能量原理与变分法1
变分法原理
变分法原理变分法是一种用于求解泛函和微分方程问题的数学方法。
它通过对一个函数进行微小的变化，并计算出在这个微小变化下泛函的变化量，从而得到泛函的极值。
变分法在物理学和工程学等领域有广泛的应用，如优化问题、经典力学中的作用量原理以及量子力学中的路径积分等。
要理解变分法的原理，首先需要了解泛函的概念。
泛函是一种将函数映射到实数集上的函数，例如能量泛函、作用泛函等。
对于一个给定的泛函，我们希望找到使其取得最大或最小值的函数。
而变分法就是一种通过对函数进行微小变化，从而使得泛函的变化量趋于零的方法。
以最简单的泛函问题为例，考虑一个函数y(某)在区间[a,b]上的泛函J，即J[y(某)]，例如J[y]=∫(a到b)F(某,y,y')d某，其中F是已知的函数，y'表示导数。
我们的目标是找到函数y(某)，使得泛函J[y(某)]取得极值。
为了寻找这样的函数，我们引入一个变分函数δy(某)，它表示函数y(某)关于自变量某的微小变化量。
于是，我们可以将函数y(某)写成y(某)+εδy(某)，其中ε是一个小的实数。
然后，将变分函数代入泛函中得到J[y(某)+εδy(某)]。
将J[y(某)+εδy(某)]展开成泛函J[y(某)]关于ε的幂级数，取一阶项，得到J[y(某)+εδy(某)]≈J[y(某)]+ε∫(a到b)(∂F/∂y)δyd某+ε∫(a到b)(∂F/∂y')δy'd某。
由于δy(某)是任意的，我们要使得泛函J[y(某)+εδy(某)]的变化量趋于零，只需使得∂F/∂y- d/d某(∂F/∂y')=0，即Euler-Lagrange方程。
根据Euler-Lagrange方程解出δy(某)，再令δy(某)的边界条件为零，即δy(a)=δy(b)=0。
这样，我们就可以得到函数y(某)的特解。
总结起来，变分法的原理是将函数表示为原函数与微小变化的函数之和，将其代入泛函中展开，并取一阶项，最后通过求解Euler-Lagrange 方程得到特解。
变分原理与能量原理的异同
变分原理与能量原理的异同
变分原理与能量原理是理论物理中常用的两种数学方法，用于解决自然界中的物理问题。
它们在某些方面有异同之处。
相同点：
1. 都是用数学方法描述物理系统的特性和运动规律，是理论物理中的基本原理。
2. 都基于对系统的整体行为进行建模和分析，而不关注系统内部的微观细节。
3. 都基于最小作用量原理，即假设系统在其运动路径上使得某个作用量（如拉格朗日量或哈密顿量）取得极小值。
4. 都能够推导出物理系统的方程或运动方程，从而预测系统的行为和性质。
异同点：
1. 理论基础不同：能量原理基于系统的能量守恒定律，通过分析系统的能量和功的转化来描述系统的运动规律；而变分原理则基于作用量最小原理，通过对系统的作用量进行优化来描述系统的运动规律。
2. 数学形式不同：能量原理通常使用能量函数（如哈密顿量）进行描述，通过
求解该函数的极值来得到系统的方程式；而变分原理使用变分法，通过将系统的作用量表达式进行变分，从而找到使其取得极值的函数形式。
3. 应用领域不同：能量原理常常应用于经典力学领域，如牛顿力学和哈密顿力学；而变分原理则更广泛地应用于物理学的各个领域，如量子力学、场论和统计物理等。
总的来说，变分原理与能量原理在基本原理、数学形式和应用范围等方面存在一些异同。
它们各自适用于不同的物理系统和问题，并在理论物理研究中发挥着重要的作用。
能量原理与变分法
1 M e 2
Ml M Me , EI z
土木工程与力学学院 · 罗文波
7
弹塑性力学
组合变形情况下杆件的变形能： 在所截取的微段内，可 以认为内力为常量。轴 力、剪力、弯矩、扭矩 对微段来说是处于外力 位置。所以
d U dW
整个杆的变形能
1 1 1 1 FN d( l ) M d T d kFQ d 2 2 2 2 2 2 FN d x M 2 d x T 2 d x kFQ d x 2 EA 2 EI z 2GI p 2GA
土木工程与力学学院 · 罗文波
3
弹塑性力学
变形能的计算：
F1、F2 Fn 如果弹性体上作用几个广义力（包括力偶）， 1、 2 n ，那么 产生相应的广义位移（包括角位移）
