量子力学讲义I.波函数与Schrodinger方程(新)
第二章 波函数和 Schrodinger 方程
第二章 波函数和 Schrodinger 方程§1 波函数的统计解释__量子力学的第一条假设:量子状态公设一个微观粒子的状态可以由波函数来描述，波函数的模方为为粒子的概率密度，波函数满足归一化条件。
简言之:波函数完全描述微观粒子状态(一）波函数描写自由粒子的平 面 波 称为 de Broglie 波。
此式称为自由粒子的波函数。
如果粒子处于随时间和位臵变化的力场中运动，他的动量和能量不再是常量，粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：，它通常是一个复函数。
如果用波函数描述粒子状态，则必须解决3个问题？ (1) ψ 是怎样描述粒子的状态？ (2) ψ 如何体现波粒二象性的？ (3) ψ 描写的是什么样的波呢？ （二）波函数的解释波函数对微观粒子的描写统一了粒子性与波动性的关键在于波函数的统计解释：如果微观粒子的波函数是 则某一时刻粒子出现在位臵r 处,体积元dV 中的粒子的概率，与波函数模的平方成正比。
exp ()iA Et ⎡⎤ψ=∙-⎢⎥⎣⎦p r (,)t ψr (,)t ψr()2,,,dW x y z t dV=ψ概率密度/dW dV所以， 与经典物理学中的波动不同，它不是某种实际的物理量振幅在空间的分布，而只是一种几率振幅。
波函数Ψ(x,y,z,t )的统计解释(哥本哈根解释)：波函数模的平方代表某时刻t 在空间某点(x,y,z )附近单位体积内发现粒子的概率，即|Ψ| 2 代表概率密度。
波函数的统计意义是波恩于1926年提出的。
由于波恩在量子力学所作的基础研究，特别是波函数的统计解释，他与博特共享了1954年的诺贝尔物理学奖。
玻恩对波函数的统计诠释—哥本哈根学派(以玻尔和海森伯为首)观点。
玻恩假定： 描述粒子在空间的概率分布的“概率振幅”，而 则表示概率密度例题1：电子的自由平面波波函数在空间各点发现光子的概率相同 用电子双缝衍射实验说明概率波的含义 (1)入射强电子流干涉花样取决于概率分布，而概率分 布是确定的。
波函数与Schrodinger方程
第1章波函数与Schrodinger方程1.1 波函数的统计诠释1.2 Schrodinger方程1.3 量子态叠加原理第2章一维势场中的粒子2.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质2.2 方势2.3 δ势2.4 一维谐振子第3章力学量用算符表达3.1 算符的运算规则3.2 厄米算符的本征值与本征函数3.3 共同本征函数3.4 连续谱本征函数的“归一化”第4章力学量随时间的演化与对称性4.1 力学量随时间的演化*4.2 波包的运动，Ehrenfest定理4.3 Schrodinger图像与Heisenberg图像4.4 守恒量与对称性的关系4.5 全同粒子体系与波函数的交换对称性第5章中心力场5.1 中心力场中粒子运动的一般性质*5.2 无限深球方势阱5.3 三维各向同性谐振子5.4 氢原子第6章电磁场中粒子的运动6.1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量6.2 正常Zeeman效应6.3 Landau能级第7章量子力学的矩阵形式与表象变换7.1 量子态的不同表象，幺正变换7.2 力学量(算符)的矩阵表示7.3 量子力学的矩阵形式7.4 Dirac符号第8章自旋8.1 电子自旋态与自旋算符8.2 总角动量的本征态8.3 碱金属原子光谱的双线结构与反常Zeeman效应8.4 自旋单态与三重态，*自旋纠缠态第9章力学量本征值问题的代数解法9.1 谐振子的Schrodinger因式分解法9.2 角动量的本征值与本征态*9.3 两个角动量的耦合，Clebsch-Gordan系数第10章微扰论10.1 束缚态微扰论*10.2 散射态微扰论第11章量子跃迁11.1 量子态随时间的演化*11.2 突发微扰与绝热微扰11.3 周期微扰，有限时间内的常微扰*11.4 能量-时间不确定度关系*11.5 光的吸收与辐射的半经典理论第12章其他近似方法*12.1 Fermi气体模型12.2 变分法*12.3 分子结构注：加星号的部分只做概念上的要求。
