Leslie模型
Leslie人口模型及例题详解,DOC
Leslie 人口模型现在我们来建立一个简单的离散的人口增长模型，借用差分方程模型，仅考虑女性人口的发展变化。
如果仅把所有的女性分成为未成年的和成年的两组，则人口的年龄结构无法刻划，因此必须建立一个更精确的模型。
20世纪40年代提出的Leslie 人口模型，就是一个预测人记)]0(,),0(),0([)0(21m n n n n = （2）假设n （0）和矩阵L 已经由统计资料给出，则()(0),0,1,2,t n t L n t ==为了讨论女性人口年龄结构的长远变化趋势，我们先给出如下两个条件：(i) s i > 0，i =1，2，…，m -1;(ii) b i 0≥，i =1，2，…，m ，且b i 不全为零。
21i s -，q （(iii) 当λ=1时，人口数是稳定的。
根据（6）式，如果λ=1，则有b 1 + b 2s 1 + b 3s 1s 2 + … + b m s 1 s 2…s m-1=1记R= b1 + b2s1 + b3s1s2 + … + b m s1s2…s m-1（7）R称为净增长率，它的实际含义是每个妇女一生中所生女孩的平均数。
当R>1时，人口递增；当R<1时，人口递减。
Leslie模型有着广泛应用，这里我们给出一个应用的例子，供大家参考。
公园大象管理南非的一家大型自然公园放养了大约11000头大象，管理部门希望为大象创造一个健康的生存环境，将大象的总数控制在11000头左右。
每年，公园的管理人员都要统计当年大象的总数。
过去20年里，公园每年都要处理一些大象，以便保持大象总数维持在11000头左右，通常都是采用捕杀或者迁移的方法来实现。
统计表明，每年约处理600-800头大象。
近年来，公众强烈反对捕杀大象行为，而且即使是迁移少量的大象也是不允许的。
但是一种新的给大象打避孕针的方法也被研制成功。
一只成年母象打了避孕针后，两年内不再怀孕。
公园有一些关于大象的资料，供建模参考：1几乎不再迁入或迁出大象；2目前性别比接近1：1，采取控制后，也希望维持这个比例；3初生象的性别比也是大约1：1，生双胎的比例为1.35%4母象初次怀孕大约在10-12岁,一直到60岁大约每3.5年怀胎一次,60岁后不再受孕,怀孕期为22个月；5避孕针可能引起大象每个月都发情,但不受孕,因为大象通常每3.5年生育1次,所以按月循坏的方案是不足取的；6避孕针对母象没有副作用,打了避孕针的母象2年内不再受孕；7初生象存活到1岁的比例为70%-80%,此后,直至60岁前,存活率都比较均匀,大约在95%以上,大象一般只活到70岁；8公园里不存在捕杀行为,偷猎可以不考虑；公园管理部门有一份过去两年移出公园大象的粗略统计,不幸的是没有捕杀或公园大象的具体数据；你的任务是,构造一个模型,利用模型研究如何采用避孕措施控制公园大象的总数.同时需要完成以下任务：1 建立并利用模型推算2-60岁大象可能的存活率,以及目前的大象年龄结构；2估计每年需要避孕多少大象,才能保证大象总数控制在11000头左右,说明数据不确定性对你的结论的影响,评价一下年龄结构的变化以及对旅游的影响,(你可能被要求观察30-60年)；3假设每年可以移出50-300头大象,避孕大象数可以减少多少,评价如何根据经济效益平衡两种方案；4有一些反对观点认为,假如出现疾病或者失控的偷猎,使大象总数突然大幅度下降,即使停止避孕,也会对大象群的恢复存在不良影响,研究并回答这个问题；5公园公管理部门正在构造模型,特别希望批驳那些以缺乏完整数据为由而嘲笑利用模型指导决策的观点.希望你的模型包括一份技术报告能给公园管理部门提一些建议，提高公园管理部门的信心,除此之外,你的报告,还应该包括一个详细的技术流程(最多3页)回答公共关心的问题。
Leslie矩阵模型预测人口
Leslie 矩阵模型预测人口4.1 Leslie 矩阵模型的基本概念4.1.1 参数定义[11]我们将中国人口按年龄段分成数段，因此当段数到达一定大小的时候就能包含全部年龄层的人。
再将时间序列也分割成数段（一年为一段即可研究年度人口总数），得到：——在时间周期 k 第 i 个年龄段的人数注：这里的；一定存在整数n 使得 表示的是年龄最高的人的人数，如“100岁以上的人”的数量。
其他关于人口的参数：1）——在时间周期 k 第 i 年龄组的女性的生育率，即女性生的孩子的人数与女性数的比例，我们也称其为年龄别生育率2）——在时间周期k 第i 年龄组的死亡率，即死亡人数除以这一年龄组总人数，我们也称其为年龄别死亡率4.1.2 Leslie 矩阵1.转移过程 在一个时间周期内里的人数转移到里，考虑死亡的人数我们得到如下式子：11(1)()(1()),1,2,k k k x i x i d i i n --+=-=L L (4-1)下面来讨论的情况，即新生儿人数，在这里我们做了一个假设，女性人口大致占总人口的一半（通过以往的人口普查可以得到证实），因此在时间周期k 的第个i 年龄段的女性人数为1()2k x i ，则可以通过女性的年龄别生育率预测第一个递推关系如下： 1111()()()2nk k k i x i b i x i --==∑g(4-2)2. 人口发展模型 111111111111(0)(1)(1)()22221(0)00001(1)00001(1)0k k k k k k k k k b b b n b n d x x d d n --------⎛⎫- ⎪⎪- ⎪=⨯ ⎪- ⎪⎪⎪--⎝⎭L L L M M M L M L(4-3)其中(0)(1)()k k k k x x x x n ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M 1111(0)(1)()k k k k x x x x n ----⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭M(4-4) 为了化简，我们记： 11111111111(0)(1)(1)()22221(0)00001(1)00001(1)0k k k k k k k b b b n b n d L d d n -------⎛⎫- ⎪⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎪⎪--⎝⎭L L L M M M L M L(4-5)则有简写：1k k x L x -=g(4-6) 则有递推公式:10k k k x L x L x -==g(4-7)通过这种方法，我们把人口预测问题的重点落到了一个n 维矩阵运算上。
Leslie人口模型
Leslie人口模型模型三、Leslie人口模型在短时期内男女性别比通常是不会发生变化的，因此讨论总人口的发展变化趋势与只讨论女性人口数量的变化情况意义是相同的。
在该模型中，我们将人口年龄离散化，大小等间隔地分成h个年龄组，相应地，将时间离散化为时段，每十年为一个时段。
