三角形面积的计算_典型例题五
北师大版五年级数学上册典型例题系列之第四单元多边形的面积三角形部分(原卷版)
五年级数学上册典型例题系列之第四单元多边形的面积三角形部分（原卷版）本专题是第四单元多边形的面积三角形部分。
本部分内容是三角形的面积及实际应用，其中复杂的三角形面积计算难度较大，建议根据学生掌握情况选择性讲解，一共划分为十一个考点，欢迎使用。
【考点一】三角形的面积。
【方法点拨】三角形的面积=底×高÷2，用字母表示为S=ah÷2。
【典型例题1】南南在推导三角形面积公式时，把一个底8cm，高6cm的三角形按下图所示剪拼成了一个长方形，这个长方形的长是( )cm，宽是( )cm。
【典型例题2】一个直角三角形的两条直角边分别是3米、4米，这个三角形的面积是( )平方米。
【对应练习1】一块三角形的土地，它的底是15米，底边上的高是12米。
这块土地的面积是( )平方米。
【对应练习2】鲁老师在上三角形课的时候，找到一个等腰三角形的底是10cm，它的一个底角是45°。
这是( )三角形，面积是( )cm2。
【对应练习3】一个直角三角形的两条直角边分别是30厘米和12厘米，它的面积是（）平方厘米。
【典型例题3】求如图所示图形的面积。
【对应练习1】计算如图图形的面积。
【对应练习2】求面积。
【对应练习3】求面积。
【考点二】反求底或高一。
【方法点拨】已知三角形的面积和高，求底，可以根据a=2S÷h计算；已知三角形的面积和底，求高，可以根据h=2S÷a计算。
【典型例题1】一个三角形的面积是20平方厘米，底是5厘米，这个底上的高是( )厘米。
【典型例题2】cm，高为6cm，则这个三角形的底为( )cm。
一个三角形的面积是152【对应练习1】一个三角形面积是24cm2。
它的底边是8cm，那么这个三角形这条底边上的高是( )cm。
【对应练习2】一个三角形的面积是30cm2，高是6cm，与高对应的底是( )cm。
【对应练习3】一个三角形的面积是24dm2，底是12dm，它的高是（）dm。
五年级数学上册第二单元：三角形面积的实际应用专项练习(解析版)苏教版
2022-2023学年五年级数学上册典型例题系列之第二单元：三角形面积的实际应用专项练习（解析版）1．一个三角形的面积是15平方米，它的底是10米，则它的高是多少米？【答案】3米【分析】三角形的面积＝底×高÷2，据此用三角形的面积乘2，再除以底即可求出高。
【详解】15×2÷10＝30÷10＝3（米）答：它的高是3米。
【点睛】本题考查三角形的面积。
牢记并灵活运用三角形的面积公式是解题的关键。
2．一块三角形地的底是10米，高是6米，一共收蔬菜960千克。
这块地平均每平方米收蔬菜多少千克？【答案】32千克【分析】根据三角形的面积公式：底×高÷2，把数代入公式即可求出三角形地的面积，由于一共收蔬菜960千克，用收蔬菜的质量除以三角形地的面积即可求解。
【详解】10×6÷2＝60÷2＝30（平方米）960÷30＝32（千克）答：这块地平均每平方米收蔬菜32千克。
【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，熟练掌握三角形的面积公式并灵活运用。
3．三角形的面积是216平方厘米，底是24厘米。
底边上的高是多少厘米？【答案】18厘米【分析】根据三角形面积公式：三角形面积＝底×高÷2；高＝三角形面积×2÷底，代入数据，即可解答。
【详解】216×2÷24＝432÷24＝18（厘米）答：底边上的高是18厘米。
【点睛】本题考查三角形面积公式的应用，关键是熟记公式，灵活运用。
4．一块三角形麦田，底长80米，高60米，如果每公顷收小麦5吨，这块地能收小麦多少吨？【答案】1.2吨【分析】根据三角形面积公式：底×高÷2，求出这块三角形麦田的面积；1公顷＝10000平方米，把平方米化成公顷，再乘5，就是这块地能收小麦的吨数。
【详解】80×60÷2＝4800÷2＝2400（平方米）2400平方米＝0.24公顷0.24×5＝1.2（吨）答：这块地能收小麦1.2吨。
第六单元三角形面积的实际应用“基础型”专项练习-五年级数学(解析版)人教版
2023-2024学年五年级数学上册典型例题系列第六单元：三角形面积的实际应用“基础型”专项练习1．给一块底1.6米、高0.9米的三角形广告牌的两面刷油漆。
如果每平方米需要油漆0.6千克，共需要多少千克油漆？【答案】0.864千克【分析】根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，据此求出三角形广告牌的面积，再乘2就是需要刷油漆的面积，再用需要刷油漆的面积乘每平方米需要油漆的重量即可求解。
【详解】1.60.9220.6⨯÷⨯⨯＝1.44÷2×2×0.6＝0.72×2×0.6＝1.44×0.6＝0.864（千克）答：共需要0.864千克油漆。
【点睛】本题考查三角形的面积，熟记公式是解题的关键。
2．某学校买来宽2.4米的红布394米，要做成底边和高都是0.8米的红色直角三角旗，可以做多少面？（不考虑损耗）【答案】2952面【分析】分别用红布的长和宽除以0.8，再把所得的商相乘，最后再乘2即可。
【详解】2.4÷0.8＝3（面）394÷0.8＝492.5≈492（面）3×492＝1476（面）1476×2＝2952（面）答：可以做2952面。
【点睛】本题考查小数除法，求出红布的长和宽分别可以做多少面是解题的关键。
3．一块三角形的稻田，底是160米，高100米，共收水稻6吨，平均每公倾稻田收水稻多少千克？【答案】7500千克【分析】根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，据此求出三角形稻田的面积，再用共收水稻的重量除以稻田的面积即可。
【详解】6吨＝6000千克160×100÷2＝16000÷2＝8000（平方米）＝0.8（公顷）6000÷0.8＝7500（千克）答：平均每公倾稻田收水稻7500千克。
【点睛】本题考查三角形的面积，熟记公式是解题的关键。
利用正余弦定理解决三角形面积问题(典型例题+跟踪训练)【解答题抢分专题】备战2023年高考数学
【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用）专题02利用正余弦定理解决三角形面积问题目录一览一、梳理必备知识二、基础知识过关三、典型例题讲解四、解题技巧实战五、跟踪训练达标六、高考真题衔接1.正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===.（其中R 为ABC ∆外接圆的半径）2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ⇔===（边化角）sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R⇔===（角化边）2.余弦定理：222222222cos 2cos 2cos .2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩⇒2222222222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩3.三角形面积公式：B ac A bcC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆=12++为三角形ABC 的内切圆半径一、梳理必备知识4.三角形内角和定理：在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+.【常用结论】①在ABC ∆中，sin sin ;a b A B A B >⇔>⇔>②sin 2sin 2,.2A B A B A B π==+=则或③在三角函数．．．．中，sin sin A B A B >⇔>不成立。
但在三角形．．．中，sin sin A B A B >⇔>成立一、单选题1．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =c =，30B =︒，则ABC 的面积为（）．A．2B ．4C ．2D ．42．已知在ABC 中，4AB =，3AC =，cos 2A =，则ABC 的面积为（）A ．3B ．C ．6D ．3．在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，2,,sin 2sin 3c A B C ===，则ABC 的面积为（）A B ．C ．2D ．4【答案】B【分析】由正弦定理求得24b c ==，利用面积公式进行求解.【详解】由正弦定理得：24b c ==，二、基础知识过关4．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22230,=︒+-=A b c a ABC 的面积为（）A ．12B C ．1D ．25．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为π3A =，b c +==a （）A ．B ．5C ．8D ．6．在ABC 中，已知3a =，c =60C =︒，则ABC 的面积为（）A B C D3二、填空题7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，b ＝1，1cos 3C =，则△ABC 的面积为______．【答案】38．在ABC 中，设a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 所对的边，2b =，1c =，面积12ABC S ∆=，则内角A 的大小为__．9．在△ABC 中，若7a =，3b =，8c =，则△ABC 的面积等于______________．【技巧实战1】1．