第七章 刚体动力学(讲义)

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刚体动力学

刚体动力学
利用上述运动微分方程组并考虑运动学方程组(5)以及初始条件,即可确定刚体在空间中的一般运动。刚体 一般运动的研究对研究各种航行器轨迹和姿态运动之间的相互关系有重要意义。
以上论及的只是单刚体动力学。由于现代科学技术的发展,多刚体系统动力学的研究也正在开展中(见多刚 体系统)。
参考文献
1、词条作者:陈滨.《中国大百科全书》74卷(第一版)力学词条:刚体动力学:中国大百科全书出版社, 1987 :168-170页.
谢谢观看
逐项类比。同质点质量m对应的量是Iz。m是质点运动时惯性的度量;Iz则是刚体定轴转动时转动惯性的度量。 这正是Iz称为“转动惯量”的来由。
应用刚体定轴转动的微分方程(2)可以对物理摆的运动规律、旋转机械输入和输出功率同平衡转速的关系进 行研究。刚体定轴转动的另一重要研究课题是支承的动载荷。动载荷是与刚体转动角速度有关的载荷。当刚体既 满足静平衡——刚体的重心在转动轴上,又满足动平衡——旋转轴是惯性主轴时,支承才不受动载荷的作用。这 个结论在工程上有重要价值(见动平衡)。
刚体平面运动是机器部件一种常见的运动形态,例如曲柄连杆、滚轮等的运动。过刚体质心作刚体平面运动 的固定平面,此平面在刚体上截得一平面图形。此图形在上述固定平面上的运动完全刻画了刚体的平面运动。由 运动学可知,刚体的平面运动可由质心C在平面上相对固定坐标系Oxy的运动和刚体绕过C并同固定平面垂直的轴 Cz的转动合成(图2)。刚体的旋转轴Cz虽然在空间中变动,但它的方向不变,相对刚体的位置也不变,因而刚 体绕Cz轴旋转的转动惯量是常值Iσ,绕Cz轴的动量矩为
刚体一般运动是对惯性坐标系而言的。设C为刚体的质心,Cxyz为同刚体固联的质心惯性主轴坐标系。因刚 体一般运动可分解为平动和绕质心的转动,故应用质心运动定理和对质心的动量矩定理,可以立即建立刚体一般 运动的微分方程组:

《刚体动力学 》课件

《刚体动力学 》课件

牛顿第二定律
物体的加速度与作用在物 体上的力成正比,与物体 的质量成反比。
牛顿第三定律
对于任何两个相互作用的 物体,作用力和反作用力 总是大小相等,方向相反 ,作用在同一条直线上。
刚体的平动
刚体的平动是指刚体在空间中 的位置随时间的变化而变化, 而刚体的形状和大小保持不变
的运动。
刚体的平动具有三个自由度 ,即三个方向的平动。
05
刚体的动力学方程
刚体的动力学方程
牛顿第二定律
刚体的加速度与作用力成正比,与刚体质量 成反比。
刚体的转动定律
刚体的角加速度与作用力矩成正比,与刚体 对转动轴的转动惯量成反比。
刚体的动量方程
刚体的动量变化率等于作用力对时间的积分 。
刚体的自由度与约束
自由度
描述刚体运动的独立变量,如平动自由度和转动 自由度。
约束
限制刚体运动的条件,如固定约束、滑动约束等 。
约束方程
描述刚体运动受约束的数学表达式。
刚体的动力学方程的求解方法
解析法
通过代数运算求解动力学方程,适用于简单问 题。
数值法
通过迭代逼近求解动力学方程,适用于复杂问 题。
近似法
通过近似模型求解动力学方程,适用于实际问题。
06
刚体动力学中的问题与实例 分析
人工智能和机器学习的发展将为刚体 动力学的研究提供新的思路和方法, 有助于解决复杂动力学问题。
感谢您的观看
THANKS
船舶工程
在船舶工程中,刚体动力学 用于研究船舶的航行稳定性 、推进效率以及船舶结构的 安全性等。
兵器科学与技术
在兵器科学与技术领域,刚 体动力学用于研究弹药的发 射动力学、火炮的射击精度 和稳定性等。

理论力学课件07第七章-刚体的简单运动PPT课件

理论力学课件07第七章-刚体的简单运动PPT课件

26n03n01n0(rad) /s
α与方向一致为加速转动, α与 方向相反为减速转动。
3.匀速转动和匀变速转动 当 =常数,为匀速转动;当α =常数,为匀变速转动。
常用公式
0 t
0
t
1t2
精选2பைடு நூலகம்
与点的运动相类似。
9
§7-3 转动刚体内各点的速度和加速度
一、速度
z
S R
v
dS dt
Rddt
2avr2
av 2 r2
av2
2 r3
精选
17
(例2)
升降机装置由半径R=50cm的鼓轮带动,被升降物体M 的运动方程为x=5t2(t:时间,秒;x:高度,米),求: (1)鼓轮的角速度和角加速度; (2)任一时刻轮缘上一点的全加速度大的大小。
解: (1) 轮缘上任一点的速度和切向加速度分别为:
1
4
公式,有:
3
i12
n1 n2
Z2 Z1
n1
i 34
n3 n4
Z4 Z3
两式相乘,得:
精选
25
n1n3 Z2Z4
n2n4
Z1Z3
因 n2= n3 ,所以有:
i14 n n 1 4Z Z 2 1Z Z 3 4131 6 1 3 22 2 1 8.4 2
n4in 1141 14 2 .450 117(r/min)

