电磁场与电磁波第二章静电场精品PPT课件
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电磁场与电磁波静电场PPT精选文档
q(
4
r
0
r' ) r r' 3
图1.1.2 点电荷的电场
q
4 0R2
eR
V/m
Slide 7
b) n个点电荷产生的电场强度 (注意:矢量叠加)
Slide 8
E (r) 4 1 0k N 1r q r k k '2r r r r k k '' 4 1 0k N 1R q k k 2 e k
图1.2.4 点电荷与接地导体的电场
图1.2.5 点电荷与不接地导体的电场
2) 已知电荷分布，求电位：
以点电荷为例推导电位：
E(r)4q0
rr' rr' 3
1
rr'
rr'
rr' 3
点电荷群
(r)410 iN 1
qi rri'
C
连续分布电荷
E (r) 40q rr' (r)
(r)410 v'
dqC rr'
(r)40qrr' C
d:qd,Vd,Sdl
Slide 20
3) E与的微分关系
E
在静电场中，任意一点的电场强度E的方向总是沿着电位减少的最快 方向，其大小等于电位的最大变化率。
在直角坐标系中：
E[ xex yey zez]
根据 E 与的微分关系，试问静电场中的某一点
• 0 E0 ？
(
)
• E0 0 ？
(
)
Slide 21
4) E与 的积分关系
Edl dl
Slide 14
Slide 15
u uv eR
Slide 15
电磁场与电磁波之静电场分析课件
静电场可以用于药物传 递和基因治疗，提高药 物靶向性和治疗效果。
静电场可以用于肿瘤热 疗和免疫治疗等领域， 为肿瘤治疗提供新的手 段。
静电场的安全防护
1.A 为了避免静电场对生物体的负面影响，需要采 取有效的安全防护措施。
1.B 安全防护措施包括控制电场强度、减少作
用时间和优化作用方式等。
1.C 在生物医学应用中，需要严格控制电场参数 ，确保安全性和有效性。
静电场的解法通常包括解析法和数值 法。
数值法适用于复杂形状和电荷分布的 情况，通过离散化电荷分布和电场， 使用数值计算方法求解微分方程和边 界条件，得到近似解。
解析法适用于简单的物理特性
电场线与电通量密度
电场线
表示电场分布的假想曲线，线上每一点的切线方向与该点的 电场方向一致。电场线的疏密程度表示电场强度的大小。
电磁场与电磁波之静 电场分析课件
目录
• 静电场的基本概念 • 静电场的数学描述 • 静电场的物理特性 • 静电场的工程应用 • 静电场的测量技术 • 静电场的生物效应
01 静电场的基本概念
电场与电场强度
电场
带电体周围存在的一种特殊物质 ，由正负电荷产生，其基本特性 是对其中运动的电荷施加力。
电场强度
02
高斯定理
在静电场中，穿过任意闭合曲面的电场强度通量等于该 曲面内包围的电荷量。
03
静电场的边界条件
在两种不同介质分界面上，电场强度和电位满足一定的 连续性条件。
02 静电场的数学描述
静电场的微分方程
静电场的基本微分方程是高斯定 理和泊松方程。
高斯定理描述了电场线在封闭曲 面内的电荷量总和，而泊松方程 则描述了电荷分布如何产生电场
静电除尘与静电喷涂
第02章静电场(1)优秀课件
静电场特性的进一步认识：
（1）高斯定律中的电量 q 应理解为封闭面 S 所包围的全部正 负电荷的总和。 （2）静电场的电场线是不可能闭合的 ，而且也不可能相交。
（3）任意两点之间电场强度 E 的线积分与路径无关。真空中 的静电场和重力场一样，它是一种保守场。
（4）已知电荷分布的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度， 或者可以通过电位求出电场强度，或者直接根据电荷分布计算电 场强度等三种计算静电场的方法。
按照国家标准，电位以小写希腊字母 表示，上式应写为
E
将电位表达式代入，求得电场强度与电荷密度的关系为
E(r) V
4π(r0)r(rrr3)dV
若电荷分布在一个有限的表面上，或者分布在一个有限的线段内，那么
可以类推获知此时电位及电场强度与电荷的面密度 S 及线密度l 的关系分别
为
(r)4π10
S(r)dS
自由空间中静电场的电场强度的环量处处为零，因此其电场 线是不可能闭合的，否则沿一条闭合电场线的电场强度的线积 分会因电场强度E与线元dl的方向处处一致而使环量不为零。由 此可以证明，任意两点之间电场强度的线积分与路径无关。
