(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.2.1、2(1)
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高中数学选修2-2几个常见函数的导数课件
Δx
Δx
x(x +Δx)Δx
=
-
x2
+
1 xΔx
∴y' = lim Δy = lim(- 1 )= - 1
δx→0Δx δx→0 x2 + xΔx
x2
新知探究
探究
画出函数y = 1 的图像， x
根据图像，描述它的变化情 况，并求出曲线在点（1，1） 处的切线方程.
新知探究
结合函数图像及其导数
y'
新知探究
x 3. 函数y=f(x)= 2 的导数
证明：
∵ Δy = f(x + Δx) - f(x) = (x + Δx)2 - x2
Δx
Δx
Δx
= x2 + 2x× Δx +(Δx)2 - x2 Δx
= 2x + Δx
∴y' lim Δy lim(2x + Δx) = 2x. x0 Δx x0
x
（3）求极限 y lim y . x0 x
课前导入
我们知道，导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬 时速度.那么，对于函数y=f(x)，如何求它的导数呢？ 上节内容，我们讲述了导数的定义，可以根据定义求导数. 这节课我们求几个常见函数的导数.
课前导入
本节知识结构
Δx
Δx
Δx
=
1
x + Δx + x
∴y' = lim Δy = lim
1
=1
δx→0 Δx δx→0 x + Δx + x 2 x
新知探究
知识拓展
公式2:( x n ) nx n1 (n. Q)
(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.3.2
小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
极大值点与极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其它 0 ；而且在点 x ＝ b 附近的左侧 点的函数值都大， f′(b) ＝ ______ f′(x)>0 f′(x)<0 ，就把点b叫做函数y＝f(x)的极 __________ ，右侧__________ 大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
③y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零；
④y＝f(x)在区．②③
B．①④
D．③④
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
解析：
由导函数图象知函数 f(x) 在( －∞，－3) 上单调递
解析：
D．极小值点x＝1
y′＝6x(x2－1)2＝0有三个根，x1＝－1，x2＝0，x3
＝1，由解y′>0得x>0；由解y′<0得x<0，只有x＝0是极小值点，
故选C.
答案： C
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第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
3．函数f(x)＝x3－3x2＋1的极小值点为________．
么，f(x0)是极大值．
f′(x)<0 ，右侧__________ f′(x)>0 (2)如果在x0附近的左侧__________ ，那 么，f(x0)是极小值．
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第一章 导数及其应用
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第一章 导数及其应用
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极大值点与极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其它 0 ；而且在点 x ＝ b 附近的左侧 点的函数值都大， f′(b) ＝ ______ f′(x)>0 f′(x)<0 ，就把点b叫做函数y＝f(x)的极 __________ ，右侧__________ 大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
③y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零；
④y＝f(x)在区．②③
B．①④
D．③④
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第一章 导数及其应用
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解析：
由导函数图象知函数 f(x) 在( －∞，－3) 上单调递
解析：
D．极小值点x＝1
y′＝6x(x2－1)2＝0有三个根，x1＝－1，x2＝0，x3
＝1，由解y′>0得x>0；由解y′<0得x<0，只有x＝0是极小值点，
故选C.
答案： C
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第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
3．函数f(x)＝x3－3x2＋1的极小值点为________．
么，f(x0)是极大值．
f′(x)<0 ，右侧__________ f′(x)>0 (2)如果在x0附近的左侧__________ ，那 么，f(x0)是极小值．
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第一章 导数及其应用
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人教A版高中数学选修2-2课件1.2.1几个常用函数的导数课件.pptx
x0 x
公式1:. C 0 (C为常数)
请同学们求下列函数的导数:
2) y f (x) x, 3) y f (x) x2, 4）y f (x) x3 5) y f (x) 1 ,
x
答案
2） y ' 1
3） y ' 2x
4） y ' 3x2
5）
y
'
1 x2
表示y=x图象上每一点处的切线 斜率都为1
f (x) 3x2
f(x)在x=x0处的导数
f(x)的导函数
关系
f ' (x0 ) 6x0
f '(x) 6x
x=x0时的函数值
思考：如何由导数
定义求函数的导数？
根据导数的概念，求函数导数的过程可以 用下面的流程图来表示
给定函数y f（x）
计算 y f（x x） f（x）
x
xx 0x源自2.能结合其几何意义解决一些与切点、切线斜率 有关的较为综合性问题.
