导数定义与极限
导数值与极限值的关系
导数值与极限值的关系
导数与极限的关系：
1、极限只是一个数，x趋向于x0的极限=f(x0) 。
2、而导数则是瞬时变化率，是函数在该点x0的斜率，导数比极限多了一个表达“过程”的部分。
【导数与极限的关系】一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率，极限是一种“变化状态”的描述，此变量永远趋近的值A叫做“极限值” 。
当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。
在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。
可导的函数一定连续，不连续的函数一定不可导，因此导数也是一种极限。
考研数学-专题5 导数的概念及应用
f (x), x 0;
F
(
x)
0, x 0;
f (x), x 0;
若 f (0) 1, 则
lim F(x) F(0) lim f (x) f (0) f (0) 1
x0
x
x0
x
lim F(x) F(0) lim f (x) f (0)
x0
x
x0
x
lim f (x) f (0) f (0) 1
x0
x0
则
lim ln[ f (x) ex ] ln 2
x0
x
从而 lim ln[ f (x) ex ] 0, lim f (x) f (0) 0,
x0
x0
当 x 0 时， ln[ f (x) ex ] ln[1 f (x) ex 1] ~ f (x) ex 1
则 lim ln[ f (x) ex ] lim f (x) ex 1 f (0) 1 ln 2
1
【例 2】已知 f (x) 在 x 0 处连续，且 lim[ f (x) ex ]x 2, 则 f (0) （ ） x0
(A)不存在
(B)等于 e2 ,
(C)等于 2,
(D)等于 1 ln 2
1
ln[ f ( x)e x ]
【解】 由于 lim[ f (x) ex ]x lim e x 2
3
f (x0 n ) f (x0 ) f (x0 )n n
（其中 lim 0 ） n
f
( x0
n ) f (x0 n n
n)
f
(
x0
)
n n
n n
n n n n
n n n n n n
0
则 lim n
导数的第一定义和第二定义
导数的第一定义是指函数在某一点的导数，也称为导数的极限定义。
给定函数f(x)，在点a 处的导数定义为：
f'(a) = lim┬(h→0)(f(a+h) - f(a))/h
其中，h表示自变量x的增量。
导数的第二定义是指函数在某一点的导数，也称为导数的微分定义。
给定函数f(x)，在点a 处的导数定义为：
f'(a) = d/dx[f(x)]|_(x=a)
即函数f(x)在点a处的导数等于函数f(x)对自变量x求导后再在x=a处求值。
这两个定义都描述了函数在某一点处的变化率或斜率，是导数的基本定义形式。
第一定义通过极限的方式，从函数增量的角度来定义导数；第二定义通过微分的方式，从函数的微小变化来定义导数。
这两个定义是导数概念的基础，为后续的导数运算和应用打下了基础。
函数的极限与导数的关系
函数的极限与导数的关系函数的极限以及导数是微积分中两个重要的概念，它们之间存在着紧密的联系和相互依赖的关系。
本文将探讨函数的极限与导数之间的联系，并说明它们在数学中的重要性。
一、函数的极限的定义与性质函数的极限是研究函数在某一点处的趋势及其极限值的一种方法。
设函数f(x)在点x=a的某一去心邻域内有定义，如果存在一个常数A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ(不论它多么小，但大于0)，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-A|<ε成立，那么就称函数f(x)在x=a处有极限A（或说f(x)的极限为A），记作lim {x→a} f(x) = A。
函数的极限具有唯一性和局部有界性的性质。
即在一个点的左右两侧的极限值相等，且函数在该点的邻域内有界。
二、导数的定义与性质导数是用来描述函数的变化率的概念，它表示函数在某一点上的斜率，也可以理解为函数图像在该点处的切线斜率。
对于函数y=f(x)，在点x=a处，若极限lim {h→0} [f(a+h)-f(a)]/h存在，那么称该极限为函数f(x)在点x=a处的导数，记作f'(a)或dy/dx|{x=a}。
导数具有唯一性和几何意义的性质。
例如，对于导函数f'(x)存在的函数f(x)，f'(x)就代表了f(x)在x点处的切线斜率。
三、函数的极限与导数之间存在着重要的联系，可以说导数的概念是由极限引出的。
1. 极限为导数的特殊情况若函数f(x)在点x=a处的极限lim {h→0} [f(a+h)-f(a)]/h存在，那么该极限值就是f(x)在x=a处的导数f'(a)。
此时，函数的极限值和导数值是相等的。
2. 导数的连续性若函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)存在，且f(x)在点x=a处连续，那么可以得出结论：函数f(x)在点x=a处的极限lim {x→a} f(x)存在。
3. 极限的重要性极限是导数存在的前提，它为导数的计算提供了基础。
第二章 导数与极限 1
及 lim f ( x) = A, 得出: A > 0.
x→x0
ˆ 例如 在N (0, δ )内有 f ( x ) =| x |> 0,
但 lim | x |= A = 0.
x→0
说明: 定理4, 说明 定理 5, 6及推论所论极限 在自变量 的其它变化 及推论所论极限, 在自变量x的其它变化 趋势的情形下, →∞, →−∞, 趋势的情形下 即: x→x0−, x→x0+, x→∞ x→+∞, x→−∞ → → →∞ → ∞ →−∞ 都有类似的结论。 都有类似的结论。
y
y=|x|
| x|−|0| x lim+ = lim+ = 1, x →0 x→0 x x−0 | x |−|0| 故 lim 不存在 x →0 x − 0
所以函数 f ( x ) =| x | 在 x = 0 处不可导.
