数学分析习题课 级数的收敛、求和与展开
高中数学教案级数的求和与收敛性判断
高中数学教案级数的求和与收敛性判断高中数学教案：级数的求和与收敛性判断引言：在高中数学中，我们学习了很多数学概念和方法，其中级数是一个重要的内容。
级数在数学领域中具有广泛的应用，了解如何求解级数的和以及判断级数的收敛性对于我们深入理解数学的原理和应用具有重要意义。
本教案将介绍级数的求和方法和收敛性判断方法，并通过具体例题来加深对这些方法的理解。
一、级数的概念1.1 级数的定义在数学中，级数是指将一系列数进行无穷次相加的运算。
级数通常表示为∑(an)，其中n表示级数的次序，an表示级数的第n项。
1.2 级数的部分和级数的部分和是指将级数的前n项相加所得的和，通常表示为Sn。
部分和Sn可以通过递推公式来计算，即Sn = a1 + a2 + … + an。
二、级数的求和方法2.1 等差数列求和当级数的通项为等差数列时，我们可以利用等差数列求和公式来求解级数的和。
对于等差数列an = a1 + (n-1)d，级数的部分和Sn可以表示为Sn = n(a1 + an)/2。
其中，n为级数的项数，a1为级数的首项，an为级数的末项，d为等差数列的公差。
2.2 等比数列求和当级数的通项为等比数列时，我们可以利用等比数列求和公式来求解级数的和。
对于等比数列an = a1 * r^(n-1)，级数的部分和Sn可以表示为Sn = a1 * (1 - r^n)/(1 - r)。
其中，n为级数的项数，a1为级数的首项，r为等比数列的公比。
2.3 其他级数求和方法除了等差数列和等比数列之外，还存在一些特殊级数的求和方法。
在高中数学中常见的特殊级数包括调和级数、几何级数和幂级数等。
针对这些特殊级数，我们需要掌握相应的求和公式和求和技巧。
三、级数的收敛性判断方法3.1 收敛与发散的概念在级数的研究中，我们常常关注级数是否会趋于一个确定的有限值，这就是级数的收敛性。
如果一个级数的部分和Sn在无限项时趋于一个有限值S，我们称该级数为收敛的；反之，如果Sn在无限项时无法趋于有限值，我们称该级数为发散的。
级数的收敛性判定与计算
级数的收敛性判定与计算级数是数学中一种特殊的数列求和形式。
在数学分析中，我们通常关心的是级数的收敛性判定与计算。
本文将介绍几种常见的级数收敛性判定方法，并以例子详细说明其计算过程。
一、级数的收敛性判定在讨论级数的收敛性之前，先来了解一下级数的定义。
设有数列{an}，则数列{an}的和称为级数，用Σan表示。
1.正项级数收敛判定如果对于数列{an}的每一项都有an≥0且数列{an}的部分和序列{s1, s2, s3, ...}有上界，则称Σan为正项级数。
关于正项级数的收敛性，有以下判定定理：（1）Cauchy准则：正项级数Σan收敛当且仅当对任意ε>0，存在N∈N，当n>N时，对任意的m>n，有|sm-sn|<ε。
（2）比较判别法：若存在正数c，当n>N时，对任意的m>n，有an≤cn，则正项级数Σan收敛。
（3）极限判别法：如果lim(n→∞)(an+1/an)=l，其中l>0或l=+∞，则正项级数Σan与Σan收敛或发散。
2.交错级数收敛判定若级数Σ(-1)^(n-1)an的一般项是由正项和负项构成的交错形式，则称之为交错级数。