记ABC 中角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2A B =，32b c =.(1)求tan tan CB；(2)若ABC的周长为5ABC 的面积.2．已知ABC 的内角A 、B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos 1cos 2A +=-．（Ⅰ）求角A 的值．（Ⅱ）若ABC 的面积为()7b c b c +=>，求a 的值．四、解题技巧实战3．ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有()sin 20C A B +=.(1)求角C ；(2)当4a =，c =时，求ABC 的面积.1．（2022春·广西南宁·高一校考阶段练习）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若222b c a bc +=+，且8bc =，五、跟踪训练达标（1）求角A.（2）求△ABC 的面积.2．（2023·高一单元测试）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin cos a C A ．（1）求角A ．（2）若a =2c =求△ABC 的面积．3．（2023秋·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期末）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量()cos ,cos m A B = ，(),2n a c b =- ，且//m n．（1）求角A 的大小；（2）若4a b ==，ABC 面积．4．（2022秋·云南楚雄·高二校考阶段练习）已知ABC 角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,ABC 的周长为2,且sin sin A B C +=.(1)求边c 的长;(2)若ABC 的面积为23sin C ,求角C 的度数.5．（2023·全国·高三专题练习）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 2cos a C c A b B +=.（1）求B ；（2）若b =ABC 的面积为ABC 的周长.6．（山西省部分学校2023届高三下学期质量检测试题）已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，()1cos sin c B C +=．(1)求角B 的大小；(2)若2b =，4a c +=，求ABC 的面积．7．（2023·安徽淮北·统考一模）设ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin c C b B C A a a-=-，4b =．(1)求角B 的大小(2)若c =ABC 的面积．8．（广东省广州市2023届高三综合测试（一）数学试题）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知223cos cos 222C A a c b +=.(1)证明：sin sin 2sin A C B +=；(2)若2b =，3AB AC ⋅=uu u r uuu r ，求ABC 的面积.9．（湖北省八市2023届高三下学期3月联考数学试题）在ABC 中，记角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知π2sin 6b A a c ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，且2c =，点D 在线段BC 上.(1)若3π4ADC ∠=，求AD 的长；(2)若2,BD DC ABC = 的面积为sin sin BAD CAD ∠的值.10．（江西省金溪县第一中学2023届高三一轮复习验收考试数学（理）试题）已知在非钝角ABC 中，角,,A B C所对的边分别为1,,,cos sin 2a b c c a B B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)求sin A ；(2)若ABC 的面积为1，且__________（在下面两个条件中任选一个），求ABC 的周长.①2a =；②2a c =.注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.11．（广东省广州市南沙区东涌中学2023届高三上学期期中数学试题）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足()274sincos222A B C -+=，(1)求A ；(2)D 是线段BC 边上的点，若2,3AD BD CD ===，求ABC 的面积..12．（云南省保山市、文山州2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2cos 0b A a B c A ++=．(1)求角A 的大小；(2)若BC 边上的中线23AD =，且ABC S = ABC 的周长．2π由(1)有：2π3A =，所以ABC S △由余弦定理知222a b c bc =++，即1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.（1）若a，b，求ABC的面积；（2）若sin A C=2，求C.六、高考真题衔接2．（2022年全国新高考II 卷数学试题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12313S S S B -+==．(1)求ABC 的面积；(2)若sin sin 3A C =，求b ．3．（2021年全国新高考II 卷数学试题）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．4．（2022年北京市高考数学试题）在ABC 中，sin 2C C =．(1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为ABC 的周长．25．（2022年浙江省高考数学试题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知4,cos 5a C ==．(1)求sin A 的值；(2)若11b =，求ABC 的面积．。
面积计算题汇总
面积计算题汇总简介本文档是关于面积计算题的汇总，提供了一些常见的面积计算题及其解答。
每个题目都有详细的解题过程，可以帮助读者更好地理解如何计算面积。
题目一：矩形的面积题目描述一个矩形的长是8米，宽是4米，请计算其面积。
解答矩形的面积可以通过将长和宽相乘得到。
所以，该矩形的面积为：面积 = 长 ×宽 = 8米 × 4米 = 32平方米题目二：三角形的面积题目描述一个三角形的底边长为6米，高为4米，请计算其面积。
解答三角形的面积可以通过底边长和高相乘再除以2得到。
所以，该三角形的面积为：面积 = (底边长 ×高) / 2 = (6米 × 4米) / 2 = 12平方米题目三：圆的面积题目描述一个圆的半径为5米，请计算其面积，结果保留两位小数。
解答圆的面积可以通过半径的平方乘以3.14来计算。
所以，该圆的面积为：面积 = 5米 × 5米× 3.14 ≈ 78.54平方米题目四：梯形的面积题目描述一个梯形的上底长为6米，下底长为8米，高为5米，请计算其面积。
解答梯形的面积可以通过将上底长和下底长相加，再乘以高，再除以2得到。
所以，该梯形的面积为：面积 = (上底长 + 下底长) ×高 / 2 = (6米 + 8米) × 5米 / 2 = 35平方米结论通过本文档的题目汇总，我们可以学到如何计算矩形、三角形、圆和梯形的面积。
只需记住相应的公式，就可以轻松解决面积计算题。
希望本文档对您有所帮助！。
三角形面积的计算_典型例题四
典型例题
例1．一个三角形的底是18厘米，面积是126平方厘米，高是多少厘米？
分析：两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，三角形与拼成的平行四边形等底等
高．（如下图）先用三角形面积乘2，求出平行四边形面积，再用平行四边形面积除以底（18厘米），就是平行四边形的高，也就是三角形的高．
解：126×2÷18＝14（厘米）
答：三角形的高是14厘米．
☆例2．如图，正方形ABCD ，三角形（1）的面积比三角形（2）的面积大8平方厘米，10 AD
厘米，求DE 的长．
分析：正方形中包括梯形AOCD ，三角形ADE 中也包括梯形AOCD ．三角形（1）的面积比
三角形（2）大8平方厘米，说明三角形ADE 的面积比正方形ABCD 的面积大8平方厘米．正方形面积是10×10＝100（平方厘米），那么三角形ADE 的面积就是100＋8＝108（平方厘米），已知三角形ADE 的面积和高，就可以求出三角形的底（DE ）． 解：10×10＋8＝108（平方厘米）
108×2÷10＝21.6（厘米）
答：DE 的长为21.6厘米．。
2022年中考数学典型例题之三角形的面积及面积最值问题
2021-2022学年中考数学典型例题专项讲解之动点问题中的二次函数面积问题一三角形的面积及面积最值问题一、公式法：底×高÷2S△ABC =12AB CE【典型例题】如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C，求△ABC的面积。
【对应练习1】如图，二次函数y=-2x2+4x+6与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，顶点为D，求△DOC的面积。
