因式分解的四种方法(北师版)(含答案)
北师大版八年级数学下册同步精品第四章 因式分解(单元小结)
考点专练
例4：把多项式因式分解:ax2-ay2=
.
解析：先提取公因式a,再根据平方差公式进行二次分解.
注意平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b),
则ax2-ay2=a(x2-y2)=a(x+y)(x-y).
答案:a(x+y)(x-y)
考点专练
【知识点睛】 符合用平方差公式因式分解的多项式一般有以下特点: 1.有两项. 2.两项都能写成平方的形式. 3.符号相反.
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四、运用公式法分解因式
平方差公式 a2-b2=（a+b）（a-b）
完全平方公式 a2+2ab+b2=（a+b）2 a2-2ab+b2=（a-b）2
把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子称为完全平方式。 利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解 的方法叫做公式法。
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即：一个多项式 →几个整式的积
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二、分解因式的方法： （1）、提取公因式法 （2）、运用公式法 （3）、十字相乘法 （4）、分组分解法
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三、提公因式法分解因式
整式乘法： m（a+b+c）=ma+mb+mc， 逆变形得到 因式分解的第一种方法：ma+mb+mc=m（a+b+c）
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“因式分解”法产生的密码,方便记忆.原理是:如对于多项 式x4-y4,因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x2+y2),若取x=9,y=9时, 则各个因式的值是:(x-y)=0,(x+y)=18,(x2+y2)=162,于是就可 以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式4x3-xy2, 取x=10,y=10时,用上述方法产生的密码有哪些?
北师大版八年级下册 第四章 因式分解(包含答案)
第四章因式分解一、选择题1.下列从左到右的变形中,是分解因式的有()①(x+1)(x-2)=x2-x-2;②-x2+9=(3+x)(3-x);③ab-a+b-1=(a+1)(b-1);④a2-4+a=(a+2)(a-2)+a;).⑤(y+1)(y-3)=-(3-y)(y+1);⑥a2+1=a(a+1aA.1个B.2个C.3个D.4个答案B②③是分解因式.2.下面分解因式正确的是()A.x3-x=x(x-1)B.3xy+6y=y(3x+6)C.a2-2a-1=(a-1)2D.1-b2=(1+b)(1-b)答案D A的结果错误,B没分解彻底,C的左右两边不相等,只有D选项正确.3.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()A.a2+(-b)2B.5m2-20mnC.-x2-y2D.-x2+9答案D A,C的两个平方项同号,B中两项提公因式5m后不是两式平方差的形式,只有D选项能用平方差公式.4.下列各组多项式中没有公因式的是()A.3x-2与6x2-4xB.3(a-b)2与11(b-a)3C.mx-my与ny-nxD.ab-ac与ab-bc答案 D ab-ac=a(b-c),ab-bc=b(a-c),两个多项式没有公因式.5.若x 2+2(m-3)x+16是完全平方式,则m 的值等于( ) A.-5 B.3 C.7 D.7或-1答案 D 因为x 2+2(m-3)x+16是完全平方式,所以m-3=±4,所以m=7或-1.6.若a 2+b 2+4a-2b+5=0,则a+b a -b 的值为( ) A.3 B.13 C.-3 D.-13答案 B 由a 2+b 2+4a-2b+5=0得(a+2)2+(b-1)2=0,所以a=-2,b=1.所以a+b a -b =-2+1-2-1=13. 7.212-1可以被5~10之间的某些整数整除,它们是( ) A.7 B.9 C.6和7 D.7和9答案 D 212-1=(26+1)(26-1)=(26+1)(23+1)(23-1)=(26+1)×9×7,故有两个整数符合题意,即7和9.8.多项式x 2-4x+m 分解因式的结果是(x+3)(x-n),则m n 等于 ( ) A.3 B.-3 C.-13 D.13答案 B 由题意得x 2-4x+m=(x+3)(x-n), 即x 2-4x+m=x 2+(3-n)x-3n, 所以{3-n =-4,-3n =m,解得{n =7,m =-21,所以m n =-217=-3. 9.若xy=1,则(x+y)2-(x-y)2等于( ) A.-4 B.4 C.2 D.-2答案 B 当xy=1时,(x+y)2-(x-y)2=4xy=4,故选B. 10.已知1-x n =(1+x 2)(1-x)(1+x),则n 的值是( )A.2B.4C.6D.8答案 B (1+x 2)(1-x)(1+x)=(1+x 2)(1-x 2)=1-x 4=1-x n ,所以n=4.二、填空题11.因式分解:x 2-36= .答案 (x+6)(x-6)解析 根据平方差公式,得x 2-36=x 2-62=(x+6)(x-6). 12.分解因式:m 3n-4mn= .答案 mn(m+2)(m-2)解析 m 3n-4mn=mn(m 2-4)=mn(m+2)(m-2).13.分解因式:-2x 2y+12xy-18y= .答案 -2y(x-3)2解析 先提取公因式,再用完全平方公式分解因式.-2x 2y+12xy-18y=-2y(x 2-6x+9)=-2y(x-3)2.14.分解因式:(a-b)2-4b 2= .答案 (a+b)(a-3b)解析 (a-b)2-4b 2=(a-b+2b)(a-b-2b)=(a+b)(a-3b).15.已知长方形的面积为9a 2-16,若一边长为3a+4,则与它相邻的边长为 . 答案 3a-4解析 S 长方形=9a 2-16=(3a+4)(3a-4),∴所求边长为3a-4. 16.因式分解:m(x-y)+n(x-y)= .答案 (x-y)(m+n)解析 m(x-y)+n(x-y)=(x-y)(m+n).17.计算:100992+198+1= .答案 1100解析 100992+198+1=100992+2×99+1=100(99+1)2=1001002=1100. 18.如图所示,在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(a>b),把剩下的部分剪拼成一个梯形,通过计算这两个图形阴影部分的面积,可以验证公式 .答案 a 2-b 2=(a+b)(a-b)解析 在题图中,左图:S 阴影=a 2-b 2;右图:S 阴影=(2b+2a)(a -b)2=(a+b)(a-b), ∴ a 2-b 2=(a+b)(a-b).三、解答题19.把下列各式分解因式.(1)8a3b2-12ab3c+6a3b2c;(2)5x(x-y)2+10(y-x)3;(3)(a+b)2-9(a-b)2;(4)-4ax2+8axy-4ay2;(5)(x2+2)2-22(x2+2)+121.答案(1)原式=2ab2(4a2-6bc+3a2c).(2)原式=5x(y-x)2+10(y-x)3=5(y-x)2[x+2(y-x)]=5(y-x)2(2y-x).(3)原式=[a+b+3(a-b)][a+b-3(a-b)]=(4a-2b)(-2a+4b)=4(2a-b)(2b-a).(4)原式=-4a(x2-2xy+y2)=-4a(x-y)2.(5)原式=(x2+2-11)2=(x2-9)2=(x+3)2(x-3)2.20.下面是某同学对多项式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4进行因式分解的过程: 解:设x2-4x=y,则原式=(y+2)(y+6)+4=y2+8y+16=(y+4)2=(x 2-4x+4)2.回答下列问题: (1)该同学分解因式的结果是否彻底: (填“彻底”或“不彻底”),若不彻底,请直接写出分解因式的最后结果: ;(2)请你模仿以上方法尝试对多项式(x 2-2x)(x 2-2x+2)+1进行因式分解. 答案(1)不彻底;(x-2)4. (2)设x 2-2x=y,则(x 2-2x)(x 2-2x+2)+1=y(y+2)+1=y 2+2y+1=(y+1)2=(x 2-2x+1)2=(x-1)4. 21.(1)一个等腰三角形的两边长a,b 满足条件:9a 2-b 2=-13,3a+b=13,求这个等腰三角形的周长; (2)已知a,b,c 分别是△ABC 的三边长.①判断(a-c)2-b 2的正负; ②若a,b,c 满足a 2+c 2+2b(b-a-c)=0,判断△ABC 的形状. 答案 (1)因为9a 2-b 2=-13, 所以(3a+b)(3a-b)=-13,因为3a+b=13,所以3a-b=-1,由{3a +b =13,3a -b =-1,得{a =2,b =7.当a 为腰长时,2+2<7,不能构成三角形;当b 为腰长时,三角形的周长为7+7+2=16.综上,这个等腰三角形的周长为16.(2)①(a-c)2-b2=(a-c+b)(a-c-b).因为a,b,c分别是△ABC的三边长,所以a+b>c,b+c>a,所以a-c+b>0,a-c-b<0,所以(a-c+b)(a-c-b)<0,即(a-c)2-b2<0.②由a2+c2+2b(b-a-c)=0,得a2+c2+2b2-2ab-2bc=0,即(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)=0,即(a-b)2+(b-c)2=0,所以a=b,b=c,所以a=b=c,所以△ABC为等边三角形.22.如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”.如:4=22-02,12=42-22,20=62-42,因此4、12、20这三个数都是神秘数.(1)28和2 012这两个数是神秘数吗?为什么?(2)设两个连续偶数为2k和2k+2(其中k取非负整数),由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?为什么?(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗?为什么?答案(1)是.理由:28=2×14=(8-6)×(8+6)=82-62,2 012=2×1006=(504-502)×(504+502)=5042-5022,所以这两个数都是神秘数.(2)是.理由:(2k+2)2-(2k)2=4(2k+1),因此由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数.(3)不是.理由:由(2)知神秘数可表示为4的倍数,但一定不是8的倍数.设两个连续奇数为2k+1和2k-1(k取正整数),因为(2k+1)2-(2k-1)2=8k,8k是8的倍数,所以两个连续奇数的平方差一定不是神秘数.。