k,0,1,2xk()记时段k第i个年龄组的女性人口总数为， ih，且该年龄组的女性生育率(该年龄组的女性在1个时段内xkbxk(1)()，,,ii1i,1bsd,,1的平均生育数量)为，该年龄组的死亡率为d，则相应的存活率为，iiiisd,,1在稳定的环境下存活率与生育率基本上是不随时间的变化而改变biii sd,,1b的，，因此我们将存活率与生育率看作是常数。
则人口的变化情况满iii足以下条件:第k+1时段，第一个年龄组的女性人口数量是时段k各个年龄段生育的人口数之和，即h (6) xkbxk(1)()，,,ii1i,1时段k+1第i+1个年龄段的女性人口数量是k时段第i个年龄组存活下来的女性人口数量，即xksxkih(1)(),1,2,，,, (7) iii，1记时段k女性人口数量按年龄组的分布向量为T (8) Xkxkxkxk()((),(),,()),129XkLXk(1)()，, 综合上述(6)(7)(8)得:其中由出生率和存活率构成的Leslie矩阵为bbbb,,1289,,s000,,1,, L,000s,,2,,0,,,,000s8,,X(0)当矩阵L和按照年龄组的初始分布向量已知时，可以预测任意时段k的女性人口按年龄组的分布情况:kXkLXk()(0),0,1,2,,, (9) 稳定状况分析:01,1,2,9,,,si根据和的定义，矩阵L中的元素满足: sbiiib,0，且至少有一个 xksxkih(1)(),1,2,，,,iiii，1定理1:L矩阵有唯一的正特根值，且它是单根，对应的特征向量为 ,,11ssssssn*T11212 ,X(1,,,,)n2,,,111k,2,3,,9且L矩阵的其他n-1个特征值满足， ,,,,1kk定理2:若L矩阵第一行有两项顺次的元素都大于0，则，bb,,,,ii，11kXk()且由(8)式确定的满足xk()*bs ，其中c是由，及X(0)决定的常数。
考虑年龄结构的人口模型（leslie模型）.doc
考虑年龄结构的人口模型（leslie模型）考虑年龄结构的人口模型(Leslie模型)对Logistic模型的批评意见除了实际统计时常采用离散变化的时间变量外，另一种看法是种群增长不应当只和种群总量有关，也应当和种群的年龄结构有关。
不同年龄的个体具有不同的生育能力和死亡率，这一重要特征没有在Logistic模型中反映出来。
基于这一事实，Leslie在20世纪40年代建立了一个考虑种群年龄结构的离散模型。
由于男、女性人口(或雌、雄性个体)通常有一定的比例，为了简便起见，建模时可以只考虑女性人数，人口总量可以按比例折算出来。
将女性按年龄划分成m+1个组，即0,1,…,m组，例如，可5岁(或10岁)一组划分。
将时间也离散成间隔相同的一个个时段，即5年(或10年)为一个时段。
记j时段年龄在i组中的女性人数为N(i,j)，b为i组每一i妇女在一个时段中生育女孩的平均数，为i组女性存活一时段到下一时段升入i+1组的人pi数所占的比例(即死亡率d=1-)同时假设没有人能活到超过m组的年龄。
实际上可以这pii样来理解这一假设，少量活到超过m组的妇女(老寿星)人数可以忽略不计，她们早已超过了生育期，对人口总量的影响是微小的而且是暂时性的，对今后人口的增长和人口的年龄结构不产生任何影响，假设b不随时段的变迁而改变，这一假设在稳定状况下是合理的。
、ipi如果研究的时间跨度不过于大，人们的生活水平、整个社会的医疗条件及周围的生活环境没有过于巨大的变化，b、事实上差不多是不变的，其值可通过统计资料估算出来。
pii根据以上假设可以得出以下j+1时段各组人数与j时段各组人数之间的转换关系:N(0,j，1),bN(0,j)，bN(0,j)，？，bN(m,j),01m,N(1,j，1),pN(0,j),0 ,？？,,N(m,j，1),pN(m,1,j)m,1,b,p,0显然，。
jiN(0,j)N(0,j，1)，，，，,,,,？？N,N,简记， jj，1,,,,,,,,N(m,j)N(m,j，1)，，，，并引入矩阵bb？bb，，01m,1m,,p0？000,,,,A,0p？00 1,,,,,,00？p0m,1，，则方程组(4.28)可简写成N,ANj，1j矩阵A被称为Leslie矩阵(或射影矩阵)，当矩阵A与按年龄组分布的初始种群向量TN=(N(0,0)， N( 1,0)，… ，N(m,0))一经给定时，其后任一时段种群按年龄分布的向量即0可用(4.29)式迭代求得1j， N,AN,？,AN10j，j人口(或种群)的增长是否合理不仅仅取决于人口的总量是否过多或过少，还取决于整个的年龄结构是否合理即各年龄段人口数的比例是否恰当。
leslie人口增长模型
人口增长预测模型摘要本文建立了我国人口增长的预测模型，对各年份全国人口总量增长的中短期和长期趋势作出了预测，并对人口老龄化、人口抚养比等一系列评价指标进行了预测。
最后提出了有关人口控制与管理的措施。
模型Ⅰ：建立了Logistic人口阻滞增长模型，利用附件2中数据，结合网上查找补充的数据，分别根据从1963年、1980年、2005年到2012年四组总人口数据建立模型，进行预测，把预测结果与附件1《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。
得出运用1980年到2005年的总人口数建立模型预测效果好，拟合的曲线的可决系数为0.9987。
运用1980年到2005年总人口数据预测得到2010年、2020年、2033年我国的总人口数分别为13.55357亿、14.18440亿、14.70172亿。
模型Ⅱ：考虑到人口年龄结构对人口增长的影响，建立了按年龄分布的女性模型（Leslie模型）：以附件2中提供的2001年的有关数据，构造Leslie矩阵，建立相应Leslie模型；然后，根据中外专家给出的人口更替率1.8，构造Leslie矩阵，建立相应的Leslie模型。
首先，分别预测2002年到2050年我国总人口数、劳动年龄人口数、老年人口数（见附录8），然后再用预测求得的数据分别对全国总人口数、劳动年龄人口数的发展情况进行分析，得出：我国总人口在2010年达到14.2609亿人，在2020年达到14.9513亿人，在2023年达到峰值14.985亿人；预测我国在短期内劳动力不缺，但须加强劳动力结构方面的调整。
其次，对人口老龄化问题、人口抚养比进行分析。
得到我国老龄化在加速，预计本世纪40年代中后期形成老龄人口高峰平台，60岁以上老年人口达4.45亿人，比重达33.277%；65岁以上老年人口达3.51亿人，比重达25.53%；人口抚养呈现增加的趋势。
再次，讨论我国人口的控制，预测出将来我国育龄妇女人数与生育旺盛期育龄妇女人数，得到育龄妇女人数在短期内将达到高峰，随后又下降的趋势的结论。
莱斯利Leslie种群模型
10
§4.5 应 用（一） ———————————————————— 4.5.2莱斯利（— Leslie）种群模型
莱斯利种群模型研究动物种群中雌性动物的年龄分 布与数量增长之间的关系.
