立体几何存在性问题
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所以 A1C＝A1D＝4， 因为 DE∥BC，DE⊥平面 A1DC，
，即 F 是 CD 的中点，
所以 BC⊥平面 A1DC，所以 BC⊥A1C，所以
，
在等腰△A1BE 中，底边 A1B 上的高为
，
所以四棱锥 A1—BCDE 的表面积为 S＝S1＋
＋
＋
＋
＝18＋ ×3×4＋ ×4×2 ＋ ×6×4＋ ×2 ×2 ＝36＋4 ＋2 ． 点睛：本题考查空间中的垂直关系的转化、空间几何体的表面积等知识，意在考查学生的空 间想象能力和数学转化能力．
角相等可得，
，可得 .
点睛：证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法 在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线 面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质， 即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.
立体几何存在性问题
未命名
一、解答题 1．在多面体
中，底面
是梯形，四边形
形，
，
，面
面，
.
.
（1）求证：平面
平面 ；
是正方
（2）设 为线段 上一点，
，试问在线段 上是否存在一点 ，使得
平面 ，若存在，试指出点 的位置；若不存在，说明理由?
（3）在（2）的条件下，求点 到平面 的距离.
2．如图，四棱锥
中，底面
10．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ） 和 的中点，证明见解析.
【解析】分析：（Ⅰ）由菱形的性质可得
,又
平面 ，
所以 平面 ；（Ⅱ）先证明四边形 为平行四边形，可得
. 又由（Ⅰ）得，
平面 , 从而得 平面 ，由 平面 可得结论；（Ⅲ）别取 和 的中点
，由三角形中位线定理以及平行四边形的性质可得
∵ 平面 ，∴
，∴
，
∵
，∴
．
∵平面 PBC⊥平面 ABCD，平面 PBC∩平面 ABCD=BC，PO 平面 PBC， ∴PO⊥平面 ABCD，∵AE 平面 ABCD,∴PO⊥AE.∵∠PEA=90O, ∴PE⊥AE. ∵PO∩PE=P，∴AE⊥平面 POE，∴AE⊥OE. ∵∠C=∠D=90O, ∴∠OEC=∠EAD,
（2）由已知 DE∥BC，且 DE＝ BC，得 D，E 分别为 AC，AB 的中点，
在 Rt△ABC 中，
，则 A1E＝EB＝5，A1D＝DC＝4，
则梯形 BCDE 的面积 S1＝ ×(6＋3)×4＝18， 四棱锥 A1—BCDE 的体积为 V＝ ×18×A1F＝12 ，即 A1F＝2 ，
在 Rt△A1DF 中，
的体积.
4．如图 2，已知在四棱锥
中，平面
平面 ，底面 为矩形.
（1）求证：平面
平面 ；
（2）若 5．如图，三棱锥 点．
的三条侧棱两两垂直，
，试求点 到平面 的距离. ， ， 分别是棱 ， 的中
（1）证明：平面
平面 ；
（2）若四面体 的体积为 ，求线段 的长．
6．如图，在四棱锥
中，
，
，
，
.
（1）求证：
平面
，平面
平面
，
所以
，又因为点 是 的中点，所以点 是 的中点，
综上： 分别是
的中点；
（Ⅱ）因为 所以 平面
，所以 ；又因为
，又因为平面 ，
平面 ，
所以
．
点睛:这个题目考查了面面平行的性质应用，空间几何体的体积的求法，求椎体的体积，一
般直接应用公式底乘以高乘以三分之一，会涉及到点面距离的求法，点面距可以通过建立空
的体积为 ，求四棱锥
8．如图，在四棱锥
中，底面 为矩形，平面
平面
的表面积.
，
．
（1）证明：平面
平面 ；
（2）若
， 为棱 的中点，
，
，求四面体
的体积．
9．如图，在梯形 中，
,
，
且平面
平面 ，点 在线段 上.
，四边形 是矩形，
（1）求证： 平面 ；
（2）当 为何值时， 平面 ？证明你的结论.
