第十一章 无穷级数(答案)
高等数学第11章 无穷级数
un
=
lim
n→∞
1 n
=
0.
∞
推论3 若 un →/ 0, 则级数 ∑ un必发散 .
n=1
小结:
un → 0
un →/ 0
∞
∑ u n 收敛
n=1 ∞
∑ u n 发散
n=1
二、典型例题
例1
判别级数
∞
∑
ln
n
+
1
的敛散性.
n=1 n
解 部分和
Sn
= ln 2 1
+ ln 3 2
+ ln 4 3
第十一章 无穷级数
本章基本要求
1. 理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了 解无穷级数的基本性质和收敛的必要条件。
2．了解正项级数的比较审敛法以及几何级数与 p—级数的敛散性，掌握正项级数的比值审敛法。
3．了解交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错 级数的截断误差。了解绝对收敛与条件收敛的概 念及二者的关系。
设收敛级数
S=
∞
∑ un,σ =
∞
∑ vn，则
n=1
n=1
∞
∑(un ±vn) 也收敛, 其和为 S ± σ .
n=1
注 1º 收敛级数可逐项相加（减） .
2o
∞
∑ ( un ± vn ) 的敛散性规律：
n=1
收收为收，收发为发，发发不一定发.
例如, 取 un = (−1)2n , vn = (−1)2n+1, 而 un + vn = 0
+
L
+
ln
n
+ n
1
拆项相消
辽宁工业大学高数习题课11-1
an ≥ 0
正项级数
二,判别常数项级数收敛的解题方法
的敛散性, 判别常数项级数∑an的敛散性,应先考察是否有
n=1
liman = 0 成立.若不成立,则可判定级数发散; 成立.若不成立,则可判定级数发散;
n→∞
若成立,则需作进一步的判别. 若成立,则需作进一步的判别.
此时可将常数项级数分为两大类,即正项级数与任意项级数. 此时可将常数项级数分为两大类,即正项级数与任意项级数. 对于正项级数,可优先考虑应用比值法或根值法. 对于正项级数,可优先考虑应用比值法或根值法.若此 二方法失效,则可利用比较法(或定义)作进一步判别; 二方法失效,则可利用比较法(或定义)作进一步判别; 对于任意项级数, 是否收敛. 对于任意项级数,一般应先考虑正项级数 ∑ an 是否收敛. 若收敛,则可判定原级数收敛,且为绝对收敛; 若收敛,则可判定原级数收敛,且为绝对收敛;
n=1
∞
问题是熟练掌握一批已知正项级数的敛散性(如几何级数, 问题是熟练掌握一批已知正项级数的敛散性(如几何级数,
p 级数等),然后根据 an 的特点,进行有针对性的放缩. 级数等), ),然后根据 的特点,进行有针对性的放缩.
a nn! 的收敛性. 【例6】判别级数 ∑ nn 的收敛性. 】 n =1
un+1 ∵ = un e >1 1 n (1 + ) n
∴ un+1 > un lim un ≠ 0
n →∞
所以,原级数发散. 所以,原级数发散. 的因子时, 注:在级数一般项 un 中,若含有形如 nk , an , n!, nn 的因子时, 适于使用比值审敛法. 适于使用比值审敛法.
1 的敛散性. 【例7】判断级数∑ [ln(n + 1)]n 的敛散性 】 n =1
高数11-1
常数项级数； 常数项级数； 幂级数； 幂级数； 傅立叶级数. 傅立叶级数.
1
第一节
称
常数项级数的概念与性质
= u1 + u2 +⋯+ un +⋯
（1） ） 一般项
一. 常数项级数的概念 级数： 设给定一个数列： 级数： 设给定一个数列： u1 , u2 ,⋯ , un ,⋯
∑u
n=1
(
)
a 1 − qn = 1−q
(
n 为奇数 发散; , 发散 n 为偶数
)
a 1 − qn lim s n = lim = ∞ , 发散 结论成立 发散. 结论成立. n →∞ n →∞ 1−q
∞ n
(
)
2 2 2 =6 例如 (1) ∑ n = ∑ 2 = 2 n=0 3 n =0 3 1− 3
i =1
n
性质2 性质 若 ∑ un = s ,
n=1
∞
i =1
∑v
n=1 n
∞
n
= σ , 则∑ (un ± v n ) = s ± σ .
n =1
n
∞
证 τ n = ∑ (ui ± v i ) =
i =1
n
∑u ± ∑v
i =1 i
i =1
i
= sn ± σ n
n→∞
lim τ n = lim (s n ± σ n ) = lim s n ± limσ n = s ± σ
若不然,设该级数收敛 若不然 设该级数收敛, 设该级数收敛
2 ∞ 1 2 1 则 ∑ =∑ n + − n 收敛 . n 2 n =1 n n =1 2 ∞ 2 ∞ 1 发散 . 矛盾 而 ∑ =∑ 2 ⋅ n n =1 n n =1
(整理)第十一章无穷级数(答案)34872
第十一章 无穷级数一、选择题1、无穷级数∑∞=1n nu的部分和数列}{n S 有极限S ，是该无穷级数收敛的 C 条件。
A 、充分，但非必要B 、必要，但非充分C 、充分且必要D 、既不充分，又非必要 2、无穷级数∑∞=1n nu的一般项n u 趋于零，是该级数收敛的 C 条件。
A 、充分，但非必要B 、必要，但非充分C 、充分且必要D 、既不充分，又非必要 3、若级数∑∞=1n nu发散，常数0≠a ，则级数∑∞=1n nauBA 、一定收敛B 、一定发散C 、当0>a 收敛，当0<a 发散D 、当1<a 收敛，当1>a 发散。
4、若正项级数∑∞=1n nu收敛，则下列级数必定收敛的是 AA 、∑∞=+1100n n uB 、∑∞=+1)100(n nuC 、∑∞=-1)100(n n u D 、∑∞=-1)100(n n u5、若级数∑∞=1n na 收敛，∑∞=1n nb发散，λ为正常数，则级数∑∞=-1)(n n nb aλ BA 、一定收敛B 、一定发散C 、收敛性与λ有关D 、无法断定其敛散性 6、设级数∑∞=1n nu的部分和为n S ，则该级数收敛的充分条件是 DA 、0lim =∞→nn u B 、1lim1<=+∞→r u u nn nC 、21n u n≤D 、n n S ∞→lim 存在7、设q k 、为非零常数，则级数∑∞=-11n n qk收敛的充分条件是 CA 、1<qB 、1≤qC 、1>qD 、1≥q8、级数∑∞=+111n p n发散的充分条件是 AA 、0≤pB 、1-≤pC 、0>pD 、1->p9、级数∑∞=1n na收敛，是级数∑∞=1n na绝对收敛的 C 条件A 、充分，但非必要B 、必要，但非充分C 、充分必要D 、既不充分，又非必要10、交错级数∑∞=++-111)1(n p n