x
x
(3) 当x 0, y f (x) x
函数导函数
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当 时,f’(x0)是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:
f (x) y lim y lim f (x x) f (x)
x x0
x0
x
在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
空白演示
在此输入您的封面副标题
第一章导数及其应用 1.2.1几个常用函数的导数
知识回顾
导数的几何意义：
曲线在某点处的切线的斜率; 物理意义： 物体在某一时刻的瞬时度。
(瞬时速度或瞬时加速度)
由定义求导数（三步法）
公式1:. C 0 (C为常数)
请同学们求下列函数的导数:
2) y f (x) x, 3) y f (x) x2, 4）y f (x) x3 5) y f (x) 1 ,
x
答案
2） y ' 1
3） y ' 2x
4） y ' 3x2
5）
y
'
1 x2
表示y=x图象上每一点处的切线 斜率都为1
f (x) 3x2
f(x)在x=x0处的导数
f(x)的导函数
关系
f ' (x0 ) 6x0
f '(x) 6x
x=x0时的函数值
思考：如何由导数
定义求函数的导数？
根据导数的概念，求函数导数的过程可以 用下面的流程图来表示
给定函数y f（x）
计算 y f（x x） f（x）
x
xx 0x源自2.能结合其几何意义解决一些与切点、切线斜率 有关的较为综合性问题.
x
x
(3) 当x 0, y f (x) x
函数导函数
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当 时,f’(x0)是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:
f (x) y lim y lim f (x x) f (x)
x x0
x0
x
在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
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第一章导数及其应用 1.2.1几个常用函数的导数
知识回顾
导数的几何意义：
曲线在某点处的切线的斜率; 物理意义： 物体在某一时刻的瞬时度。
(瞬时速度或瞬时加速度)
由定义求导数（三步法）
(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章导数及其应用1.1.1、2
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第一章 导数及其应用
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合作探究 课堂互动
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(4)在公式ΔΔxy＝fxx22－－fx1x1＝fx1＋ΔΔxx－fx1中，当 x1 取定 值，Δx 取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的；当 Δx 取定值，x1 取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的．特 别地，当函数 f(x)为常数函数时，Δy＝0，则ΔΔyx＝0.
平均变化率为
fx2－fx1
___x_2_－__x1___
②曲线割线的 斜率
刻画函数值在
区间 [x_1_，__x_2_]_
上变化的快慢
函数 y＝f(x)在 x＝x0 处 ①瞬时速度：物
刻画函数值在
的瞬时变化率是 lim
体在某一时刻
ΔΔyx＝Δ_lix_m→_0_f__x_0＋__Δ_ΔΔ_xxx_→－_0_f_x_0
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第一章 导数及其应用
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合作探究 课堂互动
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(3)在 x＝2 处取自变量的增量 Δx，得一区间[2,2＋Δx]． ∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2·22＋1)＝2(Δx)2＋ 8Δx. ∴ΔΔyx＝2Δx＋8，当 Δx→0 时，ΔΔxy→8.
为 g×2＋12g×0.1＝4210g.
(4)由(2)得物体在 t＝2 s 时的瞬时速度为 g×2＝2g.
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第一章 导数及其应用
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合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
求函数f(x)在某点处的导数
已知f(x)＝x2＋3. (1)求f(x)在x＝1处的导数； (2)求f(x)在x＝a处的导数．
2018学年高中数学新选修2-2课件：第一章 导数及其应用1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运
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1 2
)(1－2x2)′
＝(
1
u
3 2
)·(－4x)＝
1
(1
2
x2
)
3 2
(－4x)
2
2
＝2
x(1
2
x
2
)
3 2
.
解析答案
(4)y＝(2x2－3) 1＋x2.
解 令 y＝uv，u＝2x2－3，v＝ 1＋x2，
令 v＝ w，w＝1＋x2.
v′x＝v′w·w′x＝(
w)′(1＋x2)′＝
1
1
w2
2x
2
返回
题型探究
题型一 导数运算法则的应用
解 y′＝15x5＋23x3′＝15x5′＋23x3′ ＝x4＋2x2. (2)y＝lg x－ex； 解 y′＝(lg x－ex)′＝(lg x)′－(ex)′＝xln110－ex.
重点突破
解析答案
解析答案
(4)y＝x－sin
x 2·cos
x 2.
解
∵y＝x－sin
答案
(3)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导成立吗？ 答案 导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导仍然成立. 两个函数和(差)的导数运算法则可以推广到有限个函数的情况， 即[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]′＝f′1(x)±f′2(x)±f′3(x)±…±f′n(x).