ω α
θ a3
精选
12
〔例1〕画点的速度和加速度
试画出图中刚体上M、N两点在图示位置时的速度和
加速度。 (O 1 A O 2 B , O 1 O 2 A)B
ω为常数 αα
精选
13

《刚体动力学 》课件

《刚体动力学 》课件

常用方法:拉格朗日方程、 哈密顿原理等
注意事项:需要熟练掌握 数学基础
数值法
定义:数值法 是一种通过数 值计算求解刚 体动力学问题
的方法
特点:精度高、 计算速度快、 适用于复杂问

常用算法:有 限元法、有限 差分法、有限
体积法等
应用领域:航 空航天、机械 制造、土木工
程等领域
近似法
近似法的定义和特点
刚体转动实例
风力发电机:利用风力驱动风车叶片旋转,通过变速器和齿轮装置将动力传递至发电机,最终 转化为电能。
搅拌机:利用电动机驱动搅拌器旋转,对物料进行搅拌、混合和输送等操作。
洗衣机:利用电动机驱动洗衣机的滚筒旋转,通过水和洗涤剂的作用将衣物清洗干净。
旋转木马:利用电动机驱动旋转木马旋转,使人们能够欣赏到各种美丽的景观和音乐。
物理教师
需要了解刚体 动力学知识的
相关人员
Part Three
刚体动力学概述
刚体定义
刚体:在运动过程中,其内部任意两点间的距离始终保持不变的物体 刚体运动:刚体的运动是相对于其他物体的位置和姿态的变化
刚体动力学:研究刚体运动过程中所受到的力、力矩以及运动状态变化规律的科学
刚体动力学的研究对象:各种工程实际中的刚体,如机械零件、构件、机构等
动能定理
定义:动能定理是描述物体动能变化的定理 表达式:动能定理的表达式为ΔE=W 应用范围:动能定理适用于一切具有动能变化的物理系统 注意事项:在使用动能定理时需要注意初始和终了状态的动能
Part Five
刚体动力学应用实 例
刚体平动实例
刚体平动定义 刚体平动应用实例1 刚体平动应用实例2 刚体平动应用实例3
刚体动力学在各领 域的应用

《刚体动力学》课件

《刚体动力学》课件
动量定理公式:Ft=mv
单击此处输入你的项正文,文字是您思想的提炼。
应用场景:碰撞、打击、爆炸等 角动量定理 角动量定理
定义:角动量是物体转动惯量和角速度的乘积 单击此处输入你的项正文,文字是您思想的提炼。
角动量定理公式:L=Iω
单击此处输入你的项正文,文字是您思想的提炼。
应用场景:行星运动、陀螺仪等
刚体的滚动和滑动摩擦
刚体滚动:刚体在平面内绕固定点转动,滚动摩擦力产生的原因和影响
刚体滑动摩擦:刚体在平面内滑动时产生的摩擦力,滑动摩擦系数与接触面材料和粗糙度等因素 的关系
刚体滚动和滑动摩擦的应用实例:例如,汽车轮胎与地面之间的滚动摩擦力,以及机械零件之间 的滑动摩擦力等
刚体滚动和滑动摩擦的实验研究:通过实验研究刚体滚动和滑动摩擦力的影响因素和规律,为实 际应用提供理论支持
04
刚体动力学基本原理
牛顿第二定律
定义:物体加速度的大小跟作用 力成正比,跟物体的质量成反比
应用:解释物体运动状态变化的 原因
添加标题
添加标题
公式:F=ma
添加标题
添加标题
注意事项:只适用于宏观低速运 动的物体
动量定理和角动量定理
定义:动量是物体质量与速度的乘积
单击此处输入你的项正文,文字是您思想的提炼。
刚体动力学研究内容
刚体的定义和性质 刚体运动的基本形式 刚体动力学的基本方程 刚体动力学的研究方法
刚体动力学发展历程
早期发展:古代力学对刚体的研究 经典力学时期:牛顿、伽利略等经典力学大师对刚体动力学的研究 弹性力学时期:弹性力学的发展对刚体动力学的影响 现代发展:计算机技术和数值模拟方法在刚体动力学中的应用
课程内容:刚体 的平动、转动、 碰撞等动力、力学等相关专 业的本科生和研 究生

高中物理竞赛辅导之刚体动力学

高中物理竞赛辅导之刚体动力学

其轴的转动惯量与圆盘的相同。
球体绕其直径的转动惯量
将均质球体分割成一系
列彼此平行且都与对称轴垂
直得圆盘,则有
JO
1 dm r 2 2
1 2
r 2dz
r
2
R 1( R2 z2 )2 dz
R 2
8 R5 2 mR2
15
5
z
r
z
dz R
om
JO
2 mR2 5
设任意物体绕某固定轴O的转动惯量为J,绕 通过质心而平行于轴O的转动惯量为Jc,则有
0 t 2 gt R
达到纯滚动时有: vc R
解得作纯滚动经历的时间:
t v0 2g h R
3 g
3 g
2)达到纯滚动时经历的距离:
x
v0t
1 2
at 2
v02
3 g
1 2
g
v02
3g 2
5v02
5h R
18 g 9
例 5 质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上,
和一质量不计的绳索相连接,绳索跨过一半径为 R、质
J 1 ml2 3
球壳: 转轴沿直径
J 2 mr2 3
竿









飞轮的质量为什么

大都分布于外轮缘?