10．10．如图，已知菱形 的对角线
；
（2）若
，
， 为 的中点．
（i）过点 作一直线 与 平行，在图中画出直线 并说明理由；
（ii）求平面 将三棱锥
分成的两部分体积的比．
7．如图 1 所示，在梯形 中， // ，且
，
，分别延长两腰交于
点 ，点 为线段 上的一点，将 图 2 所示．
沿 折起到
的位置，使
，如
（1）求证：
；
（2）若
，
，四棱锥
7．（1）见解析；（2） 【解析】分析：（1）先利用直角三角形和线线平行的性质得到线线垂直，再利用线面垂直的 判定定理和性质得到线面垂直和线线垂直；（2）分析四棱锥的各面的形状，利用相关面积公 式进行求解． 详解：（1）因为∠C＝90°，即 AC⊥BC，且 DE∥BC，
所以 DE⊥AC，则 DE⊥DC，DE⊥DA1， 又因为 DC∩DA1＝D，所以 DE⊥平面 A1DC. 因为 A1F⊂平面 A1DC，所以 DE⊥A1F. 又因为 A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以 A1F⊥平面 BCDE， 又因为 BE ⊂平面 BCDE，所以 A1F⊥BE．
4．（1）见解析；（2） 【解析】分析：（1）由平面
平面 ，根据面面垂直的性质可得 平面 ，由
面面垂直的判定定理可得结论；（2）取 AD 的中点 O，则 平面
，由
，从而利用棱锥的体积公式可得结果.
详解：（1）证明： ．
（2）解：取 AD 的中点 O，则 又易知
，
，则
．
，
所以
，解出
．
点睛：解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之
间直角坐标系来求得点面距离，或者寻找面面垂直，再直接过点做交线的垂线即可;当点面
距离不好求时，还可以等体积转化.
3．（1）见解析（2） 为棱 上靠近 的三等分点， 为棱 中点，
【 解 析 】分 析： (1)要 证平 面
平面
，即证
平面
，即证
，
； (2) 为棱 上靠近 的三等分点， 为棱 中点，利用等体
及
定定理可得结论.
，由面面平行的判
详解：(Ⅰ）证明：折叠前，因为四边形 为菱形，所以
详解：（1）证明：因为
， 是棱 的中点，所以
．
又三棱锥
的三条侧棱两两垂直，且
，
所以 平面 ，则
．
因为
，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面
平面 ．
（2）解：取来自百度文库的中点 ，连接 ，
则
．
易证 平面 ，
从而 平面 ，
所以四面体
则
，
的体积为
在
中，
，
， ．
点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
8．（1）见解析；（2） 【解析】分析：(1)由面面垂直的性质定理得到 ⊥平面
，即
，进而得到平面
平面 ,(2)由等体积法求解，
。
详解：（1）证明：∵四边形 是矩形，∴CD⊥BC.
∵平面 PBC⊥平面 ABCD，平面 PBC∩平面 ABCD=BC，CD 平面 ABCD， ∴CD⊥平面 PBC，∴CD⊥PB. ∵PB⊥PD，CD∩PD=D，CD、PD 平面 PCD，∴PB⊥平面 PCD. ∵PB 平面 PAB，∴平面 PAB⊥平面 PCD. （2）取 BC 的中点 O，连接 OP、OE.
间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线
和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论
；
（3）利用面面平行的性质
；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直
时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.
5．(1)证明见解析；(2) .
【解析】分析：（1）推导出 BE⊥CD，AB⊥CD，从而 CD⊥平面 ABE，由此能证明平面 ABE⊥ 平面 ACD； （2）取 BD 的中点 G，连接 EG，则 EG∥BC．推导出 BC⊥平面 ABD，从而 EG⊥平面 ABD，由 此能求出线段 AE 的长．
2．（Ⅰ）见解析（Ⅱ） 【解析】试题分析：（1）根据面面平行的性质得到
，
，根据平行关系和长度
关系得到点 是 的中点，点 是 的中点；（2）
，因为
，
所以 详解：
，进而求得体积.
（1）因为平面 平面 ，平面
平面
，
平面
平面
，所以
，又因为
，
所以四边形 是平行四边形，所以
，
即点 是 的中点．
因为平面 平面 ，平面
∴
，∴
．
∵
，
，
，∴
，
．
点睛：本题主要考查面面垂直，线面垂直，考查三棱锥体积的求法，考察学生分析解决问题 的能力，考查学生的空间想象能力。
9．(1)见解析;(2)
.
