平面汇交力系合成的解析法
平面汇交力系的合成与平衡
tan Fy Fy 122.3 0.501
Fx
Fx 243.91
方向角α=26.6°，合力的指向为第一象限。
机械工程基础
解： （1）选比例尺，如图所示。 （2）将F1、F2、F3首尾相接得到力多边形abcd，其封闭边矢量ad就是合
力矢量FR。量得ad的长度，得到合力FR＝1650N，FR与x轴夹角α＝16º21′。
平面力系
例2.2 一钢管放置在V形槽内如图a所示，已知：管重 P=5kN，钢管与槽面间的摩擦不计，求槽面对钢管的约束 力。 解：取钢管为研究对象，钢管受到的主动力为重力P和约 束力为FNA和FNB，汇交于O点，如图b所示。
F1
O F2
F4 F3
F1
O
B F2
FR
C
F3
D
F4
E
平面力系
（2）汇交力系的合成结果 共点力系可以合成为一个合力，合力作用在力系
的公共作用点，它等于这些力的矢量和，并可由此 力系的力多边形的封闭边表示。
矢量的表达式： FR= F1+ F2+ F3+ ···+ Fn
F1
O F2
F4 F3
F1
O
B F2
平面力系
解法一：选比例尺，令ab=P，bc=FNA，ca=FNB，将各力矢量 按其方向依次进行首尾相连得封闭的三角形abc，如图c所示。 量取bc边和ca边的边长，按照比例尺转换成力的单位，则槽面 对钢管的约束力为
FNA =bc=3.2kN FNB =ca=4.4kN
解法二：绘制力多边形如图2-4c所示，再利用三角关系的
FR
FR
C
F3
D
F4
E
平面力系
平面汇交力系合成与平衡的几何法
BA
BC
解得 F F 11.35kN
BA
BC
选压块C
F ix
0
FCB cosθ FCx 0
解得 F F cotθ Fl 11.25kN
2 Cx
2h
F iy
0
F CBsin FCy 0
解得 FCy 1.5kN
例2-6
已知: F=1400N, θ 20 , r 60mm
O
Oy
Ox
y
x
M
O
F R
M
O
F i
M F OR
x F
i
iy
y F
i
ix
例2-1 已知： P=20kN，R=0.6m, h=0.08m: 求：
1.水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？ 2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？
3.力F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力F多大？
求：此力系的合力。
解：用解析法
FRx F ix F1 cos30 F2 cos60 F3 cos45 F4 cos45 129.3N
F Ry
F iy
F sin 30 1
F 2
sin 60
F sin 45 3
F 4
sin 45
112.3N
解： CD为二力杆，取踏板
由杠杆平衡条件
F cos yB F sin xB FCD l 0
解得
FCD
F
cos
yB
l
知识点2：平面力系
知识点2：平面力系一、平面汇交力系的合成与平衡的几何法(1)平面汇交力系的合成用力多边形法则，合力的大小和方向由力多边形的封闭边来表示，其作用线通过各力的汇交点，即合力等于力系中各力的矢量和，即∑=+++=F F F F F n R 21(2)平面汇交力系的平衡平面汇交力系平衡的必要和充分的几何条件是力多边形自行封闭。
即0==∑F F R二、平面汇交力系的合成与平衡的解析法1．力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影等于力的模乘以力与投影轴正向间夹角的余弦，如图2-1所示，它是一标量，即θcos F F x =； θβs i n c o s F F y == （2-1）图2-1 图2-22．力沿坐标轴的分解力沿坐标轴的分力是一矢量，其合力与分力之间应满足力的平行四边形公理。
如图2-2所示。
力沿坐标轴分解的分力的大小为xyxyx)sin(sin βθβ+=F F x ； )s i n (s i nβθθ+=F F y（2-2）由此可见，在一般情况下，力沿坐标轴分解的分力的大小不等于力在坐标轴上投影的大小。