设某动物种群中雌性动物的最大生存年龄为L(单位： 年），将区间[0,L]作n等分得n个年龄组
i 1 i [ L, L], i 1,2,, n, n n
t y 3 4 4 xt 3 4 2, t
t
由此可预测该地区年后的环境污染水平和经济发展 水平.
9
§4.5 应 用（一） ———————————————————— —
2 因无实际意义而在Case 2中未作讨论，但在Case
3的讨论中仍起到了重要作用. 由经济发展与环境污染的增长模型易见，特征值 和特征向量理论在模型的分析和研究中获得了成功的 应用.
1
§4.5 应 用（一） ———————————————————— 设x0 , y0分别为改地区目前的环 水 — 境污染水平与经济发展
平, x1 , y1分别为改地区若干年后 的环境污染水平与经济 发展水平, 且有如下关系： x1 3 x0 y 0 y1 2 x0 2 y 0
16
（2.5）
§4.5 应 用（一） ———————————————————— X (1) LX ( 0) , — X ( 2) LX (1) L2 X ( 0) ,
X (3) LX ( 2 ) L3 X ( 0) , , X ( k ) LX ( k 1) Lk X ( 0) .
0 31 22
由（*）及特征值与特征向量的性质
8
§4.5 应 用（一） ———————————————————— t t t At 0 At (31 2— ) 3 A 2 A 2 2 1
Leslie矩阵模型预测人口
L e s l i e矩阵模型预测人口4.1Leslie矩阵模型的基本概念4.1.1参数定义[11]我们将中国人口按年龄段分成数段，因此当段数到达一定大小的时候就能包含全部年龄层的人。
再将时间序列也分割成数段（一年为一段即可研究年度人口总数），得到：——在时间周期k第i个年龄段的人数注：这里的；一定存在整数n 使得表示的是年龄最高的人的人数，如“100岁以上的人”的数量。
其他关于人口的参数：1）——在时间周期k第i年龄组的女性的生育率，即女性生的孩子的人数与女性数的比例，我们也称其为年龄别生育率2）——在时间周期k第i年龄组的死亡率，即死亡人数除以这一年龄组总人数，我们也称其为年龄别死亡率4.1.2Leslie矩阵1.转移过程在一个时间周期内里的人数转移到里，考虑死亡的人数我们得到如下式子：11(1)()(1()),1,2,k k kx i x i d i i n--+=-=(4-1)下面来讨论的情况，即新生儿人数，在这里我们做了一个假设，女性人口大致占总人口的一半（通过以往的人口普查可以得到证实），因此在时间周期k的第个i年龄段的女性人数为1()2kx i，则可以通过女性的年龄别生育率预测第一个递推关系如下：1111()()()2nk k kix i b i x i--==∑(4-2) 2.人口发展模型111111111111(0)(1)(1)()22221(0)00001(1)0001(1)0k k k kkk kkkb b b n b ndx xdd n--------⎛⎫-⎪⎪-⎪=⨯⎪-⎪⎪⎪--⎝⎭(4-3) 其中(0)(1)()k k k k x x x x n ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1111(0)(1)()k k k k x x x x n ----⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(4-4)为了化简，我们记：11111111111(0)(1)(1)()22221(0)00001(1)00001(1)0k k k k k k k b b b n b n d L d d n -------⎛⎫- ⎪⎪- ⎪=⎪- ⎪ ⎪⎪--⎝⎭(4-5)则有简写：1k k x L x -=(4-6)则有递推公式:10k kk x L x L x -==(4-7)通过这种方法，我们把人口预测问题的重点落到了一个n 维矩阵运算上。
Leslie模型
Leslie 人口模型现在我们来建立一个简单的离散的人口增长模型，借用差分方程模型，仅考虑女性人口的发展变化。
如果仅把所有的女性分成为未成年的和成年的两组，则人口的年龄结构无法刻划，因此必须建立一个更精确的模型。
20世纪40年代提出的Leslie 人口模型，就是一个预测人口按年龄组变化的离散模型。
模型假设(1) 将时间离散化，假设男女人口的性别比为1:1，因此本模型仅考虑女性人口的发展变 化。
假设女性最大年龄为S 岁，将其等间隔划分成m 个年龄段，不妨假设S 为m 的整数倍，每隔m S /年观察一次，不考虑同一时间间隔内人口数量的变化;(2) 记)(t n i 为第i 个年龄组t 次观察的女性总人数，记)](,),(),([)(21t n t n t n t n m =第i 年龄组女性生育率为i b （注：所谓女性生育率指生女率），女性死亡率为i d ，记1,i i s d =-假设,i i b d 不随时间变化;(3) 不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响;(4) 生育率仅与年龄段有关，存活率也仅与年龄段有关。
建立模型与求解根据以上假设，可得到方程)1(+t n =∑=mi i i t n b 1)()()1(1t n s t n i i i =++ 1=i ,2.…,m -1 写成矩阵形式为)()1(t Ln t n =+其中，L =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--00000000121121m m m s s s b b b b（1） 记)]0(,),0(),0([)0(21m n n n n = （2）假设n （0）和矩阵L 已经由统计资料给出，则()(0),0,1,2,tn t L n t ==t1+t为了讨论女性人口年龄结构的长远变化趋势，我们先给出如下两个条件： (i) s i > 0，i =1，2，…，m -1;(ii) b i 0≥，i =1，2，…，m ，且b i 不全为零。
Leslie种群年龄结构的差分方程模型
Leslie种群年龄结构的差分方程模型已知一种昆虫每两周产卵一次，六周以后死亡（给出了变化过程的基本规律）。