量子力学专题二(波函数和薛定谔方程)
量子力学专题二：波函数和薛定谔方程一、波粒二象性假设的物理意义及其主要实验事实（了解）1、波动性：物质波（matter wave ）——de Broglie （1923年）p h =λ实验：黑体辐射2、粒子性：光量子（light quantum ）——Einstein （1905年）hE =ν 实验：光电效应二、波函数的标准化条件（熟练掌握）1、有限性：A 、在有限空间中，找到粒子的概率是有限值，即有=⎰ψψτ*d 有限值有限空间 B 、在全空间中，找到粒子的概率是有限值，即有=⎰ψψτ*d 有限值 全空间 2、连续性：波函数ψ及其各阶微商连续；3、单值性：2ψ是单值函数（注意：不是说ψ是单值！）三、波函数的统计诠释（深入理解） 1、∝dV 2ψ在dV 中找到粒子的概率；2、ψ和ψC 表示的是同一个波函数（注意：我们关心的只是相对概率）；四、态叠加原理以及任何波函数按不同动量的平面波展开的方法及其物理意义（理解）1、态叠加原理：设1ψ，2ψ是描述体系的态，则2211ψψψC C +=也是体系的一个态。
其中，1C 、2C 是任意复常数。
2、两种表象下的平面波的形式：A 、坐标表象中r d e p r r p i 3/2/3)()2(1)( •⎰=ϕπψ B 、动量表象中p d e r p r p i 3/2/3)()2(1)( •-⎰=ψπϕ 注意：2/3)2( π是热力学中，Maxwell速率分布的一个常数，也可以使原子物理中，一个相空间的大小！五、Schrodinger Equation （1926年）1、Schrodinger Equation 的建立过程（熟练掌握）ψψH ti ˆ=∂∂ 其中，V T H ˆˆˆ+=。
2、定态薛定谔方程，定态与非定态波函数的意义及相关联系（深入了解）A 、定态：若某一初始时刻（0=t ）体系处于某一能量本征态)()0,(r r E ψψ=，则/)(),(iEt E e r t r -=ψψ说描述的态，叫做定态（stationary state ）；B 、非定态：由不同能量能量本征态线性叠加而形成的态，叫做非定态（nonstationary state ）。
波函数及薛定谔方程详解课件
03ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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薛定谔方程在量子力学中的应用
无限深势阱
无限深势阱模型描述粒子被限 制在一定空间范围内运动的情 形，通常用于描述微观粒子在
势能无限高区域的行为。
在无限深势阱中，波函数具有 特定的边界条件，即在势阱边
界处波函数为零。
薛定谔方程在无限深势阱中的 解为分段函数，表示粒子在不 同势阱内的能量状态。
波函数及薛定 谔 方程详解课件
contents
目录
• 波函数简介 • 薛定谔方程概述 • 薛定谔方程在量子力学中的应用 • 波函数与薛定谔方程的关系 • 实验验证与实例分析 • 总结与展望
01
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波函数简介
波函数的定 义
波函数是一种描述微观粒子状 态的函数，它包含了粒子在空 间中的位置和动量的信息。
06
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总结与展望
波函数与薛定谔方程的意义
波函数
波函数是描述微观粒子状态的函数， 它包含了粒子在空间中的位置、动量 和自旋等所有信息。通过波函数，我 们可以计算出粒子在给定条件下的行 为和性质。
薛定谔方程
薛定谔方程是描述波函数随时间变化 的偏微分方程，它反映了微观粒子在 运动过程中所遵循的规律。通过求解 薛定谔方程，我们可以预测粒子在不 同条件下的行为和性质。
时间相关形式
在有限域中，薛定谔方程的形式为 ifrac{dpsi}{dt}=Hpsi，其中H为哈密 顿算子。
薛定谔方程的解
分离变量法
对于具有周期性势能的情况，可以将波函数分离为几个独立的函数，分别求解 后再组合得到原方程的解。
微扰法
对于势能存在微小扰动的情况，可以通过微扰法求解薛定谔方程，得到近似解。
第1章-波函数和schrodinger方程