北师大版八年级下册第四章因式分解的常用方法(汇总)
因式分解常用方法把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：一、提公因式法.如多项式),(c b a m cm bm am ++=++其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．二、运用公式法.运用公式法，即用))((,)(2),)((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=-μ三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！=))((b a n m ++思考：此题还可以怎样分组？此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。
例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+-=)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x ---=)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
因式分解(北师大版)
因式分解知识点一：定义的理解（1）因式分解的结果必须是几个整式的积的形式；而不是几个整式的积与某项的和差形式（2）每一个因式在有理数范围内不能再分割为止例1.若多项式b ax x ++2可分解为()()21-+x x ，试求b a ,的值． 由题意知：())2(12-+=++x x b ax x 将()1+x 看作整体22222--=-+-=x x x x x故222--=++x x b ax x (左右两边对应系数相等)∴2,1-=-=b a变1：若()()n x x mx x ++=-+3152，求 m 的值变2：若1-x 是c x x +-52的一个因式，求c 的值知识点二：提公因式公因式：可以是单项式（单独的数或字母），也可以是多项式注意点：（1）”注重提“全”提“净”（2）不能漏项 （3）统一字母的排列顺序（4）若多项式的首项系数是负数时，一般应先提“—”号例2.多项式322236312m n m n m n --+分解因式时应提取的公因式为（ ）A ．3mnB ．23m n -C ．23mnD ．223m n -注意点：（1）”注重提“全”提“净”（2）不能漏项 （3）统一字母的排列顺序（4）若多项式的首项系数是负数时，一般应先提“—”号分解因式：()()a m a m -+-222 32n n a a +-+()()m n m n m mn ---原式=()()222---a m a m()()m m a --=22()()21--=a m m知识点三：公式法平方差公式：()()b a b a b a -+=-22注意点：（1）二项是二项式；（2）符号相反；（3）b a ,可以是字母或数，也可以是单项式或多项式 44b a - ()22)(169b a b a +-- （1－221）（1－231）（1－241）…（1－291）（1－2011）完全平方公式：()2222b a b ab a ±=+± 其特点：（1）左边是二次三项式；（2）首末项符号同号，中间一项是这两项的积的2倍，符号可正可负（3）公式右边是两数或式的和或差的完全平方，其符号与积的2倍的符号一致（4）b a ,可以是数、字母、其他的整式例3.如果k x x ++82可运用完全平方公式进行因式分解，则k 的值是（ ）A.8B.16C.32D.64知识点四：因式分解的步骤：（1）提公因式; （2）观察项数（2项用平方差；三项用平方和）’（3）如果分解出来的因式还能分解，就继续分解 注意：有些因式需要合理变形；巧妙运用公式例4. 11213+-+++n m n m y x y x ()()a m a m -+-222原式=()13211++-y x y x n m 原式=())2(22---a m a m()()12--=m a m234ab a - 22344xy y x x +-原式()224b a a -= 原式()2244y xy x x +-= ()()b a b a a 22+-= ()22y x x -= 例5.证明139792781--能被45整除分析：该整式计算的结果中出现45这因式解：∵()()()()262262627281329374139735133333333392781⨯=--=--=--=-- 24242345335⨯=⨯⨯= ∴139792781--能被45整除 综合练习一．选择题1.下列多项式中，与y x -- 相乘的结果是22y x - 的多项式是（ ）A.x y -B.y x -C.y x +D.y x --2．分解因式14-x 得（） A.)1)(1(22-+x x B.22)1()1(-+x x C.)1)(1)(1(2++-x x x D.3)1)(1(+-x x3.因式分解()912--x 的结果是（ ）A ．()()18++x x B.()()42-+x x C.()()42+-x xD.()()810+-x x4.若()()()A n m n m mn n m ⋅+=+-+3，则A 表示的多项式是（ ） A.22nm + B.22n mn m +- C.223n mn m +- D.22n mn m ++5.2542++ma a 是一个完全平方式，那么m 的值（ ）A.10B.20C.10±D.20±6.对于任何整数m ，多项式9)54(2-+m 都能（ ）A.被8整除B.被m 整除C.被m －1整除D.被（2m -1）整除7.已知二次三项式x 2+bx+c 可分解为两个一次因式的积（x ＋m ）（x+n ），下面说法中错误的是（ ）A ．若b ＞0，c ＞0，则m 、n 同取正号；B ．若b ＜0，c ＞0，则m 、n 同取负号；C ．若b ＞0，c ＜0，则m 、n 异号，且正的一个数大于负的一个数；D ．若b ＜0，c ＜0，则m 、n 异号，且负的一个数的绝对值较大8.计算()()111022-+-等于（ ） A.102- B.112- C.102 D.-29.小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x 的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是24y x -O （“O ”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（ ）A.2种B.3种C.4种D.5种 二．填空题1.332236129xy y x y x -+中各项的公因式是__________2．24(21)(21)(21)+++的结果为 .3．221999199940002000+⨯-=_______4.0442=-+y y ，51232--y y =________ 5．已知：()()212-=---y x x x ，则xy y x -+222= . 三．分解因式：23ab a - c ab ab abc 249714+-- ()xy y x 822+-()24b a b a -- 21232y x y x x m m m ++++- ()()4422-+++x x x四．解答题1.一个长方形的长增加4cm ，宽减少1cm ，面积保持不变；长减少2cm ，宽增加1cm ，面积仍保持不变，求这个长方形的面积．2.利用因式分解说明127636-能被140整除3.阅读下列题目的解题过程：已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边，且满足222244c a c b a b -=-，试判断ABC ∆的形状。
北师版中考数学因式分解
课时训练
1.(2004年·福州市)分解因式：a2-25= (a+5)(a-5) . 2. (2004年· 陕西)分解因式：x3y2-4x= x(xy+2)(xy-2) .
3. (2004年·长沙)分解因式：xy2-x2y= xy(y-x)
.
.
4. (2004年·青海)分解因式：x2y-4xy+4y= y(x-2)2 5. (2004年·哈尔滨)分解因式： a2-2ab+b2-c2= (a-b+c)(a-b-c) .
典型例题解析
【例4】 求证：对于自然数n，2n+4-2n能被30整除. 解：2n+4-2n=2n(2４-1)=2n(16-1)=15×2n =15×2×2n-1=30×2n-1. ∵n为自然数时，2n-1为整数， ∴2n+4-2n能被30整除.
【例5】 分解因式：x3+6x2+11x+6.
