第二类换元法
第二类换元法三角代换
第二类换元法三角代换第二类换元法三角代换是高等数学中的一种重要的求解方法，它可以将一些复杂的三角函数积分转化为简单的代数函数积分，从而简化计算过程，提高求解效率。
本文将详细介绍第二类换元法三角代换的原理、步骤和应用。
一、原理第二类换元法三角代换的原理是将三角函数中的自变量用一个新的三角函数代替，从而将原积分式子转化为一个更简单的形式。
具体来说，设原积分式为：∫f(sin x,cos x)dx则进行第二类换元法三角代换，令：t=tan(x/2)则有：sin x=2t/(1+t^2)cos x=(1-t^2)/(1+t^2)dx=2dt/(1+t^2)将上述代换带入原积分式中，得到：∫f(2t/(1+t^2),(1-t^2)/(1+t^2))×2dt/(1+t^2)这样，原积分式就被转化为了一个只含有代数函数的积分式，可以通过代数方法求解。
二、步骤进行第二类换元法三角代换的步骤如下：1.观察原积分式，确定是否适合进行第二类换元法三角代换。
2.令t=tan(x/2)，将sin x和cos x用t表示。
3.将dx用dt表示。
4.将代换后的式子带入原积分式中，得到只含有代数函数的积分式。
5.通过代数方法求解积分式。
三、应用第二类换元法三角代换在求解三角函数积分中有着广泛的应用。
例如，对于以下积分式：∫sin^3 x cos^2 x dx可以通过第二类换元法三角代换来简化计算。
具体来说，令t=tan(x/2)，则有：sin x=2t/(1+t^2)cos x=(1-t^2)/(1+t^2)dx=2dt/(1+t^2)将上述代换带入原积分式中，得到：∫(2t/(1+t^2))^3((1-t^2)/(1+t^2))^2×2dt/(1+t^2)化简后得到：∫(16t^3-24t^5+10t^7-1)/(16t^2+16)dt这样，原积分式就被转化为了一个只含有代数函数的积分式，可以通过代数方法求解。
微积分第二类换元法
凑微分法
说明(2)
积分中为了化掉根式是否一定采用三角 代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况 来定,但目的还是要去根号.
例4 求
1 dx . x 1 e
解 令 t 1 e x e x t 2 1,
2t x lnt 1, dx 2 dt , t 1 1 1 2 1 dx 2 dt dt x 1 e t 1 t 1 t 1
a2 x2 a x
2 2
可令 x a sin t ; t (
x2 a2
, ); 2 2 可令 x a tant; t ( , ); 2 2 可令 x a sec t ; t (0, ). 2
思考
1. x x a dx
2 2
2.
ax dx ax
解（二） 令 u x ,
dv cos xdx d (sin x),
x cos xdx xd (sin x) x sin x sin xdx
x sin x cos x C .
udv uv vdu
利用分部积分法求不定积分的关键是：合 理地选择u(x) 选择u(x)的有效方法:FDMSZ选择法
作业:P133 第3,4题
二、分部积分法 x 问题 xe dx ?
解决思路 利用两个函数乘积的求导法则.