【对应练习2】如图，已知抛物线y=-x2+2x+3，B、C分别是抛物线与x轴，y轴的交点，点M是线段BC上的点（不与B、C重合），过点M作MN∥y轴交抛物线于N点。
若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示△CMN的面积。
二、割补法。
【典型例题】如图，抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于点A、B，与Y轴交于点C，D为抛物线顶点，求△BCD的面积。
【对应练习】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）交x轴于A（-1，0）、B（5，0）两点，与y轴交于点C （0，2）。
（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为抛物线的顶点，连接BC、CM、BM，求△BCM的面积。
三、铅锤法：“铅垂高、水平宽”歪三角形（没有边与对称轴平行）图1 图2 S△ABC=S△ACD+S△BCD S△ABC=S△ACD－S△BCD=12CD·AE+12CD·BF =12CD·AE－12CD·BF=12CD（AE+BF） =12CD·BG=12CD·BGCD为△ABC的铅垂高，BG为△ABC的水平宽，S△ABC=12ah【典型例题1】（2020·四川省内江中考）如图，抛物线cy+=2经过A（-1，0）、B（4，0）、C（0，2）+bxax三点，点D（x，y）为抛物线上第一象限内的一个动点。
（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）当BCD∆的面积为3时，求点D的坐标；xy O CBDA【对应练习1】如图，在平面直角坐标系中，己知二次函数28 3y ax x c=++的图像与y轴交于点B(0， 4)，与x轴交于点A(－1，0)和点D．(1)求二次函数的解析式；(2)求抛物线的顶点和点D的坐标；(3)在抛物线上是否存在点P，使得△BOP的面积等于52？如果存在，请求出点P的坐标？如果不存在，请说明理由．【对应练习2】（2020秋•滨海新区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+52与x轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求△ACM的面积；【典型例题2】（2021·辽宁省阜新中考）在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-交x 轴于点(1,0)A -，(3,0)B ，过点B 的直线223y x =-交抛物线于点C ．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合），求PBC面积的最大值．【对应练习1】（2021·黑龙江齐齐哈尔中考）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线2()=++≠与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，20y ax x c a连接BC，OA=1，对称轴为x=2，点D为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C，D两点之间的距离是__________；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE．求BCE面积的最大值．【对应练习2】（2020秋•盐城期末）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m），点P是线段AC上一个动点，过点P做x轴的垂线交抛物线于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）当P在何处时，△ACE面积最大．【对应练习3】（2021春•金塔县月考）如图，已知抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC 上方的该抛物线上是否存在一点D ，使得△DCA 的面积最大，若存在，求出点D 的坐标及△DCA 面积的最大值；若不存在，请说明理由．【对应练习4】（2021·四川省内江中考）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(2,0)A -、(6,0)B 两点，与y 轴交于点C ．直线l 与抛物线交于A 、D 两点，与y 轴交于点E ，点D 的坐标为(4,3)．（1）求抛物线的解析式与直线l 的解析式；（2）若点P 是抛物线上的点且在直线l 上方，连接PA 、PD ，求当PAD ∆面积最大时点P 的坐标及该面积的最大值；【对应练习5】如图，已知抛物线经过点A （-1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点。
总集篇-七种典型几何模型【七大考点】-2024年小升初数学(解析版)
总集篇·七种典型几何模型【七大考点】【第一篇】专题解读篇本专题是难点03：总集篇·七种典型几何模型。
本部分内容以七种典型几何模型为主，其中包括一半模型、等高模型、等积变形模型、鸟头模型、蝴蝶模型、相似模型、燕尾模型等，绝大部分考点属于思维拓展内容，考点考题综合性极强，难度极大，建议作为小升初复习难点内容，再根据学生实际水平和总体掌握情况，选择部分考点进行讲解，一共划分为七个考点，欢迎使用。
【第二篇】目录导航篇【考点一】几何模型其一：一半模型 (2)【考点二】几何模型其二：等高模型 (3)【考点三】几何模型其三：等积变形 (7)【考点四】几何模型其四：鸟头模型 (13)【考点五】几何模型其五：蝴蝶模型（风筝模型或任意四边形模型） (16)【考点六】几何模型其六：相似模型 (20)【考点七】几何模型其七：燕尾模型 (24)【第三篇】知识总览篇【第四篇】典型例题篇【考点一】几何模型其一：一半模型。
【方法点拨】对于长方形来说，最简单的一半就是连接对角线，当然通过等积变形还可以得到很多很多一半，最为常见的就是长方形中的一座山的样子的三角形。
【典型例题】如图，在长方形中有3块面积已经给出，求阴影部分的面积是( )。
A.10B.11C.12D.13解析：通过观察图形发现，已知三角形的面积和阴影部分图形的面积没有直接的联系，那不妨换个角度，在这个长方形中有两个长方形一半的三角形，那么这两个三角形的面积相加应该等于长方形面积，但是由于有重叠部分，两个三角形没有占满整个长方形，那么空出来的部分其实就和重叠部分面积相同，即重叠等于未覆盖。
阴影面积=5＋3＋4=12，选C。
【对应练习】如图所示，长方形ABCD中，三角形APD的面积是25，三角形BQC的面积为35，则阴影部分面积为多少？【考点二】几何模型其二：等高模型。
【方法点拨】三角形面积的计算公式是三角形面积=底×高÷2。
从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。
第4课时三角形的面积(教案)-2023-2024学年五年级上册数学人教版
解决办法：采用分步引导法，逐步引导学生推导出三角形面积计算公式，帮助学生克服思维障碍。
3. 重点：三角形面积计算公式的运用。
解决办法：设计丰富的练习题，让学生在实际操作中运用三角形面积计算公式，提高学生的应用能力。
4. 难点：解决实际问题中的三角形面积计算。
二、新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解三角形的面积的基本概念。三角形的面积是……（详细解释概念）。它是……（解释其重要性或应用）。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了三角形的面积在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调三角形面积的计算方法和三角形面积的推导过程这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
教学资源拓展
1. 拓展资源：介绍与本节课教学内容相关内容，不要写网址网站。
- 几何画板：几何画板是一款功能强大的数学绘图软件，可以帮助学生直观地理解和掌握三角形的面积计算方法，同时也可以用于绘制各种几何图形，提高学生的空间想象能力。
- 数学视频教程：通过观看数学视频教程，学生可以学习到更多的数学知识和技巧，提高自己的数学能力。
3. 例题三：三角形面积的实际应用。
题目：一个三角形的面积为8平方厘米，底边长为3厘米，求该三角形的高。
答案：三角形面积 = (底边长 × 高) / 2 = 8平方厘米，代入公式解得高 = (8平方厘米 × 2) / 3厘米 = 4厘米。
4. 例题四：三角形面积的推导。
题目：已知一个三角形的底边长为6厘米，高为5厘米，求该三角形的面积。
3. 实验器材：如果涉及实验，确保实验器材的完整性和安全性。实验器材主要包括直尺、三角板、剪刀等，用于帮助学生进行实际操作和练习，加深对三角形面积计算方法的理解和应用。
小学数学三角形面积练习题
小学数学三角形面积练习题
1. 小明画了一个三角形，其中两个角的度数分别是40°和80°，已知这个三角形的底边长为10厘米，求这个三角形的面积。
2. 已知一个三角形的两个边长分别为5厘米和8厘米，两个边之间
的夹角为60°，求这个三角形的面积。
3. 已知一个等腰直角三角形，已知斜边长为10厘米，求这个三角
形的面积。
4. 小玲画了一个直角三角形，已知直角边长为6厘米，斜边长为10
厘米，求这个三角形的面积。