关于交错级数的收敛性，有以下判定定理：（1）莱布尼茨判别法：对于交错级数Σ(-1)^(n-1)an，若满足an≥0、an递减（即an+1≤an）且lim(n→∞)an=0，则交错级数Σ(-1)^(n-1)an收敛。
3.绝对收敛和条件收敛对于级数Σan，若级数Σ|an|收敛，则称Σan为绝对收敛级数；若Σan收敛而Σ|an|发散，则称Σan为条件收敛级数。
二、级数的计算在判断级数的收敛性后，有时我们还需要计算级数的和。
以下是几种常见的级数计算方法。
1.等差级数等差级数是指数列项的差值为常数的级数。
对于等差级数Σa+(n-1)d，其求和公式为Sn=(n/2)[2a+(n-1)d]，其中n为项数，a为首项，d为公差。
2.几何级数几何级数是指数列项的比值为常数的级数。
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--9章
习
∞
数项级数
数项级数的收敛性
∞
题
9.1
1. 讨论下列级数的收敛性。收敛的话，试求出级数之和。
1 ; ⑴ ∑ n =1 n ( n + 2) ∞ 1 ; ⑶ ∑ n =1 n ( n + 1)( n + 2) ∞ 1
⑵ ⑷
∑ 3n + 1 ; ∑⎜ ⎝2
n =1 ∞
2n
⑸ ⑺ ⑼
∑
n =1 ∞ n =1 ∞
2n − 1 ， 3n
;
co m
（3）当 x = 1 时显然级数收敛；当 x ≠ 1 时 ∑ x n (1 − x) = (1 − x) ∑ x n ，收敛
n =1
∞
∞
n =1
范围是 x ∈ (−1,1) ；所以当 x ∈ (− 1,1] 时级数收敛。 3. 求八进制无限循环小数 (36.0736073607 … )8 的值。 解 (36.0736073607 … )8
n→∞ n→∞
3. 证明： (1) lim ( x n + y n ) ≥ lim x n + lim y n ；
n→∞ n→∞ n→∞
(2) 若 lim x n 存在，则
n →∞
lim ( x n + y n )= lim x n + lim y n 。
n→∞
n→∞
n→∞
证 （1）记 lim x n = h1 ， lim y n = h2 ，则对任意给定的 ε > 0 ，存在正整
h − ε < yn < H + ε 。
min{( x − ε )( H + ε ), ( x + ε )( H + ε )} < x n y n < max{( x − ε )(h − ε ), ( x + ε )(h − ε )}，
《高数》第十一章-习题课：级数的收敛、求和与展开
概念:
为收敛级数
若
收敛 , 称
若
发散 , 称
绝对收敛 条件收敛
Leibniz判别法: 若
且
则交错级数
收敛 , 且余项
4
例1. 若级数
均收敛 , 且
证明级数
收敛 .
证: 0 c n a n bn a n (n 1 , 2 , ), 则由题收敛
(1)n
n0
x2n ,
x (1,1)
arctan
x
x
01
1 x2
d
x
(1)n x2n1, n02n 1
x [1,1]
于是
f (x) 1 (1)n x2n (1)n x2n2
n1 2n 1
n02n 1
25
f
a 1 时收敛 ; a 1 时发散.
s 1 时收敛;
a 1 时, 与 p 级数比较可知 s 1 时发散.
7
P257 题3. 设正项级数 和 都收敛, 证明级数
也收敛 .