设函数u u( x ) 和v v ( x )具有连续导数,
uv uv uv,
uv uv , uv
或d (uv) udv vdu, 所以得udv=d(uv)-vdu
例2 求
1 dx (a 0). 2 2 x a
不定积分第二类换元法题目
不定积分第二类换元法题目换元法是积分学中使用最广泛的一种方法，它的本质是利用两种形式的变量之间的关系来求解不定积分的问题。
作为一类特殊的不定积分，称为不定积分第二类，第二类换元法就是应用这种不定积分解题的手段。
一般来说，在第二类换元法求解不定积分问题时，首先要把待求积分式转换为一阶微分式，其次把微分式中的自变量更换为另外一种形式，即换元式，最后求解换元式，从而解出不定积分式的解析解。
以下是一个典型的第二类换元法解题例子：求解：$$int frac{sin x}{1+cos x}dx$$解：将不定积分式转换为一阶微分式：$$frac{d(1+cos x)}{dx}=sin x$$引入另外一种形式的自变量替换：$$cos x=t,~dx=-frac{dt}{sin x}$$把原式换元：$$begin{aligned}int frac{sin x}{1+cos x}dx&=-int frac{dt}{t+1}&=-ln|t+1|+Cend{aligned}$$将换元式中变量替换回原来的形式：$$ln|1+cos x|+C$$以上便是利用第二类换元法解题的具体过程，可以看出，第二类换元法可以有效地解决不定积分类问题，其实在积分学中，还有其他一些方法可以用来求解更复杂的不定积分问题，比如积分变换、积分可分离和换元法等。
之所以把换元法分为不同的类别，是因为它的应用范围是不一样的；当某一类问题中存在多种解法时，也会根据其具体情况进行划分类别。
比如，第一类换元法是用来求解同角变换不定积分，而第二类换元法则是利用不同余弦变换解不定积分。
此外，第二类换元法还可以用来解决一些复杂的不同余弦变换的不定积分问题，比如：$$int sqrt{1+cos x+cos^2 x}dx$$由前面的变换可得：$$1+cos x +cos^2 x=frac{1+t}{1-t}$$由此，可以把这个式子以$ t=cos x $的形式变为：$$begin{aligned}int sqrt{frac{1+t}{1-t}}dt&=int frac{1+t}{sqrt{1-t^2}}dt &=frac{1}{2}ln|1-t^2|+Cend{aligned}$$将变量替换为原式中的形式，即$$frac{1}{2}ln|1-(cos x)^2|+C$$以上便是第二类换元法解题的过程，可以看出，换元法确实是一种有效的解题方法，它可以在不定积分的解题中发挥重要作用，但还有一些其他的解题方法，比如积分可分离和积分变换也是解决不定积分类问题中不可或缺的一种手段。
《微积分》第二节 不定积分的第二类换元积分法
dx a sec t tan t d t
∴ 原式
a sect tan t a tan t
dt
sect d t
ln sec t tan t C1
t
ln
x a
x2 a2 a
C1
x2 a2
(C C1 ln a)
当x a 时 , 令 x u , 则 u a , 于是
du u 2 a2 ln u
2
,
2
sec tdt ln| sect tan t | C1
ln
x a
ln( x
x2 a
a2
C1
x2 a2 ) C.
x2 a2
x
t a
(C C1 ln a)
例4. 求
解:
当x
a时,
令
x
a sec t
,
t
(0,
π 2
)
,
则
x2 a2 a2 sec2 t a2 a tan t
x5 dx
1 x2
t2 1 2
t tdt
t 4 2t 2 1 dt
1 t5 2 t3 t C 1 (8 4x2 3x4 ) 1 x2 C.
53
15
例6 求
1 dx. 1 ex
解 令 t 1 e x e x t 2 1,
x lnt2 1,
dx
t
2t 2
是单调可导函数 , 且
具有原函数 , 则有换元公式
其中 t 1( x) 是 x (t)的反函数 .
证: 设 f [ (t)] (t)的原函数为 (t) , 令 F ( x) [ 1( x) ] (t) f [ (t)] (t)
则
换元法第二类换元法
1 a
arctan
x a
C;
(21)
x2
1
a
2
dx
1 2a
ln
xa xa
C;
(22)
1 dx arcsin x C;
a2 x2
a
(23)
1 dx ln x x2 a2 C.
x2 a2
(24)
1 dx ln x x2 a2 C.
x2 a2
说明: 当遇到
时, 先将
2
2
例7. 求
解:
I
1 2
d (2x) 1 ln 2x (2x)2 32 2
4x2 9 C
(P203 公式 (23) )
例8. 求
解: 原式
dx
ex d x
ex 1 e2x
1 e2x
d ex arcsin ex C 1 e2x (P203 公式 (22) )
例9. 求 解: 原式 =
ln
a2 x x2 a2
C1
(C C1 2ln a)
2 倒代换
当分母的阶较高时, 可采用倒代换 x 1.
1
t
例4
求
x(
x7
dx 2)
解
令
x
1 t
dx
1 t2
dt ,
x(
1 x7
dx 2)
1
t 7
2
1 t2
dt
1
t
6
2t
7
dt
t
1 ln | 1 2t 7 | C 1 ln | 2 x7 | 1 ln | x | C.
(2) a2 x2 (3) x2 a2
可令x a tant; 可令x a sec t.