例1.2 初速为零的电子，被电压为V的电场 加速，求其de Broglie波长。
解：若V不大时为非相对论情形，
由
eV
Ek
Ek 0
1 2
， m0v2
有
从而由（1.2）可求得
v 2eV m0
h h h 1 1.23 nm
h p h / k
2.微粒的波粒二象性
Bohr理论所遇到的困难说明探索微观 粒子运动规律的迫切性。
1924年de Broglie 在光有波粒二象性 的启示下，提出微观粒子也具有波动性的 假说：粒子的能量ε和动量p与波的频率ν 和波长λ之间的关系，正像光子和光波的 关系一样，为：
h p h / k
第1章 波函数和Schrödinger方程
内容：
§1.1光及微粒的波粒二象性 §1.2波函数的统计解释
—波粒二象性的物理图像 §1.3态叠加原理 §1.4 Schrödinger方程 §1.5粒子流密度和粒子数守恒定律 §1.6波函数的标准条件 §1.7定态Schrödinger方程
§1.1光及微粒的波粒二象性
在经典物理中，声波和光波都遵从
叠加原理：两个可能的波动过程1 和 2
的线性叠加a1
b
也是一个可能的波动
2
过程。
在量子力学中，概率波亦有如下的态
叠加原理：
如果1, 2 所描写的都是体系可能
实现的状态,那么它们的线性叠加 c11 c22
所描写的也是体系的一个可能实现的状态。
在电子在晶体表面衍射的实验中，粒子在
|2
d
3r
发散，故不能按上述方法归一化，其归一化
量子力学第二章 波函数和薛定谔方程
2. 入射电子流强度大，很快显示衍射 图样.
电子源
P
P
O
感
Q光QBiblioteka 屏在电子衍射实验中，照相底片上
r 点附近衍射花样的强度 正比于该点附近感光点的数目， 正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在 r 点附近的几率。
波动观点
明纹处：电子波强|ψ(x,y,z,t)|2大
粒子观点
电子出现的概率大
暗纹处：电子波强|ψ(x,y,z,t)|2小
平方成比例。
（三）波函数的性质
（1）几率和几率密度
根据波函数的几率解释，波函数有如下重要性质： 在 t 时刻，r 点，dτ=dxdydz体积内，找到由波函数Ψ(r,t)描 写的粒子的几率是：
dW (x, y, z, t) C 2 (x, y, z, t) 2 d 其中C是比例系数。
在 t 时刻 r 点，单位体积内找到粒子的几率是：
是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那 么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，与实验 事实相矛盾。 实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在 一个原子内，其广延不会超过原子大小≈1 Å 。
电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？
“ 电子既不是粒子也不是波 ”，既不是经典的粒子也 不是经典的波， 但是我们也可以说，“ 电子既是粒子也 是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。” 这个波不再 是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。
(x, y, z,t)
dW(x, y, z,t)
d
C2 (x, y, z,t) 2
几率密度 probability density
在体积 V 内，t 时刻找到粒子的几率为：
W (t) dW (x, y,z,t)d C2 (x, y, z,t) 2 d
量子力学-波函数和薛定谔方程
1. 单电子衍射实验
我们再看一下电子的衍射实验
1. 入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长 时间亦显示衍射图样;
2. 入射电子流强度大，很快显示衍射图样。
P
P
电子源
O
Q 图
感 光 屏 Q
单电子衍射实验
单电子衍射实验结果分析：