n绝对收敛的充分条件是 A A 、0>p B 、0≥p C 、1>p D 、1≥p11、设常数0>k ，则级数∑∞=+-12)1(n n n n k BA 、绝对收敛B 、条件收敛C 、发散D 、敛散性与k 有关 12、设常数0>a ，则级数∑∞=12sin n naAA 、绝对收敛B 、条件收敛C 、发散D 、敛散性与a 有关13、级数∑∞=12!n nn 与∑∞=+-11)1(n nn 的敛散性依次是 、D A 、收敛，收敛 B 、发散，发散 C 、收敛，发散 D 、发散，收敛 14、下列级数中，为收敛级数的是 CA 、∑∞=131n n B 、∑∞=+111n n C 、∑∞=+121n nn D 、∑∞=+112n n n 15、下列级数中，为发散级数的是 BA 、∑∞=1!2n nn B 、∑∞=12!n nn C 、∑∞=+121n n n D 、∑∞=-12)1(n n n16、下列级数中，为绝对收敛级数的是 DA 、∑∞=+111n n B 、∑∞=+-11)1(n n n C 、∑∞=+-1212)1(n nn n D 、∑∞=-12)1(n nn17、下列级数中，为条件收敛级数的是 AA 、∑∞=+-121)1(n n n n B 、∑∞=+-11)1(n n n n C 、∑∞=+-121)1(n nnn D 、∑∞=-12!)1(n nn n 18、幂级数∑∞=+12)1(n nnn x 的收敛区间是 BA 、[-2，2]B 、[)2,2- C 、(-2,2) D 、(]2,2-19、幂级数∑∞=-+-111)1(n nn n x 的收敛域是 、DA 、(-1,1)B 、[-1，1]C 、[)1,1-D 、(]1,1-20、幂级数∑∞=+++-111)1()1(n n n n x 的收敛域是 CA 、[-2，0]B 、（-2，0）C 、(]0,2-D 、[)0,2-二、填空题21、当参数α满足条件 时，级数∑∞=--+111n n n n α收敛。
高数下册各章总复习题及答案
第八章 多元函数微分法及其应用8.01 在“充分”，“必要”，“充分必要”中选择一个正确的填入下列空格内：（1）()y ,x f 在点()y ,x 可微分是()y ,x f 在该点连续的充 分条件；()y ,x f 在点()y ,x 连续是()y ,x f 在该点可微分的必 要条件。
（2）)y ,x (f z =在点()y ,x 的偏导数x z ∂∂及y z∂∂存在是()y ,x f 在该点可微分的必 要条件；)y ,x (f z =在点()y ,x 可微分是函数在该点的偏导数x z ∂∂及y z∂∂存的充 分条件。
（3）)y ,x (f z =的偏导数x z ∂∂及y z∂∂点()y ,x 存在且连续是()y ,x f 在该点可微分的充 分条件。
（4）函数()y ,x f z =的两个二阶混合偏导数y x z 2∂∂∂及x y z2∂∂∂在区域D 内连续是这两个二阶混合偏导数在D 内相等的充 分条件。
8.02求函数()()222yx 1ln y x 4y ,x f ---=的定义域，并求()y ,x f lim 0y 21x →→。
解：1)⎩⎨⎧≤<+<⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠-->--≥-x4y 1y x 01y x 10y x 10y x 422222222，定义域：(){}x 4y ,1y x 0y ,x D 222≤<+<=2)由初等函数的连续性知：43ln 20211ln 0214)0,21(f )y ,x (f lim 2220y 21x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯==→→+8.03 证明极限422y 0x y x xy lim+→→不存在。
证明：当点()y ,x 沿用x k y 1=趋于点()0,0时，有222220x 4220x k y 0x k 1k x k x kx lim y x xy lim 1+=+=+++→→=→，显然它是随着k 的不同而改变的，故：极限422y 0x y x xy lim+→→+不存在。
高等数学课后习题及答案(共11单元)08无穷级数
习题9-11．写出下列级数的前五项：（1） ∑∞=++1211n n n； （2） ∑∞=⋅-12)12(1n nn ； （3） ∑∞=-1)1(n nn ； （4）∑∞=1n nne.解 （1）第一项为1，第二项为53，第三项为104，第四项为175，第五项为266。
（2）第一项为21，第二项为121，第三项为401，第四项为1121，第五项为2881。
（3）第一项为-1，第二项为21，第三项为31-，第四项为41，第五项为51-。
（4）第一项为e ，第二项为22e ，第三项为33e ，第四项为44e ，第五项为55e 。
2．写出下列级数的一般项：（1） 1111357++++… （2） 1112ln 23ln 34ln 4+++…（3） 11234024567-++++++…（4）2345625101726a a a a a -+-+-…解 （1） 121-=n u n （2）()()1ln 11++=n n u n（3）12+-=n n u n （4）()11211-+-=+n a u n n n3．根据级数收敛与发散的定义，判别下列级数的敛散性，如果收敛，并求其和. （1）∑∞=12n n ； （2）∑∞=+-1)12)(12(1n n n ； （3）∑∞=++-+1)122(n n n n .解：（1） 级数的部分和为()222-12-121-==+n nn S 因为 ()+∞=-=+∞→∞→22lim lim 1n n n n S所以级数∑∞=12n n发散.（2）因为()()⎪⎭⎫⎝⎛+=+-121-1-212112121n n n n所以级数的部分和为 ()()12121751531311+-++⨯+⨯+⨯=n n S n⎪⎭⎫⎝⎛+++++=121-1-2171-5151-3131-121n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=121-121n 12+=n n而 21121lim12limlim =+=+=∞→∞→∞→nn nS n n n n 所以级数∑∞=+-1)12)(12(1n n n 收敛.且级数的和为21.（3）因为()()()n n n n n n n -+-+-+=+++11212-2所以级数的部分和为()()n n n S n ++++++++=12-2232-4122-3 ）（()()()()()nn n n -11-22-3-3-41-2-2-3+-+++++= ）（()()1212--+-+=n n()()12121--+++=n n而 ()()2-112lim121limlim =--+++=∞→∞→∞→n n n n n n s所以级数∑∞=+-1)12)(12(1n n n 收敛.