物理-势垒和隧道效应

Aek2 x ,
x0
在 E U0 条件下，粒子仍有进入势垒 的概率
U U U0
I
Ⅱ
O
x
B ik1 k2 A ik1 k2
C 2ik1 A ik1 k2
x0
§3.5 势垒和隧道效应
思考： 如果入射能量 E U0，情况会怎样？ E>U0 U U U0
I 区:
d
2 1 (
dx 2
x)
k12
透射? x
0
a
经典：电子不能进入E < U0的区域 。
量子：电子可透入势垒。
电子可逸出金属表面，在金属表面形成一层电子气。
§3.5 势垒和隧道效应
1、势能函数
Ⅰ区 U ( x ) = 0
x≤0
U0
Ⅱ区 U ( x ) = U0 Ⅲ区 U ( x ) = 0
0≤ x ≤ a x≥a
ⅠⅡⅢ E
2、定态薛定谔方程
Gamov首先用势垒穿透成功说明了原子核的α衰变。后来人 们用来成功解释了电子穿越金属表面，金属电子的冷发射； 氢核穿越Couloms势垒发生核聚变等。
§3.5 势垒和隧道效应
怎样理解粒子通过势垒区?
经典物理：从能量守恒的角度看是不可能的。
量子物理：粒子有波动性，遵从不确定原理， 粒子经过势垒区和能量守恒并不矛盾。
Ⅱ区波函数不具有波的性质，随着穿透 深度x的增大迅速衰减
Ⅲ区只有向右传播的透射波
从左边入射的粒子，能量小于势垒时， 仍有一定的概率穿透势垒，进入势垒 1(x) 的另一边——微观粒子的势垒穿透或 隧道效应。
4、反射系数和透射系数
反射系数
透射系数
2(x) 3(x)
R 表示粒子被势垒反弹回去的几率，T 表示粒子透过势垒的几率。
竖直分辨本领可达约十分之几 埃；
横向分辨本。领与探针、样品材料及绝缘物有关，在真空中可达1 A。 隧道电流是电子波函数重叠程度的量度，通过它可“直 接看到”样品表面结构。
三．扫描隧道显微镜 (STM)
1991年，恩格勒等用STM在镍单晶表面逐个移动氙原子拼 成了字母IBM，每个字母长5纳米！
三．扫描隧道显微镜 (STM) 神经细胞的STM扫描图
使人类第一次能够实时地观测到单个 原子在物质表面上的排列状态以及与 表面电子行为有关的性质。在表面科 学、材料科学和生命科学等领域中应 用广泛。
STM工作示意图
三．扫描隧道显微镜 (STM)
（STM－Scanning Tunneling Microscopy）
分辨率高
压
电
显示器
控
制
加电压
反馈传感器
➢ 1988年，中国第一台计算机控制的STM研制成功。1994年，中 国科学院化学所和中国科学院北京真空物理室利用STM在单晶硅 表面上通过提走硅原子的方法，获得了（线宽2 nm）硅原子的 “毛泽东”。在石墨表面刻出线宽10 nm的“中国”字符。汉字 的大小只有几个纳米。
§3.5 势垒和隧道效应
求一个动量和能量已知的粒子受到势场的作用后，被散射到各个方
向去的几率。 一、一维半无限宽势垒
U
U U0
势能函数：
U
(
x)
0 U0
x0 x0
I O
II x
在经典力学中,若 ,粒子E的动U能0 为正,它只能在I区中运动。即粒 子运动到势垒左边缘就被反射回去，不能穿过势垒。
在量子力学中,无论粒子能量是大于还是小于 U0 都有一定的几率 穿过势垒，也有一定的几率被反射。
dx 2
k22
2
(
x)
0
I O
II
x
2、求解： 1( x) Aeik1 x Beik1 x, x0
2( x)Cek2 x Dek2 x , x0
自然条件： 2(x ) 有限
D0
1(x) Aeik1 x Beik1 x, x0
2(x) Cek2 x,
x0
§3.5 势垒和隧道效应
三．扫描隧道显微镜 (STM)
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧道电流不变， 则探针在垂直于样品方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。 若控制针尖高度不变，通过隧道电流的变化可得到表面电子态密度 的分布。
利用STM可以分辨表面上 原子的台阶、平台和原子 阵列。可以直接绘出表面 的三维图象。
oa
x
Ⅰ区
Ⅱ区
Ⅲ区
§3.5 势垒和隧道效应
3、定态方程的通解（波函数） Ⅰ区 Ⅱ区 Ⅲ区
I区已知入射波A1，III区不存在自右向左 传播的波，B3 = 0
U0
A1eik1 Hale Waihona Puke Baidu Ⅰ
Ⅱ
2(
Ⅲ
x
)
A3eik3
x
E
B1e ik1 x
B3 = 0
oa
x
边界条件：波函数及其导数在 x = 0 ，x = a 处连续
只要势垒区宽度x=a不是无限大, 粒子能量就有不确定量E
p2 E
2m
E 2 pp 2m
x=a 很小时, P 和E 很大: ΔE U0 E
§3.5 势垒和隧道效应
隧道 效应
经典 量子
三．扫描隧道显微镜 (STM)
Scanning tunneling microscopy