解：方法一：原式=x3+3x2+3x2+9x+2x+6 =x2(x+3)+3x(x+3)+2(x+3) =(x+3)(x2+3x+2) =(x+3)(x+1)(x+2)
解： 3-x2-x2-5x+6 (4) 原式 =x 2 2 2 (2)原式=a -(b +2bc+c ) 2(x-1)-(x2+5x-6) =x 2 2 =a -(b+c) 2(x-1)-(x+6)(x-1) =x =(a+b+c)(a-b-c) =(x-1)(x2-x-6) =(x-1)(x-3)(x+2)
用因式分解法求解一元二次方程 (6种题型)-2023年新九年级数学常见题型(北师大版)(解析版)
用因式分解法求解一元二次方程 （6种题型）【知识梳理】一、用因式分解法解一元二次方程的步骤 ①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积；③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 二、常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【考点剖析】题型1利用提公因式法例1.解关于x 的方程（因式分解方法）：（1）230x =； （2）7(3)39x x x −=−．【答案】（1）120x x ==， （2）12337x x ==，．【解析】（1）(30x x = （2）7(3)3(3)x x x −=−①0x = ②30x 7(3)3(3)0x x x −−−=∴120x x ==， (3)(73)0x x −−= ① 30x −= ②730x −=∴12337x x ==，． 【总结】本题考查了因式分解法解一元二次方程．【变式】（2023春·北京房山·八年级统考期末）方程224x x −=的解为：___________． 【答案】10x =，22x =−【分析】先移项，然后用分解因式法解方程即可．【详解】解：224x x −=，移项得：2240x x +=，分解因式得：()220x x +=，∴20x =或20x +=， 解得：10x =，22x =−． 故答案为：10x =，22x =−．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法：因式分解法，是基础知识比较简单，解题的关键是分解因式．题型2利用平方差公式例2.用因式分解法解下列方程：(2x+3)2-25＝0． 【答案与解析】(2x+3-5)(2x+3+5)＝0，∴ 2x-2＝0或2x+8＝0，∴ x 1＝1，x 2＝-4．【变式】解关于x 的一元二次方程：22(2016)(2015)1x x −+−=． 【答案】1220162015x x ==，．【解析】移项，得：22(2016)1(2015)x x −=−−，2(2016)[1(2015)][1(2015)]x x x −=+−−−， 2(2016)(2014)(2016)x x x −=−−， 2(2016)(2014)(2016)0x x x −−−−=， (2016)(40302)0x x −−=，解得：1220162015x x ==，．【总结】本题考查了一元二次方程的解法，当系数比较大时，要注意寻找规律进行变型求解．题型3利用完全平方公式例3.解下列一元二次方程：(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； 【答案与解析】(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0． 即， ∴ ． 题型4十字相乘法因式分解例4.用合适的方法解下列关于x 的方程：（1）2(1(30x x −+=； （2）2(35)5(35)40x x +−++=；【答案】（1）121x x =， （2）124133x x =−=−，；【解析】（1）2(1(30x x −+=，[(11](0x x −=，解得：121x =−=， （2）2(35)5(35)40x x +−++=351354x x +−+−(351)(354)0x x +−+−=，解得：124133x x =−=−，；【总结】本题考查了一元二次方程的解法．题型5：选择合适的方法解一元二次方程例5.解关于x 的方程（合适的方法 ）： （1）2110464x x −+=； （2）22((1x +=+． 【答案】（1）1218x x ==；（2）1211x x ==−−， 【解析】（1）因式分解法 （2）直接开方法2(23)0x +=1232x x ==−21()08x −= (1x +=±+108x −= ①1x + ②(1x =−∴1218x x ==； ∴1211x x ==−−， 【总结】本题考查了特殊一元二次方程的解法，注意重根的写法！ 【变式1】解关于x 的方程（合适的方法）：（1）236350x x +−=； （2）2(41)10(14)240x x −+−−=． 【答案】（1）1235136x x ==−，； （2）1213144x x ==−，． 【解析】（1）因式分解法 （2）把41x −看作一个整体，因式分解 (3635)(1)0x x −+= 2(41)10(14)240x x −−−−= ①36350x −= ②10x += (4112)(412)0x x −−−+= ∴1235136x x ==−，； (413)(41)0x x −+= ① 4130x −= ②410x +=∴1213144x x ==−，． 【变式2】用适当的方法解下列方程：（1）22((1x =； （2）2x x =；（3）(3)(1)5x x +−=； （4）2()()0()b a x a c x c b a b −+−+−=≠．【答案】（1）1211x x =−=−； （2）1201x x ==，； （3）1242x x =−=，； （4）121c bx x b a−==−，．【解析】（1）(1x =± （2）20x x −=① 1x +=− ②(1x =− ， (1)0x x −=，解得：1211x x =−=−； 解得：1201x x ==，； （3）整理得：2235x x +−= （4）∵a b ≠原方程是一元二次方程，2280x x +−=， 2()()0()b a x a c x c b a b −+−+−=≠， (4)(2)0x x +−=，()()1b a xc b x −−−− 解得：1242x x =−=，； [()()](1)0b a x c b x −−−−=， 解得：121c bx x b a−==−，． 【总结】本题考查了一元二次方程的解法，注意方法的恰当选择．【答案】B【分析】根据题意进行分类讨论，当0x >时，可得2450x x −−=，求出x 的值即可；当0x <时，可得2250x x −−=求出x 的值即可．【详解】解：当0x >时，则0x x >>−， ∴{}2max ,35x x x x x −==−−，即2450x x −=，解得：125,1x x ==−（不符合题意，舍去），当0x <时，则0x x −>>，∴{}2max ,35x x x x x −=−=−−，即2250x x −−=，解得：11x =，21x =综上：x 的值是5或1 故选：B ．【点睛】本题主要考查了新定义下的运算和解一元二次方程，解题的关键是正确理解题目所给新定义的运算法则，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．【变式】在正数范围内定义运算“※”，其规则为2a b a b =+※，则方程()15x x +=※的解是（ ） A ．4x =或1x = B ．2x =C ．1x =或4x =−D ．1x =【答案】D【分析】根据规则可得：()215x x ++=，再解此方程，即可求解．【详解】解：根据题意得：()()2115x x x x +=++=※，得2340x x +−=，得()()410x x +−=，故40x +=或10x −=，解得14x =−（舍去），21x =， 所以，原方程的解为1x =， 故选：D ．【点睛】本题考查了新定义，一元二次方程的解法，理解题意，得到方程并求解是解决本题的关键．【答案】3【分析】先通过因式分解法解方程260x x −−=，求出12x x ，，根据新定义的运算规则，12x x ※的值为1x 和2x 中较大的那个数，由此可解．【详解】解：方程260x x −−=，分解因式得：()()320x x −+=，解得：3x =或=2x −， 则()12323x x =−=※※或()233−=※．故答案为：3．【点睛】本题考查新定义运算和解一元二次方程，读懂题意，理解新定义的运算规则是解题的关键． 题型7：因式分解综合应用(1)问梯子的长是多少？(2)若梯子的长度保持不变，梯子的顶端从A 处沿墙AC 下滑的距离与点B 向外移动的距离有可能相等吗？为什么？请你利用学过的知识解答上面的问题． 【答案】(1)2.69m (2)有可能，理由见解析【分析】（1）根据梯子长度不变进而得出等式求出即可；（2）设梯子顶端从A 处下滑y 米，点B 向外也移动y 米代入（1）中方程，求出y 的值符合题意． 【详解】（1）解：设A C '的长是m x ，根据题意得出：2222A C B C BC AC ''+=+，2222(0.41)1(0.2)x x ∴++=++，解得： 2.3x =，2.69m AB ∴≈，答：梯子的长是2.69m ； （2）有可能．设梯子顶端从A 处下滑y 米，点B 向外也移动y 米，则有22(1)(2.5)7.25y y ++−=，解得：1 1.5y =或20y =（舍）∴当梯子顶端从A 处下滑1.5米时，点B 向外也移动1.5米，即梯子顶端从A 处沿墙AC 下滑的距离与点B 向外移动的距离有可能相等．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出关于y 的一元二次方程是解答此题的关键． 【变式1】（2023·河北石家庄·统考二模）老师就式子39⨯+−，请同学们自己出问题并解答． (1)小磊的问题：若W 代表()22−，代表()31−，计算该式的值；(2)小敏的问题：若398⨯+−=□，W 代表某数的平方，代表该数与1的和的平方，求该数．【答案】(1)22 (2)0或1【分析】（1）根据代数式代入值进行计算即可； （2）设该数为a ，则()22391=8a a ⨯+−+，再进行求解即可．【详解】（1）解：由题意可得：原式()()233291=⨯−+−−()3491=⨯+−−22=；（2）解：设该数为a ，则()22391=8a a ⨯+−+，解得：10a =，21a =，∴求该数为0或1．【点睛】本题考查代数值求值、解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【变式2】（2023·河北石家庄·校考一模）发现：存在三个连续整数使得这三个连续整数的和等于这三个连续整数的积；验证：连续整数1−，2−，3−______（填“满足”或“不满足”）这种关系； 连续整数2，3，4，______（填“满足”或“不满足”）这种关系； 延伸：设中间整数为n（1）列式表示出三个连续整数的和、积，并分别化简； （2）再写出一组符合“发现”要求的连续整数（直接写结果）．【答案】验证：满足；不满足；（1）和为3n ，积为3n n −；（2）1−，0，1（答案不唯一）【分析】先分别计算123−−−和()()()123−⨯−⨯−的值，比较两组值是否相等；再分别计算234++和234⨯⨯的值，比较两组值是否相等即可；（1）设中间整数为n ，则三个连续整数可表示为：n 1−，n ，1n +，将n 1−，n ，1n +三数相加得其和；将n 1−，n ，1n +三数相乘得其积；（2）令（1）中的和等于积，解方程，求得n 的值，从而可得符合要求的连续整数．【详解】验证：解：1236−−−=−，()()()1236−⨯−⨯−=− ()()()123123∴−−−=−⨯−⨯−1∴−，2−，3−满足这种关系；2349++=，23424⨯⨯=，924≠， 234234∴++≠⨯⨯，∴2，3，4不满足这种关系．