当2πβθ=+时，在同一坐标上分力的大小和投影相等，如图2-3所示。
（a ）（b ）图2-33．合力投影定理合力在某轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和，即∑=x Rx F F ； ∑=y Ry F F（2-3）当投影轴x 与y 垂直时，其合力的大小与方向为22RyRx R F F F +=，R RxR F F =),cos(i F ，RRy R F F =),cos(j F （2-4）4．平面汇交力系的合成当两坐标轴间的夹角为2π时有2222)()(∑∑+=+=y x Ry Rx R F F F F F（2-5）RxR F F∑=),cos(i F ，RyR F F∑=),cos(j F5．平面汇交力系的平衡 由几何法知0=R F代入前面的代数表达式有0)()(2222=+=+=∑∑y x Ry Rx R F F F F Fx F y即0=∑xF；0=∑yF（2-6）平面汇交力系平衡的解析条件是力系中各力在两个坐标轴中每一轴上的投影的代数和均等于零。
2-2平面汇交力系合成的解析法
一、力的分解
将一个力分解为两个分力的过程称为力的分解。
力的分解是力的合成的逆运算。 我们常把已知力分解成两个方向互相垂直的分力。
力的分解：
y
Fy
F
F x F co sθ
O
F y F sin
Fx
x
二、力在坐标轴上的投影
y
B
b´
Fy
F
Fx
a´
F
F F
2 x
2 y
Fy tan Fx
Байду номын сангаас
式中， 为力F与 x轴的夹角。
例2-1 如下图所示，已知F1=10KN， F2=20KN，F3=30KN，F4=40KN，求图示中 各力的投影。
y
F1 F2 O F3 F4 x
三、平面汇交力系合成的解析法
各力在x 轴上投影：
F1x ab F2 x bc F3 x dc
Fy
F F sin 30 F sin 60 F sin 45 F sin 45 112.3N iy 1 2 3 4
F Fx2 Fy2 171.3N
Fy tan 0.869 Fx
Fy arctan arctan 0.869 41 Fx
Fix Fiy
故合力的大小和方向为：
FR Fx Fy
2 2
Fy tan Fx
F F Fy F
2 ix iy
2
x
式中， 为力F与x轴的夹角。
求：此力系的合力. 例2-2 已知：图示平面共点力系；
解：用解析法
Fx
2016工程力学（高教版）教案：2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法
第二节 平面汇交力系合成与平衡的解析法求解平面汇交力系问题的几何法，具有直观简捷的优点，但是作图时的误差难以避免。
因此，工程中多用解析法来求解力系的合成和平衡问题。
解析法是以力在坐标轴上的投影为基础的。
一、在坐标轴上的投影如图2－5所示，设力F 作用于刚体上的A 点，在力作用的平面内建立坐标系oxy ，由力F 的起点和终点分别向x 轴作垂线，得垂足a 1和b 1，则线段a 1b 1冠以相应的正负号称为力F 在x 轴上的投影，用X 表示。
即X=±a 1b 1；同理，力F 在y 轴上的投影用Y 表示，即Y=±a 2b 2。
力在坐标轴上的投影是代数量，正负号规定：力的投影由始到末端与坐标轴正向一致其投影取正号，反之取负号。
投影与力的大小及方向有关，即⎭⎬⎫=±==±=βαcos cos F ab Y F ab X （2－3） 式中α、β分别为F 与X 、Y 轴正向所夹的锐角。
图2－5反之，若已知力F 在坐标轴上的投影X 、Y ，则该力的大小及方向余弦为⎪⎭⎪⎬⎫=+=F X Y X F αcos 22 （2－4） 应当注意，力的投影和力的分量是两个不同的概念。
投影是代数量，而分力是矢量；投影无所谓作用点，而分力作用点必须作用在原力的作用点上。
另外仅在直角坐标系中在坐标上的投影的绝对值和力沿该轴的分量的大小相等。
二、合力投影定理设一平面汇交力系由F 1、F 2、F 3和F 4作用于刚体上，其力的多边形abcde 如图2－6所示，封闭边ae 表示该力系的合力矢F R ，在力的多边形所在平面内取一坐标系oxy ，将所有的力矢都投影到x 轴和y 轴上。