自由空间中的静电场是保守场。
例1 计算点电荷的电场强度。
点电荷就是指体积为零，但具有一定电量的电荷。由于点电荷的 结构具有球对称特点，因此若点电荷位于球坐标的原点，它产生的 电场强度一定与球坐标的方位角及无关。
(r) q 4π0r
求得电场强度 E 为
E 4 π q 0 1 r 4 π q 0 r 2e r 4 π q r 0 r 3
若直接根据电场强度公式（2-2-14），同样求得电场强度E为
EV 4π (r0 )re2 rdV4πq0r2er
电磁场与电磁波第2章1
如图所示，在电流回路 l '所产生的磁场中，任取一闭合回路
l , 设P是 l 回路上的一点，则电流回路 l ' 在P点处产生的
磁感应强度为
Ñ r
B
0
4
r Idl
'
erR
l ' r Rr2
Ñ 0I dl ' R
4 l ' R3
M
d
dl P
n
l
R
S
I l'
r
计算
B
在回路
蜒l Br
r dl
l
上的闭合线积分有
电偶极子在任意一点P的电位为
q ( 1 1 ) q ( r2 r1 ) 40 r1 r2 40 r1r2
式中 r1 和 r2分别是两电荷
到 P 点的距离。
x
z
d
q 2
o
r1 r2
q d 2
P(x, y, z)
y
如果两电荷沿z轴对称分布并且距离P点很远，于是
r 近
似
1
的
r 表
示2
r1 r 0.5d cos
r Idl
'
erR
(
1
)
r Idl
'
R2
R
rr
r
Ñ 根据高斯定律
BgdS gBdV
s
v
Ñ m
0 4
g
(
1
)
r Idl
'
dV
v
l' R
即
Ñ m
0 4
v
1r
g[( ) Idl ']dV
l'
电磁场与电磁波-第四版-第二章-ppt教学文稿
• 电荷是物质基本属性之一。 • 1897年英国科学家汤姆逊(J.J.Thomson)在实验中发现了电子。 • 1907－1913年间，美国科学家密立根(iken)通过油滴实验，精确测定电子电荷的量值为 e =1.602 177 33×10-19 (单位：C) 确认了电荷量的量子化概念。换句话说，e 是最小的电荷量，而任何带电粒子所带电荷都是e 的整数倍。
流过任意曲面S 的电流为
体电流密度矢量
正电荷运动的方向
2. 面电流
电荷在一个厚度可以忽略的薄层内定向运动所形成的电流称为面电流，用面电流密度矢量 来描述其分布
面电流密度矢量
0
单位：A/m。
通过薄导体层上任意有向曲线 的电流为
正电荷运动的方向
2.1.3. 电荷守恒定律（电流连续性方程）
磁通连续性原理（积分形式）
安培环路定理表明：恒定磁场是有旋场，是非保守场、电流是磁 场的旋涡源。
恒定磁场的旋度（微分形式）
2. 恒定磁场的旋度与安培环路定理
安培环路定理（积分形式）
解：分析场的分布，取安培环路如图
两边求旋度可得
可得
利用斯托克斯定理
得到环路定理
2.2.2 静电场的散度与旋度
高斯定理表明：静电场是有源场，电场线起始于正电荷，终止 于负电荷。
静电场的散度（微分形式）
1. 静电场散度与高斯定理
静电场的高斯定理（积分形式）
环路定理表明：静电场是无旋场，是保守场，电场力做功与路径 无关。
在圆环的中心点上，z = 0，磁感应强度最大，即
体电流磁场感应强度：
利用
得到
利用矢量恒等式
2.3.2 恒定磁场的散度和旋度
1. 恒定磁场的散度与磁通连续性原理
流过任意曲面S 的电流为
体电流密度矢量
正电荷运动的方向
2. 面电流
电荷在一个厚度可以忽略的薄层内定向运动所形成的电流称为面电流，用面电流密度矢量 来描述其分布
面电流密度矢量
0
单位：A/m。
通过薄导体层上任意有向曲线 的电流为
正电荷运动的方向
2.1.3. 电荷守恒定律（电流连续性方程）
磁通连续性原理（积分形式）
安培环路定理表明：恒定磁场是有旋场，是非保守场、电流是磁 场的旋涡源。
恒定磁场的旋度（微分形式）
2. 恒定磁场的旋度与安培环路定理
安培环路定理（积分形式）
解：分析场的分布，取安培环路如图
两边求旋度可得
可得
利用斯托克斯定理
得到环路定理
2.2.2 静电场的散度与旋度
高斯定理表明：静电场是有源场，电场线起始于正电荷，终止 于负电荷。
静电场的散度（微分形式）
