一元二次方程的根的判别式练习题

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(完整版)一元二次方程的根的判别式练习题

一元二次方程的根的判别式1、方程2x 2+3x －k=0根的判别式是；当k 时，方程有实根。

2、关于x 的方程kx 2+(2k+1)x －k+1=0的实根的情况是。

3、方程x 2+2x+m=0有两个相等实数根，则m= 。

4、关于x 的方程(k 2+1)x 2－2kx+(k 2+4)=0的根的情况是。

5、当m 时，关于x 的方程3x 2－2(3m+1)x+3m 2－1=0有两个不相等的实数根。

6、如果关于x 的一元二次方程2x(ax －4)－x 2+6=0没有实数根，那么a 的最小整数值是。

7、关于x 的一元二次方程mx 2+(2m －1)x －2=0的根的判别式的值等于4，则m= 。

8、设方程(x －a)(x －b)－cx=0的两根是α、β，试求方程(x －α)(x －β)+cx=0的根。

9、不解方程，判断下列关于x 的方程根的情况：(1)(a+1)x 2－2a 2x+a 3=0(a>0)(2)(k 2+1)x 2－2kx+(k 2+4)=010、m 、n 为何值时，方程x 2+2(m+1)x+3m 2+4mn+4n 2+2=0有实根?11、求证：关于x 的方程(m 2+1)x 2－2mx+(m 2+4)=0没有实数根。

12、已知关于x 的方程(m 2－1)x 2+2(m+1)x+1=0，试问：m 为何实数值时，方程有实数根? 13、已知关于x 的方程x 2－2x －m=0无实根(m 为实数)，证明关于x 的方程x 2+2mx+1+2(m 2－1)(x 2+1)=0也无实根。

14、已知：a>0,b>a+c,判断关于x 的方程ax 2+bx+c=0根的情况。

15、m 为何值时，方程2(m+1)x 2+4mx+2m －1=0。

(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个实数根；(3)有两个相等的实数根；(4)无实数根。

16、当一元二次方程(2k －1)x2－4x －6=0无实根时，k 应取何值? 17、已知：关于x 的方程x 2+bx+4b=0有两个相等实根，y 1、y 2是关于y 的方程y 2+(2－b)y+4=0的两实根，求以1y 、2y 为根的一元二次方程。