得X=a 1e 1, X 1=a 1b 1, X 2=b 1c 1，X 3=c 1d 1 ,X 4=d 1e 1由图2－6可知a 1e 1=a 1b 1+b 1c 1+c 1d 1 +d 1e 1即 X=X 1+X 2+X 3+X 4同理 Y=Y 1+Y 2+Y 3+Y 4将上述关系式推广到任意平面汇交力系的情形，得⎭⎬⎫∑=+++=∑=+++=Y Yn Y Y Y X Xn X X X 2121 （2－5）图2－6即合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。
理论力学第二章平面汇交力系与平面力偶系
合力作用点：为该力系的汇交点
2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
(2)平面汇交力系平衡的充要条件： 各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。 ——平面汇交力系的平衡方程
X0,
Y
i 1
n
i
0
只可求解两个未知量
[ 例1 ] 系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小， 已知： P=20kN； 求：系统平衡时，杆AB、BC受力。
解：AB、BC杆为二力杆，
取滑轮B（或点B），画受力图。 用解析法，建图示坐标系
Fix 0
FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0
Fiy 0
FBC F1 cos 30 F2 cos 60 0
F1 F2 P
解得： FBC
27.32kN
②应用合力矩定理
mO ( F ) Fx l F y l ctg
m o (Q ) Q l
[例P28 2-4，习题P38 2-10]
[例2]水平梁AB受按三角型分布的载荷作用，如图所示。 载荷的最大值为q，梁长l ,试求合力作用线的位置。
解：在距A端x 的微段dx上， 作用力的大小为q’dx,其中 q’ 为该处的载荷强度。由图可知 ，q’=xq/l。，因此分布载荷合 力的大小为： l
2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
二、平面汇交力系合成的解析法：
各分力在x轴和在y轴投影的代数 和 等于合力在对应轴上的投影。
FR x X 1 X 2 X 4
X
FR y Y1 Y2 Y3 Y4
Y
i
i
2-1.2平面汇交力系(解析法)
y
600 150 300
B B T E
300 150 0 BC 15 300
C D
x TBD=G
A
TBD
FAB
G
E
• 解题步骤： ①确定研究对象，作研究对象的受力图； ②选定坐标系； ③列平衡方程并求解。 • 指向假设的未知力，若按平衡方程求得 正值，说明其实际方向与假设的相同； 若为负值，则说明其实际方向与假设的 相反，但不需要改变受力图中的指向。
2 x 2 y 2 2
合力R的方向为： Ry 16.65 t an Rx 41.16
16.65 arctan arctan 21.79 Rx 41.16 Ry
由于 Rx ＞0， ＞0，故α在第一象 限，而合力R的作用线通过汇交力系的汇 交点。
Ry
二、平面汇交力系的平衡
TBD=G
A
TBD
FAB G
E
解：1、取滑轮连同重物E为研究对象，受力分析：
2、取汇交点B为坐标原点，建立坐标系： 3、列平衡方程并求解： X= 0 Y= 0 - TBC cos300 - TBD cos450 + FAB cos600= 0 - TBC cos600 - TBD cos450 + FAB cos300-G= 0 FAB = 45 kN TBC = 9.65 kN
如下图，在直角三角形中a为角A的对边 b为角A的邻边 c为三角形的斜边
B c a ┌ A b C
回顾与思考 1
锐角三角函数定义
正弦,余弦,
B
a sin A , c b cos A , c
b sin B , c a cos B , c
c
a
A b ┌ C
解析法求解平面汇交力系