非线性弹性体的变形能：
U W 0 Fi d i
i 1 n i
线性弹性体的变形能：
1 1 1 U W F1 1 F2 2 Fn n 2 2 2
弹塑性力学
能量原理与变分法
土木工程与力学学院 · 罗文波
弹塑性力学
§12-1 外力功 变形能
外力功：弹性体在外力作用下发生变形，于是外力的作用 点将沿外力的作用方向产生位移（相应位移）。外力在相 应位移上所作的功称为外力功。 变形能：在外力作功的同时，弹性体因变形而具有了作功 的能力，即弹性体因变形而储存了能量。这种能量称为变 形能。 外力功和变形能的关系：若外力从零平缓地增加到最终值， 则变形中的弹性体每一瞬时都处于平衡状态，故其动能和 其它能量损失不计，于是认为全部外力共都转变成变形能。 即： W U 能量法：利用外力功和变形能的概念，建立分析变形、位 移、内力的原理和方法，称为能量法。
第11章 能量原理与变分法
将（11-4）及式（c）代入，得
U x u y v z w yz w v y z z x y （d） zx u w xy v u dxdydz x y z x 对每一项进行分部积分，并应用奥斯特洛格拉斯公式，可得 x u d x d y d z u d x d y d z x x x x x udxdydz x l x udS udxdydz x
U1 U1 U1 x， y， z x y z 11 2 U1 U1 U1 yz， zx， xy yz zx xy 弹性体的比能对于任一应力分量的改变率，等于相应的形变分量。
第十一章 能量原理与变分法 来自
§11.1 §11.2 §11.3 §11.4 §11.5 §11.6 §11.7 §11.8 §11.9 §11.10
弹性体的形变势能 位移变分方程 位移变分法 位移变分法应用于平面问题 应力变分方程 应力变分法 应力变分法应用于平面问题 应力变分法应用于扭转问题 解答的唯一性 功的互等定理
x x y y z z yz yz zx zx xy xy dxdydz
代入位移变分方程（11-6）式
X u Y v Z w dxdydz X u Y v Z w dS dxdydz
实际存在的位移，满足位移边界条件、用位移分量表示的平衡微 分方程和应力边界条件、位移变分方程。位移变分方程可以代替平 衡微分方程和应力边界条件。
4. 伽辽金变分方程 根据几何方程，形变分量的变分为
能量原理及其变分法
S V
于是
进一步证明可知， 2P 2U 2W 0
对于稳定平衡状态，总势能为极小值。
P 0
第四章 能量原理及其变分法
于是得出最小势能原理：
第四章 能量原理及其变分法
在整个变形体内，各微元体满足
x xy X 0 x y yx y Y 0 x y
y dy __ Y
xy
xy dy y 2
x
在变形体边界处，各微元体满足
xl xy m X 0 xy l y m Y 0
o
x dx y dy ds __ x 2 dx X y y 2 xy dx xy x 2 yx y dy dy yx y dy y y x x dx x Y x xy X
xy yx
xy
dx
§ 4-3 最小势能原理
按照能量守恒定律，应变能的增加，即总虚应变能或应变
能的变分δ U，应等于外力的总虚功δ W，即 U W 其中，外力总虚功为实际的体积力和表面力在相应的虚位移 上所做的功，即 W X u Y v Z w ds X u Y v Z w dV
X u Y v ds X u Y v dV
x
x
y y xy xy dV
S
V
V
第四章 能量原理及其变分法
所以
x xy xy y X u Y v dV x y y x V
【精品】5.能量法1(变分法)ppt9.tmp
4 ,bx ,xn Φ= sb1h1v1w bx ,bx 3
已将Z积出，Vy，vz在出口为零？。
s U 4 ,bx ,xn = ,bx ,xn =4 w bx ,bx sb0 h0 v0 w bx ,bx 3 c 3
4 ,bx ,xn σ s vRbn hn w bx ,bx 3
5 能量法(变分法)-以里兹近似解法为基础
基本解析步骤
设定运动许可速度或位移场（自变函数）,满足给定边界条件.