定积分换元积分法的不同换元方法
一、定积分的换元积分法概述定积分的换元积分法是计算定积分的一种重要方法，其主要思想是通过变量替换的方式将原积分转化为一个更容易求解的形式。
这种方法在解决复杂的定积分问题时具有较大的实用价值，因此对于不同的换元方法的掌握和熟练应用显得尤为重要。
二、常见的换元方法在定积分的换元积分法中，常见的换元方法包括但不限于以下几种：1. 第一类换元法：直接代入法直接代入法是指直接将被积函数中的某一个部分用一个变量表示并进行代入的方法。
通常适用于被积函数较简单的情况，能够将原积分转化为一个更容易处理的形式。
2. 第二类换元法：三角代换法三角代换法是指通过选取合适的三角函数来进行变量替换，将原积分转化为三角函数的积分形式。
这种方法通常适用于出现平方根和平方项时的情形，通过选择合适的三角函数可以使原积分变得更加简单。
3. 第三类换元法：指数代换法指数代换法是指通过选取适当的指数函数进行变量替换，将原积分转化为指数函数的积分形式。
这种方法通常适用于出现指数函数和对数函数时的情形，能够将原积分化为更容易处理的形式。
4. 第四类换元法：倒代换法倒代换法是指通过选取合适的变量倒数进行变量替换，将原积分从一个区间转化为另一个区间或者将原积分中的除法项转化为乘法项。
这种方法通常适用于变量之间的换元关系为倒数关系的情形，能够简化原积分的形式。
三、不同换元方法的选用原则在实际应用中，选择合适的换元方法是十分重要的。
一般而言，可以根据以下原则进行选择：1. 根据被积函数的形式选择当被积函数具有特定的形式时，可以根据不同的形式选择对应的换元方法。
如当被积函数中出现三角函数时，可以考虑使用三角代换法；当被积函数中出现指数函数时，可以考虑使用指数代换法。
2. 根据逆变换的便捷性选择在选择换元方法时，通常也要考虑逆变换的便捷性。
换元后新的积分形式是否容易转化回原来的变量，这将影响到最终的计算复杂程度。
3. 根据积分区间的选择当积分区间发生变化时，可以考虑使用倒代换法将原积分转化为更便于处理的形式，从而简化计算过程。
第二类换元法
不定积分 不定积分的第二类换元法
定理 设
是单调可导函数, 且
具有原函数, 则有换元公式
其中 t 1( x)是 x (t)的反函数.
证 设 f [ (t)] (t)的原函数为(t), 令F ( x) [ 1( x)]
则
F ( x)
d dt d t dx
f [ (t)] (t)
1((tt))
a
0
f
(t)d t
a
0
f (x)dx
a
0 [ f ( x) f (x)]dx
令 x t
当 f ( x) f ( x)时
当 f ( x) f ( x)时
暨南大学珠海学院苏保河主讲
例4 填空
2
sin 5x cos 7 x d x
2
0.
例5 填空
d dx
x
0
sin100
(
x
t)
d
t
_s_in__10_0_x__
2. 常用基本积分公式的补充 (P203)
暨南大学珠海学院苏保河主讲
例6
求
xd x d x. 3x2 4
解
原式
1 6
d(3 x 2 3x2
4) 4
1 3
3x2 4 C.
例7 求
解
I
1 2
d (2x) 1 ln 2x (2x)2 32 2
4x2 9 C.
暨南大学珠海学院苏保河主讲
x
a
时,
t
2
.