提示:
因
lim
n
un
lim
n
vn
0
,存在
N
>
0, 当n
>N
时
又因
2( un2 vn2 )
思考: 如何利用本题结果求级数
提示: 根据付式级数收敛定理 , 当 x = 0 时, 有
e 1 1
2 n1
f (0 ) f (0 ) 1
2
2
28
作业
P257 6 (2); 7 (3); 9(1) ; 10 (1) ;
大学数学易考知识点级数的收敛性和求和
大学数学易考知识点级数的收敛性和求和在大学数学中，级数是一个重要的概念，涉及到级数的收敛性和求和运算。
理解和掌握级数的收敛性以及求和的方法对于数学学科的学习和应用具有重要意义。
本文将介绍级数的概念，讨论级数的收敛性判定方法，并介绍几种常见的求和方法。
一、级数的概念级数是由一列数的和构成的数列，通常以∑表示。
级数的一般形式可以表示为：∑(n=1 to ∞) an = a1 + a2 + a3 + ...其中，an表示级数的通项，n表示求和的下标，∑表示求和符号。
根据不同的通项an，级数可以分为不同的类型。
二、级数的收敛性判定方法1. 正项级数收敛性判定法正项级数是指级数的通项an都是非负数，即an ≥ 0。
对于正项级数，我们可以使用以下方法进行收敛性判定：(1) 比较判别法：将待确定的级数与一个已知的收敛级数或发散级数进行比较。
(2) 比值判别法：计算级数的通项an+1与an的比值的极限值，根据极限值的大小来判断级数的收敛性。
(3) 根值判别法：计算级数的通项an的n次方根与1的比值的极限值，根据极限值的大小来判断级数的收敛性。
2. 任意项级数的收敛性判定法对于任意项级数，我们需要使用更加复杂的方法进行收敛性判定：(1) 莱布尼兹判别法：用于交错级数的判定，即级数的通项an交替出现正负号。
(2) 绝对收敛和条件收敛：如果一个级数的绝对值级数收敛，那么原级数也收敛；反之，如果一个级数收敛但它的绝对值级数发散，则称此级数为条件收敛。
三、级数的求和方法1. 部分和求和对于级数∑(n=1 to ∞) an，我们可以通过计算部分和Sn = a1 + a2 + ... + an来求得级数的近似值。
2. 等比级数求和等比级数是指级数的通项满足an+1 = r * an，其中r为常数。
对于等比级数∑(n=0 to ∞) ar^n，可以通过以下公式求和：S = a / (1 - r)其中，S为级数的和。
3. 幂级数求和幂级数是指级数的通项可以表示为an = cr^n，其中c为常数，r为变量。
数学分析中的级数展开
数学分析中的级数展开在数学分析中，级数展开是一种重要的数学工具，用于将一个函数表示为无穷级数的形式。
级数展开在数学和物理学中有广泛的应用，可以帮助我们理解函数的性质和行为。
本文将介绍级数展开的基本概念、常见的级数展开方法以及一些实际应用。
一、级数展开的基本概念级数展开是将一个函数表示为无穷级数的形式，即将函数表示为一系列项的和。
一般来说，级数展开可以通过泰勒级数、傅里叶级数等方法来实现。
在级数展开中，我们通常会使用一些特殊函数，如指数函数、三角函数等。
二、泰勒级数展开泰勒级数展开是一种常见的级数展开方法，适用于将光滑函数展开为无穷级数的形式。
泰勒级数展开的基本思想是将函数在某一点附近进行多项式逼近，然后将多项式展开为无穷级数。
泰勒级数展开的公式如下：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中，f(x)是要展开的函数，a是展开点，f'(a)、f''(a)、f'''(a)分别表示函数在展开点处的一阶、二阶、三阶导数。
泰勒级数展开可以用于近似计算函数的值，特别是在展开点附近的小范围内。
通过截取级数的前几项，我们可以得到函数在展开点附近的近似值。
三、傅里叶级数展开傅里叶级数展开是一种将周期函数表示为三角函数级数的方法。
傅里叶级数展开的基本思想是将周期函数表示为一系列正弦函数和余弦函数的线性组合。
傅里叶级数展开的公式如下：f(x) = a0/2 + Σ(an*cos(nωx) + bn*sin(nωx))其中，a0/2表示直流分量，an和bn分别表示正弦函数和余弦函数的系数，n表示谐波的次数，ω表示角频率。
傅里叶级数展开可以将任意周期函数表示为一系列简单的三角函数的和，从而帮助我们理解周期函数的性质和行为。
四、级数展开的应用级数展开在数学和物理学中有广泛的应用。
专题二 微积分问题专题(解析解及级数展开求和)
解 由题意知，前 5 年的总产量为
Q( t )
5 0
3 2 ( 70 t 1 0 t dt ) 10
clear syms t Q Q=int(70+10*t-3/10*t^2,t,0,5)
例 已知某产品的边际成本和边际收入分别为
C ( x ) x 2 4 x 6, R( x ) 105 2 x
– 格式2： L= limit( fun, x, x0, ‘left’ 或 ‘right’)