自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
知识点一 导数运算法则
自主学习
法则
语言叙述
[f(x)±g(x)]′＝_f_′__(x_)_±__g_′__(_x)__
两个函数的和(或差)的导数，等于这 两个函数的导数的和(或差)
1 2
)(1－2x2)′
＝(
1
u
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)·(－4x)＝
1
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(－4x)
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＝2
x(1
2
x
2
)
3 2
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解析答案
(4)y＝(2x2－3) 1＋x2.
解 令 y＝uv，u＝2x2－3，v＝ 1＋x2，
令 v＝ w，w＝1＋x2.
v′x＝v′w·w′x＝(
w)′(1＋x2)′＝
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1
w2
2x
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题型一 导数运算法则的应用
解 y′＝15x5＋23x3′＝15x5′＋23x3′ ＝x4＋2x2. (2)y＝lg x－ex； 解 y′＝(lg x－ex)′＝(lg x)′－(ex)′＝xln110－ex.
重点突破
解析答案
解析答案
(4)y＝x－sin
x 2·cos
x 2.
解
∵y＝x－sin
答案
(3)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导成立吗？ 答案 导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导仍然成立. 两个函数和(差)的导数运算法则可以推广到有限个函数的情况， 即[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]′＝f′1(x)±f′2(x)±f′3(x)±…±f′n(x).
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法则
语言叙述
[f(x)±g(x)]′＝_f_′__(x_)_±__g_′__(_x)__
两个函数的和(或差)的导数，等于这 两个函数的导数的和(或差)
(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.4
(1)当汽车以 40 千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地 要耗油多少升？
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最 少？最少为多少升？
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第一章 导数及其应用
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分析 写出函数 写出定 [思路点拨] 题意 ―→ 关系式 ―→ 义域
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令 V′(x)＝0，得 x＝0(舍去)或 x＝1. 当 0<x<1 时，V′(x)>0； 当 1<x<32时，V′(x)<0，故在 x＝1 处 V(x)取得极大值，并 且这个极大值就是 V(x)的最大值， 从而 Vmax＝V(1)＝9×12－6×13＝3 m3，此时长方体的长为 2 m，高为 1.5 m. 即当长方体的长为 2 m、宽为 1 m、高为 1.5 m 时，体积最 大，最大体积为 3 m3.
解析： 设长方体的宽为 x m，长为 2x m， 则高为 h＝18－412x＝4.5－3x0<x<32. 故长方体的体积为 V(x)＝2x2(4.5－3x)＝9x2－6x30<x<32， 从而 V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
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第一章 导数及其应用
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高效测评 知能提升
令h′(x)＝0，得x＝80， 当x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数； 当x∈(80,120]时，h′(x)>0，h(x)是增函数． ∴当x＝80时，h(x)取到极小值h(80)＝11.25. ∵h(x)在(0,120]上只有一个极值， ∴它是最小值． 答：当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙 地耗油最少，最少为11.25升．
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最 少？最少为多少升？
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第一章 导数及其应用
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分析 写出函数 写出定 [思路点拨] 题意 ―→ 关系式 ―→ 义域
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令 V′(x)＝0，得 x＝0(舍去)或 x＝1. 当 0<x<1 时，V′(x)>0； 当 1<x<32时，V′(x)<0，故在 x＝1 处 V(x)取得极大值，并 且这个极大值就是 V(x)的最大值， 从而 Vmax＝V(1)＝9×12－6×13＝3 m3，此时长方体的长为 2 m，高为 1.5 m. 即当长方体的长为 2 m、宽为 1 m、高为 1.5 m 时，体积最 大，最大体积为 3 m3.
解析： 设长方体的宽为 x m，长为 2x m， 则高为 h＝18－412x＝4.5－3x0<x<32. 故长方体的体积为 V(x)＝2x2(4.5－3x)＝9x2－6x30<x<32， 从而 V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)．
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第一章 导数及其应用
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第一章 导数及其应用
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令h′(x)＝0，得x＝80， 当x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数； 当x∈(80,120]时，h′(x)>0，h(x)是增函数． ∴当x＝80时，h(x)取到极小值h(80)＝11.25. ∵h(x)在(0,120]上只有一个极值， ∴它是最小值． 答：当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙 地耗油最少，最少为11.25升．
2018学年高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.2.1、21 精品
解析： ∵y′＝(x2)′＝2x，设切点为 M(x0，y0)， 则 y′|x＝x0＝2x0， 又∵直线 PQ 的斜率为 k＝42－＋11＝1，而切线垂直于直线 PQ， ∴2x0＝－1，即 x0＝－12，所以切点为 M－12，14. ∴所求的切线方程为 y－14＝－x＋12， 即 4x＋4y＋1＝0.