1. 静电场散度与高斯定理
静电场的高斯定理（积分形式）
环路定理表明：静电场是无旋场，是保守场，电场力做功与路径 无关。
在圆环的中心点上，z = 0，磁感应强度最大，即
体电流磁场感应强度：
利用
得到
利用矢量恒等式
2.3.2 恒定磁场的散度和旋度
1. 恒定磁场的散度与磁通连续性原理
电磁场与电磁波 ppt 第二章：静电场2
取向极化： 在电场作用下，分子的电矩克服热运动，而使分子电矩向电场方向移动，产生合 成电矩
在本课程中，我们并不关心介质极化的微观机理，而主要研究介质极化对静电场的 宏观影响，即电场的本构关系。
2、极化强度
介质极化可看成一个个偶极矩的集合，每一个偶极矩的电矩可认为P，则在电场的
P lim p 作用下，介质中某体积元 内的合成电矩为ΣP，有：
夹角关系
由 和
由此得到介质两则电场的夹角（折射）关系：
Example 2.13
半径分别为a和b的同轴线．外加电压U，如图所示。圆柱面电极间在图示θ1角部分 充满介电常数为ε的介质．其余部分为空气，求介质与空气中的电场和单位长度上 的电容量。
解：1
介质与空气中的电位必须既满足拉普拉斯方 程,又满足导体表面的边界条件
表面电流为
线电流
当电荷在一根很细的导线中流过时，或电荷束的横截面很小时，可考虑线电流的概念。
线电流定义为
其中，α是电荷运动方向的单位矢量。
3、恒定电场的基本方程
（1）.电流连续性方程
由电荷守恒出发，在导体中任取一个闭合面S包围体
积τ，显然，从闭合面流出的电流表示每秒从体积内 穿过S到外面去的电量。由于电荷是守恒的，所以穿
实验指出：导体中任一点的电流密度与该点的电场强度成正比，即：
无极分子：当外电扬不存在时，电介质中正负电荷的“重心”是重合的,没有
等效电偶极矩.
有极分子：当外电场不存在时，电介质中的正负电荷‘重心”不重合，因
此每个分子可等效为一个电偶极子．
然而，由于分子的无规则热运动，各个分子等效电矩的方向是凌乱的，所以无论是整 块介质或介质中的某一部分，其中分子等效电偶极矩的矢量和都等于零.
电磁场与电磁波第二章讲义
(r )
第二章 静 电 场
当r<a时，
Er 4r2
0 0
4
3
r3
所以
Er
0r 30
(r )
第二章 静 电 场
例 2 - 3 已知半径为a的球内、 外的电场强度为
E
er E0
a2 r2
(r a)
E
er E0 5
r 2a
3
r3 2a3
(r a)
们的连线， 同号电荷之间是斥力， 异号电荷之间是引力。点电
荷q′受到q的作用力为F′，且F′=-F，可见两点电荷之间的作用力 符合牛顿第三定律。
第二章 静 电 场
库仑定律只能直接用于点电荷。所谓点电荷，是指当带电体 的尺度远小于它们之间的距离时，将其电荷集中于一点的理想化 模型。 对于实际的带电体， 一般应该看成是分布在一定的区域 内，称其为分布电荷。用电荷密度来定量描述电荷的空间分布情 况。电荷体密度的含义是，在电荷分布区域内，取体积元ΔV， 若其中的电量为Δq，则电荷体密度为
(r)
P(r' )V '
4 0
r r' r r' 3
整个极化介质产生的电位是上式的积分：
(r) 1
4 0
V
P(r' ) (r r r' 3
4 0R2
R
q' q
4 0
R R3
式中：R=r-r′表示从r′到r的矢量；R是r′到r的距离；R°是R的单
位矢量；ε0是表征真空电性质的物理量，称为真空的介电常数，
其值为
电磁场与电磁波 第2章静电场
如果电场由点电荷q单独产生
如果是一个闭合路径，则W=0 电场强度的环路线积分恒为零，即
应用斯托克斯定理
因此，静电场的电场强度 可以用一个标量函数 的梯度来表示，即定义
单位正实验电荷在电场中移动电场力做功
两点间的电位差定义为两点间的电压U，即
单位：V
电位函数不唯一确定，取
故可选空间某点Q作为电位参考点，空间任一点P的电位为 通常选取无限远作为电位参考点，则任一P点的电位为
在交界面上不存在 时，E、D满足折射定律。
D 1 n D 2 n 1 E 1 c1 o 2 E s 2 c2 os
E 1 t E 2 t E 1 si1 n E 2 si2n
图2.3.3 分界面上E线的折射
t电位函数 表示分界面上的衔接条件
Ax Ay Az
对应静电场的基本方程 E 0 ，矢量 A 可以表示一个静电场。
能否根据矢量场的散度来判断该矢量场是否是静电场?