【解析】分析：（1）在梯形 中，利用梯形的性质得
，再根据平面
，利用面面垂直的性质定，即可证得 平面 ；
（2）在梯形 中，设
，连接 ，利用比例式得
是直角梯形，
，
，
，侧面 是等腰直角三角形，
，平面
平面
，点 分别是棱
上的点，平面 平面
（Ⅰ）确定点 的位置，并说明理由；
（Ⅱ）求三棱锥
的体积.
3．如图，在长方体
中，
，点 在棱 上，
，
点 为棱 的中点，过 的平面 与棱 为菱形.
交于 ，与棱 交于 ，且四边形
(1)证明：平面
平面
；
(2)确定点 的具体位置（不需说明理由）,并求四棱锥
，进而得
利用线面平行的判定定理，即可得到 平面 .
详解：（1）在梯形 中，∵
，
，
，
∴四边形 是等腰梯形，且
，
，
平面 ，
∴ 又∵平面
平面
，∴
.
，又平面
平面
，∴ 平面 .
（2）当
时，
平面 ，在梯形
，∵
，而
，∴
∴
，∴四边形
是平行四边形，∴
，∴ 平面 .
中，设 ，
，又∵
，连接 ，则 平面 ， 平面
点睛：本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、 几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1) 证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直； (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．
面 ，面
面
，
.
故四边形 是正方形，所以
.
在 中，
，∴
.
，
∴
，∴
∴
.
因为
， 平面 ， 平面 .
∴ 平面 ,
平面 ，∴平面
平面 .
（2）在线段 上存在点 ，使得 平面
，
，所以 面
在线段 上取点 ，使得
，连接 .
在 中，因为
，所以
与 相似，所以
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（3）点 到平面 的距离就是点 到平面 的距离，设 到平面 的距离为 ，利用同
6．（1）见解析；（2）见解析， 【解析】分析: (1) 取 中点 ,连接 , ,先证明
面 ,再证明
.(2) (i)取 中
点 ,连接 , ,则
， 即为所作直线 ,证明四边形
分别计算出两部分的体积，再求它们的比.
详解：（1）证明：(1)取 中点 ,连接 ,
为平行四边形即得证. （ii）先
, 为 中点，
又
, 为 中点，
又
，
面
又 面，
(2)(i)取 中点 ,连接 , ,则 理由如下:
， 即为所作直线 ,
在 中 、 分别为 、 中点
,且
又
,
且
， 四边形 为平行四边形.
(ii)
,
,
又在 中,
,
又
,
面
，
面
,
，
.
：（1）本题主要考查空间平行垂直位置关系的证明，考查空间几何体体积的计算，意
在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象转化能力.（2）对于空间平行垂直位置关 系的证明有几何法和向量法两种方法，空间几何体体积的计算有公式法、割补法和体积变换 法三种方法.
中，过点作 作
于 ，可得
，所以
，由面
面 ，可得出
，利用线面垂直的判定定理得 平面 ,
进而可得平面
平面 ；（2）在线段 上取点 ，使得
，连接 ，先证明
与 相似，于是得
，由线面平行的判定定理可得结果；（3）点 到平面 的距
离就是点 到平面 的距离，设 到平面 的距离为 ，利用体积相等可得，
，解得 .
详 解 ： （1） 因 为 面
积法
即可求得结果.
详解：(1)在矩形
中,
,
.
又
平面
，
.
,
平面
.
又
平面 , 平面
平面
.
(2) 为棱 上靠近 的三等分点， 为棱 中点，
，所以 的面积
.
于是四棱锥
的体积
. 点睛：求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问 题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不 规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积 法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知 条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的 高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接 计算得到高的数值．
交于点 ，点 为的 中点.将三角形
沿线段 折起到 的位置，如图 2 所示.
图1 （Ⅰ）求证：
图2 平面 ；
（Ⅱ）证明： 平面
平面 ；
（Ⅲ）在线段
上是否分别存在点 ，使得平面
点 的位置，并证明；若不存在，请说明理由.
平面 ？若存在，请指出
参考答案
1．（1）见解析.（2）见解析.（3） .