一元二次方程之判别式专项练习60题（有答案）ok

一元二次方程判别式专项练习60题（有答案）﹣a=01．已知关于x的一元二次方程2x2﹣5x5x﹣的取值范围．（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围．为何值时，方程的两个根互为倒数，求出此时方程的解．（2）当a为何值时，方程的两个根互为倒数，求出此时方程的解．．=0．2．已知关于x的方程（）﹣p p2=0的方程（x x﹣3）（x﹣2）﹣）求证：方程有两个不相等的实数根；（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）当p=2时，求该方程的根．时，求该方程的根．（k﹣2）2=x有两个相等的实数根，求k的值与方程的根．的值与方程的根．+2kx+（3．已知关于x的方程x2+2kx+有实数根．﹣a+3=0有实数根．的方程 x4．若关于x的方程x2+4x+4x﹣的取值范围；（1）求a的取值范围；（2）若a为符合条件的最小整数，求此时方程的根．为符合条件的最小整数，求此时方程的根．5．已知关于x的方程．的取值范围；（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；为符合条件的最大整数，求此时方程的根．）在（11）中，若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根．（2）在（．展示你的分析能力：6．展示你的分析能力：有两个不相等的实数根．﹣m=8有两个不相等的实数根．+3x﹣已知关于x的方程x2+3x的最小整数值是多少？（1）求m的最小整数值是多少？﹣m=8中解出x的值．的值．+3x﹣（2）将（）将（11）中求出的m值，代入方程x2+3x7．已知关于x的一元二次方程mx2﹣5x+3=0的判别式为1，求m的值及该方程的根．的值及该方程的根．8．已知关于x 的方程kx 2﹣2x+1=0有两个实数根x 1、x 2．（1）求k 的取值范围；的取值范围；（2）是否存在k 使（使（x x 1+1+1））（x 2+1+1））=k =k﹣﹣1成立？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．的值；如果不存在，请说明理由．9．已知关于x 的方程x 2﹣（﹣（2k+12k+12k+1））x+4x+4（（k ﹣）=0（1）判断方程根的情况；）判断方程根的情况；（2）k 为何值时，方程有两个相等的实数根，并求出此时方程的根．为何值时，方程有两个相等的实数根，并求出此时方程的根．1010．若关于．若关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根．有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；的取值范围；（2）为k 选取一个符合要求的值，并求出此方程的根．选取一个符合要求的值，并求出此方程的根．1111．已知关于．已知关于x 的一元二次方程的一元二次方程 x x 2+2mx++2mx+（（m+2m+2））（m ﹣1）=0=0（（m 为常数）．（1）如果方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；的取值范围；（2）如果方程有两个相等的实数根，求m 的值；如果方程没有实数根，求m 的取值范围．的取值范围．1212．当．当k 取什么值时，关于x 的一元二次方程（1）有两个不相等的实数根？）有两个不相等的实数根？（2）没有实数根？）没有实数根？1313．已知关于．已知关于x 的方程是ax 2﹣3（a ﹣1）x ﹣9=09=0．．（1）证明：不论a 取何值，总有一个根是x=3x=3；；（2）当a ≠0时，利用求根公式求出它的另一个根．时，利用求根公式求出它的另一个根．1414．若．若k 是一个整数，已知关于x 的一元二次方程（的一元二次方程（11﹣k ）x 2﹣2x 2x﹣﹣1=0有两个不相等的实数根，则k 最大可以取多少？为什么？多少？为什么？1515．已知关于．已知关于x 的方程x 2+（m+2m+2））x+2m x+2m﹣﹣1=01=0．．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）当m=m=﹣﹣2时，方程的两根互为相反数吗？并求出此时方程的解．时，方程的两根互为相反数吗？并求出此时方程的解．1616．已知关于．已知关于x 的方程x 2+2x+k +2x+k﹣﹣1=01=0，，（1）若方程有一个根是1，求k 的值；的值；（2）若方程没有实数根，求实数k 的取值范围．的取值范围．1717．已知关于．已知关于x 的方程x 2+（m ﹣2）x ﹣9=0（1）求证：无论m 取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根；取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）若这个方程两个根α，β满足2α+β=m+1=m+1，求，求m 的值．的值．1818．已知．已知p 为质数，使二次方程x 2﹣2px+p 2﹣5p 5p﹣﹣1=0的两根都是整数，求出p 的所有可能值．的所有可能值．1919．．m 是什么实数时，方程x 2﹣4|x|+5=m 有4个互不相等的实数根？个互不相等的实数根？2020．设关于．设关于x 的方程x 2﹣4x+4x+（（y ﹣1）|x |x﹣﹣2|+22|+2﹣﹣2y=0恰有两个实数根，求y 的负整数值．的负整数值．2121．已知关于．已知关于x 的方程x 2+2mx+m+2=0+2mx+m+2=0．．（1）方程两根都是正数时，求m 的取值范围；的取值范围；（2）方程一个根大于1，另一个根小于1，求m 的取值范围．的取值范围．2222．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2mx+m 2﹣2m=02m=0．．（1）当m=1时，求方程的根．时，求方程的根．（2）试判断方程根的情况．）试判断方程根的情况．2323．已知．已知a 、b 、c 是三角形的三条边长，且关于x 的方程（的方程（c c ﹣b ）x 2+2+2（（b ﹣a ）x+x+（（a ﹣b ）=0有两个相等的实数根，试判断三角形的形状．试判断三角形的形状．2424．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+m mx+m﹣﹣2=02=0，求证：无论，求证：无论m 取何值，该方程总有两个不相等的实数根．取何值，该方程总有两个不相等的实数根．2525．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（﹣（m m ﹣1）x+m+2=0x+m+2=0．．（1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值；的值；（2）若方程的两实数根之积等于m 2﹣9m+29m+2，求，求的值．的值．2626．关于．关于x 的方程x 2﹣2x+k 2x+k﹣﹣1=0有两个不相等的实数根．有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；的取值范围；（2）若k ﹣1是方程x 2﹣2x+k 2x+k﹣﹣1=0的一个解，求k 的值．的值．2727．已知关于．已知关于x 的方程x 2+2x+m +2x+m﹣﹣1=0 （1）若1是方程的一个根，求m 的值；的值；（2）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．的取值范围．2828．若关于．若关于x 的一元二次方程（的一元二次方程（k k ﹣2）2x 2+（2k+12k+1））x+1=0有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．的取值范围．2929．已知关于．已知关于x 的方程x 2+（3k 3k﹣﹣2）x ﹣6k=06k=0，，（1）求证：无论k 取何实数值，方程总有实数根；取何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC 的一边a=6a=6，另两边长，另两边长b ，c 恰好是这个方程的两个根，求△恰好是这个方程的两个根，求△ABC ABC 的周长．的周长．3030．已知一元二次方程．已知一元二次方程x 2﹣5x+k=05x+k=0．．（1）当k=6时，解这个方程；时，解这个方程；（2）若方程x 2﹣5x+k=0有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；的取值范围；3131．已知关于．已知关于x 的方程x 2﹣（﹣（m+1m+1m+1））x+m=0（1）求证：不论m 取何实数，方程都有实数根；取何实数，方程都有实数根；（2）为m 选取一数，使方程有两个不相等的整数根，并求出这两个实数根．选取一数，使方程有两个不相等的整数根，并求出这两个实数根．3232．已知关于．已知关于x 的方程x 2﹣2x+2k 2x+2k﹣﹣3=0有两个不相等的实数根．有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；的取值范围；（2）若k 为符合条件的最大整数，求此时方程的根．为符合条件的最大整数，求此时方程的根．3333．已知关于．已知关于x 的方程（的方程（k+1k+1k+1））x 2+（3k 3k﹣﹣1）x+2k x+2k﹣﹣2=02=0．．（1）讨论此方程根的情况；）讨论此方程根的情况；（2）若方程有两个整数根，求正整数k 的值．的值．3434．关于．关于x 的一元二次方程x 2﹣x+p x+p﹣﹣1=0有两个实数根x 1、x 2．（1）求p 的取值范围；的取值范围；（2）若，求p 的值．的值．3535．实数．实数k 取何值时，一元二次方程x 2﹣（﹣（2k 2k 2k﹣﹣3）x+2k x+2k﹣﹣4=0 （1）有两个正根；）有两个正根；（2）有两个异号根，且正根的绝对值较大；）有两个异号根，且正根的绝对值较大；（3）一个根大于3，一个根小于3．3636．已知关于．已知关于x 的方程x 2+（2k+12k+1））x+k 2+2=0有两个不相等的实数根．有两个不相等的实数根． ①求k 的取值范围；的取值范围； ②试判断直线y=y=（（2k 2k﹣﹣3）x ﹣4k+7能否通过点A （﹣（﹣22，5），并说明理由．，并说明理由．3737．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx mx﹣﹣2=02=0．．（1）若﹣）若﹣11是方程的一个根，求m 的值和方程的另一个根．的值和方程的另一个根．（2）对于任意实数m ，判断方程根的情况，并说明理由．，判断方程根的情况，并说明理由．3838．证明：无论．证明：无论m 为何值，关于x 的方程x 2﹣2mx 2mx﹣﹣2m 2m﹣﹣4=0总有两个不相等的实数根．总有两个不相等的实数根．3939．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（﹣（m m ﹣1）x+m+2=0x+m+2=0，若方程有两个相等的实数根，求，若方程有两个相等的实数根，求m 的值．的值．4040．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣kx kx﹣﹣2=02=0．．（1）求证：无论k 取何值，方程有两个不相等的实数根；取何值，方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x 1，x 2，且满足x 1+x 2=x 1•x 2，求k 的值．的值．4141．已知方程．已知方程m 2x 2+（2m+12m+1））x+1=0有实数根，求m 的取值范围．的取值范围．4242．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个实数根．有两个实数根．（1）求m 的范围；的范围；（2）若方程两个实数根为x 1、x 2，且x 1+3x 2=8=8，求，求m 的值．的值．4343．如果关于．如果关于x 的一元二次方程（的一元二次方程（11﹣m ）x 2﹣2x 2x﹣﹣1=0有两个不相等的实数根，当m 在它的取值范围内取最大整数时，求的值．的值．4444．若关于．若关于x 的一元二次方程x 2+2kx++2kx+（（k 2+2k +2k﹣﹣5）=0有两个实数根，分别是x 1，x 2．（1）求k 的取值范围；的取值范围；（2）若有x 1+x 2=x 1x 2，则k 的值是多少．的值是多少．4545．已知关于．已知关于x 的方程k 2x 2+（2k 2k﹣﹣1）x+1=0有两个实数根x 1、x 2 （1）求k 的取值范围；的取值范围；（2）是否存在k 的值，可以使得这两根的倒数和等于0？如果存在，请求出k ，若不存在，请说明理由．，若不存在，请说明理由．4646．已知关于．已知关于x 的方程x 2﹣（﹣（k+1k+1k+1））x+k=0x+k=0．．（1）求证：无论k 取什么实数值，这个方程总有实根．取什么实数值，这个方程总有实根．（2）若等腰△）若等腰△ABC ABC 的一腰长a=4a=4，另两边，另两边b 、c 恰好是这个方程的两根，求△恰好是这个方程的两根，求△ABC ABC 的周长．的周长．4747．已知．已知x 2+（2k+12k+1））x+k 2﹣2=0是关于x 的一元二次方程方程．的一元二次方程方程．（1）方程有两根不相等的实数根，求k 的取值范围．的取值范围．（2）方程有一根为1，求k 的取值．的取值．（3）方程的两根两根互为倒数，求k 的取值．的取值．4848．已知关于．已知关于x 的方程（的方程（k k ﹣1）x 2+2x +2x﹣﹣5=0有两个不相等的实数根，求：有两个不相等的实数根，求： ①k 的取值范围．的取值范围．②当k 为最小整数时求原方程的解．为最小整数时求原方程的解．4949．已知关于．已知关于x 的方程（的方程（m m ﹣1）x 2﹣（﹣（2m 2m 2m﹣﹣1）x+2=0x+2=0．．（1）求证：无论m 取任何实数，方程总有实数根；取任何实数，方程总有实数根；（2）若方程只有整数根，求整数m 的值．的值．5050．已知关于．已知关于x 的方程2x 2+kx +kx﹣﹣1=01=0．．（1）小明同学说：“无论k 为何实数，方程总有实数根．”你认为他说的有道理吗？”你认为他说的有道理吗？（2）若方程的一个根是﹣）若方程的一个根是﹣11，求另一根及k 的值．的值．5151．已知关于．已知关于x 的一元二次方程．（1）m 取什么值时，方程有两个实数根？取什么值时，方程有两个实数根？（2）设此方程的两个实数根为a 、b ，若y=ab y=ab﹣﹣2b 2+2b+1+2b+1，求，求y 的取值范围．的取值范围．5252．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k+12k+1））x+k 2﹣2=0有实根有实根（1）求k 的取值范围的取值范围（2）若方程的两实根的平方和等于1111，求，求k 的值．的值．5353．如果一元二方程．如果一元二方程x 2+mx+2m +mx+2m﹣﹣n=0有一个根为2，且根的判别式为0，求m 、n 的值．的值．5454．已知，关于．已知，关于x 的一元二次方程：的一元二次方程：ax ax 2+4x +4x﹣﹣1=01=0，，（1）当a 取什么值时，方程有实数根？取什么值时，方程有实数根？（2）设x 1，x 2为方程两根，为方程两根，y=x y=x 1+x 2﹣x 1•x 2，试比较y 与0的大小．的大小．5555．已知关于．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx mx﹣﹣2=0（1）x=2是方程的一个根，求m 的值和方程的另一个根．的值和方程的另一个根．（2）对于任意实数m ，判断方程的根的情况，并说明理由．，判断方程的根的情况，并说明理由．5656．已知关于．已知关于x 的方程．（1）若方程只有一个根，求k 的值并求出此时方程的根；的值并求出此时方程的根；（2）若方程有两个相等的实数根，求k 的值．的值．5757．已知关于．已知关于x 的方程4x 2+4+4（（k ﹣1）x+k 2=0和2x 2﹣（﹣（4k+14k+14k+1））x+2k 2﹣1=01=0，它们都有实数根，试求实数，它们都有实数根，试求实数k 的取值范围．围．5858．已知关于．已知关于x 的一元二次方程kx 2+2+2（（k+4k+4））x+x+（（k ﹣4）=0 （1）若方程有实数根，求k 的取值范围的取值范围（2）若等腰三角形ABC 的边长a=3a=3，另两边，另两边b 和c 恰好是这个方程的两个根，求△恰好是这个方程的两个根，求△ABC ABC 的周长．的周长．5959．已知关于．已知关于2x 2+kx +kx﹣﹣1=01=0．．（1）求证：该方程一定有两个不相等的实数根．）求证：该方程一定有两个不相等的实数根．（2）若已知该方程的一个根是﹣）若已知该方程的一个根是﹣11，请求出另一个根．，请求出另一个根．参考答案：1．（1）∵方程有两个不相等的实数根，）∵方程有两个不相等的实数根， ∴△∴△==（﹣（﹣55）2﹣4×2×（﹣×（﹣a a ）＞）＞00，解得a ＞﹣，即a 的取值范围为a ＞﹣；（2）根据题意得=1=1，，解得a=a=﹣﹣2，方程化为2x 2﹣5x+2=05x+2=0，变形为（，变形为（，变形为（2x 2x 2x﹣﹣1）（x ﹣2）=0=0，，解得x1=，x 2=2=2．．2．（1）证明：方程整理为x 2﹣5x+65x+6﹣﹣p 2=0=0，， △=（﹣（﹣55）2﹣4×1×（×（66﹣p 2） =1+4p 2， ∵4p 2≥0， ∴△＞∴△＞00，∴这个方程总有两个不相等的实数根；∴这个方程总有两个不相等的实数根；（2）解：当p=2时，方程变形为x 2﹣5x+2=05x+2=0，， △=1+4=1+4××4=174=17，，∴x=， ∴x 1=，x 2=．3．方程整理得x 2+（2k 2k﹣﹣1）x+x+（（k ﹣2）2=0=0①，①，①，由题意得（由题意得（2k 2k 2k﹣﹣1）2﹣4（k ﹣2）2=0=0，，解得．将代入①得，解得4．（1）△）△=4=42﹣4（3﹣a ）=4+4a =4+4a．． ∵该方程有实数根，∵该方程有实数根，∴4+4a 4+4a≥≥0．解得a ≥﹣≥﹣11．（2）当a 为符合条件的最小整数时，为符合条件的最小整数时，a=a=a=﹣﹣1．此时方程化为x 2+4x+4=0+4x+4=0，方程的根为，方程的根为x 1=x 2=﹣2 2 5．（1）∵该方程有两个不相等的实数根，）∵该方程有两个不相等的实数根， ∴△∴△=3=32﹣4×1×=9=9﹣﹣3m 3m＞＞0．解得m ＜3．∴m 的取值范围是m ＜3；（2）∵）∵m m ＜3，∴符合条件的最大整数是m=2m=2．．解得x==． ∴方程的根为x 1=，x 2=．故答案为：故答案为：m m ＜3，x 1=，x 2=6．（1）化为一般形式得：）化为一般形式得：x x 2+3x +3x﹣﹣m ﹣8=0△=9+4=9+4（（m+8m+8）＞）＞）＞00，解得m ＞﹣，∴m 的最小整数值m=m=﹣﹣1010．．（2）把m=m=﹣﹣10代入原方程得x 2+3x+10=8+3x+10=8，，即x 2+3x+2=0解得：解得：x x 1=﹣1，x 2=﹣27．∵△．∵△==（﹣（﹣55）2﹣4×m ×3=253=25﹣﹣12m 12m，， ∴由题意得：∴由题意得：252525﹣﹣12m=112m=1，， ∴m=2m=2，，当m=2时，方程为2x 2﹣5x+3=05x+3=0，，两根为x 1=1=1，，x 2=．答：答：m m 的值为2，方程的根为1和．8．（1）根据题意得k ≠0且△≥且△≥00，即4﹣4k 4k≥≥0，解得k ≤1，所以k 的取值范围为k ≤1且k ≠0；（2）存在，）存在，k=k=k=﹣﹣1．理由如下：．理由如下：根据题意得x 1+x 2=，x 1•x 2=，∵（∵（x x 1+1+1））（x 2+1+1））=k =k﹣﹣1，∴x 1•x 2+x 1+x 2+1=k +1=k﹣﹣1，即++1=k +1=k﹣﹣1，化为整式方程得k 2﹣2k 2k﹣﹣3=03=0，， ∴（∴（k k ﹣3）（k+1k+1））=0=0，， ∴k 1=3=3，，k 2=﹣1， ∵k ≤1且k ≠0； ∴k=k=﹣﹣1 19．①∵△①∵△==（2k+12k+1））2﹣4×1×4（k ﹣）=4k 2+4k+1+4k+1﹣﹣16k+8=4k 2﹣12k+9=12k+9=（（2k 2k﹣﹣3）2≥0， ∴该方程有两个实根；∴该方程有两个实根；②若方程有两个相等的实数根，则△②若方程有两个相等的实数根，则△=b =b 2﹣4ac=04ac=0，， ∴（∴（2k 2k 2k﹣﹣3）2=0=0，，解得：解得：k=k=，把k=时代入原式得：时代入原式得：x 2﹣（﹣（22×+1+1））x+4x+4（（﹣）=0 x 2﹣4x+4=04x+4=0，，解得：解得：x=2x=2x=2；； ∴方程两根均为2．1010．．（1）根据题意得k ≠0且△且△==（k+2k+2））2﹣4k 4k××=4k+4=4k+4＞＞0，解得k ＞﹣＞﹣11且k ≠0；（2）取k=1k=1，方程化为，方程化为x 2+3x+=0=0，， △=4k+4=8=4k+4=8，， ∴x==， ∴x 1=，x 2=1111．．△=（2m 2m））2﹣4（m+2m+2））（m ﹣1）=4m 2﹣4m 2﹣4m+8=4m+8=﹣﹣4m+84m+8．．（1分）分）（1）因为方程有两个不相等的实数根，）因为方程有两个不相等的实数根，所以﹣所以﹣4m+84m+84m+8＞＞0，所以m ＜2．（2分）分）（2）因为方程有两个相等的实数根，）因为方程有两个相等的实数根，所以﹣所以﹣4m+8=04m+8=04m+8=0，所以，所以m=2m=2．．（2分）分）因为方程没有实数根，因为方程没有实数根，所以﹣所以﹣4m+84m+84m+8＜＜0，所以m ＞2 21212．．（1）根据题题意得k ≠0且△且△==（k ﹣2）2﹣4k 4k••＞0，解得k ＜1且k ≠0；（2）根据题意得k ≠0且△且△==（k ﹣2）2﹣4k 4k••＜0，解得k ＞1 11313．．（1）证明，将x=3代入方程，得代入方程，得左边左边=9a =9a =9a﹣﹣9（a ﹣1）﹣）﹣9=99=99=9﹣﹣9=0=9=0=右边，右边，右边，所以，方程总有一个根是x=3x=3；；（2）当a ≠0时，△时，△=9=9=9（（a ﹣1）2+4+4××9=99=9（（a+1a+1））2，所以，所以，x x 1==3=3，，x 2==﹣，即方程的另一个根是x=x=﹣﹣．1414．．∵一元二次方程∵一元二次方程（（1﹣k ）x 2﹣2x 2x﹣﹣1=0有两个不相等的实数根，实数根，∴1﹣k ≠0，且△＞，且△＞00，即22﹣4×（×（11﹣k ）×（﹣）×（﹣11）＞）＞00，解得k ＜2，又∵又∵k k 是整数，是整数，∴k 的取值范围为：的取值范围为：k k ＜2且k ≠1的整数，的整数， =（m ﹣2）2+4+4，， ∵（∵（m m ﹣2）2≥0，∴（∴（m m ﹣2）2+4+4＞＞0，即△＞，即△＞00， ∴方程有两个不相等的实数根；∴方程有两个不相等的实数根；（2）解：当m=m=﹣﹣2时，方程变形为x 2﹣5=05=0，，解得x 1=，x 2=﹣，∴方程的两根互为相反数∴方程的两根互为相反数1616．．（1）∵）∵x=1x=1是方程x 2+2x+k +2x+k﹣﹣1=0的一个根，的一个根，∴12+2+2××1+k 1+k﹣﹣1=01=0，，解得，解得，k=k=k=﹣﹣2；（2）∵方程没有实数根，）∵方程没有实数根，∴b 2﹣4ac 4ac＜＜0，即22﹣4（k ﹣1）＜）＜00，解得k ＞2 21717．．（1）证明：方程的根的判别式△）证明：方程的根的判别式△==（m ﹣2）2﹣4×1×（﹣（﹣99）=（m ﹣2）2+36∵无论m 取何实效（取何实效（m m ﹣2）2+36+36＞＞0恒成立恒成立 ∴这个方程总有两个不相等的实数根∴这个方程总有两个不相等的实数根（2）解由根与系数的关系．