y
∴
原式 = a2
2 cos2 t d t
0
y a2 x2
a2 2
2 0
(1
第二类换元积分法分部积分法
ln 2 x2 x C
2
2
2
辅助三角形ຫໍສະໝຸດ ln 2 x2 x C1 C1 C ln 2
公式 dx ln x a2 x2 C
a2 x2
例3 求不定积分
dx 4x2 3
解 令 x 3 sec u, 则 dx 3 secu tan udu
2
2
原式 1 secudu 2 1 ln secu tan u C 2
原式
u
u 2
1
2udu
u2 11
2 u2 1 du
直接令根式为u， 化根式为有理式
2
(1
1
u2
)du 1
2u
arctan
u
C
2( x 1 arctan x 1) C
dx
例2 求不定积分 3 x 1
直接令根式为u， 化根式为有理式
解 令 u 3 x , 则 x u3, dx 3u2du
例2 求不定积分 xaxdx
udv uv vdu
解 令 u x, dv axdx
则 du dx,
a
a
dx arcsin x C(a 0)
a2 x2
a
dx ln | x x2 a2 | C x2 a2
dx ln | x x2 a2 | C x2 a2
◆公式的直接应用
例1
dx 1
d( 3x)
1 arcsin 3x C
5 3x2 3 ( 5)2 ( 3x)2 3
原式 xsin x sin xdx
xsin x cos x C
u 与 dv 的选择原则
v 1、 可求；
2、 vdu 可求，
或较易求
若令 u cos x, dv xdx
不定积分的第二类换元法
不定积分的第二类换元法不定积分的第二类换元法，也称为变换型积分法，是求解某些复杂不定积分问题的一种重要方法。
它的核心思想是通过引入新的变量替换原积分式中的自变量，从而将原积分转化为形式更简单的积分式。
通过适当的变换可以简化积分的计算过程，使得原本难以求解的积分问题变得可行。
第二类换元法的基本步骤如下：1.首先，观察被积函数的形式，尝试找到适合的新的变量来代替原积分中的自变量。
通常可以根据被积函数的特点，选择适当的变换方法。
比如，当被积函数中出现平方根、指数函数、三角函数等形式时，可以考虑使用适当的换元方法。
2.其次，根据选择的新变量进行变换。
这里需要根据换元法的不同种类进行具体分析。
变换后的积分式可能比原式更简单，也可能更加复杂。
但是通过适当的变换，可以使得原本难以求解的积分问题变得可行。
3.然后，对于变换后的积分式，进行必要的代数运算。
这可能包括合并分式、分配开来等操作，以达到简化积分的目的。
4.最后，根据变换后的积分式求解不定积分。
这里需要利用基本的不定积分公式，以及特定函数的积分性质进行计算。
在具体计算过程中，需要注意变换后的新变量与原变量之间的关系，并进行适当的替换。
需要注意的是，不定积分的第二类换元法并非适用于所有问题，它仅仅是求解一部分特殊问题的方法之一。
对于一些特殊的积分问题，可能需要结合其他方法（如分部积分法、换元积分法等）进行求解。
举个例子来说明第二类换元法的具体应用：考虑求解不定积分∫(2x+1)√(2x+1)dx。
这里，我们可以选择新的变量u=2x+1来代替原式中的自变量x。
进行变换后，积分式变为∫√u du。
根据换元后的积分式，我们可以轻松求解得到积分的结果：(2/3)u^(3/2) + C，其中C为常数。
再将u=2x+1代回原始变量x，最终得到不定积分的结果：(2/3)(2x+1)^(3/2) + C。
通过上述例子可以看出，第二类换元法使原先较为复杂的积分问题变得简单易解。
第二类换元法
2 2
dx 例12： ∫ 1 + e x
指数代换
解: 令 e x = t , x = ln t
1 1 d ln t dt = ∫( − )dt =∫ 原式= ∫ t 1+ t t (1 + t ) 1+ t
= ln t − ln(1 + t )
= x− ln(1 + e x ) + C
x −a a
2
2
x
x −a
2
2
t
a
2
+ C1 +C
= ln x + x − a
2
(C = C1 − ln a )
当x < − a 时 , 令 x = − u , 则 u > a , 于是
∫
dx
x2 − a2
= −∫
du
u2 − a2
= − ln u + u 2 − a 2 + C1
= − ln − x + x 2 − a 2 + C1 = − ln
a2
− x − x2 − a2
2 2
+ C1
= ln x + x − a
x > a 时， ∫
+ C (C = C1 − 2 ln a )
2 2
dx
x −a
2 2
= ln x + x − a
+C
倒代换 分母次数较高时 dx 例10. ∫ 7 x( x + 2) 1 解: 令 t = x 1 d t 6 dt 1 d (1 + 2t 7 ) t =− ∫ = −∫ 原式= ∫ 7 14 1 + 2t 7 1 + 2t 1 1 ( 7 + 2) t t
不定积分的第二类换元积分法
dt t C
x 回代： arcsin C a
>>>
例7 求
解
1 a 2 x 2 dx
(a 0)
原式
x a tant
1 (a sec t )2 d (a tant )
1 1 dt t C a a 1 x 回代： arctan C a a
（ 2） 求 解
dx
dx 4x2 9
4x2 9 dx
(2 x) 2 32
1 d ( 2 x) 2 (2 x) 2 32
1 ln 2 x 4 x 2 9 C 2
（ 3） 求 解
xdx 2x x2 xdx
2x x2
( x 1)dx 2x x
6t 2 t 2 1 1 dt 6 dt 2 2 1 t 1 t
1 6 1 dt 6[t arctant ] C 2 1 t
6[6 x arctan6 x ] C
根式代换(去根式) 1 dx 例4 求 1 ex
第四章
第三节
不定积分
不定积分的换元积分法
主要内容：
第二类换元法.