O
x
10
求取整函数f(x)=[x]在整数点 0=n处的左极限和右极限 在整数点x 处的左极限和右极限 处的左极限和右极限. 例10. 求取整函数 在整数点
x→n x→n
11
C. 自变量趋于无穷大时函数的极限 设函数f(x)在|x|≥a (a≥0)上有定义 如果存在常 上有定义, 定义 设函数 在 ≥ ≥ 上有定义 如果存在常 使对任意给定的正数ε 总存在正数 正数X, 数A, 使对任意给定的正数ε, 总存在正数 当 |x|>X, 有: |f(x)−A|<ε 成立 > − < 成立,
f ( x0 + 0) = A.
注意 : { x 0 < x − x0 < δ } = { x 0 < x − x0 < δ } U { x − δ < x − x0 < 0}
导数的定义和基本规则
导数的定义和基本规则1. 导数的定义导数是数学分析中的一个核心概念，主要用于研究函数在某一点处的局部性质。
具体来说，导数反映了函数在某一点处的变化率，即自变量发生微小变化时，因变量的变化量与自变量变化量的比值。
设函数f(x)在点x0处有极限，则函数f(x)在点x0处的导数定义为：f′(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx如果上述极限存在，则称函数f(x)在点x0处可导。
2. 基本导数公式（1）常数函数的导数：对于常数c，有f(x)=c，则f′(x)=0。
（2）幂函数的导数：对于幂函数f(x)=x n（n为实数），有f′(x)=nx n−1。
（3）指数函数的导数：对于指数函数f(x)=a x（a为常数，a≠0），有f′(x)=a x lna。
（4）对数函数的导数：对于对数函数f(x)=log a x（a为常数，a>0，a≠1），有f′(x)=1xlna。
（5）三角函数的导数：•对于正弦函数f(x)=sinx，有f′(x)=cosx。
•对于余弦函数f(x)=cosx，有f′(x)=−sinx。
•对于正切函数f(x)=tanx，有f′(x)=sec2x。
（6）反三角函数的导数：•对于反正弦函数f(x)=arcsinx，有f′(x)=√1−x2（−1≤x≤1）。
•对于反余弦函数f(x)=arccosx，有f′(x)=√1−x2−1≤x≤1）。
•对于反正切函数f(x)=arctanx，有f′(x)=11+x2。
（7）链式法则：若函数f(x)=g(ℎ(x))，则f′(x)=g′(ℎ(x))⋅ℎ′(x)。
（8）乘积法则：若函数f(x)=g(x)⋅ℎ(x)，则f′(x)=g′(x)⋅ℎ(x)+g(x)⋅ℎ′(x)。
（9）商法则：若函数f(x)=g(x)ℎ(x)（h(x)≠0），则f′(x)=g′(x)⋅ℎ(x)−g(x)⋅ℎ′(x)[ℎ(x)]2。
（10）和差法则：若函数f(x)=g(x)+ℎ(x)，则f′(x)=g′(x)+ℎ′(x)；若函数f(x)=g(x)−ℎ(x)，则f′(x)=g′(x)−ℎ′(x)。
掌握高考数学中的导数与极限运算技巧有哪些关键点
掌握高考数学中的导数与极限运算技巧有哪些关键点导数与极限是高考数学中的重要内容，对于理工科考生来说尤其重要。
掌握导数与极限运算的关键点能够帮助考生提高解题效率，下面将介绍几个关键点。
一、理解导数的定义导数是描述函数在某一点的变化率的指标。
在掌握导数运算的关键点之前，我们需要先理解导数的定义。
导数的定义是函数的极限，即函数在某一点的导数等于该点处函数的极限。
这个定义非常重要，理解了这个定义之后才能更好地应用导数进行运算。
二、掌握导数基本运算法则在高考数学中，常见的导数基本运算法则有常数倍法则、和差法则、乘积法则、商法则等。
掌握这些法则是解题的基础，可以帮助考生更快速地求导数。
以乘积法则为例，乘积的导数等于一项的导数乘以另一项，再加上另一项的导数乘以一项，即(d(uv)/dx = u'v + uv')。
熟练掌握这些法则能够帮助考生迅速解题。
三、学会运用导数的性质导数具有一些特殊的性质，掌握这些性质可以简化计算过程。
比如，导数的和的导数等于各项导数的和，导数的差的导数等于各项导数的差，导数的幂的导数等于指数乘以底数的导数等等。
掌握这些性质可以在解题过程中灵活运用，提高解题效率。
四、了解常见的导数公式在高考数学中，有一些常见的函数的导数公式是需要掌握的，比如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。
熟悉这些公式能够帮助考生更快地求出函数的导数。
需要注意的是，在使用这些公式时，要注意各种函数的复合运算，灵活运用链式法则。
五、熟练掌握极限运算的技巧极限是导数的基础，因此对极限运算的技巧的掌握也是非常重要的。
在高考数学中，常见的极限运算技巧有利用夹逼定理、利用等价无穷小、利用洛必达法则等。
熟练掌握这些技巧可以帮助考生更快地求解极限问题，尤其是在计算极限时遇到不确定型的问题。
综上所述，掌握高考数学中的导数与极限运算技巧的关键点主要包括理解导数的定义、掌握导数基本运算法则、学会运用导数的性质、了解常见的导数公式以及熟练掌握极限运算的技巧。
导数的定义和求导规则
导数的定义和求导规则一、导数的定义1.1 极限的概念：当自变量x趋近于某一数值a时，函数f(x)趋近于某一数值L，即称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作：lim (x→a) f(x) = L1.2 导数的定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记作f’(a)或df/dx|_{x=a}，表示函数在某一点的瞬时变化率。
定义如下：二、求导规则2.1 常数倍法则：如果u(x)是可导函数，c是一个常数，则cu(x)也是可导函数，且(cu(x))’ = c*u’(x)。
2.2 幂函数求导法则：如果u(x) = x^n，其中n为常数，则u’(x) = n*x^(n-1)。