2.3.2 分界面上的边界条件
1、 电位移矢量D的衔接条件 以分界面上点P作为观察点，作一
小扁圆柱高斯面（ L 0）。
图2.3.1 在电介质分界面上应用高斯定律
根据 DdSq
V ' P d ' V S 'P e n d ' S 0
• 在均匀极化的电介质内，极化电荷体密度 p 0。
• 有电介质存在的场域中，任一点的电位及电场强度表示为
(r) 4 1 0 V '( r f r 'p )d' V S '( r f r 'p )d' S E (r ) 4 1 0 V '( f r p r )'3 r( r ')d' V S '( f r p r ) '3 r( r ')d' S
如果是一个闭合路径，则W=0 电场强度的环路线积分恒为零，即
应用斯托克斯定理
因此，静电场的电场强度 可以用一个标量函数 的梯度来表示，即定义
单位正实验电荷在电场中移动电场力做功
两点间的电位差定义为两点间的电压U，即
单位：V
电位函数不唯一确定，取
故可选空间某点Q作为电位参考点，空间任一点P的电位为 通常选取无限远作为电位参考点，则任一P点的电位为
在交界面上不存在 时，E、D满足折射定律。
D 1 n D 2 n 1 E 1 c1 o 2 E s 2 c2 os
E 1 t E 2 t E 1 si1 n E 2 si2n
图2.3.3 分界面上E线的折射
t电位函数 表示分界面上的衔接条件
Ax Ay Az
对应静电场的基本方程 E 0 ，矢量 A 可以表示一个静电场。
能否根据矢量场的散度来判断该矢量场是否是静电场?
2.3.2 分界面上的边界条件
1、 电位移矢量D的衔接条件 以分界面上点P作为观察点，作一
小扁圆柱高斯面（ L 0）。
图2.3.1 在电介质分界面上应用高斯定律
根据 DdSq
V ' P d ' V S 'P e n d ' S 0
• 在均匀极化的电介质内，极化电荷体密度 p 0。
• 有电介质存在的场域中，任一点的电位及电场强度表示为
(r) 4 1 0 V '( r f r 'p )d' V S '( r f r 'p )d' S E (r ) 4 1 0 V '( f r p r )'3 r( r ')d' V S '( f r p r ) '3 r( r ')d' S
电磁场与电磁波第二章课件1
电荷分别在点 P 产生的电场强度的矢量和（场的叠加原理），即
E
=
E1 +
E2 + +
EN
=
1
4 0
N
Qi
i 1
eRi Ri2
1
4 0
N
Qi
i 1
r ri r ri3
接下页
应用场的叠加原理，可得连续分布电荷的电场强度为
二道
E
dE
1
4 0
dRQ2 eR
生生 三一
体分布
E
x,
y,
z
1
4 0
ez
如果场点在负z方向呢？
z
s
-s
• 为了直观而形象地表示电 场强度矢量E 的大小和方 向，可在电场中作一些电
力线（E 线）。电场中某 点电力线的密度（垂直于
的单位横截面上电力线的
根数）正比于该点E 的大 小；而电力线的方向是由
正电荷发出，终止于负电
荷，并且电力线上任一点
的切线方向和该点的电场 强度 E的方向相同。
矢量积分的计算流程: 先从小电荷元入手后算整
个大的电场 (解问题的三先原则) 如果环有宽度？？？如果是一个柱面？？？
如果是一个柱套？？？如果是一个柱体？？？
如果是一个圆盘？？？
• 例：真空中有一电荷面密度为a 的无限大均 匀带电平板。试求它在空间任一点P处的电 场强度。
P
考虑一下， 此题还有其他的解法吗？ 如果是圆盘，结果怎么样？
P’
• 例：求带电平板的场 利用前面例题的结果
z
dE
d Ez
E
4 0
Qz z2 a2
3 2
ez
《电磁场与电磁波》第二章-第一部分
0
q在 S 内 q不在 S 内
对多个点电荷的电场有： 对连续分布的电荷有：
E d s 1
s
0
i
qi
SE
d
S
1
0
V
(r)dV
Q
0
sE d s V EdV
1
0
V
(r )dV
E
0
D ——高斯定理微分形式
2、电荷密度
(r) lim q
