教学设计：椭圆中的取值范围问题
高中数学选修1-1教学设计-椭圆的简单几何性质
§2.1.2椭圆的简单几何性质3
【学情分析】：
学生已经掌握了椭圆的概念、标准方程的概念，也能够运用标准方程中的a,b,c的关系解决题目，但还不够熟练。
另外对于求轨迹方程、解决直线与椭圆关系的题目，还不能很好地分析、解决。
【三维目标】：
1、知识与技能：
①进一步强化学生对于椭圆标准方程中a,b,c关系理解，并能运用到解题当中去。
②强化求轨迹方程的方法、步骤。
③解决直线与椭圆的题目，强化数形结合的运用。
2、过程与方法：
通过习题、例题的练讲结合，达到学生熟练解决椭圆有关问题的能力。
3、情感态度与价值观：
通过一部分有难度的题目，培养学生克服困难的毅力。
【教学重点】：
知识与技能②③
【教学难点】：
知识与技能②③
【课前准备】：
学案
【教学过程设计】：。
椭圆的简单几何性质优秀教学设计
椭圆的简单几何性质第三课时（一）教学目标1．能利用椭圆中的基本量、、、熟练地求椭圆的标准方程．a b c e 2．掌握椭圆的参数方程，会用参数方程解一些简单的问题．（二）教学过程【复习引入】由一位学生回答，教师板书列表或用投影仪给出．问题1．椭圆有哪些几何性质？问题2．确定椭圆的标准方程需要几个条件？通过对椭圆标准方程的讨论，研究了椭圆的几何性质，必须掌握标准方程中、和a b 、的几何意义以及、、、之间的相互关系，这样就可以由椭圆的几何性质确定c e a b c e 它的标准方程．【例题分析】例1 求中心在原点，过点，一条准线方程为的椭圆方程．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛231，P 043=-x 分析：根据准线方程可知椭圆的焦点在轴上，由于思路不同有两种不同的解法，可x 让学生练习后，教师再归纳小结，解法如下：解法一：设椭圆方程为．()0222222>>=+b a b a y a x b ∵点在椭圆上⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛231，P ∴ 即 ①222243b a a b =+()143222-=a a b 又∵一条准线方程是043=-x ∴ ②342=c a 243a c =将①、②代入，得222c b a += 整理得()4222163143a a a a +-=02819324=+-a a 解得或．42=a 372=a 分别代入①得或．12=b 16212=b故所求椭圆方程为或．1422=+y x 121167322=+y x 解法二：设椭圆的右焦点为，点到椭圆右准线的距离为，由椭圆的第二定()0，c F Pd 义得，即a c d PF=． ①()a c c =-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-13423122又由准线方程为342==c a x ． ②c a c 4322=将②代入①，整理得021319122=+-c c 解得或．3=c 347=c 代入②及得222c b a += 或 ⎪⎩⎪⎨⎧==1422b a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==16213722b a 故所求椭圆的方程为 或 ．1422=+y x 121167322=+y x 例2 如图，以原点心圆心，分别以、a b为半径作两个圆，点是大圆半径与()0>>b a B OA 小圆的交点，过点作，垂足为，过点A Ox AN ⊥N 作，垂足为，求当半径绕点B AN BM ⊥M OA O旋转时点的轨迹的参数方程．M 解：设点的坐标为，是以为始M ()y x ，ϕOx 边，为终边的正角．OA取为参数，那么ϕ⎪⎩⎪⎨⎧====ϕϕsin cos OB NM y OA ON x 即⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x 这就是所求点的轨迹的参数方程．M 消去参数后得到，由此可知，点的轨迹是椭圆．ϕ12222=+by a x M 点评：这道题还给出了椭圆的一种画法，按照这种方法，在已知椭圆的长、短轴长的情况下，给出离心角的一个值，就可以画出椭圆上的一个对应点，利用几何画板画椭圆ϕ都用此法．例3 已知椭圆，（，，为参数）上的点，求：⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x 0>a 0>b ϕ()y x P ，（1）、的取值范围；x y （2）的取值范围．y x 43+解：（1）∵，，1cos 1≤≤-ϕ1sin 1≤≤-ϕ∴，．a a a ≤≤-ϕcosb b b ≤≤-ϕsin ∴，为所求范围．a x a ≤≤-b x b ≤≤-（2）∴ϕϕsin 4cos 343b a y x +=+ ．()θϕ++sin 16922b x （其中为第一象限角，且）．θb a 43tan =θ而．()1sin 1≤+≤-θϕ∴，()[]222222169169sin 169b a b a b a ++-∈++，θϕ即这所求．222216943169b a y x b a +≤+≤+-例4 把参数方程（为参数）．写成普通方程，并求出离心率．⎩⎨⎧==ϕϕsin 4cos 3y x ϕ解：由参数方程得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.sin 4cos 3ϕϕy x 平方相加得为所求普通方程．116922=+y x ∵，，4=a 3=b ∴．791622=-=+=b a c ∴椭圆的离心率．47=e （三）随堂练习1．焦点在轴上的椭圆上一点到两准线间的距离之和为36，到两焦点的距离分别x P 为9和15的椭圆的标准方程为______________．2．参数方程（为参数）表示的曲线的焦点坐标是______________．⎩⎨⎧==θθsin 3cos 4y x θ3．椭圆（为参数）的离心率为_________________．⎩⎨⎧==θθcos 3cos 2y x θ答案：1． 2．， 3．18014422=+y x ()07，-()07，35（四）总结提炼若已知条件涉及到焦点，准线方程式时，往往利用定义求解较简便．2．椭圆的参数方程（为参数）中，表明、分别是椭⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x ϕ0>>b a a 2b 2圆的长轴、短轴长，且焦点在轴上，参数的几何意义是椭圆的离心角，利用椭圆的参x ϕ数方程求的最值较方便．()y x f ，（五）布置作业1．已知椭圆中心在原点，一个焦点是，点在椭圆上，则点到与()031，F ⎪⎭⎫ ⎝⎛5124，P P 相应准线的距离为（ ）1FA ．B ．C ．D ．5133373253232．椭圆的左焦点为，，是两个顶点，如12222=+by a x ()0>>b a F ()0，a A -()b B ，0果到直线的距离等于，那么椭圆的离心率等于（ ）F AB 77b A ． B ． C ． D ．777-777+32364．椭圆（为参数）的两准线间距离为_______________．⎩⎨⎧==θθsin 4sin 5y x θ5．已知椭圆的一条准线方程是，且过点，求椭圆的标准方程．325-=x ⎪⎭⎫ ⎝⎛5124，6．求椭圆的内接矩形面积的最大值．12222=+by a x ()0>>b a 答案：1．A 2．C 3．D 4． 5．3501162522=+y x 7．设是椭圆上的任一点，则（为参数）()y x P ，⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x θ内接矩形面积θθθθcos sin 4sin 2cos 2ab b a S =⋅=∴ ．θθ>=2sin 2ab ab S 2≤ab S 2max =（六）板书设计椭圆的简单几何性质（三）一、复习引入二、例题分析例1例2例3例4练习总结。
椭圆的几何性质教案
椭圆的几何性质教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解椭圆的定义及标准方程；（2）掌握椭圆的几何性质，如焦点、半长轴、半短轴等；（3）能够运用椭圆的性质解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察实物，培养学生的直观思维能力；（2）利用数形结合思想，引导学生发现椭圆的性质；（3）运用合作交流的学习方式，提高学生解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对椭圆几何性质的兴趣，培养学生的探究精神，提高学生对数学的热爱。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）椭圆的定义及标准方程；（2）椭圆的几何性质；（3）运用椭圆性质解决实际问题。
2. 教学难点：（1）椭圆几何性质的推导；（2）运用椭圆性质解决复杂问题。
三、教学过程1. 导入新课：通过展示生活中的椭圆实例，如地球、鸡蛋等，引导学生关注椭圆形状的物体，激发学生对椭圆的兴趣。