－
1x′＝(－x－
1 2
)′＝12x－32
＝ 1 ，所以④正确，故选 2x x
B.
答案： B
求某一点处的导数
在曲线 y＝f(x)＝x12上求一点 P，使得曲线在该点处 的切线的倾斜角为 135°.
[思路点拨] 先求导函数，再由导数值求P点横坐标．
解析： 设切点坐标为 P(x0，y0)，
f′(x0)＝－2x－0 3＝tan 135°＝－1，
(4)y′＝xln1 5.(5)y＝sin x，y′＝cos x. (6)y′＝0.(7)y′＝1x.(8)y′＝ex.
求简单函数的导函数有两种基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂； (2)用导数公式求导 ，可以简化运算过程、降低运算难 度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调 整，再选择合适的求导公式．
忆．(logax)′＝llnn ax′＝ln1a(ln x)′＝ln1a·1x＝xln1 a.
2．对基本初等函数的导数公式的理解 不要求根据导数定义推导这八个基本初等函数的导数公 式，只要求能够利用它们求简单函数的导数，在学习中，适量 的练习对于熟悉公式是必要的，但应避免形式化的运算练习．
1． 12′等于(
f′(1)＝－12，求
n.
解析：
2
f′(x)＝(x－n
)′＝－2nx－2n
－1，
数学选修2-2第一章导数及其应用09导数的综合应用 (共37张PPT)
No.1 middle school ，my love ！
第9课时
导数的综合应用
No.1 middle school ，my love ！
第9课时
导数的综合应用
• 预学2:函数极值的特点 • 设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近 所有的点x，都有f(x)＜f(x0)，那么f(x0)是函数 的一个极大值，记作y极大值＝f(x0);如果对x0附 近的所有的点都有f(x)＞f(x0)，那么f(x0)是函 数的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)，极大值 与极小值统称为极值.导数f'(x)＝0的点不一定 是函数y＝f(x)的极值点，如使f'(x)＝0的点的 左、右的导数值异号，则是极值点，其中左 正右负点是极大值点，左负右正点是极小值 点.极大值未必大于极小值.
No.1 middle school ，my love ！
高中数学人教A版 选修2－2 第一章
四川省成都市新都一中 肖宏
No.1 middle school ，my love ！
第9课时
导数的综合应用
• 函数与导数是高中数学的核心内容，函 数思想贯穿中学数学全过程.导数作为工 具，提供了研究函数性质的一般性方法. 作为“平台”，可以把函数、方程、不等 式、圆锥曲线等有机地联系在一起，在 能力立意的命题思想指导下，与导数相 关的问题已成为高考数学命题的必考考 点之一.函数与方程、不等式相结合是高 考的热点与难点.
No.1 middle school ，my love ！
第9课时
导数的综合应用
No.1 middle school ，my love ！
第9课时
导数的综合应用
• 所以函数f(x)的单调递增区间为(0，1)和(2， ＋∞)，单调递减区间为(1，2). • (3)由(2)知，函数f(x)在(0，1)和(2，＋∞)上单 调递增，在(1，2)上单调递减，且当x＝1或x ＝2时，f'(x)＝0. • 故函数f(x)的极大值为f(1)＝4ln 1＋1－6＋b＝ b－ 5， • 函数f(x)的极小值为f(2)＝4ln 2＋4－12＋b＝ 4ln 2－8＋b，
2018学年人教A版数学选修2-2课件 第一章 导数及其应用 1.2.2第一课时导数的运算法则 精品
答案：9
类型 1 利用导数的运算法则求导数(自主研析)
[典例 1] 求下列函数的导数： (1)y＝3x2＋xcos x； (2)y＝(x2＋3)(ex＋ln x)； (3)y＝sienx x.
解：(1)y′＝6x＋cos x＋x(cos x)′＝6x＋cos x－xsin x. (2)y′＝(x2＋3)′(ex＋ln x)＋(x2＋3)(ex＋ln x)′＝ 2x(ex＋ln x)＋(x2＋3)(ex＋1x)＝ ex(x2＋2x＋3)＋2xln x＋x＋3x.