2.3 乘积法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，则(u(x)v(x))’ = u’(x)v(x) +u(x)v’(x)。
2.4 商法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，且v(x)≠0，则(u(x)/v(x))’ =(u’(x)v(x) - u(x)v’(x))/(v(x))^2。
2.5 和差法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，则(u(x) + v(x))’ = u’(x) + v’(x)，(u(x) - v(x))’ = u’(x) - v’(x)。
2.6 链式法则：如果y = f(u)，u = g(x)，则y关于x的导数可以表示为dy/dx = (dy/du) * (du/dx)。
2.7 复合函数求导法则：如果y = f(g(x))，则y关于x的导数可以表示为dy/dx = (df/dg) * (dg/dx)。
2.8 高阶导数：如果f’(x)是f(x)的一阶导数，则f’‘(x)是f’(x)的一阶导数，以此类推。
2.9 隐函数求导法则：如果方程F(x,y) = 0表示隐函数，则y关于x的导数可以表示为(dy/dx) = -F_x / F_y，其中F_x和F_y分别是F(x,y)对x和y的偏导数。
三、导数的应用3.1 函数的单调性：如果f’(x) > 0，则f(x)在区间内单调递增；如果f’(x) < 0，则f(x)在区间内单调递减。
导数的概念和定义高数
导数的概念和定义高数高等数学中，导数是一个重要的概念，用于描述函数的变化速率。
导数的定义及其性质是高等数学学习的重点内容之一。
本文将对导数的概念和定义进行详细论述。
1. 导数的概念导数是描述函数在某一点上的变化率。
对于函数f(x)，它在点x=a处的导数可以用极限的形式表示：f'(a)=lim[(f(x)-f(a))/(x-a)], x→a其中，f'(a)表示函数f(x)在点x=a处的导数，也可以记作dy/dx|{x=a}或df(x)/dx|{x=a}。
导数可以理解为函数曲线在某一点上的切线斜率。
2. 导数的定义导数的定义基于极限的概念。
一个函数在某一点上的导数等于函数曲线在该点处的切线斜率，也就是曲线与x轴之间的夹角的正切值。
具体来说，对于函数f(x)，在点x=a处的导数可以用以下公式表示：f'(a)=lim[(f(x)-f(a))/(x-a)], x→a对于函数f(x)=kx^n，其中k和n都是常数，可通过求导的方式计算导数。
根据定义和导数的特性，我们可以得到：- 常数的导数为0：如果f(x)=k，其中k是一个常数，那么f'(x)=0。
- 幂函数的导数：对于f(x)=x^n，其中n是正整数，f'(x)=nx^(n-1)。
- 指数函数的导数：对于f(x)=a^x，其中a为正实数且a≠1，f'(x)=a^x * ln(a)。
3. 导数的几何意义导数具有重要的几何意义。
对于函数f(x)，在点x=a处的导数f'(a)表示函数曲线在该点处的切线斜率。
当导数为正时，函数曲线在该点处向上增长；当导数为负时，函数曲线在该点处向下减小；当导数为零时，函数曲线在该点处具有极值（最大值或最小值）。
通过导数可以描绘出函数的整体特征，包括函数的增减性、极值点、拐点等。
通过对导数图像的分析，可以得到函数图像的大致形态。
4. 导数的计算规则导数的计算有一些特定的规则。
导数的概念
三 导数的应用 （一）利用导数判断函数单调性及求解单调区间。
1.导数和函数单调性的关系： (1)若 f ¢ (x)>0 在(a，b)上恒成立，则 f(x)在(a，b)上是增函数， f ¢ (x)>0 的解集与定义域的 交集的对应区间为增区间； (2)若 f ¢ (x)<0 在(a，b)上恒成立，则 f(x)在(a，b)上是减函数， f ¢ (x)<0 的解集与定义域 的交集的对应区间为减区间。 2.利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
f (x0 ) )处的切线方程为 y -
f (x0 ) =
f
(x )(x - x ) / 0
0
新疆 王新敞
奎屯
2.导数的物理意义： 导数是物体变速直线运动的瞬时速度，也叫做瞬时变化率。
（三）概念部分题型：
1.利用定义求函数 y = f (x) 的导数
主要有三个步骤：
(1)求函数的改变量 Dy
=
f (x + Dx) -
x= x0
，即
f
/
(x0 )
=
lim
Dx®0
f (x0
+ Dx) Dx
f (x0 )
2 导函数的定义：如果函数 y = f (x) 在开区间 (a, b) 内的每点处都有导数，此时对于每
一个 x Î (a,b) ，都对应着一个确定的导数 f / (x) ，从而构成了一个新的函数 f / (x) , 称这
（二）导数的四则运算
1．和差： (u±v)¢ =u¢±v¢
2．积： (uv)¢ = u¢v + uv¢
3．商：
(u )¢ v
=
导数定义知识点总结
导数定义知识点总结一、导数的定义导数的定义最早是由牛顿和莱布尼兹提出的，它描述了函数在某一点处的变化率。
设函数y = f(x)，在x点附近有一个增量Δx，对应的函数值的增量为Δy = f(x + Δx) - f(x)。
那么，当Δx趋向于0时，函数值的增量与自变量的增量的比值Δy/Δx就趋向于一个极限值，这个极限值即为函数f(x)在点x处的导数。
导数用f'(x)或者y'来表示。
导数的定义有两种常见形式，分别是利用极限定义（差商）和利用变化率定义。
极限定义是导数的最原始的定义方式，它描述了函数在某一点的瞬时变化率。
利用变化率定义，可以帮助我们更好地理解导数的几何意义，即函数曲线在某一点处的切线斜率。
无论使用何种定义形式，导数可以帮助我们描述函数的变化趋势，从而更好地理解函数的性质。
二、导数的性质1. 可导性：函数在某一点可导意味着在这一点函数的变化率存在，也就是说在该点存在切线。
导数存在的条件是函数在该点附近有微小的线性变化，这意味着函数在该点连续且不突变。