把其写成含有几个待定参量的数学式 ?（里兹多项式）
以变分原理建立相应泛函.使其为这些待定参量的多元函数。 求出这些泛函的积分结果;
对待定参量求偏导并令其为零
构成以这些待定参量为变量的联立方程组。 将解得的待定参量带回原泛函的泛函最小值 令泛函最小值与外功相等确定力能参数.
摩擦功率
N f = 4
2
l
0 0
bx
l bx Δv f σs τ f Δv f ds = 4 mU 1+hx2dxdy 0 0 U 3
2 bx y vR 1+ hx Δv f = U + 2 U chxbx chx bx Ubx y U sec + vR 2 ch b ch b x x x x
2 hx bx hx 1 hx I= - 2 hx hx bx hx 2
hx h1 R R 2 l x
2
1 1 Nd = 4 U P x dx 3 2 0
σs
, bx , x Px bx , bx
F d F d 2 F 2 0 dx bx bx dx bx
能量原理与变分法
最小势能原理
• 内力虚功
物体是弹性的，则单位体积内的内力虚功
对于整个弹性体
内力虚功＝应变能因虚位移而引起的改变
• 外力虚功
如果作用的外力是保守力，大小和方向都不变，只是作用点的位置改变
外力虚功＝外力势能因虚位移而引起的改变
将上述结果代入虚功原理，得位移变分原理
称为弹性体的总势能，它是应变能与外力势能之和
变形可能态
➢ 在物体内位移与应变满足几何方程
➢ 在位移边界Su上，满足位移边界条件
ud=
vd=
wd=
变形协调
静力可能状态（s）和变形可能状态（d）是同一物体的两种不同的 受力状态和变形状态，两者可以彼此完全独立而没有任何关系
静力可能状态的应力所给出的变形一般不满足变形协调 变形可能状态给出的应力一般不满足平衡微分方程
使用位移法求解，应力、应变等都通过几何方程和物理方程看作是 位移的函数。
若位移及与之相应的应力与应变满足： （1）单值连续（由它给出的应变满足变形协调条件）， （2）位移边界条件， （3）平衡微分方程， （4）静力边界条件， 则该位移就是问题的解，即为真实位移。
仅满足前两个条件的位移场是变形可能的位移场，而后两个条件等价于虚位移 原理。 故 求解弹性力学问题又可叙述为： (1)在所有变形可能的位移场中，寻找所给出的应力能满足虚位移原理的位移场 。 或者 (2) 真实的位移场除必须是变形可能的位移外，它所给出的应力还应满足虚位 移原理。
➢ 从弹性体的真实状态出发产生虚位移，所引起的总势能变分应为零， 即在真实状态总势能取极值。
➢ 对于处于稳定平衡的真实状态，应是取最小值， ➢ 最小势能原理：在所有变形可能的位移中，使总势能达到最小值的位
移，就是真实的位移。
能量原理与变分法1
2
2
2
2
1 w v u w v u 2 y z z x x y
2019/4/13
dxdydz
11
§2
函数：
泛函与变分
x —— 自变量； y —— 因变量； x —— 自变量； y —— 为一变函数，泛函的宗量； f ( x) F —— 为函数 y 的泛函；
2019/4/13 2
1. 弹性力学问题的微分提法及其解法： 从研究微小单元体入手，考察其平衡、 变形、材料性质，建立基本方程： （1）平衡微分方程
求解方法： （1）按位移求解 基本方程： （a）以位移为基本未知量 的平衡微分方程; （b）边界条件。 （2）按应力求解 基本方程： （a）平衡微分方程； （b） 相容方程； （c） 边界条件。
2019/4/13 10
U1 U1 U1 y, z, x, y z x U1 U1 U1 yz , xy zx , yz xy zx
弹性体的应变能密度对于任一应变分量的改变率，就等于相应的应 表明： 力分量。
2019/4/13 5
§1
单向拉伸：
弹性体的变形能（应变能）
P l0
1. 变形能的一般表达式
外力所做的功：
W 1 Pl 2
O
由于在静载（缓慢加载）条件下，其 它能量损失很小，所外力功全部转化杆件 的变形能（或应变能）U：
l l
P
x
U W 1 Pl 1 P l (lA) 2A l 2 1 x x (lA) 2
是函数取极值的必要条件。
2019/4/13
U 0
是泛函取极值的必要条件。
弹性力学 能量原理与变分法
U1
x
x
,
U1
y
y
,
U1
z
z
U1
yz
yz
,
U1
zx
zx
,
U1
xy
xy
3
比能对应变分量的偏导
U1
x
x
,
U1
y
y
,
U1
z
z
U1
yz
yz
,
U1
zx
zx
,
U1
xy
xy
二 形变势能
由于应力分量和形变分量，进而比能U
都是位置
1
坐标的函数，所以整个弹性体的形变势能 U为：
U
1
2 U1dxdydz