孵化后的幼虫2周后成熟，平均产卵100个，四周龄的成虫平均产卵150个。
假设每个卵发育成2周龄成虫的概率为0.09，（称为成活率），2周龄成虫发育成4周龄成虫的概率为0.2。
假设开始时，0~2，2~4，4~6周龄的昆虫数目相同，计算2周、4周、6周后各种周龄的昆虫数目；讨论这种昆虫各种周龄的昆虫数目的演变趋势：各周龄的昆虫比例是否有一个稳定值？昆虫是无限地增长还是趋于灭亡？假设使用了除虫剂，已知使用了除虫剂后各周龄的成活率减半，问这种除虫剂是否有效？解：将两周分成一个时段，设k时段2周后幼虫数量为：x1(k), 2到4周虫的数量为：x2(K), 4到6周虫数量为：x3(K)。
据题意可列出下列差分方程：x1(k+1)=x2(k)*100+x3(k)*150x2(k+1)=x1(k)*0.09x3(k+1)=x2(k)*0.2运用matlab编写的程序如下：function z=diliuti(a,r1,r2,n)x(1) =a;y(1)=a;w(1)=a;for k=1:nx(k+1)=y(k)*100+w(k)*150;y(k+1)=x(k)*r1;w(k+1)=y(k)*r2;endz=[x',y',w'];for k=1:n+1m=x(k)+y(k)+w(k)endplot(1:n+1,x);hold onplot(1:n+1,y,'r');hold onplot(1:n+1,w,'k'),grid计算前三年的结果为：z=diliuti(100,0.009,0.2,2)m =300m =2.5021e+004m =3.3152e+003z =1.0e+004 *0.0100 0.0100 0.01002.5000 0.0001 0.00200.3090 0.0225 0.0000（蓝线为0~2周的虫，红线为2~4周的虫，黑线为4~6周的虫）其中，m 表示三个不同生长周期的虫的总数，可见虫并未灭绝。
Leslie人口模型
Leslie人口模型模型三、Leslie人口模型在短时期内男女性别比通常是不会发生变化的，因此讨论总人口的发展变化趋势与只讨论女性人口数量的变化情况意义是相同的。
在该模型中，我们将人口年龄离散化，大小等间隔地分成h个年龄组，相应地，将时间离散化为时段，每十年为一个时段。
k,0,1,2xk()记时段k第i个年龄组的女性人口总数为， ih，且该年龄组的女性生育率(该年龄组的女性在1个时段内xkbxk(1)()，,,ii1i,1bsd,,1的平均生育数量)为，该年龄组的死亡率为d，则相应的存活率为，iiiisd,,1在稳定的环境下存活率与生育率基本上是不随时间的变化而改变biii sd,,1b的，，因此我们将存活率与生育率看作是常数。
则人口的变化情况满iii足以下条件:第k+1时段，第一个年龄组的女性人口数量是时段k各个年龄段生育的人口数之和，即h (6) xkbxk(1)()，,,ii1i,1时段k+1第i+1个年龄段的女性人口数量是k时段第i个年龄组存活下来的女性人口数量，即xksxkih(1)(),1,2,，,, (7) iii，1记时段k女性人口数量按年龄组的分布向量为T (8) Xkxkxkxk()((),(),,()),129XkLXk(1)()，, 综合上述(6)(7)(8)得:其中由出生率和存活率构成的Leslie矩阵为bbbb,,1289,,s000,,1,, L,000s,,2,,0,,,,000s8,,X(0)当矩阵L和按照年龄组的初始分布向量已知时，可以预测任意时段k的女性人口按年龄组的分布情况:kXkLXk()(0),0,1,2,,, (9) 稳定状况分析:01,1,2,9,,,si根据和的定义，矩阵L中的元素满足: sbiiib,0，且至少有一个 xksxkih(1)(),1,2,，,,iiii，1定理1:L矩阵有唯一的正特根值，且它是单根，对应的特征向量为 ,,11ssssssn*T11212 ,X(1,,,,)n2,,,111k,2,3,,9且L矩阵的其他n-1个特征值满足， ,,,,1kk定理2:若L矩阵第一行有两项顺次的元素都大于0，则，bb,,,,ii，11kXk()且由(8)式确定的满足xk()*bs ，其中c是由，及X(0)决定的常数。
【数学建模】人口增长Leslie模型
【数学建模】⼈⼝增长Leslie模型问题分析· ⽤数学建模预测⼈⼝增长的⽅法：差分⽅程、微分⽅程、回归分析、时间序列等.· 结合所给数据以差分⽅程组的Leslie模型为基础.· 考虑不同地区、不同性别⼈⼝参数的差别及农村⼈⼝向城市迁移等因素.· 按照地区和性别建⽴以时间和年龄为基本变量的中国⼈⼝增长模型.· 利⽤历史数据估计⽣育率、死亡率及⼈⼝迁移等参数，代⼊模型求解并作预测.模型假设·中国⼈⼝是封闭系统, 将数据中的市、镇合并为城市, 与农村(乡)作为两个地区; 只考虑农村向城市⼈⼝的单向迁移, 不考虑与境外的相互移民.· 对中短期⼈⼝预测, ⽣育率、死亡率及⼈⼝迁移等参数⽤历史数据估计; 长期预测考虑总和⽣育率的控制、城镇化指数的变化趋势等因素.· ⼥性每胎⽣育⼀个⼦⼥.模型建⽴按地区和性别划分、以年龄为离散变量、随时段演变的⼈⼝发展模型，为4n阶差分⽅程组.参数估计存活率的估计死亡率与年龄关系⼤, 与地区、性别和时间的关系⼩.中国⼏⼗年来死亡率降低较快, 未来趋势仍持续下降.中短期预测：将过去若⼲年不同地区、性别和各年龄⼈⼝的死亡率简单地取平均值.长期预测：⽤统计⽅法对历史数据加以处理，并参考发达国家⼈⼝死亡率的演变过程给出估计值.⽣育率的估计中短期预测：将过去若⼲年不同地区、性别和各年龄⼈⼝的⽣育率简单地取平均值.长期预测：设定⼏个不同⽔平的总和⽣育率.⼈⼝迁移的估计模型求解选定初始年份⽤⼈⼝发展模型递推计算MATLAB实现clc;%初始化，设置各种参数和初始⼈数矩阵x = [206.46422.50478.72229.9253.44]';%x0⼥性各阶段⼈数%x0 = x .*0.4988x0 = [102.9822210.7430238.7855114.684126.6559]';%H为状态转移矩阵，其实是存活矩阵H = zeros(5,5);H(2)=0.88; H(8)=0.97; H(14)=0.86; H(20)=0.22;%B是⽣育矩阵，即各个年龄段妇⼥的⽣育率B = [020.300];for n =1:1:5%y是x之下⼀年的⼈⼝数⽬，尚不包括迁移⼈数和1岁的⼈数y = H*x;%y(1)是下⼀年1岁的⼈⼝数⽬，即今年刚出⽣的⼈y(1)= B*x0;%g是迁移⼈数，也得按照年龄⽐例来存储数据g = [301201202010]';%迁移⼈数加到y上y = y + g;%求与y对应的年份的各个年龄段妇⼥⼈数%包括x0中存活下来的，迁移的⼀部分，第⼀时间段为刚出⽣的⼥性⼈数 y0 = zeros(5,1);y0(1)= y(1)/2;%或y(1)乘以⼥婴占总男⼥婴的⽐例for i=1:1:4y0(i+1)= x0(i)*H(i+1+5*(i-1));endg0 = g ./2;y0 = y0 + g0;%g0为迁移过来的各个年龄段的⼥性⼈数disp(2008+n*20)zong = y'nv = y0'x = y;x0 = y0;end%⾃此，则完成了⼀轮的计算%要预测更多，只需要循环计算以上步骤即可。