例1 一长为 l 质量为 m 匀质细杆竖直放置,其
下端与一固定铰链 O 相接,并可绕其转动. 由于此竖
直放置的细杆处于非稳定平衡状态,当其受到微小扰
动时,细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动.
压力N 和刹车片与圆盘间的摩擦系数均已被实验测出.试

《大学物理期末复习》刚体动力学课件

《大学物理期末复习》刚体动力学课件
ERA
刚体的自由振动
总结词
刚体的自由振动是指刚体在无外力作用下的振动,其振动频率由刚体的固有属性决定。
详细描述
刚体的自由振动是由其内部的弹性力和惯性力相互平衡而产生的。当刚体受到初始扰动 时,其内部的弹性力会试图将其恢复到平衡位置,而惯性力则试图保持其运动状态不变。 在无外力作用的情况下,这种相互作用会导致刚体进行周期性的振动。刚体的自由振动
自行车行驶的稳定性分析
自行车行驶的稳定性是保证骑行安全的关键因素之一。通过 刚体动力学原理,可以分析自行பைடு நூலகம்在行驶过程中的稳定性和 倾倒趋势。
在自行车倾倒过程中,车轮与地面之间的摩擦力、车身的质 心位置和转动惯量等因素都会影响自行车的稳定性。了解这 些因素之间的关系,有助于优化自行车的设计和骑行技巧, 提高行驶的安全性和稳定性。
ERA
刚体的定义与特性
刚体的定义
01
刚体是指在力的作用下,其内部任意两点之间的距离始终保持
不变的物体。
刚体的特性
02
刚体具有不可变形的特性,其形状和大小在力的作用下不会发
生改变。
刚体的运动
03
刚体的运动是指刚体在空间中的位置随时间的变化而变化的过
程。
刚体运动的基本形式
01
平动
转动
02
03
振动
刚体在空间中的位置随时间变化, 但刚体的各个点都沿着同一直线、 以相同的速度移动。
THANKS
感谢观看
《大学物理期末复习》刚
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
体动力学课件
• 刚体动力学概述 • 刚体的转动惯量 • 刚体的转动定律 • 刚体的振动与波动 • 刚体动力学应用实例

基础物理课件PPT-第13讲-第七章-刚体力学

基础物理课件PPT-第13讲-第七章-刚体力学
理学院 物理系 陈强
第13讲:刚体力学
第七章 刚体力学
§7-1.刚体运动学 §7-2.定轴转动惯量 §7-3.定轴转动与动能定理 §7-4.应用例题
理学院 物理系 陈强
2.刚体平动时的速度与加速度
由图所示A、 B两点
有 rB rA AB 求导

AB C(常矢量)
drB drA d ( AB )
x
mi
理学院 物理系 陈强
§7-3. 刚体定轴转动定理与角动量守恒
Z F//
F
一.力对轴和点的力矩
如图, 力F 对Z轴的力矩 MZ
Or
大小: 方向: 同理,
与MrZ、FF成r s右in旋 关系 力F 对X轴的力矩:
M MX
X
Z
r
F
r F//
F Y
综上所述,
F
对O 点的力矩为
r F MX MY MZ MO
2
各质元绕轴角速度相同
L
dL
r
2dm
I
r dm
2. 刚体的角动量定理及角动量守恒定律
M外 dt
dL
dI

M外
0,则I
常量
I t
ω
It ω
当变形体所受合外力矩为零时,变形体的角动量守恒 如:冰上舞蹈, 花样滑冰等
理学院 物理系 陈强
§7-4. 定轴转动刚体的动能定理
一. 刚体的转动动能
'1
m1
m1 1
2
R
m22 R
1 2
MR2
0
2 R, m1 m2 m
解得
2
4
2m mM
1
1
1

刚体力学刚体动力学举例

刚体力学刚体动力学举例
1

2
2
1 M zdt 1 M zd
T
1 2
x
y
z
I xx
I yx


I
zx
I xy I yy Izy
I xz x I yz y I zz z
T

1 2
I z
2
刚体的动能定理可表示为:A
Jo

1 4
mR2( 2k

21k')
(六) 动能定理
五、 刚体动力学—动能定理
对于刚体来说,由于内力功的代数和为零,故动能
定理可表为: W e T T2 T1
①刚体动能的一般表示 — 柯尼希定理
T
i
1 2
mi ri
ri