• 例: 求极限
• >> syms x a b; >> f=x*(1+a/x)^x*sin(b/x); >> L=limit(f,x,inf)
• 例:求极限
>> syms x; >> limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0,'right')
>> m=1:10000000; s1=sum(1./((3*m-2).*(3*m+1)));%数值计算方法 >> format long; s1
例:求
>> syms m n; limit(symsum(1/m,m,1,n)log(n),n,inf)
>> vpa(ans, 70) % 显示 70 位有效数字
例：求
x sin x I1 dx 1 cos x 1 cos x
和
cos x x2 I2 2x ln 2 x
并画出 I1 x sin x dx 的积分曲线族
syms x C fx=(x+sin(x))/(1+cos(x)); I1=int(fx,x)+C ezplot(fx,[-2,2]) hf=ezplot(fx,[-2,2]); xx=linspace(-2,2); plot(xx,subs(fx,xx),'k','LineWidth',2) hold on for c=0:6 y=inline(subs(I1,C,c)); plot(xx,y(xx),'LineStyle','--'); end legend('函数曲线','积分曲线族',8)
数学分析中的级数展开
数学分析中的级数展开级数展开是数学分析中一个重要的概念，它在数学理论和实际问题中都有着广泛的应用。
级数展开可以将一个函数表示为无穷级数的形式，从而方便进行计算和研究。
在本文中，我们将介绍级数展开的基本概念、原理和应用，帮助读者更好地理解和掌握这一重要的数学工具。
### 1. 级数展开的基本概念在数学分析中，级数展开是将一个函数表示为无穷级数的形式的过程。
一般来说，一个函数可以在某个区间内展开为幂级数、三角级数或其他类型的级数。
级数展开的基本思想是利用级数的收敛性质，将函数表示为级数的形式，从而方便进行计算和研究。
### 2. 幂级数展开幂级数是一种常见的级数展开形式，它可以表示为形如$\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-a)^n$的级数。
其中，$a_n$是系数序列，$a$是展开点。
通过幂级数展开，我们可以将一个函数在展开点附近表示为幂级数的形式，从而进行函数的近似计算和分析。
### 3. 泰勒级数展开泰勒级数是一种特殊的幂级数展开形式，它可以将一个函数在某个点附近展开为幂级数。
泰勒级数展开的公式为$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$，其中$f^{(n)}(a)$表示函数$f(x)$在点$a$处的$n$阶导数。
泰勒级数展开在数学分析和物理学中有着广泛的应用，可以用来近似计算函数的值和导数。
### 4. 应用举例级数展开在数学分析、物理学、工程学等领域都有着重要的应用。
例如，在微积分中，级数展开可以用来计算函数的积分、导数和极限；在物理学中，级数展开可以用来描述物理现象和解决物理问题；在工程学中，级数展开可以用来建立数学模型和进行工程计算。
总之，级数展开是一个强大的数学工具，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
### 结语通过本文的介绍，我们了解了数学分析中级数展开的基本概念、原理和应用。
级数展开是数学分析中一个重要的概念，它可以将一个函数表示为无穷级数的形式，方便进行计算和研究。
数学分析习题课级数的收敛、求和与展开[1]共31页
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证明级数
收敛 .
证: 0 c n a n b n a n(n1,2,),则由题设
(b n a n ) 收敛
(c n a n ) 收敛
n 1
n 1
[(cn an)an]
n1
(cn an) a n 收敛
n 1
n 1
4
例2. 判别下列级数的敛散性:
提示: (1) limnn1, 0, N , n 1 nn 1
s1时收敛;
a1时, 与 p 级数比较可知 s1时发散.
6
例3. 设正项级数
和 都收敛, 证明级数
也收敛 . 提示: 因 n l i u m nn l i v m n0,存在 N > 0, 当n >N 时
又因
2(un2vn2)
利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.
7
例4. 设级数
收敛 , 且
1,
x [ 1 ,0 ) (0 ,1 ) x0
22
例8.