V 0 V
q V (r)dV
s
(r
)
lim
S 0
q S
q ss (r)ds
l
(r
)
lim
l0
q l
q l l (r)dl
2
bupt 2011
二、库仑定律（实验定律）
真空中，两个相对静止的点电 荷之间相互作用力, 其方向沿着
(r)2 ( 1 )dV
40 V
R
2( 1 ) 4 (r r ')
R 14
bupt 2011
E(r)
1
0
V
(r)
(r
r
')dV
1, 积分区域包含r r '的点
(r r)dV ' 0， 积分区域不包含r r '的点
(r) (r r)dV ' (r)
(r)
E(r)
0
15
bupt 2011
选取高斯面原则
1.要求电场具有高度对称性。 2.高斯面要经过所研究的场点。 3.高斯面应选取规则形状(通常是平面或圆柱面或球面）。 4.高斯面上各点的法向与场强的关系可以选择为： 场强方向与法线方向一致。 或高斯面上某一部分各点的场强方向与高斯面法线方向垂直， 该部分的通量为0。
q在 S 内 q不在 S 内
对多个点电荷的电场有： 对连续分布的电荷有：
E d s 1
s
0
i
qi
SE
d
S
1
0
V
(r)dV
Q
0
sE d s V EdV
1
0
V
(r )dV
E
0
D ——高斯定理微分形式
2、电荷密度
(r) lim q
V 0 V
q V (r)dV
s
(r
)
lim
S 0
q S
q ss (r)ds
l
(r
)
lim
l0
q l
q l l (r)dl
2
bupt 2011
二、库仑定律（实验定律）
真空中，两个相对静止的点电 荷之间相互作用力, 其方向沿着
(r)2 ( 1 )dV
40 V
R
2( 1 ) 4 (r r ')
R 14
bupt 2011
E(r)
1
0
V
(r)
(r
r
')dV
1, 积分区域包含r r '的点
(r r)dV ' 0， 积分区域不包含r r '的点
(r) (r r)dV ' (r)
(r)
E(r)
0
15
bupt 2011
选取高斯面原则
1.要求电场具有高度对称性。 2.高斯面要经过所研究的场点。 3.高斯面应选取规则形状(通常是平面或圆柱面或球面）。 4.高斯面上各点的法向与场强的关系可以选择为： 场强方向与法线方向一致。 或高斯面上某一部分各点的场强方向与高斯面法线方向垂直， 该部分的通量为0。
《电磁场与电磁波》课件
研究磁场的能量密度和能量传递，探 索电流元间的相互作用。
第三章 电磁感应
法拉第电磁感应定律
深入研究法拉第电磁感应定律，了解磁场变化 对电场和电流的影响。
感生电动势的应用
探索感生电动势在变压器和发电机等装置中的 应用。
变化磁场中的安培环路定理
自感和互感
理解变化磁场对闭合回路的感应电流产生的作用。 学习自感和互感的概念和特性，探索它们在电 路中的应用。
1 电磁场在物理学、化学、生物学等中的应用
探索电磁场在不同学科领域中的重要应用，如粒子加速器和磁共振成像。
2 电磁波在通信、雷达、医疗等中的应用
了解电磁波在现代通信、雷达和医疗技术中的关键作用。
3 总结与展望
回顾本课程的重点内容，并展望电磁场和电磁波在未来的应用前景。
第四章 电磁波
电磁波的基 本性质
介绍电磁波中的传播规 律，理解折射和反 射现象。
电磁波谱
探索不同频率的电 磁波，了解它们在 光谱中的位置和应 用。
天线和电磁 波的辐射
研究天线的原理和 电磁波的发射、接 收及调制技术。
第五章 电磁场与电磁波的应用
《电磁场与电磁波》PPT 课件
欢迎来到《电磁场与电磁波》的课程PPT！在本课程中，我们将深入探讨电 磁场和电磁波的概念和应用，帮助您理解这一重要的物理学领域。
第一章 电场
电荷与电场
电磁场的基础，探索电荷对周围空间产生的 影响。
电势与电势差
学习电势的概念和计算方法，探索电势差对 电荷运动的影响。
静电场基本定律
深入研究库仑定律和电场强度，理解静电场 的本质。
静电场的能量
了解静电场的能量密度和能量传递，探索电 荷间的相互作用。
第二章 磁场
