平行线的性质与判定
初一平行线的判定及性质
平行线的判定及性质一、知识概述1、在“三线八角”中，同位角、内错角、同旁内角的识别角的名称位置特征图形结构特征同位角在截线同侧在被截线同一方形如字母“F”(或倒置)内错角在截线两侧(交错)夹在两条被截线之间形如字母“Z”(或反置)同旁内角在截线同侧夹在两条被截线之间形如字母“U”2、平行线的判定方法平行线的判定定理：定理1：同位角相等，两直线平行．定理2：内错角相等，两直线平行．定理3：同旁内角互补，两直线平行．另外：1、平行于同一直线的两条直线相互平行（平行线的传递性）2、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行（经常出现在图中有3条平行线的题目中）3、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等性质2：两直线平行，内错角相等性质3：两直线平行，同旁内角互补二、例题讲解例1、如图，直线AB、CD、EF相交，①指出∠3与其它角（带标号的），是什么关系的角；②图中共有多少对同位角、内错角和同旁内角.变式：如图，AB、CD被EF、EG所截，在∠1～∠6的6个角中，同位角、内错角、同旁内角的对数分别是（）A．8、12、8B．8、2、8 C．3、3、2D．12、12、8例2、已知平面内四条直线共有三个交点，则这四条直线中有几条平行？例3、如图，CD⊥AB，EF⊥AB，∠1=∠2，则∠AGD与∠ACB相等吗?请说明理由.解: ∠AGD= ∠ACB.理由如下：∵CD⊥AB，EF⊥AB(已知)，∴∠EFB=∠CDF=90°(垂直的意义)，∴CD//EF( )∴∠2=( ) ( )∵∠1= ∠2(已知).∴∠1= ∠BCD( )∴DG//BC( )∴∠AGD= ∠ACB( )例4、如图，已知∠B=110°∠BCG=110°∠BCD=150°∠D=100°，求证：DE∥AB 证明：∵∠B=∠BCG=110°（）∴AB∥FG（）∴∠BCF+ ∠B =180°（）即∠BCF= 180°—∠B = 180°—110°= 70°∵∠BCD=150°∴∠FCD= ∠BCD—∠BCF= 150°—70°= 80°又∵∠D=100°∴（∠＋∠）=100°＋80°=180°∴FG∥ED（）∴AB∥ED（）变式1：如图，已知∠1＋∠2=∠APC，试说明AB∥CD的理由．变式2：如下图，已知∠ABE +∠DEB = 180°，∠1 =∠2，求证：∠F =∠G．课外拓展：例1、如图，B 处在A 处的南偏西450方向，C 处在B 处的北偏东800方向.（1）求∠ABC.（2）要使CD ∥AB ，D 处应在C 处的什么方向？例2、在小学我们就知道“三角形三个内角的和等于1800”，现在你能用学过的知识说明理由吗？例3、如图(1)，线段AB//CD ，点P 是AB 、CD 间的－个点． (1)试判断∠A 、∠C 与∠APC 的数量关系；(2)如果点P 移动到线段AC 的左侧，那你发现的上述结论还成立吗?说明理由；(3)如果点P 移到两平行线的同侧，那么你发现的上述结论还成立吗?说明理由．12ACB FG E DAB 北 南DABC练习：1、如图1，已知直线a∥b,c∥d，∠1=115°，则∠2=_____，∠3=_____.2、如图2，∠1=82°，∠2=98°，∠3=80°,则∠4的度数为_____.3、如图3，已知AB∥CD，∠1=100°，∠2=120°，则∠α=_____.图1 图2 图34、如图，AB∥CD，AD∥BC，则图中与∠A相等的角有_____个.5、如图，标有角号的7个角中共有_____对内错角，_____对同位角，_____对同旁内角.6、下列结论中，正确的个数是多少个（）（1）在同一平面内不相交的两条线段必平行；（2）在同一平面内不相交的两条直线必平行；（3）在同一平面内不平行的两条线段必相交；（4）在同一平面内不平行的两条直线必相交．A．1 B．2 C．3 D．4 7、如图，下列能判定AB∥CD的条件有（）个．（1）∠B+∠BCD=180°；（2）∠1=∠2；（3）∠3=∠4；（4）∠B=∠5．A、1B、2C、3D、48、下列四个图中若∠1=∠2，能够判定AB∥CD的是（）A ．B ．C ．D ．9、如图15，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠EDC的度数.10、如图已知∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE=30°，∠E=10°．试证AB∥EF．。
平行线的判定及性质
授课主题平行线教学目的1.理解平行线的概念;掌握平行公理及其推论；2.掌握平行线的判定方法及性质;并能进行简单的推理3. 掌握命题的定义;知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成;对于给定的命题;能找出它的题设和结论；教学重点平行线的判定及性质教学内容知识梳理要点一、平行线1．定义：在同一平面内;不相交的两条直线叫做平行线;如果直线a与b平行;记作a∥b．要点诠释：1平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交;三者缺一不可；2有时说两条射线平行或线段平行;实际是指它们所在的直线平行;两条线段不相交并不意味着它们就平行．3在同一平面内;两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地;重合的直线视为一条直线;不属于上述任何一种位置关系．2．平行公理：经过直线外一点;有且只有一条直线与这条直线平行．3．推论：如果两条直线都与第三条直线平行;那么这两条直线也互相平行．要点诠释：1平行公理特别强调“经过直线外一点”;而非直线上的点;要区别于垂线的第一性质．2公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．3“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.要点二、直线平行的判定判定方法1：同位角相等;两直线平行.如上图;几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD同位角相等;两直线平行判定方法2：内错角相等;两直线平行.如上图;几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD内错角相等;两直线平行判定方法3：同旁内角互补;两直线平行.如上图;几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD同旁内角互补;两直线平行要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补;得出平行;即由数推形.要点三、平行线的性质性质1：两直线平行;同位角相等；性质2：两直线平行;内错角相等；性质3：两直线平行;同旁内角互补.要点诠释：1“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容;切不可忽视前提“两直线平行”．2从角的关系得到两直线平行;是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系;是平行线的性质．要点四、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线;并且夹在这两条平行线间的线段的长度;叫做这两条平行线的距离．要点诠释：1求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点;向另一条直线作垂线;垂线段的长度就是两条平行线的距离．2两条平行线的位置确定后;它们的距离就是个定值;不随垂线段的位置的改变而改变;即平行线间的距离处处相等．要点五、命题、定理、证明1.命题：判断一件事情的语句;叫做命题．要点诠释：1命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成;题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项.2命题的表达形式：“如果……;那么…….”;也可写成：“若……;则…….”3真命题与假命题：真命题：题设成立结论一定成立的命题;叫做真命题.假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题;叫做假命题.2.定理：定理是从真命题公理或其他已被证明的定理出发;经过推理证实得到的另一个真命题;定理也可以作为继续推理的依据.3.证明：在很多情况下;一个命题的正确性需要经过推理;才能作出判断;这个推理过程叫做证明.要点诠释：1证明中的每一步推理都要有根据;不能“想当然”;这些根据可以是已知条件;学过的定义、基本事实、定理等.2判断一个命题是正确的;必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题;只需列举一个反例即可．要点六、平移1. 定义：在平面内;将一个图形沿某个方向移动一定的距离;图形的这种移动叫做平移．要点诠释：1图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．2图形的平移不改变图形的形状与大小;只改变图形的位置.2. 性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离;平移不改变线段、角的大小;具体来说：1平移后;对应线段平行且相等；2平移后;对应角相等；3平移后;对应点所连线段平行且相等；4平移后;新图形与原图形是一对全等图形.典型例题类型一、平行线例1．下列说法正确的是A．不相交的两条线段是平行线.B．不相交的两条直线是平行线.C．不相交的两条射线是平行线.D．在同一平面内;不相交的两条直线叫做平行线.答案D例2．在同一平面内;下列说法：1过两点有且只有一条直线；2两条直线有且只有一个公共点；3过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；4过一点有且只有一条直线与已知直线平行..其中正确的个数为：A．1个B．2个C．3个D．4个答案B解析正确的是：13.变式1下列说法正确的个数是1直线a、b、c、d;如果a∥b、c∥b、c∥d;则a∥d.2两条直线被第三条直线所截;同旁内角的平分线互相垂直.3两条直线被第三条直线所截;同位角相等.4在同一平面内;如果两直线都垂直于同一条直线;那么这两直线平行．A．1个 B .2个C．3个D．4个答案B类型二、两直线平行的判定例3. 如图;给出下列四个条件：1AC＝BD； 2∠DAC＝∠BCA；3∠ABD＝∠CDB；4∠ADB＝∠CBD;其中能使AD∥BC的条件有.A．12 B．34 C．24 D．134答案C变式2一个学员在广场上驾驶汽车;两次拐弯后;行驶的方向与原来的方向相同;这两次拐弯的角度可能是A．第一次向左拐30°;第二次向右拐30°B．第一次向右拐50°;第二次向左拐130°C．第一次向右拐50°;第二次向右拐130°D．第一次向左拐50°;第二次向左拐130°例4.如图所示;已知∠B＝25°;∠BCD＝45°;∠CDE＝30°;∠E＝10°．试说明AB∥EF的理由．解法1：如图所示;在∠BCD的内部作∠BCM＝25°;在∠CDE的内部作∠EDN＝10°．∵∠B＝25°;∠E＝10°已知;∴∠B＝∠BCM;∠E＝∠EDN等量代换．∴AB∥CM;EF∥DN内错角相等;两直线平行．又∵∠BCD＝45°;∠CDE＝30°已知;∴∠DCM＝20°;∠CDN＝20°等式性质．∴∠DCM＝∠CDN等量代换．∴CM∥DN内错角相等;两直线平行．∵AB∥CM;EF∥DN已证;∴AB∥EF平行线的传递性．解法2：如图所示;分别向两方延长线段CD交EF于M点、交AB于N点．