得α+β=2=2﹣﹣m 则2α+β=α+α+β=α+2+2﹣﹣m∵2α+β=m+1=m+1，∴，∴α+2+2﹣﹣m=m+1m=m+1，则，则α=2m =2m﹣﹣1∵α是方程的根，∴α2+（m ﹣2）α﹣9=0 则（则（2m 2m 2m﹣﹣1）2+（m ﹣2）（2m 2m﹣﹣1）﹣）﹣9=0 9=0 整理，得2m 2﹣3m 一2=0 解，得m 1=2=2，，m 2=﹣．1818．∵已知的整系数二次方程有整数根，．∵已知的整系数二次方程有整数根，．∵已知的整系数二次方程有整数根，∴△∴△=4p =4p 2﹣4（p 2﹣5p 5p﹣﹣1）=4=4（（5p+15p+1）为完全平方数，）为完全平方数，）为完全平方数，从而，从而，5p+15p+1为完全平方数为完全平方数设5p+1=n 2，注意到p ≥2，故n ≥4，且n 为整数为整数 ∴5p=5p=（（n+1n+1））（n ﹣1），则n+1n+1，，n ﹣1中至少有一个是5的倍数，即n=5k n=5k±±1（k 为正整数）为正整数）∴5p+1=25k 2±10k+110k+1，，p=k p=k（（5k 5k±±2），由p 是质数，是质数，5k 5k 5k±±2＞1， ∴k=1k=1，，p=3或7当p=3时，已知方程变为x 2﹣6x 6x﹣﹣7=07=0，，解得x 1=﹣1，x 2=7=7；；当p=7时，已知方程变为x 2﹣14x+13=014x+13=0，解得，解得x 1=1=1，，x 2=13 所以p=3或p=7p=7．．1919．∵△．∵△．∵△=b =b 2﹣4ac=164ac=16﹣﹣4（5﹣m ）=4m =4m﹣﹣4＞0 ∴m ＞1当x ≥0时，方程是x 2﹣4x+54x+5﹣﹣m=0m=0，，方程有两个不同的根，则两个的积一定大于0，即5﹣m ＞0，则m ＜5 ∴1＜m ＜5当x ＜0时，方程是x 2+4x+5+4x+5﹣﹣m=0m=0，方程有两个不同的根，，方程有两个不同的根，则两个根的积一定大于0，即5﹣m ＞0，则m ＜5 则1＜m ＜5∴1＜m ＜5时，方程x 2﹣4|x|+5=m 有4个互不相等的实数（|x |x﹣﹣2|2|﹣﹣2）[|x [|x﹣﹣2|+2|+（（1+y 1+y））]=0]=0，，则|x |x﹣﹣2|=2或|x |x﹣﹣2|=2|=﹣（﹣（﹣（y+1y+1y+1）），故2=2=﹣（﹣（﹣（y+1y+1y+1）），则y=y=﹣﹣3，当|x |x﹣﹣2|=22|=2，且，且1+y 1+y＞＞0时，时，则y ＞﹣＞﹣11，故y 的负整数值为：﹣的负整数值为：﹣3 3 3 2121．．（1）根据题意，）根据题意，mm 应当满足条件…（3分）分）即∴﹣∴﹣22＜m ≤﹣≤﹣11…（7分）分）（2）根据题意，）根据题意，mm 应当满足条件…（10分），即∴m ＜﹣＜﹣1 1 12222．．（1）当m=1时，原方程变为：时，原方程变为：x x 2﹣2x 2x﹣﹣1=0 解得：；（2）△）△=b =b 2﹣4ac=4ac=（﹣（﹣（﹣2m 2m 2m））2﹣4×（×（m m 2﹣2m 2m））=8m =8m，，当m ＞0时，原方程有两个不相等的实数根；时，原方程有两个不相等的实数根；当m=0时，原方程有两个相等的实数根；时，原方程有两个相等的实数根； m ＜0时，原方程没有实数根时，原方程没有实数根2323．由已知条件△．由已知条件△．由已知条件△=4=4=4（（b ﹣a ）2﹣4（c ﹣b ）（a ﹣b ）=4=4（（a ﹣b ）（a ﹣c ）=0=0，， ∴a=b 或a=c a=c，， ∵c ﹣b ≠0则c ≠b ，∴这个三角形是等腰三角形∴这个三角形是等腰三角形 2424．△．△．△=m =m 2﹣4（m ﹣2） =m 2﹣4m+8 =（m ﹣2）2+4+4，， ∵（∵（m m ﹣2）2≥0，∴（∴（m m ﹣2）2+4+4＞＞0，即△＞，即△＞00，∴无论m 取何值，该方程总有两个不相等的实数根．取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 2525．．（1）∵方程有两个相等的实数根，）∵方程有两个相等的实数根， ∴（∴（m m ﹣1）2﹣4（m+2m+2））=0=0，， ∴m 2﹣2m+12m+1﹣﹣4m 4m﹣﹣8=08=0，， m 2﹣6m 6m﹣﹣7=07=0，， ∴m=7或﹣或﹣11；（2）∵方程的两实数根之积等于m 2﹣9m+29m+2，， ∴m 2﹣9m+2=m+29m+2=m+2，， ∴m 2﹣10m=010m=0，， ∴m=0或m=10m=10，，当m=0时，方程为：时，方程为：x x 2+x+2=0+x+2=0，方程没有实数根，舍去；，方程没有实数根，舍去；，方程没有实数根，舍去； ∴m=10m=10，， ∴=4 =42626．．（1）由题意，知（﹣）由题意，知（﹣22）2﹣4（k ﹣1）＞）＞00，解得k ＜2，即k 的取值范围为k ＜2．（2）由题意，得（）由题意，得（k k ﹣1）2﹣2（k ﹣1）+k +k﹣﹣1=0 即k 2﹣3k+2=0解得k 1=1=1，，k 2=2=2（舍去）（舍去）（舍去） ∴k 的值为12727．．（1）把x=1代入方程，得1+2+m 1+2+m﹣﹣1=01=0，所以，所以m=m=﹣﹣2；（2）∵方程有两个不相等的实数根，）∵方程有两个不相等的实数根， ∴△＞∴△＞00，即22﹣4（m ﹣1）＞）＞00，解得m ＜2．所以m 的取值范围为m ＜2 22828．∵关于．∵关于x 的一元二次方程（的一元二次方程（k k ﹣2）2x 2+（2k+12k+1））x+1=0有两个不相等的实数根，有两个不相等的实数根， ∴，解得k ＞．所以k 的取值范围是k ＞且k ≠2．2929．．（1）证明：∵△）证明：∵△=b =b 2﹣4ac=4ac=（（3k 3k﹣﹣2）2﹣4•（﹣6k 6k））=9k 2﹣12k+4+24k=9k 2+12k+4=+12k+4=（（3k+23k+2））2≥0 ∴无论k 取何值，方程总有实数根．取何值，方程总有实数根．（2）解：①若a=6为底边，则b ，c 为腰长，则b=c b=c，则，则△=0=0．．∴（∴（3k+23k+23k+2））2=0=0，解得：，解得：，解得：k=k=k=﹣﹣．此时原方程化为x 2﹣4x+4=0∴x 1=x 2=2=2，即，即b=c=2b=c=2．．此时△此时△ABC ABC 三边为6，2，2不能构成三角形，故舍去；不能构成三角形，故舍去； ②若a=b 为腰，则b ，c 中一边为腰，不妨设b=a=6 代入方程：代入方程：662+6+6（（3k 3k﹣﹣2）﹣）﹣6k=0 6k=0 ∴k=k=﹣﹣2则原方程化为x 2﹣8x+12=0 （x ﹣2）（x ﹣6）=0 ∴x 1=2=2，，x 2=6 即b=6b=6，，c=2此时△此时△ABC ABC 三边为6，6，2能构成三角形，能构成三角形，综上所述：△综上所述：△ABC ABC 三边为6，6，2． ∴周长为6+6+2=146+6+2=14．．3030．．（1）k=6k=6，方程变为，方程变为x 2﹣5x+6=05x+6=0，即（，即（，即（x x ﹣2）（x ﹣3）=0=0，，∴x 1=2=2，，x 2=3=3；；（2）根据题意△）根据题意△==（﹣（﹣55）2﹣4k 4k＞＞0，解得k ＜；（3）根据题意得x 1+x 2=5=5，，x 1，•x 2=k =k，，而2x 1﹣x 2=2=2，， ∴x 1=， ∴x 2=， ∴k=×=3131．．（1）∵△）∵△=[=[=[﹣﹣（m ﹣1）]2﹣4m=m 2+2m+1+2m+1﹣﹣4m=4m=（（m ﹣1）2，又∵不论m 取何实数，总有（取何实数，总有（m m ﹣1）2≥0， ∴△≥∴△≥00，∴不论m 取何实数，方程都有实数根．取何实数，方程都有实数根．（2）∵由求根公式得=∴x 1=m =m，，x 2=1=1，，∴只要m 取整数（不等于1），则方程的解就都为整数且不相等．相等．如取m=2m=2，则原方程有两个不相等的整数根，分别是，则原方程有两个不相等的整数根，分别是x 1=2=2，，x 2=1=1．．3232．．（1）△）△==（﹣（﹣22）2﹣4（2k 2k﹣﹣3）=8=8（（2﹣k ）． ∵该方程有两个不相等的实数根，∵该方程有两个不相等的实数根， ∴8（2﹣k ）＞）＞00，解得k ＜2．（2）当k 为符合条件的最大整数时，为符合条件的最大整数时，k=1k=1k=1．．此时方程化为x 2﹣2x 2x﹣﹣1=01=0，方程的根为，方程的根为x==1±．即此时方程的根为x 1=1+，x 2=1=1﹣﹣．3333．．（1）当k=k=﹣﹣1时，方程﹣时，方程﹣4x 4x 4x﹣﹣4=0为一元一次方程，此方程有一个实数根；此方程有一个实数根；当k ≠﹣≠﹣11时，方程（时，方程（k+1k+1k+1））x 2+（3k 3k﹣﹣1）x+2k x+2k﹣﹣2=0是一元二次方程，二次方程，△=（3k 3k﹣﹣1）2﹣4（k+1k+1））（2k 2k﹣﹣2）=（k ﹣3）2． ∵（∵（k k ﹣3）2≥0，即△≥，即△≥00，∴k 为除﹣为除﹣11外的任意实数时，此方程总有两个实数根．外的任意实数时，此方程总有两个实数根．综上，无论k 取任意实数，方程总有实数根；取任意实数，方程总有实数根；（2）∵方程（k+1k+1））x 2+（3k 3k﹣﹣1）x+2k x+2k﹣﹣2=0中a=k+1a=k+1，，b=3k ﹣1，c=2k c=2k﹣﹣2，∴x=，∴x 1=﹣1，x 2=﹣2，∵方程的两个根是整数根，且k 为正整数，为正整数， ∴当k=1时，方程的两根为﹣时，方程的两根为﹣11，0；当k=3时，方程的两根为﹣时，方程的两根为﹣11，﹣，﹣11． ∴k=1k=1，，3 33434．．（1）∵方程x 2﹣x+p x+p﹣﹣1=0有两个实数根x 1、x 2， ∴△≥∴△≥00，即12﹣4×1×（×（p p ﹣1）≥）≥00，解得p ≤， ∴p 的取值范围为p ≤；（2）∵方程x 2﹣x+p x+p﹣﹣1=0有两个实数根x 1、x 2， ∴x 12﹣x 1+p +p﹣﹣1=01=0，，x 22﹣x 2+p +p﹣﹣1=01=0，， ∴x 12﹣x 1=﹣p+1=0p+1=0，，x 22﹣x 2=﹣p+1p+1，， ∴（﹣∴（﹣p+1p+1p+1﹣﹣2）（﹣（﹣p+1p+1p+1﹣﹣2）=9=9，， ∴（∴（p+1p+1p+1））2=9=9，， ∴p 1=2=2，，p 2=﹣4，∵p ≤， ∴p=p=﹣﹣4 43535．．（1）设方程的两个正根为x 1、x 2，则：，则： △=（2k 2k﹣﹣3）2﹣4（2k 2k﹣﹣4）≥）≥0 0 ①，①， x 1+x 2=2k =2k﹣﹣3＞0，x 1x 2=2k =2k﹣﹣4＞0 ②，②，解①，得：解①，得：k k 为任意实数，为任意实数，解②，得：解②，得：k k ＞2，所以k 的取值范围是k ＞2；（2）设方程的两个根为x 1、x 2，则：，则： △=（2k 2k﹣﹣3）2﹣4（2k 2k﹣﹣4）＞）＞0 0 ①，①， x 1+x 2=2k =2k﹣﹣3＞0，x 1x 2=2k =2k﹣﹣4＜0 ②，②，解①，得：解①，得：k k ≠，解②，得：＜k ＜2，所以k 的取值范围是＜k ＜2；（2）设方程的两个根为x 1、x 2，则：，则： △=（2k 2k﹣﹣3）2﹣4（2k 2k﹣﹣4）＞）＞0 0 ①，①，（x 1﹣3）（x 2﹣3）＜）＜0 0 ②，②，解①，得：解①，得：k k ≠，由②，得：由②，得：x x 1x 2﹣3（x 1+x 2）+9+9＜＜0，又x 1+x 2=2k =2k﹣﹣3＞0，x 1x 2=2k =2k﹣﹣4，代入整理，得﹣代入整理，得﹣4k+144k+144k+14＜＜0，解得k ＞．则k ＞．3636．．（1）∵关于x 的方程x 2+（2k+12k+1））x+k 2+2=0有两个不相等的实数根，等的实数根， ∴△∴△=b =b 2﹣4ac 4ac＞＞0∴（∴（2k+12k+12k+1））2﹣4（k 2+2+2）＞）＞）＞0 0 ∴4k 2+4k+1+4k+1﹣﹣4k 2﹣8＞0， ∴4k 4k＞＞7，解得，解得，k k ＞；（2）假设直线y=y=（（2k 2k﹣﹣3）x ﹣4k+7能否通过点A （﹣（﹣22，5）， ∴5=5=（（2k 2k﹣﹣3）×（﹣）×（﹣22）﹣）﹣4k+74k+74k+7，即﹣，即﹣，即﹣8=8=8=﹣﹣8k 8k，，解得k=1k=1＜＜；又由（又由（11）知，）知，kk ＞；∴k=1不符合题意，即直线y=y=（（2k 2k﹣﹣3）x ﹣4k+7不通过点A （﹣（﹣22，5）3737．．（1）把x=x=﹣﹣1代入原方程得：代入原方程得：1+m 1+m 1+m﹣﹣2=02=0，，解得：解得：m=1m=1m=1，，∴原方程为x 2﹣x ﹣2=02=0．．解得：解得：x=x=x=﹣﹣1或2， ∴方程另一个根是2；（2）∵△）∵△=b =b 2﹣4ac=m 2+8+8＞＞0，∴对任意实数m 方程都有两个不相等的实数根．方程都有两个不相等的实数根． 3838．∵△．∵△．∵△==（﹣（﹣2m 2m 2m））2﹣4×1×（﹣×（﹣2m 2m 2m﹣﹣4） =4=4（（m 2+2m +2m））+16 =4=4（（m 2+2m+1+2m+1﹣﹣1）+16 =4=4（（m+1m+1））2+12+12＞＞0，∴关于x 的方程x 2﹣2mx 2mx﹣﹣2m 2m﹣﹣4=0总有两个不相等的实数根．根．3939．∵关于．∵关于x 的一元二次方程x 2﹣（﹣（m m ﹣1）x+m+2=0有两个相等的实数根，个相等的实数根， ∴△∴△=b =b 2﹣4ac=04ac=0，，即：（m ﹣1）2﹣4（m+2m+2））=0=0，，解得：解得：m=7m=7或m=m=﹣﹣1， ∴m 的值为7或﹣或﹣1 14040．．1）证明：∵）证明：∵a=1a=1a=1，，b=b=﹣﹣k ，c=c=﹣﹣2∴△∴△=b =b 2﹣4ac=4ac=（﹣（﹣（﹣k k ）2﹣4×1×（﹣×（﹣22）=k 2+8+8，， ∵k 2＞0， ∴△＞∴△＞00，∴无论k 取何值，方程有两个不相等的实数根．取何值，方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵，；又∵又∵x x 1+x 2=x 1•x 2 ∴k=k=﹣﹣2．4141．当．当m 2=0=0，即，即m=0m=0，方程变为：，方程变为：，方程变为：x+1=0x+1=0x+1=0，有解；，有解；，有解；当m 2≠0，即m ≠0，原方程要有实数根，则△≥，原方程要有实数根，则△≥00，即△即△==（2m+12m+1））2﹣4m 2=4m+1=4m+1≥≥0，解得m ≥﹣，则m 的范围是m ≥﹣且m ≠0；所以，所以，m m 的取值范围为m ≥﹣ 4242．．（1）△）△=4=4=4﹣﹣4m 4m，，∵有两个实数根，∵有两个实数根， ∴4﹣4m 4m≥≥0， ∴m ≤1；（2）∵，解得，，∴m=x 1x 2=﹣3 34343．∵一元二次方程有两个不相等的实数根，．∵一元二次方程有两个不相等的实数根，．∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△∴△=4+4=4+4=4+4（（1﹣m ）=8=8﹣﹣4m 4m＞＞0，且1﹣m ≠0，∴，∴m m ＜2，且m ≠1．当m=0时，无意义，故m ≠0，则m 的最大整数值为﹣的最大整数值为﹣11，所以=4=4××1+1=51+1=5．．答：=5=5．．4444．．（1）∵方程x 2+2kx++2kx+（（k 2+2k +2k﹣﹣5）=0有两个实数根，有两个实数根， ∴△≥∴△≥00，即4k 2﹣4（ k 2+2k +2k﹣﹣5 ）≥）≥00， ∴﹣∴﹣8k+208k+208k+20≥≥0 ∴k ≤；（2）∵）∵x x 1+x 2=﹣2k 2k，，x 1x 2=k 2+2k +2k﹣﹣5，而x 1+x 2=x 1x 2，∴﹣∴﹣2k=k 2k=k 2+2k +2k﹣﹣5，即k 2+4k +4k﹣﹣5=0 解得k 1=﹣5，k 2=1=1，，又∵又∵kk ≤， ∴k=k=﹣﹣5或1 14545．．（1）（2k 2k﹣﹣1）2﹣4k 2×1≥0，解得：解得：k k ≤，且：且：k k 2≠0， ∴k ≠0， ∴k ≤且k ≠0；（2）不存在，）不存在，∵方程有两个的实数根，∵方程有两个的实数根， ∴x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，∴==﹣=﹣2k+1=02k+1=0，，k=，∵k ≤且k ≠0； ∴不存在∴不存在4646．．（1）∵△）∵△=[=[=[﹣（﹣（﹣（k+1k+1k+1））]2﹣4k=k 2+2k+1+2k+1﹣﹣4k=4k=（（k ﹣1）2≥0，∴无论k 取什么实数值，这个方程总有实根；取什么实数值，这个方程总有实根；（2）∵等腰△）∵等腰△ABC ABC 的一边长a=4a=4，， ∴另两边b 、c 中必有一个数为4，把4代入关于x 的方程x 2﹣（﹣（k+1k+1k+1））x+k=0中得，中得， ∴1616﹣﹣4（k+1k+1））+k=0+k=0，，解得：解得：k=4k=4k=4，，所以b+c=k+1=5∴△∴△ABC ABC 的周长的周长=4+5=9=4+5=9=4+5=9．．4747．．（1）∵方程有两根不相等的实数根，）∵方程有两根不相等的实数根， ∴△∴△==（2k+12k+1））2﹣4×1×（×（k k 2﹣2）＞）＞00， ∴k ＞﹣；（2）把x=1代入原方程得1+1+（（2k+12k+1））+k 2﹣2=02=0，，整理得k 2+2k=0+2k=0，，解得k=0或﹣或﹣22；（3）设两实数根为：）设两实数根为：x x 1，x 2，由根与系数的关系：由根与系数的关系：x x 1x 2=k 2﹣2=12=1，，解得k=k=±±4848．①由题意得，．①由题意得，．①由题意得，222﹣4（k ﹣1）•（﹣5）＞）＞00．解得，．且k ﹣1≠0，即k ≠1 故且k ≠1．（2）k 的最小整数是k=2k=2．则原方程为．则原方程为x 2+2x +2x﹣﹣5=0 故此时方程的解为：，4949．．（1）证明：∵△∵△=[=[=[﹣﹣（2m 2m﹣﹣1）]2﹣4×（m ﹣1）×2=4m 2﹣12m+9=12m+9=（（2m 2m﹣﹣3）2≥0，∴无论m 取任何实数，方程总有实数根；取任何实数，方程总有实数根；（2）x==，x 1==2=2，，x 2==，∵方程只有整数根，∵方程只有整数根，∴m ﹣1=1=±±1，解得：解得：m=0m=0或2 2 5050．．（1）有道理，）有道理，△=k 2﹣4×2×（﹣×（﹣11）=k 2+8+8，， ∴k 2≥0，∴k 2+8+8＞＞0，∴无论k 为何实数，方程总有实数根；为何实数，方程总有实数根；（2）∵方程的一个根是﹣）∵方程的一个根是﹣11， ∴2×（﹣×（﹣11）2﹣k ﹣1=01=0，，解得：解得：k=1k=1k=1，，把k=1代入方程2x 2+kx +kx﹣﹣1=0得方程2x 2+x +x﹣﹣1=01=0，，解得：解得：x x 1=﹣1，x 2=，故另一根是，k 的值是1 15151．．（1）∵△≥）∵△≥00，方程有两个实数根，，方程有两个实数根， ∴12﹣4×1×m ≥0，解得m ≤1， ∴当m ≤1时，方程有两个实数根；时，方程有两个实数根；（2）∵方程的两个实数根为a 、b ， ∴b 2﹣b+m=0m=0，，ab=m ， ∴y=m ﹣2（b 2﹣b ）+1 =m ﹣2×（﹣m ）+1 =m+1m+1，， ∵m ≤1， ∴y ≤+1+1，，即y ≤．5252．．（1）∵关于x 的一元二次方程x 2+（2k+12k+1））x+k 2﹣2=0有实根，有实根，∴△∴△==（2k+12k+1））2﹣4×1×（×（k k 2﹣2）≥）≥00，解得：；（2）设方程x 2+（2k+12k+1））x+k 2﹣2=0设其两根为x 1，x 2，得x 1+x 2=﹣（﹣（2k+12k+12k+1）），x 1•x 2=k 2﹣2， ∵x 12+x 22=11=11，，∴（∴（x x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=11=11，， ∴（∴（2k+12k+12k+1））2﹣2（k 2﹣2）=11=11，，解得k=1或﹣或﹣33； ∵k ≥﹣， ∴k=1k=1．．5353．∵一元二方程．∵一元二方程x 2+mx+2m +mx+2m﹣﹣n=0有一个根为2， ∴4+4m 4+4m﹣﹣n=0n=0①，①，①，又∵根的判别式为0， ∴△∴△=m =m 2﹣4×（×（2m 2m 2m﹣﹣n ）=0=0，，即m 2﹣8m+4n=08m+4n=0②，②，②，由①得：由①得：n=4+4m n=4+4m n=4+4m，，把n=4+4m 代入②得：代入②得：m m 2+8m+16+8m+16﹣﹣0，解得m=m=﹣﹣4，代入①得：代入①得：n=n=n=﹣﹣1212，，所以m=m=﹣﹣4，n=n=﹣﹣1212．． 5454．．（1）∵方程有实数根，）∵方程有实数根， ∴△≥∴△≥00，即16+4a 16+4a≥≥0，解得a ≥﹣≥﹣44．由于ax 2+4x +4x﹣﹣1=0是关于x 的一元二次方程，的一元二次方程，可知a ≠0，∴a ≥﹣≥﹣44且a ≠0．（2）∵）∵ax ax 2+4x +4x﹣﹣1=0是关于x 的一元二次方程，的一元二次方程， ∴x 1+x 2=﹣， x 1•x 2=﹣， ∴y=y=﹣﹣+=﹣．当﹣当﹣44≤a ＜0时，时，y=y=y=﹣﹣+=﹣＞0；当a ＞0时，时，y=y=y=﹣﹣+=﹣＜0． 5555．．（1）将x=2代入方程得：代入方程得：44﹣2m 2m﹣﹣2=02=0，，解得：解得：m=1m=1m=1，，方程为x 2﹣x ﹣2=02=0，即（，即（，即（x x ﹣2）（x+1x+1））=0=0，，解得：解得：x=2x=2或x=x=﹣﹣1，则方程的另一根为﹣则方程的另一根为﹣11；（2）∵△）∵△=m =m 2+8+8≥≥8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．∴方程有两个不相等的实数根． 5656．．（1）∵方程只有一个根，）∵方程只有一个根，∴此方程是一元一次方程，即k ﹣=0=0，， ∴k=；代入原方程得﹣x=1x=1，解得，解得x=x=﹣﹣；（2）∵方程有两个相等的实数根，）∵方程有两个相等的实数根，∴，∴k 1=0=0，，k 2=﹣6．5757．∵两个一元二次方程都有实数根，．∵两个一元二次方程都有实数根，．∵两个一元二次方程都有实数根， ∴，解得﹣≤k ≤．5858．．（1）∵关于x 的一元二次方程kx 2+2+2（（k+4k+4））x+x+（（k ﹣4）=0方程有实数根，方程有实数根，∴b 2﹣4ac=[24ac=[2（（k+4k+4））]2﹣4k 4k（（k ﹣4）≥）≥00，解得：解得：k k ≥﹣且k ≠0；（2）①若a=3为底边，则b ，c 为腰长，则b=c b=c，则△，则△，则△=0=0=0．． ∴b 2﹣4ac=[24ac=[2（（k+4k+4））]2﹣4k 4k（（k ﹣4）=0=0，，解得：解得：k=k=k=﹣﹣．此时原方程化为x 2﹣4x+4=0 ∴x 1=x 2=2=2，即，即b=c=2b=c=2．．此时△此时△ABC ABC 三边为3，2，2能构成三角形，能构成三角形， ∴△∴△ABC ABC 的周长为：的周长为：3+2+2=83+2+2=83+2+2=8；；②若a=b 为腰，则b ，c 中一边为腰，不妨设b=a=3 代入方程：代入方程：kx kx 2+2+2（（k+4k+4））x+x+（（k ﹣4）=0得：得：k k ×32+2+2（（k+4k+4））×3+3+（（k ﹣4）=0 ∴解得：∴解得：k=k=k=﹣﹣，∵x 1×x2=bc====3c =3c，，∴c=，∴△∴△ABC ABC 的周长为：的周长为：3+3+3+3+=．5959．．（1）证明：∵△）证明：∵△=k =k 2﹣4×2×（﹣×（﹣11）=k 2+4+4＞＞0， ∴该方程一定有两个不相等的实数根；∴该方程一定有两个不相等的实数根；（2）解：设另一个根为x 1，根据根与系数的关系可得：，根据根与系数的关系可得：x x 1•x 2=﹣， ∵一个根是﹣∵一个根是﹣11， ∴x 1•（﹣1）=﹣，解得：解得：x x 1=6060．∵一元二次方程．∵一元二次方程x 2﹣2（m+1m+1））x+m 2=0有两个整数根，有两个整数根， ∴△∴△=b =b 2﹣4ac=44ac=4（（m+1m+1））2﹣4m 2=8m+4=8m+4≥≥0， ∴，∵1212＜＜m ＜4040，，由求根公式由求根公式，∵一元二次方程x 2﹣2（m+1m+1））x+m 2=0有两个整数根，有两个整数根， ∴2m+1必须是完全平方数，必须是完全平方数， ∴m=24 m=24。