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dE 0 了解此法，仅做对比
由图可知 Rsin Rcsc
zzcot dzcs2cd
r 2a
3
r3 2a3
(r
a) 求电荷分布。
解：由高斯定理的微分形式 E ， 得电荷密度为 0
0E
用球 r) rs i1 n (s i nA ) rs i1 n A
可得
0 ra oE0 21a53(a2r2)
ra
例的：线有电荷限，长求直线线外l上任均意匀点分P布的着电线场密强度度为ρl
• 定义：由过一点的射线绕过
S
该点的某一轴旋转一周所扫 o
出的锥面所限定的空间
》如果以o’球心，R为半径作球面，若立体角的锥面
在球面上截下的面积为S，则立体角为： S/R2(sr)
整个球面对球心的立体角为 4
》任意面元对某点o’
ddSR co 2sdSr(rr 3 r)
dS
整个曲面S对点o’
R
q
r
0
y
08.854101236 1109F/m
分布电荷：对于实际带电体，应看成是连续分布在 一定区域内，如一段线，一个面，一个体积。 电荷密度：定量描述电荷的空间分布情况
体电荷密度：
V
q dq lim
V0V dV
q 为体积元 V 上的电荷
面电荷密度：
S
q lim
S0S
dq dS
线电荷密度：
l
q dq lim
§2.1 库仑定律与电场强度
§2.1.1 库仑定律
• 定律：真空中两个点电荷之间的作用力的大小与
两点电荷量之积成正比，与距离平方成反比，力
的方向沿着它们的连线，同号相斥，异号相吸。
• 表达式： 只能直接用于点电荷
F4q0qR2R04qq0
R R3
真空介电常数：
表征真空电性质的物理量 x
z
q
r
Rrr
(r r)dS S r r 3
o
r
r
闭合曲面S对点o’
o
S dS (rr r r ) 3 d S 4 0rr
在S内 在S外
二、高斯定理
高斯定理描述通过一个闭合面电场强度的通量与闭
合面内电荷间的关系。
点电荷q的电场穿过任意闭曲面S的通量： 立体角
SE d S 4 q 0Sr r r r 3d S 4 q 0S d
0
证明
若闭合面内的电荷密度为
，有
S
EdS
1
0
V
dV
利用散度定理：V
EdV
1
d
0 V
V
由于体积V是任意的，所以有
E
0
高斯定理应用：
积分形式：求电场，适用于呈对称分布的电荷系统。
关键：高斯面的选择。
高斯面的选择原则：
E//dS或
• 场点位于高斯面上； • 高斯面为闭合面；
SS1S2且 E//dS1,EdS2
•
线分布电荷：E (r)1
40l
l(r r )(r r 3 r )d l 4 1 0l
l( R r 2 )e R d l
例2-1 半径为a的均匀带电圆环，求轴线上电场强度。
解： 取如图坐标系，设电荷密度为 l
r zez
z
r a cos ex a sin e y
rR
r r ( z 2 a 2 )1 2
解：采用圆柱坐标系，在直线l上选一
线点元P(ρd,z′φ,其,z上)的的电电场荷强为度ρ为l dz′，它在场
1 dE
40
ldz
R2
eR
E(r)410 l l(R r2)eRdl
电由场于直dE线可电以荷分具解有为轴如对下称三性个，分因量此：
dE dEsin41 0R ld2 zsine
dE zdEcos410R ld2zcosez
• 在整个或分段高斯面上，E或EdS为恒定值
微分形式：从电场分布计算电荷分布。
对高斯定理的讨论
• 物理意义：静电场穿过闭合面S的通量只与闭合面内 所围电荷量有关。
• 静电荷是散度源，激发起扩散或汇集状的静电场 • 无电荷处，散度为零，但电场不一定为零。
例2-2 假设在半径为a的球体内均匀分布着密度为ρ0的 电荷，试求任意点的电场强度。
若q位于S内部，立体角为4π；若q位于S外部，立
体角为零。
点电荷系或分布电荷的高斯定理 E dS Q
S
0
高斯定理积分形式：
E dS
Q
S
n
0
点电荷：Q q
多个点电荷：Q qi i
体分布电荷： Q dV V