∵∠BCD＝45°;∴∠NCB＝135°．∵∠B＝25°;∴∠CNB＝180°-∠NCB-∠B＝20°三角形的内角和等于180°．又∵∠CDE＝30°;∴∠EDM＝150°．又∵∠E＝10°;∴∠EMD＝180°-∠EDM-∠E＝20°三角形的内角和等于180°．∴∠CNB＝∠EMD等量代换．所以AB∥EF内错角相等;两直线平行．变式3已知;如图;BE平分∠ABD;DE平分∠CDB;且∠1与∠2互余;试判断直线AB、CD的位置关系;请说明理由．解：AB∥CD;理由如下：∵BE平分∠ABD;DE平分∠CDB;∴∠ABD＝2∠1;∠CDB＝2∠2．又∵∠1+∠2＝90°;∴∠ABD+∠CDB＝180°．∴AB∥CD同旁内角互补;两直线平行．变式4已知;如图;AB⊥BD于B;CD⊥BD于D;∠1+∠2=180°;求证：CD//EF．答案证明：∵AB⊥BD于B;CD⊥BD于D;∴AB∥CD．又∵∠1+∠2=180°;∴AB∥EF．∴CD//EF．类型三、平行线的性质例5．如图所示;如果AB∥DF;DE∥BC;且∠1＝65°．那么你能说出∠2、∠3、∠4的度数吗为什么．解：∵DE∥BC;∴∠4＝∠1＝65°两直线平行;内错角相等．∠2+∠1＝180°两直线平行;同旁内角互补．∴ ∠2＝180°-∠1＝180°-65°＝115°．又∵ DF ∥AB 已知;∴ ∠3＝∠2两直线平行;同位角相等．∴ ∠3＝115°等量代换．变式5如图;已知1234//,//l l l l ;且∠1=48°;则∠2＝ ;∠3＝ ;∠4＝ .答案48°;132°;48°变式6如图所示;直线l 1∥l 2;点A 、B 在直线l 2上;点C 、D 在直线l 1上;若△ABC 的面积为S 1;△ABD 的面积为S 2;则A ．S 1＞S 2B ．S 1＝S 2C ．S 1＜S 2D ．不确定答案B类型四、命题例6．判断下列语句是不是命题;如果是命题;是正确的 还是错误的①画直线AB ；②两条直线相交;有几个交点；③若a ∥b;b ∥c;则a ∥c ；④直角都相等；⑤相等的角都是直角；⑥如果两个角不相等;那么这两个角不是对顶角．答案①②不是命题；③④⑤⑥是命题；③④⑥是正确的命题；⑤是错误的命题．变式8把下列命题改写成“如果……;那么……”的形式．1两直线平行;同位角相等；2对顶角相等；3同角的余角相等.答案解：1如果两直线平行;那么同位角相等.2如果两个角是对顶角;那么这两个角相等.3如果有两个角是同一个角的余角;那么它们相等.类型四、平移例7．湖南益阳如图所示;将△ABC 沿直线AB 向右平移后到达△BDE 的位置;若∠CAB ＝50°;∠ABC ＝100°;则∠CBE 的度数为________．答案30°变式9 上海静安区一模如图所示;三角形FDE 经过怎样的平移可以得到三角形ABCA ．沿EC 的方向移动DB 长B ．沿BD 的方向移动BD 长C ．沿EC 的方向移动CD 长D ．沿BD 的方向移动DC 长答案A类型五、平行的性质与判定综合应用例8、如图所示;AB∥EF;那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝A．180°B．270°C．360°D．540°答案C解析过点C作CD∥AB;∵CD∥AB;∴∠BAC+∠ACD=180°两直线平行;同旁内角互补又∵EF∥AB∴EF∥CD．∴∠DCE+∠CEF=180°两直线平行;同旁内角互补又∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE∴∠BAC+∠ACE+∠CEF＝∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°课后作业一、选择题1.下列说法中正确的有①一条直线的平行线只有一条．②过一点与已知直线平行的直线只有一条．③因为a∥b;c∥d;所以a∥d．④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．A．1个B．2个C．3个D．4个2．如果两个角的一边在同一直线上;另一边互相平行;则这两个角A．相等B．互补C．互余D．相等或互补3．如图;能够判定DE∥BC的条件是A．∠DCE+∠DEC＝180°B．∠EDC＝∠DCBC．∠BGF＝∠DCB D．CD⊥AB;GF⊥AB4．一辆汽车在广阔的草原上行驶;两次拐弯后;行驶的方向与原来的方向相同;那么这两次拐弯的角度可能是．A．第一次向右拐40°;第二次向右拐140°．B．第一次向右拐40°;第二次向左拐40°．C．第一次向左拐40°;第二次向右拐140°．D．第一次向右拐140°;第二次向左拐40°．5．如图所示;下列条件中;不能推出AB∥CE成立的条件是A．∠A＝∠ACE B．∠B＝∠ACE C．∠B＝∠ECD D．∠B+∠BCE＝180°6.绍兴学习了平行线后;小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法;她是通过折一张半透明的纸得到的如图;1—4:从图中可知;小敏画平行线的依据有①两直线平行;同位角相等．②两直线平行;内错角相等．③同位角相等;两直线平行．④内错角相等;两直线平行．A.①②B. ②③C. ③④D. ④①二、填空题7. 在同一平面内的三条直线;它们的交点个数可能是________．8．如图;DF平分∠CDE;∠CDF＝55°;∠C＝70°;则________∥________．9．规律探究：同一平面内有直线a1;a2;a3…;a100;若a1⊥a2;a2∥a3;a3⊥a4…;按此规律;a1和a100的位置是________．10．已知两个角的两边分别平行;其中一个角为40°;则另一个角的度数是11．直线l同侧有三点A、B、C;如果A、B两点确定的直线l'与B、C两点确定的直线l''都与l平行;则A、B、C三点;其依据是12.如图;AB⊥EF于点G;CD⊥EF于点H;GP平分∠EGB;HQ平分∠CHF;则图中互相平行的直线有．三、解答题13.如图;∠1＝60°;∠2＝60°;∠3＝100°;要使AB∥EF;∠4应为多少度说明理由．14．小敏有一块小画板如图所示;她想知道它的上下边缘是否平行;而小敏身边只有一个量角器;你能帮助她解决这一问题吗15．如图;把一张长芳形纸条ABCD沿AF折叠;已知∠ADB＝20°;那么∠BAF为多少度时;才能使AB′∥BD16．如图所示;由∠1＝∠2;BD平分∠ABC;可推出哪两条线段平行;写出推理过程;如果推出另两条线段平行;则应将以上两条件之一作如何改变答案与解析一、选择题1. 答案A解析只有④正确;其它均错．2. 答案D3. 答案B解析内错角相等;两直线平行．4. 答案B5. 答案B解析∠B和∠ACE不是两条直线被第三条直线所截所得到的角．6. 答案C解析解决本题关键是理解折叠的过程;图中的虚线与已知的直线垂直;过点P的折痕与虚线垂直．二、填空题7. 答案0或1或2或3个；8. 答案BC; DE；解析∠CFD＝180°－70°－55°＝55°;而∠FDE＝∠CDF＝55°;所以∠CFD＝∠FDE．9. 答案a1∥a100；解析为了方便;我们可以记为a1⊥a2∥a3⊥a4∥a5⊥a6∥a7⊥a8∥a9⊥a10…∥a97⊥a98∥a99⊥a100;因为a1⊥a2∥a3;所以a1⊥a3;而a3⊥a4;所以a1∥a4∥a5．同理得a5∥a8∥a9;a9∥a12∥a13;…;接着这样的规律可以得a1∥a97∥a100;所以a1∥a100．10.答案40°或140°11.答案共线;平行公理；解析此题考查是平行公理;它是论证推理的基础;应熟练应用．12.答案AB∥CD;GP∥HQ；解析理由：∵AB⊥EF;CD⊥EF．∴∠AGE＝∠CHG＝90°．∴AB∥CD．∵AB⊥EF．∴∠EGB＝∠2＝90°．∴GP平分∠EGB．∴∠1＝12EGB＝45°．∴∠PGH＝∠1+∠2＝135°．同理∠GHQ＝135°;∴∠PGH＝∠GHQ．∴GP∥HQ．三、解答题13. 解析解：∠4＝100°．理由如下：∵∠1＝60°;∠2＝60°;∴∠1＝∠2;∴AB∥CD又∵∠3＝∠4＝100°;∴CD∥EF;∴AB∥EF．14．解析解：如图所示;用量角器在两个边缘之间画一条线段MN;用量角器测得∠1＝50°;∠2＝50°;因为∠1＝∠2;所以由内错角相等;两直线平行;可知画板的上下边缘是平行的．15. 解析解：要使AB′∥BD;只要∠B′AD＝∠ADB＝20°;∠B′AB＝∠BAD+∠B′AD＝90°+20°＝110°．∴∠BAF＝12∠B′AB＝12×110°＝55°．16．解析解：可推出AD∥BC．∵BD平分∠ABC已知．∴∠1＝∠DBC角平分线定义．又∵∠1＝∠2已知;∴∠2＝∠DBC等量代换．∴AD∥BC内错角相等;两直线平行．。
平行线与相交线的性质与判定
平行线与相交线的性质与判定平行线和相交线是几何学中常见的两种线的情况。
它们各自具有一些独特的性质和判定方法。
本文将就平行线和相交线的性质以及判定方法进行详细探讨。
一、平行线的性质与判定平行线是指在同一个平面上，永远不相交的两条直线。
平行线具有以下重要性质和判定方法：1. 性质一：平行线的夹角相等。
如果两条平行线被一条第三线所切，那么在切割线两侧形成的对应角、内错角和同旁内角都是相等的。
2. 性质二：平行线的对应线段成比例。
如果一条平行线上有两个点，与另一条平行线上的两个点相连接，那么这四个点所确定的线段之间的比例是相等的。
3. 性质三：平行线与平行线之间的关系。
如果一条直线与两条平行线相交，那么它将与两条平行线所切割出来的其他直线成对应角，这些对应角都是相等的。
4. 判定方法一：两条直线的斜率相等。
如果两条直线的斜率相等，那么这两条直线是平行线。
5. 判定方法二：一组平行线的倾斜角度相同。
如果两条直线的倾斜角度相同，那么这两条直线是平行线。
二、相交线的性质与判定相交线是指在同一个平面上交于一点的两条直线。
相交线具有以下重要性质和判定方法：1. 性质一：相交线形成的对应角相等。
如果两条相交线被一条第三线所切，那么在切割线两侧形成的对应角、内错角和同旁内角都是相等的。
2. 性质二：相交线的对应线段成比例。
如果一条相交线上有两个点，与另一条相交线上的两个点相连接，那么这四个点所确定的线段之间的比例是相等的。
3. 性质三：相交线与相交线之间的关系。
如果一条直线与两条相交线相交，那么它将与这两条相交线所切割出来的其他直线成对应角，这些对应角都是相等的。
4. 判定方法一：两条直线的角度和为180度。
如果两条直线的角度和为180度，那么这两条直线是相交线。
5. 判定方法二：一组相交线的交点坐标相同。
如果两条直线的交点坐标相同，那么这两条直线是相交线。
三、平行线与相交线的应用举例平行线和相交线的性质与判定方法在实际应用中具有广泛的应用。
平行线的性质与判定
A
G
D
例题赏析 例2、如图，已知AB∥CD, ∠BAE=45°， ∠D=∠C,你能求出∠D 、∠C 、 ∠B的度数吗？
E
解： ∵AB∥CD (已知）
A
B
∴∠BAE=∠D
(两直线平行
同位角相等）
同旁内角互补） D
C
∴∠B+ ∠C =180°(两直线平行 ∵∠BAE=45°（已知） ∴ ∠D = 45° ∵ ∠D=∠C （等量代换） （已知）
一、平行线的判定方法：
•同位角相等，两直线平行； •内错角相等，两直线平行； •同旁内角互补，两直线平行； 平行于同一条直线的两条直线平 行 同一平面内，垂直于同一条直线 的两条直线互相平行。
4 3 8 5 7 6 2
1
a
b
二、平行线的性质：
两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补。
证明：∵ ∠1=∠ACB（已知）
B 3
A 1 E
2
F平行） ∴ ∠2 =∠DCF（两直线平行，内错角相等）
又∵ ∠2=∠3（已知）
∴ ∠3 =∠DCF（等量代换） ∴ CD∥FH（同位角相等，两直线平行）
6.如图已知AD∥BC,且DC⊥AD于D.