1 2
mrc
rc

2 1
M zd

1 2
I
2
z2

1 2
I
2
z1
机械能守恒:
1 2
I zz 2
V

E
(5) 刚体的重力势能
刚体的定轴转动
对于一个不太大的质量为 m 的物体,它的重
力势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和
即:
质心高度为:
hc

mihi
m
Ep mghc
若只有保守力做功
E

mghc
刚体的定轴转动
刚体的定轴转动
(4) 定轴转动的动能定理


对定轴转动的情况,假设 k ,则:
W e
2 2 F dr F vdt

《大学物理期末复习》刚体动力学课件

《大学物理期末复习》刚体动力学课件
总结词
掌握弹性力对刚体运动的影响
详细描述
弹性力是刚体动力学中另一个重要的问题。解决这类问题需要掌握弹性力的计算方法, 包括胡克定律和弹性常数的概念,以及弹性力在不同运动状态下对刚体运动的影响。同 时,还需要考虑弹性力与刚体质量、加速度等因素的关系,以及弹性力对刚体振动和稳
定性的影响。
01
02
03
阻尼振动定义
刚体在受到阻尼作用下的 振动状态。
阻尼振动特点
振动的能量逐渐减小,最 终趋向于静止状态。
阻尼振动方程
通过求解刚体的运动方程 ,可以得到阻尼振动的解 。
05
刚体动力学中的常见问题 与解决方法
刚体在非惯性系中的运动问题
总结词
理解非惯性系中刚体的运动规律
详细描述
刚体在非惯性系中的运动问题主要涉及到相对运动和科里奥利力。解决这类问题需要理解非惯性系中 刚体的运动规律,掌握科里奥利力的计算方法,以及如何应用这些概念来分析具体的物理现象。
在实际应用中,可以通过合理设计结构、选择合适的材料、加强维护保养等方式来提高刚体的平衡与稳 定性。
刚体的平衡与稳定问题也是物理学中的一个重要研究领域,对于深入理解力学原理、发展新的技术手段 等方面具有重要意义。
04
刚体的振动与阻尼
刚体的自由振动
自由振动定义
刚体在没有任何外力作用下的振动状态。
自由振动特点
振动的周期和振幅与初始条件有关,不受外力影响。
自由振动方程
通过求解刚体的运动方程,可以得到自由振动的解。
刚体的受迫振动
1 2
受迫振动定义
刚体在外力作用下的振动状态。
受迫振动特点
振动的周期和振幅与外力有关,与初始条件无关 。

刚体平面运动的运动学动力学培训资料

刚体平面运动的运动学动力学培训资料

刚体平面运动
01
刚体在平面内的运动,包括平移和旋转。
动量与角动量在刚体平面运动中的作用
02
描述刚体的运动状态,为动力学分析提供基础。
动量与角动量在刚体平面运动中的关系
03
在平面运动中,动量和角动量之间存在一定的联系和相互影响。
05
刚体平面运动的能量
刚体的动能与势能
刚体的动能
刚体在平面运动中的动能等于刚体质量与速度平方乘积的一半。
刚体平面运动的能量与运动状态的关系
能量与速度的关系
刚体的动能与速度的大小直接相关,速度越大,动能越 大。
能量与位置的关系
刚体的势能与位置的高低直接相关,位置越高,势能越 大。
06
刚体平面运动的实例分析
刚体的定轴转动实例
总结词
刚体的定轴转动是平面运动的一种,其运动 特性对理解刚体平面运动至关重要。
详细描述
刚体的定轴转动是指刚体绕某一固定轴线旋 转的运动。这种运动形式在日常生活和工程 实践中非常常见,例如车轮的转动、旋转木 马的旋转等。在定轴转动中,刚体的运动可 以分解为绕固定轴的旋转运动和刚体上任意 一点沿该轴的线运动。
刚体的平面运动实例
总结词
刚体的平面运动是指刚体在平面内的运动, 其运动特性对理解刚体动力学具有重要意义 。
动量与角动量的定义
动量
刚体的质量与速度的乘积,表示刚体 的运动量。
角动量
刚体的转动惯量与角速度的乘积,表 示刚体的转动运动量。
动量与角动量的守恒定律
要点一
动量守恒定律
在没有外力作用的情况下,刚体的总动量保持不变。
要点二
角动量守恒定律
在没有外力矩作用的情况下,刚体的总角动量保持不变。

刚体运动动力学

刚体运动动力学
i i i i
I 0 r 2 dm
0
R
R
0
2rdr 1 m mR 2 r2 2 R 2
r
R
r dr
) d md 2 i i
2 i
平行轴定理
I MN I C md 2
L Lc L,
Lc rc mvc , L ri mi vi
i
质点系的角动量 可分解成质心角动量与质点系相对质心的角动量之和 同一参考点 质心为参考点
6
1
2010/12/17
质心参考系
质心系一般是非惯性系,引入平移惯性力
质心系中质点系动能定理
推论:刚体沿任何方向转动,绕通过质心的转轴的转动惯量最小
17 18
3
2010/12/17
对于平板刚体
z
xi
例 由柯尼希定理导出刚体的平行轴定理
ri
xi2 yi2 ri 2
x
yi
mi
y
绕任意固定轴 MN 转动的刚体的动能 此轴到刚体质心的距离 d 刚体质心的速度
Ek
1 I MN 2 2
其中
1 1 Ek mi vi2 mi vi vi i 2 i 2
L ri mi vi
i
mi
ri rc ri , vi vc vi
ri
O
ri
rC
C
1 1 Ek mi vc vc mi vc vi mi vi vi i 2 i i 2 1 2 1 mvc vc mi vi mi vi2 2 i i 2 1 2 1 , Ekc mvc , 资用能Ek mi vi 2 Ek Ekc Ek 2 i 2