2. 导数与函数的关系：函数的导数可以帮助我们了解函数的变化趋势。
例如，函数的导数为正表示函数在该点上升，导数为负表示函数在该点下降，导数为零表示函数在该点取极值。
3. 导数的运算法则：一元函数的导数具有许多运算法则，包括常数倍法则、和差法则、积法则、商法则、复合函数求导法则等。
这些法则可以帮助我们更方便地求解函数的导数。
此外，对于特殊函数如反函数、隐函数、参数方程等也有相应的求导方法。
4. 高阶导数：导数也可以有高阶导数的概念，即对函数的导数再求导数。
高阶导数可以更清晰地描述函数的曲线特性，如拐点、凹凸性等。
三、导数的应用1. 函数的极值点：导数可以帮助我们判断函数的极值点，即函数的最大值、最小值以及函数的极限值。
通过求解导数为零的方程或者利用一阶导数的符号变化规则，我们可以找到函数的极值点。
这对于优化问题和最佳化问题有着重要的应用。
《导数定义与极限》课件
利用导数求函数的极值
总结词
利用导数等于0的点，确定函数的极值点。
详细描述
如果函数在某点的导数等于0，且该点两侧 的导数符号相反，则该点为函数的极值点。
利用导数求曲线的切线方程
要点一
总结词
要点二
详细描述
利用导数求曲线在某点的切线斜率。
函数在某点的导数值即为该点处切线的斜率。再根据点斜 式方程，结合切点坐标，即可求出切线方程。
详细描述
在物理学中，导数常用于描述物体的运动状态和变化规律。例如，物体的速度和加速度可以通过对时间求导来获 得。导数在物理学的各个领域都有着广泛的应用。
02 导数的计算
导数的四则运算
总结词
掌握导数的四则运算规则，包括加、减、乘、除等运算。
详细描述
导数的四则运算法则是导数计算的基础，包括加法、减法、乘法和除法等运算。这些运算法则可以帮 助我们简化复杂的导数表达式，从而更好地理解和分析函数的单调性、极值等性质。
详细描述
极限是研究函数的重要工具，通过研究函数在不同点处的极限行为，我们可以了解函数的性质，如连 续性、可导性、单调性等。例如，利用极限研究函数的连续性和间断点，或者利用极限研究函数的极 值和最值等。
谢谢聆听
无穷小与无穷大的关系
无穷小是无穷大的反义词，两者在一定条件 下可以相互转化。
06 极限的应用
利用极限证明等式或不等式
总结词
通过极限，我们可以证明一些数学中的等式或不等式 。
详细描述
在数学中，有些等式或不等式可能难以直接证明，但通 过求极限，我们可以得到一些有用的性质和结论，从而 证明这些等式或不等式。例如，利用极限证明一些函数 的等价无穷小关系，或者利用极限证明函数的单调性等 。
高等数学中的导数及其应用
高等数学中的导数及其应用导数是高等数学中的重要概念，它是描述函数变化率的工具。
本篇文章将介绍导数的定义、性质以及它在数学和实际生活中的应用。
一、导数的定义和性质导数描述了函数在某一点上的变化率。
设函数y=f(x)，若函数在点x处有定义并且存在极限lim(x→x₀) [f(x)-f(x₀)]/(x-x₀)，则称该极限为函数f(x)在点x₀处的导数，记作f'(x₀)，也可表示为dy/dx|x=x₀。
导数也可以通过求导公式来计算，例如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等都有特定的求导法则。
函数的导数具有一些重要的性质。
首先，常数函数的导数为零。
其次，导数满足加法性、乘法性和链式法则。
加法性指的是导数的和等于各导数的和，乘法性指的是导数的乘积等于某一函数的导数与另一函数的值的乘积。
链式法则是导数运算中常用的规则，它描述了复合函数的导数与原函数的导数之间的关系。
二、导数的应用导数在数学和实际生活中具有广泛的应用。
下面我们将介绍其中的一些应用。
1. 函数的极值函数的导数可以用来确定函数的极值。
对于给定函数f(x)，如果在某一点x₀处导数为零或者不存在，那么该点上可能存在极值。
通过分析函数的导数和二阶导数可以判断该极值是极大值还是极小值。
这在优化问题、经济学等领域中具有重要意义。
2. 曲线的切线和法线导数也可以用来求解曲线的切线和法线。
对于二维平面上的曲线，曲线在某一点处的切线斜率为该点处函数的导数。
在求出切线斜率后，可以通过给定点和切线斜率的方程，求解出切线方程。
法线则是与切线垂直的线，其斜率为切线斜率的负倒数。
3. 变化率和速度导数可以用来描述函数的变化率。
在实际生活中，我们经常需要计算某一物理量的变化率，例如速度。
假设物体的位置随时间变化，那么位置函数关于时间的导数即为速度函数。
通过求解速度函数，我们可以得知物体在某一时刻的速度情况。
4. 函数的凹凸性和拐点函数的导数还可以用来判断函数的凹凸性和拐点。
极限和导数的关系
极限和导数的关系
导数与极限的关系：极限只是一个数，x趋向于x0的极限=f(x0)。
而导数则是瞬时变化率，是函数在该点x0的斜率，导数比极限多了一个表达“过程”的部分。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率，极限是一种“变化状态”的描述，此变量永远趋近的值A叫做“极限值”。
当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。
在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。
可导的函数一定连续，不连续的函数一定不可导，因此导数也是一种极限。
导数的求导法则
由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。
基本的求导法则如下：
1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。
2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。
3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。
4、如果有复合函数，则用链式法则求导。
导数定义求极限