上的已知位移；um 、vm、wm 为边界值等于零的设定 函数，Am、Bm、Cm为待定的系数，位移的变分由它们
的变分来实现。
10
位移分量的变分是
δ u umδ Am ,δ v vm δ Bm ,δ w wmδ Cm
m
m
m
应变能的变分为
δ U
( U Am
δ
Am
U Bm
δ
Bm
U Cm
δ
Cm )
xy
比能用应力分量表示
U1
1 2E
2 x
2 y
2 z
2 y z z x x y
2 1
2 yz
2 zx
2 xy
2
比能用应变分量表示
U1
E
21
1
2
e2
2 x
2 y
2 z
1 2
2 yz
2 zx
2 xy
弹塑性力学能量原理与变分法
U = U ( y ( x) ) = y1 − y = δy
U max
δU = 0
1
函数 y 也有一增量： Δy 泛函 U 也有一增量：
（2）球下落问题 球从位置1下 落至位置2，所需 时间为T，
ΔU = U [ y1 ( x)] − U [ y ( x)] = δU
f ( x)
函数的增量δy 、泛函的增量 δU 等 称为变分。 研究自变函数的增量与泛函的增量 间关 系称为变分问题。 当
[
]
（e）
Vε = ∫∫∫ vε dxdydz
2 2 = 1 ∫∫∫ (σ x +σ y + σ z2 ) − 2 μ (σ xσ y + σ yσ z + σ zσ x ) 2E 2 2 2 + 2(1 + μ )(τ yz + τ zx + τ xy ) dxdydz
[
]
（11-1） 将式（e）分别对6 个应力分量求导，并将其结果与物理方程比较，得：
（a）以位移为基本未知量， 得到最小势（位）能原理等。—— 位移法 （b）以应力为基本未知量，得到最小余能原理等。 —— 力法
（c）同时以位移、应力、应变为未知量， 得到 广义（约束）变分原理。 求解方法： —— 混合法 里兹（Ritz）法，伽辽金（Galerkin ）法， 加权残值（ 余量）法等。 —— 有限单元法、边界元法、离散元法 等数值解法的理论基础。
§11-1 弹性体的形变势能
1. 形变势能的一般表达式
单向拉伸： 外力所做的功： P P l0
W = 1 PΔl 2
O
由于在静载（缓慢加载）条件下， 其它能量损失很小，所外力功全部转化 杆件的形变势能（变形能） Vε ：
变分法求基态能量的步骤课件
04
变分法求基态能量 的具体步骤
建立物理模型
确定系统的哈密顿量
01
首先需要确定所研究系统的哈密顿量，包括粒子的动能和势能
等。
确定边界条件
02
根据系统的实际情况，确定边界条件，如粒子在边界上的行为
等。
确定基态能量
03
基态能量是系统最低可能的能量状态，需要通过变分法求解。
02
变分的计算方法包括一阶变分、 二阶变分等，用于研究函数的极 值和稳定性等问题。
泛函的极值与变分法
泛函的极值
泛函在给定约束条件下的最大值或最 小值。
变分法
通过求解泛函的极值问题，得到满足 约束条件的函数，从而得到系统的最 优解或基态解。
03
变分法在物理中的 应用
基态能量的定义
基态能量
系统最低的能量状态，即系统处于稳定平衡时的能量。
理论发展
随着变分法的不断完善和发展，它 已经成为一种成熟的数学工具，为 解决复杂问题提供了有力支持。
变分法的发展历程
起源
变分法的起源可以追溯到17世纪，当 时微积分学刚刚兴起，一些数学家开 始研究用微积分的方法解决最优化问 题。
发展
应用
随着各领域的实际问题需要解决，变 分法的应用越来越广泛，推动了各领 域的发展。
将基态波函数代入哈密顿量中，求解 得到基态能量。
验证结果
验证求解得到的基态能量是否符合实 际情况，如不符合则需重新进行变分 求解。
05
变分法求基态能量 的实例分析
一维无限深势阱的基态能量求解
一维无限深势阱是一个理想模型，用于描述粒子在一维空间 中的运动。通过变分法，我们可以求解出粒子在一维无限深 势阱中的基态能量。
变分法(能量原理)
y
y
yz
z
) v ( zx
x
zy
y
z
z
)
w
dV
( xl xym xzn) u ( yxl ym yzn) v ( zxl zym zn) w dS
S
(Px u Py v Pz w) dS
S
V
(
x x
xy y
xz z
X ) u ( yx x
y y
yz z
Y ) v ( zx x
zy y
z z
Z
)
w
A1
B1
B1
0
A1
0
0
B1
Eab
2(1
2
)
(
A1
B1
)
q1ab
Eab
2(1
2
)
(
B1
A1
)
q2
ab
A1
q1
E
q2
B1Βιβλιοθήκη q2E
q1
u
q1
q2
E
x
v
V
S
( X u Y v Z w)dV (Px u Py v Pz w)dS