解析法求解平面汇交力系平面汇交力系是指由多个力合成的力系统，其中力的作用面都在同一个平面上，力的合成规律可以通过解析法来求解。
解析法是一种通过数学分析和计算来得到力的合成结果的方法，通过解析法可以求出力的合成结果及合力的大小、方向和作用点位置。
我们需要明确力的合成规律。
在同一平面上的两个力可以用平行四边形法则进行合成，即将两个力按照大小和方向画在同一起点上，然后用平行四边形法则找到它们的合力。
如果有多个力需要合成，可以依次两两合成，直至所有力都合成为一力，这个合力即为平面汇交力系的结果。
接下来，我们以一个具体的例子来说明解析法求解平面汇交力系的过程。
假设有三个力F1、F2和F3，它们的大小、方向和作用点位置分别为100N、30°、点A；80N、150°、点B；120N、270°、点C。
我们要求解这三个力的合力大小、方向和作用点位置。
我们可以使用三角函数将每个力分解为水平方向和垂直方向的分力。
以F1为例，它的水平分力F1x = F1 * cos(30°) = 100N * cos(30°) ≈ 86.6N，垂直分力F1y = F1 * sin(30°) = 100N * sin(30°) ≈ 50N。
同样地，我们可以求得F2和F3的水平和垂直分力。
接下来，我们对水平分力和垂直分力分别进行合成。
水平分力的合力Fx= F1x + F2x + F3x ≈ 86.6N + (-71.6N) + 0N ≈ 15N，垂直分力的合力Fy = F1y + F2y + F3y ≈ 50N + (-69.3N) + (-120N) ≈ -139.3N。
我们可以利用合力的水平和垂直分力来求解合力的大小和方向。
合力的大小F =√(Fx^2 + Fy^2) ≈ √(15N^2 + 139.3N^2) ≈ 140N，合力的方向θ = arctan(Fy/Fx) ≈ arctan(-139.3N/15N) ≈ -81.8°。
平面汇交力系—平面汇交力系合成与平衡的几何法(建筑力学)
2. 任意个汇交力的合成
对任意个汇交力的合成，可逐次应用力三角形法则，将 这些力依次合成，从而求出合力的大小和方向。
F1
F2
F4 F3
F2
F1
F12 F123
F3
FR
F4
注意：力多边形的矢量法则为各分力（F1、F2、F3、F4） 沿着环绕力多边形边界的同一方向首尾相接，而合力FR则 由最初的起点指向最末的终点，为力多边形缺口的封闭边。
平面汇交力系
第一节 平面汇交力系合成与平衡的几何法
在工程实际中，经常遇到平面汇交力系的问题。
平面汇交力系
第一节 平面汇交力系合成与平衡的几何法
一、平面汇交力系合成的几何法
1. 两个汇交力的合成 FR
F1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F2
B F1
A
F2 C FR
ABC称为力的三角形。这种合成方法称为力三角形法则。
平面汇交力系
FR = ΣF = 0 在平衡情况下，力多边形中最后一个力的终点与第一 个力的起点重合（即力多边形的封闭边的长度为零），此 时的力多边形为自行封闭的力多边形。所以，平面汇交力 系平衡的几何条件为：力多边形自行闭合。
第二章 平面汇交力系
平面汇交力系
学习目标：
1.了解平面汇交力系合成与平衡的几何法；掌握平面汇交 力系合成与平衡的解析法。
2. 正确理解合力投影定理，能正确地将力沿坐标轴分解并 求力在坐标轴上的投影。
3. 熟练运用平衡方程求解平面汇交力系的平衡问题。
重点：
力在坐标轴上的投影和平面汇交力系平衡方程的应用。
平面汇交力系
任意变换力的次序，可画出形状不同的力多边形，但 合力FR的大小和方向仍然不变。
结论： 平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的大小和方 向等于原力系中各力的矢量和，合力作用线通过原力系各 力的汇交点。
第二章 平面汇交力系
FB
h
FA FB FA F P
解得
R−h θ = arccos = 30o R
另由图中
FB sin θ = F FA + FB cos θ = P
FA =11.3 kN , FB=10kN
§2-3 平面汇交力系合成的几何条件 （3） 欲将碾子拉过障碍物，求水平拉力F
FB