Leslie模型
关于建立人口增长模型,我们考虑了两条 主要思路: 一.以微分方程为主要手段: 二.以高等代数为主要手段:
p/ r + p/ t=- µ (r,t)p(r,t)
p(r,0)=p0(r) p(0,t)=f(t)
在社会比较安定的情况下,死亡 率大致与时间无关. μ (r,t)=μ (r) p(r,t)= p0(r-t)e f(t-r)e
r
r t
( s ) ds
0≤t≤r t>r
r
( s ) ds
n0 .
A属于1的特征向量N=
.
nk
解线性方程组 AN= 1N
1k/(P0P1…P k-1)
N=
1k-1(P1…P k-1)
1/P k-1 1
当且仅当1=1时，N j N，人口总量将趋于稳定 且各年龄人数在总人口数中所占的比例也将趋于 一个定值。
在1固定的情况下，N只和Pi有关。Pi为i组人的 存活率。在一定时期内，它们基本上是一些常数， 事实上人们只能通过控制b j的值来保证1=1。
目前我国人口中中年青人的比例很大，加上计 划生育降低出生率，必然造成若干年后社会人 口的严重老龄化，待这一代人越出m组后，又 会使人口迅速青年化而走向另一个极端。
为减少这种年龄结构上的振荡，人们又引入了一 个控制变量h(i,j),使bi(j)=h(i,j)
且 h(i,j)=1 h(i,j)称为女性的生育模式，用来调整育龄妇 女在不同年龄组内生育率的高低。为简便可通过 控制结婚年龄和两胎之间的年龄差来接近h(i,j)的 理想值。 于是Leslie模型可以如下形式上的改变： N j+1=[A(j)+B(j)]N j
leslie模型
1，模型的建立
我们将人口的年龄按大小分为n 个年龄组，记为1,2,3,,i n =
同时将时间离散为时间段，长度与年龄组区间相等，记为1,2,3,
t
= 定义()i x t 为第t 年第i 年龄组的女性人口数；()i b t 为第t 年第i 年龄组女性生育率；()i d t 为第t 年第i 年龄组的女性人口的死亡率；()i s t 为第t 年第i 年龄组女性的存活率，即()1()i i s t d t =-；()w t 为第t 年出生人口中女性所占比例。
则第1t +年为第1年龄组的女性人数为：
11(1)()()()m
i i i x t b t w t x t =+=∑
第1t +年为第1i +年龄组的女性人口是从第t 年第i 年龄组存活下来的人数：
1(1)()()i i i x t s t x t ++=
构造Leslie 矩阵： []12112121 0 0 0 0 ,0 0 0 0 0 0n n i n wb wb wb wb s L s i i i b s --⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=∉=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
其中时， 那么我们可以得到：
(1)()x t Lx t += 进一步可以得到Leslie 矩阵模型的预测公式：
()(0)x t L x '=
所以只要已知L 矩阵及初始女性人口分布向量(0)x ，就可以求出第t 年女性人口分布的数列，再根据男女性别比例即可推算出总人口的各项指标。
leslie矩阵模型预测人口 原理
【南京大学《leslie矩阵模型预测人口》原理分析】Leslie矩阵模型是人口学家Leslie在20世纪40年代提出的一种人口增长模型，用于预测和描述人口的变化规律。
本文将从深度和广度两个维度进行全面评估Leslie矩阵模型预测人口的原理，力求以简明易懂的方式探讨主题。
1. Leslie矩阵模型预测人口的原理Leslie矩阵模型是一种离散时间模型，它假设在单个时间段内，每位女性将生产一个特定数量的女婴，并且在一定芳龄后才能生育。
Leslie 矩阵通过矩阵运算来描述不同芳龄段的人口增长和转移过程，其基本原理可以用以下公式表示：\[ \begin{pmatrix} f_1 & f_2 & f_3 & \cdots & f_n \\ s_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & s_2 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & s_{n-1}\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} N_1 \\ N_2 \\ N_3 \\ \vdots \\ N_n \end{pmatrix} \]2. Leslie矩阵模型的深度分析Leslie矩阵模型将人口分为不同芳龄段，根据生育率和存活率来描述人口的增长和转移过程。
通过不断迭代计算Leslie矩阵的乘积，可以预测未来几个时间段内的人口数量分布情况。
值得一提的是，Leslie 矩阵模型基于一些基本的假设，如生育率和存活率不变、芳龄段划分合理等，因此在实际应用中要注意对模型参数的调整和修正，以提高预测准确度。
3. Leslie矩阵模型的广度探讨Leslie矩阵模型不仅可以用于预测人口的总量，还可以对不同芳龄段的人口数量进行预测，从而为政府部门的人口政策制定提供参考依据。
Leslie矩阵模型预测人口
Leslie 矩阵模型预测人口4.1 Leslie 矩阵模型的基本概念4.1.1 参数定义[11]我们将中国人口按年龄段分成数段，因此当段数到达一定大小的时候就能包含全部年龄层的人。