解:
设S(x)n2nx2n1,则
S(x)n 21 2n1 1n1 1xn x xn1 1 xn1
2 n2n 1 2x n2n 1
x x n 1 xn
2 n1 n 2x n3 n
23
四、函数的幂级数展开法
1. 函数的幂级数展开法 • 直接展开法 — 利用泰勒公式
但
ln
n 1
n
n
1
n
lim lnk(1)lnk
n k1
lim lnn(1)
n
所以原级数仅条件收敛 .
10
(4) n 1(1)n(nnn11)!
因
u n1
un
n2(1 1 )n1n n1 n1
《数学分析》 第十二章 数项级数 1
(
1 2m
1
1 2m
2
1 2m1
)
每项均大于1
2m项
2
即前m 1项大于(m 1) 1 2
级数发散 .
由性质4推论,调和级数发散.
五、小结
常数项级数的基本概念
基本审敛法
1.由定义,若sn s,则级数收敛;
2.当lim n
un
0,则级数发散;
3.按基本性质.
思考题
设 bn 与 cn 都收敛，且bn an cn
lim
n
sn不存在
发散
综上
n0
aq
n
当q 当q
1时,收敛 1时, 发散
例 2 判别无穷级数
1 1
1
的收敛性.
13 35
(2n 1) (2n 1)
解
un
(2n
1 1)(2n
1)
1( 1 2 2n
1
1 2n
), 1
sn
1 1
1
13 35
(2n 1) (2n 1)
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
1 (4)2 39
1 (4)n2 ]} 39
n 2,3,
于是有
lim
n
Pn
1
lim
n
An
A1
(1
1
3
4
)
A1 (1
3) 5
2 3. 5
9
雪花的面积存在极限（收敛）．
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．
例 1 讨论等比级数(几何级数)
aqn a aq aq2 aqn (a 0)
n0
的收敛性.
数学分析中的级数展开
数学分析中的级数展开在数学分析中，级数展开是一种重要的数学工具，用于将一个函数表示为无穷级数的形式。
级数展开在数学和物理学中有广泛的应用，可以帮助我们理解函数的性质和行为。
本文将介绍级数展开的基本概念、常见的级数展开方法以及一些实际应用。
一、级数展开的基本概念级数展开是将一个函数表示为无穷级数的形式，即将函数表示为一系列项的和。
一般来说，级数展开可以通过泰勒级数展开、幂级数展开和傅里叶级数展开等方法来实现。
这些方法都是基于不同的数学原理和技巧，适用于不同类型的函数。
二、泰勒级数展开泰勒级数展开是将一个函数表示为无穷级数的形式，其中级数的每一项都是函数在某一点的导数值与该点到展开点的距离的乘积。
泰勒级数展开可以用于近似计算函数的值，尤其是在展开点附近的范围内。
泰勒级数展开的公式如下：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中，f(x)是要展开的函数，a是展开点，f'(a)、f''(a)、f'''(a)分别是函数在展开点的一阶、二阶和三阶导数。
三、幂级数展开幂级数展开是将一个函数表示为无穷级数的形式，其中级数的每一项都是函数在展开点的某一次幂与系数的乘积。
幂级数展开可以用于表示一些特殊函数，如指数函数、三角函数和对数函数等。
幂级数展开的公式如下：f(x) = a0 + a1(x-a) + a2(x-a)^2 + a3(x-a)^3 + ...其中，f(x)是要展开的函数，a0、a1、a2、a3等是系数，a是展开点。
四、傅里叶级数展开傅里叶级数展开是将一个周期函数表示为正弦函数和余弦函数的无穷级数的形式。
傅里叶级数展开可以用于分析周期性现象和信号处理等领域。
傅里叶级数展开的公式如下：f(x) = a0/2 + Σ(an*cos(nωx) + bn*sin(nωx))其中，f(x)是要展开的周期函数，a0/2是直流分量，an和bn是傅里叶系数，ω是角频率。
数学分析-级数求和的常用方法及例题解答
sin na sin nx . n n 1
级数求和的常用方法-11
2017-2018 学年度第二学期期末考试复习材料——数学分析
2.9 针对 2.8 的延伸 sin(2n 1) x 在此对 2.8 的延伸， 并不是意味 例 24：计算 . 2n 1 n 1 着 2.8 是个通用的级数和式子， 只是 看见了另外的一个题可以运用 2.8， 在此列出是为了表明在求级数和的 过程中一些复杂级数可以由另外一 些级数求和的， 因此遇见复杂级数求 和的时候要多注意平常积累的例子， 想想平时有没有遇见类似的级数求 和问题.