碾子拉过障碍物时，FA=0 用几何法
第二章 平面汇交力系
§2-3 平面汇交力系平衡的几何条件
§2-3 平面汇交力系合成的几何条件
一、平面汇交力系的平衡条件
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：物体在平 面汇交力系作用下，合力等于零.即力多边形自行封闭 . （各力首尾连接）. r Fi = 0 用矢量表示 物体上受有4个力
∑
§2-3 平面汇交力系合成的几何条件 例2-1 钢梁重量P=6kN，θ=30°,试求平衡时钢丝绳 的约束反力. 解： （1）选钢梁为研究对象
第二章 平面汇交力系
§2-1 工程中的平面汇交力系问题
§2-1 工程中的平面汇交力系问题 汇交力系 作用在物体上各力的作用线相交于一点时，则称这些 力组成的力系为汇交力系 汇交力系. 汇交力系 各力的作用线都在同一平面内，且汇交于一点时，则 称为平面汇交力系 平面汇交力系. 平面汇交力系 工程实例
FR = FRx2 + FRy2
方向
y
FRx
r r cos FR , i =
∑ Fix ( ) F R r r ∑ Fiy cos ( FR , j ) =
FR
FRy
F3 y
F2 y
A
FR
D F3
C
F2
F1 y
F1 B
建筑力学大纲 知识点第三章 平面力系得平衡条件
第3章 平面力系的平衡条件3.1平面汇交力系的合成与平衡条件力系中各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点，这样的力系称为平面汇交力系。
3.1.1 平面汇交力系合成的解析法设作用于O 点的平面汇交力系（F 1，F 2，…，F n ），其合力矢量为R F （图3-2）。
按合力投影定理求合力R F 在x , y 轴上的投影∑∑====ni yiRy ni xiRx F F F F 11y图3-2R F = cos RxRF F α=(3-1) cos Ry RF F β=式中α，β------合力矢量F R 与x 和y 轴的正向夹角。
3.1.2 平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系平衡的必要与充分条件是力系的合力F R 等于零。
10nRx xi i F F ===∑10nRy yii F F===∑ (3-2)于是，平面汇交力系平衡的必要与充分条件可解析地表达为：力系中所有各力在两个坐标轴上投影的代数和分别为零。
式(3-2)称为平面汇交力系的平衡方程。
3.2平面力偶系的合成与平衡条件3.2.1 平面力偶系的合成应用力偶的等效条件，可将n 个力偶合成为一合力偶，合力偶矩记为M 。
∑==ni i M M 1(3-3)3.2.2 平面力偶系的平衡条件平面力偶系平衡的必要与充分条件：力偶系中所有各力偶的力偶矩的代数和等于零,即 10nii M M===∑ (3-4)3.3平面任意力系的合成与平衡条件3.3.1工程中的平面任意力系问题力系中各力的作用线在同一平面内，且任意地分布，这样的力系称为平面任意力系。
3.3.2 平面任意力系向一点的简化 主矢和主矩如图3-7（a ）所示。
在力系作用面内任选一点O ，将力系向O 点简化，并称O 点为简化中心。
i ′图3-7由力12,,,n F F F '''L 所组成的平面汇交力系，可简化为作用于简化中心O 的一个力RF '，该力矢量∑==ni i RF F 1'(3-5)R F '称作平面任意力系的主矢。
平面汇交力系解析法
A
9
• 例 如图所示，固定的圆环上作用着共面的三个力，已 知三力均通过圆心。试求此力系合力的大小和方向。
解析法 取如图所示的直角坐标系Oxy
则合力的投影分别为
RxF 1co3s0F2F3co6s04.1k6N RyF 1si3 n0F3si6 n 01.6k5N
由合力投影定理有：
Rx=X1+Xa2+c…- +Xn=X Ry=Y1+Yb2c+…=a+Ybn=Y
R
F2
F1 a b cx
合力：
合力的投影
R R x2 R y2 X 2 Y2 y
tan Ry Y
Rx
Rx X
Ry
R
x
表示合力R与 x轴所夹的锐角，
合力的指向由∑X、∑Y的符A号判定。
6
合力投影定理
i 1 4