(1)DC与BC有怎样的位置关系？说说你的理由。 (2)你能说明∠1+∠2=180°吗？ A 1 解：（1）∵ DC⊥AD于D(已知)
E
F B ∴ AB∥DC (同位角相等，两直线平行)
C
达标检测
1、如图，能判定DE∥BC的条件是（ D） A、∠C=∠DAB B、∠C=∠FAE
C、∠C+∠FAD=180° D、∠C=∠EAC
D
平行线的性质
平行线的性质平行线是几何学中重要的概念之一，它们有着独特的性质和特点。
本文将介绍平行线的性质，包括定义、判定方法以及与其他几何对象的关系。
一、定义及判定方法平行线是指在同一平面上永不相交的直线。
根据平行线的定义可以得出以下性质：1. 平行线具有相同的斜率：如果两条直线的斜率相等，那么这两条直线是平行线。
反之，如果两条直线平行，那么它们的斜率一定相等。
2. 平行线具有相同的夹角：如果两条直线分别与一条横穿它们的直线相交，且交角相等，那么这两条直线是平行线。
反之，如果两条直线平行，那么它们与同一条横穿它们的直线的交角一定相等。
3. 平行线具有相同的倾斜角：倾斜角指直线与水平线之间的夹角。
如果两条直线的倾斜角相等，那么这两条直线是平行线。
反之，如果两条直线平行，它们与水平线的倾斜角一定相等。
二、平行线与其他几何对象的关系1. 平行线与角的关系：当一条直线与两条平行线相交时，所对应的内角或外角具有特定的关系。
如果同时给定两条直线为平行线，以及一条与它们相交的第三条直线，那么我们可以根据角的性质计算出交角的大小。
2. 平行线与三角形的关系：如果一条直线与一个三角形的两条边分别平行，那么这条直线将会将这两条边分成对应的等分线段，从而形成一组相似三角形。
3. 平行线与平行四边形的关系：平行四边形是指具有两对平行边的四边形。
在平行四边形中，对角线相交于一点，并且相交点将对角线等分。
同时，两对相对边及相对角也具有相等关系。
三、应用举例平行线的性质在实际应用中有着广泛的应用。
以下是一些例子：1. 建筑工程：在建造房屋或桥梁等结构时，工程师需要利用平行线的性质来确保构件的平行度和垂直度。
2. 地理测量：地理测量中使用的经纬线是地球表面上的平行线，它们能够提供位置和方向信息。
3. 电路布局：在电路设计中，平行线的性质被应用于布线和电路板设计，以确保信号传输的稳定性和减少电磁干扰。
4. 图形学：在计算机图形学中，平行线的性质被用于3D渲染和投影算法，以模拟真实世界中的透视效果。
平行线的判定及性质
授课主题平行线教学目的1。
理解平行线的概念,掌握平行公理及其推论;2．掌握平行线的判定方法及性质,并能进行简单的推理3．掌握命题的定义,知道一个命题是由“题设＂和“结论”两部分组成，对于给定的命题,能找出它的题设和结论;教学重点平行线的判定及性质教学内容【知识梳理】要点一、平行线１．定义：在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,如果直线ａ与b平行,记作a∥b．要点诠释:（１）平行线的定义有三个特征:一是在同一个平面内;二是两条直线;三是不相交,三者缺一不可;(2)有时说两条射线平行或线段平行,实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行.(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种.特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系.２．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．3.推论:如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．要点诠释：（1)平行公理特别强调“经过直线外一点"，而非直线上的点,要区别于垂线的第一性质．(2）公理中“有”说明存在;“只有”说明唯一.(3)“平行公理的推论"也叫平行线的传递性.要点二、直线平行的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行。
如上图,几何语言：∵∠3=∠2∴ＡＢ∥CD(同位角相等,两直线平行）判定方法２:内错角相等,两直线平行。
如上图，几何语言:∵∠１＝∠2∴AＢ∥ＣＤ(内错角相等,两直线平行）判定方法3:同旁内角互补,两直线平行．如上图,几何语言:∵∠4＋∠2=１80°∴ＡB∥ＣD(同旁内角互补,两直线平行）要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补,得出平行,即由数推形。
要点三、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等;性质2:两直线平行,内错角相等;性质3:两直线平行，同旁内角互补。
要点诠释:(1)“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补"都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行".(２)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定;从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．要点四、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线,并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．要点诠释：（１)求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点,向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离.（2) 两条平行线的位置确定后,它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．要点五、命题、定理、证明1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．要点诠释：（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成,题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
平行线的性质及判定
平行线的性质及判定定 义示例剖析平行线的概念：在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线．用“∥”表示．∥a b ，∥AB CD 等．平行线的性质：两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补．若∥a b ，则12∠=∠； 若∥a b ，则23∠=∠；若∥a b ，则34180∠+∠=︒．平行线的判定：同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行；若12∠=∠，则∥a b ；ba 4321ba 4321知识互联网思路导航题型一：平行线的定义、性质及判定同旁内角互补，两直线平行． 若23∠=∠，则∥a b ；若34180∠+∠=︒，则∥a b ．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．简单说成：过一点有且只有一条直线与已知直线平行．过直线a 外一点A 做∥b a ，∥c a ，则b 与c 重合．平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．简单说成：平行于同一条直线的两条直线平行．若∥，∥b a c a ，则∥b c ．【例1】 ⑴ 两条直线被第三条直线所截，则（ ）A ．同位角相等B ．内错角相等C ．同旁内角互补D ．以上都不对⑵ 1∠和2∠是同旁内角，若145∠=︒，则2∠的度数是（ ） A ．45︒ B ．135︒ C ．45︒或135︒ D. 不能确定⑶ 如图，下面推理中，正确的是（ ）A ．∵180A D ∠+∠=°，∴AD BC ∥B ．∵180CD ∠+∠=°，∴AB CD ∥ C ．∵180A D ∠+∠=°，∴AB CD ∥ D ．∵180A C ∠+∠=°，∴AB CD ∥⑷ 如图，直线a ∥b ，若∠1＝50°，则∠2＝（ ）A ．50°B ．40°C ．150°D ．130°⑸ 如图，直线AB CD ∥，EF CD ⊥，F 为垂足，如果20GEF ∠=°，则1∠的度数是（ ）A ．20°B ．60°C ．70°D ．30°⑹ 如图，直线a b ∥，点B 在直线b 上，且AB BC ⊥，155∠=°，则2∠的度数为______(c )b aAc b a典题精练DCBAba 21DGF1E CB A⑺ 如图，1∠和2∠互补，那么图中平行的直线有（ ）A ．a b ∥B ．c d ∥C ．d e ∥D ．c e ∥⑻ 将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：①12∠=∠；②34∠=∠；③2490∠+∠=°；④45180∠+∠=°，其中正确的个数（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 ⑼ 如图，直线12l l ∥，AB CD ⊥，134∠=°，那么2∠的度数是 ．⑽ 将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果164∠=°，那么2∠等于 ．【铺垫】多选题：下列说法错误的有（ ）A ：不相交的两条直线是平行线．B ：两条直线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．C ：三条直线a 、b 、c ．若a b ∥，b c ∥，则a c ∥；同理，若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥．D ：已知α∠的两边与β∠的两边平行，若48α∠=°，则48β∠=°．E ：若AB CD ∥，CD EF ∥，则AB EF ∥．理由是等量代换． F ：有公共端点且没有公共边的两个角是对顶角．21ba CBA1234521l 2l 1DCB A2121edc baG ：同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行．【例2】 ⑴ 如图，∥AB CD ,B D ∠=∠,请说明12∠=∠，请你完成下列填空，把解答过程补充完整．解：∵，∴（ ）． ∵， ∴ （等量代换）． ∴ （同旁内角互补，两直线平行）． ∴（ ）．⑵ 填空，完成下列说理过程.如图，DP 平分ADC ∠交AB 于点P ，90DPC ∠=︒，如果∠1＋∠3＝90°，那么∠2和∠4相等吗？说明理由.解：∵DP 平分ADC ∠， ∴∠3＝∠ （ ） ∵APB ∠= °，且90DPC ∠=︒，∴∠1＋∠2＝90°. 又∵∠1＋∠3＝90°，∴∠2＝∠3. （ ）∴∠2＝∠4.⑶ 如图,已知DE AC ∥，DF AB ∥，求A B C ∠+∠+∠度数．解：∵DE AC ∥（ ），∴C ∠= （ ）， 3∠= （ ） 又∵DF AB ∥（ ） ∴B ∠= （ ） A ∠= （ ） ∴3A ∠=∠（ ）∴123A B C BDC ∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠= （ ）【例3】 ⑶ 如图，已知直线AB CD ∥， 115C ∠=°，25A ∠=°，则E ∠的度数为 度．⑵ 如图，不添加辅助线，请写出一个能判定EB AC ∥的 条件： . AB CD ∥180BAD D ∠+∠=°B D ∠=∠BAD ∠+180=°12∠=∠4321FEDCBA21D C BA AE图3EDC B AF PD C B A4321321 ABCDEG H M F⑶ 如图，点E 在AC 的延长线上，给出下列条件：① 12∠=∠；② 34∠=∠；③ A DCE ∠=∠； ④ D DCE ∠=∠；⑤ 180A ABD ∠+∠=°； ⑥ 180A ACD ∠+∠=°；⑦ AB CD =. 