内 容 回 顾
一、第一类换元法
定理1(换元积分公式)
设 F 是 f 的一个原函数, u=(x)可导, 则有
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u )du ] f [ ( x)] ( x)dx
F [ ( x)] C
2 2
a 2 x 2 dx a 2 a 2 sin 2 t a costdt
2
定积分第一类换元法和第二类换元法
定积分是微积分中的重要概念，通过定积分我们可以求解曲线与坐标轴之间的面积、体积以及质心等问题。
在求解定积分时，换元法是一种常用且有效的方法。
换元法分为第一类换元法和第二类换元法，它们在不同类型的积分计算中发挥着重要作用。
下面我们将分别介绍这两种换元法的原理和应用。
一、第一类换元法1.1 换元法简介第一类换元法，又称代换法或变量代换法，是对定积分中被积函数中的变量进行替换，将原来的积分变为更容易求解的积分。
其基本思想是通过引入适当的新变量，将被积函数中的复杂部分转化为简单的形式，从而便于积分计算。
1.2 换元法的步骤（1）寻找合适的变量替换：根据被积函数的形式和特点，选择适当的新变量代替原来的变量。
（2）计算新变量的微分：对新变量进行微分，求出新变量的微分表达式。
（3）将被积函数用新变量表示：将原来的积分中的被积函数用新变量表示出来，得到新的积分形式。
（4）进行积分计算：对新的积分形式进行计算，得出最终结果。
1.3 换元法的应用第一类换元法常用于代换型积分，如含有根式、三角函数等形式的积分。
通过合适的变量替换，可以将原积分化为简单的形式，从而便于求解。
二、第二类换元法2.1 换元法简介第二类换元法，又称参数代换法或极坐标代换法，是通过引入参数来替换被积函数中的自变量，从而实现对原积分的简化。
这种换元法常用于解决平面曲线和曲面的面积、弧长以及质心等问题。
2.2 换元法的步骤（1）引入参数：选择适当的参数替换自变量，通常选择直角坐标系下的参数形式或极坐标系下的参数形式。
（2）表达被积函数：将原来的被积函数用参数表示出来，并求出新的被积函数。
（3）进行积分计算：对新的被积函数进行积分计算，得出最终结果。
2.3 换元法的应用第二类换元法常用于参数型积分，如平面曲线、曲面以及柱面体的面积、弧长和质心的计算。
通过引入参数替换自变量，可以将原积分化为简单的形式，从而便于求解。
三、第一类换元法和第二类换元法的比较3.1 适用范围（1）第一类换元法适用于一般的代换型积分，如含有根式、三角函数等形式的积分；（2）第二类换元法适用于参数型积分，如平面曲线、曲面以及柱面体的面积、弧长和质心的计算。
不定积分换元法公式
不定积分换元法公式不定积分换元法是求解不定积分中常用的一种方法，它通过引入一个新的变量替换原积分中的变量，从而将原积分转化为新的不定积分，进而更容易求解。
不定积分换元法公式主要包括两种形式：第一类换元法和第二类换元法。
接下来，我将详细介绍这两种形式的公式及其应用。
一、第一类换元法：第一类换元法是通过引入一个新的变量来替换原不定积分中的变量，一般选择不定积分的变量作为新变量的导数。
设新变量为u = g(x)，则原不定积分可表示为∫f(x)dx = ∫h(u)du，其中h(u)为f(x)与g(x)之间的关系。
此时，需要求出u关于x的导数du/dx，并应用链式法则来完成变量替换和求导。
公式如下：∫f(x)dx = ∫h(u)du = ∫h(g(x))g'(x)dx二、第二类换元法：第二类换元法是通过引入一个新的变量来替换原不定积分中的一部分表达式，一般选择积分中的一部分表达式作为新变量的导数。
设新变量为u = g(x)，则将表达式f(x)dx进行替换，可得∫f(x)dx =∫g'(x)h(u)du，其中g'(x)为新变量u关于x的导数，h(u)为f(x)dx与g'(x)之间的关系。
此时，需要求出u关于x的导数du/dx，并应用链式法则来完成变量替换和求导。
公式如下：∫f(x)dx = ∫g'(x)h(u)du通过以上两种换元法，可以将原不定积分转化为新的不定积分，然后利用新的不定积分公式及基本积分公式进行求解。
下面举例说明这两种换元法的应用。
（1）第一类换元法的应用：求解∫(2x + 1)²dx。