一元二次方程根的判别式专题训练

一元二次方程根的判别式专题训练1. (2010 广西钦州市) 已知关于x 的一元二次方程x 2 +kx +1 =0有两个相等的实数根，则k = ．2. (2010 湖北省荆门市) 如果方程2210ax x ++=有两个不等实根，则实数a 的取值范围是____________.3. (2010 江苏省苏州市) 若一元二次方程()2220x a x a -++=的两个实数根分别是3b 、，则a b +=_________.4. (2010 江苏省苏州市) 下列四个说法中，正确的是（）A ．一元二次方程22452x x ++=有实数根； B. 一元二次方程23452x x ++=有实数根； C. 一元二次方程25453x x ++=有实数根； D. 一元二次方程()2451x x a a ++=≥有实数根.5. (2010 湖南省益阳市) 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根，则ac b 42-满足的条件是Ａ．ac b 42-＝0 Ｂ．ac b 42-＞0Ｃ．ac b 42-＜0 Ｄ．ac b 42-≥0 6. (2010 山东省烟台市) 方程x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2，则（x1-1）（x2-1）= .7. (2010 北京市) 已知关于 x 的一元二次方程 2410x x m -+-= 有两个相等的实数根，求m 的值及方程的根．8. 当k 是什么整数时, 方程(k2–1)x2–6(3k –1)x+72=0有两个不相等的正整数根？9. 关于x 的一元二次方程()011222=-+--m x m x 与0544422=--+-m m mx x 的根都是整数，求m 的整数值, 并求出两方程的整数根.10. (2010 重庆市江津区) 在等腰△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中5a =，若关于x的方程()2260x b x b +++-=有两个相等的实数根，求△ABC 的周长． 11. (2010 四川省乐山市) 若关于x 的一元二次方程012)2(222=++--k x k x 有实数根βα、．（1）求实数k 的取值范围；（2）设k t βα+=，求t 的最小值．12. (2010 甘肃省天水市) 已知A B C △的两边A B 、A C 的长是关于x 的一元二次方程22(23)320x k x k k -++++=的两个实数根，第三边B C 的长为5．（1）当k 为何值时，A B C △是直角三角形；（2）当k 为何值时，A B C △是等腰三角形，并求出A B C △的周长．13．已知关于x 的两个一元二次方程：方程：02132)12(22=+-+-+k k x k x ① 方程：0492)2(2=+++-k x k x② (1)若方程①、②都有实数根，求k 的最小整数值；(2)若方程①和②中只有一个方程有实数根；则方程①，②中没有实数根的方程是______(填方程的序号)，并说明理由；(3)在(2)的条件下，若k 为正整数，解出有实数根的方程的根．14．已知：关于x 的方程2x 2＋2(a －c )x ＋(a －b )2＋(b －c )2=0有两相等实数根．求证：a ＋c =2b ．(a ，b ，c 是实数)15．设两个方程的判别式分别为x 1，x 2，则x 1＝a 2－4c ，x 2＝b 2－4d ．∴x 1＋x 2＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0．从而x 1，x 2中至少有一个非负数，即两个方程中至少有一个方程有实数根．16．求证：不论k 取任何值，方程(k 2＋1)x 2－2kx ＋(k 2＋4)=0都没有实根。

根的判别式练习题(含答案解析)

根的判别式练习题一．填空题（共8小题）1．若一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝．2．已知关于x的一元二次方程mx2﹣3x+1＝0有两个实数根，则m的取值范围是．3．已知关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0有实数根，则m的最大整数值是．4．等腰三角形ABC的三条边长分别为4，a，b，若关于x的一元二次方程x2+（a+2）x+6﹣a＝0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是．5．等腰三角形三边长分别为a、b、2，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1＝0的两根，则n的值为．6．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+3x+m﹣1＝0为“友好方程”，则m 的值．7．若△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，当k＝时，△ABC是等腰三角形；当k＝时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．8．若关于x的方程ax2+4x﹣3＝0有唯一实数解，则a的值为．二．解答题（共2小题）9．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．10．已知关于x的方程mx2+（3m+1）x+3＝0．（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；（2）若方程mx2+（3m+1）x+3＝0有两个不同的整数根，且m为正整数，求m的值．参考答案与试题解析一．填空题（共8小题）1．若一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝2．【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝16﹣8m＝0，解之即可得出结论．【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝16﹣8m＝0，解得：m＝2．∴m＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等实数根”是解题的关键．2．已知关于x的一元二次方程mx2﹣3x+1＝0有两个实数根，则m的取值范围是m≤且m≠0．【分析】根据判别式的意义得到m≠0，b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4m≥0，然后解不等式即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣3x+1＝0有两个实数根，∴Δ＝（﹣3）2﹣4m≥0且m≠0，解得：m≤且m≠0，故答案为：m≤且m≠0．【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．3．已知关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0有实数根，则m的最大整数值是0．【分析】根据方程有实数根可知△≥0，据此求出m的取值范围，从而得到m的最大整数值．【解答】解：∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0有实数根，∴△≥0，∴[2（m﹣1）]2﹣4m2≥0，∴﹣8m+4≥0，解得，m≤，故m的最大整数值是0．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．4．等腰三角形ABC的三条边长分别为4，a，b，若关于x的一元二次方程x2+（a+2）x+6﹣a＝0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是10．【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝（a+2）2﹣4（6﹣a）＝0，进而可由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长．【解答】解：根据题意得Δ＝（a+2）2﹣4（6﹣a）＝0，解得a1＝﹣10（负值舍去），a2＝2，在等腰△ABC中，①4为底时，则b＝a＝2，∵2+2＝4，∴不能组成三角形；②4为腰时，b＝4，∵2+4＞4，∴能组成三角形，∴△ABC的周长＝4+4+2＝10．综上可知，△ABC的周长是10．故答案为：10．【点评】此题考查了根的判别式、等腰三角形的性质及三角形三边关系定理；在求三角形的周长时，不能盲目的将三边相加，而应在三角形三边关系定理为前提条件下分类讨论，以免造成多解、错解．5．等腰三角形三边长分别为a、b、2，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1＝0的两根，则n的值为10．【分析】讨论：当a＝2或b＝2时，把x＝2代入x2﹣6x+n﹣1＝0可求出对应的n的值；当a＝b时，根据判别式的意义得到Δ＝（﹣6）2﹣4×（n﹣1）＝0，解得n＝10．【解答】解：当a＝2或b＝2时，把x＝2代入x2﹣6x+n﹣1＝0得4﹣12+n﹣1＝0，解得n＝9，此时方程的根为2和4，而2+2＝4，故舍去；当a＝b时，Δ＝（﹣6）2﹣4×（n﹣1）＝0，解得n＝10，故答案为10．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了等腰三角形的性质．6．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+3x+m﹣1＝0为“友好方程”，则m 的值1或﹣9．．【分析】通过解方程x2﹣2x＝0，可得出方程的根，分x＝0为两方程相同的实数根或x ＝2为两方程相同的实数根两种情况考虑：①若x＝0是两个方程相同的实数根，将x＝0代入方程x2+3x+m﹣1＝0中求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出m＝1符合题意；②若x＝2是两个方程相同的实数根，将x＝2代入方程x2+3x+m﹣1＝0中求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出m＝2符合题意．综上此题得解．【解答】解：解方程x2﹣2x＝0，得：x1＝0，x2＝2．①若x＝0是两个方程相同的实数根．将x＝0代入方程x2+3x+m﹣1＝0，得：m﹣1＝0，∴m＝1，此时原方程为x2+3x＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣3，符合题意，∴m＝1；②若x＝2是两个方程相同的实数根．将x＝2代入方程x2+3x+m﹣1＝0，得：4+6+m﹣1＝0，∴m＝﹣9，此时原方程为x2+3x﹣10＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣5，符合题意，∴m＝﹣9．综上所述：m的值为1或﹣9．故答案为：1或﹣9．【点评】本题考查了一元二次方程的解，代入x求出m的值是解题的关键．7．若△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，当k＝3或4时，△ABC是等腰三角形；当k＝2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．【分析】（1）此题要分两种情况进行讨论，若AB＝BC＝5时，把5代入方程即可求出k 的值，若AB＝AC时，则Δ＝0，列出关于k的方程，解出k的值即可；（2）若△ABC是以BC为斜边的直角三角形，则根据勾股定理，AB2+AC2＝25，再根据根与系数的关系求得k的值即可．【解答】解：（1）因为Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2k+3）]2﹣4×1×（k2+3k+2）＝1＞0，所以方程总有两个不相等的实数根．若AB＝BC＝5时，5是方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的实数根，把x＝5代入原方程，得k＝3或k＝4．∵无论k取何值，Δ＞0，∴AB≠AC，故k只能取3或4；（2）根据根与系数的关系：AB+AC＝2k+3，AB•AC＝k2+3k+2，则AB2+AC2＝（AB+AC）2﹣2AB•AC＝25，即（2k+3）2﹣2（k2+3k+2）＝25，解得k＝2或k＝﹣5．根据三角形的边长必须是正数，因而两根的和2k+3＞0且两根的积k2+3k+2＞0，解得k ＞﹣1，∴k＝2．故答案为：3或4；2．【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系是：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．在解题的过程中注意不要忽视三角形的边长是正数这一条件8．若关于x的方程ax2+4x﹣3＝0有唯一实数解，则a的值为0．【分析】根据关于x的方程ax2+4x﹣3＝0有唯一实数解，可知是一元一次方程，依此求出a的值．【解答】解：∵关于x的方程ax2+4x﹣3＝0有唯一实数解，∴a＝0．故答案为：0．【点评】此题主要考查了根的判别式，关键是掌握Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，Δ＜0时，方程没有实数根．二．解答题（共2小题）9．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．【分析】根据判别式的意义得到Δ＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）＞0，解得m＞0，且m﹣1≠0，解得：m≠1，所以m＞0且m≠1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．10．已知关于x的方程mx2+（3m+1）x+3＝0．（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；（2）若方程mx2+（3m+1）x+3＝0有两个不同的整数根，且m为正整数，求m的值．【分析】（1）分类讨论：当m＝0时，方程变形一元一次方程，有一个实数解；当m≠0时，方程为一元二次方程，再进行判别式得到Δ＝（3m﹣1）2，易得△≥0，故判别式的意义得到方程有两个实数根，然后综合两种情况得到不论m为任何实数，此方程总有实数根；（2）先利用求根公式得到x1＝﹣3，x2＝﹣，再利用方程有两个不同的整数根，且m 为正整数和整数的整除性易得m＝1．【解答】（1）证明：当m＝0时，方程变形为x+3＝0，解得x＝﹣3；当m≠0时，Δ＝（3m+1）2﹣4m•3＝9m2﹣6m+1＝（3m﹣1）2，∵（3m﹣1）2，≥0，即△≥0，∴此时方程有两个实数根，所以不论m为任何实数，此方程总有实数根；（2）解：根据题意得m≠0且Δ＝（3m+1）2﹣4m•3＝（3m﹣1）2＞0，x＝，所以x1＝﹣3，x2＝﹣，∵方程有两个不同的整数根，且m为正整数，∴m＝1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．。