[巧妙解法] 先将函数式化简，再求导数．
x＋1 x－1＋2
因为 f(x)＝ ＝
＝1＋
2
，
x－1 x－1
x－1
所以 f′(x)＝1＋
x2－1′＝2
x1－1′＝
0－（ x－1）′ 2× （ x－1）2 ＝－
x（
1 x－1）2.
归纳升华 对于较复杂的函数式，求导前应将函数式等价变形， 然后再运用导数运算法则求导．
[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)已知 f(x)＝xcos x，则 f′(x)＝cos x＋xsin x．( ) (2)已知 f(x)＝exx，则 f′(x)＝e1x.( ) (3)若函数 y＝f(x)的导数 f′(x)＝2x，则 f(x)＝x2.( ) 解析：(1)错，f′(x)＝cos x－xsin x.
又曲线过点(2，－1)，所以 4a＋2b＋c＝－1.③ 由①②③解得 a＝3，b＝－11，c＝9.
归纳升华 若导数问题中涉及参数问题，应先求导数，再根据题 设条件建立参数的方程(或不等式)求解．
[变式训练] 已知抛物线 y＝ax2＋bx－7 通过点(1， 1)，过点(1，1)的切线方程为 4x－y－3＝0，则 a、b 的值 分别为________．
类型 1 利用导数的运算法则求导数(自主研析)
[典例 1] 求下列函数的导数： (1)y＝3x2＋xcos x； (2)y＝(x2＋3)(ex＋ln x)； (3)y＝sienx x.
解：(1)y′＝6x＋cos x＋x(cos x)′＝6x＋cos x－xsin x. (2)y′＝(x2＋3)′(ex＋ln x)＋(x2＋3)(ex＋ln x)′＝ 2x(ex＋ln x)＋(x2＋3)(ex＋1x)＝ ex(x2＋2x＋3)＋2xln x＋x＋3x.
[巧妙解法] 先将函数式化简，再求导数．
x＋1 x－1＋2
因为 f(x)＝ ＝
＝1＋
2
，
x－1 x－1
x－1
所以 f′(x)＝1＋
x2－1′＝2
x1－1′＝
0－（ x－1）′ 2× （ x－1）2 ＝－
x（
1 x－1）2.
归纳升华 对于较复杂的函数式，求导前应将函数式等价变形， 然后再运用导数运算法则求导．
[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)已知 f(x)＝xcos x，则 f′(x)＝cos x＋xsin x．( ) (2)已知 f(x)＝exx，则 f′(x)＝e1x.( ) (3)若函数 y＝f(x)的导数 f′(x)＝2x，则 f(x)＝x2.( ) 解析：(1)错，f′(x)＝cos x－xsin x.
又曲线过点(2，－1)，所以 4a＋2b＋c＝－1.③ 由①②③解得 a＝3，b＝－11，c＝9.
归纳升华 若导数问题中涉及参数问题，应先求导数，再根据题 设条件建立参数的方程(或不等式)求解．
[变式训练] 已知抛物线 y＝ax2＋bx－7 通过点(1， 1)，过点(1，1)的切线方程为 4x－y－3＝0，则 a、b 的值 分别为________．
(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.6
＝(0－1)－[0－(－1)]
＝－1－1＝－2.
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第一章 导数及其应用
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(3)∵(ex－sin x)′＝ex－cos x，
0
∴ －π
(ex－cos
x)dx＝(ex－sin
x)|
0 －π
＝(e0－sin 0)－[e－π－sin(－π)]
＝1－e－π.
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第一章 导数及其应用
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求简单的定积分关键注意两点： (1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被 积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形 后再求解； (2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．
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第一章 导数及其应用
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定积分的应用
已知 f(x)＝21x＋＋x12，，xx∈∈[2－，24，]，2]，
3
求
使
k
f(x)dx
＝
430恒成立的 k 值．
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第一章 导数及其应用
[思路点拨]
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0
(3)
(ex－cos x)dx.
－π
[思路点拨] 先求被积函数的原函数，然后利用微积分基
本定理求解．
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(1)∵x3＋12x2－x′＝3x2＋x－1，
2018学年人教A版数学选修2-2课件 第一章 导数及其应用 1.2.1几个常用函数的导数、基本初等
2cos
2′＝(sin
x)′＝cos
x.