F iy F 1 c o s 6 0 o F 2 c o s 3 0 o F 3 c o s 4 5 o F 4 c o s 4 5 o 1 1 2 .3 N
i 1
F R F x 2 F y 2( F ix )2 ( F iy )2
129.32112.32N 171.3N
co sF R ,iF F R xF R F ix1 1 2 7 9 1 ..3 30 .7 5 4 8
A
3
解析法—定量计算合力的大小和方向的方法 一、力在直角坐标轴上的投影
a a2
F
y
α b2
Fx x
a1
α、β为力与x轴和y轴所 夹的锐角， Fy
若已知力F在x、y轴上的投影
《理论力学》张功学 第2章解析
用，F=20 kN，刚架高度 h=4 m，跨度l=8 m，不计刚架自重。
求支座A、D的约束反力。 解：选取刚架ABCD为研究对象。作用在刚架上的力有：
已知力F水平向右；可动铰支座D的约束反力FD垂直向上；根
据三力平衡汇交定理，力F与FD相交于C点，所以铰支座A 处的约束反力FA必沿A、C连线方向。刚架受力情况如图2-2 (b)所示，为一平面汇交力系。
铰接，并用铰链A、C与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，
并忽略摩擦与滑轮的大小，试求平衡时杆AB和BC所受的力。 解：(1) 取研究对象。由于忽略各杆的自重，因此AB、 BC两杆均为二力杆。假设杆AB承受拉力，杆BC承受压力，如 图2-8(b)所示。这两个未知力可通过求两杆对滑轮的约束反力
来求解。因此，选择滑轮B为研究对象。
汇交力系，各力作用于同一点的力系称为平面共点力系，
共点力系是汇交力系的特殊情形。设某刚体受一平面汇交力 系作用(如图2-1(a)所示)，根据力的可传性定理，可将各力沿 其作用线移至汇交点A，形成一等效的共点力系(如图2-1(b) 所示)。
第2章
平面基本力系
图
2-1
第2章
Hale Waihona Puke 平面基本力系为合成此力系，可根据力的平行四边形法则，两两逐步 合成各力，最后得到一个通过汇交点A的合力FR(如图2-1(b) 所示)。用此方法可求平面汇交力系的合力，但求解过程比较 繁琐。 用力多边形法则可比较简单地求出平面汇交力系的合力。
第2章
平面基本力系
图 2-2
第2章
平面基本力系
刚架ABCD处于平衡状态，根据平面汇交力系平衡的几何 条件，作用在ABCD上的三个力应构成一个自行封闭的力三角 → 形。选定任一点a为起点，按照一定比例画出矢量 ab 代表力F， 再由点b作直线平行于FD，由点a作直线平行于FA，两直线相 交于点c，如图2-2(c)所示。由力三角形abc即可确定出FD和FA
工程力学 第二章 平面汇交力系
再研究球，受力如图： 作力三角形 解力三角形：
Q P = N ′ ⋅ sin α
又 Q sin α = R − h N ′= N R F ⋅R ∴P = N ⋅sin α = ⋅ R −h
h ⋅(2R − h) R
NB=0时为球 离开地面
F (R −h) ∴P = h(2 R − h )
P h (2 R − h ) ∴F = R−h
力的多边形法则： 力的多边形法则：实质是连续多次应用 平行四边形法则（三角形法则） 平行四边形法则（三角形法则）
FR
F4 FR2 F3
FR1 F2 F1
力的多边形法则：把各分力矢量首尾相连， 力的多边形法则：把各分力矢量首尾相连，得到的 起点到终点的连线矢量即是合力。 起点到终点的连线矢量即是合力。
P h 2 −h (R ) ∴ F≥ 当 时 方 离 地 球 能 开 面 R−h
小结
• • 平面汇交力系合成：力的多边形、 平面汇交力系合成：力的多边形、解析法 平面汇交力系平衡：力多边形封闭、 平面汇交力系平衡：力多边形封闭、解析法
F =11.4kN A
F sinθ = F B F + F cosθ = P A B
F =10kN B
2.碾子拉过障碍物， 应有 F = 0 A 用几何法解得
F = P⋅tanθ =11.55kN
0 N 3. 解得 F in = P⋅sin θ =1 k m
例2 已知：AC=CB，F=10kN,各杆自重不计； 求：CD 杆及铰链A的受力.