面分布电荷：Q S SdS 线分布电荷： Q lldl
高斯定理微分形式： E
解：作一个与带电体同心、半径为r的球面为高斯面。
当r>a时，Er 4r2
0 0
4
3
a3
故
Er
0a3 3 0r 2
(r )
当r≤a时，Er 4r2
0 0
4
3
r3
所以
Er
0r 30
(r )
例 2 - 3 已知半径为a的球内、 外的电场强度为
a2 E er E0 r2 (r a)
E
er E0
5
第二章 静电场
§2.1 库仑定律与电场强度 §2.2 高斯定理 §2.3 静电场的旋度与静电场的电位 §2.4 电偶极子 §2.5 电介质中的场方程 §2.6 静电场的边界条件 §2.7 导体系统的电容 §2.8 电场能量与能量密度 §2.9 电场力
本章重点
• 库仑定律与电场强度 • 真空中静电场的基本方程 • 电介质中的静电场方程 • 静电场的电位 • 静电场的边界条件 • 导体系统的电容 • 电场能量与能量密度
l0 l dl
§2.1.2 电场强度（单位：伏/米，V/m)
空间一点的电场强度定义为该点 z
Rrr
的单位正试验电荷所受到的力
q
• 真空中点电荷电场强度为：
q R q rr
E(r)40R340 rr3
r
x0
r
y
• 真空中n个点电荷：E (r)i n 14qi0rr rrii3i n 14qi0R eR 2
• 体分布电荷：E (r ) 4 1 0V(r r ) (r r 3 r ) d V 4 1 0V(R r 2 ) e R d V
• 面分布电荷：E (r ) 4 1 0SS ( r r ) ( r r 3 r ) d S 4 1 0SS ( R r 2 ) e R d S
dl ad
0
y
x
r
所以
E(r) l
40
2(zez
0
ac(aos2ezx2)3a2siney)ad
a20l
z (a2z2)32
ez
补充作业
两点电荷q1=8C，位于x轴上x=4处， q2 =-4C，位于y轴上y=4处，求z轴 上点（0，0，4）处的电场强度。
§2.2 高斯定理
一、立体角（单位，球面度）
由图可知 Rsin Rcsc
zzcot dzcs2cd
r 2a
3
r3 2a3
(r
a) 求电荷分布。
解：由高斯定理的微分形式 E ， 得电荷密度为 0
0E
用球 r) rs i1 n (s i nA ) rs i1 n A
可得
0 ra oE0 21a53(a2r2)
ra
例的：线有电荷限，长求直线线外l上任均意匀点分P布的着电线场密强度度为ρl
• 定义：由过一点的射线绕过
S
该点的某一轴旋转一周所扫 o
出的锥面所限定的空间
》如果以o’球心，R为半径作球面，若立体角的锥面
在球面上截下的面积为S，则立体角为： S/R2(sr)
整个球面对球心的立体角为 4
》任意面元对某点o’
ddSR co 2sdSr(rr 3 r)
dS
整个曲面S对点o’
R
q
r
0
y
08.854101236 1109F/m
分布电荷：对于实际带电体，应看成是连续分布在 一定区域内，如一段线，一个面，一个体积。 电荷密度：定量描述电荷的空间分布情况
体电荷密度：
V
q dq lim
V0V dV
q 为体积元 V 上的电荷
面电荷密度：
S
q lim
S0S
dq dS
线电荷密度：
l
q dq lim
§2.1 库仑定律与电场强度
§2.1.1 库仑定律
• 定律：真空中两个点电荷之间的作用力的大小与
两点电荷量之积成正比，与距离平方成反比，力
的方向沿着它们的连线，同号相斥，异号相吸。
• 表达式： 只能直接用于点电荷
F4q0qR2R04qq0
R R3
真空介电常数：
表征真空电性质的物理量 x
z
q
r
Rrr
(r r)dS S r r 3
o
r
r
闭合曲面S对点o’
o
S dS (rr r r ) 3 d S 4 0rr
在S内 在S外
二、高斯定理
高斯定理描述通过一个闭合面电场强度的通量与闭
合面内电荷间的关系。
点电荷q的电场穿过任意闭曲面S的通量： 立体角