实验所显示的电子的波动性是许多电子地同一次实 验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中 的统计结果。波函数正是为描写粒子的这种行为而引进 的。 (1)“亮纹”处是到达该处的电子数多，或讲电子 到达该处的概率大；“暗纹”处是到达该处的电子数少， 或讲电子到达该处的概率小。 (2)衍射图样由电子波动性引起， “亮纹”处表示 该处波强度|Ψ(r)|2大；“暗纹”处表示该处波强度|Ψ(r)|2 小，所以，电子到达屏上各处的概率与波的强度成正比。
量子力学
Quantum Mechanics 第二章
第二章 波函数 和薛定谔方程
§2.1 波函数的统计解释 §2.2 态叠加原理 §2.3 薛定谔(Schrodinger)方程 (S-方程) §2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律 §2.5 定态薛定谔方程 §2.6 一维无限深势阱 §2.7 线性谐振子 §2.8 势垒贯穿 §2.9 例题
自由粒子的波函数无法正常归一化
自由粒子德布罗意平面波为
Ae
i ( p r Et )
归一化条件为
d =1
2
2
A
d
所以德布罗意平面波无法正常归一化。 （具体如何处理后面将讨论）箱归一化方法
四. 多粒子体系的波函数
(r1 , r2 ,, rN , t ) 描述N个粒子组成的体系的运动状态 玻恩统计解释：
量子力学电子教案波函数和 薛定谔方程
波函数和 薛定谔方程
微观粒子的基本属性不能用经典语言确切描述。
量子力学用波函数描述微观粒子的运动状态，波函数所 遵从的方程——薛定谔方程是量子力学的基本方程。 一、 物质波的波函数及其统计解释
1. 波函数： 概率波的数学表达形式， 描述微观客体的运动状态
(r , t ) ( x, y, z, t )
对屏上电子数分布 作概率性描述
一般 t 时刻,到达空间 r（x,y,z）处某体积dV内的粒子数 ： 2 d N N | | d V
| ( x, y, z, t ) | *
2
dN N dV
| ( x, y, z, t ) |
2
的物理意义:
• t 时刻，出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的 粒子数与总粒子数之比 • t 时刻，粒子出现在空间（x,y,z）点附近单位体积 内的概率 • t 时刻，粒子在空间分布的概率密度
2. 波函数的强度——模的平方 2 波函数与其共轭复数的积 | | * 例：一维自由粒子：
| ( x, t ) | * 0e
2 i ( E t p x x ) i h ( E t p x x )
0e
0
2
3. 波函数的统计解释
1 2
| | | 1 2 | 1 1 * 2 2 * 1 2 * 1 * 2
2 2
干涉项
4、 波函数的归一化条件和标准条件 归一化条件 粒子在整个空间出现的概率为1
|
V
| dV
2
V
dN N dV
即
三维定态薛定谔方程
一般形式薛定谔方程
量子力学课件1-2章-波函数-定态薛定谔方程
V (x,t) (x,t)
假定在 t 0 时刻波函数归一化,随时间演化时它能否保持归一化？ 答案：薛定谔方程自动保持波函数的归一化.
证明:
d (x,t) 2 dx (x,t) 2 dx.
dt
t
2 * * *
i
t
( x, t )
2
2m
d2 dx2
V
( x, t )
接收器上从来没有在两个以上地方同时接收到电子的一部分。电子表现
出“粒子性”。
2）电子表现出的干涉是自己与自己的干涉，不是不同电子之间的
干涉，“波动性”是单个电子的行为。
问题：一个电子怎样通过双缝产生干涉现象呢？ 结论：微观粒子与物质相互作用时，表现粒子性；运动过程中体现波动性。
§ 3 概率
假设一个屋子中有14个人，他们的年龄分布为：
j2 j2P( j). 0
注意：一般情况下平方的平均是不等于平均的平方的。
普遍地, 可以给出j的函数的平均值
f ( j) f ( j)P( j).
0
显然，两个图具有同样的中值、平均值、最可几值和 同等数目的元素，如何表示出分布对平均值“弥散”程度 的不同？
j j j ,
2 (j)2 . 分布方差
经典物理描述物体运动的范式和途径：
宏观物体，经典力学： （1）求出任意时刻物体的位置 x(t)
（2）求出速度v dx ，动量p mv ，动能 T 1 mv2
dt
2
方法: 牛顿方程
m
d2x dt 2
V (x,t) x