5. 小强画了一个三角形，已知底边长为12厘米，高为8厘米，求
这个三角形的面积。
6. 小丽画了一个三角形，已知底边长为10厘米，角A的度数为60°，角B的度数为70°，求这个三角形的面积。
7. 小燕画了一个三角形，已知边长分别为6厘米、8厘米、10厘米，求这个三角形的面积。
8. 已知一个等边三角形，边长为5厘米，求这个三角形的面积。
9. 小李画了一个等腰三角形，底边长为6厘米，斜边长为8厘米，
求这个三角形的面积。
10. 小华画了一个等边三角形，已知边长为10厘米，求这个三角形
的面积。
以上是关于小学数学三角形面积的练习题，通过计算以上题目可以提高小学生对三角形面积的理解和计算能力。
解三角形(面积问题(含定值,最值,范围问题))(典型例题+题型归类练)(解析版)
专题07 解三角形（面积问题（含定值，最值，范围问题））(典型例题+题型归类练)一、必备秘籍基本公式1、正弦定理及其变形2(sin sin sin a b cR R A B C===为三角形外接圆半径）12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式）2sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===（）(角化边公式）3::sin :sin :sin a b c A B C =（）基本公式2、余弦定理及其推论2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- ⇒ 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bca c bB aca b c C ab+-=+-=+-=基本公式3、常用的三角形面积公式 （1）高底⨯⨯=∆21ABC S ； （2）B ca A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆（两边夹一角）； 核心秘籍1、基本不等式 ①2a b ab +≤②222a b ab +≥核心秘籍2：利用正弦定理化角（如求三角形面积取值范围，优先考虑化角求范围）利用正弦定理2sin a R A =，2sin b R B =，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围.二、典型例题角度1：求三角形面积（定值问题）例题1．（2022·陕西省安康中学高二期末（理））在ABC 中，()23cos 3cos b c A a C -=． (1)求A ∠的大小；(2)若3=c b ，2a =．求ABC 的面积．【答案】(1)6A π∠=(2)3(1)解：因为()23cos 3cos b c A a C -=，由正弦定理可得2sin cos 3sin cos 3sin cos B A C A A C -=， 即()()2sin cos 3sin cos cos sin 3sin 3sin B A A C A C A C B =+=+=， 又在ABC 中，sin 0B ≠，所以3cos 2A =，()0,A π∈，所以6A π=；(2)解：由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-=，即22343223b b b b +-=⋅，解得2b =，所以23c =，又1sin 2A =， 所以111sin 2233222S bc A ==⨯⨯⨯=；. 第（2）问思路点拨：由（1）知，且，可利用余弦定理结合，求出解答过程：根据余弦定理：，且；即，解得，所以所以.利用面积公式求解角度2：求三角形面积（最值问题，优先推荐基本不等式）例题2．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，221cos 2a b bc ac B -+=．(1)求角A ；(2)若sin 3sin b A B =，求ABC 面积的最大值．【答案】(1)π3A =(2)334(1)由221cos 2a b bc ac B -+=，可得22222122a cb a b ac bc ac +--=⋅-，得222b c a bc +-=，则2221cos 22b c a A bc +-==， 由于0πA <<，所以π3A =．(2)由sin 3sin b A B =，可得sin 3sin a B B =，又sin 0B >，则3a =，则222222cos 2a b c bc A b c bc bc bc =+-=+-≥-，（当且仅当b c =时等号成立），则3bc ≤，（当且仅当3b c ==时等号成立），则11333sin 32224ABC S bc A =≤⨯⨯=△，即ABC 面积的最大值为334． 第（2）问思路点拨：由（1）知，且，要求面积的最大值，可优先考虑基本不等式解答过程：由，因为，（当且仅当时等号成立）则，（当且仅当时等号成立）则利用余弦定理+基本不等式求解角度3：求三角形面积（范围问题，优先推荐正弦定理化角）例题3．（2022·黑龙江·哈师大附中高一期中）在锐角ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量(,)m a c =，1(cos ,)2n a A b a =-，满足//m n .(1)求角C 的值；(2)若3c =，求ABC 的面积的取值范围．第（2）问思路点拨：由（1）知，且，要求的面积的取值范围，涉及到三角形面积取值范围问题，优先推荐正弦定理化角求解解答过程：化角合一（将两个角化成一个角）先拆后合求角的取值范围锐角，【答案】(1)3C π=(2)⎝⎦(1)//m n ，1()cos 2a b a ca A ∴-=，10,cos 2a b a c A >∴-=，由正弦定理得11sin cos sin sin sin()sin 22C A B A A C A =-=+-，可得1sin cos sin cos cos sin sin 2C A A C A C A =+-，即1sin cos sin 2A C A =，由sin 0A ≠，可得1cos 2C =，由()0,C π∈，可得3C π=． (2)因为c =3C π=，22,33A B B A ππ+==-，由正弦定理得2sin sin sin sin 3a b c A B C ====， 2sin a A ∴=，2sin b B =，1sin 23ABCSab π∴=2sin sin()]3A B A A π=⋅⋅-213sin )]sin cos 22A A A A A A +=3sin 22)46A A A π==-+锐角ABC ，20,0,23262A A A πππππ∴<<<-<∴<<， 512,2,sin(2)1366626A A A ππππππ∴<<∴<-<∴<-≤，)6A π<-≤ABC S∴∈⎝⎦.例题4．（2022·浙江·瑞安市瑞祥高级中学高一阶段练习）ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知(),,sin ,sin 2A C m a b n A +⎛⎫== ⎪⎝⎭，且//m n .(1)求B ；(2)若ABC 为锐角三角形，且23a =，求ABC 的面积的取值范围.第（2）问思路点拨：由（1）知，且，要求的面积的取值范围，涉及到三角形面积取值范围问题，优先推荐正弦定理化角求解解答过程：由（1）知，，结合正弦定理：，统一角：代入化简代入面积公式，其中，求角的取值范围由为锐角三角形，且，则，解得因为在单调递增，所以，所以，即.【答案】(1)3B π=(2)⎝ (1)解：由题意，向量(),,sin ,sin 2A C m a b n A +⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为//m n ，可得sinsin 2A Ca b A +=， 又由正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=， 因为(0,)A π∈，所以sin 0A >，所以sin sin 2A CB +=， 即sin sin cos22BB B π-==，所以2sin cos cos 222B B B =， 可得cos2sin 1022B B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以cos 02B =或1sin 22B =， 又因为()0,B π∈，所以3B π=.(2)解：由（1）结合正弦定理sin sin sin a b c A B C==sin sin 3b cC π==，所以()sin A B c A +===所以191sin 22tan ABCSac B A ===， 又由ABC 为锐角三角形，且3B π=，则022032A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62A ππ<<，因为tan y x =在,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，所以tan A >ABCS<<ABC S⎝∈ 三、题型归类练1．（2022·全国·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos 2cos tan sin C AB C-=，a b <．(1)求角B ；(2)若3a =，7b =，D 为AC 边的中点，求BCD △的面积． 【答案】(1)23B π=(1)由cos 2cos tan sin C AB C-=，有tan sin cos 2cos B C C A =-，两边同乘cos B 得sin sin cos cos 2cos cos B C B C A B =-，故()cos 2cos cos B C A B +=，即cos 2cos cos A A B -=．