设u = 2x + 1，则du/dx = 2将du/dx代入原式，并将原积分中的x用u表示∫(2x + 1)²dx = ∫u² * (1/2)du = (1/2) * ∫u²du = (1/2) * u³/3 + C = (1/6)(2x + 1)³ + C。
第一类积分换元法和第二类积分换元法的区别
第一类积分换元法和第二类积分换元法的
区别
积分换元法是微积分中求解不定积分的一种方法。
它主要有两种类型，分别是第一类积分换元法和第二类积分换元法。
第一类积分换元法：第一类积分换元法也称为代换法，它主要是通过将一个变量替换为另一个变量，使得原来较为复杂的积分问题变得简单。
这种方法通常需要选择一个适当的代换函数来实现变量的替换。
例如，设u = g(x) 为代换函数，那么dx = g'(x) du，从而原积分问题转化为u 的积分问题。
第一类积分换元法适用于积分函数中包含某个函数及其导数的情形。
第二类积分换元法：第二类积分换元法也称为分部积分法，它主要用于处理两个函数的乘积形式的积分。
这种方法基于微积分中的分部积分公式，即：对于两个可导函数u(x) 和v(x)，有∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx。
通过适当选择u(x) 和v'(x)，可以将原积分问题简化为一个更容易处理的积分问题。
第二类积分换元法适用于积分函数是两个函数乘积的形式，且其中一个函数的积分或导数容易求得。
总之，第一类积分换元法和第二类积分换元法都是积分
问题中的重要方法，它们分别适用于不同类型的积分问题。
选择合适的方法可以帮助我们更高效地求解积分。
第二类换元法常见类型总结
第二类换元法常见类型总结摘要：一、第二类换元法简介二、第二类换元法常见类型1.单一变量换元2.多元变量换元3.参数换元4.逆换元三、应用实例及解题步骤四、注意事项与技巧五、总结与展望正文：一、第二类换元法简介第二类换元法是数学分析中的一种方法，主要用于求解复杂数学问题。
它通过对变量进行替换，将原问题转化为更简单的问题，从而达到求解原问题的目的。
第二类换元法不同于第一类换元法，它是在积分过程中进行的，可以有效地简化积分的计算过程。
二、第二类换元法常见类型1.单一变量换元单一变量换元是指在积分过程中，将一个较难处理的变量替换为一个容易处理的变量。
这种换元方法可以降低问题的难度，使积分过程更加简洁。
例如，在积分过程中，我们可以将复杂的函数形式换成简单的形式，从而提高积分效率。
2.多元变量换元多元变量换元是指在积分过程中，将多个变量替换为一个新的变量。
这种换元方法可以简化积分过程，使得问题更容易处理。
例如，在多变量函数的积分中，我们可以通过换元将多个变量合并为一个新变量，从而降低问题的复杂度。
3.参数换元参数换元是指在积分过程中，将一个或多个变量替换为参数。
这种换元方法可以使积分过程更加直观，有助于发现积分公式。
例如，在积分过程中，我们可以通过参数换元法，将复杂的函数形式转换为简单的形式，进而求解问题。
4.逆换元逆换元是指在积分过程中，将替换过的变量重新替换回原变量。
这种换元方法在求解问题时，可以恢复原变量的值。
例如，在积分过程中，我们可以通过逆换元法，将换元后的积分结果转换回原变量，从而得到最终的积分结果。
三、应用实例及解题步骤以下以一个具体实例来说明第二类换元法的应用：例：求积分∫(x^2 + 3x + 2)dx解：1.选择换元变量：令u = x^2 + 3x + 2，则原函数可以表示为∫u dx。
2.求出原函数：对u 求导得到du = 2x + 3，所以原函数为F(u) = 1/2 *u^2 + 3/2 * u + C。
第一类换元和第二类换元
第一类换元和第二类换元【导读】在高等数学中，换元法是解决复杂问题的一种常用方法。
第一类换元和第二类换元都是换元法的两种常见形式。
本文将深入探讨这两种换元方法，并通过实例加深理解，帮助读者掌握这两种重要的数学技巧。
【正文】一、第一类换元第一类换元是指以“新变量=旧变量”为基础的换元法。
其基本思想是通过引入一个新的自变量，使得被积函数在新的自变量下形式简化，从而更容易进行积分运算。
首先，我们需要确定合适的换元变量，使得被积函数的形式更加简单。
然后，通过求导和代换等操作，将原函数转化为新自变量的函数。
最后，根据新的函数形式进行积分计算，得到最终结果。
下面通过一个实例来说明第一类换元的具体过程。
例1：计算定积分∫(x^2+1)/(x+1)dx。