《物理刚体力学》课件

《物理刚体力学》课件
体质量乘以角速 度乘以旋转半径。
角动量守恒的条 件:刚体在运动 过程中,不受外 力矩作用,或者 外力矩的矢量和 为零。
角动量守恒的应用: 在物理学、工程学 等领域,角动量守 恒定律被广泛应用 于分析刚体的运动 状态和设计机械设 备。
刚体的振动与波 动
体育器材:篮球架、足球 门、单杠等体育器材的结 构和支撑
医疗设备:手术床、轮椅、 担架等医疗设备的支撑和 连接
电子产品:手机、电脑、 电视等电子产品的外壳和 框架
刚体在体育运动中的应用
篮球:篮球架、篮球板等设备都是 刚体,它们需要承受运动员的撞击 和冲击。
田径:田径运动中的起跑器、跳高 杆等设备也是刚体,它们需要承受 运动员的撞击和冲击。
刚体在工程中的应用:设计、制造和维护各种机械设备,如汽车、飞机、桥梁等
刚体在生物力学中的应用:研究人体骨骼、肌肉等组织的力学性能,为医疗、康复等领域提 供科学依据
感谢您的观看
汇报人:PPT
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添加标题
转动惯量:刚体转动时,其转动惯 量与质量、形状、转动轴的位置有 关。
转动定律的局限性:转动定律只适 用于刚体,不适用于非刚体。
刚体的转动惯量
定义:刚体转动惯量是刚体转动时,其角动量与角速度的比值 公式:I=mr^2,其中m是刚体质量,r是刚体到转轴的距离 应用:刚体的转动惯量在物理学、工程学等领域有广泛应用 影响因素:刚体的形状、质量分布、转轴位置等因素都会影响其转动惯量
消失
基本假设:物体 在受到外力作用 时,其运动状态 保持不变,即物 体在受到外力作 用时,其速度、 加速度和位置保
持不变
局限性:刚体 力学只适用于 刚体,不适用 于流体、弹性 体等非刚体物

大学物理刚体力学课件

大学物理刚体力学课件

— 角动量定理的积分形式 三、刚体对转轴的角动量守恒定律
dLz d Mz ( J ) dt dt dLz , 0L M z 0 ,则 z dt

J 恒量
— 角动量守恒定律
小结:质点运动与刚体定轴转动的对照表(一) 质点运动
速度 加速度 力 质量 动量 牛顿第二定律
刚体定轴转动
小结:刚体定轴转动与质点运动的对照表(二)
质点运动
动量定理 动量守恒定律 动能 功 动能定理
刚体定轴转动
角动量定理
F dt m v m v 2 1
Mdt J
2
J1
F 0, mv 恒矢量
1 2 mv 2
角动量守恒定律
M 0, J 恒量
转轴沿着直
并与盘面垂直
1 2 J mr 2
1 2 J mr 4
球体
转轴沿着切
球体
转轴通过球

2r
线
2 2 J mr 5
7 2 J mr 5

一、平行轴定理



如果刚体对通过质心的轴的转动惯量为 J C ,那么对与此轴平行 的任意轴的转动惯量可以表示为
J J C md 2
m 是刚体的质量,d 是两平行轴之间的距离。 式中:
zi i i
O
ri
Δ mi
vi
整个刚体对Z轴的角动量为 Lz
l
dt
zi
( ri mi ) J
2
二、刚体对转轴的角动量定理 d d 根据转动定理 M z J J ( J )
dt
Lz J
dLz d M z ( J ) dt dt

演示文稿第七章刚体力学

演示文稿第七章刚体力学

M滚 FN —滚动摩擦因数,由实验测定.
第26页,共34页。
FN
FNO
W
FP
M滚
FN
O W FP
M滚 使物体角速度减小,则接触面各点有向前滑动趋势,从而 产生反向摩擦力(滚动摩擦)使物体减速.
滚动阻力因数´: / r, r是轮半径.
表7.2 是常见汽车轮在几种典型路面上的´ 值
第27页,共34页。
O
第10页,共34页。
[解] (1)由机械能守恒得
mghc
1 2
I 2
hc
1 2
l
I 1 ml 2 3
联立得
v l 3gl
FN
en
et
Ep=0
C
W
(2)根据质心运动定理
FN W mac
分量式
FNn
mg
m
vc2 rc
FNt mact
第11页,共34页。
杆处于铅直位置时不受力矩作用,由转动定理
如何理解滚动摩擦 << 滑动摩擦 ?
F
M滚
FN
C
W
Ff
F' A C
设滚子匀速滚动,则阻力和阻力矩分别为
Ff F FN W Ff r M滚 0 M滚 FN
联立得
F
Ff
r
FN
r
W
W
若滚子匀速平动 F FN W
表7.2与表3.2相比,有 F F
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§7.6 刚体的平衡
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[P239 例题2]质量为m的汽车在水平路面上急刹车,前后轮均 停止转动. 前后轮相距L,与地面的摩擦因数为 .汽车质心离 地面高度为h,与前轮轴水平距离为l .求前后车轮对地面的压力