2. 知识讲解：（1）介绍椭圆的定义及标准方程；（2）讲解椭圆的几何性质，如焦点、半长轴、半短轴等；（3）引导学生发现椭圆性质之间的关系。
3. 实例分析：通过具体例子，让学生了解如何运用椭圆的性质解决问题，如计算椭圆的长轴、短轴等。
4. 课堂练习：布置一些有关椭圆性质的练习题，让学生巩固所学知识。
四、课后作业1. 复习椭圆的定义及标准方程；2. 熟练掌握椭圆的几何性质；3. 尝试运用椭圆性质解决实际问题。
五、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对椭圆几何性质的理解和运用能力。
关注学生在学习过程中的困惑，及时解答疑问，提高教学质量。
六、教学活动设计1. 小组讨论：让学生分组讨论，探究椭圆性质之间的内在联系，培养学生合作交流的能力。
2. 课堂展示：每组选代表进行成果展示，分享探讨过程中的发现和感悟，提高学生的表达能力和逻辑思维。
3. 教师点评：对学生的讨论成果进行点评，总结椭圆性质的关键点，引导学生深入理解。
七、教学评价1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对椭圆性质的理解程度，及时发现并解决问题。
《椭圆的简单几何性质》教学设计
椭圆的简单几何性质（1）教学设计杨华燕大附中2.2.2椭圆的简单几何性质（1）教学设计一、教学任务及对象1、教学内容分析《椭圆的简单几何性质》是选修2-1第二章第二节的内容，本节内容是在学生已经学过曲线与方程和椭圆的概念及其标准方程基础上引入的，是利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，它是由方程研究曲线的性质的一个应用，也是为后面学习利用双曲线、抛物线的标准方程研究其几何性质做铺垫，因此本节课起到承前启后的作用。
2、教学对象分析本节课授课的对象是高二年级的学生，他们已掌握了椭圆的标准方程，虽然具备一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维也初步形成，但缺乏冷静、深刻，思维具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。
二、教学目标依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特征，确定本节课的教学目标如下：1、知识与技能：使学生掌握椭圆的几何性质，初步学会运用椭圆的几何性质解决问题，进一步体会数形结合的思想。
2、过程与方法：通过数和形两条线研究椭圆的几何性质，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数形结合的思想方法；对椭圆的几何性质的归纳、总结时培养学生抽象概括能力；进一步强化数形结合思想。
3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断创新的学习习惯和品质。
三、重、难点分析重点：椭圆的简单几何性质难点：培养数形结合思想四、教学策略为了突出重点、突破难点，在教学中采取了以下策略：1．教法分析为了充分调动学生学习的积极性，采用“生本课堂”模式，培养学生的创新精神，使学生在解决问题的同时，形成了方法.另外恰当的利用多媒体课件进行辅助教学，借助信息技术创设情境激发学生的学习兴趣.2．学法分析本节课通过探究椭圆的几何性质，让学生体会数形结合思想，加深对解析几何的理解；让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力．五、教学过程本节课中应把更多的时间、机会留给学生，让学生充分的交流、探究，积极引导学生动手操作、动脑思考。
椭圆中有关的取值范围问题大全(附详解)新高考
椭圆中有关的取值范围问题【目标导航】求解最值，可直接求导. 但是解析几何中的最值，直接求导，暴力求解最值的较少，更多的是化简函数表达式，根据结构采用基本不等式(无法取等的时候就求导来解决)来求解最终的最值(或者值域)，必然要有定义域，所以寻找函数的定义域是非常重要的，而解析几何中直线和曲线联立(曲直联立)以后的关于x(或者y)的一元二次方程有解，判别式就是很重要的一个点，也就是定义域的一个重要来源，有些题目甚至是唯一来源．与线段有关的最值问题关键是建立关于线段的目标函数，然后运用基本不等式或者函数有关的问题，运用基本不等式或者函数求解。
线段的长度可以通过两点间的距离或者利用相交弦长公式进行求解。
与向量有关的最值问题关键就是表示出点坐标，通过数量积转化为函数问题，然后运用基本不等式或者求导研究最值。
与面积有关的最值问题通常建立起面积的目标函数，可以通过公式B acC ab sh s sin 21sin 2121===求解。
然后通过基本不等式或者求导研究函数的最值问题。
【例题导读】例1、在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，且过点⎝⎛⎭⎫3，12，点P 在第四象限， A 为左顶点， B 为上顶点， PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D.(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 求 △PCD 面积的最大值．例2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线的距离为6 2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 设A 为椭圆C 的左顶点，P 为椭圆C 上位于x 轴上方的点，直线P A 交y 轴于点M ，过点F 作MF 的垂线，交y 轴于点N .①当直线P A 的斜率为12时，求△FMN 的外接圆的方程； ②设直线AN 交椭圆C 于另一点Q ，求△APQ 的面积的最大值．例3、如图所示，椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，右准线方程为x ＝4，过点P(0，4)作关于y 轴对称的两条直线l 1，l 2，且l 1与椭圆交于不同两点A ，B ，l 2与椭圆交于不同两点D ，C.(1) 求椭圆M 的方程；(2) 证明：直线AC 与直线BD 交于点Q(0，1)；(3) 求线段AC 长的取值范围．例4、在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，且过点⎝⎛⎭⎫3，12，点P 在第四象限， A 为左顶点， B 为上顶点， PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D.(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 求 △PCD 面积的最大值．。
《椭圆的几何性质》教学设计
《椭圆的几何性质》教学设计黄小洁【教材分析】教材的地位和作用地位：本节课是在椭圆的概念的基础上，介绍椭圆简单几何性质及简单应用 . 本节课内容的掌握程度直接影响学习双曲线和抛物线几何性质。
作用：提高学生的数学素质,培养学生的数形结合思想，及分析问题和解决问题的能力。
因此，内容在解析几何中占有非常重要的地位。
【教学目标】1.知识目标：(1).使学生掌握椭圆的性质，能根据性质正确地做出椭圆草图；掌握椭圆中a、b、c的几何意义及相互关系；(2) 通过对椭圆标准方程的讨论，使学生知道在解析几何中是怎样用代数方法研究曲线性质的，逐步领会解析法（坐标法）的思想。
(3) 能利用椭圆的性质解决实际问题。
2.能力目标：培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力。
3.情感目标：通过对问题的探究活动，亲历知识的建构过程，使学生领悟其中所蕴涵的数学思想和数学方法，体验探索中的成功和快乐，使学生在探索中喜欢数学、欣赏数学。
【教学重点】椭圆性质的探索过程及性质的运用。
【教学难点】利用曲线方程研究椭圆性质的方法及离心率的概念。
【教学方法】发现探究式【教学组织方式】学生独立思考、合作交流、师生共同探究相结合。
【教学工具】多媒体课件、实物投影仪。
【教学过程】一、创设情境教师：2008.9.25，是我国航天史上一个非常重要的日子，“神舟七号”载人飞船成功发射，实现了几代中国人遨游太空的梦想,这是我们中华民族的骄傲。
我们知道，飞船绕地运行了十四圈，在变轨前的四圈中，是沿着以地球中 心为一个焦点的椭圆轨道运行的。
如果告诉你飞船飞离地球表面最近和最远的距 离，即近地点距地面的距离和远地点距地面的距离，如何确定飞船运行的轨道方 程？要想解决这一实际问题，就有必要对椭圆做深入的研究，这节课我们就一起 探求椭圆的性质。
（引出课题）教师：前面我们学习了椭圆的定义和标准方程，谁能说说椭圆的标准方程（学生回答）。
《椭圆的简单几何性质》教学设计
《椭圆的简单几何性质》教学设计椭圆的简单几何性质《椭圆的简单几何性质》教学一. 教材分析1. 教材的地位和作用本节课是普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1第二章2.1.2第1课时：椭圆的简单几何性质。