能说明AC BD ∥的条件有 .⑶ 如图，直线EF 分别与直线AB 、CD 相交于点G 、H ，已知1260∠=∠=°，GM 平分HGB ∠交直线CD 于点M ． 则3∠=（ ）A ．60°B ．65°C ．70°D ．130°【例4】 ⑴ 已知：如图1，CD 平分ACB ∠，DE BC ∥，80AED ∠=°，求EDC ∠． ⑵ 已知：如图2，1C ∠=∠，2∠和D ∠互余，BE FD ⊥于G ．求证：AB CD ∥．图1 图2【备选1】⑴如图1，一个宽度相等的纸条折叠一下，如果1100∠=︒，则2∠的度数是 .⑵如图2，把一张四边形纸片ABCD 沿BD 对折，使C 点落在E 处，BE 与AD 相交于点O ，若AB CD ∥，AD BC ∥，15DBC ∠=︒，则BOD ∠= .⑶如图3，直线1l 、2l 分别和3l 、4l 相交，若1∠与3∠互余，2∠与3∠的余角互补，4110∠=︒， 那么3∠= .图1图2图3⑷如右图，已知AB CD ∥，AD BC ∥，60B ∠=︒，50EDA ∠=︒， 则CDO ∠= .EDCBA21G F EDCB A21B CDEOA 4321l 3l 4l 1l 24321EDCB AAED【备选2】已知，如图，DE BC ⊥于E ，FG BC ⊥于G ，12∠=∠．求证：EH AC ∥.【备选3】如图，已知AB 、CD 分别垂直EF 于B 、D ，且60FCD ∠=︒，130∠=︒，求证：BM AF ∥.【备选4】如图，已知12180∠+∠=，3B ∠=∠，试判断AED ∠与ACB ∠的大小关系，并对结论进行证明．【例5】 如图，已知：AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于点M 、N ，MG 、NH 分别平分AME ∠、CNE ∠. 求证：MG ∥NH ． 从本题我能得到的结论是：【选讲】下列条件中，位置关系互相垂直的是（ ）①对顶角的角平分线；②邻补角的平分线；③平行线的同位角的平分线；④平行线的内错角的平分线；⑤平行线的同旁内角的平分线. A ．①② B ．③④ C ．①⑤ D ．②⑤1A MFE DCB思路导航题型二：基本模型中平行线的证明N MHG F E D C BA 图3G HF 21E B DAC123ABD E F模 型示例剖析若∥a b ，则12∠=∠若∥∥a b c ，则1213180，∠=∠∠+∠=︒若∥a b ，则123∠=∠+∠若∥a b ，则123360∠+∠+∠=︒【例6】 已知：如图∥AB CD ,点E 为其内部任意一点，求证：BED B D ∠=∠+∠．【例7】 如图，已知AB DE ∥，80ABC ∠=︒，140CDE ∠=︒，求BCD ∠的度数．ab21a bc321ba 321ab321典题精练FEDCBAA BCDEEDCBA321 Bb C DM ca【拓展】如图所示，已知直线a b ∥，直线c 和直线a 、b 交于C 、D 两点，在C 、D 之间有一点M ，如果点M 在C 、D 之间运动，问1∠、2∠、3∠之间有怎样的关系？ 这种关系是否发生变化？试着证明你的结论.【例8】 如图，已知3180DCB ∠+∠=，12∠=∠，:4:5CME GEM ∠∠=，求CME ∠的度数．训练1. 已知ABC ∠的两边AB ，BC 分别与DEF ∠的两边DE ，EF 平行，问ABC ∠与DEF ∠有何关系？证明你的结论．从这道题目中，你能得到怎样的结论？训练2. 如图，∥AB CD ,150∠=︒,2110∠=︒,则3∠= ．训练3. 已知：如图，AB 、CD 被EF 所截，EG 平分BEF ∠，FG平分EFD ∠，且1290∠+∠=︒． 证明：AB CD ∥． 思维拓展训练（选讲）A B D C1 2 3NMF 21E B A C 训练4. 已知：如图，AD BC ⊥于点D ，EG BC ⊥于点G ，1E ∠=∠．证明：AD 平分BAC ∠．题型一 平行线的定义、性质及判定 巩固练习【练习1】 已知如图，1C ∠=∠，2B ∠=∠，MN 与EF 平行吗？为什么？【练习2】 ⑴ 如图1，AB CD ∥，AD AC ⊥，32ADC ∠=°，则CAB ∠的度数是 ．⑵ 如图2，直线l 与直线a ，b 相交．若a b ∥，170∠=°，则2∠的度数是 ． ⑶ 如图3，直线m n ∥，155∠=°，245∠=°，则3∠的度数为（ ） A ．80° B ．90° C ．100° D ．110°【练习3】 ⑶ 已知：如图1，110D ∠=°，70EFD ∠=°，12∠=∠，求证：3B ∠=∠．证明：∵110D ∠=°，70EFD ∠=°（已知）∴180D EFD ∠+∠=° ∴AD ∥ （ ） 又∵12∠=∠（已知）∴ ∥ （ ）∴ ∥ （ ） ∴3B ∠=∠（ ） 复习巩固图2 图221ba l 图3nm 321图1DC B A图1321F E DCB A 1GED CBA⑵ 如图2，EF AD ∥，12∠=∠，70BAC ∠=°．将求AGD ∠的过程填写完整． 解：∵EF AD ∥，∴2∠= （ ） 又∵12∠=∠ ∴13∠=∠（ ）∴AB ∥ （ ）∴BAC ∠+ 180=°（ ） 又∵70BAC ∠=° ∴AGD ∠= ．【练习4】 如图，已知DA AB ⊥，DE 平分ADC ∠，CE 平分BCD ∠，1290∠+∠=°，求证：BC AB ⊥．题型二 基本模型中平行线的证明 巩固练习【练习5】 已知：如图，点E 为其内部任意一点，BED B D ∠=∠+∠. 求证：∥AB CD .ED CBA图2132G A E B D FCFABCD E。
平行线的性质与判定
平行线的性质与判定【知识点梳理】平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作a∥b。
平行线的性质：平行线之间的距离处处相等.两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴相交；⑵平行。
因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）注意：判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，则两直线平行；③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）平行线的画法：平行线的画法是几何画图的基本技能之一，在以后的学习中，会经常遇到画平行线的问题．方法为：一“落”（三角板的一边落在已知直线上），二“靠”（用直尺紧靠三角板的另一边），三“移”（沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点），四“画”（沿三角板过已知点的边画直线）．☆平行公理――平行线的存在性与惟一性经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行☆平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行☆平行线的判定两直线平行的判定方法方法一两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简称：同位角相等，两直线平行方法二两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行简称：内错角相等，两直线平行方法三两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行简称：同旁内角互补，两直线平行方法四垂直于同一条直线的两条直线互相平行方法五（平行线公理推论）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行方法六（平行线定义）在同一平面内，不相交的两条直线平行☆平行线的性质：性质一：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等简称：两条直线平行，同位角相等性质二：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等简称：两条直线平行，内错角相等性质三：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补简称：两条直线平行，同旁内角互补☆两条平行线间的距离：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度叫做这两条平行线的距离。
平行线及其性质和判定
平行线及其性质和判定核心纲要1．平行线（1）定义：在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,直线a与直线b互相平行，记作a∥b．（2）平行公理:经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．注：点必须在直线外，而不是在直线上．(3)平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．即“平行于同一条直线的两条直线平行"．2．两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种:(1）相交；（2）平行．注：判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，两直线平行;3．两直线平行的判定方法(1）平行线的定义．（2）平行公理的推论．(3)同位角相等，两直线平行．（4）内错角相等，两直线平行．（5)同旁内角互补，两直线平行．4．平行线的性质(1)两直线平行,同位角相等．（2)两直线平行，内错角相等．（3)两直线平行，同旁内角互补．本节重点讲解：一个定义（平行线），一个位置，五个判定，三个性质．基础演练1．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是( )A．平行或相交B．垂直或相交C．垂直或平行D．平行、垂直或相交2．下列说法正确的是( )A．经过一点有一条直线与已知直线平行B．经过一点有无数条直线与已知直线平行C．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行D．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．3．如图所示,下列推理中错误的是（ )A．∵∠A＋∠ADC=180°，∴AB∥CD B．∵∠DCE=∠ABC，∴AB∥CDC．∵∠3=∠4,∴AD∥BC D．∵∠1=∠2,∴AD∥BC4．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后,仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度可能是（）A．第一次右拐50°，第二次左拐130°B．第一次左拐50°，第二次右拐50°C．第一次左拐50°，第二次左拐130°D．第一次右拐50°,第二次右拐50°5．（1)如图1所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D’,C’的位置．若∠EFB=65°，则∠AED’等于__________．(2)如图2所示，AD∥EF,EF∥BC，且EG∥AC．那么图中与∠1相等的角（不包括∠1）的个数是__________．(3）如图3所示,AB∥CD，直线AB，CD与直线l相交于点E，F，EG平分∠AEF,FH平分∠EFD，则GE与FH的位置关系为__________．图1 图2 图36．解答题．(1)填写推理理由如图所示,D、F、E分别是BC、AC、AB上的点,DF∥AB，DE∥AC,试说明：∠EDF=∠A．解：∵DF∥AB( ）∴∠A＋__________=180°( ）∵DE∥AC(已知)∴∠AFD＋__________=180°（）∴∠EDF=∠A（ )(2)推理填空，如图所示,EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°．