,
F(x,t) V (x,t) x
初始条件 x(0), v(0)
等等，
微观粒子,量子力学:
14岁 1人，
量子力学第2章 波函数与Schrodinger方程-1
1. 波由粒子组成
如水波，声波等 矛盾：不能解释长时间单个电子衍射实验 反例：氢原子
2. 粒子由波组成
粒子的运动速度即波包的群速度
d k k 矛盾： v g dk m
反例：自由粒子
3
波包发散
3
2.1.2．几率波，多粒子系的波函数
电子究竟是什么东西呢？ 是粒子？还是波？
经典概念 1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
1. 扫描电子显微镜
17
SEM
17
电子显微镜下的 流行感冒病毒
18
电子显微镜下 的乙肝病毒
18
电子显微镜下的花粉
19
19
电子显微镜下的灯泡钨丝
20
20
电子显微镜下的光盘表面
21
21
电子显微镜下放大50k倍才观察到碳纳米管的真面目 22
22
2. 扫描隧道显微镜
STM
23
23
0 10
30
50
70
90
(nm)
24
硅晶体表面的STM扫描图象
24
神经细胞的STM扫描图象
25
25
操纵单个原子写出的“100”、“中国”
26
26
镶嵌了48个 Fe 原子的 Cu 表面的扫 描隧道显微镜照片。48 个 Fe 原子形 成“电子围栏”，围栏中的电子形成驻波。
27
27
1959年费曼的演讲《在底部还有很大的空间》
15 15
波函数的意义
2 r , t r , t r , t :几率密度
z
Ψ dV
t 时刻，在 r 端点处单位体
积中发现一个粒子的几率。
量子力学讲义I.波函数与Schrodinger方程（新）
量子力学讲义I.波函数与Schrodinger方程（新）I.波函数与Schrodinger方程1. 经典波有波函数吗？量子波函数与经典波函数有什么异同？答：波函数就其本义而言不是量子力学特有的概念．任何波都有相应的波图执只是习惯上这一术语通常专用于描述量子态而不常用于经典波．经典波例如沿轴方向传播的平面单色波，波动动量对和的函数——波函数可写为，其复指数形式为，波函数给出了传播方向上时刻在点处的振动状态。
经典波的波函数通常称之为：波的表达式或波运动方程．量子力学中，把德布罗意关系 p ＝k 及 E ＝ω 代入上式就得到自由粒子的波函数 ( 自由粒子的波的表达式 ).经典波与概率狡的唯一共性是叠加相干性。
但概率波函数是态函数，而态的叠加与经典波的叠加有着本质的差别．经典波函数描述的是经典波动量对时空变量的函数关系．量子力学中的概率波函数其意义不同于经典物理中的任何物理量．概率波函数虽是态函执但本身不是力学量．态函数给出的也不是物理量间的关系．概率波函数的意义是：由波函效描述微观体系各种力学量的概率分朽．作为一种约定的处理方法，经典波可表为复指数函数形式但只有它的实部才有物理意义．而概率波函数一般应为复函数．非相对论量子力学中，粒子不产生出不泯灭．粒子一定在全空间中出现，导致了概率被函数归一化问题，而经典波则不存征这个问题．概率波函数乘上一常数后，粒子在空间各点出现的相对概率不变．因而，仍描述原来的状态．而经典波中不同的波幅的波表不同的波动状态，振幅为零的态表示静止态．而量子力学中，振幅处处为零的态表示不存在粒子．另外经典波函数与量子被函数满足各自的、特征不同的波方程．2 ．波函数的物理意义——微观粒子的状态完全由其被函数描述，这里“完全'的含义是什么？波函数归一化的含义又是什么 ?答：按照波函数的统计解释波函数统计地描述了体系的量子态．如已知单粒子 ( 不考虑自旋 ) 波函数为，则不仅可确定粒子的位置概率分布，而且如动员等粒子其他力学且的概率分布也均可通过而完全确定．出于量子理论与经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果．而只要已知体系波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息．从这个意义上着，有关体系的全部信息显然都已包含在波函数中，所以我们此微现粒子的状态完全由其波函数描述，并把波函数称为态函数．非相对论量子力学中粒子不产生、不泯灭．根据波函数的统计解释，在任何时刻，粒子一定在空间出现，所以，在整个空间中发现粒子是必然事件．概率论中认为必然事件的概率等于1 ．因而，粒子在整个空间中出现的概率即概率密度对整个空间积分应等于1 ．式中积分号下的无限大符号表示对整个空间积分．这个条件称为归一化条件．满足归一化条件的波函数称为归一化波函数．显然，平方可积波函数才可以归一化．3 .证明从单粒子薛定谔方程得出的粒子速度场是非旋的，即求证，其中，为几率密度，为几率流密度。