扫描隧道显微镜是利用量子隧道效应产生隧道电流的原理制作的 显微镜。其分辨率可达原子水平，即观察到原子级的图像。
参考信号
隧道电流 不接触、不破坏样品
三．扫描隧道显微镜 (STM)
隧道电流i 与样品和针尖间距离d 的关系
i Ue A d A—常量
隧道电流 i
d —样品和针尖间的距离 U—加在样品和针尖间的微小电压
探针
U
—样品表面平均势垒高度
d
d
~
。 10A
样品
d 变~ 1 A。
i 变几十倍，非常灵敏。
可能穿过势垒进入 III 区。
隧道效应（势垒贯穿）：在粒子总能量低于势垒高度情况下，粒子 能穿透一定高度势垒的现象称为隧道效应(tunneleffect)，它是粒 子具有波动性的表现。
§3.5 势垒和隧道效应
隧道效应： 粒子能量 E <U0，仍可以一定概率穿过势垒
ψ入( x) A1eik1 x
U0 ψ2( x) ψ透( x) A3eik3 x
x=0：
1 (0) 2 (0)
d 1
dx
0
d 2
dx
0
x=a：
2 (a) 3 (a)
d 2
dx
a
d 3
dx
a
由此可求出常数 B1 、 A2 、B2 、 A3和 A1 间的关系，已知入射波 A1 ，可唯一确定三个方程的解。
§3.5 势垒和隧道效应
I区既有入射波，又有反射波
1(x) Aeik1 x Beik1 x, x0
2(x) Cek2 x,
x0
由波函数单值、连续条件
（ 1 0) （ 2 0)
A B C,
d 1
dx
|x0
d 2
dx
|x0
A B ik2 C k1
1 ( x)
A(e ik1x
ik1 ik1
k2 k2
e ik1x ),
2(x)
2ik1 ik1 k2
我们下面只就 E U0 时，讨论薛定谔方程的解。
§3.5 势垒和隧道效应
势能函数：
0
U(x)
U0
能量为E 的粒子从左边入射：
x0 x0
U E<U0
U U0
1、定态薛定谔方程： E U0
I
II
I 区:
x0
2
2m
d2 dx 2
1(
x)
E
1(
x)
O
x
令
k12
2mE 2
d
2 1 (
dx 2
x)
1(
x)
0
k12
2mE 2
I
II
O
x
II 区:
d
2 2 ( x)
dx 2
k22
2 ( x)
0
k22
2m(E U0 )
2
1(x) Aeik1 x Beik1 x, 2(x) Ceik2 x Deik1 x,
x0 I区有入射波A和反射波B ，
II区不存在自右向左传播的
x0 波，D = 0
1(x) Aeik1 x Beik1 x, x0 +
§3.5 势垒和隧道效应
U A1eik1 x 0 2 ( x) A3eik3 x
B1e ik1 x
ⅠⅡⅢ
oa x
入射粒子部分透射到达III 区，部分被势垒反射回I 区， 但几率守恒。
§3.5 势垒和隧道效应
U
隧道效应
U0
I
II
III
oa x
E < U0 , T≠0, 虽然粒子总能量小于势垒高度，入射粒子仍
由于电子的隧道效应，金属中的电子并不完全局限于表面边界之 内，电子密度并不在表面边界处突变为零，而是在表面以外呈指 数形式衰减，衰减长度约为1nm。
只要将原子线度的极细探针 以及被研究物质的表面作为 两个电极，当样品与针尖的 距离非常接近时，它们的表 面电子云就可能重叠。
若在样品与针尖 之间加一微小电 压Ub电子就会穿 过电极间的势垒 形成隧道电流。
隧道效应
E
Ⅰ区
0 Ⅱ区 a
Ⅲ区
x
隧道效应这种现象只在一定条件下才比较显著！
假设：k2a 1
shk2a
1 2
e k2a
§3.5 势垒和隧道效应
T 灵敏地依赖于粒子的质量m，势垒宽度a以及(U0-E)。
U 0 0.1eV
E 0.005eV 当U0-E=5eV，势垒的宽度约50nm 以上时，隧道效应在实际上已经没有 意义了。量子概念过渡到经典了。
三．扫描隧道显微镜 (STM)
48个Fe原子形成“量子围栏”，围栏 中的电子形成驻波。 “量子围栏－扫描隧道显微术的又一杰作”
三．扫描隧道显微镜 (STM)
1986诺贝尔物理学奖宾 尼：设计出扫描式隧道 效应显微镜
1986 诺 贝 尔 物 理 学 奖 罗雷尔：设计出扫描式 隧道效应显微镜
三．扫描隧道显微镜 (STM)
k12 1 ( x)
0
II 区:
x0
[
2
2m
d2 dx 2
U0] 2( x)
E
2 ( x)
令
k22
2m(U0
2
E)
d
2 2 (
dx 2
x)
k22
2
(
x)
0
对于 E U0 情况，k2为实数。
§3.5 势垒和隧道效应
x 0,
d
2 1 ( x)
dx 2
k12 1 ( x)
0
U U U0
x0
d
2 2 ( x)
2(x) Ceik2 x,
x0
（ 1 0) （ 2 0)
d 1
dx
|x0
d 2
dx
|x0
§3.5 势垒和隧道效应
二、一维有限宽势垒 实际金属中的电子在表面处的势场是有限高及有限宽的。
势函数
0
U(x)
U0
x 0, x a 0 xa
E<U0
U=U0
已知入射电子动能 E <U0
U= 0