在此之前，学生已经掌握了椭圆的定义及其标准方程，这只是单纯地通过曲线建立方程的探究。
而这节课是结合椭圆图形发现几何性质,再利用椭圆的方程探讨椭圆的几何性质,是数与形的完美结合，让学生在了解如何用曲线的方程研究曲线的性质的基础上，充分认识到“由数到形，由形到数”的转化，体会了数与形的辨证统一，也从中体验了学数学的乐趣，受到了数学文化熏陶，为后继研究解析几何中其它曲线的几何性质奠定了重要基础。
2. 教材的内容安排和处理本课为“椭圆的简单几何性质”这部分内容的第一课时，主要介绍椭圆的简单几何性质及其初步运用，在解析几何中，利用曲线的方程讨论曲线的几何性质对学生来说是第一次，因此可根据学生实际情况及认知特点，改变了教材中原有研究顺序，引导学生先从观察课前预习所作的具体图形入手，按照通过图形先发现性质，在利用方程去说明性质的研究思路，循序渐近进行探究。
在教学中不仅要注重对椭圆几何性质的理解和运用，而且更应重视对学生进行这种研究方法的思想渗透，通过教师合理的情境创设，师生的共同讨论研究，学生的亲身实践体验，使学生真正意义上理解在解析几何中，怎样用代数方法研究曲线的性质，巩固数形结合思想的应用，达到切实地用数学分析解决问题的能力。
3. 重点、难点：教学重点：掌握椭圆的简单几何性质,并能初步运用其探索方法研究问题,体会数形结合思想方法在数学中的应用教学难点；利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率定义的给出过程。
二. 学生的学情心理分析我的任教班是普班,大多数学生的数学基础较为薄弱, 独立分析问题，解决问题的能力不是很强,但是他们的思维活跃，参与意识强烈,又具备了高一学习阶段的知识基础，因此依据以上特点,在教学设计方面，我打算借助多媒体手段，创设问题情境，结合图形启发引导，组织学生合作探究等形式，都符合我班学生的认知特点，为他们创设了一个自然和谐的课堂氛围。
【新教材教案】3.1.2 椭圆的简单几何性质(1) 教学设计-人教A版高中数学选择性必修第一册
3.1.2椭圆的简单几何性质（1）本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习椭圆的简单几何性质教材的地位和作用地位：本节课是在椭圆的概念和标准方程的基础上，运用代数的方法，研究椭圆的简单几何性质及简单应用 . 本节课内容的掌握程度直接影响学习双曲线和抛物线几何性质。
作用：提高学生的数学素质,培养学生的数形结合思想，及分析问题和解决问题的能力。
因此，内容在解析几何中占有非常重要的地位。
重点：由几何条件求出椭圆的方程 难点：由椭圆的方程研究椭圆的几何性质多媒体思考1. 离心率对椭圆扁圆程度的影响提示:如图所示,在Rt△BF2O中∠BF2O越小,椭圆越扁;e越小答案:√3-1变式 1 若例2改为如下F1F2为底边作等腰直角三角形4.已知椭圆x23+y22=1左、右焦点分别为F1,F2,上、下顶点分别为B1,B2,则四边形B1F1B2F2的面积为.解析:根据题意,设四边形B1F1B2F2的面积为S,椭圆的标准方程为x 23+y22=1,其中a=√3,b=√2,则c=√3-2=1,则F1(-1,0),F2(1,0),B1(0,√2),B2(0,-√2),即|OF1|=|OF2|=1,|OB1|=|OB2|=√2,则S=4×S△B1OF1=4×12×|OB1|×|OF1|=2√2.答案:2√25.万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕,继2008年北京奥运会之后,国家体育场(又名鸟巢)将再次承办奥运会开幕式.在手工课上,王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型,其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40 cm,短轴长为20 cm,小椭圆的短轴长为10 cm,则小椭圆的长轴长为cm.解析:因为两个椭圆的扁平程度相同,所以椭圆的离心率相同,c 大a 大=c小a小,即√a大2-b大2a大2=√a小2-b小2a小2.所以2a大2b大=2a小2b小,所以4020=2a小10,所以小椭圆的长轴长为20 cm.五、课时练运用代数方法，让学生体会方程与函数的思想在研究椭圆几何性质中的作用，让学生的思路更加清晰，对学习内容的把握更加容易，同时注意及时让学生进行思维拓展，形成知识网，提升教学效果。
椭圆的简单的几何性质教学设计.
椭圆的简单的几何性质教学设计北师大大兴附中数学组韩颖1、指导思想与理论依据:以“培养学生的创新精神和实践能力” , “倡导自主探索,动手实践,合作交流,教育教学理念” ,采用“以学生为主体,以问题为中心,以活动为基础,以培养学生提出问题分析问题和解决问题能力”的合自主探究、体验式教学模式,通过创设符合学生认知规律的问题情景,挖掘学生内在的研究问题的巨大潜能,使学生在做的过程中学习,在学的过程中思考,亲身体会创造过程,充分展示思维差异,培养学生的自主探究能力, 逻辑推理能力,提高学生的思维层次,掌握获取知识的方法和途径,真正体现学生学习知识过程中的主体地位。
让教师落实:授人于鱼不如授人于渔。
让学生做到:临渊羡鱼不如退而结网。
2、教学背景分析:学习内容分析:利用已知条件求曲线的方程,利用方程研究曲线的性质和画图是解析几何的两大任务, 利用方程研究椭圆的几何性质可以说是第一次,传统的教学过程往往是利用多媒体课件展示椭圆曲线,让学生观察、猜想椭圆的几何性质,然后再利用椭圆的标准方程进行证明,体现从感性到理性符合学生的认知规律等,也可以说是用方程研究椭圆曲线性质的一种思路,但未能很好的体现“利用方程研究曲线性质”的本质。
因此,本人在教学一开始的问题设置就体现了利用方程研究曲线的意识, 在三个性质的研究中一直是用方程的结构特征来得到性质, 真正培养学生如何利用方程研究曲线性质的能力。
同时,根据椭圆的简单几何性质的课时安排,本节课不研究椭圆的离心率,保证了学生的研究时间;与直线方程和圆方程的类比能够使得学生掌握椭圆标准方程的特点,学生在自主探究过程中能够联想得到三角换元,说明该种教学方法还是符合学生的认知规律的,同时体现了教材的本质。
学生情况分析:本课的学习对象为高二年文科班的学生,他们经过近一年多的高中学习,已经有一定的学习基础和分析问题、解决问题的能力。
作为高二年文科班的学生普遍存在着数学科基础知识较为薄弱,对数学学习有一定的困难。
《椭圆的认识》优秀教案教学设计
《椭圆的认识》优秀教案教学设计椭圆的认识：优秀教案教学设计引言本教学设计旨在帮助学生深入理解和掌握椭圆的概念及其相关性质，培养学生的观察、思考和解决问题的能力。
通过寓教于乐的方式，使学生能够在实际生活中应用椭圆的知识。
教学目标- 理解椭圆的定义和形成过程- 掌握椭圆的性质和相关定理- 能够在实际问题中应用椭圆的知识教学内容1. 椭圆的定义和性质介绍- 通过画图和示例，引导学生理解椭圆的概念和特点。
- 解释椭圆的定义：平面上到两个固定点（焦点）距离之和等于常数的点的轨迹。
2. 椭圆的基本性质- 椭圆的离心率- 椭圆的长半轴和短半轴- 椭圆的几何证明3. 椭圆相关定理的引入和应用- 椭圆的焦点性质：角度和距离的关系- 椭圆的重点性质：短半轴长度和离心率的关系- 椭圆的切线性质：法线和斜率的关系4. 椭圆的实际应用- 运用椭圆的性质解决实际问题，如椭圆轨迹的运动问题、椭圆的工程应用等。
教学步骤1. 导入：通过引发学生对椭圆的兴趣，提出一个与椭圆相关的实际问题。
2. 概念讲解：介绍椭圆的定义和基本性质，结合图形和实例进行讲解。
3. 练：让学生通过练题巩固和运用所学知识。
4. 定律引入：引入椭圆相关的定理，通过实例演示和推理引导学生理解和应用。
5. 练与拓展：给学生提供更加复杂的练题目和拓展问题，激发学生思考和解决问题的能力。
6. 实际应用：引导学生从实际问题中提取椭圆的相关信息，运用所学知识解决实际问题。
7. 结束：复椭圆的基本概念和定理，总结课堂所学。
教学评价1. 学生参与度：观察学生在课堂中的积极参与和回答问题的能力。
2. 学生理解和掌握程度：通过练和实际应用的成果来评价学生对椭圆的理解和掌握程度。
3. 解决问题的能力：评估学生在实际问题中运用椭圆知识解决问题的能力。
教学资源- 课件：包括椭圆的定义、性质和相关定理的示意图和例题。
- 练题集：提供给学生巩固和应用所学知识的练题。
- 实际问题案例：准备一些实际问题供学生思考和解决。
求解椭圆范围问题+专题课件
y0
kx0
m
m 4k 2
1
．∴
kAP
y0 1 m 1 4k2
x0
4km
，
又 AM AN ，∴ AP MN ，则 m 1 4k 2 1 ，即3m 4k2 1，②
4km
k
把②代入①得 m2＜3m ，解得 0＜m＜3 ，由②得 k 2 3m 1 0 ，解得 m 1 ．
4
3
综上可知
m
2k2 1 m2 ，化简，得 2m2k4 7m2k2 3m2 2k4 3k2 1 ，
2k2 1
整理得
m2
k2 k2
1 3
，而 g k
k2 k2
1 3
1
2 k2 3
1
2 3
1 3
（当且仅当 k
0 时等号成立）
所以 m2 1 ，由 m 0 ，得 0 m 3 ，综上， m 的取值范围是 0 m 3 .