且级数的和为2-1. 4．判别下列级数的敛散性，若收敛，并求其和. （1） 1111124816-+-+-… （2） 234e e e e -+-+… （3） 2233121212()()()232323++++++… （4） 231ln 3ln 3ln 3++++ (5)∑∞=+1)11ln(n n n（6）∑∞=1sinn nn π（7） 231sin1sin 1sin 1-+-+ (8)++-++⋅+⋅+⋅)15)(45(1161111161611n n解：（1） 级数的部分和可写为∑=-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=nn n n n s 1142141因为∑∞=-1141n n 是41=q 的等比数列，收敛并且和为3441-11=.同理∑∞=⨯1421n n是41=q 的等比数列，收敛并且和为3241-1121=⨯. 根据级数性质，∑∞=-⎪⎭⎫⎝⎛⨯-1142141n n n 也收敛，其和为 ∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-1142141n n n =∑∞=-1141n n -∑∞=⨯1421n n=3232-34=（2） 级数的部分和可写为()()()()n n n nn nn n e e e ee e e e e ees 2222221212111111-+=-----=-=∑=- 因为 ()-∞=-+=∞→∞→n n n n e ees 211limlim所以根据定义，该级数发散。
(完整版)无穷级数习题及答案.doc
第十一章 无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1． n 2n 1； ．1；3． 11 。
2n 1 2n 2n2n 13 n5 nn 1判断下列正项级数的敛散性．n! ；5． n e； 6．n 1；7． 2n 3；8． n 4 ；n 1 e n1 2nn 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n nn nn1 n9．；10．3n n 12n。
n 11求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛．1n 1n 1 ； 12．1n1； 13．1.1 1.01 1.001 1.0001；112 nln nn 1n 214．122 2 3 1 4 1 ；21 32 4 2求下列幂级数的收敛半径和收敛区间．3n x n；16．1 n x n ； 17．n! xn； ．1 n；n n n 1 2n n n 1 n n 1n 119．1 2n 1； 20． n 2n；1 2 n 1xn 1 3 n xn求下列级数的和函数21． n 1 nxn 1； 22． n 1 21n 1 x2n 1；将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数23． shx e xe x ， x 00 ；24． cos 2 x ， x 00 ；225． 1 x ln 1 x ， x 00 ； 26． 1， x 0 3 ；x将下列函数在区间, 上展开为付里叶级数27． A xcos x，x。
28． f x 2t ， x22x , 3x t 029．将函数 f x, 0 t 3 展开成付里叶级数。
xx, 0 xl2分别展开成正弦级数和余弦级数。
30．将函数 f xllx , x l2(B)用定义判断下列级数的敛散性1．1；2．1； 3．n 2 2 n 2n 03n 1 3n4n 1n n 1 n2n 1判断下列正项级数的敛散性2n n!2n2n3n na n． ； 5．；6． ，( a 0 )；4n3n 12n nn 1nn1n 11nb7．，其中 a na ( n)， a n ， b ， a 均为正数；n 1a n11x8．n，( a 0)；9． n 42x ；1 n 1 0 1 x n 1 1判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛n 12 n 2n 1ln 2110．1；11．n 1；12．1n 1 nn!12 n 13n 2 3nn 1n 1nn 1求下列幂级数的收敛半径和收敛域．nx 2 n；14．x n ，( a 0 ,b 0 )； 1312n!n 1 anb nn 115．n12 n 1； 16． 3n2 nn；12 n4 n x 5x 1 n 1n 1n求下列级数的和函数17． nx 2n ；18．2n 1x 2 n ； 19． n 2 x n ；n 1n 1n ! n 120．求证： ln 21；n ；； 2将下列函数展开成 xx 0 的幂的级数21．f x21，x 0 0 ；22．f x12 ，x 01；23． x ，x 0 0 ； 2x3x 1x1 x 224．证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项；25．写出函数 f x1 x 2k ， x2k 1 , 2k1 ， k 0, 1, 2,的2付里叶级数，并讨论收敛情况。
高数 第十一章 无穷级数12.2
n
lim
n
n
2
n1(1cos ) lim n2
n n
n 1 n
1 2
(
n
)2
1 2
2
,
根据极限审敛法, 知所给级数收敛.
铁岭师范高等专科学校 理工学院 数学教研室
lim
n
nun
l
0(或
lim
n
nun
)
,
则级数un n1
发散
(2)如果 p1,
而
lim
n
n
pun
l
(0 l
)
,
则级数un n1
收敛.
例 11
判定级数 n1
n 1(1 c
os
n
)
的收敛性.
3
3
解:
因为
lim
n
n
2
un
lim
n
n
2
n1(1cos ) lim n2
n n
n1 1 ( )2
n 2n
3
铁岭师范高等专科学校 理工学院 数学教研室
❖定理5(根值审敛法, 柯西判别法)
设 un n1
为正项级数,
如果 lim n n
un
,
则当 1 时级数
收敛 当1(或)时级数发散 当1时级数可能收敛也可
能发散.
a
例9 用根值审敛法判定级数 均为正数 的收敛性.
n 1
(
b an
)
n
其中ana(n),
an,
1 n
发散,
n
所以级数 sin 1 也发散.
