7 第7讲 直线与椭圆、抛物线的位置关系

第7讲 直线与椭圆、抛物线的位置关系

1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定

(1)代数法：把圆锥曲线方程C 1与直线方程l 联立消去y ，整理得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.

方程ax 2＋

bx ＋c ＝0的解

l 与C 1的交点 a ＝0

b ＝0 无解(含l 是双曲线的渐近线)

无公共点 b ≠0

有一解(含l 与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行)

一个交点

a ≠0

Δ＞

0 两个不相等的解 两个交点 Δ＝0 两个相等的解 一个交点 Δ＜0

无实数解

无交点

曲线的位置关系．

2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题

设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|

＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋1

k

2|y 1－y 2| ＝

1＋1

k

2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2. 3．与抛物线焦点弦有关的常用结论

(以右图为依据)

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝

p 24

. (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p

sin 2θ

(θ为AB 的倾斜角)．

(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p

. (4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．

已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a 等于( ) A.1

2 B ．13

C.14

D ．4

解析：选C.由⎩⎪⎨⎪

⎧x －y －1＝0，y ＝ax 2，消去y 得ax 2－x ＋1＝0， 所以⎩

⎪⎨⎪⎧a ≠0，1－4a ＝0，解得a ＝14.

(2018·舟山市普陀三中高三期中)已知直线y ＝x －2，则直线被椭圆x 24＋y 2

＝1截得的弦长

是( ) A.25

B ．225

C.425

D. 2

解析：选C.设直线与椭圆相交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩

⎪⎨⎪⎧y ＝x －2x 2＋4y 2＝4，化简得5x 2－16x ＋12＝0，

所以x 1＋x 2＝165，x 1x 2＝12

5

.

所以|AB |＝（1＋1）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝

2×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭

⎫1652

－4×125＝42

5.

过点⎝⎛⎭⎫0，－12的直线l 与抛物线y ＝－x 2交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →

的值为( ) A ．－1

2

B ．－14

C ．－4

D ．无法确定

解析：选B.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝kx －1

2

，代入抛物线方程得2x 2＋2kx

－1＝0，由此得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－k ，x 1x 2＝－12，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋⎝⎛⎭⎫kx 1－12⎝⎛⎭⎫kx 2－12＝(k 2＋1)·x 1x 2－12k (x 1＋x 2)＋14＝－12(k 2＋1)－12k ·(－k )＋14＝－1

4

.故选B.

过点A (1，0)作倾斜角为π

4的直线，与抛物线y 2＝2x 交于M 、N 两点，则|MN |＝________．

解析：过A (1，0)且倾斜角为π

4的直线方程为y ＝x －1，代入y 2＝2x 得x 2－4x ＋1＝0.设M (x 1，

y 1)，N (x 2，y 2)，有x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2·16－4＝2 6. 答案：2 6

在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2

c ，以O 为圆心、a 为半径

作⊙O .若过P ⎝⎛⎭⎫a 2

c ，0作⊙O 的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为________．

解析：如图，设切线P A ，PB 互相垂直，又半径OA 垂直于P A ，所以△OAP 是等腰直角三角形，故a 2c ＝2a ，解得e ＝c a ＝2

2.

答案：

22

直线与椭圆的位置关系

[典例引领]

(2018·浙江省名校协作体高三联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)，经过椭圆C 上

一点P 的直线l ：y ＝－

24x ＋322

与椭圆C 有且只有一个公共点，且点P 的横坐标为2.

(1)求椭圆C 的标准方程；

(2)若AB 是椭圆的一条动弦，且|AB |＝5

2，O 为坐标原点，求△AOB 面积的最大值．

【解】 (1)因为P (2，2)在椭圆上，故4a 2＋2

b

2＝1，同时联立⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 2

＋a 2y 2

＝a 2b 2

y ＝－24x ＋322， 得b 2x 2＋a 2

⎝⎛⎭⎫－24

x ＋3222

＝a 2b 2，

化简得⎝⎛⎭⎫b 2＋18a 2x 2－32a 2x ＋9

2a 2－a 2b 2＝0， 由Δ＝0，可得a 2＝12，b 2＝3， 故椭圆C 的标准方程为x 212＋y 2

3＝1.

(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 当直线AB 斜率存在时， 直线AB 方程为y ＝kx ＋b 1，

联立⎩

⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝12y ＝kx ＋b 1得(4k 2＋1)x 2＋8kb 1x ＋4(b 21－3)＝0，

故x 1＋x 2＝－8kb 11＋4k 2，x 1x 2

＝4（b 21－3）1＋4k 2

， 由25

4＝|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)[(x 2＋x 1)2－4x 1x 2]， 得

b 21＝3(1＋4k 2

)－

25（1＋4k 2）2

64（1＋k 2）

，

故原点O 到直线AB 的距离d ＝|b 1|

1＋k 2

， 所以S ＝54·|b 1|

1＋k 2，

令u ＝1＋4k 2

1＋k 2

，

则S 2＝－6251 024⎝⎛⎭⎫u 2－19225u ＝－6251 024⎝⎛⎭

⎫u －96252

＋9. 又因为u ＝1＋4k 21＋k 2＝4－3

1＋k 2∈[1，4)，

当u ＝96

25

时，S 2max ＝9， 当斜率不存在时，△AOB 的面积为5238，

综上所述可得△AOB 面积的最大值为3.