延伸：设中间整数为n ，则三个连续整数可表示为：n 1−，n ，1n +， （1）三个连续整数的和可表示为：()()113−+++=n n n n ，三个连续整数的积可表示为：()()311−⋅⋅+=−n n n n n ，（2）当33=−n n n 时，340−=n n ()()220∴+−=n n n解得：0n =，2n =−或2n =，∴符合要求的一组连续整数为：1−，0，1.【点睛】本题考查了探究某类数的规律性问题，其中涉及到了因式分解方法的运用，按照要求写出相关数或式子，按照规则计算，是解答本题的关键．【过关检测】一、单选题【答案】D【分析】变形后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：()()2131x x x −=−移项，得2(1)3(1)0x x x −−−=， 因式分解，得()()2310x x −−=，则10x −=或230x −=，解得2131,2x x ==．故选：D【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键． 2．（2023·全国·九年级假期作业）已知20x ax b +−=的解是11x =，24x =−，则方程()()223230x a x b +++−=的解是（ ）A ．11x =−，2 3.5x =−B ．11x =，2 3.5x =−C ．11x =−，2 3.5x =D ．11x =，2 3.5x =【答案】A【分析】由这两个方程结合整体思想，可得231x +=，234x +=−，解这两个一元一次方程即得方程()()223230x a x b +++−=的解．【详解】解：令23x y +=，∵方程20x ax b +−=的解是11x =，24x =−，∴方程20y ay b +−=的解是11y =，24y =−，∴对于方程方程()()223230x a x b +++−=而言，231x +=或234x +=−，解得=1x −或 3.5x =−，故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，整体思想解一元二次方程，关键是把方程()()22332340m x x +++−=中的23x +当作一个整体，则此方程与²340mx x +−=毫无二致．3．（2023·全国·九年级假期作业）方程29180x x −+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形是周长是( ) A ．12 B ．15 C ．12或15 D ．9或15或18【答案】B【分析】利用因式分解法求出方程的解得到x 的值，分类讨论腰与底，利用三角形边角关系判断即可确定出周长．【详解】解：29180x x −+=，(3)(6)0x x −−=，30x −=，60x −=，13x =，26x =，有两种情况：①三角形的三边为3，3，6，此时不符合三角形三边关系定理，②三角形的三边为3，6，6，此时符合三角形三边关系定理，此时三角形的周长为36615++=， 故选：B ．【点睛】此题考查了因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的定义，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键．【答案】C【分析】利用换元法求解即可．【详解】解：设33x m y +=，∵()()3333130x y x y +−++=，∴()()130m m −+=，∴10m −=或30m +=， 解得1m =或3m =−，∴331x y +=或333x y +=−，故选C ．【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟知换元法是解题的关键．【答案】D【分析】利用因式分解法求出两个根，再从中找出较小的根即可．【详解】解：提公因式，得：331()()0442x x x −−+−=， 整理得：35()(2)044x x −−=，∴123548x x ==，， ∵3548>，∴较小的根是58，故选：D ．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是通过提取公因式将等号左边的式子进行因式分解．【答案】B【分析】由2212m m +=可得42210m m −+=，则有21m =，即1m =，然后问题可求解．【详解】解：∵2212m m +=，∴42210m m −+=，解得：21m =，∵0m >， ∴1m =，∴2251254m m −+=−+=；故选B ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 7．（2023·全国·九年级假期作业）实数x 满足方程222()()20x x x x +++−=，则2x x +的值等于（ ） A ．2− B ．1 C ．2−或1 D ．2或1−【答案】B【分析】运用换元法解方程，再根据根的判别式判断根的情况，由此即可求解．【详解】解：根据题意，设2x x M +=，则原式变形得220M M +−=，因式分解法解一元二次方程得，22(1)(2)0M M M M +−=−+=， ∴12M =−，21M =，当2M =−时，22x x +=−，变形得，220x x ++=，根据判别式24141270b ac ∆=−=−⨯⨯=−<，无实根；当1M =时，21x x +=，变形得，210x x +−=，根据判别式24141(1)50b ac ∆=−=−⨯⨯−=>，方程有两个实根；∴21x x +=，故选：B ．【点睛】本题主要考查换元法解高次方程，掌握换元法解方程的方法，根的判别式判断根的情况等知识是解题的关键．8．（2023·全国·九年级假期作业）若关于x 的一元二次方程()230x k x k +++=的一个根是2−，则另一个根是( ) A ．1 B ．1−C ．3−D ．2【答案】A【分析】将2x =−代入方程得：()4230k k −++=，解得：2k =−，再把2k =−代入原方程求解．【详解】解：将2x =−代入方程得：()4230k k −++=，解得：2k =−，∴原方程为：220x x +−=，则()2(1)0x x +−=，解得：2x =−或1x =， ∴另一个根为1． 故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，因式分解法解一元二次方程，属于基础题．【答案】D【分析】设221x y x −=，则原方程可变形为15y y +=，再化为整式方程即可得出答案.【详解】解：设221x y x −=，则原方程可变形为15y y +=，即2510y y −+=；故选：D.【点睛】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程.10．（2023春·重庆合川·九年级重庆市合川中学校考阶段练习）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了()()12345na b n +=⋯，，，，，的展开式的系数规律（其中，字母按a 的降幂排列，b 的升幂排列）．例如，在三角形中第2行的三个数1，2，1，恰好对应()2222a b a ab b +=++展开式中各项的系数；第三行的的4个数1，3，3，1，恰好对应()3322333a b a a b ab b +=+++展开式中各项的系数；第4行的五个数1，4，6，4，1；恰好对应着()4432234464a b a a b a b ab b +=++++展开式中各项的系数，有如下结论：①()3322333b a b a a ab b −−+=−； ②“杨辉三角”中第9行所有数之和1024； ③“杨辉三角”中第20行第3个数为190； ④32993993991+⨯+⨯+的结果是610；⑤当代数式4328243216a a a a ++++的值是1时，实数a 的值是1−或3−，上述结论中，正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【分析】把()3322333a b a a b ab b +=+++中b 换成b −后可得，()()()()3233233a b a a b a b b −−+−⋅+−=+，由此即可判断①；观察并计算可以发现第n 行所有数字之和为2n，由此即可判断②；观察并计算可以发现第n 行（n 大于2）第三个数诶为()12n n −，由此即可判断③；991a b ==，时，()326399139939999110=+++=+⨯⨯，即可判断④；当2b =时，()443228243216a a a a a +=++++，再由4328243216a a a a ++++的值为1，得到()421a +=，解方程即可判断⑤．【详解】解：∵()3322333a b a a b ab b +=+++，∴把上述式子中的b 换成b −后可得，()()()()3233233a b a a b a b b −−+−⋅+−=+，∴()3322333b a b a a ab b −−+=−，故①正确；第1行的所有数字之和为11122+==，第2行的所有数字之和为212124++==，第3行的所有数字之和为3133128+++==，第4行的所有数字之和为414641216++++==，……，∴可以得到规律第n 行所有数字之和为2n，∴“杨辉三角”中第9行所有数之和92512=，故②错误；第2行第三个数为()22112⨯−=， 第3行第三个数为()33132⨯−=，第4行第三个数为()44162⨯−=，第5行第三个数为()551102⨯−=，……，∴第n 行（n 大于2）第三个数为()12n n −， ∴“杨辉三角”中第20行第3个数为()202011902−=，故③正确；∵()3322333a b a a b ab b +=+++，∴当991a b ==，时，()326399139939999110=+++=+⨯⨯，故④正确；∵()4432234464a b a a b a b ab b +=++++，∴当2b =时，()443228243216a a a a a +=++++，∵4328243216a a a a ++++的值为1，∴()421a +=， ∴()221a +=，∴21a +=±， ∴1213a a =−=−，，故⑤正确；故选C ．【点睛】本题主要考查了多项式乘法中得规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．二、填空题11．（2023·全国·九年级假期作业）若关于x 的一元二次方程230ax bx +−=（0a ≠）有一个根为5x =，则方程()213a x bx b −+−=必有一根为______． 【答案】6x = 【分析】把()213a x bx b−+−=化为()2(1)130,a xb x −+−−=再结合题意得到15,x −=解出即可．【详解】解：()213a x bx b−+−=，()2(1)130a xb x ∴−+−−=．令1x t −=，则230,at bt +−=∵方程230ax bx +−=（0a ≠）有一个根为5x =，∴方程230at bt +−=有一根为5t =，()2(1)130a xb x ∴−+−−=有一根为15x −=，15,x ∴−=6.x ∴=故答案为： 6.x =【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的含义，掌握利用整体未知数求解方程的根是解此题的关键． 12．（2023·全国·九年级假期作业）一元二次方程220x x +−=的解是________． 【答案】122,1x x =−= 【分析】原方程可转化为()()210x x +−=，再化为两个一次方程即可．【详解】解：∵220x x +−=，∴()()210x x +−=，∴20x +=或10x −=， 解得122,1x x =−=．故答案为：122,1x x =−=．