再将时间序列也分割成数段（一年为一段即可研究年度人口总数），得到：——在时间周期 k 第 i 个年龄段的人数注：这里的；一定存在整数n 使得表示的是年龄最高的人的人数，如“100岁以上的人”的数量。
其他关于人口的参数： 1）——在时间周期 k 第 i 年龄组的女性的生育率，即女性生的孩子的人数与女性数的比例，我们也称其为年龄别生育率 2）——在时间周期k 第i 年龄组的死亡率，即死亡人数除以这一年龄组总人数，我们也称其为年龄别死亡率4.1.2 Leslie 矩阵1.转移过程 在一个时间周期内里的人数转移到里，考虑死亡的人数我们得到如下式子：11(1)()(1()),1,2,k k k x i x i d i i n --+=-=L L(4-1)下面来讨论的情况，即新生儿人数，在这里我们做了一个假设，女性人口大致占总人口的一半（通过以往的人口普查可以得到证实），因此在时间周期k 的第个i 年龄段的女性人数为1()2k x i ，则可以通过女性的年龄别生育率预测第一个递推关系如下：1111()()()2nk k k i x i b i x i --==∑g(4-2)2. 人口发展模型111111111111(0)(1)(1)()22221(0)00001(1)00001(1)0k k k k k k k k k b b b n b n d x x d d n --------⎛⎫- ⎪⎪- ⎪=⨯⎪-⎪ ⎪⎪--⎝⎭L LL M M M L M L(4-3)其中(0)(1)()k k k k x x x x n ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M 1111(0)(1)()k k k k x x x x n ----⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M (4-4)为了化简，我们记：11111111111(0)(1)(1)()22221(0)00001(1)00001(1)0k k k k k k k b b b n b n d L d d n -------⎛⎫- ⎪⎪- ⎪=⎪-⎪ ⎪⎪--⎝⎭L LL M M M L M L(4-5)则有简写：1k k x L x -=g(4-6)则有递推公式:10k k k x L x L x -==g(4-7)通过这种方法，我们把人口预测问题的重点落到了一个n 维矩阵运算上。
02-2.4 Leslie模型
04 Leslie 模型
04 Leslie 模型
人口：总量相同但年龄分布不同 问题：这是相同还是不同
04 Leslie 模型
n0
Nt
=
n1
ns
t
04 Leslie 模型43;
F1n1,t
++
Fs ns ,t
n1,t+1 = p0n0,t
04 Leslie 模型
首特征值的大小决定了模型的渐近性质 λ0 > 1
λ0 = 1
λ0 < 1
04 Leslie 模型
所有的模型都是错的 但有些是有用的
s
∑ = N0 c0v0 + civi i=1
s
∑ = Nt c0 (λ0 )t v0 + ci (λi )t vi i=1
04 Leslie 模型
如果假设 Leslie 矩阵的所有特征值都是简单 的，而且设
λ0 > λi ,
for i = 1,2, , s
则有
lim
t →∞
Nt
∝
c0 (λ0 )t v0
ns,t+1 = p n s−1 s−1,t
04 Leslie 模型
模型需要更多的参数！
F：各个年龄段的生育率 p：各个年龄段的存活率（死亡率）
04 Leslie 模型
Nt+1 = LNt
Leslie矩阵
F0 F1 F2 Fs
p0
0
0
0
L= 0
p1 0
0
0 0 ps−1 0
04 Leslie 模型
问题：分析 Leslie 模型的长时间 性质——时间充分长之后
Leslie矩阵模型预测人口
精心整理Leslie 矩阵模型预测人口4.1Leslie 矩阵模型的基本概念 4.1.1参数定义[11]我们将中国人口按年龄段分成数段，因此当段数到达一定大小的时候就能包含全部年龄层的人。
再将时间序列也分割成数段（一年为一段即可研究年度人口总数），得到：——在时间周期k 第i个年龄段的人数使得表示的是年龄最高的1）育率 2）4.1.21.里的人数转移到里，考虑死亡的人数我们得到如下式子：的情况，即新生儿人数，在这里我们做了一个假设，女性人口大致占总人口的一半（通过以往的1)()2k x i - 2.111111111111(0)(1)(1)()22221(0)00001(1)00001(1)0k k k k k k k k k b b b n b n d x x d d n --------⎛⎫- ⎪⎪- ⎪=⨯⎪- ⎪ ⎪⎪--⎝⎭(4-3)其中(0)(1)()k k k k x x x x n ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1111(0)(1)()k k k k x x x x n ----⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(4-4)为了化简，我们记：1111111111(0)(1)(1)()22221(0)00001(1)00k k k k k k b b b n b n d L d ------⎛⎫- ⎪⎪- ⎪=⎪- ⎪1k x -1k k x L x -=通过这种方法，我们把人口预测问题的重点落到了一个4.2.11.20个2.1)L 矩阵中唯一的变量是和。
解决这个问题我们只要求出这两个参数即可。
在原来的Leslie 模型的假设中，单位时间周期为一年。
因此Leslie 矩阵第一行对应的系数是生育率的一半，如第一年过后，0岁的孩子即为一年前总人数的一半（女性人数）乘以生育率。
同样的，在5年为一个时间周期的假设中，经历五次“生育机会”，即第一年的生育情况代表了下一周期4岁的孩子数量，第二年的生育情况代表了下一周期3岁的孩子数量，以此类推。
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Leslie 人口模型现在我们来建立一个简单的离散的人口增长模型，借用差分方程模型，仅考虑女性人口的发展变化。