(4)y′＝4ln x＋ln
x13′＝lnx4·x13′＝(ln x)′＝1x.
类型 2 导数公式的简单应用 [典例 2] 如图所示，已知曲线 f(x)＝2x2＋a(x≥0)与曲线 g(x)＝ x(x≥0) 相切于点 P，且在点 P 处有相同的切线 l. 求点 P 的坐标及 a 的值. 解：设切点 P(x0，y0)，由直线 l 与曲线 y＝f(x)相切
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
y＝c y＝xn(n∈Q) y＝sin x y＝cos x y＝ax(a＞0，a≠1) y＝ex
y′＝0 y′＝nxn－1 y′＝cos x y′＝－sin x y′＝axln a y′＝ex
y＝logax(a＞0，a≠1) y′＝xln1 a
y＝ln x
y′＝1x
解：设 P(x0，y0)，则直线 l1 的斜率 k1＝y′|x＝x0＝2 1x0， 因为直线 l1 与 l2 垂直，则 k2＝－2 x0，
所以直线 l2 的方程为 y－y0＝－2 x0(x－x0)．
因为点 P(x0，y0)在曲线 y＝ x上，所以 y0＝ x0. 在直线 l2 的方程中令 y＝0，则－ x0＝－2 x0(x－x0)． 所以 x＝12＋x0，即 xQ＝12＋x0. 又 xK＝x0，所以|KQ|＝xQ－xK＝12.
y′ ＝ sin
π 6
′
＝
cos
π 6
＝
23.( ) (2)y＝x 的导数等于 1 的物理意义是：物体做匀速直
线运动．( )
(3)已知 f(x)＝2x4，则 f′( 2)＝8 2.( ) 解析：(1)错，因为 y＝sin π6是常数函数，所以其导 数为 0. (2)对，若 y＝x 表示路程关于时间的函数，则 y′＝1 表示物体的瞬时速度始终为 1，即物体做匀速直线运动．
(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.1.3
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解析： 点(5，f(5))在切线y＝－x＋8上， ∴f(5)＝－5＋8＝3. 且f′(5)＝－1， ∴f(5)＋f′(5)＝2. 答案： 2
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第一章 导数及其应用
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1．了解导函数的概念，理解导数的几何意义． 2．弄清函数在x＝x0处的导数f′(x0)与导函数f′(x)的区别 与联系．会求导函数． 3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方 程．
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第一章 导数及其应用
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[问题1] 如图，直线l1是曲线C的切线吗？l2呢？
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第一章 导数及其应用
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【错因】 求曲线上的点P处的切线与求过点P的切线 有区别，在点P处的切线，点P必为切点；求过点P的切线，点 P未必是切点，应注意概念不同，其求法也有所不同．
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1．导数几何意义的理解
如图，设曲线C上一点
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导函数
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第一章 导数及其应用
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2019-2020数学人教A版选修2-2课件：第一章导数及其应用1.2 1.2.1 1.2.2(一)
的导数公式可以求出结果，但不如先化简为
y＝x·
x＝x
3 2
，再求
y′＝32x
1 2
简
单.
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3.三次函数的导数为二次函数，当涉及与二次函数最值有关的问题时， 常需要讨论，而讨论的立足点是二次函数的图象的对称轴与区间的位置关系.
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(3)第三类为指数函数，y′＝(ax)′＝ax·ln a，当 a＝e 时，ex 的导数是(ax)′
的一个特例．
(4)
第
四
类
为
对
数
函
数
，
y′
＝
(logax)′
＝
1 x·ln
a
，
也
可
记
为
(logax)′
＝
1x·logae，当 a＝e 时，ln x 的导数也是(logax)′的一个特例．
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1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若 y＝ 2，则 y′＝12×2＝1.( × )
(2)若 f′(x)＝sinx，则 f(x)＝cosx.( × )
(3)若 f(x)＝－
1 ，则 x
f′(x)＝2x1
x
.(
√
)
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【跟踪训练 2】 已知点 P(－1,1)，点 Q(2,4)是曲线 y＝x2 上的两点，求 与直线 PQ 平行的曲线 y＝x2 的切线方程．
人教A版数学选修2-2课件 第一章 导数及其应用 1.1.2导数的概念精选ppt课件
f（x0－3ΔΔx）x －f（x0）＝1，求 f′(x0)． 易错提示：由于忽略了分子与分母相应的符号的一致 性，解答时容易出现以下错误：
f（x0－3Δx）－f（x0） ＝
Δx
f（x0－3Δx）－f（x0）
[
3Δx
·3]＝3f′(x0)＝1，所以 f ′(x0)
＝13.