导数定义求极限一路陪我走过来的从来都不是什么善良正直正能量，而是虚荣嫉妒不甘心1. 利用导数定义求极限导数的两种定义1.f ′ ( x 0 ) f'{(x_0)} f′(x0) = lim x → x 0f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 \lim_{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} limx→x0x−x0f(x)−f(x0)2.f ′ ( x 0 ) f'{(x_0)} f′(x0) = lim Δ x → 0\lim_{ \Delta x \to 0} limΔx→0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x \frac{f(x_0 + \Delta x) -f(x_0)}{ \Delta x} Δxf(x0+Δx)−f(x0)解题基本用到的是凑上面两种形式的思想。
例题1求 A = lim Δ x → 0 \lim_{ \Delta x \to 0} limΔx→0 f ( x − Δ x ) − f ( x ) Δ x \frac{f(x - \Delta x) - f(x)}{ \Delta x} Δxf(x−Δx)−f(x) 的极限这里和上面第二类导数的定义就相差一个正负号f ( x + Δ x ) f(x + \Delta x) f(x+Δx)所以很显然我们要凑第二类导数的定义解：A = lim Δ x → 0 \lim_{ \Delta x \to 0}limΔx→0 f ( x 0 − Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x\frac{f(x_0 - \Delta x) - f(x_0)}{ \Delta x} Δxf(x0−Δx)−f(x0)= lim Δ x → 0 \lim_{ \Delta x \to 0} limΔx→0 f ( x 0 + ( − Δ x ) ) − f ( x 0 ) − Δ x \frac{f(x_0 +(- \Delta x)) - f(x_0)}{ -\Delta x} −Δxf(x0+(−Δx))−f(x0) *(-1)= f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f′(x0) * (-1)= - f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f′(x0)例题2如果 f ( 0 ) = 0 f(0) = 0 f(0)=0 ，且 f ′ ( 0 ) f'(0) f′(0)存在，求A = lim x → 0 f ( x ) x\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} limx→0xf(x)解：由题意得A = lim x → 0 f ( x ) − 0 x − 0 \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - 0}{x - 0} limx→0x−0f(x)−0= lim x → 0 f ( x ) − f ( 0 ) x − 0 \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} limx→0x−0f(x)−f(0)= f ′ ( 0 ) f'(0) f′(0)例题3求A = lim h → 0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 −h ) h \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{h} limh→0hf(x0+h)−f(x0−h)解：原式= lim h → 0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) + f ( x 0 ) − f ( x 0 − h ) h \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0) +f(x_0)- f(x_0 - h)}{h} limh→0hf(x0+h)−f(x0)+f(x0)−f(x0−h)= lim h → 0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0) }{h} limh→0hf(x0+h)−f(x0) - lim h → 0 f ( x 0 − h ) − f ( x 0 ) h \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 - h) - f(x_0) }{h}limh→0hf(x0−h)−f(x0)= f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f′(x0) - lim h → 0 f ( x 0 − h ) − f ( x 0 ) h \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 - h) - f(x_0) }{h} limh→0hf(x0−h)−f(x0)= f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f′(x0) - (- f ′ ( x 0 )f'(x_0) f′(x0))=2 f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f′(x0)2.判断连续与可导的关系可导一定连续，连续不一定可导一般有两种题型：1.f ( x ) = { . . . ( x ! = x 0 ) . . . ( x = x 0 )f(x)=\left\{ \begin{aligned} ... & & (x != x_0)\\ ... & & (x = x_0) \\ \end{aligned} \right.f(x)={......