例1
已知： P=20kN，R=0.6m， h=0.08m 求： ：
1.水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？ 2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？ 2. 3.力F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力F多大？？
平面汇交力系合成的解析法
平面汇交力系合成的解析法 1、力的投影x已知力可求投影F x =F ·cos q F y =F ·cos b=F ·sin q反之，已知投影可求 力的大小和方向22F =F x +F y力的大小cos θ=F x ，cos β=F y FF方向力 的 交 ，F x ，F yF x =F x i ，F y =F y j力F =F x +F y力的 解所F=Fx i+Fyj2、合力投影定理合力投影定理 合力在任一 上的投影，等于 力在同一 上投影的代数和。
FR x=∑F ixF R =(FR y=∑F iy 合力的大小 22F)+(F)ix iy∑∑方向 cos(F，i)=F R x，cos(F，j)=F R yR RF R F R力系的汇交[例]已知 图 平面共 力系；求 此力系的合力。
解 解析法解 解析法F RF R ==171.3Ncos θ=F R xF R Fcos β=R y=0.6556=0.7548θ=40.99，β=49.01F F 2F 3F 4300450600450F R3、平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系平衡的必要和充 条件是 力系的合力等于零。
2F R =(F )=0iy ∑∑F ix =0，∑F iy =0必平面汇交力系平衡的必要和充 条件是 力在两个 上投影的代数和 别等于零。
[例]已知 F =3kN ，l =1500mm ，h =200mm ，忽略自重； 求 平衡时，压块C 对工件与地面的压力，AB 杆受力。
解 AB 、BC 杆 二力杆，取销钉B 对象。
=0∑F xF cos θ+F cos θ=0BA BC F =F BA BC解F =F =F =11.35kN2sin θBABCF sin θ+F sin θ-F =0BA BC F =0y∑选压块C 对象=0F cos θ-F =0CB Cx ∑Fx解F =F cot θ=Fl =11.25kN 22h Cx∑F y =0-F CB sin θ+F Cy =0解=1.5kNF Cy[例]如图所 ，重物G =20kN ， 钢丝绳挂在支架的滑轮B 上，钢丝绳的另一端绕在铰车D 上。
考研复习—工程力学——第2章 平面力系
负号表示合力偶为顺时针转向。
图2-10
第2章
2.3 平面任意力系的简化
2.3.1 力的平移定理
平移定理：作用在刚体上的力，可以平移至刚体内任一指定点，若不改变该力对于 刚体的作用则必须附加一力偶，其力偶矩等于原力对新作用点的矩。
Fx 0
RAx R By P 0
RAx P RBx 20 kN 10 kN 10 kN
M A (F) 0 RBy a P a F 2a 0
RBy 2F P 20 kN 20 kN 0
（2）画ACD杆及CEB杆受力图,如图(b)、图(c)所示。
(3)研究CEB杆，如图（c）所示，则有
例2-16：图所示梯子，AB一端靠在铅垂的墙壁上，另一端搁置 在水平地面上。假设梯子与墙壁间为光滑约束，而梯子与地面之间存 在摩擦。已知：摩擦因数为 ，梯子长度AB=L,梯子重力为W。求：（ 1）若梯子在倾角 的位置保持平衡，求梯子与地面之间的摩擦力 和其 余约束力；（2）为使梯子不致滑倒，求倾角α的取值范围。
2 3 Fp
Fs1
Fs 2
1 3
Fp
(拉)
2 3
Fp (压)
（3）考察节点B的平衡： Fs3 0
第2章
2.7 考虑摩擦时的平衡问题
2.7.1 工程中的摩擦问题