防 范 措 施 ： 在 导 数 的 定 义 f ′(x0) ＝ f（x0＋Δ Δx）x－f（x0）中，Δ x 是 f(x0＋Δ x)与 f(x0)中的 两个自变量的差，即(x0＋Δ x)－x0.在求解此类问题时要 严格按照定义，注意分子与分母相应的符号的一致性．
(1)求此物体的初速度； (2)求此物体在 t＝2 时的瞬时速度； (3)求 t＝0 到 t＝2 之间的平均速度．
解：(1)物体的初速度即 t＝0 时的瞬时速度，
s（Δt）－s（0） 3Δt－（Δt）2
所以 v0＝
＝ Δt
＝ Δt
(3－Δt)＝3.
所以物体的初速度为 v0＝3 米/秒．
s（2＋Δt）－s（2）
＝( )
A．－1
1 B.2
C．1
1 D.3
f（－1＋Δx）－f（－1） 解析： 因为 f′(－1)＝
Δx
＝
a（Δx－1）3＋a ＝3a，所以 3a＝3，解得 a＝1.
Δx 答案：C
类型 3 利用导数定义中Δx 与Δy 的对应关系 求导数(误区警示) [典例 3] 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处可导，且
1 D.4
解析：因为ΔΔst＝12（2＋ΔtΔ）t 2－12×22＝12Δt＋2，
所以
Δs ＝
Δt
12Δt＋2＝2.
答案：A
类型 2 利用导数的定义求导数 [典例 2] 利用导数的定义解下列各题： (1)求函数 y＝x2＋1x＋3 在 x＝2 处的导数； (2)函数 y＝x2＋ax＋b 在点 x＝x0 处的导数． 解：(1)当 x＝2 时， Δy＝(2＋Δx)2＋2＋1Δx＋3－22＋12＋3＝
f（x0－3Δx）－f（x0） ＝
Δx
f（x0－3Δx）－f（x0）
[
3Δx
·3]＝3f′(x0)＝1，所以 f ′(x0)
＝13.
防 范 措 施 ： 在 导 数 的 定 义 f ′(x0) ＝ f（x0＋Δ Δx）x－f（x0）中，Δ x 是 f(x0＋Δ x)与 f(x0)中的 两个自变量的差，即(x0＋Δ x)－x0.在求解此类问题时要 严格按照定义，注意分子与分母相应的符号的一致性．
(1)求此物体的初速度； (2)求此物体在 t＝2 时的瞬时速度； (3)求 t＝0 到 t＝2 之间的平均速度．
解：(1)物体的初速度即 t＝0 时的瞬时速度，
s（Δt）－s（0） 3Δt－（Δt）2
所以 v0＝
＝ Δt
＝ Δt
(3－Δt)＝3.
所以物体的初速度为 v0＝3 米/秒．
s（2＋Δt）－s（2）
＝( )
A．－1
1 B.2
C．1
1 D.3
f（－1＋Δx）－f（－1） 解析： 因为 f′(－1)＝
Δx
＝
a（Δx－1）3＋a ＝3a，所以 3a＝3，解得 a＝1.
Δx 答案：C
类型 3 利用导数定义中Δx 与Δy 的对应关系 求导数(误区警示) [典例 3] 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处可导，且
1 D.4
解析：因为ΔΔst＝12（2＋ΔtΔ）t 2－12×22＝12Δt＋2，
所以
Δs ＝
Δt
12Δt＋2＝2.
答案：A
类型 2 利用导数的定义求导数 [典例 2] 利用导数的定义解下列各题： (1)求函数 y＝x2＋1x＋3 在 x＝2 处的导数； (2)函数 y＝x2＋ax＋b 在点 x＝x0 处的导数． 解：(1)当 x＝2 时， Δy＝(2＋Δx)2＋2＋1Δx＋3－22＋12＋3＝
(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.2.1、2(1)
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求简单函数的导函数有两种基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂； (2)用导数公式求导 ，可以简化运算过程、降低运算难 度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调 整，再选择合适的求导公式．
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第一章 导数及其应用
A．(0,0)
B．(0,1)
C．(1,0)
D．以上都不是
解析： (x3)′＝3x2，若切线平行或重合于x轴则切线斜率k
＝0，即3x2＝0得x＝0，
∴y＝0，即切点为(0,0)．故选A.