V
S
由于虚位移而产生的虚变形能为：
变分原理和基态能量
变分原理和基态能量变分原理是应用数学中的一种方法，用于解决极值问题。
在物理学中，变分原理被广泛应用于研究系统的基态能量。
本文将从理论和应用两个方面探讨变分原理与基态能量的关系。
一、变分原理的基本概念和原理变分原理是对函数的极值问题进行求解的一种方法。
它通过对函数进行微小的变化，然后利用极值点的性质来求得函数的极值。
变分原理的关键在于选取合适的变分函数和边界条件。
根据变分原理，我们可以将一个函数视为一个整体，而不仅仅是一系列离散的数值。
通过对函数引入适当的变分函数，然后求解变分函数的极值，我们可以得到原函数的极值。
二、基态能量的概念和意义基态能量是指系统在最低能级时具有的能量。
在量子力学中，基态能量是系统最稳定和最低能量的状态。
研究系统的基态能量对于了解系统的稳定性和行为具有重要意义。
基态能量的计算涉及到系统的波函数和哈密顿算符。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到系统的波函数，进而计算出基态能量。
三、变分原理与基态能量的关系变分原理在研究基态能量时起到了重要的作用。
通过变分法，我们可以从整体上考虑系统的波函数的变化，从而更准确地计算系统的基态能量。
在应用变分原理求解基态能量时，我们首先选择一个适当的变分函数，然后求解该变分函数对应的极值，即找到使得变分函数取极小值的波函数。
这个波函数就是系统的基态波函数，基态能量可以由此得到。
通过变分原理求解基态能量的好处在于，我们不需要事先知道系统的确切波函数形式。
通过选择合适的变分函数，我们可以逼近真实的波函数，并得到较为准确的基态能量。
四、变分原理和基态能量的应用变分原理和基态能量的概念和方法在物理学的各个领域都有着广泛的应用。
在量子力学中，变分原理被用来求解系统的基态能量，从而研究原子、分子和凝聚态物理的性质和行为。
在固态物理学中，变分原理被用来研究晶体和材料的基态能量，从而探索材料的电子结构和导电性等性质。
在统计物理学中，变分原理被用来分析系统的基态能量和热力学性质，从而研究相变、磁性和量子统计效应等现象。
变分基本知识及变分法
第一章 变分原理与变分法1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则）一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理：昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理；对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。
变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。
Examples :① 光线最短路径传播；② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）；③CB AC EB AE +>+Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理；在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。
二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方法），是计算泛函驻值的数学理论数学上的泛函定义定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间的（映射）关系特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→⊂r J )(|}Examples :① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间 数域‖A ‖1 = ∑=ni ij ja 1max ；∑=∞=nj ij ia A 1max；21)(1122∑∑===n j ni ij a A② 函数的积分： 函数空间数域 D ⊂=⎰n ba n f dxx f J )(Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。
Discussion ：① 判定下列那些是泛函：)(max x f f b x a <<=；x y x f ∂∂),(； 3x+5y=2； ⎰+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。