2-1波函数和Schrodinger方程
微观粒子的状态用波函数 (r,t)完全描述。
52
11
不过它所描写的是大量粒子的统计行为。 对于单个粒子只能给出几率性的答复。
几率密度用 r,t 2 r,t r,t 表示，
其物理涵义是(见下图）：
z
Ψ
r
dV
t 时刻，在 r点处单位体积
中发现一个粒子的几率。
而t 时刻在 r点附近dV
p
22
4、不确定度关系（Uncertainty principle） 按照波函数的几率解释，经典轨道将会抛弃。 但由于波粒二象性，经典概念又不能全被抛弃。 那么，经典概念能多大程度上适用于量子力学？
Heisenberg将其形象地概括为 不确定度关系。
Werner Karl Heisenberg德国人 （1901-1976）
~
R
52
30
而由氢原子的球对称性质，得 Pr 0
(Pr )2
(Pr )2
(Pr )2
(Pr )2
2 R2
假设核静止，按非相对论，基态电子能量为
E Pr2 e2 2m 4π0r
作为数量级估算，可取
e2 e2 40r 40 R
则
2
e2
E
2mR 2 4π0R
52
31
即
E
2 2mR
2
e2 4π0 R
最稳定，即能量最低
令
dE dR
0
得
r0
4π 02
me2
0.53
Å
E mi n
2 2mR 2
e2 4π0 R
e2 8π0 R
13.6eV
52
32
5、力学量的平均值和算符的引进
量子力学中的薛定谔方程与波函数解析
量子力学中的薛定谔方程与波函数解析在量子力学中，薛定谔方程（Schrodinger Equation）是描述微观粒子行为的基本方程。
它以奥地利物理学家厄尔温·薛定谔（Erwin Schrodinger）的名字命名，是量子力学理论的核心。
薛定谔方程的一般形式为：iħ∂Ψ/∂t = -ħ²/2m ∇²Ψ + VΨ其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常量除以2π，∂Ψ/∂t表示波函数关于时间的偏导数，m是粒子的质量，∇²Ψ表示波函数的拉普拉斯算子，V是势能函数，Ψ表示波函数。
波函数Ψ是描述量子粒子的状态的数学函数。
它包含了粒子的位置、动量、自旋等信息。
根据量子力学的基本假设，波函数Ψ的模的平方|Ψ|² 可以解释为在不同位置找到粒子的概率密度。
薛定谔方程是一个偏微分方程，求解它得到的波函数解析表达式可以提供关于粒子行为的重要信息。
然而，对于复杂系统，薛定谔方程的解析求解并不容易。
因此，通常采用数值方法或近似方法进行求解。
对于简单系统，我们可以得到薛定谔方程的解析解。
以一维简谐振子为例，假设势能函数V(x) = 1/2 mω²x²，其中ω是振动频率。
代入薛定谔方程，可以得到一维简谐振子的波函数解析解：Ψ(x) = (mω/πħ)^(1/4) * exp(-mωx²/2ħ) * H(n) ((mω/ħ)^(1/2)x)其中H(n)是埃尔米特多项式（Hermite Polynomial），n为非负整数。
除了一维简谐振子，薛定谔方程的解析解还可以得到其他简单系统的波函数解。
例如，无限深势阱、方势垒、氢原子等都有其特定的波函数解析表达式。
对于更复杂的系统，如多粒子体系或相互作用系统，薛定谔方程的解析解非常困难。
这时，我们常常采用数值方法，如薛定谔方程的数值求解算法（如分裂算子法、变分法等）来获得波函数的近似解。
总之，薛定谔方程与波函数解析是量子力学研究中的重要内容。
量子力学中的波函数与薛定谔方程
量子力学中的波函数与薛定谔方程量子力学是一门研究微观粒子行为和性质的科学，它有着广泛的应用，涉及领域包括原子物理、凝聚态物理以及纳米技术等。
在量子力学中，波函数和薛定谔方程是两个核心概念，它们在理解和描述微观粒子的行为中起着重要的作用。
一、波函数的概念及性质波函数是描述微观粒子的状态的数学函数，通常用Ψ表示。
在三维空间中，波函数是位置矢量r和时间t的函数，即Ψ(r, t)。