n n铁1 岭师范高等专科学校 理工学院 数学教研室
(完整版)无穷级数期末复习题高等数学下册(上海电机学院)
第十一章无穷级数一、选择题1.在下列级数当中，绝对收敛的级数是（ C ）（A）∑∞=+1121n n(B)()()2311nnn∑∞=-(C)()∑--nn3111(D)()nnnn111--∑∞=2.()∑∞=-2!1nnnnx在-∞<x<+∞的和函数()=xf（A ）（A）e x2-(B) e x2(C) e x--2(D) e x2-3.下列级数中收敛的是（ B ）（A）∑+∞=11n nn(B)∑+∞=111n nn(C)()∑+∞=1121n n(D)()∑+∞=12111n n4.lim=∞→u nn是级数∑∞=1nnu收敛的（ B ）（A）充分条件(B) 必要条件(C) 充要条件(D) 无关条件5.级数∑∞=1nnu收敛的充分必要条件是（ C ）（A）lim=∞→u nn(B)1lim1<=+∞→ruunnn(C)s nn∞→lim存在（s n=u1+u2+…+u n）(D) nu n21≤6.下列级数中，发散的级数是（ B ）（A）∑∞=121n n(B)∑∞=11cosnn(C)()∑∞=131nn(D)()∑∞=-1132nn7.级数()()nx nnn51111-∑-∞=-的收敛区间是（ B ）（A）（0，2）(B)(]2,0 (C)[)2,0(D) [0，2]8.()+∞<<∞-∑∞=xnnnx1!的和函数是（ B ）（A）e x(B) 1-e x(C) 1+e x(D) x-119.下列级数中发散的是（ A ）（A）∑∞=12sinnnπ(B)()∑-∞=-1111nnn(C) ∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=143nn(D)∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=131n n10.幂级数()∑∞=-13nnx的收敛区间是（ B ）（A）()1,1-(B)()4,2(C) [)4,2(D)(]4,211.在下列级数中发散的是（ D ）（A）∑∞=123nn(B)()nnn1111∑∞=--(C) ∑∞=+1312n nn(D)∑∞=+13)1(1n nn12.幂级数()()xnnnn120!121+∞=∑+-的和函数是（ D ）（A）e x(B) xcos(C)()x+1ln(D) xsin13. 级数()()nx nn n 51111-∑-∞=-的收敛区间是（B ）（A ）（0，2） (B) (]2,0 (C) [)2,0 (D) [0，2]14. 在下列级数当中，绝对收敛的级数是（ C ）（A ）∑∞=+1121n n (B)()()2311nn n∑∞=-(C)()∑--n n 3111 (D)()n n n n111--∑∞=15. 下列级数中不收敛的是（ A ）．A ．∑∞=+-11)1(n nn n B ．∑∞=-11)1(n n n C ．∑∞=-1321)1(n n n D ．∑∞=-121)1(n nn16．在下列级数中发散的是（C ）（A ）∑∞=131n n（B ）Λ+++++321161814121 （C ）Λ+++3001.0001.0001.0（D ）()()()Λ+-+-53535353432 17．幂级数x n n nn ∑∞=++11)1ln(的收敛区间是（C ） （A ）[]1,1- (B)（-1，1）(C) [)1,1- (D) (]1,1-18．下列级数中条件收敛的是（ B ）A ．∑∞=--11)32()1(n n n B ．∑∞=--11)1(n n nC ．∑∞=--11)31()1(n nn D ．∑∞=-+-1212)1(n n n n19．幂级数∑∞=++11)21(n nn x 的收敛区间是（ C ） A ．)2123(,- B ．]2123[,- C ．)2123[,-D ．]2123(,-20.在下列级数中，条件收敛的是（ B ）（A ）()111+∑-∞=n n n n(B) ()n n n 111∑-∞= (C)()∑-∞=1211n nn (D)∑∞=11n n21.级数∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=+1152n n 的和Ｓ＝（ D ）（A ）23 (B) 35 (C) 52 (D) 3222. 设f(x)是周期为π2的周期函数，他在),[ππ-上的表达式为f(x)=x, 若f(x)的傅立叶级数 展开式为∑∞=++1)sin cos (2n n n nx b nx a a ，则=n a [D] A.1)1(2+-n n B.n n )1(2- C. 1)1(1+-n nD. 0 23. 设f(x)是周期为π2的周期函数，他在),[ππ-上的表达式为f(x)=2x , 若f(x)的傅立叶级数 展开式为∑∞=++1)sin cos (2n n n nx b nx a a ，则=n b [A] A. 0 B.n n)1(4- C. 1)1(2+-n n D. 1)1(4+-n n二、填空题 1．幂级数()∑∞=-02!1n nnn x的和函数是 e x 2-2.幂级数∑∞=02n nnx的收敛半径为21=R 。
第十一章 无穷级数(答案)
第十一章 无穷级数(一)1．解：∵()∑=∞→-+=+-+=nk n n k k S 12212，(∞→n ),∴原级数发散。
2．解：∵()∑∑==→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=nk n k n n k k k k S 1141221212122121212221，(∞→n )，∴原级数收敛且和为41。
3．解：∵4121511511513113113151315131111+→-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑∑∑===n n nk k n k n k k k k n S43=，(∞→n )，∴原级数收敛且和为43。
4．解：∵()∞=++=∞→+∞→+∞→1001lim !100100!1lim lim 11n n n U U n n n n nn n ，∴由比值判别法知原级数发散。
5．解：∵()1111lim 1lim lim 11<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=∞→+∞→+∞→e n n e n e e n U U en e n n en nn n ，∴由比值判别法知，原级数收敛。
6．解：∵02121limlim ≠=+=∞→∞→n n U n n n ，∴原级数发散。
7．解：∵()()2332lim 1lim=++=∞→∞→n n n n nU n n n ，而∑∞=11n n发散，∴由比较判别法知原级数发散。
8．解：∵()()0111lim !!11lim lim 4441=⎪⎭⎫⎝⎛++=++=∞→∞→+∞→n n n n n n n U U n n nn n ，∴由比值判别法知，原级数收敛。
9．解：∵13113lim 13lim lim <=+=⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→∞→∞→n n n n U n n nn n n n ，∴由比值判别法知，原级数收敛。
10．解：∵≤，而2121l i m 21l i m =-=+∞→∞→nn n n n n ，故121l i m <=∞→n n n U ，∴由根值判别法知，原级数收敛。
第十一章-无穷级数(习题及解答)
2.若 ，则下列级数中肯定收敛的是( )．
； ；
； ．答 .
3.设级数(1) 与(2) ，则( )．
级数(1)、(2)都收敛； 级数(1)、(2)都发散；
级数(1)收敛，级数(2)发散； 级数(1)发散，级数(2)收敛．答 .
