一致连续与柯西收敛准则

例2. 写出极限 lim f (x)存在的柯西收敛准则及其否定描述。 x
解： 极限 lim f (x)存在的柯西收敛准则： x lim f (x)存在的充分必要条件为 x 0, X 0,当x, x X时，有 f (x) f (x) .
极限 lim f (x)不存在的柯西收敛准则： x
lim f (x)不存在的充分必要条件为
例8. 证明:函数f (x), g(x)在区间I上一致连续 ,则函数f (x) g(x)
在区间I上一致连续。
证明： 函数f (x), g(x)在区间I上一致连续 ,
0, 0, 对任意的x1, x2 I,当x1 x2 时，
f (x1) f (x2 ) 2 , g(x1) g(x2 ) 2 ,
1. 柯西极限存在准则(柯西审敛原理) (P71)
数列 极限存在的充要条件是:
0, 存在正整数 N , 使当 m N , n N 时,
有
xn xm
例1. 应用柯西收敛准则证明下列数列收敛
xn a0 a1q a2q2 anqn ,
其中 0 q 1, ai M（常数）. 证明： n m时，
令x minx, x, 则 f (x) f (x) 2 ,
于是，对
0,
欲使
f
(x)
f
(x)
x ,只要
2
,
x
或只要x 2 , 故取X 2 ,则当x, x X时，恒有
f (x) f (x) cos x cos x ,
x x
由柯西收敛准则知，极限 lim cosx 存在。 x x
x1 x2
2 cos x1 x2 sin 2
x1 x2 2
x1 x2
2 sin x1 x2 2
x1 x2
2 x1 x2 2
2 x1 x2
0,
2
0, 对任意的x1, x2
(,),
当 x1 x2 时，恒有 f (x1) f (x2 ) ,
函数f (x) x sin x在(,)上一致连续。
证明：
sin
x12
sin
x22
2 cos
x12
2
x22
sin
x12
2
x22
,
取正数x1, x2 , 满足
x12
x22 2
2n
,
4
x12
x22 2
,
4
则
x12 2n ,
x22
2n
2
,
即
x1
2n ,
x2
2n ,
2
给定正数
，对任意的正数
0
，总有 x1
2n , x2
2n ,
2
使得
cn1 cn2 cm1 cn cn1 cn2 cm1
sn sm sn sm ,
由柯西收敛准则知，数 列xn收敛。
例6.
设xn
1
1 2
1 n
, 利用柯西收敛准则证明数列xn 发散。
证明：
给定正数 0
1 , 对任何正整数N,总有n 3
N , 使得
x2n xn
1 1 1 n
x1 x2 2(
,wk.baidu.com
2n 2n )
(只要n充分大）
2
而 sin x12 sin x22
2
2 2
2 2
1 0.
函数f (x) sin x2在区间(,)上非一致连续。
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.
将区间[a,)分为区间[a, X ]与[X ,), 2
(1) 在闭区间[a, X ]上，因为f (x)连续，所以一致连续。
故对上述的 ，存在 0, 对任意的x1, x2 [a, X ]，
当 x1 x2
时，f (x1)
f (x2 )
;
4
(2) x1, x2 [X ,),对上述的与，当x1 x2 时，
x
0 0, 对X 0, 总有x1, x2 X ,使得 f (x1) f (x2) 0.
例3. 利用柯西收敛准则，证明极限 lim cosx 存在。 x x
证明： 令f (x) cosx , x
则 f (x) f (x) cosx cosx 1 1 , x x x x
x , 不妨设x, x 0,
f (x1) f (x2) f (x1) b b f (x2) f (x1) b f (x2) b
.
22
(3) x1 [a, X ], x2 [X ,),对上述的与， 当 x1 x2 时，必有x1 X 与 x2 X ,
故由（1）与（2）得 f (x1) f (x2) f (x1) f (X ) f (x2) f (X )
.
22 综上讨论，对任意的x1, x2 [a,),当x1 x2 时，
f (x1) f (x2) .
f (x)在区间[a,)上一致连续。
例10. 证明: 若函数f (x) ex cos 1 在区间(0,1)上非一致连续。 x
证明： 给定正数 （0 1）, 对任意的正数 ，总有
x1
0, 0,x1, x2 I , x1 x2 , f (x1) f (x2 )
例7. 用定义证明函数 f (x) x sin x在(,)上一致连续。
证明： f (x1) f (x2) x1 x2 (sin x1 sin x2)
x1 x2
sin x1 sin x2
2n 2n 1
n 1 2n
1 2
0,
故由柯西收敛准则知， 数列xn发散。
2. 一致连续性
设函数f (x)在区间I上有定义，如果对于任意给定的
正数，总存在着正数，使得对于区间I上的任意两点x1、 x2，当x1 x2 时，就有
f (x1) f (x2 ) ,
那么称函数f (x)在区间I上是一致连续的。
f
( x1 )
g(x1)
f
(x2 )
g ( x2
)
2
2
,
故函数f (x) g(x)在区间I上一致连续。
例9. 证明: 若函数f (x)[a,)上连续, 且 lim f (x) b,则函数 x f (x)在[a,)上一致连续。
证明： lim f (x) b,
x
0, X
0,当x
X时，f (x) b
且sn c1 c2 cn ,而数列sn收敛，则数列 xn也收敛。 证明： sn收敛， 由柯西收敛准则知，
0, 正整数N，当n, m N时，恒有 sn sm .
不妨设n m,则 xn xm xn xn1 xn1 xn2 xm1 xm xn xn1 xn1 xn2 xm1 xm
例4. 利用柯西收敛准则，证明极限 lim sin x不存在。 x
证明：
给定 0
1，对任意的X 2
0,
总有点x1
2n
,
x2
2n
2
,
x1, x2 X ,
(取n充分大）
使得 sin x1 sin x2 1 0,
由柯西收敛准则知，极限 lim sin x不存在。 x
例5. 利用柯西收敛准则证明: 若n N,有 xn1 xn cn,
xn xm am1qm1 am2qm2 anqn
Mq m1 1 qm M qm , 1q 1q
0, 欲使 xn
xm
, 只要 M qm
1 q
,
或只要
m
ln
1 q M
,
ln q
故取正整数N
ln
1 q M
,
ln q
则当n, m N时，恒有
xn xm ,
所以，由柯西收敛准则 知，数列xn收敛。
1
2n
,
x2
1
2n
, (0,1),
2
x1 x2 , (n充分大时总可成立）
而
f
(x1)
f
(x2 )
e x1
1 cos
x1
ex2
1 cos
x2
1
e 2n
1 0.
f (x) ex cos 1 在区间(0,1)上非一致连续。 x
例11. 证明 : 若函数f (x) sin x2在区间(,)上非一致连续。