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，熟练的掌握因式分解的方法解一元二次方程是解本题的关键． 13．（2023·全国·九年级假期作业）一元二次方程()()23121x x =−−的解是________．【答案】12531,x x ==【分析】先移项，再提取公因式分解因式，把原方程化为两个一次方程，再解一次方程即可． 【详解】∵()()23121x x =−−，∴()()231201x x −−−=．∴()()13120x x −−−⎤⎣⎦=⎡．∴10x −=或()3120x −−=，解得12531,x x ==．故答案为：12531,x x ==．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，熟练的利用因式分解的方法解方程是解本题的关键． 14．（2023·河南信阳·校考三模）小明在解方程2320x x −+=时，发现用配方法和公式法计算量都比较大，因此他又想到了另外一种方法，快速解出了答案： 方法如下： 2320x x −+=2220x x x −−+= 第①步222x x x −=− 第②步()22x x x −=− 第③步1x = 第④步老师看到后，夸小明很聪明，方法很好，但是有一步做错了，请问小明出错的步骤为________（填序号）． 【答案】④ 【分析】由()22x x x −=−，()()120x x −−=，解得1x =或2x =，进而判断作答即可．【详解】解：()22x x x −=−，()()120x x −−=，解得1x =或2x =，∴第④步错误， 故答案为：④．【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于正确的解一元二次方程．15．（2023秋·湖南常德·九年级统考期末）若()()22222340x y x y +−+−=，则22x y +=______．【答案】4【分析】设22t x y =+，则0t >，根据换元法解一元二次方程，即可求解．【详解】解：设22t x y =+，则0t >，∴原方程可以化为2340t t −−=，解得：4t =或1t =−（舍去）即22x y +=4 故答案为：4．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，掌握换元法解一元二次方程是解题的关键．16．（2022秋·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）已知实数x 满足2220()(23)x x x x −−−−=，则代数式22020x x −+的值为_______．【答案】2023【分析】设2t x x =−，则原方程转化为关于t 的一元二次方程2230t t −−=，利用因式分解法解该方程即可求得t 的值；然后整体代入所求的代数式进行解答，注意判断方程的根的判别式0≥，方程有解．【详解】解：设2t x x =−，由原方程，得2230t t −−=，整理，得()()310t t −+=，所以3t =或1t =−．当3t =时，23−=x x ，则220202023x x −+=；当1t =−时，21x x −=−即210x x −+=时，()214110∆=−−⨯⨯<，方程无解，此种情形不存在．故答案是：2023．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换．三、解答题17．（2023·江苏·九年级假期作业）用适当的方法解下列各一元二次方程： (1)(2)15x x −=；(2)23680x x +−=（用配方法）； (3)2(2)10(2)210x x +−++=； (4)23520x x −+=；(5)22(2)(1)6x x ++−=． 【答案】(1)15a =，23a =−(2)11x =−，21x =−(3)15=x ，21x = (4)123x =，21x =(5)1x =，2x =【分析】（1）（4）用因式分解的十字相乘法求解比较简便；（2）先把常数项移到等号的另一边，把二次项系数化为1，配方，利用直接开平方法求解； （3）把(2)x +看成一个整体，利用因式分解的十字相乘法求解比较简便； （5）先整理方程，用公式法比较简便． 【详解】（1）解：(2)15x x −=，整理，得22150a a −−=，(5)(3)0a a ∴−+=．50a ∴−=或30a +=．15a ∴=，23a =−；（2）23680x x +−=（用配方法），移项，得2368x x +=，二次项系数化为1，得2823x x +=，配方，得211213x x ++=，211(1)3x ∴+=．1x ∴+=．11x ∴=−，21x =−；（3）2(2)10(2)210x x +−++=，[(2)7][(2)3]0x x ∴+−+−=，即(5)(1)0x x −−=．50x ∴−=或10x −=．15x ∴=，21x =；（4）23520x x −+=，(32)(1)0x x −−=，320x −=或10x −=，123x ∴=，21x =；（5）22(2)(1)6x x ++−=，方程整理，得22210x x +−=，x ===．1x ∴=，2x =． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法是解决本题的关键．18．（2023·全国·九年级假期作业）已知()()22222150a b a b +++−=，求22a b +的值． 【答案】3【分析】先用换元法令22(0)a b x x +=>，再解关于x 的一元二次方程即可． 【详解】解：令22(0)a b x x +=>，则原等式可化为：(2)150x x +−=，解得：123,5x x ==−，0x >，3x ∴=，即223a b +=．22a b +的值为3．【点睛】本题考查了换元法、一元二次方程的解法，注意22a b +为非负数是本题的关键．【答案】2x = 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：2211x x x =+−方程两边同乘()()11x x +−， 得()12x x −=，整理得，220x x −−=，∴()()120x x +−=，解得：11x −=，22x =，检验：当=1x −时，()()110x x +−=，=1x −是增根， 当2x =时，()()1130x x +−=≠，∴原方程的解为2x =．【点睛】本题考查了分式方程的解法，属于基本题型，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．【答案】,21x −+【分析】先对分式进行化简，然后求出一元二次方程的解，进而代值求解即可．【详解】2222421121x x x x x x x −−−÷+−−+()()()()222121112x x x x x x x −−=−⋅++−−()21211x x x x −=−++， 2221x x x −+=+ 21x =+解方程220x x +−=得：2x =−或1x =，如果已知分式有意义，必须x 不等于2，1−，1，∵x 为方程220x x +−=的根，∴x 只能为2−，∴当2x =−时，原式2221−+==−．【点睛】本题主要考查分式的化简求值及一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握各个运算方法． 21．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知数字A 为负数，将其加6得到数字B ，若数字A 与数字B 的积为7，求数字A ．【答案】7A =−【分析】根据题意得()67A A +=，解一元二次方程即可求解．【详解】解：由题意得6A B +=，7A B ⨯=，∴()67A A +=，∴2670A A +−=，即()()710A A +−=， 解得7A =−或1A =，∵数字A 为负数，∴7A =−．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，掌握“因式分解法”解一元二次方程是解题的关键．22．（2023·全国·九年级假期作业）阅读下面的材料：【答案】(1)1x =，2x =，3x ，4x =；(2)5【分析】（1）设2y x x =+，则2540y y −+=，整理，得(1)(4)0y y −−=，解关于y 的一元二次方程，然后解关于x 的一元二次方程即可求解；（2）设22x a b =+，则23100x x −−=，整理，得−+=(5)(2)0x x ，解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：设2y x x =+，则2540y y −+=，整理，得(1)(4)0y y −−=，解得11y =，24y =，当21x x +=即210x x +−=时，解得x = ；当24x x +=即240x x +−=时，解得x ；∴原方程的解为112x −=， 212x −=， 312x −=， 412x −=；（2）设22x a b =+，则23100x x −−=，整理，得−+=(5)(2)0x x ，解得15y =，2(2y =−舍去)，225a b +=．【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题的关键．【答案】(1)1x =±(2)114x =−，21x =【分析】（1）设2x y =，则由已知方程得到：2560y y −=+，利用因式分解法求得该方程的解，然后解关于x 的一元二次方程；（2）设1x y x +=，则由已知方程得到：260y y +−=，利用因式分解法求得该方程的解，然后进行检验即可．【详解】（1）令2x y =∴2560y y −=+∴(6)(1)0y y +−=∴16y =−，21y =∴26x =−（舍去），21x =∴1x =±；（2）令1x y x += ∴610y y −+=∴260y y +−=∴(3)(2)0y y +−=∴13y =−，22y = ∴13x x +=−，12x x += ∴114x =−，21x = 经检验，114x =−，21x =为原方程的解.【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，分式方程，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．任务：(1)判断：方程2560x x −+= ______ “邻根方程”（填“是”或“不是”）；(2)已知关于x 的一元二次方程()210(x m x m m +++=是常数)是“邻根方程”，求m 的值．【答案】(1)是(2)0m =或2m =【分析】（1）先利用因式分解法解一元二次方程，然后根据“邻根方程”的定义进行判断；（2）先利用因式分解法解一元二次方程得到1x m =，21x =−，再根据“邻根方程”的定义得到11m −=−或11+=−m ，然后解关于m 的方程即可．【详解】（1）解方程2560x x −+=得13x =，22x =， 3比2大1，∴方程是“邻根方程”；（2）()210x m x m +++=， ()()10x m x ∴++=， 0x m ∴+=或10x +=，1x m ∴=−，21x =−，方程()210(x m x m m +++=是常数)是“邻根方程”，11m ∴−−=−或11m −+=−，0m ∴=或2m =．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．【答案】14x =，214x =m =m =代入方程得22520m m −+=，求出m 的值，再求出x 即可．m ．原方程化为：22520m m −+=，解得：12m =，212m =．当2m =2，解得：14x =；当12m =12=，解得：214x =． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是正确理解题意，会根据题目所描述的换元法求解方程．。