波函数一般是复数，其绝对值的平方表示粒子出现在某个位置的概率密度。
根据波函数的性质，可以得出以下几点：1. 法波叠加性：如果物理系统同时存在多个可能的状态，波函数可以叠加这些状态，并通过线性组合来描述。
这是量子力学与经典力学的明显区别之一。
2. 规范化条件：波函数必须满足归一化条件，即∫Ψ*(r, t)Ψ(r, t)dV = 1，其中dV表示三维空间的体积元。
3. 相位不确定性：波函数乘以一个常数因子并不改变物理量的概率密度，因此相位的选择并不固定，只有波函数的相位差才是物理可观测的。
二、薛定谔方程的基本原理薛定谔方程是量子力学中最基本的方程之一，描述了波函数随时间演化的规律。
薛定谔方程的一般形式为：iħ∂Ψ(r, t)/∂t = -ħ²/2m∇²Ψ(r, t) + V(r)Ψ(r, t)其中ħ是普朗克常数的约化常数，m是粒子的质量，V(r)是粒子在位置r上的势能。
薛定谔方程是一个偏微分方程，通过求解薛定谔方程可以得到粒子的波函数，从而获得粒子的态信息。
薛定谔方程的解决方法有很多种，常见的包括分离变量法、变换法和数值方法等。
波函数的演化可以用薛定谔方程的解析解或数值解来描述，从而预测粒子的行为和性质。
三、波函数与量子态的关系波函数不仅仅是描述微观粒子的数学函数，它还与量子态有着密切的关系。
量子态可以看作是波函数的集合，表示了物理系统的所有可能状态。
波函数的演化过程中，量子态也相应地发生变化。
例如，一个具有确定能量的量子态会随着时间的推移而演化为多个能量本征态的叠加。
第二章 波函数与Sch rdinger方程
同理
*xd3r
x
( , x )
*d3r
( , )
V ( ,V ) ( , )
32
另外，若波函数没有归一化，且
| |2 d3r A
则
(
1
| |)2 d3r 1
A
故归一化波函数为
1
A
33
但对于动量，其平均值
p
|
(r )
2
|
pd
3r
试思考：为什么？
解释：|
(r
)
|2
不是动量的几率分布函数，且
即不同的k运动速度不同，导致波包扩散，粒 子变胖。
但实验上观测到的电子总处于空间一个小区域 中，其广延不超过原子大小~1Å 衍射实验也说明单粒子打到靶上就是一点。
故不能把电子看成三维空间的物质波包。
4
②不能认为波是由一群粒子组成。否则必 然导致波动是由粒子间的相互作用产生的
结论：微观粒子既是粒子又是波。
,
r2
dr2）中，同时
粒子
N
出现于（rN
, rN
drN）中的几率
13
归一化条件为
V
|
(r1
,
r2
,,
rN
,
t
)
|2
d3r1d3r2 ,d3rN
1
用内积表示为
( , ) *d 1
一般定义内积
(u, v) u *vd 是一个常数
﹟
14
3、动量的几率分布
由前述，若体系的状态用 (r)来描述，则
定性，因为
(r )e
i
(r )
12
（2）多粒子系的波函数
在t 时刻，多粒子系的波函数可以表示为
量子力学(第一章)
这两者是不相容的。描述微观粒子既不能 用经典粒子，也不能用经典波，当然也不能用经 典粒子和经典波来描述。
4
二、电子双缝实验
如图a所示。 用一电子枪(由一加热的钨丝和一加 速电极构成)向开有双缝的屏发射电子， 再后面是接受电子的后障，先在其上安 装一个可移动的检测器，它可以是盖革 计数器，或者更好一点，与扩音器相连 的电子倍增器，每当电子到来的时候， 检测器发出咔哒的声响。
10
三、电子双缝实验干涉图样的Born几率诠释 电子通过双缝后的数密度分布呈现干涉图样反映了电 子的波粒二象性, 从而我们可得到物质波的Born几率诠释。 后障上某点x邻域内的干涉花样强度 正比于 该点x邻域内的电子数密度大小, 正比于出现在该点x邻域内的电子数目， 正比于 电子出现在该点x邻域内的几率。 后障上某点x邻域 正比于 电子出现在该点x邻域内的几率 内的干涉花样强度 电子
r12 r1 r 2
7
当实验使电子从确定的狭缝通过时,电子表现得 象粒子。当实验不确定使电子从哪一条狭缝通过时, 电子表现得象波。
怎样理解电子在上述双缝干涉实验中的这种行为?
如果说电子是“粒子”，我们能否说：每个电子不是 通过缝1，就是通过缝2，两者必居其一。那么，干涉 效应是怎样产生的呢?也许电子在通过双缝时分成了两 半，每缝通过一半。为什么检测器接受的总是整个的 电子，从未发现半个?