答案： A
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3．函数f(x)＝sin x，则f′(6π)＝________. 解析： f′(x)＝cos x，所以f′(6π)＝1. 答案： 1
6分 8分
10 分 12 分
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第一章 导数及其应用
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1.求过点P的切线方程时应注意，P点在曲线 上还是在曲线外，两种情况的解法是不同的．
2．解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系： 一是切点坐标满足曲线方程；二是切点坐标满足对应切线 的方程；三是切线的斜率是曲线在此切点处的导数值．
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第一章 导数及其应用
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(1)y′＝－3x－4.(2)y′＝3xln 3.
(4)y′＝xln1 5.(5)y＝sin x，y′＝cos x. (6)y′＝0.(7)y′＝1x.(8)y′＝ex.
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求函数的导数
求下列函数的导数：
[思路点拨] 解答本题可先将解析式化为基本初等函数， 再利用公式求导．
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(1)y′＝－3x－4.(2)y′＝3xln 3.
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几个常用函数的导数
0 1 2x
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基本初等函数的导数公式
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0 αxα－1 cos x －sin x axln a(a>0) ex
上还是在曲线外，两种情况的解法是不同的．
2．解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系：
一是切点坐标满足曲线方程；二是切点坐标满足对应切
线的方程；三是切线的斜率是曲线在此切点处的导数值．
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3．已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求 与直线PQ垂直的曲线y＝x2的切线方程．
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求简单函数的导函数有两种基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂； (2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难 度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整， 再选择合适的求导公式．
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1.求过点P的切线方程时应注意，P点在曲线
4．求下列函数的导数： (1)y＝x8；(2)y＝π＋1；(3)y＝log2x； (4)y＝2e3；(5)y＝2cos x.
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◎ 求下列函数的导数． (1)y＝(－x)8； (2)y＝(ax)5(a为不等于0的常数)． 【错解】 (1)y′＝8(－x)7＝－8x7. (2)y′＝5(ax)4＝5a4x4. 【错因】 两小题的解法都是错用了公式(xn)′＝nxn－1， 本公式成立的条件是底数是自变量x本身，而不是关于自变量x 的代数式，因此本题直接套用幂函数的求导公式是错误的．
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解析： 因常数的导数等于0，故选C. 答案： C
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2．曲线y＝x3上切线平行或重合于x轴的切点坐标( ) A．(0,0) B．(0,1) C．(1,0) D．以上都不是 解析： (x3)′＝3x2，若切线平行或重合于x轴则切线斜 率k＝0，即3x2＝0得x＝0， ∴y＝0，即切点为(0,0)．故选A. 答案： A
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[问题2] 函数y＝x的导数y′＝1的意义是什么？ [提示2] y′＝1表示函数y＝x图象上每一点处的切线的 斜率都为1，如图．若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1 可以解释为某物体作瞬时速度为1的匀速运动．
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用．
1．掌握几个常用函数的导数，并能进行简单的应用． 2．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应
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[问题1] 函数y＝f(x)＝x的导数是什么？
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1.2 导数的计算
1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2 基本初等函数的导数公式
及导数的运算法则(一)
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3．函数f(x)＝sin x，则f′(6π)＝________. 解析： f′(x)＝cos x，所以f′(6π)＝1. 答案： 1
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答案： B
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求某一点处的导数
[思路点拨] 先求导函数，再由导数值求P点横坐标．
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导数几何意义的应用
已知曲线方程y＝x2，求过点B(3,5)且与曲线相切 的直线方程．
[思路点拨] 解决切线问题的关键是求切点的坐标，要 注意区分是曲线在某点处的切线还是过某点的切线．
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1.在某点处的导数与导函数是不同的，在某 点处的导数是指在该点处的导数值．
2．求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简， 然后求导，最后将变量的值代入导函数便可求解．
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2．对基本初等函数的导数公式的理解 不要求根据导数定义推导这八个基本初等函数的导数公 式，只要求能够利用它们求简单函数的导数，在学习中，适量 的练习对于熟悉公式是必要的，但应避免形式化的运算练习．
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【正解】 (1)∵y＝(－x)8＝x8， ∴y′＝(x8)′＝8x7. (2)∵y＝(ax)5＝a5x5， ∴y′＝(a5x5)′＝a5(x5)′＝5a5x4.
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