1 PF2
8 mn
1 2
.
2 3
.
故选：A.
【例 4】已知椭圆 C：x2 y2 1 ，设经过其右焦点 F 的直线交椭圆 C 于 M ，N 两点，线段 MN
43
的垂直平分线交 y 轴于点 P0, y0 ，求 y0 的取值范围.
【例 4】解：当 MN x 轴时，显然 y0 0 .
当 MN 与 x 轴不垂直时，可设直线 MN 的方程为 y k(x 1)(k 0) .
0
，或 0
y0
3 12
.
综上：
y0
的取值范围是
3 12
,
3 12
.
【训练
2】如图，椭圆
x2 a2
y2 b2
1（a>b>0）的左焦点为
《2.1.2椭圆的简单性质 》教学设计
1．2椭圆的简单性质●三维目标1．知识与技能：掌握椭圆的简单几何性质，并能利用它们解决简单的问题．2．过程与方法：进一步体会数形结合的思想，掌握利用方程研究曲线性质的基本方法．3．情感、态度与价值观：感受解析法研究问题的思想，感知椭圆曲线的对称美，培养学生的学习兴趣．●重点难点重点：椭圆的简单性质．难点：性质的应用．教学时要抓知识选择的切入点，从学生原有的认识水平和所需知识特点入手，引导学生从椭圆标准方程、定义，不断地观察分析总结椭圆的简单性质．通过例题与练习进一步深化其性质的应用．●教学建议本节内容安排在椭圆及其标准方程之后，是对椭圆的进一步认识和完善，教学时先引导学生分析得出如下结论：变量x，y的取值范围曲线的范围；方程的对称性曲线的对称性；x＝0或y＝0时方程的解曲线的顶点；待证数a，b，c曲线的几何形状．引导学生观察、分析、归纳认识椭圆的简单性质．●教学流程创设问题情境，提出问题通过回答问题，认识、理解椭圆的简单性质通过例1及互动探究，使学生掌握由椭圆标准方程求其简单性质通过例2及变式训练，使学生掌握椭圆性质的简单应用完成例3及变式训练，使学生掌握椭圆离心率的求法归纳整理，进行课堂小结，从整体认识所学知识完成当堂双基达标，巩固所学知识中国第一颗探月卫星——“嫦娥一号”发射后，首先进入一个椭圆形地球同步轨道，在第16小时时它的轨迹是：近地点200 km ，远地点5 100 km 的椭圆，地球半径约为6 371 km.此时椭圆的长轴长是多少？此时椭圆的离心率为多少？ 【提示】 ⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝6 371＋200，a ＋c ＝6 371＋5 100，∴2a ＝18 042 km ，a ＝9 021，c ＝2 450，∴e ＝ca ＝0.271 6. 1.当椭圆的离心率越接近于1，则椭圆越扁；当椭圆的离心率越接近于0，则椭圆越接近于圆．求椭圆x16＋y9＝1的长轴长、短轴长和离心率、焦点和顶点的坐标，并画出椭圆的草图．【思路探究】由方程求a，b――→根据c2＝a2－b2求c―→求2a ，2b ，e 的值及焦点、顶点坐标――→根据顶点对称性画草图【自主解答】 由方程x 216＋y 29＝1，知a 2＝16，b 2＝9， ∴a ＝4，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝16－9＝7.∴长轴长2a ＝8，短轴长2b ＝6，离心率e ＝c a ＝74，焦点F 1(－7，0)，F 2(7，0)，顶点A 1(－4，0)，A 2(4，0)，B 1(0，－3)，B 2(0，3)，画出四个顶点，结合对称性，可画出椭圆的草图，如图所示．1. 本题中长轴长(2a )和长半轴长(a )，短轴长(2b )和短半轴长(b )易混淆．2. 已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，焦点位置不确定的要分类讨论．本例中，若椭圆方程改为x 216＋k ＋y 29＋k ＝1，则椭圆的焦点坐标是否发生变化？【解】 ∵16＋k >9＋k ，∴椭圆的焦点仍在x 轴上并且a 2＝16＋k ，b 2＝9＋k ， ∴c 2＝(16＋k )－(9＋k )＝7，∴焦点坐标仍为(－7，0)，(7，0)． 即椭圆的焦点坐标不变．根据下列条件求椭圆的标准方程．(1)椭圆过(3，0)，离心率e＝6 3；(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6且cos ∠OF A＝2 3.【思路探究】只需确定求椭圆标准方程所需的条件，结合椭圆的几何性质进行求解．当椭圆焦点所在轴不确定时，应分情况讨论．【自主解答】(1)当椭圆的焦点在x轴上时，∵a＝3，ca＝63，∴c＝6，从而b2＝a2－c2＝9－6＝3，∴椭圆的方程为x29＋y23＝1.当椭圆的焦点在y轴上时，∵b＝3，ca＝63，∴a2－b2a＝63，∴a2＝27.∴椭圆的方程为x29＋y227＝1.∴所求椭圆的方程为x29＋y227＝1或x29＋y23＝1.(2)∵椭圆的长轴长是6，cos∠OF A＝2 3，∴点A不是长轴的端点(是短轴的端点)．∴|OF|＝c，|AF|＝a＝3，∴c3＝2 3.∴c＝2，b2＝32－22＝5.∴椭圆的方程是x29＋y25＝1或x25＋y29＝1.1. 本题中没有说明焦点在x轴或y轴上，此时两种情况都要考虑，不能遗漏．2. 求椭圆的标准方程，需要解决定位问题和定量问题．由顶点、焦点坐标可确定焦点在哪个坐标轴上，定量问题可由长轴长、离心率、顶点、焦距等来确定．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A(2，0)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3.【解】(1)若椭圆的焦点在x轴上，设方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．∵椭圆过点A(2，0)，∴4a2＝1，a＝2.∵2a＝2·2b，∴b＝1.∴椭圆的方程为x24＋y2＝1.若椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)，∵椭圆过点A(2，0)，∴02a2＋4b2＝1.∴b＝2，2a＝2·2b.∴a＝4.∴椭圆的方程为y216＋x24＝1.综上所述，椭圆方程为x24＋y2＝1或y216＋x24＝1.(2)由已知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ，a －c ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝9，∴所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.(2012·新课标全国卷)设F 1、F 2是椭圆E ：x a 2＋y b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.45【思路探究】 结合图形得到△F 2PF 1中相关线段的长度，求出a ，c 间的关系即可．【自主解答】如图所示，设直线x ＝3a2交直线F 1F 2于点D ，因为△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则有|F 2F 1|＝|F 2P |，因为∠PF 1F 2＝30°，所以∠PF 2D ＝60°，∠DPF 2＝30°，所以|F 2D |＝12|PF 2|＝12|F 1F 2|，即3a 2－c ＝12×2c ＝c ，所以3a 2＝2c ，即c a ＝34，所以椭圆的离心率为e ＝34. 【答案】 C离心率是椭圆的一个重要性质，相关的题型较多，求e 常用方法： (1)定义法：寻求a ，c 的关系式，求出a ，c 的值，或整体得到c a ，2c2a ，有时会用e2＝c2a2＝a2－b2a2＝1－b2a2求e；(2)方程法：依据a，c，b，e的关系，构造关于e(或e2)的方程，解方程即可，注意离心率的取值范围为0<e<1.已知椭圆的两个焦点为F1，F2，A为椭圆上一点，且AF1⊥AF2，∠AF2F1＝60°，求该椭圆的离心率．