(x!=x0)(x=x0)例题4讨论 f ( x ) = { 0 x=0 x 2 s i n 1 x x!=0f(x)=\begin{cases} 0& \text{x=0}\\x^2sin\frac{1}{x}& \text{x!=0} \end{cases} f(x)={0x2sinx1x=0x!=0 的连续性与可导性解：依题意得该函数的断点为 x = 0则： lim x → 0 x 2 sin 1 x \lim_{x \to 0} x^2\sin \frac{1}{x} limx→0x2sinx1 = 0(DAY 1.中的一个重要结论无穷小量*有界函数 = 0)由此可知该函数连续。
导数的定义与性质
导数的定义与性质导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在某一点处的变化率。
在实际应用中，导数往往帮助我们了解函数的趋势、寻找最值以及解决各种实际问题。
本文将介绍导数的定义和性质，并探讨导数在不同领域的应用。
首先，我们来定义导数。
对于一个函数f(x)，其在点x处的导数可以用极限的概念表示为：$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$其中h为趋近于0的实数，表示两个点在x轴上的距离。
导数表示函数在该点处的瞬时变化率，即函数曲线在该点处的切线的斜率。
接下来，我们来讨论导数的性质。
导数具有以下几个基本性质：1. 可导性：如果函数f(x)在某一点x处可导，那么该点必须存在极限$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$同时，如果函数在某一区间内的每一个点都可导，那么函数在这个区间内是可导的。
2. 关于导函数的连续性：在某一点x处可导等价于该点处的导函数f'(x)存在。
3. 导数的加减法规则：设函数f(x)和g(x)都可导，则它们的和、差和常数倍均可导，且有如下公式：$$(f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x)$$$$(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$$其中c为常数。
4. 导数的乘法法则：设函数f(x)和g(x)都可导，则它们的乘积也可导，且有如下公式：$$(f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$5. 导数的链式法则：设函数f(x)和g(x)都可导，则复合函数h(x) = f(g(x))也可导，且有如下公式：$$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$这条法则非常重要，可以用来求复合函数的导数。
导数的极限与导数的定义法则运用
导数的极限与导数的定义法则运用一、导数的极限导数的极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数的导数值也趋近于一个特定值的现象。
导数的极限可以通过极限的定义法则进行计算。
在导数的极限中，我们常用到以下几个重要的极限公式：1. 常数函数的导数: 若f(x)=c（c为常数），则f'(x)=0。
2. 幂函数的导数: 若f(x)=x^n（n为常数），则f'(x)=n·x^(n-1)。
3. 指数函数的导数: 若f(x)=a^x（a>0，且a≠1），则f'(x)=ln(a)·a^x。
4. 对数函数的导数: 若f(x)=log_a(x)（a>0，且a≠1），则f'(x)=1/(x·ln(a))。
5. 三角函数的导数: 若f(x)=sin(x)、f(x)=cos(x)、f(x)=tan(x)，则f'(x)=cos(x)、f'(x)=-sin(x)、f'(x)=1/cos^2(x)。
根据以上极限公式，我们可以得出导数的一些基本规律和运算法则，下面将详细说明。
二、导数的定义法则导数的定义法则可以帮助我们计算导数，并对函数的性质进行研究。
以下是导数的定义法则的运用方法：1. 常数倍法则：若y=c·f(x)（c为常数），则y' = c·f'(x)。
2. 和差法则：若y=f(x)±g(x)，则y' = f'(x)±g'(x)。
3. 积法则：若y=f(x)·g(x)，则y' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)。
4. 商法则：若y=f(x)/g(x)（g(x)≠0），则y' = (f'(x)·g(x) -f(x)·g'(x))/[g(x)]^2。
导数的定义与求导法则
导数的定义与求导法则导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点上的变化率。
在本文中，我们将介绍导数的定义以及常用的求导法则。
一、导数的定义在微积分中，函数$f(x)$在$x=a$处的导数可以通过以下极限定义来表示：$$f'(a)=\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$其中$h$表示函数$f(x)$中$x$的增量。
这个定义表示了函数在$x=a$处的瞬时变化率。
二、常用的求导法则为了更方便地求导数，我们可以使用一些常用的求导法则。
下面是其中的一些重要法则：1. 常数法则如果$c$是一个常数，而$f(x)$是一个可导函数，则$(cf(x))'=cf'(x)$。
这个法则表示了常数倍的函数导数等于函数导数的常数倍。
2. 和差法则如果$f(x)$和$g(x)$都是可导函数，则$(f(x) \pm g(x))'=f'(x) \pmg'(x)$。
这个法则表示了两个函数之和（差）的导数等于各自函数的导数之和（差）。