如果仅把所有的女性分成为未成年的和成年的两组，则人口的年龄结构无法刻划，因此必须建立一个更精确的模型。
20世纪40年代提出的Leslie 人口模型，就是一个预测人口按年龄组变化的离散模型。
模型假设(1) 将时间离散化，假设男女人口的性别比为1:1，因此本模型仅考虑女性人口的发展变 化。
假设女性最大年龄为S 岁，将其等间隔划分成m 个年龄段，不妨假设S 为m 的整数倍，每隔m S /年观察一次，不考虑同一时间间隔内人口数量的变化;(2) 记)(t n i 为第i 个年龄组t 次观察的女性总人数，记)](,),(),([)(21t n t n t n t n m =第i 年龄组女性生育率为i b （注：所谓女性生育率指生女率），女性死亡率为i d ，记1,i i s d =-假设,i i b d 不随时间变化;(3) 不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响;(4) 生育率仅与年龄段有关，存活率也仅与年龄段有关。
建立模型与求解根据以上假设，可得到方程 )1(+t n =∑=mi ii t n b 1)( )()1(1t n s t n i i i =++ 1=i ,2.…,m -1 写成矩阵形式为)()1(t Ln t n =+其中，L =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000000000121121m m m s s s b b b b （1） 记)]0(,),0(),0([)0(21m n n n n = （2）假设n （0）和矩阵L 已经由统计资料给出，则()(0),0,1,2,t n t Ln t ==t1+t为了讨论女性人口年龄结构的长远变化趋势，我们先给出如下两个条件：(i) s i > 0，i =1，2，…，m -1;(ii) b i 0≥，i =1，2，…，m ，且b i 不全为零。
易见，对于人口模型，这两个条件是很容易满足的。
在条件（i ）、（ii ）下，下面的结果是成立的：定理1L 矩阵有唯一的单重的正的特征根0λλ=，且对应的一个特征向量为*n =[1，s 1/0λ，s 1s 2/20λ，…，s 1s 2 …s m -1/10-m λ]T（3） 定理2若1λ是矩阵L 的任意一个特征根，则必有01λλ≤。
定理3若L 第一行中至少有两个顺次的0,1>+i i b b ，则（i ）若1λ是矩阵L 的任意一个特征根，则必有01λλ<。
（ii ）t t t n 0/)(lim λ+∞>-=*cn ， （4） 其中c 是与n （0）有关的常数。
定理1至定理3的证明这里省去。
由定理3的结论知道，当t 充分大时，有*)(0n c t n t λ≈ (5) 定理4记121i i i b s s s β-=，q （λ）=1β/λ+2β/λ2+…+m β/m λ，则λ是L 的非零特征根的充分必要条件为 q （λ）=1 （6）所以当时间充分大时，女性人口的年龄结构向量趋于稳定状态，即年龄结构趋于稳定形态，而各个年龄组的人口数近似地按λ－1的比例增长。
由（5）式可得到如下结论：(i) 当λ>1时，人口数最终是递增的；(ii) 当λ<1时，人口数最终是递减的；(iii) 当λ=1时，人口数是稳定的。
根据（6）式，如果λ=1，则有b 1 + b 2s 1 + b 3s 1s 2 + … + b m s 1 s 2…s m-1=1记R = b 1 + b 2s 1 + b 3s 1s 2 + … + b m s 1 s 2…s m-1 （7）R称为净增长率，它的实际含义是每个妇女一生中所生女孩的平均数。
当R>1时，人口递增；当R<1时，人口递减。
Leslie模型有着广泛应用，这里我们给出一个应用的例子，供大家参考。
公园大象管理南非的一家大型自然公园放养了大约11000头大象，管理部门希望为大象创造一个健康的生存环境，将大象的总数控制在11000头左右。
每年，公园的管理人员都要统计当年大象的总数。
过去20年里，公园每年都要处理一些大象，以便保持大象总数维持在11000头左右，通常都是采用捕杀或者迁移的方法来实现。
统计表明，每年约处理600-800头大象。
近年来，公众强烈反对捕杀大象行为，而且即使是迁移少量的大象也是不允许的。
但是一种新的给大象打避孕针的方法也被研制成功。
一只成年母象打了避孕针后，两年内不再怀孕。
公园有一些关于大象的资料，供建模参考：1几乎不再迁入或迁出大象；2目前性别比接近1：1，采取控制后，也希望维持这个比例；3初生象的性别比也是大约1：1，生双胎的比例为1.35%4母象初次怀孕大约在10-12岁,一直到60岁大约每3.5年怀胎一次,60岁后不再受孕,怀孕期为22个月；5避孕针可能引起大象每个月都发情,但不受孕,因为大象通常每3.5年生育1次,所以按月循坏的方案是不足取的；6避孕针对母象没有副作用,打了避孕针的母象2年内不再受孕；7初生象存活到1岁的比例为70%-80%,此后,直至60岁前,存活率都比较均匀,大约在95%以上,大象一般只活到70岁；8公园里不存在捕杀行为,偷猎可以不考虑；公园管理部门有一份过去两年移出公园大象的粗略统计,不幸的是没有捕杀或公园大象的具体数据；你的任务是,构造一个模型,利用模型研究如何采用避孕措施控制公园大象的总数.同时需要完成以下任务：1 建立并利用模型推算2-60岁大象可能的存活率,以及目前的大象年龄结构；2估计每年需要避孕多少大象,才能保证大象总数控制在11000头左右,说明数据不确定性对你的结论的影响,评价一下年龄结构的变化以及对旅游的影响,(你可能被要求观察30-60年)；3假设每年可以移出50-300头大象,避孕大象数可以减少多少,评价如何根据经济效益平衡两种方案；4有一些反对观点认为,假如出现疾病或者失控的偷猎,使大象总数突然大幅度下降,即使停止避孕,也会对大象群的恢复存在不良影响,研究并回答这个问题；5公园公管理部门正在构造模型,特别希望批驳那些以缺乏完整数据为由而嘲笑利用模型指导决策的观点.希望你的模型包括一份技术报告能给公园管理部门提一些建议，提高公园管理部门的信心,除此之外,你的报告,还应该包括一个详细的技术流程(最多3页)回答公共关心的问题。
