段进行相同的操作，并无限地迭代下去。
下图是这个图形前五次迭代的过程，可以看到这样的分辨率下已经不能显示出第五次迭代后图形的所有细节了。
当把三条这样的曲线头尾相接组成一个封闭图形时，有趣的事情发生了。
这个雪花一样的图形有着无限长的边界，但是它的总面积却是有限的。
这个神奇的雪花图形叫做Koch雪花，其中那条无限长的曲线就叫做Koch曲线。
他是由瑞典数学家Helge von Koch最先提出来的。
麦田圈图形显然是想描绘Koch雪花。
Koch曲线于1904年提出，是最早提出的分形图形之一。
下面我们来看Koch雪花的面积与周长，如下图
周长为次分叉图第4n
设图1三角形周长为31=P ,面积为4
31=A ； 第一次分叉图2;913,3411212A A A P P ⋅⋅+==面积为周长为
第二次分叉图3
…
面积为 1121211)9
1(43)91(43913A A A A n n --⋅⋅++⋅⋅+⋅+=Λ ]})9
4(31)94(31)94(3131[1{221-+++++=n A Λ Λ,3,2=n
雪花曲线令惊异的性质是：无限长的曲线可能围住一块有限的面积。
;91431223⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅+=A A A 面积为Λ
,2,1)34(11==-n P P n n ]})9
1[(4{31121A A A n n n n ---+=，周长为12
334P P ⎪⎭⎫ ⎝⎛=
我们常说分形图形是一门艺术即把不同大小的Koch雪花拼接起来可以得到很多美丽的图形。
如果有人看了前面的文字一句也不懂，下面这些图片或许会让你眼前一亮。