机器人运动学-拉格朗日方程 第9讲 动力学分析和力共15页文档

m
2
v
2 2
P1 m1gd1 cos1
P2 m 2 gy 2
(x2, y2)
yx22dd11scion1s1dd22scions1(1(2)2) x y 22dd11csoins11 11dd22csions1(1(22))(( 11 22))
v22 x22 y22
v22 d12 12 d22( 12 2 1 2 22)2d1d2cos2( 12 1 2)
拉格朗日函数
系统总的动能
系统总的势能
q q 1 q 2q n 是表示动能和势能的广义 坐标
q q 1 q 2 q n 是相应的广义速度
机器人系统动能
连杆 i的动能 K i 为连杆质心线速度引起
的动能和连杆角速度产生的动能之和：
Ki 1 2mivc Tvici1 2i
I Ti i
T 2 d d L t 2 L 2 (m 2 d 2 2 m 2 d 1 d 2co 2 ) 1 s m 2 d 2 2 2 m 2 d 1 d 2si2 n 1 2 m 2 g2s di1 n 2 ()
经整理：
T 1 D 1 1 1 D 1 2 2 D 11 1 2 1D 12 2 2 2D 1 1 1 2 2 D 1 2 2 1 1 D 1 T 2 D 2 1 1 D 2 2 2 D 21 1 2 1D 22 2 2 2D 2 1 1 2 2 D 2 2 2 1 1 D 2
i 是广义力，代表 n个关节的驱动力或
力矩；若 i是移动关节， i 就是力，若 i
是转动关节， i 就是力矩。
例1
y
x • 先求刚体的动能与位能（旋转式运动） 假设连杆质量用等效连杆末端的点质量表示
1 (x1, y1)
d1 m1
2
d2
m2
•
连杆1：
K1
1 2
m1d1212
连杆2： K
2
1 2
T T 1 2 D D 1 21 1 D D 1 2 2 2 1 2 D D 1 21 1 D D 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 D D 1 21 1 D D 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 D D 1 2
ii
i
源自文库
系统总动能为 n个连杆动能之和：
n
K Ki i 1
机器人系统势能
设连杆 i 的势能为 Pi ，连杆 i的质心在
0 坐标系中的位置矢量为Pci ，重力加速度 矢量在 0 坐标系中为g，则
Pi migTPci
机器人系统的势能为各连杆势能之和：
n
P Pi i 1
拉格朗日方程
d d tq L i q L i i (i1,2n,.)..,
Wittenburg）
研究动力学的目的
动力学正问题与机器人仿真有关； 动力学逆问题是为了实时控制的需要，利用动
力学模型，实现最优控制，以期达到良好的动 态性能和最优指标； 可利用动力学方程来考察不同惯量负载对机器 人的影响，以及根据期望的加速度来考察某些 负载的重要性。
拉格朗日函数
L(qi,q i)KP
机器人动力学问题
机器人动态性能不仅与运动学相对位置有关， 还与机器人的结构形式、质量分布、执行机构 的位置、传动装置等因素有关。
机器人动态性能由动力学方程描述，动力学是 考虑上述因素，研究物体运动和受力之间的关 系。
机器人动力学问题
动力学正问题：根据关节驱动力或力矩计算机 器人的运动（关节位移、速度和加速度），即 研究机器人手臂在关节力矩作用下的动态响应。
力矩
惯量
向心加速度系数 哥氏加速度系数
重力
T T 1 2 D D 1 21 1 D D 1 2 2 2 1 2 D D 1 21 1 D D 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 D D 1 21 1 D D 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 D D 1 2
Fi d d tq L i q Li , i1,2,..n.,
求取
d d tL 1, L 1,
d d tL 2,
L
2
代入拉格朗日方程式
T 1 d d L t 1 L 1 [m 1 ( m 2 )d 1 2 m 2 d 2 2 2 m 2 d 1 d 2 co 2 ] 1 s (m 2 d 2 2 m 2 d 1 d 2 co 2 ) 2 s 2 m 2 d 1 d 2 si2 1 n 2 m 2 d 1 d 2 si2 2 n 2 (m 1 m 2 )g 1 sd i1 n m 2 g2 s di1 n 2 )(
动力学逆问题：已知轨迹对应的关节位移、速 度和加速度，求出所需要的关节力或力矩；进 而选择设计出能提供足够力及力矩的驱动器。
研究机器人动力学的方法
牛顿——欧拉法（Newton-Euler） 拉格朗日法（Lagrange） 高斯法（Gauss） 凯恩法（Kane） 旋量对偶数法 罗伯逊——魏登堡法（Roberson-
构造拉格朗日函数L=K-P：
L K P 1 2 (m 1 m 2 )d 1 2 1 2 1 2 m 2 d 2 2 ( 1 2 2 1 2 2 2 ) m 2 d 1 d 2 co 2 ( 1 2 s 1 2 ) (m 1 m 2 )g 1 c do 1 m s 2 g2 c do 1 s 2 )(
系统的总动能和总势能：
K K 1 K 2 1 2 (m 1 m 2 )d 1 2 1 2 1 2 m 2 d 2 2 ( 1 2 2 1 2 2 2 ) m 2 d 1 d 2 co 2 ( 1 2 s 1 2 ) P P 1 P 2 (m 1 m 2 )g 1 c do 1 m s 2 g2 c do 1 s 2 )(