北师大版数学八年级下册《因式分解》十字相乘法
14.3因式分解（2）一、因式分解的常用方法：1、提公因式法2、公式法3、十字相乘法（适应于二次三项式）多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 是关于x 的二次三项式．在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．4、分组分解法：多项式含有4项及以上，并且无法用提公因式法分解因式，可以考虑将多项式中的项，两两分为一组，分别运用提公因式法或公式法分解因式；或三项分为一组，分别运用提公因式法或公式法分解因式。
例一、分解因式：（1）、1522--x x （2）、x 2-8x +12练习一、因式分解：（1）、x 2 + 3x + 2 （2）、x 2-5x+6 （3）、y 2 + y - 12例二、 把下列各式分解因式：（1）、3522--x x （2）、3832-+x x （3）、x 2-4xy-5y 2练习二：因式分解（1）、2x 2+11x+5 （2）、2x 2-7x+6（3）、3x 2+7x-6 （4）、2265y xy x +-例三、因式分解（1）、bn bm an am +++（2）、bx by ay ax -+-5102（3）、9x 2－y 2－4y －4（4）、a 2－1＋b 2－2ab练习三、因式分解（1）bc ac ab a -+-2（2）、1+--y x xy（3）、ay ax y x ++-22 （4）、22414y xy x +--例四、（能力提升）已知0258622=+--+b a b a ，求代数式ba ab -的值.练习四、已知：0106222=+++-y y x x ，求x ，y 的值.因式分解小结：1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；6. 因式分解的一般步骤是：一“提”、二“公”、三“分”。
数学北师大版八年级下册因式分解的4种方法
教学设计
首取式，然后考公式，十字试一试，分解适，四种方复试，结
果乘积式。
第一环节 复习回顾：
因式分解的概念：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫作分解因式。
因式分解的方法：首先提取公因式，然后考虑用公式，十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式。
第二环节 选一选，比一比： 1、下列用提取公因式法分解因式正确的是（ ） A 、a 3+2a 2+a =a （a 2+2a ） B 、-x 2y +4x 2y 2-7xy =-xy （x -4xy +7）
C 、6（x -2）+x （2-x ）=（x -2）（x +6）
D 、a （a -b ）2
+ab （a -b ）=（a +ab ）（a -b ）
2、（-3）2005+（-3）2004
等于_______. 此题的目的：
1小题考核因式分解的概念和提公因式的方法
2小题使用提取公因式来解题
小结：以上二个问题解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式。
3、（1）分解因式： －25a 2y 4+16b 16
解：－25a 2y 4+16b 16＝16b 16－25a 2y 4＝(4b 8)2－(5ay 2)2＝(4b 8+5ay)(4b 8－5ay 2
)
注：要先将原式写成公式左边的形式，写成(4b 8)2－(5ay 2)2。
北师大版八年级下册数学第四章 因式分解含答案(有解析)
北师大版八年级下册数学第四章因式分解含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形2、边长为a、b的长方形周长为12,面积为10,则的值为( )A.120B.60C.80D.403、多项式12ab3c﹣8a3b的公因式是（）A.4ab 2B.﹣4abcC.﹣4ab 2D.4ab4、如果257＋513能被n整除，则n的值可能是（）A.20B.30C.35D.405、将- a b-ab提公因式后，另一个因式是( )A. a+2 bB.- a+2 bC.- a- bD. a-2 b6、（﹣2）100+（﹣2）101的结果是（）A.2 100B.﹣2 100C.﹣2D.27、已知a-b=1，a=5，则a2-ab等于（）A.1B.4C.5D.68、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）A. B. C.D.9、多项式12ab3+8a3b的各项公因式是（）A.abB.2abC.4abD.4ab 210、多项式分解因式的结果是（）A. B. C. D.11、把多项式m2（a﹣2）+m（2﹣a）分解因式等于（）A.（a﹣2）（m 2+m）B.（a﹣2）（m 2﹣m）C.m（a﹣2）（m﹣1） D.m（a﹣2）（m+1）12、下列多项式能进行因式分解的是（）A.x 2﹣yB.x 2+1C.x 2﹣6xD.x 2+y+y 213、若实数ab=2满足a+b=3，计算：a b+ab的值是( )A.5B.6C.9D.114、分解因式－2xy2+6x3y2－10xy时，合理地提取的公因式应为（）A.－2xy 2B.2xyC.－2xyD.2x 2y15、多项式3a2b2﹣15a3b3﹣12a2b2c的公因式是（）A.3a 2b 2B.15a 3b 3cC. 3a 2b 2cD.﹣12a 2b 2c二、填空题(共10题，共计30分)16、因式分解：x3﹣25x________．17、若A＝11×996×1005，B＝1004×997×11，则B﹣A的值________.18、一元二次方程x2=x的解为________．19、因式分解：x2-4y2=________ .20、因式分解：① ________② ________21、分解因式：2x2y﹣8y=________ ．22、多项式6ab2x-3a2by+12a2b2的公因式是________。
因式分解的四种基本方法(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：提公因式法需要注意哪些要点？问题2：当利用公式法分解因式时：两项通常考虑_________，三项通常考虑___________；并且需要注意两点：①___________；②____________．问题3：当多项式的项数比较多时常考虑__________法．问题4：因式分解的口诀是什么？分别是什么意思？问题5：是因式分解吗？为什么？因式分解的四种基本方法（北师版）一、单选题(共9道，每道11分)1.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——提公因式法2.下列选项中，能用公式法分解因式的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——公式法3.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——公式法4.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法5.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法6.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——分组分解法7.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式——分组分解法8.下列分解因式正确的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式口诀9.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：分解因式口诀。
因式分解的四种方法(习题及答案)
因式分解的四种方法（习题）例题示范例1：2222(1)2(1)(1)x y x y y -+-+-【思路分析】考虑因式分解顺序的口诀“一提二套三分四查”，观察式子里面有公因式2(1)y -，先提取，然后再利用公式法因式分解，分解完后要查一下是否分解彻底．【过程书写】222(1)(21)(1)(1)(1)y x x y y x -++=+-+=解：原式 巩固练习1.下列从左到右的变形，是因式分解的是（）A ．232393x y z x z y =⋅B ．25(2)(3)1x x x x +-=-++C ．22()a b ab ab a b +=+D ．211x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2.把代数式322363x x y xy -+因式分解，结果正确的是（）A ．(3)(3)x x y x y +-B ．223(2)x x xy y -+C ．(3)x x y -D ．23()x x y -3.因式分解：（1）22363a b ab ab +-；（2）()()y x y y x ---；解：原式=解：原式=（3）2441a a -+；（4）256x x -+；解：原式=解：原式=（5）2168()()x y x y --+-；（6）41x -；解：原式=解：原式=（7）222(1)4a a +-；（8）25210ab bc a ac --+；解：原式=解：原式=（9）223(2)3m x y mn --；（10）2ab ac bc b -+-；解：原式=解：原式=（11）2222a b a b -++；（12）2(2)(4)4x x x +++-；解：原式=解：原式=（13）321a a a +--；（14）2244a a b -+-；解：原式=解：原式=（15）222221a ab b a b ++--+；解：原式=（16）228x x --；（17）226a ab b --；解：原式=解：原式=（18）2231x x -+；（19）32412x x x --；解：原式=解：原式=（20）2()()2x y x y +++-；（21）(1)(2)6x x ---．解：原式=解：原式=思考小结在进行因式分解时，要观察式子特征，根据特征选择合适的方法：①若多项式各项都含有相同的因数或相同的字母，首先考虑__________________．②若多项式只含有符号相反的两项，且两项都能写成一个单项式的平方，则考虑利用____________________进行因式分解．③若多项式为二次三项式的结构，则通常要考虑____________或_______________．④若多项式项数较多，则考虑_______________．【参考答案】巩固练习1.C 2.D 3.（1）3ab (a +2b -1)（2）(x -y )(y +1)（3）2(21)a -（4）(x -2)(x -3)（5）(4-x +y )2（6）(x 2+1)(x +1)(x -1)（7）(a +1)2(a -1)2（8）(b -2a )(a -5c )（9）3m (2x -y +n )(2x -y -n )（10）(b -c )(a -b )（11）(a +b )(a -b +2)（12）2(x +1)(x +2)（13）2(1)(1)a a +-（14）(a -2+b )(a -2-b )（15）2(1)a b +-（16）(x -4)(x +2)（17）(a -3b )(a +2b )（18）(2x -1)(x -1)（19）x (x +2)(x -6)（20）(x +y -1)(x +y +2)（21）(x +1)(x -4)思考小结①提公因式②平方差公式③完全平方公式，十字相乘法④分组分解法。
北师大版八年级数学因式分解
因式分解是数学中的一种重要的运算方法，通过将一个多项式表示成若干个乘积的形式，可以简化复杂的计算过程，提高问题的解决效率。
在八年级数学中，因式分解是一个重要的内容。
北师大版八年级数学教材中关于因式分解的内容主要包括配方法。