刚体定轴转动的动能定理

刚体定轴转动的动能定理

dm 积分遍及刚体体积V,
分几种情况:
dV , ( x, y, z )
1、刚体具有对称中心,对称中心就是质心;
2、若刚体无对称中心,但可以划分为几部分,而每一部 分都有对称中心,各部分的中心就是各部分的质心,这些质心 形成为分立的质点组,则刚体的质心就归结为这一质点组的质 心; 3、前二个条件都不具备,这时就必须求积分,计算刚体 的质心。
dri j r j ri rij (为什么?) dt dt r r ij j 2 2 d r j d ri i 2 2 即 v j v i , a j ai O ri dt dt
dr j
由于 i ,j 是任意两个质元,所以刚体上所有质元均有相同的速 度和加速度,各质元的运动轨迹的形状也相同。这里很自然想 到一个代表性的质元——质心。
二、刚体的转动
如果刚体上各质元都绕同一直线作圆周运动就称为刚体转 动,这条直线称为转轴,转轴固定于参考系的情况称为定轴转 动。例如机器上齿轮的运动,门窗等都是定轴转动。若转轴上 有一点静止于参考系,而转轴的方向在变动,这种转动称为定 点转动。例如玩具陀螺的转动就属于定点转动。
分析表明:刚体的任何复杂运动总可以分解为平动和转动(定 轴转动或定点转动)的叠加,例如车轮的滚动、螺帽的运动。 研究刚体绕定轴转动时,通常取任一垂直于定轴的平面作 为转动平面,如图所示,通过分析,转动平面内各个质点的运 动情况搞清楚了,整个刚体的运动情况就知道了。取任一质点 P,P在这一转动平面内绕O点作圆周运动,用矢径 r 与Ox 轴间
唯一确定。总之,为描述平面运动,必须给出
rB rB (t ) xB (t )i yB (t ) j, 或 xB xB (t ), yB yB (t )

《刚体力学》课件

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刚体的转动
总结词
刚体的转动是指刚体绕着某一定点(称为转动中心)的旋转运动。
详细描述
刚体的转动是指刚体绕着某一定点(称为转动中心)的旋转运动。在转动过程中,刚体上任意一点绕着转动中心 作圆周运动,且该圆周运动的半径与刚体上该点到转动中心的距离相等。转动刚体的角速度、角加速度等都是标 量,其方向与转动方向相关。转动刚体的速度和加速度都是矢量,其方向垂直于转动平面。
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目录
• 刚体运动学 • 刚体动力学 • 刚体的平衡 • 刚体的转动惯量 • 刚体的角动量
01
刚体运动学
刚体的平动
总结词
刚体的平动是指刚体在空间中的移动,其上任意两点在同一直线上,且该直线与该刚体的转动轴平行 。
详细描述
刚体的平动是指刚体在空间中的移动,其上任意两点在同一直线上,且该直线与该刚体的转动轴平行 。平动刚体的运动轨迹是一条直线或一个平面图形,其上任意两点的相对位置保持不变。平动刚体的 速度和加速度都是矢量,其方向与平动刚体的移动方向一致。
描述了刚体绕质心转动的动量表现,是刚体动力学中的一个重要概念。
详细描述
动量矩是描述刚体绕质心转动的动量表现的一个物理量。在刚体动力学中,动量 矩是一个非常重要的概念,它与力矩、角速度和时间等物理量密切相关。根据动 量矩的定义,刚体的动量矩等于刚体的质量与角速度的乘积。
刚体的动能
总结词
描述了刚体运动过程中能量的表现形式 ,是刚体动力学中的一个重要概念。
刚体的定点运动
总结词
刚体的定点运动是指刚体绕着通过定点(称为动点) 且垂直于定直线(称为转动轴)的轴线的旋转运动。
详细描述
刚体的定点运动是指刚体绕着通过定点(称为动点) 且垂直于定直线(称为转动轴)的轴线的旋转运动。 在定点运动过程中,刚体上任意一点绕着动点作圆周 运动,且该圆周运动的半径与刚体上该点到动点的距 离相等。定点运动的角速度、角加速度等都是标量, 其方向垂直于转动平面。定点运动的刚体上任意一点 的线速度和角速度都与该点到转动轴的距离成正比。

刚体动力学运动学问题专题讲解30页PPT

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26、要使整个人生都过得舒适、愉快,这是不可能的,因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭

27、只有把抱怨环境的心情,化为上进的力量,才是成功的保证。——罗曼·罗兰

28、知之者不如好之者,好之者不如乐之者。——孔子

29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇


30、意志是一个强壮的盲人,倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢!
30
刚体动力学运动学问题专题讲解
1、战鼓一响,法律无声。——英国 2、任何法律的根本;不,不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律,也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正,其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等,但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克