4.设级数(1) 与(2) ,则( ).
； ；
； ．答 .
二、填空题
1. 是以 为周期的函数， 傅里叶级数为 ．
答： 其中
2. 是以 为周期的偶函数， 傅里叶级数为 ．
答：
3. 是以 为周期的奇函数， 傅里叶级数为 ．
答：
4.在 的傅里叶级数中， 的系数为．答：
5.在 的傅里叶级数中， 的系数为．答：
6.在 的傅里叶级数中， 的系数为．答：
在区间 上正交； 以上结论都不对．答 .
2.函数系
在区间 上正交； 在区间 上不正交；
不是周期函数； 以上结论都不对．答 .
3.下列结论不正确的是( )．
； ；
； ．答 .
4. 是以 为周期的函数，当 是奇函数时，其傅里叶系数为( )．
； ；
； ．答 .
5. 是以 为周期的函数，当 是偶函数时，其傅里叶系数为( )．
一、单项选择题
1.级数 与 满足 ,则( )．
若 收敛,则 发散； 若 发散,则 发散；
若 收敛,则 发散； 若 收敛,则 未必收敛．答 .
2.下列结论正确的是( )．
收敛，必条件收敛； 收敛，必绝对收敛；
发散，则 必条件收敛；
收敛，则 收敛．答 .
2.下列级数中，绝对收敛的是( )．
; ；
； ．答 .
无穷级数 期末复习题 高等数学下册 (上海电机学院)
第十一章无穷级数一、选择题1.在下列级数当中，绝对收敛的级数是（ C ）（A）∑∞=+1121n n(B)()()2311nnn∑∞=-(C)()∑--nn3111(D)()nnnn111--∑∞=2.()∑∞=-2!1nnnnx在-∞<x<+∞的和函数()=xf（A ）（A）e x2-(B) e x2(C) e x--2(D) e x2-3.下列级数中收敛的是（ B ）（A）∑+∞=11n nn(B)∑+∞=111n nn(C)()∑+∞=1121n n(D)()∑+∞=12111n n4.lim=∞→u nn是级数∑∞=1nnu收敛的（ B ）（A）充分条件(B) 必要条件(C) 充要条件(D) 无关条件5.级数∑∞=1nnu收敛的充分必要条件是（ C ）（A）lim=∞→u nn(B)1lim1<=+∞→ruunnn(C)s nn∞→lim存在（s n=u1+u2+…+u n）(D) nu n21≤6.下列级数中，发散的级数是（ B ）（A）∑∞=121n n(B)∑∞=11cosnn(C)()∑∞=131nn(D)()∑∞=-1132nn7.级数()()nx nnn51111-∑-∞=-的收敛区间是（ B ）（A）（0，2）(B)(]2,0 (C)[)2,0(D) [0，2]8.()+∞<<∞-∑∞=xnnnx1!的和函数是（ B ）（A）e x(B) 1-e x(C) 1+e x(D) x-119.下列级数中发散的是（ A ）（A）∑∞=12sinnnπ(B)()∑-∞=-1111nnn(C) ∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=143nn(D)∑⎪⎭⎫⎝⎛∞=131n n10.幂级数()∑∞=-13nnx的收敛区间是（ B ）（A）()1,1-(B)()4,2(C) [)4,2(D)(]4,211.在下列级数中发散的是（ D ）（A）∑∞=123nn(B)()nnn1111∑∞=--(C) ∑∞=+1312n nn(D)∑∞=+13)1(1nnn12.幂级数()()xnnnn120!121+∞=∑+-的和函数是（ D ）（A）e x(B) xcos(C)()x+1ln(D) xsin13. 级数()()nx nn n 51111-∑-∞=-的收敛区间是（B ）（A ）（0，2） (B) (]2,0 (C) [)2,0 (D) [0，2]14. 在下列级数当中，绝对收敛的级数是（ C ）（A ）∑∞=+1121n n (B)()()2311nn n∑∞=-(C)()∑--n n 3111 (D)()nn n n111--∑∞=15. 下列级数中不收敛的是（ A ）．A ．∑∞=+-11)1(n nn n B ．∑∞=-11)1(n nnC ．∑∞=-1321)1(n n nD ．∑∞=-121)1(n nn16．在下列级数中发散的是（C ）（A ）∑∞=131n n（B ）+++++321161814121（C ） +++3001.0001.0001.0（D ）()()()+-+-5353535343217．幂级数x n n nn ∑∞=++11)1ln(的收敛区间是（C ）（A ）[]1,1- (B)（-1，1）(C) [)1,1- (D) (]1,1-18．下列级数中条件收敛的是（ B ）A ．∑∞=--11)32()1(n nnB ．∑∞=--11)1(n n nC ．∑∞=--11)31()1(n nn D ．∑∞=-+-1212)1(n n nn19．幂级数∑∞=++11)21(n nnx 的收敛区间是（ C ）A ．)2123(,- B ．]2123[,- C ．)2123[,-D ．]2123(,-20.在下列级数中，条件收敛的是（ B ）（A ）()111+∑-∞=n nn n(B)()n n n111∑-∞=(C)()∑-∞=1211n nn (D)∑∞=11n n21.级数∑⎪⎭⎫ ⎝⎛∞=+1152n n 的和Ｓ＝（ D ）（A ）23(B) 35(C) 52(D) 3222. 设f(x)是周期为π2的周期函数，他在),[ππ-上的表达式为f(x)=x, 若f(x)的傅立叶级数 展开式为∑∞=++10)sin cos (2n n nnx b nx aa ，则=n a [D]A. 1)1(2+-n nB.nn)1(2- C.1)1(1+-n nD. 023. 设f(x)是周期为π2的周期函数，他在),[ππ-上的表达式为f(x)=2x , 若f(x)的傅立叶级数 展开式为∑∞=++10)sin cos (2n n nnx b nx aa ，则=nb [A]A. 0B.nn)1(4- C.1)1(2+-n nD. 1)1(4+-n n二、填空题1．幂级数()∑∞=-02!1n nnn x 的和函数是 e x 2-2.幂级数∑∞=02n nnx的收敛半径为21=R 。
柴俊,丁大公,陈咸平 等 编 科学出版社 华东师范大学 高等数学 上下册 答案Ch_11_Infinite_series
第11章 无穷级数参考解答1、根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的敛散性： （1）()111n n n ∞=+∑ 解：()()1111111nn k S n k k n ===-→→∞++∑，故原级数收敛。
（2）1n ∞=解：()1nn k S n ===→∞→∞，故原级数发散。
2、用比较审敛法判别下列级数的敛散性： （1）1n ∞= 解：32lim 1n n →∞==<，而级数3121n n ∞=∑收敛，故原级数收敛。
（2）23111n n n∞=++∑ 解：2311lim 11n n n n→∞++==，而级数11n n∞=∑发散，故原级数发散。