物理问题中的泛函举例① 弹性地基梁的系统势能i. 梁的弯曲应变能： ⎰=∏l b dx dxw d EJ 0222)(21ii. 弹性地基贮存的能量： dx kw l f ⎰=∏0221 iii. 外力位能： ⎰-=∏l l qwdx 0iv. 系统总的势能：000;})({221222021===-+=∏⎰dxdww x dx qw kw dxw d EJ l泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系统势能。
变分基本知识及变分法
第一章 变分原理与变分法1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则）一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理：昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理；对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。
变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。
Examples :① 光线最短路径传播；② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）；③CB AC EB AE +>+Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理；在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。
二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方法），是计算泛函驻值的数学理论数学上的泛函定义定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间的（映射）关系特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→⊂r J )(|}Examples :① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间 数域‖A ‖1 = ∑=ni ij ja 1max ；∑=∞=nj ij ia A 1max；21)(1122∑∑===n j ni ij a A② 函数的积分： 函数空间数域 D ⊂=⎰n ba n f dxx f J )(Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。
Discussion ：① 判定下列那些是泛函：)(max x f f b x a <<=；x y x f ∂∂),(； 3x+5y=2； ⎰+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。
物理问题中的泛函举例① 弹性地基梁的系统势能i. 梁的弯曲应变能： ⎰=∏l b dx dxw d EJ 0222)(21ii. 弹性地基贮存的能量： dx kw l f ⎰=∏0221 iii. 外力位能： ⎰-=∏l l qwdx 0iv. 系统总的势能：000;})({221222021===-+=∏⎰dxdww x dx qw kw dxw d EJ l泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系统势能。
07能量原理与变分法
11. 能量原理与变分法
在复杂应力状态下，设弹性体受有全部六个应力分量 sx 、sy 、sz 、
tyz 、tzx、txy。根据能量守恒定理，形变势能的多少与弹性体受力的次序
无关，而完全确定于应力及变形的最终大小。弹性体的应变能密度
1 ve s xe x s ye y s ze z t yz yz t zx zx t xy xy 2
能量原理与变分法可以满足位移边界条件即在该问题中并没有应力边界条件因此可以认为所设位移既然满足了位移边界条件也就满足了全部边界条件这就可以应用伽辽金法求解使数学运算比较简单一些
弹性力学
ELASTICITY
11. 能量原理与变分法
11.1 弹性体的应变能
变分法：
研究泛函及其极值的求解方法。 泛函：以函数为自变量的一类函数，即函数的函数。 弹性力学变分法的本质就是把弹性力学基本方程的定解问题，变为 求泛函的极值问题，而在求问题的近似解时，泛函的极值问题又变成函 数的极值问题，因此，最后把问题归结为求解线性代数方程组。 弹性力学变分法中研究的泛函就是弹性体的能量（应变能、外力势 能等）。 弹性力学中的变分法又称能量法。能量法是有限单元法的重要基础。