《刚体动力学》PPT课件

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ox
l x
2
为转轴, 如图所示。在距离转轴为x 处取棒元dx,
其质量为
m dm dx
l
7
根据式(5-4), 应有
J
l / 2 l / 2
x
2
m l
dx
1 3
m l
x3
l /2 l / 2
1 ml2 8.3 102 kg m2 12
棒的转动动能为
Ek
1 2
J 2
1 0.083 632 J 2
(2) 闸瓦对飞轮施加的 摩擦力矩所作的功。
d
闸瓦
N
解:为了求得飞轮从制 飞轮
f
动到停止所转过的角度
和摩擦力矩所作的功A, 必须先求得摩擦力、摩擦力矩
和飞轮的角加速度。
27
闸瓦对飞轮施加的摩擦力的大小等于摩擦系数与
正压力的乘积
f N 0.50 500 N 2.5 102 N
方向如图所示。摩擦力相对z 轴的力矩就是摩擦
1.7 102J
8
例2 计算质量为m,长为l 的细棒绕一端的转动惯量。
解: J r2dm
z
dm dx m dx
l
Oo
dm
r2 x2
x dx
x
J l x2 m dx 1 m x3 l
0l
3l 0
J 1 ml2 3
对质量均匀分布的门对门轴的转动惯量也相同。
9
例5-3 如图半圆形匀质细杆,半径为 R,
cosi
因为dsi = ri d, 并且cosi = sini , 所以
dAi Firi sini d Mzid 19
dAi Firi sini d Mzid
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MO = ∑ MO ( Fi ) = ∑ (ri × Fi )
i =1 i =1
n
n
注意,主矩的的计算与参考点的选取有关。例如,将参考点由 O 改成 O′ ,于是
MO = ∑ ri × Fi = ∑
i =1 i =1
n
n
(ri′ + OO′) × Fi = ∑ (ri′ × Fi ) + OO′ × ∑ Fi
R = ∑ Fi
i =1
n
这是个自由矢量,它只给出矢量的大小和方向,不过问作用点的位置。 对力系的矩也可作类似的讨论。对于共点力系,合力的矩等于各个力对同一点的矩的矢量 和,即
MO ( F) = r × F = r × ∑ Fi = ∑ (r × Fi )
i =1 i =1
n
n
一般的力系中不一定存在合力,因此也就谈不上求合力的矩。但是每个力相对于同一参考 点的力矩是矢量,我们可以求这些矢量的和,并称为主矩,记为 MO ,即有
(II)刚体绕质心的转动:
dLc = ∑ ric × Fi (对质心的角动量定理) dt i
第一个式子求质心运动等同于质点动力学,可以解出刚体的平动运动部分(三个方程解三个运 动变量) 。第二个式子又可求出刚体的转动角速度 ω ( L 与 ω 有一定的关系) ,于是刚体的运动 就完全确定了。由角动量定理求刚体的转动角速度是重点讨论的内容。 7.2 作用在刚体上的力和力矩 通常矢量指的是所谓自由矢量(free vector) :只有大小和方向,它可以平行自由移动。 作为物理量的矢量则不然,例如,力矢量 F ,为了完全确定这个力,还要说明力的作用点, 若用 r 表示作用点的话,则要有两个矢量 F 和 r ,这个力才完全被确定下来。这种矢量被称为定 位矢量(bound vector) 。除了力矢量是定位矢量外,质点的速度和加速度等也是定位矢量的例 子。 还有一种矢量,称为滑动矢量(sliding vector) ,它可在包含该矢量的一直线上自由移动。 例如,作用在刚体上的力(见下面的讨论) 。
F = ∑ Fi
i =1
n
这是一个定位矢量,其作用点在公共点上。
P1
P3
F1
P2
F1
F2
F3
F3
F2
R
但是,一般说来,一个物体所受的各个力的作用点并不一定相同,因此,我们并不能求出 合力来。可 F1 , F2 , " , Fn 既然是矢量,我们仍然可以求出它们的矢量和 F = F1 + F2 + " + Fn , 这个矢量和我们用 R 表示,称为力系的主矢量:
L = Θω
考 察 惯 量 张 量 的 计 算 。 为 此 , 取 刚 体 坐 标 系 {O , x1 , x2 , x3} , 则 在 该 坐 标 系 下 ,
r = x1e1 + x2e 2 + x3e 3 ,且 xi 与时间无关,惯量张量的分量为
Θij = ei ⋅ Θe j = ei ⋅∫ [r 2I − rr ]dme j = ei ⋅∫ [r 2e j − rx j ]dm = ∫ [r 2δ ij − xi x j ]dm = ∫ [xk xkδ ij − x j xi ]dm
yG = y c zG = zc
表明作用线通过质心。 这样就得:任意力系都可以化为通过任意点的一个单力和一个力偶。
7.3 惯量张量
角动量定理给出的是外力矩下刚体角动量 L 的变化率,但直接描述刚体转动的物理量不是 角动量 L ,而是角速度 ω ,因此,首先要找出 L 与 ω 之间的关系。
7.3.1 刚体的角动量 L 与角速度 ω 的关系,惯量张量
i =1 i =1
n
n
因为 R = ∑ Fi ,所以有
i =1
n
MO = MO′ + OO′ × R
7.2.2 力系的简化
如果两个力系对刚体产生同样的力学效果(运动,平衡、约束反力等) ,就称这两个力系为 等效力系。 定理:两个力系等效的条件是主矢量相等,对同一参考点的主矩相等。 (1)力的滑动性 实践表明:作用在刚体的两个等值反向且在一条直线上的力不改变刚体的平衡状态。
F1
P 1
d
P2
O
F2
力偶的主矢量为 F1 + F2 = 0 ;它对力偶面内任意点 O 的总力矩为
JJJG JJJG JJJG JJJG MO = OP1 × F1 + OP2 × F2 = −OP1 × F2 + OP2 × F2
JJJJ G JJJG JJJG = (OP2 − OP1 ) × F2 = P1 P2 × F2 = M P1 ( F2 ) 可见,力偶的主矩与参考点无关。故把力偶对任意参考点的主矩叫做力偶矩,用 M 表示(不再 须标明参考点 O ) ,由此也可以看出,力偶矩为一自由矢量,可作用于力偶面上任一点。注意: 力偶的自由性对变形物体不成立。 考虑这两个力的力矩:由于力偶矩与参考点无关,方向为垂直于力偶所构成的平面,所以,力
因此,角速度的大小为
L = 2mω l 2 sin α
其方向为垂直于联杆,如图所示。表明:刚体的角动量方向与角速度的方向一般并不相同!
z
ω
θi
O
mi
y
ri
x
假设刚体在某一时刻以角速度绕定点 O 以角速度 ω 转动,求相应的角动量 L 。根据角动量 定义
L = ∑ ri × mi v i
i =1
n

