必修一 数学 定义域,值域,解析式 求法,例题,习题(含答案)

函数的定义域

（1）函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合 （2）求函数定义域的注意事项

☉分式分母不为零； ☉偶次根式的被开方数大于等于零； ☉零次幂的底数不为零； ☉实际问题对自变量的限制

若函数由几个式子构成，求其定义域时要满足每个式子都要有意义（取“交集”）。 （3）抽象复合函数定义域的求法

☉已知y=f （x ）的定义域是A ，求y=f （g （x ））的定义域，可通过解关于g （x ）∈A 的不等式，求出x 的范围

☉已知y=f （g （x ））的定义域是A ，求y=f （x ）的定义域，可由x ∈A ，求g （x ）的取值范围（即y=g （x ）的值域）。 例1．函数()4x

f x -=

的定义域为 ( ) A. (－∞，4) B. [4，＋∞) C. (－∞，4] D. (－∞，1)∪(1,4] 【答案】D 【解析】要使解析式有意义需满足：40{

10

x x -≥-≠，即x 4≤且1x ≠

所以函数()4x

f x -=的定义域为(－∞，1)∪(1,4] 故选：D 例2．函数2211y x x =

-+-的定义域为( )

A. {|11}x x x ≥≤-或

B. {|11}x x -≤≤

C. {1}

D. {-1,1}

【答案】D 【解析】函数2

2

11y x x =-+-可知: 22

10

{ 10

x x -≥-≥,解得： 1x =±. 函数2211y x x =-+-的定义域为{-1,1}.故选D.

例3．已知函数()

21y f x =-的定义域为()2,2-，函数()f x 定义域为__________.

【答案】[]

1,3-【解析】由函数()

21y f x =-的的定义域为(−2,2)，得： 2

113x -≤-≤，

故函数f (x )的定义域是[]1,3-.

例4．若函数()y f x =的定义域为[]

0,2,则函数()()21

f x

g x x =-的定义域是（ ）

A. [)0,1

B. []0,1

C. [)(]

0,11,4⋃ D. ()0,1 【答案】A

函数()y f x =的定义域是[]0,2， 022

{

10

x x ≤≤∴-≠，解不等式组：01x ≤<，故选A.

例5．已知函数()1y f x =+的定义域是[

]

2,3-，则()

2y f x =的定义域是（ ） A. []1,4- B. []0,16 C. []2,2- D. []

1,4

【答案】C 【解析】解：由条件知： ()1f x +的定义域是[]

2,3-，则1x 14-≤+≤， 所以214x -≤≤，得[]

x 2,2∈-

例6．已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域是（ ） A ．[]052

， B. []-14， C. []-55， D. []-37， 【答案】A 【解析】523,114,1214,02

x x x x -≤≤-≤+≤-≤-≤≤≤

例7．函数212y x x =+-的定义域为___________．

【答案】[]

3,4-【解析】要使函数有意义，则2120x x +-≥，即2120x x --≤，即34x -≤≤，故函数的定义域为[]3,4-，故答案为[]

3,4-.

函数值域

定义：对于函数y=f （x ），x ∈A 的值相对应的y 值叫函数值，函数值得集合{f （x ）|x ∈A }叫做函数的值域。

（2）求函数值域的常用方法

☉观察法：通过解析式的简单变形和观察（数形结合），利用熟知的基本初等函数的值域，求出函数的值域。

☉配方法：若函数是二次函数形式，即可化为y=ax 2+bx+c(a=0)型的函数，则可通过配方再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间的二次函数最值得求法（可结合图像）。

☉换元法:通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数划归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围求函数的值域。

☉分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分数转化为“反比例函数”的形式，便于求值域。y=ax+b cx+d 型 y=a c +k cx+d 值域：{y |y ≠a

c }

☉判别式法：它主要适用于分式型二次函数，或可通过换元法转化为二次函数的一些函数求值域问题。但在用判别式法求值域时因忽视一些“着重点”而容易出错。

☉充分利用函数的单调性，对单调性未知的，应该先判断其单调性。在通过定义域进行判断其函数取值范围。

注意：值域对基础函数、不等式、开方，绝对值等的要求较高，学生需要注意这些方面的掌握。

例1．函数()2

4f x x =-的值域为（ ）

A. (),4-∞-

B. (],4-∞-

C. ()4,-+∞

D. [

)4,-+∞ 【答案】D ()2

44f x x =-≥-，故函数的值域为[

)4,-+∞，故选D.

例2．若函数234y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为25,44⎡⎤

--⎢⎥⎣⎦

，则m 的取值范围是（ ）

A ．(]0,4

B ．25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦

C ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦

D ．3,2⎡⎫

+∞⎪⎢⎣⎭

【答案】C 【解析】试题分析：函数234y x x =--对称轴为32x =，当32

x =时25

4y =-，当0x =时0y =，

所以结合二次函数图像可知m 的取值范围是3,32⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

例3．函数29y x =-+的值域为（ ）

A.{|3}x x ≤

B.{|03}x x ≤≤

C.{|3}x x ≥

D.{|3}x x ≤-

【答案】B 【解析】试题分析：由于2

099x ≤-+≤，所以2

093x ≤-+≤，故选B.

例4．函数21

2

y x =

+的值域是_________. 【答案】10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦

【解析】由21

2y x =+ ，得2

1

12,

,20x x R y y =-∈∴-≥ ，解之得1

02

y <≤ 。