一、什么是配方法？配方法是一种因式分解的基本方法，主要是通过分配律，将一个多项式中的各项分别相乘，然后进行合并和整理，寻找公因式或者使用其他特定的因式分解方法，最后将多项式表示成乘积的形式。
配方法的基本步骤如下：1.对于一个多项式，首先找出其中的公因式。
2.根据配方法，将多项式中的每一项与公因式相乘。
3.整理合并后的项，将同类项进行合并。
4.继续分解各项，直到无法再进一步分解为止。
二、配方法的具体应用1.公因式提取法公因式提取法是配方法中常用的一种方法，主要用于提取多项式中的公因式，从而进行因式分解。
示例1：对于多项式4x+6，我们可以提取公因式2，将其表示为2(2x+3)。
公因式提取法的基本步骤如下：(1)确定多项式中的最大公因式。
(2)按照最大公因式进行分配律运算。
(3)合并同类项，将分配律运算后的各项进行合并。
示例2：对于多项式3x²-6x+9，我们可以提取公因式3，将其表示为3(x²-2x+3)。
公因式提取法还可以用于分解含有多个项的多项式。
比如，对于多项式3x(y+2)+2(y+2)，我们可以提取公因式(y+2)，将其表示为(y+2)(3x+2)。
2.完全平方公式完全平方公式是一种特定的因式分解方法，主要用于分解一个二次三项式为两个平方的乘积。
二次三项式一般表示为ax²+bx+c，其中a、b、c分别表示实数系数。
完全平方公式的基本公式为：(a+b)²=a²+2ab+b²。
示例3：对于二次三项式x²+6x+9，我们可以使用完全平方公式，将其表示为(x+3)²。
这里，a=1，b=3完全平方公式的应用需要注意以下几点：(1)用完全平方公式分解时，要注意系数的符号。
因式分解的四种方法(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：因式分解的定义是什么？问题2：以下分解因式的结果正确吗？（1）；（2）；（3）．问题3：因式分解有几种方法，分别是什么？问题4：提公因式法需要注意哪些要点？问题5：当利用公式法分解因式时：两项通常考虑_________，三项通常考虑___________；并且需要注意两点：①___________；②____________．问题6：当多项式的项数比较多时常考虑__________法．问题7：因式分解的口诀是什么？分别是什么意思？问题8：是因式分解吗？为什么？因式分解的四种方法（北师版）一、单选题(共20道，每道5分)1.下列选项中，从左到右的变形是分解因式的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：选项A等式左边不是多项式；选项B等式右边不是积的形式；选项D等式右边不是整式的积的形式；只有选项C正确，故选C.试题难度：三颗星知识点：分解因式的定义2.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：故选C.注意：提公因式要彻底.试题难度：三颗星知识点：分解因式——提公因式法3.将分解因式时，应提取的公因式是( )A.a2B.aC.axD.ay答案：B解题思路：此多项式中各项的公因式为a，∴故选B.试题难度：三颗星知识点：分解因式——提公因式法4.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：故选A.试题难度：三颗星知识点：分解因式——提公因式法5.下列选项中，能用完全平方公式分解因式的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：完全平方公式的特征是“首平方、尾平方，二倍乘积放中央”，只有选项D符合题意，.故选D.试题难度：三颗星知识点：分解因式——公式法6.下列选项中，能用公式法分解因式的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：只有选项C能用公式法分解因式，其他选项均不符合完全平方公式和平方差公式的特征.故选C.试题难度：三颗星知识点：分解因式——公式法7.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：故选C.试题难度：三颗星知识点：分解因式——公式法8.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：故选C.试题难度：三颗星知识点：分解因式——公式法9.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：故选B.试题难度：三颗星知识点：分解因式——公式法10.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：故选C．试题难度：三颗星知识点：分解因式——公式法11.把因式分解，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：故选D．试题难度：三颗星知识点：分解因式——公式法12.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：故选B.试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法13.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：故选C.试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法14.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：故选D.试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法15.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：故选D.试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法16.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：故选B.试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法17.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：故选A.试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法18.把ab-1+a-b分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：故选D.试题难度：三颗星知识点：分解因式——分组分解法19.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：故选A.试题难度：三颗星知识点：分解因式——分组分解法20.把分解因式，结果正确的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：故选C.试题难度：三颗星知识点：分解因式——分组分解法学生做题后建议通过以下问题总结反思问题1：（第10题）把分解因式的具体步骤是什么？问题2：（第14题）把分解因式的具体步骤是什么？问题3：（第18题）把分解因式，这道题为什么考虑用分组分解法？问题4：因式分解的定义是什么？问题5：以下分解因式的结果正确吗？（1）；（2）；（3）．问题6：因式分解有几种方法，分别是什么？问题7：提公因式法需要注意哪些要点？问题8：当利用公式法分解因式时：两项通常考虑_________，三项通常考虑___________；并且需要注意两点：①___________；②____________．问题9：当多项式的项数比较多时常考虑__________法．问题10：因式分解的口诀是什么？分别是什么意思？问题11：是因式分解吗？为什么？。
因式分解的四种方法(习题及答案)
（14） a2 4a 4 b2 ； 解：原式=
（15） a2 2ab b2 2a 2b 1； 解：原式=
（16） x2 2x 8 ； 解：原式=
（17） a2 ab 6b2 ； 解：原式=
（18） 2x2 3x 1 ； 解：原式=
（19） x3 4x2 12x ； 解：原式=
解：原式=
解：原式=
（3） 4a2 4a 1； 解：原式=
（4） x2 5x 6 ； 解：原式=
（5）16 8(x y) (x y)2 ； 解：原式=
（6） x4 1； 解：原式=
（7） (a2 1)2 4a2 ； 解：原式=
（8） ab 5bc 2a2 10ac ； 解：原式=
( y 1)( y 1)(x 1)2
巩固练习
1. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A． 9x2 y3z 3x2 z y3
B． x2 x 5 (x 2)(x 3) 1
C． a2b ab2 ab(a b)
D．
x2
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
x
1 x
（9） 3m(2x y)2 3mn2 ； 解：原式=
（10） ab ac bc b2 ； 解：原式=
（11） a2 b2 2a 2b ； 解：原式=
（12） (x 2)(x 4) x2 4 ； 解：原式=
（13） a3 a2 a 1； 解：原式=
2. 把代数式 3x3 6x2 y 3xy2 因式分解，结果正确的是（ ）
北师大版八年级数学下册 第四章因式分解的四种方法(讲义及答案)
因式分解的四种方法（讲义）➢ 课前预习1. 平方差公式：___________________________；完全平方公式：_________________________；_________________________．2. 探索新知：（1）39999-能被100整除吗？小明是这样做的：3229999999999199(991)99(991)(991)9998009998100-=⨯-⨯=⨯-=⨯+-=⨯=⨯⨯所以39999-能被100整除．（2）38989-能被90整除吗？你是怎样想的？（3）3m m -能被哪些整式整除？➢ 知识点睛1. __________________________________________叫做把这个多项式因式分解．2. 因式分解的四种方法（1）提公因式法需要注意三点：①_____________；②_______________；③_________________．（2）公式法两项通常考虑_____________，三项通常考虑_____________．（3）分组分解法如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。