【 解 析 】 分 析 ：（ 1 ） 在 梯 形
，即 F 是 CD 的中点，
所以 BC⊥平面 A1DC，所以 BC⊥A1C，所以
，
在等腰△A1BE 中，底边 A1B 上的高为
，
所以四棱锥 A1—BCDE 的表面积为 S＝S1＋
＋
＋
＋
＝18＋ ×3×4＋ ×4×2 ＋ ×6×4＋ ×2 ×2 ＝36＋4 ＋2 ． 点睛：本题考查空间中的垂直关系的转化、空间几何体的表面积等知识，意在考查学生的空 间想象能力和数学转化能力．
角相等可得，
，可得 .
点睛：证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法 在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线 面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质， 即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.
立体几何存在性问题
未命名
一、解答题 1．在多面体
中，底面
是梯形，四边形
形，
，
，面
面，
.
.
（1）求证：平面
平面 ；
是正方
（2）设 为线段 上一点，
，试问在线段 上是否存在一点 ，使得
平面 ，若存在，试指出点 的位置；若不存在，说明理由?
（3）在（2）的条件下，求点 到平面 的距离.
2．如图，四棱锥
中，底面
10．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ） 和 的中点，证明见解析.
【解析】分析：（Ⅰ）由菱形的性质可得
,又
平面 ，
所以 平面 ；（Ⅱ）先证明四边形 为平行四边形，可得
. 又由（Ⅰ）得，
平面 , 从而得 平面 ，由 平面 可得结论；（Ⅲ）别取 和 的中点
，由三角形中位线定理以及平行四边形的性质可得
∵ 平面 ，∴
，∴
，
∵
，∴
．
∵平面 PBC⊥平面 ABCD，平面 PBC∩平面 ABCD=BC，PO 平面 PBC， ∴PO⊥平面 ABCD，∵AE 平面 ABCD,∴PO⊥AE.∵∠PEA=90O, ∴PE⊥AE. ∵PO∩PE=P，∴AE⊥平面 POE，∴AE⊥OE. ∵∠C=∠D=90O, ∴∠OEC=∠EAD,
（2）由已知 DE∥BC，且 DE＝ BC，得 D，E 分别为 AC，AB 的中点，
在 Rt△ABC 中，
，则 A1E＝EB＝5，A1D＝DC＝4，
则梯形 BCDE 的面积 S1＝ ×(6＋3)×4＝18， 四棱锥 A1—BCDE 的体积为 V＝ ×18×A1F＝12 ，即 A1F＝2 ，
在 Rt△A1DF 中，
的体积.
4．如图 2，已知在四棱锥
中，平面
平面 ，底面 为矩形.
（1）求证：平面
平面 ；
（2）若 5．如图，三棱锥 点．
的三条侧棱两两垂直，
，试求点 到平面 的距离. ， ， 分别是棱 ， 的中
（1）证明：平面
平面 ；
（2）若四面体 的体积为 ，求线段 的长．
6．如图，在四棱锥
中，
，
，
，
.
（1）求证：
平面
，平面
平面
，
所以
，又因为点 是 的中点，所以点 是 的中点，
综上： 分别是
的中点；
（Ⅱ）因为 所以 平面
，所以 ；又因为
，又因为平面 ，
平面 ，
所以
．
点睛:这个题目考查了面面平行的性质应用，空间几何体的体积的求法，求椎体的体积，一
般直接应用公式底乘以高乘以三分之一，会涉及到点面距离的求法，点面距可以通过建立空
的体积为 ，求四棱锥
8．如图，在四棱锥
中，底面 为矩形，平面
平面
的表面积.
，
．
（1）证明：平面
平面 ；
（2）若
， 为棱 的中点，
，
，求四面体
的体积．
9．如图，在梯形 中，
,
，
且平面
平面 ，点 在线段 上.
，四边形 是矩形，
（1）求证： 平面 ；
（2）当 为何值时， 平面 ？证明你的结论.