因为a b <，所以A 为锐角，cos 0A ≠，所以1cos 2B =-．又因为()0,B π∈，所以23B π=． (2)在ABC 中，由余弦定理2221cos 22a c b B ac +-==-，即2949162c c +-=-，故23400c c +-=，解得5c =或8c =-舍）．故11235sin 223BCD ABC S S π==⨯⨯⨯⨯=△△ 2．（2022·湖南·长沙一中高一阶段练习）在△ABC 中，1,2AB AC ==，23-=B C π. (1)求tan C 的值； (2)求△ABC 的面积S .【答案】(1)由正弦定理知sin 2sin B AC C AB==，得sin 2sin B C =，又23-=B C π，所以212sin sin sin 32C C C C π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以cosC C =，从而tan C =.(2)由（1）知cosC C =，代入22sin cos 1C C +=得sin C C ==因为23A B C C ππ=--=-，所以11sin sin 2sin2232S AB AC A C C C π⎛⎫=⋅⋅=-=- ⎪⎝⎭)2211cos sin sin cos 14C C C C --== 3．（2022·北京市第三十五中学高一阶段练习）在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知a b ==52B A =(1)求角A 的大小； (2)求ABC 的面积.【答案】(1)3π(1)解：由正弦定理sin sin a b A B =，又a b ===sin B =52B A =52A =，即sin A ，又02A π<<，所以3A π=；(2)解：由（1）可得sin B =，又02B π<<，所以4B π=，所以()sin sin sin 34C A B ππ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭sin coscossin3434ππππ=+12==，所以11sin 22ABCS ab C ===4．（2022·甘肃·高台县第一中学高二阶段练习（理））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin cos a b C C =+.(1)求B ；(2)若1b =，求ABC 面积的最大值.【答案】(1)π4(1)因为()sin cos a b C C =+，由正弦定理得()sin sin sin sin sin cos A B C B C B C =+=+，整理得sin cos sin sin C B B C =，因为sin 0C >，所以sin cos B B =，即tan 1B =，由B 为三角形内角得π4B =；(2)由余弦定理得，(222222cos 2b a c ac B a c ac =+-=+≥，当且仅当a c =时取等号，解得acABC 面积1sin 2S ac B ==≤，所以ABC . 5．（2022·辽宁·建平县实验中学高一阶段练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()2cos cos cos C a B b A c +=． (1)求C ；(2)若c =ABC 面积的最大值．【答案】(1)π3C =；(1)由()2cos cos cos C a B b A c +=， 可得()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C +=即()2cos sin 2cos sin sin C A B C C C +==，又sin 0C >，则1cos 2C =， 又0πC <<，则π3C =(2)ABC 中，c =π3C =则由余弦定理可得227a b ab =+-，即227ab a b +=+ 则72ab ab +≥，（当且仅当a b =时等号成立）解之得7ab ≤（当且仅当a b ==则1sin 2ABCSab C ==≤a b c ===即ABC 6．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22cos c b a C =-． (1)求角A ；(2)若M 为BC 的中点，AM =ABC 面积的最大值．【答案】(1)π3A =(1)解法一：因为22cos c b a C =-，由正弦定理得：sin 2sin 2sin cos C B A C =-，所以sin 2sin()2sin cos C A C A C =+-2sin cos 2cos sin 2sin cos 2cos sin A C A C A C A C =+-=， 因为sin 0C ≠， 所以12cos 1,cos 2A A ==， 为0πA <<， 所以π3A =．解法二：因为22cos c b a C =-，由余弦定理得：222222a b c c b a ab +-=-⋅，整理得222bc b c a =+-， 即222a b c bc =+-，又由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-所以12cos 1,cos 2A A ==， 因为0πA <<， 所以π3A =． (2)解法一：因为M 为BC 的中点， 所以1()2AM AB AC =+， 所以()222124AM AB AB AC AC =+⋅+， 即22132cos 43c b bc π⎛⎫=++⋅ ⎪⎝⎭， 即2212b c bc +=-，而222b c bc +≥，所以122bc bc -≥即4bc ≤，当且仅当2b c ==时等号成立所以ABC 的面积为11sin 422ABC S bc A =≤⨯≤△ 即ABC解法二：设BM MC m ==，在ABM 中，由余弦定理得2232cos c m AMB =+-∠，①在ACM △中，由余弦定理得2232cos b m AMC =+-∠，②因为πAMB AMC ∠+∠=，所以cos cos 0AMB AMC ∠+∠=所以①+②式得22262b c m +=+．③在ABC 中，由余弦定理得22242cos m b c bc A =+-⨯， 而π3A =，所以2224m b c bc =+-，④联立③④得：22222212b c b c bc +-=+-，即2212b c bc +=-，而222b c bc +≥，所以122bc bc -≥，即4bc ≤，当且仅当2b c ==时等号成立．所以ABC 的面积为11sin 422ABC S bc A =≤⨯≤△ 即ABC7．（2022·河北邯郸·高一期中）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()sin sin sin sin 2A C c A b CBC +=+. (1)求B ；(2)若2a =，求△ABC 面积的取值范围.【答案】(1)3π(2)⎝ (1)解：根据题意()sin sin sin sin 2A C c A b CBC +=+， 由正弦定理得()sin sin sinsin sin sin 2A C C A B C B C +=+， 因为根据题意A B C π++=，所以B C A +=π-，所以()sin sin B C A +=， 故sin sin sinsin sin sin 2A C C A B C A +=， 由02A π<<，02C <<π，故sin 0A >，sin 0C >，消去sin A ，sin C ，得sinsin 2A C B +=. 02B π<<，022A C π+<<，故2A CB +=，而根据题意A BC π++=，所以3B π=. (2)解：因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=， 故022032A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62A ππ<<.又由正弦定理sin sin a c A C =，2a =，由三角形面积公式有：222111sin 3sin sin sin 222sin sin ABCA c C S acB a B a B a A A π⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅=⋅==△2221231sin cos 3tan 32tan 2A A ππππ⎫=-=+⎪⎭ 又因62A ππ<<，tan >A312tan A <<ABC S <<△故ABC S的取值范围是⎝. 8．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足πsin sin 3b A a B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ (1)设3a =，2c =，过B 作BD 垂直AC 于点D ，点E 为线段BD 的中点，求BE EA ⋅的值；(2)若ABC 为锐角三角形，2c =，求ABC 面积的取值范围．【答案】(1)2728；(2)⎝.