级数求和的常用方法-7
2017-2018 学年度第二学期期末考试复习材料——数学分析
2.2 积分型级数求和（例 16） 例 16：计算级数 积分型级数求和显然直接求和 x (2 k 1) 会带来困难，通常积分也积不出来， 2 e 2 k 所以要转化， 将积分式子化简是个想 k 0 法， 通过变量替换等积分技术化简积 分式子， 再求级数和， 所以关键在于 处理积分式子
(
i 1
n
i 2 i 1 i 2) .
级数求和的常用方法-1
2017-2018 学年度第二学期期末考试复习材料——数学分析
1.6 有理化法求级数和（例 4） 例 4：计算 对于一些级数通项含有分式根 1 . 式的级数， 我们可以仿照数学中经常 n ( n 1)( n n 1) n 1 使用的方法“有理化”处理， 以期达到 能使得级数通项化简， 最后整个级数 都较容易求和.
级数求和的常用方法-2
2017-2018 学年度第二学期期末考试复习材料——数学分析
1.8 原级数转化为子序列求和 （例 6） *例 6：计算 若下列条件成立： （1） 当 n 时级 1 1 1 1 数的通项 an 0 （2）级数各项没有 破坏次序的情况而得新序列 bn 收
数列与级数的收敛性及求和
数列与级数的收敛性及求和数列是由一组按照特定规律排列的数所组成的序列，而级数是数列的和。
数列和级数在数学中有着重要的应用，因此研究其收敛性和求和方法对于解决实际问题具有重要意义。
本文将探讨数列与级数的收敛性及求和的相关概念和方法。
1. 数列的收敛性数列的收敛性是指数列是否有一个确定的极限。
若存在某个数L，对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，数列的前n 项与L之间的差的绝对值小于ε。
即数列{an}的极限lim(an)存在且等于L。
如果数列没有收敛到某个特定的值，那么我们称该数列是发散的。
数列的收敛性可以用数列的极限来判断。
2. 数列的求和对于一般的数列{an}，如果数列的部分和序列{Sn}收敛，即存在某个数S，对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，数列的前n项和与S之间的差的绝对值小于ε，那么我们称该数列{an}是可求和的。
我们通常用符号∑表示数列的求和，即∑an=S。
求和的运算是将数列的每一项相加得到的结果。
3. 数列与级数的关系数列与级数有着密切的联系。
级数是数列的一种特殊形式，是指将数列的所有项进行求和所得到的数。
因此，级数的收敛性与数列的收敛性是等价的。
如果数列{an}收敛到L，则级数∑an也收敛到L，反之亦然。
4. 求和的方法对于一些特定的数列，存在一些求和方法，例如等差数列、等比数列和调和级数等。
4.1 等差数列求和对于等差数列{an}，其通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
求和公式为∑an=na1+n(n-1)d/2。
4.2 等比数列求和对于等比数列{an}，其通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
当|r|<1时，求和公式为∑an=a1/(1-r)；当|r|>1时，级数∑an发散。
当|r|=1时，级数∑an也发散，但可以通过加减有限项或改变求和顺序使其在某些情况下收敛。
4.3 调和级数求和调和级数为级数∑1/n。
函数的级数展开与级数的收敛性与函数的泰勒展开
函数的级数展开与级数的收敛性与函数的泰勒展开级数展开是数学中的重要概念之一，它在函数分析、微积分、数值计算等领域中得到广泛应用。
级数是由一系列数相加（或相减）得到的无穷和，级数展开则是把一个函数表示为级数的形式，以便进行更深入的研究和计算。
本文将介绍函数的级数展开以及级数的收敛性，并探讨函数的泰勒展开。
一、级数展开的基本概念级数展开是将一个函数表示为一个无穷序列的和的形式。