SE d S 4 q 0Sr r r r 3d S 4 q 0S d
0
证明
若闭合面内的电荷密度为
，有
S
EdS
1
0
V
dV
利用散度定理：V
EdV
1
d
0 V
V
由于体积V是任意的，所以有
E
0
高斯定理应用：
积分形式：求电场，适用于呈对称分布的电荷系统。
关键：高斯面的选择。
高斯面的选择原则：
E//dS或
• 场点位于高斯面上； • 高斯面为闭合面；
SS1S2且 E//dS1,EdS2
•
线分布电荷：E (r)1
40l
l(r r )(r r 3 r )d l 4 1 0l
l( R r 2 )e R d l
例2-1 半径为a的均匀带电圆环，求轴线上电场强度。
解： 取如图坐标系，设电荷密度为 l
r zez
z
r a cos ex a sin e y
rR
r r ( z 2 a 2 )1 2
解：采用圆柱坐标系，在直线l上选一
线点元P(ρd,z′φ,其,z上)的的电电场荷强为度ρ为l dz′，它在场
1 dE
40
ldz
R2
eR
E(r)410 l l(R r2)eRdl
电由场于直dE线可电以荷分具解有为轴如对下称三性个，分因量此：
dE dEsin41 0R ld2 zsine
dE zdEcos410R ld2zcosez
• 在整个或分段高斯面上，E或EdS为恒定值
微分形式：从电场分布计算电荷分布。
对高斯定理的讨论
• 物理意义：静电场穿过闭合面S的通量只与闭合面内 所围电荷量有关。
• 静电荷是散度源，激发起扩散或汇集状的静电场 • 无电荷处，散度为零，但电场不一定为零。
例2-2 假设在半径为a的球体内均匀分布着密度为ρ0的 电荷，试求任意点的电场强度。
若q位于S内部，立体角为4π；若q位于S外部，立
体角为零。
点电荷系或分布电荷的高斯定理 E dS Q
S
0
高斯定理积分形式：
E dS
Q
S
n
0
点电荷：Q q
多个点电荷：Q qi i
体分布电荷： Q dV V
面分布电荷：Q S SdS 线分布电荷： Q lldl
高斯定理微分形式： E
解：作一个与带电体同心、半径为r的球面为高斯面。
当r>a时，Er 4r2
0 0
4
3
a3
故
Er
0a3 3 0r 2
(r )
当r≤a时，Er 4r2
0 0
4
3
r3
所以
Er
0r 30
(r )
例 2 - 3 已知半径为a的球内、 外的电场强度为
a2 E er E0 r2 (r a)
E
er E0
5
第二章 静电场
§2.1 库仑定律与电场强度 §2.2 高斯定理 §2.3 静电场的旋度与静电场的电位 §2.4 电偶极子 §2.5 电介质中的场方程 §2.6 静电场的边界条件 §2.7 导体系统的电容 §2.8 电场能量与能量密度 §2.9 电场力
本章重点
• 库仑定律与电场强度 • 真空中静电场的基本方程 • 电介质中的静电场方程 • 静电场的电位 • 静电场的边界条件 • 导体系统的电容 • 电场能量与能量密度
l0 l dl
§2.1.2 电场强度（单位：伏/米，V/m)
空间一点的电场强度定义为该点 z
Rrr
的单位正试验电荷所受到的力
q
• 真空中点电荷电场强度为：
q R q rr
E(r)40R340 rr3
r
x0
r
y
• 真空中n个点电荷：E (r)i n 14qi0rr rrii3i n 14qi0R eR 2
• 体分布电荷：E (r ) 4 1 0V(r r ) (r r 3 r ) d V 4 1 0V(R r 2 ) e R d V
• 面分布电荷：E (r ) 4 1 0SS ( r r ) ( r r 3 r ) d S 4 1 0SS ( R r 2 ) e R d S
dl ad
0
y
x
r
所以
E(r) l
40
2(zez
0
ac(aos2ezx2)3a2siney)ad
a20l
z (a2z2)32
ez
补充作业
两点电荷q1=8C，位于x轴上x=4处， q2 =-4C，位于y轴上y=4处，求z轴 上点（0，0，4）处的电场强度。
§2.2 高斯定理
一、立体角（单位，球面度）