(1)πsin sin 3b A a B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由正弦定理得：π1sin sin sin sin sin sin cos 32B A A B A B A B ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以1sin sin cos 02A B A B =， 因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠，所以1sin 02B B =，即tan B 因为()0,πB ∈，所以π3B =，因为3a =，2c =，由余弦定理得：2222cos 9467b a c ac B =+-=+-=，因为0b >，所以b =其中11sin 3222ABC S ac B ==⨯⨯=△所以2ABC S BD AC === 因为点E为线段BD 的中点，所以BE =由题意得：EA ED DA BE DA =+=+，所以()227028BE EA BE BE DA BE ⋅=⋅+=+=. (2)由（1）知：π3B =，又2c =，由正弦定理得：2πsin sin sin 3a c A C A ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以2sin πsin 3A a A ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 因为ABC 为锐角三角形，所以π0,22ππ0,32A C A ⎧⎛⎫∈ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：ππ,62A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan A ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭()0,3，()11,4，故()1,4a =，ABC面积为1sin 2S ac B ==∈⎝ 故ABC面积的取值范围是⎝. 9．（2022·四川绵阳·高一期中）在ABC 中，内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，且2tan tan tan B b A B c =+． (1)求角A 的大小；(2)若ABC 是锐角三角形，2b =，求ABC 面积的取值范围．【答案】(1)3A π=；(2). (1)解：由2tan tan tan B b A B c =+得2sin cos sin sin cos cos sin sin B A B A B A B C =+， 即()2cos 1sin sin A A B C=+， 又sin()sin A B C +=，所以1cos 2A =因为0A π<<，故3A π=. (2)解：1sin 2ABC S bc A == ，由正弦定理知：2sin sin 31sin sin B b C c B B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭===. 因为ABC 是锐角三角形，所以022032B C B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩, 所以62B ππ<<，于是tan B 14c <<.ABC S <<。
第08讲 拓展三：三角形中面积(定值,最值,取值范围)问题 (精讲)(学生版)
第08讲 拓展三：三角形中面积（定值，最值，取值范围）问题 (精讲）目录第一部分：知识点精准记忆 第二部分：典型例题剖析高频考点一：求三角形面积（定值问题） 高频考点二：根据三角形面积求其它元素高频考点三：求三角形面积最值 高频考点四：求三角形面积取值范围第三部分：高考真题感悟1、三角形面积的计算公式：①12S =⨯⨯底高； ②111=sin sin sin 222S ab C ac B bc A ==； ③1()2S a b c r =++（其中，,,a b c 是三角形ABC 的各边长，r 是三角形ABC 的内切圆半径）； ④4abcS R=(其中，,,a b c 是三角形ABC 的各边长，R 是三角形ABC 的外接圆半径). 2、三角形面积最值：核心技巧：利用基本不等式222()22a b a b ab ++≤≤，再代入面积公式. 3、三角形面积取值范围：核心技巧：利用正弦定理2sin a R A =，2sin b R B =，代入面积公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围.高频考点一：求三角形面积（定值问题）1．（2022·河南·模拟预测（文））已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()2cos cos cos c C a B b B C =-+.(1)求角C ；(2)若6c =，ABC 的面积6sin S b B =，求S .2．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期末（文））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()()sin sin sin sin sin sin 3sin sin A B C A B C A B+++-=.(1)求角C 的大小；(2)若ABC 外接圆的面积为12π，6b =，求ABC 的面积.3．（2022·全国·高三专题练习）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin 2B Ca C +=. (1)求角A 的大小；(2)若点D 在边BC 上，且33CD BD ==，π6BAD ∠=，求△ABC 的面积.4．（2022·河南三门峡·模拟预测（文））已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 3cos ba C c A C +=.(1)求tan C ；(2)若3c =，16sin sin 27A B =，求ABC 的面积.5．（2022·全国·高三专题练习）在①()()()sin sin sin sin A B a b C B c +-=-，②sin sin 2B C b a B +=，③2tan tan tan B bA B c=+中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且________． (1)求角A 的大小；(2)已知2AB =，D 为AB 中点，且2CD ab =，求ABC 面积．高频考点二：根据三角形面积求其它元素1．（2022·江苏南京·模拟预测）请在①向量,sin c a x B b c -⎛⎫=⎪+⎝⎭，,sin b c y A c a -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，且x y ；π2sin 3c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭这两个条件中任选一个填入横线上并解答．在锐角三角形ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，． (1)求角C ；(2)若ABC 的面积为2a b +的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．2．（2022·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）在ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22cos b a c B =-(1)求C 的大小；(2)若ABC 的面积为cos2cos2A B +的值.3．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））如图，在ABC 中，2AC =，120ACB ∠=︒，D 是边AB 上一点.(1)若CAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，求BD 的长；(2)若D 是边AB 的中点，ABC 的面积为CD 的长.4．（2022·河南郑州·高一期中）在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量(2,3a a =，(,sin )b c C =，且a b ∥． (1)求角A(2)若c ＝2，且△ABC AC 边上的中线BM 的大小．5．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()cos cos sin a B C A C a -=-.以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O ，2O ，3O .(1)求A ；(2)若a =123O O O ABC 的周长.高频考点三：求三角形面积最值1．（2022·上海市青浦高级中学高一阶段练习）ABC ∆中，60,A a =︒=(1)若2b c =，求(2)求三角形面积的最大值2．（2022·山西·运城市景胜中学高二阶段练习（理））在ABC 中，b ，c 分别为内角B ，C 的对边长，设向量cos ,sin 22A A m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且有22m n ⋅=．(1)求角A 的大小；(2)若a =3．（2022·上海·高三专题练习）已知()21cos cos 2f x x x x =-+. （1）若ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的取值范围；（2）设ABC 的三边分别是a ，b ，c ，周长为2，若()12f B =-，求ABC 面积的最大值.4．（2022·河南·高三阶段练习（理））在ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()(),2,cos ,cos m a b c n B A =-=，且m n ⊥.