（3）112sin5n n n ∞=∑ 解：12sin5lim 125n n n n →∞==⎛⎫⎪⎝⎭，而级数125n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛，故原级数收敛。
（4）2211ln n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑ 解：2221ln lim 11n n n n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭==，而级数211n n∞=∑收敛，故原级数收敛。
（利用极限1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭，或()0ln 1lim1x x x →+=） （5）()11ln 1n n ∞=+∑ 解：()11ln 1n n >+，而级数11n n∞=∑发散，故原级数发散。
3、用比值审敛法判别下列级数的敛散性： （1）121nn n∞=-∑ 解：111121121lim lim 121221n n n n n nn n n n ++→∞→∞++--==<--，故原级数收敛。
（2）15!n n n n n∞=∑解：()()1151!115lim5lim15!11n n n nn n nn n n en n ++→∞→∞++==>⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故原级数发散。
（3）()()21!2!n n n ∞=∑解：()()()()()()()()2221!22!11limlim 121224!2!n n n n n n n n n →∞→∞+++==<++，故原级数收敛。
[经济学]高等数学第十一章无穷级数第二节常数项级数的审敛法
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∞
∞
(3) 当 l = +∞ 时, 若
∑ v n 发散,则 ∑ un 发散;
n =1 n =1
∞
∞
un 证明 (1) 由lim = l n→ ∞ v n
l 对于ε = > 0, 2
l l un ∃ N , 当n > N时, l − < < l + 2 vn 2 l 3l 即 v n < un < v n 2 2 (n > N )
莱布尼茨定理
如果交错级数满足条件:
(ⅰ) un ≥ un + 1 ( n = 1,2,3,
) ;(ⅱ) lim un = 0 ,
1 1 n an a < 1, un < a ;a = 1, un ≡ ;a > 1, un < n . ( 2 )∑ ; 2n 2 a n =1 1 + a 2 ∞ v ( + 1 ) 1 π n π 2 n+1 2 = → ; ( 3)∑ n sin n ; un ~ n ⋅ n = vn, 2 2 vn 2 2n 2 n =1 ∞ un+1 n+1 p 1 np =( ) → 0; ( 4 )∑ ; un n n+1 n =1 n!
a n+1 (n + 1)! a n n!
(n + 1)
n +1
a a = → 1 n e (1 + ) n
nn ⎧ a < e , 收敛 , ⎪ ∴ ⎨ a > e , 发散 , ⎪ a = e , 发散 . ⎩
n n = a( ) n+1
3.根值审敛法 (柯西 Cauchy 判别法)：
高数各章综合测试题与答案
第十一章 无穷级数测试题一、单项选择题1、若幂级数1(1)nnn a x ∞=+∑在1x =处收敛，则该幂级数在52x =-处必然（ ） (A) 绝对收敛； (B ） 条件收敛; (C) 发散； （D ） 收敛性不定。
2、下列级数条件收敛的是（ ）.（A ） 1(1);210n n nn ∞=-+∑（B) 11n n -∞= （C ）111(1)();2nn n ∞-=-∑ （D) 11(1)n n ∞-=-∑ 3、若数项级数1nn a∞=∑收敛于S ,则级数()121nn n n aa a ∞++=++=∑（ )(A) 1;S a + （B) 2;S a + (C) 12;S a a +- (D) 21.S a a +- 4、设a为正常数，则级数21sin n na n ∞=⎡⎢⎣∑( ）.(A ） 绝对收敛； （B) 条件收敛； (C ） 发散; （D ） 收敛性与a 有关. 5、设2(),01f x x x =<≤，而1()sin π,nn S x bn x x ∞==-∞<<+∞∑,其中102()sin π,(1,2,)n b f x n x n ==⎰,则1()2S -等于（ ） （A) 1;2- （B ） 1;4- （C) 1;4 （D) 12。
二、填空题1、 设14n n u ∞==∑,则111()22n nn u ∞=-=∑（ ) 2、 设()111n n n a x ∞+=-∑的收敛域为[)2,4-，则级数()11nnn na x ∞=+∑的收敛区间为( ）3、 设32,10(),01x f x x x -<⎧=⎨<⎩≤≤，则以2为周期的傅里叶级数在1x =处收敛于（ ) 4、 设2()π,ππf x x x x =+-<<的傅里叶级数为()01cos sin ,2n n n a a nx b nx ∞=++∑ 则3b =( )5、级数()1(1)221!n n nn ∞=-+∑的和为（ ）三、计算与应用题 1、求级数()113;3nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域 2、求()21112nn n ∞=-⋅∑的和 3、将函数()2()ln 12f x x x =--展开为x 的幂级数，并求()(1)0n f+4、求2012!nnn n x n ∞=+∑的和函数 5、 已知()n f x 满足1()()e n xn n f x f x x -'=+，n 为正整数,且e(1)n f n=，求函数项级数()1n n f x ∞=∑的和函数.6、 设有方程10n x nx +-=，其n 中为正整数，证明此方程存在唯一正根0x ,并证明当1α>时，级数1n n x α∞=∑收敛.四、证明题设π40tan d n n a x x =⎰（1） 求()211n n n a a n∞+=+∑ （2） 试证:对任意常数0λ>，级数1nn a n λ∞=∑收敛 提示：()()2111n n a a n n n ++=+，()2111n n n a a n∞+=+=∑。
最新111第十一章无穷级数第一节常数项级数的概念与性质汇总
«Skip Record
发散。 If...»
2). 若
不一定推出
发
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
散。
3). 可以利用级数收敛的必要条件求某数列的极限。
如：①要求
用以前的方法无法求，
«Skip Record If...»
