能量原理与变分法1

E
2(1
)
1 2
e2
(
2 x
2 y
2 z
)
1 2
(
2 yz
2 zx
2 xy
)dxdydz
将上式对6个应变分量分别求导，再与应力表示的物理方程比较， 可得：
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10
U1
x
x,
U1
y
y,
U1
z
z,
U1
yz
yz ,
U1
zx
zx,
U1
xy
xy
表明：弹 力性 分体量的。应变能密度对于任一应变分量的改变率，就等于相应的应
1 2
(ui, j
u j,i )
问 （3）物理方程
题
ij
1 E
(1 )ij
kkij
（4）边界条件
ijni X j
ui ui
应力边界条件； 位移边界条件；
2020/7/28
求解方法：
（1）按位移求解 基本方程：
（a）以位移为基本未知量 的平衡微分方程;
（b）边界条件。 （2）按应力求解
基本方程： （a）平衡微分方程； （b） 相容方程； （c） 边界条件。 （3）混合解法 求解特点：
3. 应变能的应变分量表示
用应变表示的物理方程：
ij kkij 2Gij
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代入应变能密度公式，
U1
1 2
(
x x
y y
z z
yz
yz
zx
zx
xy
xy )
并整理可得：
U1
E
2(1
)
1 2
e2
Baidu Nhomakorabea
(
2 x
2 y
2 z
)
1 2
(
2 yz
2 zx
2 xy
)
U U1dxdydz
U
yz
yz
zx
zx
xy
xy
)
整个弹性体的应变能：
U U1dxdydz
U
1 2
x x y y z z yz yz zx zx xy xy dxdydz
若用张量表示：
应变能密度： 2020/7/28
U1
1 2
ij ij
整体应变能：
U
1 2
ij
ij
dxdydz 7
2. 应变能的应力分量表示
（变分原理）确定其最优解。 —— 将问题转变为求解大型的线性方程组。 —— 有限单元法、边界元法、离散元法 等
典型有限元软件： ANSYS，MARC，ADINA，SAP，NASTRAN， ABAQUS 等；
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5
§1 弹性体的变形能（应变能）
1. 变形能的一般表达式
P
单向拉伸：
外力所做的功： W 1 Pl 2
x —— 自变量； y —— 因变量；
固体力学非线性数值方法
西安交通大学航天航空学院 宋亚勤
yqsong@mail.xjtu.edu.cn
2013年9-10月
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1
第一章弹性力学简介
第二节：能量原理与变分法
1、弹性体形变势能
2、泛函与变分
3、位移变分方程
—— 最小势能原理、里兹（Ritz）法、
伽辽金（Galerkin）法 4、应力变分方程
由于在静载（缓慢加载）条件下，其 它能量损失很小，所外力功全部转化杆件 O 的变形能（或应变能）U：
l0
l l
P
x
U
W
1 2
Pl
1 2
P A
l l
(lA)
1 2
x
x
(lA)
杆件的体积
令：
U1
1 2
x x
2—020—/7/28单位体积的变形能（应变能）， 称为应变能密度。
6
三向应力状态：
一点的应力状态： x , y , z , yz , zx, xy
4. 应变能的位移分量表示
将几何方程代入应变能的表达式，得：
U
E
2(1
)
1 2
u x
v y
w z
2
u x
2
v y
2
w z
2
1 2
w y
v z
2
u z
w x
2
v x
u y
2
dxdydz
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§2 泛函与变分
（1）函数与泛函的概念：
函数： y f (x)
—— 最小余能原理、卡氏（Castigliano）定理
5、自然变分原理和广义变分原理
6、弹性力学修正变分原理
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2
1. 弹性力学问题的微分提法及其解法： 从研究微小单元体入手，考察其平衡、
变形、材料性质，建立基本方程：
（1）平衡微分方程
ij,i X j 0
（2）几何方程
定 解
ij
（a）以位移为基本未知量，得到最小势（位）能原理等。—— 位移法
（b）以应力为基本未知量，得到最小余能原理等。
—— 力法
（c）同时以位移、应力、应变为未知量， 广义（约束）变分原理。
求解方法：
—— 混合法
里兹（Ritz）法、 伽辽金（Galerkin ）法、 最小二乘法、力矩法等。
有限单元法、边界元法、离散元法 等数值解法。
在线弹性的情况下，由物理方程：
ij
1 E
(1 )ij
kk ij
代入应变能密度公式，整理得应变能密度的表达式：
U1
1 2E
(
2 x
2 y
2 z
)
2
(
x
y
y
z
z
x
)
代入应变能公式，有：
2(1
)(
2 yz
2 zx
2 xy
)
U U1dxdydz
1 2E
(
2 x
2 y
2 z
)
2 ( x y
y z
（a） 归结为求解联立的微 分方程组；
（b） 难以求得解析解。
3
2. 弹性力学问题的变分提法及其解法：
直接处理整个弹性系统，考虑系统的能量关系，建立一些泛函的 变分方程，将弹性力学问题归结为在给定约束条件下求泛函极（驻） 值的变分问题。
基本思想： 在所有可能的解中，求出最接近于精确解的解；
将定解问题转变为求解线性方程组。 弹性力学中的变分原理 —— 能量原理 （变分解法也称能量法）
z x )
2(1
)(
2 yz
2 zx
2 xy
)
dxdydz
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将应变能密度分别对6 个应力分量求导，并将其结果与物理方程比较，得：
U1
x
x,
U1
y
y,
U1
z
z,
U1
yz
yz ,
U1
zx
zx,
U1
xy
xy
表明：弹性体的应变能密度对于任一应力分量的改变率，就等于相应的应 变分量。
由能量守恒原理，形变势能的值与弹性体受力的次序 无关，只取决于最终的状态。
假定所有应力分量与应变分量全部按比例增加（线弹 性），此时，单元体的应变能密度：
zy xy
z zx yxy
xz yz
x
U1
1 2
x
x
1 2
y y
1 2
z
z
1 2
yz
yz
1 2
zx
zx
1 2
xy
xy
1 2
(
x x
y
y
z z
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4
3. 弹性力学问题的数值解法： （a）直接求解联立的微分方程组（弹性力学的基本方程） 基本思想： 将导数运算近似地用差分运算代替；
将定解问题转变为求解线性方程组。 实质：将变量离散。—— 有限差分法； 典型软件：FLAC
（b）对变分方程进行数值求解
基本思想：将求解区域离散， 离散成有限个小区域（单元）， 在小区域（单元）上假设可能解，最后由能量原理