1、摩擦平衡问题： 工程中有一类问题摩擦力不能忽略。例如车辆的制动、螺旋连接与锁 紧装置、楔紧装置、缆索滑动和传动系统等。这类平衡问题统称为摩擦平衡问题。
Fd fFN
第2章
2.7 考虑摩擦时的平衡问题
2.7.3 摩擦角与自锁现象
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R
形法则，可将其两两合成，最终
形成一个合力R ，由此可得结论 如下：
1、平面汇交力系的合成结果是一个合力R；
2、平面汇交力系的几何平衡条件是合力： R = 0
平面汇交力系的合成与平衡（解析法） 力在坐标轴上的投影可根据下式计算：
y
Fx Fy
x
Fx F cos
Fy - F sin
从而得平面汇交力系的（解析）平衡条件为：
X 0
y0
上式的含义为： 所有 X 方向上的力的总和必须等于零，所 有 y 方向上的力的总和必须等于零。
运用平衡条件求解未知力的步骤为：
1、合理确定研究对象并画该研究对象的受力
图；
2、由平衡条件建立平衡方程；
3、由平衡方程求解未知力。
实际计算时，通常规定与坐标轴正向一致的 力为正。即水平力向右为正，垂直力向上为正。
例1 图示三角支架，求两杆所受的力。
解：取B节点为研究对象，画受力图
由 ∑Y = 0 ，建立平衡方程：
NBC sin300 P 0
解得： N BC 2P 60KN 负号表示假设的指向与真实指向相反。 由 ∑X = 0 ，建立平衡方程： NBA NBC
NBC cos300 NBA 0 3 解得： N BA N BC (60) 0.866 52KN 2
合力： R
F2 F1 a b c x
R Rx 2 Ry
tan Ry Rx
2
X Y
2
2
合力的投影 y
Y X
Rx
Ry
R
x
表示合力R与 x轴所夹的锐角， 合力的指向由∑X、∑Y的符号判定。
当物体处于平衡状态时，平面汇交力系的合力R必
须为零，即：
2 2 R Rx Ry ( X ) 2 ( y ) 2 0
第三节
平面汇交力系
教学目标：
1、掌握平面汇交力系合成的解析法 2、牢固掌握平面汇交力系的平衡条件、平衡方程 3、会用平衡方程解决力学问题
重 点
1、平面汇交力系合成的解析法
2、平衡方程的应用
难 点
1、平面汇交力系合成的解析法 2、平衡方程的灵活应用
一、平面汇交力系的合成
平面汇交力系是简单力系，是研究复杂力系的基础。平面汇 交力系的合成有两种方法。 1、几何法—用力的三角形法则或力的多边形法制求合力的方 法，是一种定性的粗略的计算方法 （1）两个汇交力的合成
P
二、平面汇交力系的平衡 平衡的充分必要条件—合力为零 R=∑F=0 1、几何法表示平衡条件（几何条件）—力的多边形自行封闭 2、解析法表示平衡条件（解析条件）— ∑X=0 ∑Y=0 平衡方程
解析条件可以表诉为：力系中各力在两个坐标轴上的投影的代数 和为零。 利用平衡方程求解平衡问题时，受力图中的未知力的指向可以任 意假设 。 用解析法求解平面汇交力系平衡问题的步骤： 1）选取研究对象 2）画研究对象的受力图 3）选投影轴，建立平衡方程 用解析法求解平面汇交力系平衡问题的技巧： 坐标轴尽量与未知力的作用线平行或垂直
2. 多个共点力的合成
R
F2
O
R
F1
O
F5 F1 F3
F4
O
F2 F1
F5
F3
F4 F2
R
O
F1
d) 力多边形
a) 平行四边形法则
b) 力三角形
c) 汇交力系
用几何法求汇交力系合力时，应注意分力首尾相接， 合力是从第一力的箭尾指向最后一力的箭头。
平面汇交力系的合成与平衡（几何法）
设任意的力F1、F2、F3、F4 的作用线汇交于A 点，构成一个 平面汇交力系。由力的平行四边
y
当投影Fx 、Fy 已知时，则可求出力 F 的 Fx 大小和方向： α y Fy 2 2
F Fx Fy
tg
Fy FX
F x
x
合力投影定理 合力在任一轴上的投影，等于它的ห้องสมุดไป่ตู้分力在 同一轴上的投影的代数和。
（2）合力投影定理：合力在任一轴上的投影等于各分
力在该轴上之投影的代数和。 由合力投影定理有： Rx=X1+X2+…+Xn=X ac-bc=ab Ry=Y1+Y2+…+Yn=Y