一元二次方程根的判别式基础练习30题含详细答案

（2）求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（3）设该方程的两个实数根为x1，x2，若x12+x22+m（x1+x2）＝m2+1，求m的值．
21．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足x12+x22＝16，求k的值．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程根的情况，解题的关键是熟知根的判别式特点．
5．B
【分析】
先根据一元二次方程的解的定义得到α2+2α﹣2015＝0，则α2+2α＝2015，于是α2+3α+β可化为2015+α+β，再利用根与系数的关系得到α+β＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
解：∵α是方程x2+2x﹣2015＝0的根，
16．若关于x的一元二次方程kx2－4x+3=0有实数根，则k的取值范围是_____．
三、解答题
17．关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）若x1+2x2=3，求|x1﹣x2|的值．
18．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根．
（1）若方程的一个根为1，求m的值；
7．D
【分析】
要判断所给方程是有两个不相等的实数根，只要找出方程的判别式，根据判别式的正负情况即可作出判断．有两个不相等的实数根的方程，即判别式的值大于0的一元二次方程．
【详解】
解：A、x2+1=0中，没有实数根，故本选项错误；

《一元二次方程的解法及根的判别式》练习

《一元二次方程的解法及根的判别式》练习1．若关于x的一元二次方程为ax2＋bx＋5＝0(a≠0)的解是x＝1，则2013－a－b的值是( ) A．2018 B．2008 C．2014 D．20122．一元二次方程x2－2x－3＝0的解是( )A．x1＝－1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝－3C．x1＝－1，x2＝－3 D．x1＝1，x2＝33．已知一元二次方程：①x2＋2x＋3＝0，②x2－2x－3＝0，下列说法正确的是( )A．①②都有实数解B．①无实数解，②有实数解C．①有实数解，②无实数解D．①②都无实数解4．若关于x的一元二次方程（m－1）x2＋5x＋m2－3m＋2＝0的常数项为0，则m的值等于( ) A．1 B．2 C．1或2 D．05．若关于x的一元二次方程x2＋2x＋a－1＝0有两个根，分别为x1，x2，且21x－x1x2＝0，则a的值是( )A．a＝1 B．a＝1或a＝－2 C．a＝2 D．a＝1或a＝26．若关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A．k<－2 B．k<2 C．k>2 D．k<2且k≠17．定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”，若ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是凤凰方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是( )A．a＝c B．a＝bC．b＝c D．a＝b＝c8．若将方程x2＋6x＝7化为(x＋m)2＝16，则m＝_______．9．一元二次方程x(x－6)＝0的两个实数根中较大的根是_______．10．定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有a★b＝a2－3a＋b，如：3★5＝32－3×3＋5.若x★2＝6，则实数x的值是_______．11．若a，b，c分别是三角形的三边，则方程(a＋b)x2＋2cx＋(a＋b)＝0的根的情况是_______．12.如果关于x的方程ax2＋2(a＋2)x＋a＝0有实数解，那么实数a的取值范围是_______．13.对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝22,,a ab a bab b a b⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩例如：4*2，因为4>2，所以4*2＝42－4×2＝8.若x1，x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的两个根．则x1*x2＝_______．14.若关于x的一元二次方程x2－x－3＝0的两个实数根分别为α，β，则(α＋3)（β＋3）＝_______．15．选择适当的方法解下列方程：(1)(x＋1)(x－3)＝2x－6；(2)3(x－3)2＝x2－9.16．已知关于x的方程x2＋x＋n＝0有两个实数根－2，m，求m，n的值．17.已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0.(1)求出方程的根；(2)m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？18．阅读材料：为解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0，我们可以将x2－1看成一个整体，然后设x2－1＝y……①，那么原方程可化为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2－1＝1，∴x2＝2，∴x；当y＝4时，x2－1＝4，∴x2＝5，∴x故原方程的解为x1，x2，x3x4解答问题：(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用_______法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；(2)请利用以上知识解方程x4－x2－6＝0.参考答案1.A2.A3.B4.B5.D6.D7.A8.39.6 10.－1或411．没有实数根12．a≥－1 13．－3或3 14．915.(1)x1＝1，x2＝3 (2)x1＝3，x2＝616．n＝－2，m＝117．(1)x1＝11mm+-，x2＝1 (2)m＝2或318．(1)换元(2)x1x2。

中考复习——一元二次方程的根的判别式(解析版)

中考复习——一元二次方程的根的判别式一、选择题1、一元二次方程2x2-3x+1=0的根的情况是（）．A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根答案：B解答：∵Δ=b2-4ac=（-3）2-4×2×1=1＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．2、已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2，则实数k的取值范围是（）．A. k＜14B. k≤14C. k＞4D. k≤14且k≠0答案：B解答：∵关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2，∴Δ=b2-4ac≥0，∵a=1，b=-（2k+1），c=k2+2k，∴[-（2k+1）]2-4×1×（k2+2k）≥0，∴-4k≥-1，∴k≤14．选B.3、若一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限，则关于x的方程x2+kx+b=0的根的情况是（）．A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定答案：A解答：∵一次函数y=kx+b的图象不经过第二象限，∴k＞0，b≤0，∴Δ=k2-4b＞0，∴方程有两个不相等的实数根．选A.4、关于x的一元二次方程x2+2（m-1）x+m2=0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0，则m的取值范围是（）．A. m≤12B. m≤12且m≠0C. m＜1D. m＜1且m≠0答案：B解答：∵Δ=[2（m-1）]2-4m2=-8m+4≥0，∴m≤12．∵x1+x2=-2（m-1）＞0，x1x2=m2＞0，∴m＜1，m≠0，∴m≤12且m≠0．5、关于x的方程x2+2（m-1）x+m2-m=0有两个实数根α，β，且α2+β2=12，那么m的值为（）．A. -1B. -4C. -4或1D. -1或4答案：A解答：由题意知α+β=-2（m-1）=2-2m，αβ=m2-m，且Δ=[2（m-1）]2-4（m2-m）≥0，4（m2-2m+1）-4m2+4m≥0，4m2-8m+4-4m2+4m≥0，-4m≥-4，m≤1，由α2+β2=12可有（α+β）2-2αβ=12，（2-2m）2-2（m2-m）=12，4m2-8m+4-2m2+2m-12=0，2m2-6m-8=0，m2-3m-4=0，（m-4）（m+1）=0，解得m1=-1，m2=4，∵m ≤1故m =-1．故答案为：A.6、关于x 的一元二次方程x 2+2mx +2n =0有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程y 2+2ny +2m =0同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；②（m -1）2+（n -1）2≥2；③-1≤2m -2n ≤1．其中正确结论的个数是（）．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案：D解答：①两个整数根且乘积为正，两个根同号，由韦达定理有，x 1·x 2=2n ＞0，y 1·y 2=2m ＞0，y 1+y 2=-2n ＜0，x 1+x 2=-2m ＜0，这两个方程的根都为负根，①正确； ②由根判别式有：Δ=b 2-4ac =4m 2-8n ≥0，Δ=b 2-4ac =4n 2-8m ≥0， ∵4m 2-8n ≥0，4n 2-8m ≥0，∴m 2-2n ≥0，n 2-2m ≥0，m 2-2m +1+n 2-2n +1=m 2-2n +n 2-2m +2≥2，（m -1）2+（n -1）2≥2，②正确；③由根与系数关系可得2m -2n =y 1y 2+y 1+y 2=（y 1+1）（y 2+1）-1，由y 1、y 2均为负整数，故（y 1+1）（y 2+1）≥0，故2m -2n ≥-1，同理可得：2n -2m =x 1x 2+x 1+x 2=（x 1+1）（x 2+1）-1，得2n -2m ≥-1，即2m -2n ≤1，故③正确． 7、若关于x 的不等式x -2a＜1的解集为x ＜1，则关于x 的一元二次方程x 2+ax +1=0根的情况是（）． A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定答案：C解答：解不等式x -2a ＜1得x ＜1+2a ，而不等式x -2a＜1的解集为x ＜1，所以1+2a=1，解得a =0，又因为Δ=a 2-4=-4，所以关于x 的一元二次方程x 2+ax +1=0没有实数根．8、已知命题“关于x 的一元二次方程x 2+bx +1=0，当b ＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（）．A. b=-1B. b=2C. b=-2D. b=0答案：A解答：Δ=b2-4，由于当b=-1时，满足b＜0，而Δ＜0，方程没有实数解，所以当b=-1时，可说明这个命题是假命题．9、在平面直角坐标系中，已知函数y1=x2+ax+1，y2=x2+bx+2，y3=x2+cx+4，其中a，b，c 是正实数，且满足b2=ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（）A. 若M1=2，M2=2，则M3=0B. 若M1=1，M2=0，则M3=0C. 若M1=0，M2=2，则M3=0D. 若M1=0，M2=0，则M3=0答案：B解答：设3个函数的判别式分别为Δ1=a2-4，Δ2=b2-8，Δ3=c2-16，∵b2=ac，∴c=2ba，A选项，若M1=2，M2=2，则Δ1=a2-4＞0，Δ2=b2-8＞0，∵a＞2，b2＞8，∴c=2ba与4无法比较大小，∴Δ3=c2-16无法确定，故A错误；B选项，若M1=1，M2=0，则Δ1=a2-4=0，Δ2=b2-8＜0，∴a=2，0＜b2＜8，∴c=282ba＜=4，∴Δ3=c2-16＜0，∴M3=0，故B正确；C选项，若M1=0，M2=2，则Δ1=a2-4＜0，Δ2=b2-8＞0，∴0＜a＜2，b2＞8，∴C =2b a＞4，∴Δ3=c 2-16＞0， ∴M 3=2，故C 错误； D 选项，若M 1=0，M 2=0，则Δ1=a 2-4＜0，Δ2=b 2-8＜0， ∴0＜a ＜2，0＜b 2＜8，∴c =2b a与4无法比较大小，∴Δ3=c 2-16无法确定，故D 错误．选B.10、已知抛物线y =ax 2+bx +c （b ＞a ＞0）与x 轴最多有一个公共点．有下列结论：①该抛物线的对称轴在y 轴左侧； ②关于x 的方程ax 2+bx +c +2=0无实数根； ③a -b +c ≥0； ④a b cb a++-的最小值为3．其中，正确结论的个数是（）．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个答案：D解答：∵b ＞a ＞0， ∴-2ba＜0，所以①正确；∵抛物线与x 轴最多有一个交点， ∴b 2-4ac ≤0，∴关于x 的方程αx 2+bx +c +2=0中，Δ=b 2-4a （c +2）=b 2-4ac -8a ＜0，所以②正确；∵a ＞0及抛物线与x 轴最多有一个交点， ∴x 取任何值时，y ≥0，∴当x =-1时，a -b +c ≥0，所以③正确；· 当x =-2时，4a -2b +c ≥0 a +b +c ≥3b -3a a +b +c ≥3（b -a ）a b cb a++-≥3，所以④正确．选D. 二、填空题11、若关于x 的一元二次方程（x +2）2=n 有实数根，则n 的取值范围是______．答案：n ≥0解答：∵关于x 的一元二次方程（x +2）2=n 有实数根， ∴x 2+4x +4-n =0有实数根， ∴Δ=b 2-4ac =16-4（4-n ）=4n ≥0， ∴n ≥0，故答案为：n ≥0．12、已知关于x 的一元二次方程x 2+k =0有两个相等的实数根，则k 值为______．答案：3解答：∵关于x 的一元二次方程x 2+k =0有两个相等的实数根，∴Δ=（）2-4k =0，∴12-4k =0，解得k =3．13、已知x =4是一元二次方程x 2-3x +c =0的一个根，则另一个根为______．答案：-1解答：设另一个根为t ，根据题意得4+t =3，解得t =-1，即另一个根为-1．14、若一元二次方程x 2+4x +c =0有两个不相等的实数根，则c 的值可以是______（写出一个即可）．答案：3解答：若一元二次方程x2+4x+c=0有两个不相等的实数根，则Δ=42-4c＞0，故c＜4．15、若关于x的一元二次方程（k-1）x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是______．答案：k≤5且k≠1解答：∵一元二次方程（k-1）x2+4x+1=0有实数根，∴k-1≠0，且b2-4ac=16-4（k-1）≥0，解得：k≤5且k≠1．16、已知关于x的一元二次方程x2-4x+m-1=0的实数根x1，x2，满足3x1x2-x1-x2＞2，则m 的取值范围是______．答案：3＜m≤5解答：由一元二次方程根与系数的关系，得x1x2=m-1，x1+x2=4，代入3x1x2-x1-x2＞2，得3（m-1）-4＞2，解得m＞3，又Δ=16-4（m-1）≥0，解得m≤5，综上可知：3＜m≤5．17、已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两根为x1和x2，且（x1-2）（x1-x2）=0，则k的值是______．答案：-2或-9 4解答：∵（x1-2）（x1-x2）=0，∴x1-2=0或x1-x2=0．①如果x1-2=0，那么x1=2，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2-2=0，得4+2（2k+1）+k2-2=0，整理，得k2+4k+4=0，解得k=-2．②如果x1-x2=0，那么（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=[-（2k+1）]2-4（k2-2）=4k+9=0，解得k=-94．又∵Δ=（2k+1）2-4（2k+1）≥0．解得：k≥-94．所以k的值为-2或-94．18、关于x的方程x2-（2m-1）x+m2-1=0的两实数根为x1，x2，且x12+x22=3，则m=______．答案：0解答：∵方程x2-（2m-1）x+m2-1=0的两实数根为x1，x2，∴x1+x2=2m-1，x1x2=m2-1，∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（2m-1）2-2（m2-1）=3，解得：m1=0，m2=2，∵方程有两实数根，∴Δ=（2m-1）2-4（m2-1）≥0，既m≤5 4∴m2=2（不合题意，舍去），∴m=0．19、关于x的方程mx2+x-m+1=0，有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解．其中正确的是______（填序号）．答案：①③解答：当m=0时，x=-1，方程只有一个解，①正确；当m≠0时，方程mx2+x-m+1=0是一元二次方程，1-4m（1-m）=1-4m+4m2=（2m-1）2≥0，方程有两个实数解，②错误；把mx2+x-m+1=0分解为（x+1）（mx-m+1）=0，当x=-1时，m-1-m+1=0，即x=-1是方程mx2+x-m+1=0的根，③正确；故答案为∶①③．20、对于函数y=x n+x m，我们定义y’=nx n-1+mx m-1（mn为常数）．例如y=x4+x2，则y’=4x3+2x．已知：y=13x3+（m-1）x2+m2x．（1）若方程y’=0有两个相等实数根，则m的值为______．（2）若方程y’=m-14有两个正数根，则m的取值范围为______．答案：（1）1 2（2）m≤34且m≠12解答：（1）y’=x2+2（m-1）x+m2=0方程有两个相等的实数根，则Δ=0，即Δ=4（m-1）2-4m2=-8m+4=0，则m=12．（2）y’=x2+2（m-1）x+m2=m-14，∴x2+2（m-1）x+m2-m+14=0．要使方程有两个实数根，则Δ=4（m-1）2-4（m2-m+14）≥0，∴m≤34．要使方程有正根，则当x=0时x2+2（m-1）x+m2-m+14＞0，∴m≠12．答案为m≤34且m≠12．三、解答题21、已知关于x的一元二次方程（m-1）x2+2x-1=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．答案：m＞0且m≠1．解答：∵一元二次方程有两个不等实根，∴Δ=22-4（m-1）×（-1）＞0，即m＞0，又m-1≠0，∴m≠1，∴m＞0且m≠1．22、已知关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求m的取值范围．（2）当x1=1时，求另一个根x2的值．答案：（1）m＜9 4（2）2解答：（1）由题意得：Δ=（-3）2-4×1×m=94m0，解得：m＜94．（2）∵x1+x2=-ba=3，x1=1，∴x2=2．23、已知关于x的方程x2+（2k-1）x+k2-1=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值．答案：（1）k≤54．（2）k=-2．解答：（1）有两个实数根x1，x2，∴Δ=b2-4ac=（2k-1）2-4（k2-1）=-4k+5，∴-4k+5≥0，∴k≤54．（2）∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2，∴（x1+x2）2-2x1x2=16+x1x2，∴（2k-1）2=16+3（k2-1）k2-4k-12=0，∴k=-2或k=6（舍），∴k=-2．24、已知关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1，x2．（1）求m的取值范围．（2）若x1，x2满足3x1=|x2|+2，求m的值．答案：（1）m的取值范围为m≤5．（2）符合条件的m的值为4．解答：（1）∵关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1，x2，∴Δ=（-6）2-4（m+4）=20-4m≥0，解得：m≤5，∴m的取值范围为m≤5．（2）∵关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1，x2，∴x1+x2=6①，x1·x2=m+4②．∵3x1=|x2|+2，当x2≥0时，有3x1=x2+2③，联立①③解得：x1=2，x2=4，∴8=m+4，m=4．当x2＜0时，有3x1=-x2+2④，联立①④解得：x1=-2，x2=8（不合题意，舍去）．∴符合条件的m的值为4．25、已知：一元二次方程12x2+kx+k-12=0．（1）求证：不论k为何实数时，此方程总有两个实数根．（2）设k＜0，当二次函数y=12x2+kx+k-12的图象与x轴的两个交点A、B间的距离为4时，求此二次函数的解析式．（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为C，过y轴上一点M（0,m）作y轴的垂线l，当m为何值时，直线l与△ABC的外接圆有公共点？答案：（1）证明见解答．（2）此二次函数的解析式是y=12x2-x-32．（3）-2≤m≤2．解答：（1）∵Δ=k2-4×12×（k-12）=k2-2k+1=（k-1）2≥0，∴关于x的一元二次方程12x2+kx+k-12=0，不论k为何实数时，此方程总有两个实数根．（2）令y=0，则12x2+kx+k-12=0，∵x A+x B=-2k，x A·x B=2k-1，∴|x A-x B=2|k-1|=4，即|k-1|=2，解得k=3（不合题意，舍去），或k=-1，∴此二次函数的解析式是y=12x2-x-32．（3）由（2）知，抛物线的解析式是y =12x 2-x -32，易求A （-1,0），B （3,0），C （1,-2），∴AB =4，AC，BC，显然AC 2+BC 2=AB 2，得△ABC 是等腰直角三角形，AB 为斜边，∴外接圆的直径为AB =4，∴-2≤m ≤2．26、设m 是不小于-1的实数，使得关于x 的方程x 2+2（m -2）x +m 2-3m +3=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．（1）若11x +21x =1，求132m-的值．（2）求111mx x -+221mx x --m 2的最大值．答案：（1（2）当m =-1时，最大值为3．解答：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=b 2-4ac =4（m -2）2-4（m 2-3m +3）=-4m +4＞0，∴m ＜1，结合题意知：-1≤m ＜1．∵x 1+x 2=-2（m -2），x 1x 2=m 2-3m +3 ∴11x +21x =1212x x x x +=()22233m m m ---+=1 解得：m 1=12，m 2=12（不合题意，舍去） ∴132m-．（2）111mx x -+221mx x --m 2 =()()1212121221m x x mx x x x x x +--++-m 2=-2（m-1）-m2=-（m+1）2+3．当m=-1时，最大值为3．。