【解】不妨设椭圆的焦点在x轴上，画出草图如图所示．由AF1⊥AF2知△AF1F2为直角三角形，且∠AF2F1＝60°.由椭圆的定义知|AF1|＋|AF2|＝2a，|F1F2|＝2c.则在Rt△AF1F2中，由∠AF2F1＝60°得|AF2|＝c，|AF1|＝3c，所以|AF1|＋|AF2|＝2a＝(3＋1)c，所以离心率e＝ca＝3－1.相关点法求轨迹方程(12分)已知点M在椭圆x236＋y29＝1上，MP′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P′，并且M为线段PP′的中点，求点P的轨迹方程．【思路点拨】找出点P的坐标与点M的坐标之间的关系代入椭圆方程即可．【规范解答】设点P的坐标为(x，y)，M点的坐标为(x0，y0)，由题意可知P′点坐标为(x，0)．因为点M在椭圆x236＋y29＝1上，所以x2036＋y209＝1.4分又因为M 是线段PP ′的中点，所以⎩⎨⎧x 0＝x ，y 0＝y 2，7分将⎩⎨⎧x 0＝x ，y 0＝y 2代入x 2036＋y 209＝1，得x 2＋y 2＝36.11分 所以点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝36.12分．在某些较复杂的求轨迹方程的问题中，可以先确定一个较易求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求轨迹上的点为相关点求得轨迹方程．1. 已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，要先化成标准形式，再确定焦点位置，求a ，b .2. 求离心率e 时，注意方程思想的运用．1. 椭圆的短轴长是2，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的焦距是() A．23B．43 C.3D．2 5【解析】由题意知a＝2，b＝1，∴c＝22－1＝3，∴2c＝2 3.【答案】 A2. 椭圆x216＋y28＝1的离心率为()A.13 B.12 C.33 D.22【解析】在x216＋y28＝1中，a2＝16，b2＝8，c2＝a2－b2＝16－8＝8，∵c＝22，∴e＝ca＝224＝22，故选D.【答案】 D3. (2012·南宁高二检测)已知椭圆的焦距为8，离心率为23，则该椭圆的标准方程为________．【解析】∵2c＝8且e＝ca＝23，∴c＝4，a＝6，b2＝a2－c2＝20.∴椭圆的标准方程为x236＋y220＝1或y236＋x220＝1.【答案】x236＋y220＝1或y236＋x220＝1.4. 求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．【解】把已知方程化为标准方程x252＋y242＝1，这里a＝5，b＝4，所以c＝3.因此长轴长2a＝10，短轴长2b＝8，离心率e＝ca＝35，焦点F1(－3，0)和F2(3，0)，椭圆的四个顶点是A1(－5，0)，A2(5，0)，B1(0，－4)，B2(0，4)．一、选择题1. 椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为()A.14 B.12C．2D．4【解析】y21m＋x2＝1，∵2a＝4b，∴1m＝4，∴m＝14.【答案】 A2. 椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为()A.x2100＋y284＝1B.x225＋y29＝1C.x2100＋y284＝1或x284＋y2100＝1D.x225＋y29＝1或y225＋x29＝1【解析】由题意知a＝5，c＝4，∴b2＝a2－c2＝9.当焦点在x轴上时，椭圆方程为x225＋y29＝1；当焦点在y轴上时，椭圆方程为y225＋x29＝1.【答案】 D3. (2012·哈尔滨高二检测)若椭圆x29＋y2m＋9＝1的离心率为12，则m的值等于( )A.－94B.14C.－94或3D.14或3 【解析】 当m >0时，m m ＋9＝14，∴m ＝3；当m <0时，－m 9＝14，∴m ＝－94. 【答案】 C4. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A.45B.35C.25D.15【解析】 由2a ，2b ，2c 成等差数列， 所以2b ＝a ＋c .又b 2＝a 2－c 2，所以(a ＋c )2＝4(a 2－c 2)． 所以a ＝53c .所以e ＝c a ＝35.【答案】 B5. (2013·大纲全国卷)已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1【解析】 由题意知椭圆焦点在x 轴上，且c ＝1，可设C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a ＞1)，由过F 2且垂直于x 轴的直线被C 截得的弦长|AB |＝3，知点(1，32)必在椭圆上，代入椭圆方程化简得4a 4－17a 2＋4＝0，所以a 2＝4或a 2＝14(舍去)．故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.【答案】 C二、填空题6. 椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于5，则此椭圆的标准方程是________．【解析】设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，焦距为2c，则b＝1，a2＋b2＝(5)2，即a2＝4.所以椭圆的标准方程是x24＋y2＝1或y24＋x2＝1.【答案】x24＋y2＝1或y24＋x2＝17. 过原点的直线与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若F(c，0)是椭圆的右焦点，则△F AB的最大面积是________．【解析】当AB为短轴时，点A，B的纵坐标的绝对值最大，所以△F AB的最大面积S＝12·c·2b＝bc.【答案】bc8. 椭圆y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的两焦点为F1(0，－c)，F2(0，c)(c>0)，离心率e＝32，焦点到椭圆上点的最短距离为2－3，则椭圆的方程是________．【解析】由题意可知ca＝32，a－c＝2－3，解得a＝2，c＝3，从而b2＝1.又∵焦点在y轴上，所以所求的方程为y24＋x2＝1.【答案】y24＋x2＝1三、解答题9. 求椭圆25x2＋16y2＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．【解】 椭圆方程化简为x 216＋y 225＝1，则a 2＝25，b 2＝16，c 2＝a 2－b 2＝9， 长轴长：2a ＝10，短轴长：2b ＝8， 离心率e ＝c a ＝35， 焦点坐标为(0，±3)， 顶点坐标为(0，±5)，(±4，0)．10. 求经过点M (1，2)，且与椭圆x 212＋y 26＝1有相同离心率的椭圆的标准方程．【解】 设所求椭圆方程为x 212＋y 26＝k 1(k 1>0)或y 212＋x 26＝k 2(k 2>0)，将点M 的坐标代入可得112＋46＝k 1或412＋16＝k 2，解得k 1＝34，k 2＝12，故所求椭圆方程为x 212＋y 26＝34或y 212＋x 26＝12，即x 29＋y 292＝1或y 26＋x 23＝1.11. 已知F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，若AF 2→·F 1F 2→＝0，椭圆的离心率等于22，△AOF 2的面积为22，求椭圆的方程．