10．10．如图，已知菱形 的对角线
；
（2）若
，
， 为 的中点．
（i）过点 作一直线 与 平行，在图中画出直线 并说明理由；
（ii）求平面 将三棱锥
分成的两部分体积的比．
7．如图 1 所示，在梯形 中， // ，且
，
，分别延长两腰交于
点 ，点 为线段 上的一点，将 图 2 所示．
沿 折起到
的位置，使
，如
（1）求证：
；
（2）若
，
，四棱锥
7．（1）见解析；（2） 【解析】分析：（1）先利用直角三角形和线线平行的性质得到线线垂直，再利用线面垂直的 判定定理和性质得到线面垂直和线线垂直；（2）分析四棱锥的各面的形状，利用相关面积公 式进行求解． 详解：（1）因为∠C＝90°，即 AC⊥BC，且 DE∥BC，
所以 DE⊥AC，则 DE⊥DC，DE⊥DA1， 又因为 DC∩DA1＝D，所以 DE⊥平面 A1DC. 因为 A1F⊂平面 A1DC，所以 DE⊥A1F. 又因为 A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以 A1F⊥平面 BCDE， 又因为 BE ⊂平面 BCDE，所以 A1F⊥BE．
4．（1）见解析；（2） 【解析】分析：（1）由平面
平面 ，根据面面垂直的性质可得 平面 ，由
面面垂直的判定定理可得结论；（2）取 AD 的中点 O，则 平面
，由
，从而利用棱锥的体积公式可得结果.
详解：（1）证明： ．
（2）解：取 AD 的中点 O，则 又易知
，
，则
．
，
所以
，解出
．
点睛：解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之
间直角坐标系来求得点面距离，或者寻找面面垂直，再直接过点做交线的垂线即可;当点面
距离不好求时，还可以等体积转化.
3．（1）见解析（2） 为棱 上靠近 的三等分点， 为棱 中点，
【 解 析 】分 析： (1)要 证平 面
平面
，即证
平面
，即证
，
； (2) 为棱 上靠近 的三等分点， 为棱 中点，利用等体
及
定定理可得结论.
，由面面平行的判
详解：(Ⅰ）证明：折叠前，因为四边形 为菱形，所以
详解：（1）证明：因为
， 是棱 的中点，所以
．
又三棱锥
的三条侧棱两两垂直，且
，
所以 平面 ，则
．
因为
，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面
平面 ．
（2）解：取来自百度文库的中点 ，连接 ，
则
．
易证 平面 ，
从而 平面 ，
所以四面体
则
，
的体积为
在
中，
，
， ．
点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
8．（1）见解析；（2） 【解析】分析：(1)由面面垂直的性质定理得到 ⊥平面
，即
，进而得到平面
平面 ,(2)由等体积法求解，
。
详解：（1）证明：∵四边形 是矩形，∴CD⊥BC.
∵平面 PBC⊥平面 ABCD，平面 PBC∩平面 ABCD=BC，CD 平面 ABCD， ∴CD⊥平面 PBC，∴CD⊥PB. ∵PB⊥PD，CD∩PD=D，CD、PD 平面 PCD，∴PB⊥平面 PCD. ∵PB 平面 PAB，∴平面 PAB⊥平面 PCD. （2）取 BC 的中点 O，连接 OP、OE.
间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线
和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论
；
（3）利用面面平行的性质
；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直
时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.
5．(1)证明见解析；(2) .
【解析】分析：（1）推导出 BE⊥CD，AB⊥CD，从而 CD⊥平面 ABE，由此能证明平面 ABE⊥ 平面 ACD； （2）取 BD 的中点 G，连接 EG，则 EG∥BC．推导出 BC⊥平面 ABD，从而 EG⊥平面 ABD，由 此能求出线段 AE 的长．
2．（Ⅰ）见解析（Ⅱ） 【解析】试题分析：（1）根据面面平行的性质得到
，
，根据平行关系和长度
关系得到点 是 的中点，点 是 的中点；（2）
，因为
，
所以 详解：
，进而求得体积.
（1）因为平面 平面 ，平面
平面
，
平面
平面
，所以
，又因为
，
所以四边形 是平行四边形，所以
，
即点 是 的中点．
因为平面 平面 ，平面
∴
，∴
．
∵
，
，
，∴
，
．
点睛：本题主要考查面面垂直，线面垂直，考查三棱锥体积的求法，考察学生分析解决问题 的能力，考查学生的空间想象能力。
9．(1)见解析;(2)
.