一元二次方程根的判别式练习题

…一元二次方程根的判别式练习题（一）填空1．方程x2＋2x-1＋m=0有两个相等实数根，则m=____．2．a是有理数，b是____时，方程2x2＋（a＋1）x-（3a2-4a＋b）=0的根也是有理数．3．当k＜1时，方程2（k+1）x2＋4kx+2k-1=0有____实数根．5．若关于x的一元二次方程mx2+3x-4=0有实数根，则m的值为____．6．方程4mx2-mx＋1=0有两个相等的实数根，则 m为____．$7．方程x2-mx＋n=0中，m，n均为有理数，且方程有一个根是28．一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）中，如果a，b，c是有理数且Δ=b2-4ac是一个完全平方数，则方程必有____．9．若m是非负整数且一元二次方程（1-m2）x2+2（1-m）x-1=0有两个实数根，则m的值为____．10．若关于x的二次方程kx2+1=x-x2有实数根，则k的取值范围是____．11．已知方程2x2-（3m＋n）x＋m·n=0有两个不相等的实数根，则m，n的取值范围是____．12．若方程a（1-x2）＋2bx＋c（1＋x2）=0的两个实数根相等，则a，b，c的关系式为_____．13．二次方程（k2-1）x2-6（3k-1）x+72=0有两个实数根，则k为___．14．若一元二次方程（1-3k）x2＋4x-2=0有实数根，则k的取值范围是____．，15．方程（x2＋3x）2+9（x2+3x）＋44=0解的情况是＿解．16．如果方程x2＋px＋q=0有相等的实数根，那么方程x2-p（1＋q）x＋q3＋2q2＋q=0____实根．（二）选择那么α=[ ]．18．关于x的方程：m（x2＋x+1）=x2+x＋2有两相等的实数根，则m值为 [ ]．）19．当m＞4时，关于x的方程（m-5）x2-2（m＋2）x+m=0的实数根的个数为 [ ]．A．2个； B．1个； C．0个； D．不确定．20．如果m为有理数，为使方程x2-4（m-1）x＋3m2-2m+2k=0的根为有理数，则k的值为 [ ]．则该方程[ ]．A．无实数根； B．有相等的两实数根；C．有不等的两实数根； D．不能确定有无实数根．,22．若一元二次方程（1-2k）x2+8x=6没有实数根，那么k的最小整数值是 [ ]．A．2； B．0； C．1；D．3．23．若一元二次方程（1-2k）x2+12x-10=0有实数根，那么k的最大整数值是 [ ]．A．1； B．2； C．-1； D．0．24．方程x2+3x+b2-16=0和x2+3x-3b＋12=0有相同实根，则b的值是 [ ]．A．4；B．-7；C．4或-7； D．所有实数．.[ ]．A．两个相等的有理根； B．两个相等的实数根；C．两个不等的有理根； D．两个不等的无理根．26．方程2x（kx-5）-3x2+9=0有实数根，k的最大整数值是 [ ]．A．-1； B．0； C．1；D．2．27．若方程k（x2-2x＋1）-2x2＋x＝0有实数根，则[ ]．,28．若方程（a-2）x2＋（-2a＋1）x＋a=0有实数根，则 [ ]．29．若m为有理数，且方程2x2＋（m＋1）x-（3m2-4m+n）=0的根为有理数，则n的值为 [ ]．A．4； B．1； C．-2； D．-6．30．方程x|x|-3|x|+2=0的实数根的个数是 [ ]．A．1； B．2； C．3；D． 4．（三）综合练习|有两个相等的实数根．求证：a2+b2=c2．32．如果a，b，c是三角形的三条边，求证：关于x的方程a2x2+（a2＋b2－c2）x＋b2=0无解．33．当a，b为何值时，方程x2+2（1+a）x＋（3a2+4ab＋4b2＋2）=0有实数根．34．已知：关于x的方程x2+（a-8）x+12-ab=0，这里a，b是实数，如果对于任意a值，方程永远有实数解，求b的取值范围．35．一元二次方程（m-1）x2+2mx＋m＋3=0有两个不相等的实数根，求m的最大整数值．36．k为何值时，方程x2+2（k-1）x+ k2+2k-4=0：（1）有两个相等的实数根；（2）没有实数根；（3）有两个不相等的实数根．…37．若方程3kx2-6x＋8=0没有实数根，求k的最小整数值．38．m是什么实数值时，方程2（m＋3）x2＋4mx＋2m-2=0：（1）有两个不相等的实数根；（2）没有实数根．39．若方程3x2-7x＋3k-2=0有两个不相同的实数根，求k的最大整数值．40．若方程（k+2）x2+4x-2=0有实数根，求k的最小整数值．41．设a为有理数，当b为何值时，方程2x2＋（a＋1）x-（3a2-4a＋b）＝0的根对于a的任何值均是有理数\42．k为何值时，方程k2x2＋2（k＋2）x＋1=0：（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根．43．已知方程（b-x）2-4（a-x）（c-x）=0（a，b，c为实数）．求证（1）此方程必有实根；（2）若此方程有两个相等的实数根，则a= b= c．44．若方程（c2＋a2）x＋2（b2-c2）x＋c2-b2=0有两个相等的实数根，且a，b，c是三角形ABC的三边，证明此三角形是等腰三角形．^有相等的实数根，求证r1＝r2或r1+r2＝d．46．求证：方程（x-a）（x-a-b）=1有两个实数根，其中一个大于a，另一个小于a．47．已知方程x2＋2x＋1＋m=0没有实数根．求证方程x2＋（m-2）x-m-3=0一定有两个不相等的实数根．48．已知 a，b，c是三角形的三边．求证方程a2x2＋（a2+c2-b2）x＋c2=0无实数根．49．若方程b（x2-4）+4（b-a）x-c（-4+x2）=0的两个根不相等，且a，b，c为△ABC的三边，求证：△ABC不是等边三角形．50．k为何值时，方程4kx+k=x2+4k2+2：（1）有两个不相等的实数根（2）有两个相等的实数根（3）无实数根—51．设实数x满足方程（x-2）2+（kx+2）2=4，求k的最大值．53．如果方程（3k-4）x2+6（k＋2）x＋3k+4=0没有实数根，那么方程kx2-2（k-1）x＋（k＋4）=0有实数根吗为什么54．m是什么实数值时，方程2x2＋（n＋1）x-（3n2-4n+m）=0有有理根1．2 一元二次方程的根的判别式（一）填空1．2}2．13．有两个不相等的4．6，-46．167．4，18．两个有理数根9．m=0—11．m，n为不等于零的任意实数12．b2-c2+a2=013．任意实数14．k≤115．无实数16．也有相等的（二）选择}17．B 18．A 19．A 20．B 21．C22．A 23．B 24．A 25．B 26．D27．C 28．B 29．B 30．C（三）综合练习已知方程有两个相等的实根，得Δ=0，即化简得4m（a2-c2+b2）=0．由于m＞0，所以a2-c2+b2=0，即a2+b2=c2．]32．提示：Δ＝（a2+b2-c2）2-4a2b2=（a2+b2-c2+2ab）（a2+b2-c2-2ab）=[（a+b）2-c2][（a-b）2-c2]=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（a-b-c）．因为a，b，c是三角形的三条边，所以a+b+c＞0，a+b-c＞0，a-b+c＞0，a-b-c＜0，因此Δ＜0，所以方程无解．33．当a=1，b=时，方程有实数根．提示：由方程有实数根得Δ=[2（1+a）］2-4（3a2+4ab+4b2+2）=-4[（1-a）2+（a+2b）2]≥0．又因为（1-a）2≥0，（a+2b）2≥0，故而有（1-a）2+（a+2b）2≥0，所以只有-4[（1-a）2+（a+2b）2]=0，即（1-a）2+（a+2b）2=0．从而得出1-a=0，所以a=1；a+2b=0，解出b=．34．2≤b≤6．提示：方法一Δ=（a-8）2-4（12-2b）≥0，即a2+4a（b-4）+16≥0．因为对于任意a值上式均大于等于零，且二次项系数大于0．所以关于a的二次三项式中的判别式应小于等于零，即[4（b-4）]2-4×16≤0，即有b2-8b+12≤0，解之2≤b≤6．方法二Δ=（a-8）2-4（12-2b）=a2+4a（b-4）+16={a2+2a[2（b-4）]+[2（b-4）]2}-[2（b-4）]2+16=[a+2（b-4）]2-4[（b-4）2-4]≥0．因此只能（b-4）2-4≤0，由此得-2≤b-4≤2，所以2≤b≤6．35．m的最大整数值为零．提示：由m-1≠0且Δ=（2m）2-4^k的最大整数值为2．40．-4．41．b=1．提示：Δ=（a+1）2+8（3a2-4a+b）=25a2-30a+8b+1．由于25a2-30a+8b+1应为a的完全平方式．所以（-30）2-4×25×（8b+1）=0，所以b=1．！42．（1）-1＜k＜0或k＞0；（2）k=-1；（3）k＜-1．43．（1）（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≥0，即Δ≥0；（2）a-b=0，b-c=0，c-a=0，则a=b=c．44．提示：Δ=[2（b2-c2）]2-4（c2+a2）（c2-b2）=4（b2-c2）（b2-c2+a2+c2）=4（b+c）（b-c）（b2+a2）．由方程有两个相等实根．故而Δ= 0，即4（b+c）（b-c）（b2+a2）=0．因为a，b，c是三角形的三边，所以b+c≠0，a2+b2≠0，只有b-c=0，解出b=c．45．提示：Δ=（-2r1）2-4（r22+r1d-r2d）=0，即4r21-4r22-4r1d+4r2d=0，（r21-r22）-d（r1-r2）=0，（r1-r2）（r1+r2-d）=0，所以r1=r2或r1+r2=d．46．提示：原方程化为x2-（2a+b）x+（a2+ab-1）=0，Δ=[-（2a+b）]2-4（a2+ab-1）=4a2+4ab+b2-4a2-4ab+4=b2+4，即Δ＞0．代47．提示：因为方程x2+2x+1+m=0无实根，所以Δ=4-4（1+m）=4-4-4m＜0，推知m＞0．而方程x2+（m-2）x-（x+3）=0的Δ=（m-2）2+4（m+3）＞0．48．提示：Δ=（a2+c2-b2）2-4a2c2=（a2+c2-b2+2ac）（a2+c2-b2-2ac）=[（a+c）2-b2]×[（a-c）2-b2]=（a+c+b）×（a+c-b）×（a-c+b）×（a-c-b）．因为a，b，c是三角形的三边，所以a+b+c＞0，a+c-b ＞0，a-c+b＞0，a-c-b＜0，推知Δ＜0．49．提示：原方程化为：（b-c）x2+4（b-a）x-4（b-c）=0，Δ=16（b-a）2+16（b-c）2＞0．所以（b-a）与（b-c）不全为0，a，b，c不全相等，因此△ABC不是等边三角形．50．（1）k＞2；（2）k=2；（3）k＜2．51．k的最大值为0，提示：原方程化为：（k2+1）x2+（4k-4）x+4=0．因为x是实数，所以Δ=（4k-4）2-4×4（k2+1）=16（k2-2k+1-k2-1）=-32k≥0．所以k≤0，即k的最大值是0．x+（k+4）=0的Δ＞0，故而方程有实数根．54．m=1．。