2 2 2
2
2
2
2
d xd yd z
弹性力学
ELASTICITY 余能
11. 能量原理与变分法
应力-应变关系为线性时，余能密度在数值上等于应变能密度，即
1 vc ve s xe x s ye y s ze z t yz yz t zx zx t xy xy 2
—— 位移变分方程或拉格朗日变分方程。 利用变分的性质
δVe δ ve dxdydz δve dxdydz
第2章 能量原理和变分法
v u v u v u + 2v ( ) + (1 v)( + ) ( + )]dxdy y Bmn x x y Bmn x y
将位移试函数代入求导数后再积分
U = Amn U = B mn
a b
∫∫
0 0 a b
m πx nπy Fbx sin sin d xd y b a m πx nπy Fby sin sin dxdy a b
虚应力方程
∫∫
Su
u i δσ ij n j dS = ∫∫∫ ε ij δσ ij dV
V
δσij在位移边界引起的面力称为虚面力
——δFsi
§2.5 最小余能原理
总余能
变分形式
Et ' = ∫∫∫ U `0 dV ∫∫ u i Fsi dS = ∫∫∫ U `0 dV ∫∫ u i σ ij n j dS
第二章 能量原理和变分法
偏微分方程求解的困难 能量原理的应用 变分法 变分法数学基础
§2.1 应变能
外力功——变形体的能量关系 应变能 （密度）
dU 0 = σ ij dε ij
＝σ x dε x + σ y dε y + σ z dε z + τ xy dγ xy + τ yz dγ yz + τ xzγ xz
2 2 2 a b
如果体力已知，积分可求待定系数Amn和Bmn
§2.4 虚力原理
根据弹性体的稳定平衡状态与经过虚位移 而到达的邻近状态的比较，得到了真实位移 使得总势能取最小值的结论 ——最小势能原理。 假如问题分析的基本未知量不是位移，而 是应力分量。 ——能量泛函中的应力变分
σ ij
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x —— 自变量； y —— 因变量；
（a）以位移为基本未知量，得到最小势（位）能原理等。—— 位移法
（b）以应力为基本未知量，得到最小余能原理等。
—— 力法
（c）同时以位移、应力、应变为未知量， 广义（约束）变分原理。
求解方法：
—— 混合法
里兹（Ritz）法、 伽辽金（Galerkin ）法、 最小二乘法、力矩法等。
有限单元法、边界元法、离散元法 等数值解法。
—— 最小余能原理、卡氏（Castigliano）定理
5、自然变分原理和广义变分原理
6、弹性力学修正变分原理
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2
1. 弹性力学问题的微分提法及其解法： 从研究微小单元体入手，考察其平衡、
变形、材料性质，建立基本方程：
（1）平衡微分方程
ij,i X j 0
（2）几何方程
定 解
ij
z x )
2(1
)(
2 yz
2 zx
2 xy
)
dxdydz
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8
将应变能密度分别对6 个应力分量求导，并将其结果与物理方程比较，得：
U1
x
x,
U1
y
y,
U1
z
z,
U1
yz
yz ,
U1
zx
zx,
U1
xy
xy
表明：弹性体的应变能密度对于任一应力分量的改变率，就等于相应的应 变分量。
3. 应变能的应变分量表示
用应变表示的物理方程：
ij kkij 2Gij
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代入应变能密度公式，
U1
1 2
(
x x
y y
z z
yz
yz
zx
zx
xy
xy )
并整理可得：
U1
E
2(1
)
1 2
e2
(
2 x
2 y
2 z
)
1 2
(
2 yz
2 zx
2 xy
)
U U1dxdydz
U
4. 应变能的位移分量表示
将几何方程代入应变能的表达式，得：
U
E
2(1
)
1 2
u x
v y
w z
2
u x
2
v y
2
w z
2
1 2
w y
v z
2
u z
w x
2
v x
u y
2
dxdydz
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§2 泛函与变分
（1）函数与泛函的概念：