多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找 ，然后再考虑 或者_______．（4）十字相乘法十字相乘法常用于二次三项式的结构，其原理是：2()()()x p q x pq x p x q +++=++ 因式分解是有顺序的，记住口诀：“ 竖分常数交叉验，横写因式不能乱 ”；➢ 精讲精练1. 下列由左到右的变形，是因式分解的是________________．①222233x y x y -=-⋅⋅； ②2(3)(3)9a a a +-=-；③22+1()()1a b a b a b -=+-+； ④222()mR mr m R r +=+； ⑤2()x xy x x x y -+=-；⑥24(2)(2)m m m -=+-； ⑦2244(2)y y y -+=-．2. 因式分解（提公因式法）：（1）2212246a b ab ab -+； （2）32a a a --+； （3）()(1)()(1)a b m b a n -+---；解：原式=解：原式= 解：原式=（4）22()()x x y y y x ---； （5）1m m x x -+． 解：原式=解：原式=3. 因式分解（公式法）：（1）249x -；（2）216249x x ++； 解：原式=解：原式=（3）2244x xy y -+-；（4）229()()m n m n +--； 解：原式=解：原式=（5）22(3)2(3)(43)(43)x y x y x y x y +-+-+-；解：原式=（6）2(25)4(52)x x x -+-；解：原式=（7）228168ax axy ay -+-；（8）44x y -； 解：原式=解：原式=（9）4221a a -+； （10）22222()4a b a b +-． 解：原式=解：原式=4. 因式分解（分组分解法）：（1）2105ax ay by bx -+-；（2）255m m mn n --+； 解：原式=解：原式=（3）22144a ab b ---； （4）22699a a b ++-； 解：原式=解：原式=（5）2299ax bx a b +--；（6）22244a a b b -+-． 解：原式=解：原式=5. 因式分解（十字相乘法）：（1）243x x ++；（2）26x x +-； 解：原式=解：原式=（3）223x x -++；（4）221x x +-； 解：原式=解：原式=（5）22512x x +-；（6）2232x xy y +-； 解：原式=解：原式=（7）2221315x xy y ++；（8）3228x x x --． 解：原式=解：原式=6. 用适当的方法因式分解：（1）222816a ab b c -+-；（2）22344xy x y y --； 解：原式= 解：原式=（3）22(1)12(1)16a a ---+；（4）(1)(2)12x x ++-； 解：原式=解：原式=（5）2(2)8a b ab -+；（6）222221x xy y x y -+-++． 解：原式=解：原式=【参考答案】➢ 课前预习1. 22()()a b a b a b +-=-222222()2()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+2. 210=7×5×3×2；315=7×5×3×3；91=13×7；102=17×3×23. （2）328989898989-=⨯-289(891)89(891)(891)899088=⨯-=⨯+⨯-=⨯⨯∴38989-能被90整除3223(1)(1)(1)m m m m mm m m m m -=⋅-=-=+-（）∴3m m -能被1，m ，m +1，m -1，m (m +1)，m (m -1)，(m +1)(m -1)，m (m +1)(m -1)整除 ➢ 知识点睛1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式2. （1）①公因式要提尽②首项是负时，要提出负号③提公因式后项数不变（2）平方差公式，完全平方公式①能提公因式的先提公因式②找准公式里的a 和b（3）公因式，完全平方公式，平方差公式3. 一提二套三分四查，有理数➢ 精讲精练1. ④⑥⑦2. （1）6(241)ab a b -+（2）2(1)a a a -+-（3）()()a b m n -+（4）3()x y -（5）1(1)m x x -+3. （1）(23)(23)x x +-（2）2(43)x +（3）2(2)x y --（4）4(2)(2)m n m n ++（5）29(2)x y -（6）(25)(2)(2)x x x -+-（7）28()a x y --（8）22()()()x y x y x y ++-（9）22(1)(1)a a +-（10）22()()a b a b +-4. （1）(5)(2)x y a b --（2）(5)()m m n --（3）(12)(12)a b a b ++--（4）(33)(33)a b a b +++-（5）()(31)(31)a b x x ++-（6）(2)(22)a b a b -+-5. （1）(1)(3)x x ++（2）(3)(2)x x +-（3）(3)(1)x x --+（4）(21)(1)x x -+（5）(4)(23)x x +-（6）()(32)x y x y +-（7）(5)(23)x y x y ++（8）(2)(4)x x x +-6. （1）(4)(4)a b c a b c -+--（2）2(2)y x y --（3）2(5)(3)a a --（4）(2)(5)x x -+（5）2(2)a b +（6）2(1)x y --。
北师大版八年级下册第四章因式分解之因式分解
B
D x²-5x+6 =(x+2)(x+3)
已知关于x的二次多项式2x²-ax+b因式分 解后的结果为(2x-1)(x+2),求a,b的值.
解 由题意知2x²-ax+b=(2x-1)(x+2) 又因为(2x-1)(x+2)=2x²+3x-2 所以2x²-ax+b= 2x²+3x-2 所以-a=3 b=-2 所以a=-3 b=-2
(1)x²-x =x(x-1） 因式分解
(2)x²-1=(x+1)(x-1) 因式分解
(3) x(x-1）=x²-x 整式乘法
(4) (x+1)(x-1) =x²-1 整式乘法
判断下列各式哪些是整式乘法,
哪些是因式分解。
(1)x²-4y²=(x+2y)(x-2y) 因式分解
(2)(5a-1)²=25a²-10a+1 整式乘法
已知关于x的二次多项式2x²-ax+b因式分 解后的结果为(2x-1)(x+2),求a,b的值.
解 由题意知2x²-ax+b=(2x-1)(x+2) 又因为(2x-1)(x+2)=2x²+3x-2 所以2x²-ax+b= 2x²+3x-2 所以-a=3 b=-2 所以a=-3 b=-2
解这类题的步骤:第一利用整式的乘法得到 多项式;第二令得到的多项式与所求的多项 式相等;第三使其对应项的系数相等.
所以原式能被11整除.
试说明 32020 - 4 32019 7 32018
能被11整除.
32 52018 - 4332018 7 32018 32018 (32 - 4 3 7) 32018 4
北师大数学 八年级下册 第四章 因式分解 提公因式法 4
(4) a(8 ba2b1b22c1)8a3b21a23c bab
1、找出下列多项式中各项中 含有的相同因式.
abbc bac 3x2 9x 3xx3 my2 nyyymyn1
公因式的定义：
一个多项式各项都含 有的相同因式, 叫做这个 多项式各项的公因式.
写出下列多项式各项的公因式：
(1) 8x72
(2) a2x2yaxy2
8
axy
(3) 4x22x2x3 2 x
(4) 6a2b4a3b32ab2ab
归纳概念
如果一个多项式的各项 含有公因式，那么就可以把 这个公因式提出来，从而将 多项式化成两个因式乘积的 形式.这种分解因式的方法叫 做提公因式法.
例1. 将下列各式分解因式：
(1) 3x x3
(2) 7x2 21x
(3) 8a3b21a23b cab
(4) 2x 4 31x2 22x8
1.填空:（口答）
(1) 2R2r2 (Rr)
(2) 3x36x2 3 x 2 (x2)
(3) 7a22a 17a ( a3 )
( ) t t (4)
12g1t2
例如：
多项式
abbc
3x2 3y
7a2 21a
3x3 6x2
公因式
b
3
7a
3x2
观察上述举例，分析并猜想：
确定一个多项式的公因式时，
要从 数字系和数 字母及 其指数 分别进行考虑。
数字系数
公因式的系数应取各项 系数的最大公约数. 字母及其指数
公因式中的字母取各项相 同的字母，而且各项相同字母 的指数取其次数最低的.
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学生做题前请先回答以下问题
问题1：因式分解的定义是什么？里面有几个关键词，分别是什么？
问题2：因式分解有几种方法，分别是什么？
问题3：提公因式法需要注意哪些要点？
问题4：当利用公式法分解因式时：两项通常考虑_________，三项通常考虑___________；并且需要注意两点：①___________；②____________．
问题5：当多项式的项数比较多时常考虑__________法．
问题6：因式分解的口诀是什么？分别是什么意思？
问题7：是因式分解吗？为什么？
因式分解的四种方法（北师版）
一、单选题(共20道，每道5分)
1.下列选项中，从左到右的变形是分解因式的是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分解因式的定义
2.将分解因式时，应提取的公因式是( )
A.a2
B.a
C.ax
D.ay
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分解因式——提公因式法
3.把分解因式，结果正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分解因式——提公因式法
4.把分解因式，结果正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分解因式——提公因式法
5.下列选项中，能用完全平方公式分解因式的是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分解因式——公式法
6.下列选项中，能用公式法分解因式的是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分解因式——公式法
7.把分解因式，结果正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分解因式——公式法
8.把分解因式，结果正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分解因式——公式法
9.把分解因式，结果正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分解因式——公式法
10.把分解因式，结果正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分解因式（口诀应用）
11.把因式分解，结果正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分解因式（口诀应用）
12.把分解因式，结果正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法
13.把分解因式，结果正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法
14.把分解因式，结果正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法15.把分解因式，结果正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分解因式（口诀应用）
16.把分解因式，结果正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法
17.把分解因式，结果正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分解因式——十字相乘法
18.把ab-1+a-b分解因式，结果正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分解因式——分组分解法19.把分解因式，结果正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分解因式——分组分解法
20.把分解因式，结果正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：分解因式——分组分解法
学生做题后建议通过以下问题总结反思
问题1：（第10题）把x3-2x2y+xy2分解因式的具体步骤是什么？
问题2：做了这么多因式分解的题目，我们来总结一下拿到一个因式分解的题目应该怎么想！请按照思考顺序依次列举．。