第七章 线性变换 综合练习

第七章 线性变换综合练习

一．判断题

1.数域F 上的向量空间的线性变换的集合对线性变换的加法与数乘运算构成一个向量空间（ ）

2．在向量空间3R 中, 1231223(,,)(2,,)x x x x x x x σ=-, 则σ是3R 的一个线性变换. ( )). 3．在向量空间[]n R x 中, 2(())()f x f x σ=, 则σ是[]n R x 的一个线性变换. ( )

4．两个向量空间之间的同构映射σ的逆映射1-σ还是同构映射. ( )

5．取定n n A F ⨯∈, 对任意的n 阶矩阵n n X F ⨯∈, 定义()X AX XA σ=-, 则σ是n n F ⨯的一个线性变换.

6．向量空间V 的可逆线性变换σ的核)(σKer 是空集.( )

7．在向量空间3R 中, 已知线性变换 1231223312313(,,)(,,),(,,)(,0,).

x x x x x x x x x x x x x στ=++= 则12321233(2)(,,)(,,)x x x x x x x x στ-=-+-. ( )

8．设σ为n 维向量空间V 上的线性变换，则Im()ker()V σσ+=．（ ）

9．向量空间2R 的两个线性变换σ,τ为12121(,)(,)x x x x x σ=-；12122(,)(,)x x x x x τ=- 则212212()(,)(,).x x x x x στσ-=-+（ ）

10．在取定基后, V 的每个可逆线性变换对应于可逆矩阵, 但逆变换未必对应于逆矩阵. （ ）

11．数域F 上的向量空间V 及其零子空间, 对V 的每个线性变换来说, 都是不变子空间. （ ）

12．若21,αα都是数域F 上的方阵A 的属于特征根0λ的特征向量，那么任取 221121,,ααk k F k k +∈也是A 的属于0λ的特征向量．（ ）

13． 线性变换σ的本征向量之和, 仍为σ的本征向量. （ ）

14．属于线性变换σ同一本征值0λ的本征向量的线性组合仍是σ的本征向量. （ ） 15．线性变换σ在一个基下可以对角化, 则σ在任何基下可以对角化. （ ）.

16．复数域看作实数域上的向量空间是1维的. ( )

17．σ是向量空间V 的线性变换, 向量组12,,

,m ααα线性无关, 那么12(),(),,()

m σασασα也线性无关． ( )

18．向量空间V 的线性变换σ的值域Im()σ与σ的核ker()σ都是σ的不变子空间． ( )

19．若矩阵A 与B 具有相同的特征多项式，则A 与B 相似． ( )

20．向量空间n P 中子集(){}P a a a a ∈,,, 构成n P 的一维子空间. ( )

21．若向量ξ是线性变换σ的属于本征值λ的本征向量，则由ξ生成的子空间为σ的不变子空间.（ ）

22. σ是向量空间V 的线性变换, 向量组m ααα,,,21 线性相关, 那么)(,),(),(21m ασασασ 也线性相关. （ ）

23. σ为V 上线性变换，n ααα,,,21 为V 的基，则)(,),(),(21n ασασασ 线性无关．

24. 在][x P 中，定义变换σ：)1())((+=x f x f σ，则σ是][x P 的线性变换．（ ）

25. 向量空间V 中任意两个子空间的并集一定不是V 的子空间. （ ）

26. 向量空间的每一个线性变换都有本征值. （ ）

27. σ是向量空间V 的一个变换，V ∈α,若V ∈∀ξ ，有a +=ξσξ，则σ是V 的线性变换. （ ）

28. 如果n 阶矩阵A 可逆，则矩阵AB 与BA 一定相似．（ ）．

29. n 阶方阵A 至少有一特征值为零的充分必要条件是0||=A ．

30. α为V 上的非零向量，σ为V 上的线性变换，则})(|{)(1αησηασ==-是V 的子空间．

二、单选题

1．n 维向量空间V 的线性变换σ有n 个不同的特征值，是σ与对角矩阵相似的（ ）

． A ．充分而非必要条件； B ．必要而非充分条件；

C ．充分必要条件； D. 既非充分也非必要条件．

2．矩阵B A 与相似，则下列描述中不正确的是（ ）

A ．

B A =； B ． )(x f 是数域P 上的多项式，则()()B f A f ~；

C ．()()R A R B =；

D ．B A 与一定相似于对角形矩阵.

3. n 阶矩阵A 有n 个不同的特征根是A 与对角矩阵相似的 ( ).

A ．充分而非必要条件；

B 必要而非充分条件；

C ．充分必要条件； D. 既非充分也非必要条件．

4. 令),,(321x x x =ξ是R 3的任意向量，则映射（ ）是R 3的线性变换。

A ．0,)(≠+=ααξξσ ；

B ．)0,,2()(32321x x x x x +++=ξτ；

C ．),,()(32221x x x p =ξ ；

D ．)0,cos ,(cos )(21x x w =ξ．

5．设σ是数域P 上向量空间V 的线性变换，W 是V 的子空间，如果对于W 中任意向量ξ有

W ∈σξ，则称W 是σ的（ ）子空间．

A ．非平凡；

B ．不变；

C ．核；

D ．零．

6. 设321,,ξξξ是向量空间V 的一组基，线性变换σ在此基下矩阵为⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-110101011，则

σ在2312,,ξξξ下的矩阵为( )

A ． ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-210011201

B ． ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢

⎣⎡-02121210

201

C ． ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-21002

121201 D ． ⎥⎥⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎢⎣⎡-211001

1210

1

7．设3阶矩阵A 的特征值为1，3，5，则A 的行列式|A |等于（ ）

A ．3;

B ．4;

C ．9;

D ．15

8．设B A ,均为n 阶矩阵,且B A ,相似，则下列结论正确的是（ ）

A ．

B A ,有相同的特征值和特征向量; B ．I A I B λλ-=-;

C ．B A ,都相似于一个的对角矩阵;

D ．对任意常数t 都有，tI A tI B --与相似.

9． A 为n 阶可逆矩阵，λ是A 的一个特征根，则A 的伴随矩阵*A 的特征根之一是（

）

A ．n A 1-λ;

B ．A 1-λ;

C ．A λ;

D ．n A λ

10．2=λ是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵12

)31(-A 有一个特征值是（ ）

A ．34

; B ．43

; C ．21; D ．41

11．n 阶矩阵A 相似于某对角矩阵，则（ D ）

A ．r(A)=n ;

B ．A 有不同的特征值;

C ．A 是实对称矩阵;

D ．A 有n 个线性无关的特征向量

12. n 维向量空间V 的零变换θ的象及核的维数分别是（ ）.