将求∠AGD的度数过程填写完整：解：∵EF∥AD（）∴∠2=__________（）又∵∠1=∠2( ）∴∠1=∠3( )∴AB∥__________( )∴∠BAC＋__________=180°( ）又∵∠BAC=70°（ )∴∠AGD=__________7．已知：如图所示，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G,∠E＝∠3．求证:AD平分∠BAC．能力提升8．若α和β是同位角，且a=30°，则β的度数是( )A．30°B．150°C．30°或150°D．不能确定9．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,且其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是( )A．30°和150°B．42°和138°C．都等于10°D．42°和138°或都等于10°10．学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示．从图中可知,小敏画平行线的依据可能有（ )①两直线平行,同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行;④内错角相等,两直线平行．A．①②B．②③C．③④D．①④11．如图所示，点E在CA延长线上，DE、AB交于点F，且∠BDE=∠AEF，∠B=∠C，∠EFA比∠FDC的余角小10°，P为线段DC上一动点,Q为PC上一点,且满足∠FQP=∠QFP，FM为∠EFP的平分线．则下列结论：①AB∥CD,②FQ平分∠AFP，③∠B＋∠E=140°，④∠QEM的角度为定值．其中正确的结论有（ )个数A．1 B．2 C．3 D．412．如图所示,AB∥EF，EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B＋∠BED＋∠D=192°，∠B－∠D=24°,则∠GEF=__________．13．在同一平面内有2002条直线a1，a2，…,a2002，如果a1⊥a2，a2∥a3,a3⊥a4，a4∥a5，…，那么a1与a2002的位置关系是__________．14．如图所示,AB∥CD,∠1=∠2,∠3=∠4，试说明：AD∥BE．15．已知，如图所示，∠ABC=∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1=∠3．求证：AB∥DC．16．如图所示，已知∠DBF=∠CAF，CE⊥FE．垂足为E,∠BDA＋∠ECA=180°,求证：DA⊥EF17．已知,如图所示，∠1＋∠2=180°,∠1＋∠EFD=180°,∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的关系,并证明你的结论．18．已知,如图所示，AC∥DE,DC∥EF，CD平分∠BCA．求证：EF平分∠BED．19．阅读材料：材料1:如图(a）所示，科学实验证明：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和反射出的光线与平面镜所夹的角相等．即∠1=∠2．材料2：如图(b）,已知△ABC，过点A作AD∥BC则∠DAC=∠C．又∵AD∥BC，∴∠DAC＋∠BAC＋∠B=180°，∴∠BAC＋∠B＋∠C=180°．即三角形内角和为180°．根据上述结论，解决下列问题：（1)如图(c）所示，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b 反射出的光线n平行于m，且∠1=50°，则∠2=_________,∠3=__________;(2)在（1)中,若∠1=40°，则∠3=__________，若∠1=55°，则∠3=__________；(3)由（1)(2)请你猜想：当∠3=__________时，任何射到平面镜a上的光线m经过平面镜a和b 的两次反射后，入射光线m与反射光线n总是平行，请说明理由．20．已知直线MN∥BC,点A在直线MN上，点D在线段BC上，AB平分∠MAD，AC平分∠NAD（1)如图(a）所示，若DE⊥AC于E，求证：∠1=∠2．（2)若点F为线段AB上不与点A、B重合的一动点，点H在线段AC上,FQ平分∠AFD交AC于点Q，设∠HFQ=x,∠MAB=α,∠BDF=β，∠AFD=∠FBD＋∠FDB，点D在线段BC上（不与B、C两点重合)，问当α、β、x之间满足怎样的等量关系时，FH∥MN（如图(b)所示）?试写出α、β、x 之间满足的某种等量关系，并以此为条件证明FH∥MN．21．如图所示，已知射线CB∥OA，AB∥OC，∠C=∠OAB=100°，点E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF．(1）求∠EOB的度数．(2)若平行移动AB,那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变,求出这个比值．（3)在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA?若存在，求出其度数;若不存在,说明理由．中考连接22．如图所示，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=34°,则∠BED的度数是( ) A．17°B．34°C．56°D．68°23．如图所示，有一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°,那么∠2的度数是（ )A．30°B．25°C．20°D．15°巅峰突破24．如图所示，直线a，b被直线c所截，现给出下列四个条件:①∠1=∠5；②∠1=∠7;③∠2＋∠3=180°;④∠4=∠7．其中能说明a∥b的条件序号为( )A．①②B．①③C．③④D．①②④25．如图所示，在△ABC中,CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，AC∥ED，CE是△ACB的角平分线．求证:∠EDF=∠BDF．平行线及其性质和判定26．平面上有5条直线,其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36°，请说明理由．11 / 11。
平行线的判定与性质
平行线的判定与性质一、平行线的判定与性质的关系平行线的识别与性质，有不少同学由于刚刚接触，往往对其识别与性质容易混淆。
下面，咱们就从它们的意义和作用上进行辨析。
1、从意义上看平行线的识别就是要“判定”两条直线平行或不平行，也就是说从已知角相等（或角互补）的关系出发，推出两直线平行这一结论；而平行线的性质是在两直线平行的已知条件下得出角相等或互补的结论。
2、从作用上看平行线的识别是判断两条直线平行的依据，而平行线的性质是作为判断“两个同位角相等、内错角相等、同旁内角互补”等的依据。
二者所用文字完全相同，差别就是在于前后两句话的顺序的颠倒，而这个颠倒正是它们之间的本质区别。
所以，我们在学习中要注意两者的因果关系。
二、解决平行线问题的方法在解决有关平行线的问题中，我们可从下面几个方面入手.1．寻找基本图形在一个图形中有两组以上的平行线,先根据每一组平行线探索其中的结论，然后再找出所得结论之间存在的关系.2.构造基本图形当已知的图形中没有同位角、内错角或同旁内角时，可以通过适当的辅助线构造基本图形，利用平行线的特征解题.3. 综合运用平行线的特征与平行的条件图3平行线的特征与平行的条件的综合运用,是解决与平行线有关的问题的常用方法.先由“形”得到“数”，即应用特征得到角相等（或互补），再利用角之间的关系进行计算，得到新的关系.然后再由“数”到“形”得到一组新的平行.三、借助辅助线解决问题1．在解题过程中，有些题目由已知条件不能直接推出结论，需要添加适当的线，帮助解决问题，像这样的线叫辅助线。
添加的辅助线一般都用虚线表示，并且要说明作法。
添加辅助线是解题的一种手段，一般只有当题目中因已知不易或不能直接推出结论时，才要添加辅助线. 本章的辅助线通常是作平行线，目的是构造两条直线被第三条直线所截的基本图形，以便利用平行线的判定和性质.2．学习了平行线的特征，我们可以根据特征来解决一些与角度的计算以及探索角度关系的问题，但有一类问题不能根据已知条件直接求出角的度数或找到角的关系．需要先适当地引平行线，然后综合借助平行线的特征求解。
平行线的判定及性质
授课主题平行线教学目的1.理解平行线的概念,掌握平行公理及其推论；2.掌握平行线的判定方法及性质,并能进行简单的推理3.掌握命题的定义,知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成,对于给定的命题,能找出它的题设和结论；教学重点平行线的判定及性质教学内容知识梳理要点一、平行线1．定义：在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,如果直线a与b平行,记作a∥b．要点诠释：1平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交,三者缺一不可；2有时说两条射线平行或线段平行,实际是指它们所在的直线平行,两条线段不相交并不意味着它们就平行．3在同一平面内,两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地,重合的直线视为一条直线,不属于上述任何一种位置关系．2．平行公理：经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行．3．推论：如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行．要点诠释：1平行公理特别强调“经过直线外一点”,而非直线上的点,要区别于垂线的第一性质．2公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．3“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.要点二、直线平行的判定判定方法1：同位角相等,两直线平行.如上图,几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD同位角相等,两直线平行判定方法2：内错角相等,两直线平行.如上图,几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD内错角相等,两直线平行判定方法3：同旁内角互补,两直线平行.如上图,几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD同旁内角互补,两直线平行要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补,得出平行,即由数推形.要点三、平行线的性质性质1：两直线平行,同位角相等；性质2：两直线平行,内错角相等；性质3：两直线平行,同旁内角互补.要点诠释：1“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容,切不可忽视前提“两直线平行”．2从角的关系得到两直线平行,是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系,是平行线的性质．要点四、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线,并且夹在这两条平行线间的线段的长度,叫做这两条平行线的距离．要点诠释：1求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点,向另一条直线作垂线,垂线段的长度就是两条平行线的距离．2两条平行线的位置确定后,它们的距离就是个定值,不随垂线段的位置的改变而改变,即平行线间的距离处处相等．要点五、命题、定理、证明1.命题：判断一件事情的语句,叫做命题．