假设f(x)是定义在某个区间上的函数，若存在一系列常数a_n，使得对于该区间上的任意x，函数f(x)可以表示为以下级数的形式：f(x) = a_0 + a_1(x - c) + a_2(x - c)^2 + a_3(x - c)^3 + ...其中c是一个常数，称为级数展开的中心点。
二、级数的收敛性在讨论级数展开时，需要考虑级数的收敛性。
级数的收敛性指的是级数的无穷和是否存在，并可以用有限的数表示。
如果级数的无穷和存在并收敛于某个数S，那么称该级数是收敛的，记作Σa_n=S。
反之，如果级数的无穷和不存在或者无穷大，则称该级数是发散的。
判断级数收敛的方法有很多，其中一种常见的方法是利用级数的部分和序列。
通常可以定义级数的第n个部分和为Sn=a_0+a_1+a_2+...+a_n，若Sn收敛，则级数收敛；若Sn发散，则级数发散。
常用的判别法有比较判别法、比值判别法、根值判别法等，通过这些方法可以判断级数的收敛性。
三、函数的泰勒展开泰勒展开是级数展开的一种特殊形式，它是把一个函数在某一点附近用无穷个幂次的单项式逼近的展开式。
设函数f(x)在点x=c的某个邻域内具有n阶连续导数，那么f(x)在该邻域内可以表示为以下泰勒级数的形式：f(x) = a_0 + a_1(x - c) + a_2(x - c)^2 + ... + a_n(x - c)^n + ...其中a_0、a_1、a_2等是常数，且满足a_k = f^(k)(c)/k!，其中f^(k)(c)表示函数f(x)在点x=c处的k阶导数，k!表示k的阶乘。
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n1 2n 1
n02n 1
27
f
(x)
1
(1)n n1 2n 1
x2n
(1)n n02n 1
x2n2
1 (1)n x2n (1)n1 x2n
n1 2n 1
n1 2n 1
1
(1)
n1
n
1 2n 1
习题课
级数的收敛、求和与展开
一、数项级数的审敛法 二、求幂级数收敛域的方法 三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数展开法
1
求和 展开
(在收敛域内进行)
时为数项级数;
时为幂级数;
(an ,bn 为傅氏系数) 时, 为傅立叶级数.
基本问题：判别敛散； 求收敛域； 求和函数； 级数展开.
2
一、数项级数的审敛法
14
解: 因 lim un1(x) lim
x2
n un (x) n
2
当 x2 1 , 即 2 x 2 时，级数收敛; 2
当 x 2时, 一般项 un n 不趋于0, 级数发散;
故收敛区间为 ( 2 , 2 ) .
15
三、幂级数和函数的求法
• 求部分和式极限
6
利用比值判别法, 可知原级数发散.
(3)
n
n1
cos2 2n
n
3
:
用比值法, 可判断级数
收敛,
再由比较法可知原级数收敛 .
因 n 充分大时
1 n
1 ln10
n
,
∴原级数发散 .
发散,
(5)
n1
an ns
(a 0, s 0): 用比值判别法可知:
a 1 时收敛 ; a 1 时发散.
1 2x
1 2
1
1
x 2
1 2
xn
n0 2n
1 2
n1
nx n 1 2n
,
25
2. 将
在x = 0处展为幂级数.
解: 因此
2 x 3x2
ln(1
x)
n1
xn n
(1 x 1)
(1 x)(2 3x)
2
2
30
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性
2. 正项级数审敛法
必要条件
lim
n
un
0
满足
不满足 发 散
比值审敛法
lim
n
un1 un
1 不定
部分和极限 比较审敛法
根值审敛法 lim n
n
un
用它法判别 积分判别法
1
1
收敛
发散
3
3. 任意项级数审敛法
概念:
(3)
(1)
n1
n
ln
n
n
1
因
单调递减, 且
由Leibniz判别法知级数收敛 ;
但
ln
n1
n
n
1
n
lim ln(k 1) ln k
n k 1
lim ln(n 1)
n
所以原级数仅条件收敛 .