3. 乘法法则如果$f(x)$和$g(x)$都是可导函数，则$(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$。
这个法则表示了两个函数乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，再加上第一个函数乘以第二个函数的导数。
4. 商法则如果$f(x)$和$g(x)$都是可导函数，且$g(x) \neq 0$，则$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$。
这个法则表示了两个函数商的导数等于分子的导数乘以分母，减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方。
5. 链式法则如果$u(x)$和$v(x)$都是可导函数，则$(u(v(x)))'=u'(v(x))v'(x)$。
导数的定义与求导法则详解
导数的定义与求导法则详解导数是微积分中的重要概念之一。
在数学中，导数用来描述函数在某一点的变化率。
它不仅可以帮助我们了解函数的性质，还可以应用于各种实际问题的求解。
本文将详细介绍导数的定义以及常用的求导法则。
一、导数的定义导数的定义是基于极限的概念，即函数在某一点的导数等于该点的函数值与自变量趋于该点时函数值之差的比值的极限。
用数学符号表示如下：若函数f(x)在点x_0处导数存在，记为f'(x_0)或dy/dx|x=x_0，已知函数在该点处连续，则导数的定义为：f'(x_0) = lim┬(Δx→0)〖(f(x_0+Δx)-f(x_0))/Δx 〗导数可以理解为函数图像在某点处的切线斜率，当导数为正时，函数递增；当导数为负时，函数递减；当导数为零时，函数取得极值。
二、导数的求导法则求导法则是用来计算函数的导数的一组规则。
根据导数的定义，可以推导得到以下常用的求导法则：1. 基本常数法则：常数的导数为0，即d/dx(c)=0，其中c为常数。
2. 变量的幂法则：对于任意的实数n，导数d/dx(x^n)=nx^(n-1)，其中x为自变量。
3. 求和差法则：导数是线性运算，对于任意的可导函数f(x)和g(x)，有d/dx(f(x)±g(x))=d/dx(f(x))±d/dx(g(x))。
4. 乘法法则：对于可导函数f(x)和g(x)，有d/dx(f(x)⋅g(x))=f'(x)⋅g(x)+f(x)⋅g'(x)。
5. 商法则：对于可导函数f(x)和g(x)，有d/dx(f(x)/g(x))=(f'(x)⋅g(x)-f(x)⋅g'(x))/[g(x)]^2。
6. 复合函数法则：若y=f(g(x))，其中f(u)和g(x)都是可导函数，则d/dx(y)=d/dx(f(g(x)))=f'(g(x))⋅g'(x)。
7. 反函数法则：若y=f(x)的反函数为x=g(y)，则g'(y)=[1/f'(x)]，其中f'(x)≠0。
极限与导数知识点总结
极限与导数知识点总结极限与导数是微积分学中非常重要的内容，它们是我们理解函数性质和计算函数变化率的基础。
在这篇总结中，我将从定义、性质和常见计算方法等方面对极限与导数进行详细的介绍和解析。
一、极限的概念与性质1. 极限的定义极限是描述函数在某一点附近的行为的概念。
如果一个函数$f(x)$在$x=a$附近的取值随着$x$的逼近$a$而无限接近某一值$A$，那么我们就说当$x$趋近$a$时$f(x)$的极限为$A$，记作$\lim_{x\to a}f(x)=A$。
2. 极限的性质（1）唯一性：若$\lim_{x\to a}f(x)$存在，则其极限唯一。
（2）局部有界性：如果$\lim_{x\to a}f(x)=A$存在，则存在一个$\delta>0$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，$f(x)$有界。
（3）局部保号性：若$\lim_{x\to a}f(x)=A$存在且$A>0$，则存在一个$\delta>0$，当$0<|x-a|<\delta$时，$f(x)>0$；若$A<0$，则存在一个$\delta>0$，当$0<|x-a|<\delta$时，$f(x)<0$。
（4）局部保号性：若$\lim_{x\to a}f(x)=A>0$，则存在一个$\delta>0$，当$0<|x-a|<\delta$时，$f(x)>0$；若$\lim_{x\to a}f(x)=A<0$，则存在一个$\delta>0$，当$0<|x-a|<\delta$时，$f(x)<0$。
3. 极限存在的条件函数$f(x)$在$x=a$处的极限存在的条件有：（1）情况一：$\lim_{x\to a}f(x)$存在且有限。
（2）情况二：$\lim_{x\to a^+}f(x)$和$\lim_{x\to a^-}f(x)$均存在且相等。
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证 明 f(x )在 x 2 0 0 5 处 可 导 。
证 法 1f ( x ) （ x ) ( x 2 0 0 5 ) ( x )
f ( 2 0 0 5 ) （ 2 0 0 5 ) 0 ( 2 0 0 5 ) （ 2 0 0 5 )
证法2 f(2005)limf(x)f(2005)
（c） f (x)在点0处连续.
解
处可导, 试用导数
解 （a）
(2)用导数定义求导
f(0)xl im 0 f(x) xf(0)xl im 0xsxin1 x
xl im 0x1sin1 x 不 0,存 在 ， 1,1
f (0)x l im 0f(x) xf(0)lx i m 000
1 时 ， f(0)0;
（1）limf(x03h)f(x0) 解
h0
h
（2） lim f(x03h)f(x02h) 解
h 0
h
（3） ln i m nfx01nf(x0)
解
（4） limxf(x0)x0f(x) 解
xx0
xx0
解（1）原式
lim 3[f(x03h)f(x0)]3f
h 0
3h
(x0).
