教学设计：椭圆中的取值范围问题

椭圆中的取值范围问题

教材分析

高中数学选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》2.2《椭圆》

椭圆是一种重要的圆锥曲线，是高考的必考内容.椭圆的定义，标准方程和几何性质是高考重点考查的内容,本次课主要学习椭圆离心率的取值范围问题. 教学目标：

1、通过实例掌握构建不等式的基本方法；

2、掌握求取值范围问题的基本解题策略；

3、培养学生计算能力，锻炼学生的意志品质. 教学重难点：构建不等式的基本方法. 计划课时：一课时

教学设想：前三个例题的选取，让学生掌握圆锥曲线中离心率的取值范围问题，构建不等式

的基本方法技巧.最后一题，旨在渗透函数思想,借助函数，来寻找不等式，从而达到解题目的.

教学过程：

一、典型例题，掌握方法

例1：选题意图：利用三角形中的公理构建不等式

设21F F ，分别是椭圆()012222>>=+b a b

y a x 的左、右焦点，若在直线c a x 2

=上存在点P ，

使线段1PF 的中垂线过点2F ,求椭圆离心率e 的取值范围.

引导学生分析：本题核心条件：条件线段1PF 的中垂线过点2F ，这里就涉及到图形的几何意义：中垂线的性质的运用.21PF PF =,这是等式，但由于P 的移动，是问题的本质，所以归根到直角三角形H PF 2中.

提问：直角三角形H PF 2中，我们会寻找什么不等式呢？

这样就很自然利用到三角形中的公理：斜边大于直角边，从而得到（不）等式组

M F PF F F 2221≥=，即c c

a c -≥22，从而解出离心率

教师规范书写解题过程.

同时对于例2，在学生由

,2

e d

PF =得到e PF PF =21后，引导学生再结合椭圆第一定

义，就可以找到21,PF PF 关于离心率e 或a 、b 、c 的表达式，

提问：那么再利用例1中的方法：我们又可以怎样利用三角形中的公理呢？

c PF PF 212≤-，便可求解.

提问：如果出现在双曲线的模型中，我们又该如何求解呢？

例2：选题意图：利用椭圆自身范围构建不等式

设21F F ，分别是椭圆()0122

22>>=+b a b

y a x 的左、右焦点，P 是椭圆上的点，且P 到右

准线的距离为d ，若12

2

PF d PF ⋅=,求椭圆离心率e 的取值范围.

由学生分析：利用主干条件12

2PF d PF ⋅=，结合我们熟悉的椭圆第二定义，

,2

e d PF =所以得到e PF PF =21，根据),(00y x P 在椭圆上，从而表示出,01ex a PF +=02ex a PF -=，最终由0x 的范围[)0,a -，得到关于离心率e 或a 、

b 、

c 的不等式.

（学生演版）

例3：选题意图：利用函数关系构建不等式

已知椭圆：()0122

22>>=+b a b

y a x 的两个焦点分别为21F F 、,斜率为k 的直线l 过左焦点

H

F 1且与椭圆的交点为A 、B ，与y 轴交点为C ，若B 为线段CF 1的中点，若2

14

≤k ，求椭圆离心率e 的取值范围．

由学生分析：找k 和离心率e 的等式关系.即建立k 与a 、b 、c 的关系.利用直线方程，得到点C 的坐标()kc C ,0，从而表示FC 的中点

⎪⎭

⎫

⎝⎛-2,2kc c B ，将此坐标代入椭圆方程，即建立了k 与a 、b 、c 的关系，从而达到求解目的.（适当的时候教师加以引导、提示）

（学生演版）

例4：利用∆构建不等式

已知椭圆14

22

=+y x 的左顶点和上顶点分别为B A 、，设D C 、是椭圆上的两个不同点，AB CD //,直线CD 与x 轴、y 轴分别交于N M 、两点，且DN MD CN MC μλ==,,求

μλ+的取值范围.

教师分析：本题的范围较为隐形，但追根溯源，的范围μλ,由直线CD 的移动而变化.这样，就找到问题突破口：将直线CD 用斜截式设出，利用圆锥曲线中最常见的""∆得到直线CD 截距m 的范围，这样就建立了不等式.与此同时，圆锥曲线中很常见的“向量问题坐标化”在此得到展示.所以μλ,由()11,y x C ，()22,y x D 坐标表示，结合联立后方程根与系数的关系，最后得到μλ,与前面所设参数m 的关系式，从而m 的范围在此得到充分运用.

二、课堂小结，知识整合

取值范围问题的求解策略：构建不等式. 具体方法（提问学生）：

1．利用三角形中的公理构建不等式 2．利用椭圆自身范围构建不等式 3．利用函数关系构建不等式 4．利用判别式""∆构建不等式 5．利用椭圆的参数方程构建不等式

三、课后训练，突出要点，巩固落实

设B A 、是椭圆13

42

2=+y x 上的不同两点，点()0,4-D ，且满足λ=,若⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡∈21,83λ，求直线AB 的斜率的取值范围.

教后反思：

求椭圆离心率的取值范围是解析几何中的一种重要题型,在各级各类的试题中屡见不鲜.这类问题涉及多个知识点,综合性强,方法也多种多样,解这类题的关键是构造出关于离心率e 或a 、b 、c 的不等式(组). 本次课仅就椭圆离心率范围的求法进行小结.

1. 利用已知条件已给的不等式；

2. 没有直接给出不等关系，就要从直接和间接条件中挖掘出来

① 一些特殊式子：如02

≥y ，例1就可以设出点),(02

y c

a P ，从而利用

参数0y 找不等关系；

② 椭圆、双曲线上点坐标的有界性；

③ 三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；直角三角形中的斜边大于直角边；