首先，我们观察到被积函数中的分子(x^2+1)和分母(x+1)的次数相同。
因此，我们可以尝试以x+1为新的自变量。
令x+1=t，即x=t-1。
然后，对x求导，得到dx=dt。
将变量代换回原函数，得到∫((t-1)^2+1)/t dt。
简化后的被积函数为∫(t^2-2t+2)/t dt。
通过分解为部分分式，我们得到∫(t-2+2/t)dt。
接下来，我们可以分别对三个部分进行积分，然后将结果合并。
∫t dt=t^2/2；∫-2dt=-2t；∫2/t dt=2ln|t|。
将三个积分结果相加，得到∫(t-2+2/t)dt=t^2/2-2t+2ln|t|+C。
最后，将t代换回x+1，即得到原函数的积分结果。
第二类换元第二类换元是指以“新变量=函数”为基础的换元法。
其基本思想是通过引入一个新的函数，将原函数转化为新函数的形式，从而简化积分运算。
首先，我们需要选取合适的换元函数，使得原函数可以转化为换元函数的复合形式。
然后，通过求导和代换等操作，将原函数转化为新函数的形式。
最后，根据新函数的形式进行积分计算，得到最终结果。
下面通过一个实例来说明第二类换元的具体过程。
例2：计算定积分∫x^2√(1+x^3)dx。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x 1 2
目录
C
下页 返回 结束
机动
上页
2. 求不定积分
2sin x cos x 1 sin x dx 2 2 sin x
2
解： 利用 凑微分法, 得 原式 =
1 sin 2 x 2 2 sin x
d(1 sin x )
2
令 t 1 sin2 x
2t 2 1 d t 2 (1 )d t 2 2 1 t 1 t
2 2 ,
), 则
x 2 a 2 a 2 tan2 t a 2 a sec t
dx a sec2 t d t
∴ 原式
a sec2 t
a sec t
d t sec t d t
ln sec t tan t C1
x2 a2 x ) ln( a a
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例17.求
解:令 x a sin t , t (
a 2 x 2 dx (a 0)
,
a x dx a cos t d t t 2 2 ∴ 原式 a cos t a cos t d t a cos t d t 2 2 a x t sin 2t 2 a C 2 4 x a2 x2 sin 2t 2sin t cos t 2 a a x 1 a2 2 2 arcsin x a x C a 2 2
2)
2x 3 1 2 x x2
2 3 x 1 C 3 (2 2 x ) 5 dx dx 2
1 2x x
d(1 2 x x 2 ) 1 2 x x2
2
5
d( x 1) 2 ( x 1)2
2 1 2 x x 5arcsin
二、第二类换元法
第一类换元法解决的问题
f [ ( x )] ( x )dx f (u)du
难求 易求 若所求积分
u ( x)
f [ ( x )] ( x )dx
则得第二类换元积分法. 常用的第二类换元法有
f (u)du 难求，
易求,
三角代换，倒代换，根式代换
机动 目录 上页 下页 返回 结束
t
也可令 x a tan t ( t (
,0) (0, )), 2 2
a 2t 2 1
dt
1 d(a 2 t 2 1) 2 2a a 2t 2 1
1 2 a 2t 2 1 C a
当 x < 0 时, 类似可得同样结果.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
t4 1 原式 2 2a
2 2 2 2 d( a t 1) ( a t 1)
3 2
1 2
(a 2 t 2 1) C 2 3a
当 x < 0 时, 类似可得同样结果.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例21.求
1 解:令 x ( x 0), 得 t
原式
2
1 2
2
机动
目录
上页
下页
返回
结束
dt
a tan t x2 a2 ln sec t tan t C1 t x x2 a2 ln C1 a a (C C1 ln a )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