6假如非洲其它公园对你的模型感兴趣,有意利用你的模型,请为公园大象数在300-25000头规模的公园提供一份避孕计划,顺便考虑一下存活率稍有不同或者可以有迁移的情况.附过去两年的迁出数据年龄 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9总量1 103 77 71 70 68 61 58 51 52 51母象1 50 36 41 29 31 30 28 24 22 29总量2 98 74 69 61 60 54 52 59 58 57母象2 57 34 33 29 34 28 27 31 25 25年龄 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19总量1 51 50 51 48 47 49 48 47 43 42母象1 27 27 26 27 26 25 28 27 19 25总量2 60 63 64 60 63 59 52 55 49 50母象2 26 36 38 30 33 34 24 30 21 30年龄 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29总量1 42 37 39 41 42 43 45 48 49 47母象1 18 16 19 24 17 25 21 26 29 27总量2 53 57 65 53 56 50 53 49 43 40母象2 29 27 40 23 29 24 21 26 24 16年龄 30 31 32 33 3 4 35 36 37 38 39总量1 46 42 44 44 46 49 47 48 46 41母象1 24 22 20 22 24 24 23 25 21 24总量2 38 35 37 33 20 33 30 29 29 26母象2 17 16 18 18 15 18 12 17 16 13年龄 40 41 42 43 4 4 45 46 47 48 49总量1 41 42 43 38 34 34 33 30 35 26母象1 24 19 26 20 20 15 16 13 20 11总量2 10 24 25 22 21 22 11 21 21 19母象2 6 11 14 10 10 12 8 11 12 9年龄 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59总量1 21 18 14 5 9 7 6 0 4 4母象1 10 9 8 4 4 4 3 0 3 2总量2 15 5 10 9 7 6 5 4 7 0母象2 6 4 5 4 4 2 3 2 4 0年龄 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70总量1 4 3 2 2 1 3 0 2 1 0 2母象1 2 1 1 1 0 3 0 0 1 0 2总量2 2 3 0 2 0 2 0 1 0 0 0母象2 2 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0假设与分析1大象性别比接近1：1，初生象的性别比也是大约1：1，采取控制后，也希望维持这个比例；2过去两年迁出的大象是随机抽样，其结构反映了象群总体的年龄结构；3 避孕是随机的，母象是否避孕是不可识别的，假设各个年龄的母象是等比例避孕的，比例系数为k ，仅通过调节k 来控制公园大象数量；4母象初次怀孕大约在10-12岁,简化假设大象初孕时间为11岁，当前状态下，成年象的成活率为s ，生育母象率为r ，老年象的成活率是线性逐渐递减的，因此其成活率可表示为(70)/10,(6070)i s s i i =-≤≤设初生象活到1岁的存活率为0s 。
5避孕针对母象没有副作用,打了避孕针的母象2年内不再受孕；且无论打避孕针前母象是否怀孕，一旦打了避孕针，母象就被避孕或中止怀孕，平均每年有γ比例的母象处于避孕状态；每年母象的避孕率为η，每年的避孕方案时瞬时完成的。
6 假设大象的年龄结构是稳定的。
数据处理与分析（1）2-60岁大象的存活率与年龄结构母象生育率为r =1/3.5+(1+0.0135)/2=0.1448头/年12岁的母象生育母象的生育率为r /6。
由题设知道存活率)99.0,95.0( s 。
以下是第一年迁移出0至70岁大象数据x1=[103,77,71,70,68,61,58,51,52,51,51,50,51,48,47,49,48,47,43,42,42,37,39,41,42,43,45,48,49,47,46,42,44,44,46,49,47,48,46,41,41,42,43,38,34,34,33,30,35,26,21,18,14,5,9,7,6,0,4, 4, 4 ,3,2,2,1,3,0,2,1,0,2 ]; 以下是第二年迁移的0-70岁大象数据x2=[98,74 69 61 60 54 52 59 58 57 60 63 64 60 63 59 52 55 49 50 53 57 65 53 56 50 53 49 43 40 38 35 37 33 20 33 30 29 29 26 10 24 25 22 21 22 11 21 21 19 15 5 10 9 7 6 5 4 7 0 2 3 0 2 0 2 0 1 0 0 0]; x=x1+x2;x0=x/norm(x,1);以下是第一年迁移的0-59岁母象数据y1=[50 36 41 29 31 30 28 24 22 29 27 27 26 27 26 25 28 27 19 25 18 16 19 24 17 25 21 26 29 27 24 22 20 22 24 24 23 25 21 24 24 19 26 20 20 15 16 13 20 11 10 9 8 4 4 4 3 0 3 2];以下是第二年迁移的0-59岁母象数据y2=[57 34 33 29 34 28 27 31 25 25 26 36 38 30 33 34 24 30 21 30 29 27 40 23 29 24 21 26 24 16 17 16 18 18 15 18 12 17 16 13 6 11 14 10 10 12 8 11 12 9 6 4 5 4 4 2 3 2 4 0];考虑到有些数据较小及抽样的随机性，我们取两次抽样的平均值作为分析的基本数据。