一元二次方程的根的判别式练习题

一元二次方程的根的判别式一、新课预习关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式及求根公式．(1)b2－4ac＞0⇔方程有_______个_________的实数根，x＝_______________．(2)b2－4ac＝0⇔方程有________个________的实数根，x1＝x2＝______________．(3)b2－4ac＜0⇔方程__________实数根．二、例变讲练例1 方程3x2－2x－1＝0的根的判别式为b2－4ac＝16，此方程有两个__________的实数根．变1 下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )A．x2＋4＝0 B．4x2－4x＋1＝0 C．x2＋x＋3＝0 D．x2＋2x－1＝0例2 已知关于x的方程x2－3x＋2－m2＝0.(1)求方程的根的判别式(用含m的代数式表示)；(2)说明不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．变2 已知关于x的一元二次方程x2＋(m－3)x－3m＝0.求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根．例3 若一元二次方程x2＋2x－m＝0有实数解，则m的取值范围是______________．变3 已知关于x的方程x2－2x＋m＝0没有实数根，则m的取值范围是__________．例4 若关于x的一元二次方程kx2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______________．变4 若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是__________三、课堂训练一级1. 若关于x的方程x2－4x－c＝0的根的判别式Δ＝4，则c＝_________．2. 下列方程中有两个不相等的实数根的方程是( )A．(x－1)2＝0 B．x2＋2x－19＝0 C．x2＋4＝0 D．x2＋x＋1＝03. 如果关于x的一元二次方程x2＋4x－m＝0没有实数根，那么m的取值范围是_________．4. 若关于x的方程x2－x－k＝0有两个相等的实数根，则k=______，方程的两根为x＝x=_____________5. 若关于x的方程x2＋x－94a＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是__________．6. 已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是( ) A．m≤2 B．m≥2C．m≤2且m≠1 D．m≥－2且m≠17. 若关于x的一元二次方程(k－1)x2－4x－5＝0没有实数根，则k的取值范围是_________．8. 求证：不论m为任何实数，关于x的一元二次方程x2＋(4m＋1)x＋2m－1＝0总有两个不相等的实数根．四、能力提升9. 已知关于x的一元二次方程x2－(m＋2)x＋2m＝0.(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．10. 等腰三角形的边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，求n的值．第7课时一元二次方程的根的判别式一、新课预习关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根的判别式及求根公式．(1)b 2－4ac ＞0⇔方程有_______个_________的实数根，x ＝_______________．两，不相等，－b±b2－4ac 2a(2)b 2－4ac ＝0⇔方程有________个________的实数根，x 1＝x 2＝______________．(3)b 2－4ac ＜0⇔方程__________实数根．两，相等，－b 2a，无二、例变讲练例1 方程3x 2－2x －1＝0的根的判别式为b2－4ac ＝16，此方程有两个__________的实数根．不相等变1 下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( )A ．x 2＋4＝0B ．4x 2－4x ＋1＝0C ．x 2＋x ＋3＝0D ．x 2＋2x －1＝0 D例2 已知关于x 的方程x 2－3x ＋2－m 2＝0.(1)求方程的根的判别式(用含m 的代数式表示)；解：b 2－4ac ＝4m 2＋1；(2)说明不论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根．解：b 2－4ac ＝4m 2＋1≥1>0，∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根．变2 已知关于x 的一元二次方程x 2＋(m －3)x －3m ＝0.求证：无论实数m 取何值，方程总有两个实数根．解：Δ＝(m －3)2－4×(－3m)＝m 2－6m ＋9＋12m＝m 2＋6m ＋9＝(m ＋3)2，∵无论实数m 取何值，总有(m ＋3)2≥0，即Δ≥0，∴无论实数m 取何值，方程总有两个实数根．例3 若一元二次方程x 2＋2x －m ＝0有实数解，则m 的取值范围是______________．m≥－1变3 已知关于x 的方程x 2－2x ＋m ＝0没有实数根，则m 的取值范围是__________． m>1例4 若关于x 的一元二次方程kx 2＋2x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_______________．k>－1且k≠0变4 若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋4x ＋1＝0有实数根，则k 的取值范围是__________，k≤5且k≠1三、课堂训练一级1. 若关于x 的方程x 2－4x －c ＝0的根的判别式Δ＝4，则c ＝_________．-32. 下列方程中有两个不相等的实数根的方程是( )A ．(x －1)2＝0B ．x 2＋2x －19＝0C ．x 2＋4＝0D ．x 2＋x ＋1＝0B 3. 如果关于x 的一元二次方程x 2＋4x －m ＝0没有实数根，那么m 的取值范围是_________．m<－44. 若关于x 的方程x 2－x －k ＝0有两个相等的实数根，则k=______，方程的两根为 x ＝x=_____________－14， x 1＝x 2＝125. 若关于x 的方程x 2＋x －94a ＝0有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是__________．a>－196. 已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2－2x ＋1＝0有实数根，则m 的取值范围是( )A ．m≤2B ．m≥2C ．m≤2且m≠1D ．m≥－2且m≠1C7. 若关于x 的一元二次方程(k －1)x2－4x －5＝0没有实数根，则k 的取值范围是_________．k ＜158. 求证：不论m 为任何实数，关于x 的一元二次方程x 2＋(4m ＋1)x ＋2m －1＝0总有两个不相等的实数根．证明：根据题意得：Δ＝(4m ＋1)2－4(2m －1)＝16m 2＋8m ＋1－8m ＋4＝16m 2＋5，∵m2≥0，∴16m 2＋5＞0，即Δ＞0，∴不论m 为任何实数，原方程总有两个不相等的实数根．四、能力提升9. 已知关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋2)x ＋2m ＝0.(1)求证：不论m 为何值，该方程总有两个实数根；证明：Δ＝[－(m ＋2)]2－4×1×2m ＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2.∵(m －2)2≥0，即Δ≥0，∴不论m 为何值，该方程总有两个实数根．(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．解：将x ＝1代入原方程，得：1－(m ＋2)＋2m ＝0，∴m ＝1，∴方程的另一个根为2×11＝2. 当1，2为直角边长时，斜边长＝12＋22＝5，∴围成直角三角形的周长＝1＋2＋5＝3＋5；当2为斜边长时，另一直角边长＝22－12＝3，∴围成直角三角形的周长＝1＋2＋3＝3＋ 3.综上所述：以此两根为边长的直角三角形的周长为3＋5或3＋ 3.10. 等腰三角形的边长分别为a ，b ，2，且a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋n －1＝0的两根，求n 的值．解：∵三角形是等腰三角形，∴①a ＝2或b ＝2，②a ＝b 两种情况，①当a ＝2或b ＝2时，∵a ，b 是关于x 的一元二次方程x2－6x ＋n －1＝0的两根，∴x ＝2，把x ＝2代入x 2－6x ＋n －1＝0得22－6×2＋n －1＝0，解得：n ＝9，当n ＝9时，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故n ＝9不合题意，②当a ＝b 时，方程x2－6x ＋n －1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(－6)2－4(n －1)＝0，解得：n ＝10，综上所述：n ＝10.。

一元二次方程之判别式专项练习60题(有答案)ok

一元二次方程之判别式专项练习60题(有答案)ok1.1) 对于方程2x-5x-a=0，根据一元二次方程的求根公式，判别式为Δ=25+8a，要使方程有两个不相等的实数根，即Δ>0，所以25+8a>0，解得a>-25/8，所以a的取值范围为a>-25/8.2) 当方程的两个根互为倒数时，根据一元二次方程的求根公式，有x1x2=-a/2，又因为x1x2=1/x1，所以x1^2=-a/2，代入原方程得2x-5x-2x1^2=0，解得x1=±√(5/2)，代入x1x2=-a/2得a=5.2.1) 将方程展开得x^2-5x+6-p=0，根据一元二次方程的求根公式，判别式为Δ=25-24+4p=1+4p，要使方程有两个不相等的实数根，即Δ>0，所以1+4p>0，解得p>-1/4，所以p的取值范围为p>-1/4.2) 当p=2时，代入方程得(x-3)(x-2)=2，展开得x^2-5x+4=0，根据一元二次方程的求根公式，解得x1=1，x2=4.3.将方程化简得2kx+k-2=0，由于方程有两个相等的实数根，所以判别式Δ=0，解得k=1，代入方程得3x-1=0，解得x=1/3.4.1) 将方程化简得x^2+(4-a)x+3=0，根据一元二次方程的求根公式，判别式为Δ=(4-a)^2-12，要使方程有实数根，即Δ≥0，所以(4-a)^2-12≥0，解得a∈(-∞,4-2√3]∪[4+2√3,+∞)。

2) 当a=4-2√3时，代入方程得x^2+(4-4+2√3)x+3=0，解得x1=√3-1，x2=-(√3+1)。

5.1) 将方程化简得4x^2-4mx+m^2-4m+1=0，根据一元二次方程的求根公式，判别式为Δ=16m-4m^2，要使方程有两个不相等的实数根，即Δ>0，所以m∈(-∞,0)∪(1,4]。

2) 当m=4时，代入方程得4x^2-16x+17=0，根据一元二次方程的求根公式，解得x1=(4-√3)/2，x2=(4+√3)/2.6.1) 将方程化简得4x^2-3x-m=0，由于方程有两个不相等的实数根，所以判别式Δ=9+16m>0，解得m>-9/16，所以m的最小整数值为-1.2) 当m=-1时，代入方程得4x^2-3x+1=0，根据一元二次方程的求根公式，解得x1=1/4，x2=1.7.根据一元二次方程的求根公式，判别式Δ=25-12m，要使判别式为1，即Δ=1，解得m=2或m=1/3.当m=2时，代入方程得2x^2-10x+3=0，根据一元二次方程的求根公式，解得x1=(5-√13)/2，x2=(5+√13)/2.当m=1/3时，代入方程得x^2-5/3x+1=0，根据一元二次方程的求根公式，解得x1=(5-√5)/6，x2=(5+√5)/6.8.删除此段落。

完整版)一元二次方程的根的判别式练习题

完整版)一元二次方程的根的判别式练习题1.方程2x+3x-k=0的根的判别式为b^2-4ac，即(3+2)^2-4(2)(-k)=k+13，当k>-13时，方程有实根。

2.关于x的方程kx+(2k+1)x-k+1=0可以化简为(3k+1)x-k+1=0，根的判别式为(2k+1)^2-4(k)(-k+1)=8k^2+8k+1，当k 不等于0时，方程有实根。

3.方程x+2x+m=0有两个相等实数根，即b^2-4ac=0，即4-4m=0，解得m=1.4.关于x的方程(k+1)x-2kx+(k+4)=0可以化简为(x-k)(x+k+4)=0，根的情况为一个实根为-k，一个实根为k+4.5.当m=-1时，关于x的方程3x-2(3m+1)x+3m-1=0化简为3x+7x-1=0，有两个不相等的实数根。

6.将2x(ax-4)-x+6=0化简为2ax^2-(8+a)x+6=0，根的判别式为(8+a)^2-4(2a)(6)=a^2+16a-23，要使方程没有实数根，根的判别式小于0，即a的最小整数值为-15.7.方程mx^2+(2m-1)x-2=0的根的判别式为(2m-1)^2-4(m)(-2)=16m+1，解得m=1或m=-1/4，但由于题目中要求判别式的值等于4，所以m=-1/4.8.将(x-α)(x-β)+cx=0展开化简得x^2-(α+β)x+αβ+cx=0，根据韦达定理，α+β=-c，αβ=c，所以方程的两个根为α和β。

9.1) 当a>0时，判别式为4a^4-4a^3，即a^3>1时有两个实数根，否则无实数根。

2) 判别式为4k^2-4(k^2+4)，即-16，所以方程无实数根。

10.将方程x+2(m+1)x+3m+4mn+4n+2=0化简为x+(2m+2)x+(3m+4mn+2)=0，根的判别式为(2m+2)^2-4(3m+4mn+2)=4(m-n+1)^2-8，要使方程有实数根，根的判别式大于等于0，即(m-n+1)^2>=2，解得m-n=-1+sqrt(2)，即m=n-1+sqrt(2)。

一元二次方程的根的判别式(练习)

一元二次方程的根的判别式同步练习一、填空题1.若方程ax2+bx+c=0（a≠0），则根的判别式为_________;当_________时,方程有两个不相等的实数根,当_______时,方程有两个相等的实数根,则_______时,方程无实数根.2.利用根的判别式,判断方程根的情况,首先将方程(x-2)(x-5)-16=0化成一般形式是_________,再代入判别式为_________,则方程根的情况___________.3.不解方程,判断方程根的情况:(1) 4p(p-1)-3=0.△_________,则方程____________.(2)△_________,则方程_________________.(3)△___________,则方程_________________.4.当k_________时,方程x2-2(k+1)x+(k2-2)=0有两个不相等的实数根.5.当m________时,方程x2-(m+1)x+4=0有两个相等的实数根.6.如果方程x2-2x+=0没有实数根,那么c的取值是__________.二、解答题7．已知关于x的方程（m2-2）x2-2（m+1）x+1=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围.8．证明关于x的方程x2+（k-1）x+（k-3）=0有两个不相等的实数根.9．已知关于x的方程a（1-x2）+2bx+c（1+x2）=0有两个相等的实数根，且a，b，c是△ABC的三条边，判断△ABC的形状.三、选择题10．关于x的方程x2-2有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）.（A）k≥0（B）k＞0 （C）k＞-1 （D）k≥-1 11．关于x的方程mx2-mx+1=0有两个相等的实数根，则m的取值范围是（）.（A）m=0 （B）m=7 （C）m=4 （D）m＞4且m≠0 12．若关于x的二次方程2x（kx-4）-x2+6=0无实数根，则k的最小整数应是（）.(A)-1 (B)2 (C)3 (D)413.关于x的方程nx2-(2n-1)x+n=0有两个实数根,则n的值为( ).(A)n≤(B)≤且n≠0(C)n≥- (D)n≥-或n≠014.若关于y的方程y2-19y+k=0有两个相等的实数根,那么方程y2+19y-k=0的根的情况是( ).(A)有两个不相等的实数根 (B)有两个相等的实数根(C)无实数根 (D)无法判定四、填空题15．若方程组有一个实数根，则m值为__________.16.已知方程x2-有两个相等的实数根,求锐角a=_________.五、解答题17．判断关于y的方程y2+3（m-1）y+2m2-4m+=0的根的情况.18．当m＞3时，讨论关于x的方程（m-5）x2-2（m+2）x+m=0的实数根的个数.19．关于x的方程x2+3x+a=0中有整数解，a为非负整数，求方程的整数解.20．当m=1时，求证关于x的方程（k-3）x2+kmx-m2+6m-4=0有实数根.。

一元二次方程根的判别式练习题

一元二次方程根的判别式练习题一元二次方程根的判别式练题一）填空1.方程x^2+2x-1+m=0有两个相等实数根，则m=1．2.a是有理数，b是整数，方程2x^2+(a+1)x-(3a^2-4a+b)=0的根也是有理数．3.当k＜1时，方程2(k+1)x^2+4kx+2k-1=0有两个实数根．4.若关于x的一元二次方程mx^2+3x-4=0有实数根，则m 的值为正数．5.方程4mx^2-mx+1=0有两个相等的实数根，则m=1/4．6.若m是非负整数且一元二次方程(1-m^2)x^2+2(1-m)x-1=0有两个实数根，则m的值为0或2．7.若关于x的二次方程kx^2+1=x-x^2有实数根，则k的取值范围是[0,1/4]．8.二次方程(k^2-1)x^2-6(3k-1)x+72=0有两个实数根，则k=3或-2/3．9.若一元二次方程(1-3k)x^2+4x-2=0有实数根，则k的取值范围是[-1/3,1/3]．二）选择10.关于x的方程：m(x^2+x+1)=x^2+x+2有两相等的实数根，则m值为[1/2]．11.当m＞4时，关于x的方程(m-5)x^2-2(m+2)x+m=0的实数根的个数为B．1个．12.如果m为有理数，为使方程x^2-4(m-1)x+3m^2-2m+2k=0的根为有理数，则k的值为(m-1)^2．13.若一元二次方程(1-2k)x^2+8x=6没有实数根，那么k的最小整数值是D．3．14.若一元二次方程(1-2k)x^2+12x-10=0有实数根，那么k 的最大整数值是A．1．15.方程2x(kx-5)-3x^2+9=0有实数根，k的最大整数值是D．2．16.若方程k(x^2-2x+1)-2x^2+x=0有实数根，则k=1/2．17.若方程(a-2)x^2+(-2a+1)x+a=0有实数根，则a∈(0,1/2]∪[2,∞)．18.若m为有理数，且方程2x^2+(m+1)x-(3m^2-4m+n)=0的根为有理数，则n的值为D．-6．三）综合练19.如果a，b，c是三角形的三条边，求证：关于x的方程a^2x^2+(a^2+b^2-c^2)x+b^2=0无解．20.当 $a=-1$，$b=0$ 时，方程$x^2+2(1+a)x+(3a^2+4ab+4b^2+2)=0$ 有实数根。