sec t d t
当 x a 时, 令
x u,
du u a
2 2
(1)
(2)
f ( x , n ax b )dx, 令 t n ax b
ax b ax b n f (x , n )dx , 令 t cx d cx d
2 2
第 四 节 讲
(3)
(4)
f (x ,
a x )dx ,令 x a sin t 或 x a cos t
例22
1 1 e
x
dx
解： 令 1 e x ＝t 1, 则 1 e x＝t 2 ,
2t 从而 dx 2 dt , t 1 2 原式 2 dt t 1 t 1 ln | | C t 1
ln | 1 ex 1 1 e 1
x
| C
小结:
1. 第二类换元法常见类型:
2 2 2 2 2 2 2 a x a a sin t a cos t
), 则
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例18.求 解: 当 x a 时 , 令 x a sec t , t ( 0,2 2 2 2 2 Nhomakorabea
2
), 则
∴ 原式
x a a sec t a a tan t d x a sec t tan t d t a sec t tan t
定理 2.设
是单调可导函数, 且 具有原函数, 则有换元公式
其中 t 1 ( x) 是 x (t )的反函数.
证: 设 f [ (t )] (t )的原函数为 ( t ), 令
F ( x ) [ ( x )]
1
(t ) f [ (t )] (t )
则
F ( x )
f ( x)dx F ( x ) C [
1 d dt f ( x) f [ ( t )] ( t ) (t ) dt dx
1
( x )] C
1 1 f[t ] [ (tC )] )d t t x) t(t ( x()
x2 a2
C1
t a
x
(C C1 ln a )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
a2 x2 例20.求 dx 4 x 也可令 x a sin t (t ( , 0) (0, )), 2 2 1 解: 令 x , 则 t 1 2 a 2 1 1 t dt 2 2 2 原式 ( a t 1) t dt 2 1 t
f ( x , a 2 x 2 )dx , 令 x a tan t 或 x a sh t
(5)
f ( x , x 2 a 2 )dx , 令 x a sec t 或 x a ch t
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(6) 分母中因子次数较高时, 可试用 倒代换
2. 基本积分公式 (二)
则 u a , 于是
2 2
ln u u a
C1
ln x x 2 a 2 C1
ln a2 x x2 a2 C1
(C C1 2ln a )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例19.求
解:令 x a tan t , t (
机动
目录
上页
下页
返回
结束
下页
例23.求 解:原式
1 d x 1) d ( x 2 ( x 1) ( 2 2 )2
1 2
arctan
x1 2
C
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例24.求
解:原式 =
d(
2
1 x 2)
( 5 )2 ( x 1 )2
2
例25.求 解:原式
2( t arctan t ) C
2 1 sin 2 x arctan 1 sin 2 x C
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3. 求不定积分
解: 令 x sin t , 1 x 2 1 sin2 t , d x cos t d t 原式 分子分母同除以 cos t
dx e 2 x (1 e 2 x )
e x d x 1 e 2 x
de x 1 e 2 x
arcsin e x C
机动 目录 上页 下页 返回 结束
备用题 1.求下列积分:
1)
x
2
1 dx 3 x3 1
1
1 x 1
3
d( x 3 1)