L = ∫ (r × v )dm
一般情况下, L 与角速度 ω 并不同方向,这点与质点的动量和速度之间的关系 P = mv 并不 一样。一般地说, L 与 ω 之间的关系要复杂得多。 例 1 ,如图所示,刚体有固联在一无质量刚性杆两端的质点 1 和质点 2 组成(质量
m1 = m2 = m ) ,杆长为 2l ,在其中点 O 处与刚性轴 ZOZ ′ 成 α 角斜向固联。此刚体以角速度 ω 绕
( Δm1 + Δm2 )
x123 =
Δm1 x1 + Δm2 x2 + Δm3 x3 Δm1 + Δm2 ( Δm1 + Δm2 ) + Δm3
=
Δm1 x1 + Δm2 x2 + Δm3 x3 Δm1 + Δm2 + Δm3
类似可得: y123 , z123 。应用数学归纳法可得
xG =
Δm1 x1 + " + Δmn xn = xc Δm1 + " + Δmn
注意,转动惯量是对称的,即有: Θij = Θ ji 。因此,张量(在取定的坐标系下)的表示为
⎛ Θ11 Θ12 [Θ ] = ⎜ ⎜ Θ 21 Θ 22 ⎜Θ ⎝ 31 Θ32 Θ13 ⎞ ⎟ Θ 23 ⎟ Θ33 ⎟ ⎠
本章目录: (2010-6-3,符力平,中南大学物理学院) 7.1 刚体动力学基本方程 7.2 作用在刚体上的力和力矩 7.3 惯量张量 7.4 刚体定轴转动 7.5 刚体平面平行运动 7.6 刚体绕固定点的运动 7.7 刚体的平衡 第七章 刚体动力学 7.1 刚体动力学基本方程 刚体是特殊的质点组。刚体的动力学规律是质点组动力学规律(质点组动量定理、动能定 理、角动量定理)的特殊形式。另外,由于刚体内任意二质点之间的距离在运动中都不改变, 因此,质点组的基本定理不但适用于刚体动力学,而且形式上与质点的基本规律是一样的。 一个自由刚体,有六个自由度,由刚体运动学知道,刚体的任意运动都可以用随其上(或 与它刚性连接)的某参考点的平动和绕该参考点的转动来描述。在运动学里,参考点的选择是 任意的,但在动力学中一般选质心为参考点。这样, (I)刚体随质心的平动: m dv c = ∑ Fi (质心运动定理) dt i
F
F2
将刚体可视为质点组,记它们的质量为 Δm1 , Δm2 , " Δmn ,它们都受重力的作用。如果 刚体不太大,这些重力都可认为是平行的,并且为 Δm1 g , Δm2 g , " Δmn g ,其合力为
F = ∑ Δmi g = mg
作用线:根据前面两力的作用线公式,把 P 点取在 c = 0 的位置上,则有
7.2.1 力系的主矢量和主矩 作用在物体上的一组力便称为力系。假设作用在物体上的力系有 n 个力 F1 , F2 , " , Fn , 作用点分别为 P1 , P2 ," , Pn ,这些点相应的位置矢量为 r1 ,r2 ," ,rn ,若有 r1 = r2 = " = rn , 则称力系为共点力系。例如,作用在一个质点上的力便是共点力系。 对于共点力系,可以求出其合力:
再利用并矢的定义: (a ⊗ b) v = a( b ⋅ v ) ,上式可写成
= ∫ [r 2Iω − (r ⊗ r )ω]dm
=
(∫
[r 2I − rr ]dm ω
)

Θ = ∫ [r 2I − rr ]dm
显然, Θ 是二阶张量(实为视 dm 为权重的张量之和) 。这样,就可得到 L 与 ω 的关系
由于绕定点转动,将(欧拉公式)
v = ω×r
代入上式,并利用矢量三重积公式: a × ( b × c) = (a ⋅ c)b − (a ⋅ b)c ,得
L = ∫ r × (ω × r )dm = ∫ [(r ⋅ r )ω − (ω ⋅ r )r ]dm = ∫ [r 2ω − r (r ⋅ ω)]dm
轴旋转,求角动量的大小和方向。 解:
N1
Z
m1
r1
l O
L
α
l
r2 m2
ω
Z′
N2
取 O 点为参考点,令两质点的位置矢量分别为 r1 和 r2 ,则 r1 = −r2 。角速度矢量 ω 沿 OZ 方向, 由定义有
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