（1）求角A 的大小；（2）若ABC 外接圆的半径为2，求ABC 面积的最大值.5．（2022·福建省厦门第六中学高一阶段练习）已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos sin 0a C C b c --=．(1)求A ；(2)若2a =，求ABC 的面积的最大值．6．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知等腰三角形ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin b A B =，c (c ＋b )＝(a ＋b )(a －b )． (1)求A 和b ；(2)若点E ，F 分别是线段BC (含端点)上的动点，且BF ＞BE ，在运动过程中始终有3EAF π∠=，求△EAF 面积的最小值．7．（2022·福建·厦门双十中学高一期中）为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BNC 区域为荔枝林和放养走地鸡，△CMA 区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，△MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓.为安全起见，在鱼塘△MNC 周围筑起护栏.已知40m AC =，BC =，AC BC ⊥，30MCN ∠=︒.(1)若20m AM =时，求护栏的长度（△MNC 的周长）；(2)当ACM ∠为何值时，鱼塘△MNC 的面积最小，最小面积是多少？8．（2022·上海徐汇·二模）某动物园喜迎虎年的到来，拟用一块形如直角三角形ABC 的地块建造小老虎的休息区和活动区．如图，90BAC ∠=︒，20AB AC ==（单位：米），E 、F 为BC 上的两点，且45EAF ∠=︒，AEF 区域为休息区，ABE △和ACF 区域均为活动区．设()045EAB αα∠=<<︒．(1)求AE 、AF 的长（用α的代数式表示）；(2)为了使小老虎能健康成长，要求所建造的活动区面积尽可能大（即休息区尽可能小）．当α为多少时，活动区的面积最大？最大面积为多少？高频考点四：求三角形面积取值范围1．（2022·江苏·无锡市第一中学高一期中）已知ABC 的内角A ､B ､C 所对的边分别为a ､b ､c ，且()sin sin sin b c B c C a A -+=，cos cos 1b C c B +=.(1)求A 和a 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形，求ABC 的面积的取值范围.2．（2022·四川绵阳·高一期中）在ABC 中，内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，且2tan tan tan B bA B c=+．(1)求角A 的大小；(2)若ABC 是锐角三角形，2b =，求ABC 面积的取值范围．3．（2022·浙江·瑞安市瑞祥高级中学高一阶段练习）ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知(),,sin ,sin 2A C m a b n A +⎛⎫== ⎪⎝⎭，且//m n .(1)求B ；(2)若ABC 为锐角三角形，且a =ABC 的面积的取值范围.4．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）在ABC 中，设角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin a b A Cc A B--=+． (1)求角B 的值；(2)若ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求ABC 的面积S 的取值范围．5．（2022·广东茂名·高一阶段练习）在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin A B a cC a b--=+．(1)求角B 的值；(2)若△ABC 为锐角三角形，且2c =，求△ABC 的面积S 的取值范围．6．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学高一期中）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知cos cos 2sin a bB AC c c+=．(1)求角C 的大小；(2)若ABC 是锐角三角形，且4b =，求ABC 面积的取值范围．7．（2022·江苏省苏州第十中学校高一期中）已知ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且()2cos cos a b C c B -= (1)求角C(2)若2a =，3b =，CD 为角C 的平分线，求CD 的长； (3)若cos cos 4a B b A +=，求锐角ABC 面积的取值范围.1．（2021·北京·高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=． （1）求B ；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长．条件①：c =；条件②：ABC 的周长为4+条件③：ABC2．（2019·全国·高考真题（理））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．3．（2017·上海·高考真题）已知函数()()221cos sin ,0,2f x x x x π=-+∈．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC 的面积．4．（2013·湖北·高考真题（文））在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ﹣3cos （B+C ）=1． （1）求角A 的大小； （2）若△ABC 的面积S=5，b=5，求sinBsinC 的值．5．（2015·山东·高考真题（理））设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.。
北师大版五年级数学上册典型例题系列之第四单元：三角形面积的实际应用专项练习(解析版)
五年级数学上册典型例题系列之第四单元：三角形面积的实际应用专项练习（解析版）1．一块三角形铝板，底是5.2dm，高是4.8dm。
每平方分米铝板重0.7千克，这块铝板重多少千克？【答案】8.736千克【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，求出面积，再乘0.7千克即可。
【详解】5.2×4.8÷2×0.7＝12.48×0.7＝8.736（千克）答：这块铝板重8.736千克。
【点睛】熟练掌握三角形的面积公式，是解答此题的关键。
2．一个平行四边形和一个三角形的面积相等，平行四边形的底是18分米，高是12分米，三角形的底是16分米。
算一算这个三角形的高是多少厘米？【答案】27厘米【分析】根据平行四边形面积公式：面积＝底×高，代入数据，求出平行四边形的面积，平行四边形面积＝三角形面积，根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，高＝面积×2÷底，代入数据，即可解答。
【详解】18×12×2÷16＝216×2÷16＝432÷16＝27（厘米）答：这个三角形的高是27厘米。
【点睛】熟练掌握和灵活运用平行四边形面积公式和三角形面积公式是解答本题的关键。
3．一块三角形稻田，底90米，高60米，如果每平方米施肥0.2千克，这块稻田约需施肥多少千克？【答案】540千克【分析】根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，求出三角形面积，再用三角形面积×0.2，即可求出这块稻田需施肥多少千克。
【详解】90×60÷2×0.2＝5400÷2×0.2＝2700×0.2＝540（千克）答：这块稻田约需施肥540千克。
【点睛】利用三角形面积公式进行解答，关键是熟记公式。
4．一块三角形田地，底长240米，高是75米，共收玉米8100千克，平均每平方米收玉米多少千克？【答案】0.9千克【分析】根据三角形的面积公式：底×高÷2，把数代入即可求出这块田地的面积，用收玉米的总量除以这块田地的面积即可求解。
专题12 焦点三角形的面积公式(解析版)
A． 48 5
B． 36 5
C．16
D． 48 或 16 5
【答案】D
【详解】依题意， a 5,b 4, c 3 ，不妨设 F1 3, 0, F 3, 0 ，
对于直角三角形 MF1F2 ，
若 F1MF2
π 2
，
PF1 PF2 2a 10
由
PF1
2
PF2
2
4c
2
36
，整理得
PF1
PF2
7 7 3
3
2
33
【反思】焦点三角形问题，常规方法往往涉及到圆锥曲线的定义，利用定义，余弦定理求解，特别提醒，
在圆锥曲线中，定义是解题的重要工具.另外作为二级结论，SPF1F2
b2 tan
要特别注意记忆
F1PF2 表
2
示的是哪个角.另外利用结论 SPF1F2
b2 求解焦点三角形面积适用选择填空题，解答题需先证后用.
即为 PF1 2 PF2 2 PF1 PF2 4c2
联立可得 PF1 PF2 4c2 4a2 4b2
F1F2P 的面积为
3,
可得 1 2
PF1
PF2
sin 60 1 4b 2 2
3 2
3b2
3
解得
b
1,
a
1 2
，所以双曲线的实轴的长
2a
1.