九年级：一元二次方程-根的判别式-道经典考试题-有详细解答

九年级数学，一元二次方程，有一个非常重要的内容，就是根的判别式。

一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式是，△=b2-4ac.①若△=b2-4ac＞0，则一元二次方程有两个不相等实数根。

②若△=b2-4ac=0，则一元二次方程有两个相等的实数根。

③若△=b2-4ac＜0，则一元二次方程没有实数根。

反之，亦成立。

题型一，根据△的情况来判定方程的根的情况。

例1题中，第1小题，原方程没有实数根，则△＜0,得出m的取值范围。

再把m的取值范围，代入到第2小题的△=b2-4ac中，得出结论。

例2题，第1小题，不解方程，判定根的情况，是不是很简单？通过计算，△=b2-4ac=4＞0，所以，原方程有两个不相等的实数根.第2小题，原方程有一个根是x=3，代入原方程，即可求出m的值.例3题，原方程有两个实数根，那么就有可能是两个相等，或者两个不相等实数根。

所以，△=b2-4ac≥0，即可求出t的值。

后面要是学了二次函数的同学就很容易理解，暂时还没有学到二次函数的同学，可以暂时略过。

例4题，a,b是等腰三角形的两边，而且是一元二次方程的两个根。

凡是讲到等腰三角形，没有明确腰和底的时候，一定要记得分类讨论。

不管是哪种题型，只要和等腰三角形有关.例5题，一元二次方程有两个相等的实数根，则△=b2-4ac=0，即可求出m的取值。

再分别代入代数式，求出代数式的值，非常简单常见的考试题型。

例6题，第1小题，求证方程总有两个不相等的实数根。

那么只要计算△=b2-4ac的结果，判定它的正负性，就好。

第2小题，把已知的一个根代入原方程，即可求出m的值。

当然，此题不需要求出m的取值，整体代入更简单。

例7题，先根据，根与系数的关系，分别得到两根之和，和两根之积的代数式，依据题意得出一个关于m的方程，解得m=6或者m=-4再根据题意，原方程有两个实数根，即△=b2-4ac≥0，求出m的取值范围，得出符合题型的m的值。

例8题，二次根式，被开方数≥0，一次函数X的系数≠0，所以k-1＞0，求出k＞1.再根据根的判别式，△=b2-4ac＜0，所以原方程没有实数根。

专题17.3 一元二次方程根的判别式【十大题型】(举一反三)-2023-2024学年八年级数学下册举

专题17.3 一元二次方程根的判别式【十大题型】【沪科版】【题型1 判断不含字母的一元二次方程的根的情况】 (1)【题型2 判断含字母的一元二次方程的根的情况】 (2)【题型3 由方程根的情况确定字母的值或取值范围】 (2)【题型4 应用根的判别式证明方程根的情况】 (3)【题型5 应用根的判别式求代数式的取值范围】 (3)【题型6 根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】 (3)【题型7 根的判别式与三角形的综合】 (4)【题型8 根的判别式与四边形的综合】 (5)【题型9 关于根的判别式的多结论问题】 (5)【题型10 关于根的判别式的新定义问题】 (6)【知识点一元二次方程根的判别式】一元二次方程根的判别式：∆=b2−4ac．①当∆=b2−4ac>0时，原方程有两个不等的实数根；①当∆=b2−4ac=0时，原方程有两个相等的实数根；①当∆=b2−4ac<0时，原方程没有实数根.【题型1 判断不含字母的一元二次方程的根的情况】【例1】（2023春·山东青岛·八年级统考期末）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2−2x+1=0B．x2+1=0C．x2−2x−3=0D．x2−2x=0【变式1-1】（2023春·八年级课时练习）一元二次方程x2−2√2x+2=0的实数根的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．无法判断1【变式1-2】（2023春·江西·八年级统考阶段练习）下列一元二次方程没有实数根的是（）A．x2+1=0B．x2+2x+1=0C．x2=4D．x2+x−2=0【变式1-3】（2023春·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考期中）在下列方程中，有实数根的是（）A．x2+2x+3=0B．√4x+1+1=0C．xx−1=1x−1D．x3+8=0【题型2 判断含字母的一元二次方程的根的情况】【例2】（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）已知关于x的方程ax2−(1−a)x−1=0，下列说法正确的是（）A．当a=0时，方程无实数解B．当a≠0时，方程有两个相等的实数解C．当a=−1时，方程有两个不相等的实数解D．当a=−1时，方程有两个相等的实数解【变式2-1】（2023·河北邯郸·统考一模）已知a、c互为相反数，则关于x的方程ax2+5x+c=0(a≠0)根的情况（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．有一根为5【变式2-2】（2023·全国·八年级专题练习）已知关于x的方程x2－2x－m＝0没有实数根，试判断关于x的方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0的根的情况．【变式2-3】（2023春·福建厦门·八年级厦门市松柏中学校考期末）关于x的一元二次方程x2−5x+c=0，当c=t0时，方程有两个相等的实数根：若将c的值在t0的基础上增大，则此时方程根的情况是（）A．没有实数根B．两个相等的实数根C．两个不相等的实数根D．一个实数根【题型3 由方程根的情况确定字母的值或取值范围】【例3】（2023春·浙江舟山·八年级校联考期中）在实数范围内，存在2个不同的x的值，使代数式x2−3x+c 与代数式x+2值相等，则c的取值范围是．【变式3-1】（2023春·北京西城·八年级北京市第三十五中学校考期中）已知关于x的方程mx2−3x+1=0无实数解，则m取到的最小正整数值是．【变式3-2】（2023春·广西梧州·八年级校考期中）关于x的方程x2+2(m−2)x+m2−3m+3=0．(1)有两个不相等的实数根，求m的取值范围；(2)若方程有实数根，而且m为非负整数，求方程的根．【变式3-3】（2023春·北京平谷·八年级统考期末）关于x的一元二次方程ax2−2ax+b+1=0（ab≠0）有两个相等的实数根k，则下列选项成立的是（）A．若﹣1＜a＜0，则ka >kbB．若ka>kb，则0＜a＜1C．若0＜a＜1，则ka <kbD．若ka<kb，则-1＜a＜0【题型4 应用根的判别式证明方程根的情况】【例4】（2023春·广东珠海·八年级统考期末）已知关于x的一元二次方程x2−2mx+m2−1=0．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的一根大于2，一根小于1，求m的取值范围．【变式4-1】（2023春·八年级课时练习）已知关于x的一元二次方程2x2+2mx+m−1=0，求证：不论m为什么实数，这个方程总有两个不相等实数根．【变式4-2】（2023春·八年级课时练习）已知关于x的一元二次方程x2−3x+2=m(x−1)．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程两个根的差是2，求实数m的值．【变式4-3】（2023春·八年级课时练习）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0．(1)求证：方程总有两个实数根．(2)若方程有一个根是负整数，求正整数m的值．【题型5 应用根的判别式求代数式的取值范围】【例5】（2023春·浙江温州·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2−2x+3m=0有实数根，设此方程的一个实数根为t，令y=t2−2t+4m+1，则y的取值范围为．【变式5-1】（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根x0，则下列关于2ax0+b的值判断正确的是（）A．2ax0+b>0B．2ax0+b=0C．2ax0+b<0D．2ax0+b≤0【变式5-2】（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）已知实数m,n满足m2−mn+n2=3，设P=m2+mn−n2，则P的最大值为（）A．3B．4C．5D．6【变式5-3】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令y=4b2−8b+3m+2，则（）A．y>1B．y≥1C．y≤1D．y<1【题型6 根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】【例6】（2023春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期中）若关于x的一元一次不等式组{3x+82≤x+63x+a>4x−5的解集为x≤4，关于x的一元二次方程(a−1)x2+3x+1=0有实数根，则所有满足条件的整数a的值之和是．【变式6-1】（2023春·安徽安庆·八年级安庆市第四中学校考期末）若关于x的一元二次方程x2+2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（）A．B．C．D．【变式6-2】（2023春·八年级课时练习）要使关于x的一元二次方程ax2+2x−1=0有两个实数根，且使关于x的分式方程xx−4+a+24−x=2的解为非负数的所有整数a的个数为（）A．5个B．6个C．7个D．8个【变式6-3】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）已知a，b为正整数，且满足a+ba2+ab+b2=449，则a+b的值为（）A．4B．10C．12D．16【题型7 根的判别式与三角形的综合】【例7】（2023春·广东惠州·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程(a+c)x2−2bx+(a−c)=0，其中分别a、b、c是△ABC的边长．(1)若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状；(2)若△ABC是等边三角形，试求该一元二次方程的根．【变式7-1】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+k=0．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，①若k=3时，请判断△ABC的形状并说明理由；①若△ABC是等腰三角形，求k的值．【变式7-2】（2023春·浙江金华·八年级校考期中）已知关于x的方程x2−(m+1)x+2(m−1)=0．(1)当方程一个根为x=3时，求m的值．(2)求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．(3)若等腰△ABC的一腰长a=6，另两边b、c恰好是这个方程的两个根．则△ABC的面积为______．【变式7-3】（2023春·福建厦门·八年级厦门市松柏中学校考期末）已知关于x的一元二次方程x2−(m+5)x+ 5m=0．(1)求证：此一元二次方程一定有两个实数根；(2)设该一元二次方程的两根为a，b，且6，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．【题型8 根的判别式与四边形的综合】【例8】（2023春·四川成都·八年级校考阶段练习）已知：矩形ABCD的两边AB，BC的长是关于方程x2−mx+m 2−14=0的两个实数根．(1)当m为何值时，矩形ABCD是正方形？求出这时正方形的边长；(2)若AB的长为2，那么矩形ABCD的周长是多少？【变式8-1】（2023春·湖南益阳·八年级统考期末）已知①ABCD两邻边是关于x的方程x2-mx+m-1=0的两个实数根．（1）当m为何值时，四边形ABCD为菱形？求出这时菱形的边长．（2）若AB的长为2，那么①ABCD的周长是多少？【变式8-2】（2023春·浙江杭州·八年级杭州市采荷中学校考期中）已知关于x的一元二次方程x2+(m−5)x−5m=0．(1)判别方程根的情况，并说明理由．(2)设该一元二次方程的两根为a，b，且a，b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长．【变式8-3】（2023春·广东佛山·八年级校考期中）关于x的一元二次方程14x2−mx+2m−1=0的两个根是平行四边形ABCD的两邻边长．(1)当m=2，且四边形ABCD为矩形时，求矩形的对角线长度．(2)若四边形ABCD为菱形，求菱形的周长．【题型9 关于根的判别式的多结论问题】【例9】（2023春·河北保定·八年级保定市第十七中学校考期末）已知关于x的方程kx2−(2k−3)x+k−2=0，则①无论k取何值，方程一定无实数根；①k=0时，方程只有一个实数根；①k≤94且k≠0时，方程有两个实数根；①无论k取何值，方程一定有两个实数根．上述说法正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式9-1】（2023春·浙江绍兴·八年级统考期末）已知a(a>1)是关于x的方程x2−bx+b−a=0的实数根．下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；①当a=t＋1时，一定有b=t−1；①b是此方程的根；①此方程有两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①【变式9-2】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）对于代数式ax 2+bx +c （a ≠0，a ，b ，c 为常数）①若b 2−4ac =0，则ax 2+bx +c =0有两个相等的实数根；①存在三个实数m ≠n ≠s ，使得am 2+bm +c =an 2+bn +c =as 2+bs +c ；①若ax 2+bx +c +2=0与方程(x +2)(x −3)=0的解相同，则4a −2b +c =−2，以上说法正确的是．【变式9-3】（2023春·浙江·八年级期末）已知方程甲：ax 2+2bx +a =0，方程乙：bx 2+2ax +b =0都是一元二次方程，①若x =1是方程甲的解，则x =1也是方程乙的解；①若方程甲有两个相等的实数解，则方程乙也有两个相等的实数解；①若方程甲有两个不相等的实数解，则方程乙也有两个不相等的实数解；①若x =n 既是方程甲的解，又是方程乙的解，那么n 可以取1或−1．以上说法中正确的序号是（）A ．①②B ．③④C ．①②③④D ．①②④【题型10 关于根的判别式的新定义问题】【例10】（2023春·江苏宿迁·八年级统考阶段练习）对于实数a 、b ，定义运算“*”； a ∗b ={a 2−ab (a ≤b )b 2−ab (a >b ) ，关于x 的方程(2x )∗(x −1)=t +3恰好有三个不相等的实数根，则t 的取值范围是．【变式10-1】（2023春·四川雅安·八年级统考期末）对于实数a ，b 定义运算“①”如下：a☆b =ab 2−ab ，例如3☆2=3×22−3×2=6，则方程2☆x =−12的根的情况为（）A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【变式10-2】（2023春·安徽马鞍山·八年级校考阶段练习）定义：如果一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)满足a +b +c =0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax 2+bx +c =0(a ≠0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A ．a =b −cB ．a =bC ．b =cD ．a =c。

一元二次方程根的的判别式

一元二次方程根的的判别式一、选择题1、不解方程，判别方程x x 249162=+的根的情况是A.有两个不等实根B.有两个等实根C.无实根D.有一个根为12、关于x 的方程08)18(22=+++k x k kx 有实根,则k 的取值范围是 A.k>161- B. .k>161-且k ≠0 C. k ≥161- D. k ≥161-且k ≠0 3、若关于x 的方程0122=++x ax 有且只有一个实根，则实数a 的值是A.1或-1B. 0或-1C. 0或1D. 0、1或-1 4、若关于x 的一元二次方程0132=--x k x 有实根，则k 的取值范围是A.k ≥0B. .k>0C. k ＞94-D. k ≥94- 5、已知122+-mx x 是完全平方式，则的值为A.1B. -1C. ±1D. 06、一元二次方程a c bx ax (02=++≠0）的根为有理数根的条件是A.042>-ac b B . 是有理数ac b 42- C. ac b 42-≥0 D. ac b 42-是完全平方数7、关于x 的方程042)1(222=++-+m mx x m 的根的情况是A.有两个不等实根B. 无实根C. 有两个等实根D. 不确定 8、若关于x 的方程0342=+-x kx 有实根，则k 的非负整数值是A.0、1B. 0、1、2C. 1D. 0、1、2、39、方程06)4(22=+--x kx x 无实根，则k 的最小正整数值是A.1B.4C. 3D. 210、若m 是实数，且不等式1)1(+>+m x m 的解集是x<1，则关于x 的方程041)1(2=+++m x m mx 的根的情况是 A.有两个不等实根 B.有两个等实根 C. 无实根 D. 无法确定11、已知一直角三角形的三边为a 、b 、c ，∠B=90°，则关于x 的方程0)1(2)1(22=++--x b cx x a 的根为A.有两个等实根B.有两个不等实根C. 无实根D. 无法确定二、填空题1、不解方程，判断一元二次方程022632=+--x x x 的根的情况是2、若关于x 的一元二次方程2x(kx-4)-x 2+6=0有两个等实根，则化简二次根式2212+-+-k k k 的正确结果是3、若方程kx 2+4kx+3=k 有两个等实根，则k= 。