(2) 原式 分 l i 项 (f m (x 0 3 h ) f(x 0 ) ) [f(x 0 2 h ) f(x 0 )]
练习2 设函数
处可导, 试用导数
（2） f(x)2x2xx
(2)用导数定义求导
问下列结论成立?
（a） f ( x) 在点0处连续? 显然连续 （b） f ( x) 在点0处可导? 解
（c） f (0)?
解
解（b）
2x2xx f (x)
0,
x0, f (0)0 0x
f (0 )xl 0 i 0m f(x x ) 0 f(0 )lx i0fm (x x)
解（b） 注意到: limxsin10(0),
x0
x
01时f ( x) 在点0处连续, 但不可导.
解 （c）
处可导, 试用导数
当x 0时，
f(x)x1sin1
x
x2
cos1 x
1当xΒιβλιοθήκη 时，f (0) 0(2)用导数定义求导
f(x)1 x1sin1 xx2cos1 x,
0,
x0, x0,
类似于(a )可解得 当 2时f， (x)在 x0时连续
x 2005 x2005
lim f( x ) lim ( x 2 0 0 5 )( x ) lim ( x ) x 2 0 0 5 x 2 0 0 5x 2 0 0 4 x 2 0 0 5 x 2 0 0 5
(x)在 x 2 0 0 5 处 连 续 。 lim(x)(2005) x 2005 f(2 0 0 5 )lim (x )(2 0 0 5 ) x 2 0 0 5
h 0
h
li 3 m [f(x 0 3 h ) f(x 0 ) ]2 [f(x 0 2 h ) f(x 0 ) ]
h 0
3 h
2 h
3f(x0)2f(x0) 5f(x0)
f(a)lim f(x)f(a) x a xa
f(a)lim f(ax)f(a)
x 0
x
处可导, 试用导数
（3） ln i m nfx01nf(x0)
可微 可导 连续 极限存在.
本章的计算重点是求函数的导数.
1. 导数（含左导数、右导数）和微分的定义及其几何意义.
f(a)lim f(x)f(a) x a xa
f(a)lim f(ax)f(a)
x 0
x
练习1 设函数
(1) 导数定义与极限
f ( x) 在 x 0 处可导, 试用导数 f (x0 ) 表示下列极限：
一、基本要求
1. 理解导数（含左导数、右导数）和微分的定义及其几何意义. 2. 熟悉掌握函数的求导法则（四则运算求导法则、复合函数求 导法则）. 3. 掌握策分的运算法则及一阶微分形式不变性. 4. 牢记基本求导公式 5. 了解高阶导数的概念, 能熟练地求出初等函数的二阶导数及 某些函数的阶导数. 6. 掌握隐函数的求导法及由参数方程表示的函数的求导法. 7. 知道一元函数可微、可导、连续、极限存在之间的关系：
练习3 求下列 函数的导数:
(3) 导数的四则运算
(a) f(x)ln3 xs2inx1; 解 (b ) f(x)1 s c i2x n o x t1 c to 2a xxs nsixn co x;s解
(3) 导数的四则运算
解（a） (1 ) f(x ) 1 [lsn ix n ln x ( 1 ) ln x 1 ()] 3
lim 2x2x2 lim x0
x0 x
x0
f (0 )x l 0 i 0m f(x x ) 0 f(0 )lx i0fm ( x x)
lim 2x2x2 lim 3x0f(0)0
x 0 x
x 0
解（c）
f (x)3xx22,
x0, 0x
f(x) 6 2x x,
x0,且 f(0)0 0x,
f (0 ) x l 0 i 0m f(x x ) 0 f(0 ) x l 0 i 0m fx (x )
lim
x0
2x x
2
f (0 ) x l 0 i 0m f(x x ) 0 f(0 ) x l 0 i 0m fx (x )
lim
x0
6x x
6
f (0)不存在
处可导, 试用导数
练习2 设函数
(2)用导数定义求导
（3） 设 f(x)(x 2 0 0 5 )(x)， 且 (x )在 x 2 0 0 5 处 连 续 。
f(x)1[cox s 11] 3sixnx1 x1
解（b）
(3) 导数的四则运算
f(x )s3 ix nc3 o xs six c nx o ; s six n cx os six n cx os
lim
f
x0
1 n
f (x0)
n
1
f (x0)
n
f(a)lim f(x)f(a) x a xa
f(a)lim f(ax)f(a)
x 0
x
处可导, 试用导数
解（4）原式 x l ix0m x(fx0x ) x x0 0f(x0)x0f(xx ) x f0 (x0)
f(x0)x0f(x0)
f(a)lim f(x)f(a) x a xa
f(a)lim f(ax)f(a)
x 0
x
处可导, 试用导数
练习2 （1）
设函数
f (x)
x
sin
1 x
,
(2)用导数定义求导
x 0,
0,
x 0,
问常数 在什么条件下, 下列结论成立：
（a） f ( x) 在点0处可导；
解
（b） f ( x) 在点0处连续, 但不可导. 解