要点诠释：1命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.2命题的表达形式：“如果……,那么…….”,也可写成：“若……,则…….”3真命题与假命题：真命题：题设成立结论一定成立的命题,叫做真命题.假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题,叫做假命题.2.定理：定理是从真命题公理或其他已被证明的定理出发,经过推理证实得到的另一个真命题,定理也可以作为继续推理的依据.3.证明：在很多情况下,一个命题的正确性需要经过推理,才能作出判断,这个推理过程叫做证明.要点诠释：1证明中的每一步推理都要有根据,不能“想当然”,这些根据可以是已知条件,学过的定义、基本事实、定理等.2判断一个命题是正确的,必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题,只需列举一个反例即可．要点六、平移1.定义：在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,图形的这种移动叫做平移．要点诠释：1图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．2图形的平移不改变图形的形状与大小,只改变图形的位置.2.性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离,平移不改变线段、角的大小,具体来说：1平移后,对应线段平行且相等；2平移后,对应角相等；3平移后,对应点所连线段平行且相等；4平移后,新图形与原图形是一对全等图形.典型例题类型一、平行线例1．下列说法正确的是A．不相交的两条线段是平行线.B．不相交的两条直线是平行线.C．不相交的两条射线是平行线.D．在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.答案D例2．在同一平面内,下列说法：1过两点有且只有一条直线；2两条直线有且只有一个公共点；3过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；4过一点有且只有一条直线与已知直线平行;其中正确的个数为：A．1个B．2个C．3个D．4个答案B解析正确的是：13.变式1下列说法正确的个数是1直线a、b、c、d,如果a∥b、c∥b、c∥d,则a∥d.2两条直线被第三条直线所截,同旁内角的平分线互相垂直.3两条直线被第三条直线所截,同位角相等.4在同一平面内,如果两直线都垂直于同一条直线,那么这两直线平行．A．1个个C．3个D．4个答案B类型二、两直线平行的判定例3.如图,给出下列四个条件：1AC＝BD；2∠DAC＝∠BCA；3∠ABD＝∠CDB；4∠ADB＝∠CBD,其中能使AD∥BC的条件有.A．12B．34C．24D．134答案C变式2一个学员在广场上驾驶汽车,两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向相同,这两次拐弯的角度可能是A．第一次向左拐30°,第二次向右拐30°B．第一次向右拐50°,第二次向左拐130°C．第一次向右拐50°,第二次向右拐130°D．第一次向左拐50°,第二次向左拐130°例4.如图所示,已知∠B＝25°,∠BCD＝45°,∠CDE＝30°,∠E＝10°．试说明AB∥EF的理由．解法1：如图所示,在∠BCD的内部作∠BCM＝25°,在∠CDE的内部作∠EDN＝10°．∵∠B＝25°,∠E＝10°已知,∴∠B＝∠BCM,∠E＝∠EDN等量代换．∴AB∥CM,EF∥DN内错角相等,两直线平行．又∵∠BCD＝45°,∠CDE＝30°已知,∴∠DCM＝20°,∠CDN＝20°等式性质．∴∠DCM＝∠CDN等量代换．∴CM∥DN内错角相等,两直线平行．∵AB∥CM,EF∥DN已证,∴AB∥EF平行线的传递性．解法2：如图所示,分别向两方延长线段CD交EF于M点、交AB于N点．∵∠BCD＝45°,∴∠NCB＝135°．∵∠B＝25°,∴∠CNB ＝180°-∠NCB-∠B ＝20°三角形的内角和等于180°．又∵∠CDE ＝30°,∴∠EDM ＝150°．又∵∠E ＝10°,∴∠EMD ＝180°-∠EDM-∠E ＝20°三角形的内角和等于180°．∴∠CNB ＝∠EMD 等量代换．所以AB ∥EF 内错角相等,两直线平行．变式3已知,如图,BE 平分ABD,DE 平分CDB,且1与2互余,试判断直线AB 、CD 的位置关系,请说明理由． 解：AB ∥CD,理由如下：∵BE 平分∠ABD,DE 平分∠CDB,∴∠ABD ＝2∠1,∠CDB ＝2∠2．又∵∠1+∠2＝90°,∴∠ABD+∠CDB ＝180°．∴AB ∥CD 同旁内角互补,两直线平行．变式4已知,如图,ABBD 于B,CDBD 于D,1+2=180°,求证：CD 1234//,//l l l l 答案48°,132°,48°变式6如图所示,直线l 1∥l 2,点A 、B 在直线l 2上,点C 、D 在直线l 1上,若△ABC 的面积为S 1,△ABD 的面积为S 2,则A ．S 1＞S 2B ．S 1＝S 2C ．S 1＜S 2D ．不确定答案B 类型四、命题例6．判断下列语句是不是命题,如果是命题,是正确的还是错误的①画直线AB ；②两条直线相交,有几个交点；③若a ∥b,b ∥c,则a ∥c ；④直角都相等；⑤相等的角都是直角；⑥如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角．答案①②不是命题；③④⑤⑥是命题；③④⑥是正确的命题；⑤是错误的命题．变式8把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式．1两直线平行,同位角相等；2对顶角相等；3同角的余角相等.答案解：1如果两直线平行,那么同位角相等.2如果两个角是对顶角,那么这两个角相等.3如果有两个角是同一个角的余角,那么它们相等.类型四、平移例7．湖南益阳如图所示,将△ABC 沿直线AB 向右平移后到达△BDE 的位置,若∠CAB ＝50°,∠ABC ＝100°,则∠CBE 的度数为________．答案30°变式9上海静安区一模如图所示,三角形FDE 经过怎样的平移可以得到三角形ABCA ．沿EC 的方向移动DB 长B ．沿BD 的方向移动BD 长C ．沿EC 的方向移动CD 长D ．沿BD 的方向移动DC 长答案A类型五、平行的性质与判定综合应用例8、如图所示,AB∥EF,那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝A．180°B．270°C．360°D．540°答案C解析过点C作CD∥AB,∵CD∥AB,∴∠BAC+∠ACD=180°两直线平行,同旁内角互补又∵EF∥AB∴EF∥CD．∴∠DCE+∠CEF=180°两直线平行,同旁内角互补又∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE∴∠BAC+∠ACE+∠CEF＝∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°课后作业一、选择题1.下列说法中正确的有①一条直线的平行线只有一条．②过一点与已知直线平行的直线只有一条．③因为a∥b,c∥d,所以a∥d．④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．A．1个B．2个C．3个D．4个2．如果两个角的一边在同一直线上,另一边互相平行,则这两个角A．相等B．互补C．互余D．相等或互补3．如图,能够判定DE∥BC的条件是A．∠DCE+∠DEC＝180°B．∠EDC＝∠DCBC．∠BGF＝∠DCBD．CD⊥AB,GF⊥AB4．一辆汽车在广阔的草原上行驶,两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向相同,那么这两次拐弯的角度可能是．A．第一次向右拐40°,第二次向右拐140°．B．第一次向右拐40°,第二次向左拐40°．C．第一次向左拐40°,第二次向右拐140°．D．第一次向右拐140°,第二次向左拐40°．5．如图所示,下列条件中,不能推出AB∥CE成立的条件是A．∠A＝∠ACEB．∠B＝∠ACEC．∠B＝∠ECDD．∠B+∠BCE＝180°6.绍兴学习了平行线后,小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法,她是通过折一张半透明的纸得到的如图,1—4:从图中可知,小敏画平行线的依据有①两直线平行,同位角相等．②两直线平行,内错角相等．③同位角相等,两直线平行．④内错角相等,两直线平行．A.①②B.②③C.③④D.④①二、填空题7.在同一平面内的三条直线,它们的交点个数可能是________．8．如图,DF平分∠CDE,∠CDF＝55°,∠C＝70°,则________∥________．9．规律探究：同一平面内有直线a1,a2,a3…,a100,若a1⊥a2,a2∥a3,a3⊥a4…,按此规律,a1和a100的位置是________．10．已知两个角的两边分别平行,其中一个角为40°,则另一个角的度数是11．直线l同侧有三点A、B、C,如果A、B两点确定的直线l'与B、C两点确定的直线l''都与l平行,则A、B、C 三点,其依据是12.如图,AB⊥EF于点G,CD⊥EF于点H,GP平分∠EGB,HQ平分∠CHF,则图中互相平行的直线有．三、解答题13.如图,∠1＝60°,∠2＝60°,∠3＝100°,要使AB∥EF,∠4应为多少度说明理由．14．小敏有一块小画板如图所示,她想知道它的上下边缘是否平行,而小敏身边只有一个量角器,你能帮助她解决这一问题吗15．如图,把一张长芳形纸条ABCD沿AF折叠,已知∠ADB＝20°,那么∠BAF为多少度时,才能使AB′∥BD16．如图所示,由∠1＝∠2,BD平分∠ABC,可推出哪两条线段平行,写出推理过程,如果推出另两条线段平行,则应将以上两条件之一作如何改变答案与解析一、选择题1.答案A解析只有④正确,其它均错．2.答案D3.答案B解析内错角相等,两直线平行．4.答案B5.答案B解析∠B和∠ACE不是两条直线被第三条直线所截所得到的角．6.答案C解析解决本题关键是理解折叠的过程,图中的虚线与已知的直线垂直,过点P的折痕与虚线垂直．二、填空题7.答案0或1或2或3个；8.答案BC,DE；解析∠CFD＝180°－70°－55°＝55°,而∠FDE＝∠CDF＝55°,所以∠CFD＝∠FDE．9.答案a1∥a100；解析为了方便,我们可以记为a1⊥a2∥a3⊥a4∥a5⊥a6∥a7⊥a8∥a9⊥a10…∥a97⊥a98∥a99⊥a100,因为a1⊥a2∥a3,所以a1⊥a3,而a3⊥a4,所以a1∥a4∥a5．同理得a5∥a8∥a9,a9∥a12∥a13,…,接着这样的规律可以得a1∥a97∥a100,所以a1∥a100．10.答案40°或140°11.答案共线,平行公理；解析此题考查是平行公理,它是论证推理的基础,应熟练应用．12.答案AB∥CD,GP∥HQ；。
平行线的性质定理和判定定理
∴ ∠2=∠3(等量代换).
1 3
2
c
合作交流
两直线平行， 同旁内角互补。
如图,已知a//b,
那么2与4有
什么关系呢？ a
1
为什么?
4
b
2
c
基本事实：同位角相等，两直线平行
例2
如图：已知2=3
a
求证： a//b
b
证明：
∵ ∠2=∠3 (已知)
又∵ ∠1=∠3(对顶角相等)
∴∠1=∠2(等量代换)
基本事实
a
1
平行线的性质1
b
2
两条平行线被第三条直线所截，
同位角相等.
c
简写为：两直线平行，同位角相等.
符号语言: ∵a∥b,
∴∠1=∠2.
例1
两直线平行， 内错角相等。
如图：已知a//b,那么2与3相等吗？ 为什么?
证明∵a∥b(已知),
∴∠1=∠2(两直线平行,
a
同位角相等). b
又∵ ∠1=∠3(对顶角相等),
∴ a∥b(同位角相等，两直线平行).
1 3
2
c
合作交流
同旁内角互补， 两直线平行。
如图,已知
a
2+4=180 那么a//b吗？为什么?
b
1 4 2
c
性质：两直线平行，同位角相等. 判定：同位角相等，两直线平行.