111 第十一章无穷级 数第一节常数项级数
的概念与性质
精品资料
第十一章 无穷级数
教学目标：
第一节 常数项级数的概念与性质
1、理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念.
2、掌握级数的基本性质及收敛的必要条件，掌握几何级数收敛和发散的条件.
课时安排：2 课时
重点：1、 掌握级数收敛的充要和必要条件；
四、级数收敛的必要条件.
1、结论（Theorem），«Skip Record If...» «Skip Record If...»
简证: «Skip Record If...» ① . «Skip Record If...» ②.
«Skip Record If...»
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5
解释：
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4
精品资料
原 «Skip Record If...»： «Skip Record If...»
新«Skip Record If...» «Skip Record If...»
5、例子
例 1. 若
.
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
二、常数项无穷级数定义
1、定义: 设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，. . . 是常数列, 算
第十一章 无穷级数分解
第十一章 无穷级数早在十七世纪无穷级数就已成为研究一些特殊函数、特殊数的有利工具。
直到十九世纪初，随着极限理论的建立，使得无穷级数的理论逐步严格准确丰富起来。
而且它在自然科学及工程技术等领域里有着广泛的应用。
所以无穷级数是高等数学的一个重要组成部分。
本章的主要学习内容是无穷级数的概念、性质，数项级数的审敛法，幂级数、傅立叶级数。
§1 常数项级数的概念和性质 一、概念1、无穷级数给定数列u 1, u 2 , … ,u n …，称式子 ++++n u u u 21为常数项无穷级数。
记为∑∞=1n n u ,其中u n称为级数的一般项。
例如：① 1+2+3+…+n+… 一般项 u n = n ② a+aq+aq 2+aq 3+…+aq n-1+… （等比级数a≠0,q≠0）u n = aq n-1③() ++⨯++⨯+⨯11321211n n u n = ()11+⨯n n ④ ()+-+-+--111111n u n = ()11--n⑤ln 12+ ln 23+… +lnn n 1++… u n = ln nn 1+ 2、级数的部分和数列 称级数∑∞=1n n u 前n 项的和n n u u u s +++= 21为级数∑∞=1n n u 的部分和。
当n=1,2,…时，级数∑∞=1n n u 的部分和所对应的数列：11u s =,212u u s +=，…，k k u u u s +++= 21，… 称为级数∑∞=1n nu的部分和数列；简记{}n s 。
3、级数收敛、发散的定义若s s nn =∞→lim ,则称级数∑∞=1n n u 收敛，其和为s 。
即 ∑∞=1n n u =s s n n =∞→lim若n n s ∞→lim 不存在，称级数∑∞=1n nu发散。
当级数∑∞=1n nu 收敛和为s 时，称 ++=-=++11n n n n u u s s r 为级数∑∞=1n nu 的余项，显然0l i m =∞→n n r 。
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第十一章 无穷级数一、选择题1、无穷级数∑∞=1n nu的部分和数列}{n S 有极限S ，是该无穷级数收敛的 C 条件。
A 、充分，但非必要B 、必要，但非充分C 、充分且必要D 、既不充分，又非必要 2、无穷级数∑∞=1n nu的一般项n u 趋于零，是该级数收敛的 C 条件。
A 、充分，但非必要B 、必要，但非充分C 、充分且必要D 、既不充分，又非必要 3、若级数∑∞=1n nu发散，常数0≠a，则级数∑∞=1n nau BA 、一定收敛B 、一定发散C 、当0>a收敛，当0<a 发散 D 、当1<a 收敛，当1>a 发散。
4、若正项级数∑∞=1n nu收敛，则下列级数必定收敛的是 AA 、∑∞=+1100n n uB 、∑∞=+1)100(n nuC 、∑∞=-1)100(n n u D 、∑∞=-1)100(n n u5、若级数∑∞=1n na 收敛，∑∞=1n nb发散，λ为正常数，则级数∑∞=-1)(n n nb aλ BA 、一定收敛B 、一定发散C 、收敛性与λ有关D 、无法断定其敛散性 6、设级数∑∞=1n nu的部分和为n S ，则该级数收敛的充分条件是 DA 、0lim =∞→nn u B 、1lim1<=+∞→r u u nn nC 、21n u n≤D 、n n S ∞→lim 存在7、设q k 、为非零常数，则级数∑∞=-11n n qk收敛的充分条件是 CA 、1<qB 、1≤qC 、1>qD 、1≥q8、级数∑∞=+111n p n发散的充分条件是 AA 、0≤pB 、1-≤pC 、0>pD 、1->p9、级数∑∞=1n na收敛，是级数∑∞=1n na绝对收敛的 C 条件A 、充分，但非必要B 、必要，但非充分C 、充分必要D 、既不充分，又非必要10、交错级数∑∞=++-111)1(n p n n绝对收敛的充分条件是 A A 、0>p B 、0≥p C 、1>p D 、1≥p11、设常数0>k ，则级数∑∞=+-12)1(n n n n k BA 、绝对收敛B 、条件收敛C 、发散D 、敛散性与k 有关 12、设常数0>a ，则级数∑∞=12sin n naAA 、绝对收敛B 、条件收敛C 、发散D 、敛散性与a 有关13、级数∑∞=12!n nn 与∑∞=+-11)1(n nn 的敛散性依次是 、D A 、收敛，收敛 B 、发散，发散 C 、收敛，发散 D 、发散，收敛 14、下列级数中，为收敛级数的是 CA 、∑∞=131n n B 、∑∞=+111n n C 、∑∞=+121n nn D 、∑∞=+112n nn 15、下列级数中，为发散级数的是 BA 、∑∞=1!2n nn B 、∑∞=12!n nn C 、∑∞=+121n n n D 、∑∞=-12)1(n n n16、下列级数中，为绝对收敛级数的是 DA 、∑∞=+111n n B 、∑∞=+-11)1(n n n C 、∑∞=+-1212)1(n nn n D 、∑∞=-12)1(n nn17、下列级数中，为条件收敛级数的是 AA 、∑∞=+-121)1(n n n n B 、∑∞=+-11)1(n n n n C 、∑∞=+-121)1(n nnn D 、∑∞=-12!)1(n nn n 18、幂级数∑∞=+12)1(n nnn x 的收敛区间是 BA 、[-2，2]B 、[)2,2- C 、(-2,2) D 、(]2,2-19、幂级数∑∞=-+-111)1(n nn n x 的收敛域是 、DA 、(-1,1)B 、[-1，1]C 、[)1,1-D 、(]1,1-20、幂级数∑∞=+++-111)1()1(n n n n x 的收敛域是 CA 、[-2，0]B 、（-2，0）C 、(]0,2-D 、[)0,2-二、填空题21、当参数α满足条件 时，级数∑∞=--+111n n n n α收敛。