11
(4)
(1)n
n1
(n 1)! n n 1
(2)
(1)
n1
n1
sin
n1
n1
;
(3)
(1)n ln n 1 ;
n1
n
提示: (1) P >1 时, 绝对收敛 ;
0 < p ≤1 时, 条件收敛 ;
p≤0 时, 发散 .
(2) 因各项取绝对值后所得强级数 原级数绝对收敛 .
1
n1 n1
收敛 ,
故
10
ex
cos nx d
x
1
ex (n sin nx cos nx) 1 n2
0
1
e
(1)n 1 n2
1
(n 0, 1, 2, )
29
bn
1
0
ex
sin nx d
x
1
ex (sin nx n cos nx) 1 n2
0
n
1
e 1
(1)n n2
n 1
n 1
[(c n a n ) a n ]
n 1
(c n a n ) a n 收敛
n 1
n 1
5
例2. 判别下列级数的敛散性:
提示: (1) lim n n 1 , 0 , N , n 1 n n 1
因调和级数发散, 据比较判别法, 原级数发散 .
1 x
x
tn
0
d
t
1 x
x
1
t
t
d
t
0
(0 x 1)
1 1 ln (1 x)
1
(
1
1)
ln
(1
x x)
x
20
即得
1 ( 1 1) ln (1 x) , x
0 x 1
显然 x = 0 时, 和为 0 ; x = 1 时, 级数也收敛 . 根据和函数的连续性 , 有
(n 1, 2, )
f
(
x)
e
2
1
1
n1
( x k , k 0 , 1, 2 , )
思考: 如何利用本题结果求级数
提示: 根据付式级数收敛定理 , 当 x = 0 时, 有
e 1 1
2 n1
f (0 ) f (0 ) 1
ln
(1 x
x)
1
,
因此由和函数的连续性得:
1 ln(1 x) , S(x) x
1,
x [1,0) (0,1) x0
23
例8.
解:
设
S(x)
n2
n
x
2
n
1
,
则
S
(
x)
n2
12
n
1
1
n
1
1
xn
x xn1 1 xn1
13
解:
lim n
n
an
lim (1 1)n e n n
R 1 , 即 1 x 1 时原级数收敛 .
e
ee
当 x 1 时, e
un
(1
1) n
n
n
e
(1 1)n1 e n
1 1 0 (n ) e
因此级数在端点发散 , 故收敛区间为( 1 , 1 ) . ee
x
1 sin x x cos x ,
2
2
17
法2 先求出收敛区间
设和函数为 则
1 2
S(x) 1 sin x x cos x,
2
2
x sin x 2
18
例2. 求下列幂级数的和函数：
x≠0
解: (1)
原式
n1
1 2n
( x 2n 1 )
1 x
(
n1
ln(1
3 2
x)
(1) n
n1
(
3 2
x)
n
(
2 3
x
32)
n1
f (x) ln 2 xn
n1 n
n1(1n)n1(23 x)n
ln 2 n11n [1 ( 23)n ] xn
(
2 3
x
32)
26
3. 设
, 将 f (x)展开成
x2
2
)
n
1 x
1
x2
2
x2 2
x 2 x2
2 x2 (2 x2)
2
(0 x2 1) 2
显然 x = 0 时上式也正确, 而在 x 2 级数发散,
故和函数为
19
n1
1 n
1 n 1
xn
x0
n1
因
un1
un
n 2 (1 1 )n1 n n1 n1
所以原级数绝对收敛 .
12
二、求幂级数收敛域的方法
• 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论 x R
处的敛散性 . 通过换元转化为标准形式
• 非标准形式幂级数 直接用比值法或根值法
例7. 求下列级数的敛散区间:
s 1 时收敛;
a 1 时, 与 p 级数比较可知 s 1 时发散.
7
例3. 设正项级数
和 都收敛, 证明级数
也收敛 .
提示:
因
lim
n
un
lim