函数： y f (x)
（a） 归结为求解联立的微 分方程组；
（b） 难以求得解析解。
3Байду номын сангаас
2. 弹性力学问题的变分提法及其解法：
直接处理整个弹性系统，考虑系统的能量关系，建立一些泛函的 变分方程，将弹性力学问题归结为在给定约束条件下求泛函极（驻） 值的变分问题。
基本思想： 在所有可能的解中，求出最接近于精确解的解；
将定解问题转变为求解线性方程组。 弹性力学中的变分原理 —— 能量原理 （变分解法也称能量法）
1 2
(ui, j
u j,i )
问 （3）物理方程
题
ij
1 E
(1 )ij
kkij
（4）边界条件
ijni X j
ui ui
应力边界条件； 位移边界条件；
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求解方法：
（1）按位移求解 基本方程：
（a）以位移为基本未知量 的平衡微分方程;
（b）边界条件。 （2）按应力求解
基本方程： （a）平衡微分方程； （b） 相容方程； （c） 边界条件。 （3）混合解法 求解特点：
由能量守恒原理，形变势能的值与弹性体受力的次序 无关，只取决于最终的状态。
假定所有应力分量与应变分量全部按比例增加（线弹 性），此时，单元体的应变能密度：
zy xy
z zx yxy
xz yz
x
U1
1 2
x
x
1 2
y y
1 2
z
z
1 2
yz
yz
1 2
zx
zx
1 2
xy
xy
1 2
(
x x
y
y
z z
固体力学非线性数值方法
西安交通大学航天航空学院 宋亚勤
yqsong@
2013年9-10月
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1
第一章弹性力学简介
第二节：能量原理与变分法
1、弹性体形变势能
2、泛函与变分
3、位移变分方程
—— 最小势能原理、里兹（Ritz）法、
伽辽金（Galerkin）法 4、应力变分方程
由于在静载（缓慢加载）条件下，其 它能量损失很小，所外力功全部转化杆件 O 的变形能（或应变能）U：
l0
l l
P
x
U
W
1 2
Pl
1 2
P A
l l
(lA)
1 2
x
x
(lA)
杆件的体积
令：
U1
1 2
x x
2—020—/7/28单位体积的变形能（应变能）， 称为应变能密度。
6
三向应力状态：
一点的应力状态： x , y , z , yz , zx, xy
yz
yz
zx
zx
xy
xy
)
整个弹性体的应变能：
U U1dxdydz
U
1 2
x x y y z z yz yz zx zx xy xy dxdydz
若用张量表示：
应变能密度： 2020/7/28
U1
1 2
ij ij
整体应变能：
U
1 2
ij
ij
dxdydz 7
2. 应变能的应力分量表示
（变分原理）确定其最优解。 —— 将问题转变为求解大型的线性方程组。 —— 有限单元法、边界元法、离散元法 等
典型有限元软件： ANSYS，MARC，ADINA，SAP，NASTRAN， ABAQUS 等；
2020/7/28
5
§1 弹性体的变形能（应变能）
1. 变形能的一般表达式
P
单向拉伸：
外力所做的功： W 1 Pl 2
E
2(1
)
1 2
e2
(
2 x
2 y
2 z
)
1 2
(
2 yz
2 zx
2 xy
)dxdydz
将上式对6个应变分量分别求导，再与应力表示的物理方程比较， 可得：
2020/7/28
10
U1
x
x,
U1
y
y,
U1
z
z,
U1
yz
yz ,
U1
zx
zx,
U1
xy
xy
表明：弹 力性 分体量的。应变能密度对于任一应变分量的改变率，就等于相应的应
在线弹性的情况下，由物理方程：
ij
1 E
(1 )ij
kk ij
代入应变能密度公式，整理得应变能密度的表达式：
U1
1 2E
(
2 x
2 y
2 z
)
2
(
x
y
y
z
z
x
)
代入应变能公式，有：
2(1
)(
2 yz
2 zx
2 xy
)
U U1dxdydz
1 2E
(
2 x
2 y
2 z
)
2 ( x y
y z
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3. 弹性力学问题的数值解法： （a）直接求解联立的微分方程组（弹性力学的基本方程） 基本思想： 将导数运算近似地用差分运算代替；
将定解问题转变为求解线性方程组。 实质：将变量离散。—— 有限差分法； 典型软件：FLAC
（b）对变分方程进行数值求解
基本思想：将求解区域离散， 离散成有限个小区域（单元）， 在小区域（单元）上假设可能解，最后由能量原理