一、相似的六种基础模型

1：相似三角形模型

一：相似三角形判定的基本模型 （一）A 字型、反A 字型（斜A 字型）

（平行）

（不平行）

基础模型识别

1．（密云18期末1）如图，ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上点，DE //BC ，

AD =2，DB =1，AE =3，则EC 长（ ）

A ．

2

3 B ．1 C ．3

2

D ．6

2．（怀柔18期末4）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别为边AB,AC 上的点，且

DE ∥BC ，若AD =4，BD =8，AE =2，则CE 的长为（ ）

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

3．（石景山18期末10）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上．若

∠ADE =∠C ，AB =6，AC =4，AD =2，则EC =________．

A

B

C

D

E

C

B

A D

E

B D

E

E

D

C

B

A

例题精讲

1．如图，已知△ABC 中，CE ⊥AB 于E ，BF ⊥AC 于F ，求证：△AEF∽△ACB.

2．如图，AD 与BC 相交于E ，点F 在BD 上，且AB∥EF∥CD，求证：1AB ＋1CD ＝1

EF

.

练习一：

1．（大兴18期末19）已知：如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AB 、 AC 边上

的点，且AE AD 5

3

，连接DE . 若AC ＝4，AB ＝5. 求证：△ADE ∽△ACB.

2．（丰台18期末18）如图，△ABC 中，DE ∥BC ，如果AD = 2，DB = 3，AE = 4，求AC 的长.

D C

A E

3、已知：如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，DF∥AC，求证：△ADE∽△DBF．

4、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从点B出发，以2cm/秒的速度向点C移动，同时点Q从点C出发，以1cm/秒的速度向点A移动，设运动时间为t 秒，当t= 秒，△CPQ与△ABC相似．

（二）8字型、反8字型

（蝴蝶型）

（平行） （不平行） 一、基本模式识别

1．（海淀18期末3）如图，线段BD ，CE 相交于点A ，DE ∥BC ．若AB =4，AD =2，DE =1.5，则BC 的长为（ ）

A ．1

B ．2

2、（顺义18期末19）如图，E 是□ABCD 的边BC 延长线上一点，

AE 交CD 于点F ，FG ∥AD 交AB 于点G ．

（1）填空：图中与△CEF 相似的三角形有 ； （写出图中与△CEF 相似的所有三角形）

（2）从（1）中选出一个三角形，并证明它与△CEF 相似．

3、如下左图，在O ⊙中，弦AB 与CD 相交于点P ，已知3cm 4cm 2cm PA PB PC ===，，，

那么PD = cm ．

B

C

B C

D

E

C

B

A

G

A

B C F

D E

二、例题精讲:

1、如图，在△ABC中，D为BC边上的中点，在AD上任取一点O，过O作BO 交AC于点F，作CO交AB于E，边结EF。

求证：EF∥BC

2、如图，把RT△ABC绕直角顶点C顺时针旋转900得到Rt△DCE，连接AD，

延长AB交DE于F，当DF=2，EF=3，时，过

D作DG∥AE，交AF的延长线于

G ，连接GE，求GE的长。

练习

1．(恩施中考)如图，在▱ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF∶FC 等于( )

A ．1∶4

B ．1∶3

C ．2∶3

D ．1∶2

2．(黔东南中考)将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BE

EC

的值是____________．

3．如图，已知∠ADE＝∠ACB，BD ＝8，CE ＝4，CF ＝2，求DF 的长．

（三）母子型

一、 模式识别：

1、如图，点D 为ABC △的AB 边上一点，2=AD ，3=DB .若ACD B ∠=∠，则.____________=AC

2、如图，等边三角形ABC 中，D ，E 分别在BC ，AB 上，且CE BE =，AD ，CE 相交于M ，求证:EAM ECA ∆∆

3、如图，在O 中，AB 是O 的切线，AD 是O 的割线，则题意中满足

2AB AC AD =⋅

A

B

C

D

C

A

D

M

E

D

C

B

A

O

D

C

B A

二例题精讲

例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ．

求证：OE OA OC ⋅=2

．

例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠． 求证：（1）DA DE DB ⋅=2

； （2）DAC DCE ∠=∠．

例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．

求证：EG EF BE ⋅=2

A D E

B