22、当参数p 满足条件 时，级数∑∞=++-111)1(n p n n 条件收敛。
23、若级数∑∞=0n nn xa 的收敛半径为R ，则级数∑∞=02n n nx a的收敛半径为24、若级数∑∞=0n nn xa 的收敛半径为R ，则级数nn n n x a ∑∞=+012的收敛半径为 25、级数∑∞=+-01!)1(n n n x n 的和函数为26、级数∑∞=---021)!12()1(n nn x n 的和函数为27、设)(x f 在),(+∞-∞内有定义的周期函数，周期为π2，且)(x f 在(]ππ,-的表达式为：⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤<--=ππx x x x x f 0,10,1)(22，则)(x f 在π=x 处的付立叶级收敛于28、设)(x f 在),(+∞-∞内有定义的周期函数周期为2，且⎩⎨⎧≤<≤<-=10,01,2)(3x x x x f ，则)(x f 在3=x 处的付立叶级数收敛于29、设)(x f 在),(+∞-∞内有定义的周期函数，周期π2=T ，且)()(2πππ≤<-+=x x x x f ，其付立叶级数为∑∞=++10)sin cos (2n n n nx b nx a a ，则系数=3b30、设函数)10(,)(2<≤=x x x f ，其付立叶级数为∑∞==0sin )(n n xn b x S π，其中系数⎰=10s i n ).(2xdx n x f b n π，则=-)21(S21、21>α 22、01≤<-p 23、R 24、R 2 25、xxe -26、x x sin 27、2π 28、3/2 29、π32 30、41-三、计算题1、判别级数nn n n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+1133的敛散性。
2、判断级数∑∞=-1576n nn n的敛散性。
3、判断级数∑∞=1!.3n n n n n 的敛散性。
4、求幂级数∑∞=⋅+15)1(n nnn x 的收敛域。
5、求幂级数∑∞=⋅-13)1(n nnn x 的收敛域。
6、求幂级数∑∞=--+112)3(2n n nn x n的收敛区间（不讨论端点处的敛散性）。
7、求级数∑∞=+11n n nx的和函数。
8、求级数∑∞=-112n n xn 的和函数。
9、求级数∑∞=++-01212)1(n n nn x 的和函数。
10、将函数321)(2--=x x x f 展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间。
11、证明：若正项级数∑∞=0n n a 与∑∞=0n n b 均收敛，则级数∑∞=0n n n b a 与∑∞=0n nna 也收敛。
12、证明：若0lim ≠=∞→a a nn ，则级数∑∞=+-11n nn a a 与nn a a 111-+同敛散性。
1、解：∵0)1311(lim )133(lim lim 31≠=+-=+=-∞→∞→∞→e n n n u nn n n n n ， ∴根据级数收敛的必要条件，原级收敛发散。
2、解：∵176576576lim lim 1111<=--=+++∞→+∞→nn n n n n n nn n u u ， ∴根据比值审敛法，原级数收敛。
3、解：∵13)11(3lim )1().1(3lim !.3)1()!1.(3lim lim 1111>=+=++=++=∞→+∞→++∞→+∞→enn n n n n n n u u n n n n n n n n n n n n n ∴根据比值审敛法，原级数发散。
4、解：∵155).1(5).2(lim)()(lim 111<=++=++∞→+∞→x n x n x x a x a nnn n n nn n （令）即55<<-x ，当5-=x 时，原级数化为：∑∑∞=∞=+-=+-111)1(5)1()5(n nn nn n n ，收敛；当5=x 时，原级数化为：∑∑∞=∞=+=+11115)1(5n n nn n n ，发散。
故原级数的收敛域为[)5,5-。
5、解：∵131.3)1()1(3)1(lim )()(lim 111<-=-+-=++∞→+∞→x n x n x x a x a n nn n n n n n （令），即42<<-x ，当2-=x 时，原级数化为：∑∑∞=∞=-=⋅--11)1(3)12(n n nnn n n ，收敛；当4=x 时，原级数化为：∑∑∞=∞==-111.3)14(n n nn n n ，发散。
故原级数的收敛域为[)4,2-。
6、解：∵21112111211)3(2)3(2lim )3(2.)3(2)1(lim )()(lim xnn x n x n x a x a n n n n n n n n n n n n nn n ⋅+⋅-+-+=-+-++=++∞→-+++∞→+∞→13.)3().(21)(lim 223232<=-++=--∞→x x n n n （令），即32<x 。
∴原级数的收敛区间为)3,3(-。
7、解：原式∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=-'-='='==11212212]1[][)(n n n n n nnn x x x x xxnxx)1,1(,)1(]111[222--='--=x x x x8、解：原式∑∑∑∑∑∞=∞=∞=-∞=∞=--'+''=+-=+-=11111111)()()1(])1([n n n n nn n n n n x x x nxxn n xn n n]111[]111[]1[]1[][][011'--+''--='-+''-='+''=∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=xx x x x x x x x n n n n n nn n )1,1(,)1(1)1(1)1(2323--+=-+-=x x x x x9、解：原式⎰⎰∑⎰∑∑∞=∞=+∞=+-='+-='+-=xx n x n n n n n n ndx x dx n x dx n x 00000212012)(]12)1[(]12)1([⎰-=--=xx arrc dxx 02)1,1(,tan )(1110、解：∵∑∞=-=-0)1,1(,11n n x x∴)(1141311121]1131[41)3)(1(1)(x x x x x x x f -----=+--=-+= ∑∑∑∞=∞=+∞=--+-=---=0010)3,3(,])1(31[41)(41)3(121n n n n n n n n x x x 11、证（1）∵对于任意正数n n b a 与恒有0)(2≥-n n b a ，即02≥+-n n n n b b a a 。