第二类换元法

x2 a2
C1
t a
x
(C C1 ln a )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
a2 x2 例20.求 dx 4 x 也可令 x a sin t (t ( , 0) (0, )), 2 2 1 解: 令 x , 则 t 1 2 a 2 1 1 t dt 2 2 2 原式 ( a t 1) t dt 2 1 t
则
F ( x )

f ( x)dx F ( x ) C [
1 d dt f ( x) f [ ( t )] ( t ) (t ) dt dx
1
( x )] C
1 1 f[t ] [ (tC )] )d t t x) t(t ( x()
机动
目录
上页
下页
返回
结束
下页
例23.求 解:原式
1 d x 1) d ( x 2 ( x 1) ( 2 2 )2

1 2
arctan
x1 2
C
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例24.求
解:原式 =

d(
2
1 x 2)
( 5 )2 ( x 1 )2
2
例25.求 解:原式
f ( x , a 2 x 2 )dx , 令 x a tan t 或 x a sh t
(5)
f ( x , x 2 a 2 )dx , 令 x a sec t 或 x a ch t
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(6) 分母中因子次数较高时, 可试用 倒代换
2. Βιβλιοθήκη Baidu本积分公式 (二)
2
1 2
2
机动
目录
上页
下页
返回
结束
(1)
(2)



f ( x , n ax b )dx, 令 t n ax b
ax b ax b n f (x , n )dx , 令 t cx d cx d
2 2
第 四 节 讲
(3)
(4)
f (x ,

a x )dx ,令 x a sin t 或 x a cos t
t
也可令 x a tan t ( t (

,0) (0, )), 2 2

a 2t 2 1
dt
1 d(a 2 t 2 1) 2 2a a 2t 2 1
1 2 a 2t 2 1 C a
当 x < 0 时, 类似可得同样结果.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2)

2x 3 1 2 x x2
2 3 x 1 C 3 (2 2 x ) 5 dx dx 2
1 2x x

d(1 2 x x 2 ) 1 2 x x2
2
5
d( x 1) 2 ( x 1)2
2 1 2 x x 5arcsin
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例17.求
解:令 x a sin t , t (

a 2 x 2 dx (a 0)

,
a x dx a cos t d t t 2 2 ∴ 原式 a cos t a cos t d t a cos t d t 2 2 a x t sin 2t 2 a C 2 4 x a2 x2 sin 2t 2sin t cos t 2 a a x 1 a2 2 2 arcsin x a x C a 2 2


t4 1 原式 2 2a
2 2 2 2 d( a t 1) ( a t 1)
3 2
1 2
(a 2 t 2 1) C 2 3a
当 x < 0 时, 类似可得同样结果.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例21.求
1 解:令 x ( x 0), 得 t
原式
则 u a , 于是
2 2
ln u u a
C1
ln x x 2 a 2 C1
ln a2 x x2 a2 C1
(C C1 2ln a )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例19.求
解:令 x a tan t , t (
dx e 2 x (1 e 2 x )

e x d x 1 e 2 x

de x 1 e 2 x
arcsin e x C
机动 目录 上页 下页 返回 结束
备用题 1.求下列积分:
1)
x
2
1 dx 3 x3 1
1
1 x 1
3
d( x 3 1)
二、第二类换元法
第一类换元法解决的问题
f [ ( x )] ( x )dx f (u)du
难求 易求 若所求积分
u ( x)
f [ ( x )] ( x )dx
则得第二类换元积分法. 常用的第二类换元法有
f (u)du 难求，
易求,
三角代换，倒代换，根式代换
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理 2.设
是单调可导函数, 且 具有原函数, 则有换元公式
其中 t 1 ( x) 是 x (t )的反函数.
证: 设 f [ (t )] (t )的原函数为 ( t ), 令
F ( x ) [ ( x )]
1
(t ) f [ (t )] (t )
例22

1 1 e
x
dx
解： 令 1 e x ＝t 1, 则 1 e x＝t 2 ,
2t 从而 dx 2 dt , t 1 2 原式 2 dt t 1 t 1 ln | | C t 1
ln | 1 ex 1 1 e 1
x
| C
小结:
1. 第二类换元法常见类型:

2 2 ,
), 则
x 2 a 2 a 2 tan2 t a 2 a sec t
dx a sec2 t d t
∴ 原式
a sec2 t
a sec t
d t sec t d t
ln sec t tan t C1
x2 a2 x ) ln( a a
2( t arctan t ) C
2 1 sin 2 x arctan 1 sin 2 x C
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3. 求不定积分
解: 令 x sin t , 1 x 2 1 sin2 t , d x cos t d t 原式 分子分母同除以 cos t
2 2 2 2 2 2 2 a x a a sin t a cos t
), 则

机动
目录
上页
下页
返回
结束
例18.求 解: 当 x a 时 , 令 x a sec t , t ( 0,
2 2 2 2 2

2
), 则
∴ 原式
x a a sec t a a tan t d x a sec t tan t d t a sec t tan t
dt
a tan t x2 a2 ln sec t tan t C1 t x x2 a2 ln C1 a a (C C1 ln a )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
sec t d t
当 x a 时, 令

x u,
du u a
2 2
x 1 2
目录
C
下页 返回 结束
机动
上页
2. 求不定积分
2sin x cos x 1 sin x dx 2 2 sin x
2
解： 利用 凑微分法, 得 原式 =

1 sin 2 x 2 2 sin x
d(1 sin x )
2
令 t 1 sin2 x
2t 2 1 d t 2 (1 )d t 2 2 1 t 1 t