导数定义与极限

练习2 设函数
处可导, 试用导数
（2） f(x)2x2xx
(2)用导数定义求导
问下列结论成立?
（a） f ( x) 在点0处连续? 显然连续 （b） f ( x) 在点0处可导? 解
（c） f (0)?
解
解（b）
2x2xx f (x)
0,
x0, f (0)0 0x
f (0 )xl 0 i 0m f(x x ) 0 f(0 )lx i0fm (x x)
可微 可导 连续 极限存在.
本章的计算重点是求函数的导数.
1. 导数（含左导数、右导数）和微分的定义及其几何意义.
f(a)lim f(x)f(a) x a xa
f(a)lim f(ax)f(a)
x 0
x
练习1 设函数
(1) 导数定义与极限
f ( x) 在 x 0 处可导, 试用导数 f (x0 ) 表示下列极限：
lim
f
x0
1 n
f (x0)
n
1
f (x0)
n
f(a)lim f(x)f(a) x a xa
f(a)lim f(ax)f(a)
x 0
x
处可导, 试用导数
解（4）原式 x l ix0m x(fx0x ) x x0 0f(xபைடு நூலகம்)x0f(xx ) x f0 (x0)
f(x0)x0f(x0)
lim 2x2x2 lim x0
x0 x
x0
f (0 )x l 0 i 0m f(x x ) 0 f(0 )lx i0fm ( x x)
lim 2x2x2 lim 3x0f(0)0
x 0 x
x 0
解（c）
f (x)3xx22,
x0, 0x
f(x) 6 2x x,
x0,且 f(0)0 0x,
f (0 ) x l 0 i 0m f(x x ) 0 f(0 ) x l 0 i 0m fx (x )
解（b） 注意到: limxsin10(0),
x0
x
01时f ( x) 在点0处连续, 但不可导.
解 （c）
处可导, 试用导数
当x 0时，
f(x)x1sin1
x
x2
cos1 x
1
当x0时，f (0) 0
(2)用导数定义求导
f(x)1 x1sin1 xx2cos1 x,
0,
x0, x0,
类似于(a )可解得 当 2时f， (x)在 x0时连续
一、基本要求
1. 理解导数（含左导数、右导数）和微分的定义及其几何意义. 2. 熟悉掌握函数的求导法则（四则运算求导法则、复合函数求 导法则）. 3. 掌握策分的运算法则及一阶微分形式不变性. 4. 牢记基本求导公式 5. 了解高阶导数的概念, 能熟练地求出初等函数的二阶导数及 某些函数的阶导数. 6. 掌握隐函数的求导法及由参数方程表示的函数的求导法. 7. 知道一元函数可微、可导、连续、极限存在之间的关系：
h 0
h
li 3 m [f(x 0 3 h ) f(x 0 ) ]2 [f(x 0 2 h ) f(x 0 ) ]
h 0
3 h
2 h
3f(x0)2f(x0) 5f(x0)
f(a)lim f(x)f(a) x a xa
f(a)lim f(ax)f(a)
x 0
x
处可导, 试用导数
（3） ln i m nfx01nf(x0)
（c） f (x)在点0处连续.
解
处可导, 试用导数
解 （a）
(2)用导数定义求导
f(0)xl im 0 f(x) xf(0)xl im 0xsxin1 x
xl im 0x1sin1 x 不 0,存 在 ， 1,1
f (0)x l im 0f(x) xf(0)lx i m 000
1 时 ， f(0)0;
f(a)lim f(x)f(a) x a xa
f(a)lim f(ax)f(a)
x 0
x
处可导, 试用导数
练习2 （1）
设函数
f (x)
x
sin
1 x
,
(2)用导数定义求导
x 0,
0,
x 0,
问常数 在什么条件下, 下列结论成立：
（a） f ( x) 在点0处可导；
解
（b） f ( x) 在点0处连续, 但不可导. 解
x 2005 x2005
lim f( x ) lim ( x 2 0 0 5 )( x ) lim ( x ) x 2 0 0 5 x 2 0 0 5x 2 0 0 4 x 2 0 0 5 x 2 0 0 5
(x)在 x 2 0 0 5 处 连 续 。 lim(x)(2005) x 2005 f(2 0 0 5 )lim (x )(2 0 0 5 ) x 2 0 0 5
练习3 求下列 函数的导数:
(3) 导数的四则运算
(a) f(x)ln3 xs2inx1; 解 (b ) f(x)1 s c i2x n o x t1 c to 2a xxs nsixn co x;s解
(3) 导数的四则运算
解（a） (1 ) f(x ) 1 [lsn ix n ln x ( 1 ) ln x 1 ()] 3
f(x)1[cox s 11] 3sixnx1 x1
解（b）
(3) 导数的四则运算
f(x )s3 ix nc3 o xs six c nx o ; s six n cx os six n cx os
lim
x0
2x x
2
f (0 ) x l 0 i 0m f(x x ) 0 f(0 ) x l 0 i 0m fx (x )
lim
x0
6x x
6
f (0)不存在
处可导, 试用导数
练习2 设函数
(2)用导数定义求导
（3） 设 f(x)(x 2 0 0 5 )(x)， 且 (x )在 x 2 0 0 5 处 连 续 。
（1）limf(x03h)f(x0) 解
h0
h
（2） lim f(x03h)f(x02h) 解
h 0
h
（3） ln i m nfx01nf(x0)
解
（4） limxf(x0)x0f(x) 解
xx0
xx0
解（1）原式
lim 3[f(x03h)f(x0)]3f
h 0
3h
(x0).
(2) 原式 分 l i 项 (f m (x 0 3 h ) f(x 0 ) ) [f(x 0 2 h ) f(x 0 )]
证 明 f(x )在 x 2 0 0 5 处 可 导 。
证 法 1f ( x ) （ x ) ( x 2 0 0 5 ) ( x )
f ( 2 0 0 5 ) （ 2 0 0 5 ) 0 ( 2 0 0 5 ) （ 2 0 0 5 )
证法2 f(2005)limf(x)f(2005)