【解析】分析：（1）在梯形 中，利用梯形的性质得
，再根据平面
，利用面面垂直的性质定，即可证得 平面 ；
（2）在梯形 中，设
，连接 ，利用比例式得
是直角梯形，
，
，
，侧面 是等腰直角三角形，
，平面
平面
，点 分别是棱
上的点，平面 平面
（Ⅰ）确定点 的位置，并说明理由；
（Ⅱ）求三棱锥
的体积.
3．如图，在长方体
中，
，点 在棱 上，
，
点 为棱 的中点，过 的平面 与棱 为菱形.
交于 ，与棱 交于 ，且四边形
(1)证明：平面
平面
；
(2)确定点 的具体位置（不需说明理由）,并求四棱锥
，进而得
利用线面平行的判定定理，即可得到 平面 .
详解：（1）在梯形 中，∵
，
，
，
∴四边形 是等腰梯形，且
，
，
平面 ，
∴ 又∵平面
平面
，∴
.
，又平面
平面
，∴ 平面 .
（2）当
时，
平面 ，在梯形
，∵
，而
，∴
∴
，∴四边形
是平行四边形，∴
，∴ 平面 .
中，设 ，
，又∵
，连接 ，则 平面 ， 平面
点睛：本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、 几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1) 证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直； (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．
面 ，面
面
，
.
故四边形 是正方形，所以
.
在 中，
，∴
.
，
∴
，∴
∴
.
因为
， 平面 ， 平面 .
∴ 平面 ,
平面 ，∴平面
平面 .
（2）在线段 上存在点 ，使得 平面
，
，所以 面
在线段 上取点 ，使得
，连接 .
在 中，因为
，所以
与 相似，所以
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（3）点 到平面 的距离就是点 到平面 的距离，设 到平面 的距离为 ，利用同
6．（1）见解析；（2）见解析， 【解析】分析: (1) 取 中点 ,连接 , ,先证明
面 ,再证明
.(2) (i)取 中
点 ,连接 , ,则
， 即为所作直线 ,证明四边形
分别计算出两部分的体积，再求它们的比.
详解：（1）证明：(1)取 中点 ,连接 ,
为平行四边形即得证. （ii）先
, 为 中点，
又
, 为 中点，
又
，
面
又 面，
(2)(i)取 中点 ,连接 , ,则 理由如下:
， 即为所作直线 ,
在 中 、 分别为 、 中点
,且
又
,
且
， 四边形 为平行四边形.
(ii)
,
,
又在 中,
,
又
,
面
，
面
,
，
.
：（1）本题主要考查空间平行垂直位置关系的证明，考查空间几何体体积的计算，意
在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象转化能力.（2）对于空间平行垂直位置关 系的证明有几何法和向量法两种方法，空间几何体体积的计算有公式法、割补法和体积变换 法三种方法.
中，过点作 作
于 ，可得
，所以
，由面
面 ，可得出
，利用线面垂直的判定定理得 平面 ,
进而可得平面
平面 ；（2）在线段 上取点 ，使得
，连接 ，先证明
与 相似，于是得
，由线面平行的判定定理可得结果；（3）点 到平面 的距
离就是点 到平面 的距离，设 到平面 的距离为 ，利用体积相等可得，
，解得 .
详 解 ： （1） 因 为 面
积法
即可求得结果.
详解：(1)在矩形
中,
,
.
又
平面
，
.
,
平面
.
又
平面 , 平面
平面
.
(2) 为棱 上靠近 的三等分点， 为棱 中点，
，所以 的面积
.
于是四棱锥
的体积
. 点睛：求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问 题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不 规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积 法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知 条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的 高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接 计算得到高的数值．
交于点 ，点 为的 中点.将三角形
沿线段 折起到 的位置，如图 2 所示.
图1 （Ⅰ）求证：
图2 平面 ；
（Ⅱ）证明： 平面
平面 ；
（Ⅲ）在线段
上是否分别存在点 ，使得平面
点 的位置，并证明；若不存在，请说明理由.
平面 ？若存在，请指出
参考答案
1．（1）见解析.（2）见解析.（3） .
【 解 析 】 分 析 ：（ 1 ） 在 梯 形