两个命题的条件 和结论正好相反
互逆命题
原命题 逆命题
平行线和垂直线的性质和判定
平行线和垂直线的性质和判定平行线和垂直线是几何中常见的概念和性质，在数学学科中扮演着重要的角色。
本文将详细介绍平行线和垂直线的性质以及如何进行判定，旨在帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、平行线的性质和判定平行线是指在同一个平面上没有任何交点的直线。
下面我们将介绍平行线的一些性质和判定方法。
1. 平行线的性质：（1）平行线与同一直线的交线对应的内角相等。
例如，直线AB和直线CD平行，则直线AB和直线CD分别与第三条直线EF相交，在这种情况下，角A和角E相等，角B和角F相等，角C和角D相等。
（2）平行线与同一直线的交线对应的同位角相等。
同位角是指两条直线上相对于同一直线的对应角。
如果直线AB和直线CD平行，它们与第三条直线EF相交，那么角A和角C是同位角，角B和角D是同位角，它们的度数相等。
2. 平行线的判定方法：（1）同位角相等法：如果两条直线上同位角相等，则它们是平行线。
这个方法基于平行线的性质，通过观察同位角的度数是否相等来判断直线的平行性。
（2）斜率相等法：如果两条直线的斜率相等，则它们是平行线。
直线的斜率是斜率运算对直线的特定定义，利用斜率相等可以判断直线是否平行。
二、垂直线的性质和判定垂直线是指两条直线之间的夹角为90度的直线。
下面我们将介绍垂直线的一些性质和判定方法。
1. 垂直线的性质：（1）垂直线与同一直线的交线对应的内角为90度。
例如，直线AB和直线CD垂直，则直线AB和直线CD分别与第三条直线EF相交，在这种情况下，角A与角E之间的夹角、角B与角F之间的夹角以及角C与角D之间的夹角都是90度。
2. 垂直线的判定方法：（1）斜率互为负倒数法：如果两条直线的斜率互为负倒数，则它们是垂直线。
这个方法基于垂直线的性质，通过观察直线的斜率是否满足斜率互为负倒数的关系来判断直线是否垂直。
（2）直角三角形判定法：如果两条直线上某一对对应角的度数之和为90度，则它们是垂直线。
通过观察直线与第三条直线所形成的直角三角形，判断其内角的度数之和是否为90度，从而确定直线的垂直性。
平行线的性质
平行线的性质平行线是在同一个平面上，永远不会相交的直线。
在几何学中，平行线有一些独特的性质和规律。
本文将介绍平行线的性质，包括平行线的定义、判定方法以及与平行线相关的定理。
1. 平行线的定义平行线的定义是指在同一个平面上，两条直线不相交，且它们的距离始终相等。
如果两条线段的任意两点之间的距离相等，则可以称这两条线段是平行的。
符号“||”可以用来表示平行线。
2. 平行线的判定方法有多种方法可以判定两条直线是否平行。
2.1. 通过斜率判定两条直线的斜率相等时，可以判定它们是平行线。
假设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2。
如果k1 = k2，则l1与l2是平行线。
2.2. 通过角度判定两条直线如果被一条横截线所截，且所截得的内角互补，则这两条直线是平行线。
例如，直线l1与l2被横截线m所截，其中直角1和直角2是互补的，则l1与l2是平行线。
2.3. 通过平行线定理判定平行线定理是指如果一条直线与两条平行线相交，那么它与另一条平行线也相交，并且两条交分线分割的邻补角相等。
通过这一定理，可以判断一条直线与已知平行线是否平行。
3. 3.1. 平行线的距离性质平行线之间的距离在任意两点之间始终相等。
这意味着，如果从一条平行线上的一点到另一条平行线的垂直距离是d，那么这两条平行线上任意两点之间的距离也都是d。
这一性质对于解决平面几何中的问题非常有用。
3.2. 平行线的夹角性质当一条直线与两条平行线相交时，所得到的对应角、内角、外角等具有一定的关系性质。
3.2.1. 对应角性质对应角是指两条平行线被一条横截线所截得到的相应角。
如果两条平行线被同一横截线截得的对应角相等，则这两条平行线是相等的。
即如果∠A = ∠C，那么∠B = ∠D，其中直线l1与l2被横截线m截得的直角1和直角2是对应角。
3.2.2. 内角与外角性质当一条直线与两条平行线相交时，所得到的内角与外角具有一定的关系。
内角互补，即当一条直线与两条平行线相交时，所得到的内角的补角相等。
平行线的性质和判定
平行线的性质与判定平行的传递性如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.平行线的判定：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；如果内错角相等．那么这两条直线平行；如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.这三个条件都是由角的数量关系（相等或互补）来确定直线的位置关系（平行）的，因此能否找到两直线平行的条件，关键是能否正确地找到或识别出同位角，内错角或同旁内角. 常见的几种两条直线平行的结论：（1）两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线平行；（2）两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行.尺规作图只用没有刻度的直尺和圆规的作图的方法称为尺规作图.用尺规可以作一条线段等于已知线段，也可以作一个角等于已知角.利用这两种两种基本作图可以作出两条线段的和或差，也可以作出两个角的和或差.考点例析：题型一， 平行线的性质与判定例2（盐城市）已知：如图1，l 1∥l 2，∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）A.135°B.130°C.50°D.40°分析 要求∠2的度数，由l 1∥l 2可知∠1+∠2＝180°，于是由∠1＝50°，即可求解. 解 因为l 1∥l 2，所以∠1+∠2＝180°，又因为∠1＝50°，所以∠2＝180°－∠1＝180°－50°＝130°.故应选B .说明 本题是运用两条直线平行，同旁内角互补求解.例3（重庆市）如图2，已知直线l 1∥l 2，∠1＝40°，那么∠2＝ 度.分析 如图2，要求∠2的大小，只要能求出∠3，此时由直线l 1∥l 2，得∠3＝∠1即可求解. 解 因为l 1∥l 2，∠1＝40°，所以∠1＝∠3＝40°.又因为∠2＝∠3，所以∠2＝40°.故应填上40°.说明 本题在求解过程中运用了两条直线平行，同位角相等求解.例4（烟台市）如图3，已知AB ∥CD ，∠1＝30°，∠2＝90°，则∠3等于（ ）A.60°B.50°C.40°D.30°分析 要求∠3的大小，为了能充分运用已知条件，可以过∠2的顶点作EF ∥AB ，由有∠1＝∠AEF ，∠3＝∠CEF ，再由∠1＝30°，∠2＝90°求解.解 如图3，过∠2的顶点作EF ∥AB .所以∠1＝∠AEF ，图2 图 1 E又因为AB ∥CD ，所以EF ∥CD ，所以∠3＝∠CEF ，而∠1＝30°，∠2＝90°，所以∠3＝90°－30°＝60°.故应选A .说明 本题在求解时连续两次运用了两条直线平行，内错角相等求解.例5（南通市）如图4，AB ∥CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于E ，F 两点，∠BEF 的平分线交CD 于点G ，若∠EFG ＝72°，则∠EGF 等于（ ）A.36°B.54°C.72°D.108°分析 要求∠EGF 的大小，由于AB ∥CD ，则有∠BEF +∠EFG ＝180°，∠EGF ＝∠BEG ，而EG 平分∠BEF ，∠EFG ＝72°，所以可以求得∠EGF ＝54°.解 因为AB ∥CD ，所以∠BEF +∠EFG ＝180°，∠EGF ＝∠BEG ，又因为EG 平分∠BEF ，∠EFG ＝72°，所以∠BEG ＝∠FEG ＝54°.故应选B .说明 求解有关平行线中的角度问题，只要能熟练掌握平行线的有关知识，灵活运用对顶角、角平分线等知识就能简洁获解.题型三 尺规作图例6（杭州市）已知角α和线段c 如图5所示，求作等腰三角形ABC ，使其底角∠B ＝α，腰长AB ＝c ，要求仅用直尺和圆规作图，写出作法，并保留作图痕迹.分析 要作等腰三角形ABC ，使其底角∠B ＝α，腰长AB ＝c ，可以先作出底角∠B ＝α，再在底角的一边截取BA ＝c ，然后以点A 为圆心，线段c 为半径作弧交BP 于点C ，即得.作法（1）作射线BP ，再作∠PBQ ＝∠α；（2）在射线BQ 上截取BA ＝c ；（3）以点A 为圆心，线段c 为半径作弧交BP 于点C ；（4）连接AC .则△ABC 为所求.如图6.例7（长沙市）如图7，已知∠AOB 和射线O ′B ′，用尺规作图法作∠A ′O ′B ′＝∠AOB （要求保留作图痕迹）.分析 只要再过点O ′作一条射线O ′A ′，使得∠A ′O ′B ′＝∠AOB 即可.作法（1）以O 为圆心，任意长为半径，画弧，交OA 、OB 于点C 、D ；（2）以O ′为圆心，同样长为半径画弧，交O ′B ′于点D ′；A AO B ′ 图7 D C 图5 c α A图6 c α c B C P（3）以D′为圆心，CD长为半径画弧与前弧交于点C′；（4）过点O′C′作一条射线O′A′.如图7中的∠A′O′B′即为所求作.说明在实际答题时，根据题目的要求只要保留作图的痕迹即可了.相交线与平行线测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．•在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列说法中，正确的是（）A．一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线;B．P是直线L外一点，A、B、C分别是L上的三点，已知PA=1，PB=2，PC=3，则点P•到L的距离一定是1;C．相等的角是对顶角; D．钝角的补角一定是锐角.2．如图1，直线AB、CD相交于点O，过点O作射线OE，则图中的邻补角一共有（）A．3对 B．4对 C．5对 D．6对(1) (2) (3)3．若∠1与∠2的关系为内错角，∠1=40°，则∠2等于（）A．40° B．140° C．40°或140° D．不确定4．如图，哪一个选项的右边图形可由左边图形平移得到（）5．a，b，c为平面内不同的三条直线，若要a∥b，条件不符合的是（）A．a∥b，b∥c; B．a⊥b，b⊥c;C．a⊥c，b∥c; D．c截a，b所得的内错角的邻补角相等6．如图2，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：（1）∠1=∠5；（2）∠1=•∠7；（3）∠2+∠3=180°；（4）∠4=∠7，其中能判定a∥b的条件的序号是（）A．（1）、（2） B．（1）、（3） C．（1）、（4） D．（3）、（4）7．如图3，若AB∥CD，则图中相等的内错角是（）A．∠1与∠5，∠2与∠6; B．∠3与∠7，∠4与∠8;C．∠2与∠6，∠3与∠7; D．∠1与∠5，∠4与∠88．如图4，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，ED平分∠BEF．