【解】如图，∵AF 2→·F 1F 2→＝0， ∴AF 2⊥F 1F 2，∵椭圆的离心率e ＝c a ＝22， ∴b 2＝12a 2，设A (x ，y )(x >0，y >0)， 由AF 2⊥F 1F 2知x ＝c ，∴A (x ，y )代入椭圆方程得c 2a 2＋y 2b 2＝1， ∴y ＝b 2a ，∵△AOF 2的面积为22， ∴S △AOF 2＝12c ×y ＝22， 即12c ·b 2a ＝22， ∵c a ＝22，∴b 2＝8，∴a 2＝2b 2＝16，故椭圆的方程为x 216＋y 28＝1.(教师用书独具)已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求直线被椭圆截得的弦最长时直线的方程．【思路探究】 要求m 的取值范围，从方程的角度看，需将问题转化为关于x 的一元二次方程解的判断，而求弦最长时的直线方程，就是将弦长表示成关于m 的函数，求出当弦长最大时的m 值，从而确定直线方程．【规范解答】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0.因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0， 解得－52≤m ≤52.(2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由(1)知5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－25m ，x 1x 2＝m 2－15.所以|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（x 1－x 2）2＋（x 1＋m －x 2－m ）2 ＝2（x 1－x 2）2 ＝2[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝2[4m 225－45（m 2－1）] ＝2510－8m 2.因为Δ＝4m 2－20(m 2－1)>0， 所以－52<m <52.所以当m ＝0时，|AB |最大，此时直线方程为y ＝x .已知斜率为1的直线l 经过椭圆x 2＋4y 2＝4的右焦点交椭圆于A ，B 两点，求弦长|AB|.【解】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由椭圆方程知：a2＝4，b2＝1，∴c2＝3，∴右焦点F(3，0)．∴直线l的方程为y＝x－3，代入椭圆方程得5x2－83x＋8＝0.∴x1＋x2＝835，x1x2＝85，∴|AB|＝2|x2－x1|＝2（x1＋x2）2－8x1x2＝85.。
高中数学_椭圆的简单几何性质教学设计学情分析教材分析课后反思
《椭圆的简单几何性质》教学设计一、复习回顾，新知导入这节课我们继续研究有关椭圆的相关知识，在进入本节课的知识之前，我们先复习一下上节课的知识。
【设计意图】引导学生用所学研究新知，重视基础 提出问题：椭圆192522=+y x 的图象怎么画？ 【设计意图】引导学生重视数形结合学生活动：学生自主完成图象，找学生板演，并让学生们解释如何作图，从学生的答案中寻找椭圆的范围、对称性等直观性质。
二、探究问题，观察发现从哪几方面研究研究椭圆的几何性质呢?学生纷纷讨论之后老师确定从椭圆的对称性、顶点、范围、离心率来探究。
探究一：椭圆的范围通过刚才作图，学生们得到了椭圆的范围。
教师引导学生动手动脑，将具体实例抽象成数学图形，数学问题，在平面直角坐标系内来研究。
【设计意图】利用“椭圆的顶点.ppt ”课件展示，使学生直观感性认识椭圆范围所在区域。
学生得出：椭圆位于直线b±=,所围成的矩形内。
=x±ya问题1：如何从数的角度（也就是方程）来验证我们刚才从直观（也就是形）得来的结论呢？【设计意图】体验用代数的方法研究几何问题过程，体会数形结合思想。
学生可能有如下方法:探究二：椭圆的对称性问题2：从图形上看，你能找到椭圆对称轴和对称中心么？【设计意图】让学生直观感知，更深入认识椭圆的对称性。
得出结论：椭圆具有对称性。
①椭圆是轴对称图形，它关于x轴和y轴对称；②实物演示：椭圆绕中心旋转180后与原椭圆重合——椭圆也是中心对称图形，这时坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
问题3：从方程看如何判断椭圆的对称性？【设计意图】经历几何问题代数化的过程，感受解析几何研究问题的思路和方法。
学生讨论：设)P，则P点关于x轴、y轴和坐标原点的对称点x(y,分别是)x-x--、，若曲线关于x轴对称，则P点关于x轴对-、yyx,,()(y,()称点也在曲线上，即)x-满足方程。
同理可以推出另外两种情况。
教学设计：椭圆中的取值范围问题
椭圆中的取值范围问题教材分析高中数学选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》2.2《椭圆》椭圆是一种重要的圆锥曲线，是高考的必考内容.椭圆的定义，标准方程和几何性质是高考重点考查的内容,本次课主要学习椭圆离心率的取值范围问题.教学目标：1、通过实例掌握构建不等式的基本方法；2、掌握求取值范围问题的基本解题策略；3、培养学生计算能力，锻炼学生的意志品质.教学重难点：构建不等式的基本方法.计划课时：一课时教学设想：前三个例题的选取，让学生掌握圆锥曲线中离心率的取值范围问题，构建不等式的基本方法技巧.最后一题，旨在渗透函数思想，借助函数，来寻找不等式，从而达到解题目的.教学过程：一、典型例题，掌握方法例1：选题意图：利用三角形中的公理构建不等式设F，F分别是椭圆上+ : = 1Q > b > 0）的左、右焦点，若在直线x ="上存在点P，1 2 a 2 b 2 c使线段PF]的中垂线过点F2 ,求椭圆离心率e的取值范围.引导学生分析：本题核心条件：条件线段PF1的中垂线过点F2，这里就涉及到图形的几何意义：中垂线的性质的运用.PF]= PF2，这是等式，但由于P的移动，是问题的本质，所以归根到直角三角形PF2H中.提问：直角三角形PF2H中，我们会寻找什么不等式呢？这样就很自然利用到三角形中的公理：斜边大于直角边，从而得到（不）等式组a 2F1F2 = PF2> F2M，即2c >———c，从而解出离心率教师规范书写解题过程.H 同时对于例2,在学生由上2 = e ,得到PF = e 后，引导学生再结合椭圆第一定 d PF 2 义，就可以找到PF 1, PF 2关于离心率©或a 、b 、c 的表达式，提问：那么再利用例1中的方法：我们又可以怎样利用三角形中的公理呢？PF 2 — PF 1 < 2c ，便可求解.提问：如果出现在双曲线的模型中，我们又该如何求解呢？例2：选题意图：利用椭圆自身范围构建不等式设F F 2分别是椭圆12+'=1Q >b>°）的左、右焦点，p 是椭圆上的点,且p 到右准线的距离为d ，若|PF j 2 = d [PF ]],求椭圆离心率e 的取值范围.由学生分析：利用主干条件|PF 2|2 = d . ^PF^^，结合我们熟悉的椭圆第二定义， 匕=e ,所以得到PF = e ，根据P （町,用）在椭圆上，从而表示出 d PF 20 ° PF ]= a + ex °, PF 2 = a - ex °，最终由x 0的范围[-a ,0），得到关于离心率e 或a 、b 、c 的不等式.（学生演版）例3：选题意图：利用函数关系构建不等式已知椭圆： >黄二1（a > b > °）的两个焦点分别为F F 2,斜率为k 的直线/过左焦点F 1且与椭圆的交点为A、B，与J轴交点为C,若B为线段CF 1的中点，若用《三一，求椭圆离心率e的取值范围.由学生分析：找k和离心率e的等式关系.即建立k与a、b、c的关系.利用直线方程，得到点C的坐标C（0, kc），从而表示FC的中点B （-二kc］，将此坐标代入椭圆方程，即建立了k与a、b、cI 2 2）的关系，从而达到求解目的.