全相位FFT相位测量方法

全相位FFT 相位测量方法

1.基本原理

全相位数据来源为()()(),11x n N n N --≤≤-，可以认为对于时间序列中的一点()0x ，存在且只存在N 个包含该点的N 维向量：

()()()()()()()()()0110,1,

,11,0,,21,2,,0T T

T

N x x x x N x x x x N x x N x N x -=-⎡⎤⎣⎦

=--⎡⎤⎣⎦

=-+-+⎡⎤⎣⎦

(1)

将(1)式中每个向量进行圆周移位把样本点()0x 移到首位，则得到另外的N 个N 维向量

()()()()()()()()()0

1

10,1,

,10,1,

,10,1,

,1T

T

T

N x x x x N x x x x x x x N x -'=-⎡⎤⎣⎦'=-⎡⎤⎣⎦

'=-+-⎡⎤⎣⎦

(2)

对准()0x 相加得到全相位数据向量 ()()()()()()()1

0,111,,111T

AP x Nx N x x N x N N x N

=

-+-+-+--⎡⎤⎣⎦

(3)

根据DFT 的移位性质，式(2)中i x '的傅里叶变换()i X k '和式(1)的i x 的离散傅里叶变换()i X k 之间有很明确的关系

()()[]2,0,1ki

j

N

i i X k X k e

i N π'=∈-

(4)

当输入序列为 ()()

2/,11j mn N x n e

N n N πθ+=-+≤≤- (5)

其中，s f m

f N

=，s f 为采样频率。式(3)对i 求和的平均即为全相位FFT 的输出，

()()()()()()()()()()

()()21

1

0221100

2211

222/2/2

21

11111111sin 1sin /ki N N j

N

ap i

i

i i kn ki N N j j N

N

i n m k i m k n

N N j j

j N

N

i n j m k j m k j j m k N j m k N

j X k X k X k e

N N x n i e

e

N

e e e

N e e e N e e m k e N m k N πππππθππθππθππ--==---==-----==------'=

==-=--=---⎡⎤⎣⎦=-⎡⎤⎣⎦

∑∑∑∑∑∑ (6)

由(6)式可知，全相位FFT 谱的相位值为θ，即为中心样点()0x 的理论相位值，该值与频率偏离值m-k 无关。当输入序列为

()()()()()

2/2/cos 2/,11

12

j mn N j mn N x n mn N N n N e e πθπθπθ+-+=+-+≤≤-=+ (7)

根据(6)式得到其全相位FFT 为

()()()()()22

22sin sin 112sin /2sin /j j ap m k m k X k e e

N m k N N m k N θθππππ----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦

(8)

在峰值谱线k m =处，(8)式等号右侧前项远大于后项，因此k m =处的相位即为输入序列初相θ。因此，基于全相位FFT 的相位测量流程如下图所示

图1 基于全相位FFT 的相位测量流程

2.测相性能

对()0cos 260s n

x n f f π⎛⎫=⋅+︒ ⎪⎝⎭，()()11N n N --≤≤- 。

（1）使用apFFT 估计相位的条件

使用apFFT 进行相位测量，需要满足条件02s f f >。 （2）数据长度与相位测量准确程度的关系

当03,12s f Hz f Hz ==，得到相位估计值与N 的关系如图

图2 相位估计值与N 的关系

（3）抗噪性能

当03,12s f Hz f Hz ==时，得到与信噪比和N 的关系为

图3 相位估计值与信噪比与N 的关系

当N 值越大，(8)式中k m =时的值越大，受噪声的影响就越小。

N

/°

SNR/dB

p h a s e /°