若∠1=72°，•则∠2的度数为（）A．36° B．54° C．45° D．68°(4) (5) (6)9．已知线段AB的长为10cm，点A、B到直线L的距离分别为6cm和4cm，•则符合条件的直线L的条数为（）A．1 B．2 C．3 D．410．如图5，四边形ABCD中，∠B=65°，∠C=115°，∠D=100°，则∠A的度数为（• ）A．65° B．80° C．100° D．115°11．如图6，AB⊥EF，CD⊥EF，∠1=∠F=45°，那么与∠FCD相等的角有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个12．若∠A和∠B的两边分别平行，且∠A比∠B的2倍少30°，则∠B的度数为（）A．30° B．70° C．30°或70° D．100°二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案填在题中横线上）13．如图，一个合格的弯形管道，经过两次拐弯后保持平行（即AB∥DC）．•如果∠C=60°，那么∠B的度数是________．14．已知，如图，∠1=∠ABC=∠ADC，∠3=∠5，∠2=∠4，∠ABC+∠BCD=180°．将下列推理过程补充完整：（1）∵∠1=∠ABC（已知），∴AD∥______（2）∵∠3=∠5（已知），∴AB∥______,（_______________________________）（3）∵∠ABC+∠BCD=180°（已知），∴_______∥________,（________________________________）16．已知直线AB、CD相交于点O，∠AOC-∠BOC=50°，则∠AOC=_____度，•∠BOC=___度．17．如图7，已知B、C、E在同一直线上，且CD∥AB，若∠A=105°，∠B=40°，则∠ACE 为_________．(7) (8) (9)18．如图8，已知∠1=∠2，∠D=78°，则∠BCD=______度．19．如图9，直线L 1∥L 2，AB ⊥L 1，垂足为O ，BC 与L 2相交于点E ，若∠1=43°，•则∠2=_______度．20．如图，∠ABD=•∠CBD ，•DF•∥AB ，•DE•∥BC ，•则∠1•与∠2•的大小关系是________．三、解答题（本大题共6小题，共40分，解答应写出文字说明，•证明过程或演算步骤）22．（7分）如图，AB ∥A ′B ′，BC ∥B ′C ′，BC 交A ′B ′于点D ，∠B 与∠B•′有什么关系？为什么？23．（6分）如图，已知AB ∥CD ，试再添上一个条件，使∠1=∠2成立（•要求给出两个答案）．24．（6分）如图，AB ∥CD ，∠1：∠2：∠3=1：2：3，说明BA 平分∠EBF 的道理．25．（7分）如图，CD ⊥AB 于D ，点F 是BC 上任意一点，FE ⊥AB 于E ，且∠1=∠2，•∠3=80°．求∠BCA 的度数．26．（8分）如图，EF⊥GF于F．∠AEF=150°，∠DGF=60°，试判断AB和CD的位置关系，并说明理由．。
平行线的判定与性质
平行线的判定与性质平行线的判定：1.内错角相等，两直线平行；2.同位角相等，两直线平行；3.同旁内角互补，两直线平行 平行线的性质：1.两直线平行，内错角相等；2.两直线平行，同位角相等；3.两直线平行，同旁内角互补平行线的判定（一）一、填空1．如图１，若∠A=∠3，则 ∥ ； 若∠2=∠E ，则 ∥ ； 若∠ +∠ = 180°，则 ∥ ．2．若a⊥c，b⊥c，则a b ．3．如图２，写出一个能判定直线a ∥b 的条件： ． 4．在四边形ABCD 中，∠A +∠B = 180°，则 ∥ （ ）． 5．如图３，若∠1 +∠2 = 180°，则 ∥ 。
6．如图４，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中， 同位角有 ； 内错角有 ；同旁内角有 ． 7．如图５，填空并在括号中填理由：（1）由∠ABD =∠CDB 得 ∥ （ ）； （2）由∠CAD =∠ACB 得 ∥ （ ）；（3）由∠CBA +∠BAD = 180°得 ∥ （ ）8．如图６，尽可能多地写出直线l 1∥l 2的条件： ．9．如图７，尽可能地写出能判定AB∥CD 的条件来： ． 10．如图８，推理填空：（1）∵∠A =∠ （已知）， ∴AC∥ED（ ）；（2）∵∠2 =∠ （已知）， ∴AC∥ED（ ）； （3）∵∠A +∠ = 180°（已知）， ∴AB∥FD（ ）；（4）∵∠2 +∠ = 180°（已知）， ∴AC∥ED（ ）；A CB 4 1 2 3 5 图４ a b c d 1 2 3 图３ A BC ED 1 2 3 图１ 图２ 4 3 2 1 5 a b 1 2 3A F C DB E图８A D CB O 图５ 图６ 5 1 24 3 l 1 l 2 图７5 4 3 2 1 A D C B二、解答下列各题11．如图９，∠D =∠A，∠B =∠FCB，求证：ED∥CF．12．如图10，∠1∶∠2∶∠3 = 2∶3∶4， ∠AFE = 60°，∠BDE =120°，写出图中平行的直线，并说明理由．13．如图11，直线AB 、CD 被EF 所截，∠1 =∠2，∠CNF =∠BME。
初步认识平行线的性质和判定方法
初步认识平行线的性质和判定方法平行线是初中数学中一个非常重要的概念，它在几何学中占据着重要的地位。
初步认识平行线的性质和判定方法，能够帮助我们更好地理解和运用这一概念。
本文将从平行线的定义、性质以及判定方法三个方面进行论述。
一、平行线的定义在几何学中，我们称两条直线为平行线，意味着它们在同一平面上，并且永远不会相交。
这是平行线最基本的定义。
需要注意的是，两条平行线之间的距离始终相等，在图形排列中有很重要的应用。
二、平行线的性质1. 平行线具有等角折射性质：当两条平行线被一条横线（称为割线）切割时，所产生的对应角相等。
这是平行线最重要的性质之一，也是判定平行线的基础。
2. 平行线具有交错性质：当一条直线与两条平行线相交时，所产生的内错角互为补角，外错角互为补角。
这一性质在证明平行线相关定理时经常使用。
3. 平行线具有等比例性质：当两条平行线被一条斜线切割时，所产生的截线与平行线之间的长度比例保持不变。
这个性质在割线定理中有广泛的应用。
三、平行线的判定方法根据平行线的性质，我们可以利用不同的条件来判定两条直线是否平行。
1. 定理一：同位角相等法则同位角是指两条平行线被一条割线切割所形成的对应角。
如果两个对应角相等，那么这两条直线就是平行线。
这个方法在证明平行线定理时经常使用。
2. 定理二：内错角补角法则当两条平行线被一条割线切割时，所形成的内错角互为补角。
如果两个内错角互为补角，那么这两条直线是平行线。
3. 定理三：等角斜线法则当两条平行线被一条斜线切割时，所产生的截线与平行线之间的长度比例相等。
根据这一比例关系，我们可以判定两条直线是否平行。
通过以上三个判定方法，我们可以初步认识平行线的性质和判定方法。
在实际应用中，我们可以结合具体的问题和知识点，灵活运用这些方法，解决与平行线相关的几何问题。
综上所述，平行线是几何学中的重要概念，具有丰富的性质和判定方法。
通过对平行线的初步认识，我们可以更好地理解、运用和证明涉及平行线的问题。
平行线的性质
平行线的性质在几何学中，平行线是指永远不会相交的直线。
平行线具备以下几个性质：1. 平行线的定义：如果两条直线在平面上没有交点，那么它们是平行线。
2. 平行线的判定定理一：对于一条直线上的一点和一条不与该直线重合的直线，如果点到直线的距离与直线上每个点到另一条直线的距离相等，那么这两条直线是平行线。
3. 平行线的判定定理二：如果两条直线与第三条直线交叉，而且两个内角对与第三条直线的两个内角对互补，那么这两条直线是平行线。
4. 平行线的判定定理三：如果两条直线与第三条直线相交，而且其中一对同位角是内错角，另一对同位角是内对顶角，那么这两条直线是平行线。
5. 平行线的性质一：平行线之间的距离是恒定的。
根据两点间距离公式，我们可以计算出平行线上任意点到另一条平行线的距离，这个距离在整条平行线上是相等的。
6. 平行线的性质二：两条平行线被一条横切线所穿过时，对应角相等，内错角相等，内对顶角相等。
7. 平行线的性质三：两条平行线被一条横切线所穿过时，同位角之和为180度，即互补角。
总结起来，平行线有着独特的性质，它们永远不会相交，具有相等的内错角、内对顶角以及同位角之和为180度的互补角。
这些性质在几何学的证明和问题解答中发挥着重要的作用。
通过了解平行线的性质，我们可以更好地理解几何学中的相关概念和定理，运用这些性质来解决问题。
在数学和工程学等领域，平行线的性质也有广泛的应用，比如在建筑设计中确定直角、测量距离等。
因此，深入学习和掌握平行线的性质对于建立几何学的基础知识和解决实际问题都具有重要的意义。
通过实际操作和练习，我们可以更好地理解和应用平行线的性质，从而提升自己在几何学领域的能力和素养。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平行线的性质与判定
1.如图把三角板的直角顶点放在直线b上，若∠1=40°，则当∠2=______度时，a∥b．
2. 如图，能判断a∥b的条件是( )
第1题图第2题图
3.如图，已知∠1=∠2=∠3=∠4，则图形中平行的是( )
A. A. AB∥CD∥EF
B.CD∥EF
C.AB∥EF
D.AB∥CD∥EF，BC∥DE
第3题图第4题图
4.如图，下列不能判定AB∥CD的条件是( )
A.∠B+∠BCD=180°
B.∠1=∠2
C.∠3=∠4=
D.∠B=∠5
5.如图，一束平行光线AB与DE射向一水平镜面后被反射，此时∠1=∠2，∠3=∠4，则反射光线BC 与EF的位置关系是______．
第5题图第6题图第7题图
6.如图，AB∥CD，∠A=70°，AC=BC，则∠BCD的度数为（）
A.100°
B.105°
C. 110°
D.140°
7.如图，下列条件中，能判定DE∥AC的是（）
A.∠EDC=∠EFC
B.∠AFE=∠ACD
C.∠3=∠4
D.∠1=∠2
8.如图，下列能判定AB∥EF的条件有( )
①∠B+∠BFE=180° ②∠1=∠2 ③∠3=∠4 ④∠B=∠5．
A : 1个
B : 2个
C : 3个
D : 4个
第8题图第9题图第10题图
9.如图，AB⊥BC，BC⊥CD，∠EBC=∠BCF，那么∠ABE与∠DCF的位置和大小关系是( )
A.是同位角且相等
B.不是同位角但相等
C.是同位角但不等
D.不是同位角也不等
10.如图，在下列条件中，能判定AB∥CD的有（）
A.∠BAD=∠BCD
B.∠ABD=∠BDC
C.∠ABC+∠BAD=180°
D. ∠1=∠2
11.如图下列说法一定正确的是（）
A.∠4和∠6是同旁内角
B.∠2和∠3是内错角
C.∠1和∠5是同位角
D.∠5和∠6是同位角
第11题图第12题图第13题图
12.如图，直线a∥b，∠1=120°，∠2=40°，则∠3=________°．
13.如图，∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6中，同旁内角共有______对
14.如图，已知∠1=∠2,∠C=∠D, 那么∠A=∠F,为什么？。