（适当的时候教师加以引导、提示）（学生演版）例4：利用A构建不等式X 2 _ _已知椭圆丁+ y2 = 1的左顶点和上顶点分别为A、B，设C、D是椭圆上的两个不同点，4 CD// AB，直线CD与X轴、y轴分别交于M、N两点，且MC =k CN,MD =日DN ,求入+ N的取值范围.教师分析：本题的范围较为隐形，但追根溯源，儿日的范围由直线CD的移动而变化.这样，就找到问题突破口：将直线CD用斜截式设出，利用圆锥曲线中最常见的"A"得到直线CD截距m的范围，这样就建立了不等式.与此同时，圆锥曲线中很常见的“向）量问题坐标化”在此得到展示.所以兀口由C（X1, y1），D（X2, y2二、课堂小结，知识整合取值范围问题的求解策略：构建不等式.具体方法(提问学生)：1.利用三角形中的公理构建不等式2.利用椭圆自身范围构建不等式3.利用函数关系构建不等式4.利用判别式"A”构建不等式5.利用椭圆的参数方程构建不等式三、课后训练，突出要点，巩固落实X 2 V 2(—4,0),且满足DA =九DB ,若设A、B是椭圆—+ -3 = 1上的不同两点，点D求直线AB的斜率的取值范围.教后反思：求椭圆离心率的取值范围是解析几何中的一种重要题型，在各级各类的试题中屡见不鲜.这类问题涉及多个知识点，综合性强，方法也多种多样，解这类题的关键是构造出关于离心率e或a、b、c的不等式(组).本次课仅就椭圆离心率范围的求法进行小结.1.利用已知条件已给的不等式；2.没有直接给出不等关系，就要从直接和间接条件中挖掘出来〃2①一些特殊式子：如y2> 0，例1就可以设出点P(—,y0)，从而利用c参数y0找不等关系；②椭圆、双曲线上点坐标的有界性；③ 三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；直角三角形中的斜边大于直角边；④常见的判别式””;⑤函数思想：范围问题往往伴随着一个变量的变化而变化，如果能建立目标量与这个变量之间的函数关系，并且能求出这个变量的范围，那么就可以求出目标量的范围了.。
《椭圆及其标准方程》教学设计
《椭圆及其标准方程》教学设计（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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椭圆方程中参数取值范围的求法
椭圆方程中参数取值范围的求法
椭圆法是非线性函数，它具有广泛的应用，在广义线形系统的分析中，椭圆法
是解决复杂问题的核心方法。
椭圆方程的参数取值范围是一个错综复杂的法律现象，它需要我们结合椭圆方程的特性、椭圆法的性质以及相关数学理论，来进行一系列完善有效的研究。
首先，我们先来说明椭圆方程的参数取值范围。
根据椭圆公式：
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ 中，参数$a$、$b$都可以取任意值，但是其实，最终确定椭圆方程参数取值范围的根本原因乃至于椭圆方程是一种非线性函数。
例如，$a$必须大于$0$，否则椭圆方程就变成另一个形式。
此外，$b$的取
值也必须遵循一定的规则，它必须大于$0$，且必须小于$a$，否则就会导致方程没有实际的意义。
综上所述，可以得出椭圆方程的参数取值范围为：$a > 0$且$0 < b < a$，相
应的，椭圆方程也会发生改变。
有了这个基本的取值范围，就可以让我们更好地研究和利用椭圆方程来计算复杂的实际问题。
当椭圆方程参数取值范围被确定后，该怎样恰当地使用椭圆方程呢？根据椭圆
方程特性，它可以用来描述抛物线等各种不同类型的函数，而且由于椭圆方程参数的取值范围有一定的限制，因此我们可以根据不同的计算要求，综合考虑参数的取值范围，做出最优的决策，以减少计算过程中出现的偏差。
总之，椭圆方程是一种非常有用和实用的函数，其参数取值范围也相应受到了
约束，我们在使用时就需要根据椭圆方程参数范围的法律原则，来正确客观地判断，以减少计算的误差，实现最优的解决方法。
椭圆x的取值范围
椭圆x的取值范围
嘿，朋友！咱今天来聊聊椭圆里那个神秘的 x 的取值范围。
你想啊，椭圆就像一个优雅的舞者，在数学的舞台上轻盈地旋转。
而 x 呢，就是这个舞者动作中的关键一步。
咱们先来说说椭圆的标准方程，它就像一把打开椭圆秘密的钥匙。
如果是焦点在 x 轴上的椭圆，方程是这样的：x²/a² + y²/b² = 1 （a＞b＞0）。
这时候，x 的取值范围不就是 -a ≤ x ≤ a 嘛。
那为什么是这样呢？你可以把它想象成一个长长的跑道，a 就是跑
道的终点，-a 就是起点，x 就在这个跑道上奔跑，不能越界。
要是焦点在 y 轴上的椭圆，方程变成了 y²/a² + x²/b² = 1 （a＞b＞0），这时候 x 的取值范围就变成了 -b ≤ x ≤ b 。
这就好比是换了个方向的跑道，终点和起点变了，x 跑的范围也就
跟着变啦。
再举个例子，假如有个椭圆，它的长半轴是 5，短半轴是 3。
那 x
的取值范围不就是 -5 ≤ x ≤ 5 嘛。
你说要是 x 不听话，跑出了这个范围，那整个椭圆的形状不就乱套啦？
所以啊，搞清楚椭圆中 x 的取值范围，就像我们在生活中知道自己
的活动范围一样重要。
要不然，到处乱跑，可就迷失方向啦！
总之，对于椭圆 x 的取值范围，咱们可得牢牢记住那几个关键的数字，就像记住回家的路一样。
这样，无论遇到什么样的椭圆问题，咱们都能心中有数，不慌不忙，轻松应对！。
人教版数学高二年级《椭圆中最大值、最小值问题的常用方法》教学设计[1]
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解决与椭圆有关的最值问题除可利用椭圆的参数方程外，以下几种方法也是常用的.［例5］已知x ,y ∈R ,且x ,y 满足方程x 2+4y 2=1，试求f (x ,y )=3x +4y 的最大值、最小值.分析：将所求f (x ,y )=3x +4y 经过令z =f (x ,y )变形为y =443z x +-，而4z 是直线在y 轴上的截距，再根据A (x ,y )是x 2+4y 2=1上的点，故可采用判别式法去解决. 解：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=1444322y x z x y ①代入②中，得13x 2-6zx +z 2-4=0∴Δ=36z 2-4×13(z 2-4)≥0∴-13≤z ≤13∴3x +4y 的最大值为13，最小值为-13.注意：直线-3x ±13=4y 是椭圆的斜率为-43的两条切线. ［例6］已知椭圆x 2+2y 2=98及点P （0，5），求点P 到椭圆距离的最大值与最小值.分析：以（0，5）为圆心，内切于椭圆的圆半径为r 1，即点P 到椭圆的最小值，以（0，5）为圆心外切于椭圆的圆的半径为r 2,即点P 到椭圆的最大值.解：∵02+2×52＜98∴点（0，5）在椭圆内部设以（0，5）为圆心和椭圆相切圆的方程为：x 2+(y -5)2=r 2 ①将椭圆方程x 2+2y 2=98代入①中，得r 2=-(y +5)2+148(-7≤y ≤7)∴当y =-5时，r max 2=148即：r max =237当y =7时，r min 2=4，即r min =2注意：本题的解法称为辅助圆法. ［例7］求定点A （a ,0）到椭圆1222=+y x 上的点之间的最短距离. 解：设B （x ,y ）为椭圆上任意一点.∴|AB |2=（x -a ）2+y 2=(x -a )2+1-22x ∴|AB |2=21(x -2a )2+1-a 2 ∵x ∈［-2,2］① ②若|a |≤22,则x =2a 时， |AB |min =21a若a ＞22,则x =2时， |AB |min =|a -2|若a ＜-22,则x =-2时， |AB |min =|a +2|注意：本题解法是函数法.。