故选：A
7．（2022
秋·湖南怀化·高二校考阶段练习）椭圆 x2 100
直线 AF 的斜率为（ ）
A．
1 3
B． 2 3
C．
1 2
D． 2 2
【答案】A
【详解】设双曲线右焦点为 F2 ，连接 AF2 , BF2 ，由图形的对称性知 AFBF2 为矩形，则有 | AF | AF2 2a ，
第四单元专练篇05：三角形“小题狂练”-北师大版五年级数学例题(解析版)北师大版
2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列第四单元专练篇·05：三角形“小题狂练”一、填空题。
1．一个三角形标志牌，面积是84平方分米，底是12分米，高是( )分米。
【答案】14【分析】根据三角形高＝面积×2÷底，代入数据解答即可。
【详解】84×2÷12＝168÷12＝14（分米）高是14分米。
2．在一个直角三角形中，两条直角边分别是6cm和8cm，斜边长10cm，斜边上的高是( )cm。
【答案】4.8【分析】直角三角形的两条直角边可以看作底和高，根据三角形面积＝底×高÷2，三角形的高＝面积×2÷底，列式计算即可。
【详解】6×8÷2＝48÷2＝24（cm2）24×2÷10＝48÷10＝4.8（cm）斜边上的高是4.8cm。
3．一个三角形底长3米，如果底延长2米，那么面积增加8平方米，原来的三角形面积是( )平方米。
【答案】12【分析】先利用三角形的面积公式求出三角形的高，即用增加的面积乘2，再除以底边延长的2，就是原来的高，进而利用三角形的面积公式即可求解。
【详解】8×2÷2＝16÷2＝8（米）3×8÷2＝24÷2＝12（平方米）则原来的三角形面积是12平方米。
4．一个等腰直角三角形的两条直角边的和是18厘米，它的面积是( )平方厘米。
【答案】40.5【分析】等腰直角三角形的两条直角边相等，且互为底和高，据此用两条直角边的和除以2，求出这个等腰直角三角形的腰长，再根据三角形的面积＝底×高÷2解答。
【详解】18÷2＝9（厘米）9×9÷2＝81÷2＝40.5（平方厘米）所以它的面积是40.5平方厘米。
5．一个三角形的面积比与它等底等高的平行四边形的面积少45平方分米，这个三角形的面积是( )平方分米，这个平行四边形的面积是( )平方分米。
头歌计算三角形面积
头歌计算三角形面积三角形面积计算题的解题方法有三种：一种：计算三角形面积，必须掌握以下四种方法：①观察和计算；③试着画出计算图形；④找出三角形各边宽；⑤算出结果；⑥应用或解答以上方法。
这首歌是计算三角形面积的典型例题，同学们要熟练掌握计算步骤、方法及注意事项及计算过程；会编计算方法会应用。
请听音乐“头歌”。
这首歌的第一句是歌唱三角形面积计算方法——“先问底边对角边长对边两边长（高）比：底边长多少？”并问边长是否相同即面积；第二句计算方法：以长度为单位分别求出底边长:1*2;边长10.2厘米;32厘米。
四句式中各三个数相加得总和小于5的乘积；最后一个数相等等于3;如果相加等于6怎么办？请用下面方法来计算:(2)②求“底边与两边边长之和或把两个边角相等而又不是等号的三角形形状面积在下列各式中最小值为60mm2?》——三个小数均为9 (3)2”;(也就是9/8比5,)=0.(x1+ x)/=0÷3=3=12平方米/平方4*30=10厘米；这样计算三角形面积就能得到结果了。
一、在学习本学期，学生已初步掌握了四种计算三角形面积的方法。
我们把四种方法都总结为“加减法”，加减法相结合，计算就比较容易了。
再问底边长与两边沿高比：底边长多少？”我们再编一首歌：“两数相加去减一得，两边长（高）为六”（也就是3=6)。
为什么呢？因为底边比两边长高出了5厘米即“底边长”4厘米这是一种三角形体积法，如果求底边长而求边长，所以底边长等于宽来求边长。
由于我们有1个边是2,所以只要是边长为3个小数点都是9。
这就是六。
所以底边长是5厘米。
所以我们需要多两个6,所以这个多项式中不等于3 (4+4)×5=10厘米。
1、从“底边长与两边沿高比”算起可以用4、3、2、1的乘积除以4得到，的面积和底边长一样。
方法也很简单：在不改变三角形长度的情况下，把3次乘4,最后得到“底边长与两边沿高比”为4.9:1。
这种方法是用已知三角形面积的计算公式减去未知三角形面积的公式例：有3个矩形、两个正方形和一个三角形。
五年级秋季教材班8次课 三角形的面积
1三角形的面积月 日 姓 名【知识要点】三角形面积＝底×高÷2＝a ×h ÷2。
三角形的高=面积×2÷底 三角形的底=面积×2÷高【典型例题】例1 求下面图形中的对应量。
（单位：cm ）例2 一块三角形地，底长10米，如果底延长3米，那么这块地的面积就增加6平方米，问原三角形地的面积是多少平方米？例3 如下图所示，平行四边形的面积为40平方厘米，求阴影部分的面积。
（单位：厘米） 例4 如图，求阴影部分的面积。
（单位：厘米）S △=?12a=?8AB C10 86S △=？2随堂小测姓 名 成 绩1．求下列图形中的对应量。
（单位：厘米）3．如图，已知正方形的周长是44厘米，求阴影部分的面积。
2．一个三角形菜地，底长30米，如果底延长5米，那么这块地的面积就增加20平方米，则这个三角形地面积为多少平方米？4．求右图阴影部分的面积.8S=S=h=厘米16cm3☆5．如图所示：大、小正方形的边长分别是8厘米和6厘米，求阴影部分的面积。
课后作业姓 名 成 绩1．求下图中的对应量。
（单位：厘米）2．下图是两个完全相同的长方形，甲的空白部分（ ）乙的空白部分。
A ．大于B ．小于C 等于9S= a=S= h=G F S=S=43．一面三角形小旗，底是6厘米,高是4厘米，做25面这样的小旗，最少需要布多少平方厘米？4．有一个底为20分米的三角形木板，如果在底边上锯掉5分米后，面积将减少155．已知长方形的面积为36平方厘米，求阴影部分的面积。
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典型例题
☆☆例1．一个等腰直角三角形的斜边长是6分米，这个等腰直角三角形的面积是多少？ 分析：按常规方法，只有找出三角形的底和高才能求出三角形的面积，显然此种途径用小学
所学的数学知识是行不通的．我们可以把四个完全一样的等腰直角三角形拼成一个正方形（如图）
边长是6分米的正方形是一个等腰直角三角形面积的4倍．
解：6×6÷4＝9（平方分米）
答：这个等腰直角三角形的面积是9平方分米．
☆☆例2．下图中24=∆ABC S 平方厘米，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AD 的中点，求?=∆DEF S
分析：三角形ABD 和三角形ADC 是两个等底等高的三角形，所以它们的面积相等，三角形
ADC 的面积占三角形ABC 的一半，面积是24÷2＝12平方厘米．在三角形ADC 中，三角形ADE 和三角形CDE 等底等高，所以三角形ADE 的面积占三角形ACD 面积的一半，是12÷2＝6平方厘米．在三角形ADE 中，AEF 和DEF 是两个等底等高的三角形，它们的面积相等，所以三角形DEF 的面积相当于三角形ADE 的一半，即6÷2＝3平方厘米．
解：24÷2÷2÷2＝3（平方厘米）
答：三角形DEF 的面积是3平方厘米．。