人教版高中数学选修21 椭圆的几何性质：求椭圆的离心率或取值范围 教学设计
椭圆的几何性质(xìngzhì)：求椭圆的离心率或取值范围许成怀一、教学目标1、知识与技能：掌握椭圆的离心率的求法，会用椭圆的离心率解题；2、过程与方法：通过学习椭圆的离心率，培养学生树立数学结合的意识和独立分析、解决问题的能力；3、情感、态度与价值观：通过椭圆离心率的学习，培养学生的主动学习意识，养成总结的好习惯；4、高考导向：①《普通高中数学课程标准（2017年版）》第44页：经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质；②《普通高中数学课程标准（2017年版）》第45页：【学业要求】：能够掌握平面解析几何解决问题的基本过程：根据具体问题情境的特点，建立平面直角坐标系；根据几何问题和图形特点，用代数语言把几何问题转化成为代数问题；根据对几何问题（图形）的分析，探索解决问题的思路；运用代数方法得到结论；给出代数结论合理的几何解释，解决几何问题；5、高考问题设置：①以选择、填空的形式考查利用性质求椭圆的标准方程，5分；②出现解答题的第一问求椭圆的标准方程，一般4分；二、重点与难点：1、重点：利用椭圆的几何(jǐ hé)性质求椭圆的离心率；难点：椭圆离心率的求法；三、教学过程（一）复习回顾：①椭圆的几何性质；②椭圆的离心率。
（二）利用平面几何图形求椭圆的离心率图一图二图三（三）列齐次式或齐次不等式求离心率(xīn lǜ)内容总结（1）椭圆的几何性质：求椭圆的离心率或取值范围许成怀教学目标1、知识与技能：掌握椭圆的离心率的求法，会用椭圆的离心率解题（2）椭圆的几何性质：求椭圆的离心率或取值范围许成怀教学目标1、知识与技能：掌握椭圆的离心率的求法，会用椭圆的离心率解题（3）②《普通高中数学课程标准（2017年版）》第45页：【学业要求】：能够掌握平面解析几何解决问题的基本过程：根据具体问题情境的特点，建立平面直角坐标系。
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椭圆中的取值范围问题
教材分析
高中数学选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》2.2《椭圆》
椭圆是一种重要的圆锥曲线，是高考的必考内容.椭圆的定义，标准方程和几何性质是高考重点考查的内容,本次课主要学习椭圆离心率的取值范围问题. 教学目标：
1、通过实例掌握构建不等式的基本方法；
2、掌握求取值范围问题的基本解题策略；
3、培养学生计算能力，锻炼学生的意志品质. 教学重难点：构建不等式的基本方法. 计划课时：一课时
教学设想：前三个例题的选取，让学生掌握圆锥曲线中离心率的取值范围问题，构建不等式
的基本方法技巧.最后一题，旨在渗透函数思想,借助函数，来寻找不等式，从而达到解题目的.
教学过程：
一、典型例题，掌握方法
例1：选题意图：利用三角形中的公理构建不等式
设21F F ，分别是椭圆()012222>>=+b a b
y a x 的左、右焦点，若在直线c a x 2
=上存在点P ，
使线段1PF 的中垂线过点2F ,求椭圆离心率e 的取值范围.
引导学生分析：本题核心条件：条件线段1PF 的中垂线过点2F ，这里就涉及到图形的几何意义：中垂线的性质的运用.21PF PF =,这是等式，但由于P 的移动，是问题的本质，所以归根到直角三角形H PF 2中.
提问：直角三角形H PF 2中，我们会寻找什么不等式呢？
这样就很自然利用到三角形中的公理：斜边大于直角边，从而得到（不）等式组
M F PF F F 2221≥=，即c c
a c -≥22，从而解出离心率
教师规范书写解题过程.
同时对于例2，在学生由
,2
e d
PF =得到e PF PF =21后，引导学生再结合椭圆第一定
义，就可以找到21,PF PF 关于离心率e 或a 、b 、c 的表达式，
提问：那么再利用例1中的方法：我们又可以怎样利用三角形中的公理呢？
c PF PF 212≤-，便可求解.
提问：如果出现在双曲线的模型中，我们又该如何求解呢？
例2：选题意图：利用椭圆自身范围构建不等式
设21F F ，分别是椭圆()0122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点，P 是椭圆上的点，且P 到右
准线的距离为d ，若12
2
PF d PF ⋅=,求椭圆离心率e 的取值范围.
由学生分析：利用主干条件12
2PF d PF ⋅=，结合我们熟悉的椭圆第二定义，
,2
e d PF =所以得到e PF PF =21，根据),(00y x P 在椭圆上，从而表示出,01ex a PF +=02ex a PF -=，最终由0x 的范围[)0,a -，得到关于离心率e 或a 、
b 、
c 的不等式.
（学生演版）
例3：选题意图：利用函数关系构建不等式
已知椭圆：()0122
22>>=+b a b
y a x 的两个焦点分别为21F F 、,斜率为k 的直线l 过左焦点
H
F 1且与椭圆的交点为A 、B ，与y 轴交点为C ，若B 为线段CF 1的中点，若2
14
≤k ，求椭圆离心率e 的取值范围．
由学生分析：找k 和离心率e 的等式关系.即建立k 与a 、b 、c 的关系.利用直线方程，得到点C 的坐标()kc C ,0，从而表示FC 的中点
⎪⎭
⎫
⎝⎛-2,2kc c B ，将此坐标代入椭圆方程，即建立了k 与a 、b 、c 的关系，从而达到求解目的.（适当的时候教师加以引导、提示）
（学生演版）
例4：利用∆构建不等式
已知椭圆14
22
=+y x 的左顶点和上顶点分别为B A 、，设D C 、是椭圆上的两个不同点，AB CD //,直线CD 与x 轴、y 轴分别交于N M 、两点，且DN MD CN MC μλ==,,求
μλ+的取值范围.
教师分析：本题的范围较为隐形，但追根溯源，的范围μλ,由直线CD 的移动而变化.这样，就找到问题突破口：将直线CD 用斜截式设出，利用圆锥曲线中最常见的""∆得到直线CD 截距m 的范围，这样就建立了不等式.与此同时，圆锥曲线中很常见的“向量问题坐标化”在此得到展示.所以μλ,由()11,y x C ，()22,y x D 坐标表示，结合联立后方程根与系数的关系，最后得到μλ,与前面所设参数m 的关系式，从而m 的范围在此得到充分运用.
二、课堂小结，知识整合
取值范围问题的求解策略：构建不等式. 具体方法（提问学生）：
1．利用三角形中的公理构建不等式 2．利用椭圆自身范围构建不等式 3．利用函数关系构建不等式 4．利用判别式""∆构建不等式 5．利用椭圆的参数方程构建不等式
三、课后训练，突出要点，巩固落实
设B A 、是椭圆13
42
2=+y x 上的不同两点，点()0,4-D ，且满足λ=,若⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈21,83λ，求直线AB 的斜率的取值范围.
教后反思：
求椭圆离心率的取值范围是解析几何中的一种重要题型,在各级各类的试题中屡见不鲜.这类问题涉及多个知识点,综合性强,方法也多种多样,解这类题的关键是构造出关于离心率e 或a 、b 、c 的不等式(组). 本次课仅就椭圆离心率范围的求法进行小结.
1. 利用已知条件已给的不等式；
2. 没有直接给出不等关系，就要从直接和间接条件中挖掘出来
① 一些特殊式子：如02
≥y ，例1就可以设出点),(02
y c
a P ，从而利用
参数0y 找不等关系；
② 椭圆、双曲线上点坐标的有界性；
③ 三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；直角三角形中的斜边大于直角边；
④常见的判别式"
" ；
⑤函数思想：范围问题往往伴随着一个变量的变化而变化，如果能建
立目标量与这个变量之间的函数关系，并且能求出这个变量的范围，那么就可以求出目标量的范围了.。