如果说电子是“波”，但实验测得的是一个一个的电子。
8
“which way”实验
在一条缝后放置一个足够强的照明光源。这样，穿过 该缝的电子必定同时散射光子。探测有无散射光子原 则上就可判定是从哪条缝穿过的。 上世纪九十年代中后期的 “哪条路检测器” 实验结果 是，每个电子都只穿过一条缝,从未观察到某个电子同 时穿过两缝的情况。该实验还表明,如果确定粒子从哪 条路通过，那么就无干涉效应,即退相干,如果实验不确 定粒子从哪条路通过,那么就出现干涉效应。
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I.波函数与Schrodinger方程
1. 经典波有波函数吗？量子波函数与经典波函数有什么异同？
答：波函数就其本义而言不是量子力学特有的概念．任何波都有相应的波图执只是习惯上这一术语通常专用于描述量子态而不常用于经典波．经典波例如沿轴方向传播的平面单色波，波动动量对和的函数——波函数可写为，其复指数形式为，波函数给出了传播方向上时刻在点处的振动状态。
经典波的波函数通常称之为：波的表达式或波运动方程．量子力学中，把德布罗意关系 p ＝k 及 E ＝ω 代入
上式就得到自由粒子的波函数 ( 自由粒子的波的表达式 ).
经典波与概率狡的唯一共性是叠加相干性。
但概率波函数是态函数，而态的叠加与经典波的叠加有着本质的差别．经典波函数描述的是经典波动量对时空变量的函数关系．量子力学中的概率波函数其意义不同于经典物理中的任何物理量．概率波函数虽是态函执但本身不是力学量．态函数给出的也不是物理量间的关系．概率波函数的意义是：由波函效描述微观体系各种力学量的概率分朽．作为一种约定的处理方法，经典波可表为复指数函数形式但只有它的实部才有物理意义．而概率波函数一般应为复函数．非相对论量子力学中，粒子不产生出不泯灭．粒子一定在全空间中出现，导致了概率被函数归一化问题，而经典波则不存征这个问题．概率波函数乘上一常数后，粒子在空间各点出现的相对概率不变．因而，仍描述原来的状态．而经典波中不同的波幅的波表不同的波动状态，振幅为零的态表示静止态．而量子力学中，振幅处处为零的态表示不存在粒子．另外经典波函数与量子被函数满足各自的、特征不同的波方程．
2 ．波函数的物理意义——微观粒子的状态完全由其被函数描述，这里“完全'的含义是什么？波函数归一化的含义又是什么 ?
答：按照波函数的统计解释波函数统计地描述了体系的量子态．如已知单粒子 ( 不考虑自旋 ) 波函数为，则不仅可确定粒子的位置概率分布，而且如动员等粒子其他力学且的概率分布也均可通过而完全确定．出于量子理论与经典
理论不同，它一般只能预言测量的统计结果．而只要已知体系波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息．从这个意义上着，有关体系的全部信息显然都已包含在波函数中，所以我们此微现粒子的状态完全由其波函数描述，并把波函数称为态函数．非相对论量子力学中粒子不产生、不泯灭．根据波函数的统计解释，在任何时刻，粒子一定在空间出现，所以，在整个空间中发现粒子是必然事件．概率论中认为必然事件的概率等于 1 ．因而，粒子在整个空间中出现的概率即概率密度对
整个空间积分应等于1 ．式中积分号下的无限大符号表示对整个空间积分．这个条件称为归一化条件．满足归一化条件的波函数称为归一化波函数．显然，平方可积波函数才可以归一化．
3 .证明从单粒子薛定谔方程得出的粒子速度场是非旋的，即求证，其中，为几率密度，为几率流
密度。
证：几率密度和几率流密度的表达式为：
，，
因此速度场为：
其旋度为：
4 ．粒子在一维势场 V(x) 中运动，试证明：属于不同能级的束缚态波函数互相正交．
证：设,分别为属于能级，的束缚态波函数．由于是一维束缚态，都是实函数，故只需证明
均应满足定态薛定谔方程，即
（ 1 ）
（ 2 ）
以左乘式（ 1 ），左乘式（ 2 ），再相减，即得
对全空间积分，得到
（束缚态波函数在无穷远处必须趋于 0 ）。
因此，，就有
（ 3 ）
亦即与正交。
5. 粒子在深度为 Vo ，宽度为 a 的直角势阱 ( 如下图 ) 中运动，求：
(a) 阱口刚好出现一个束缚态能级 ( 即) 的条件。
(b) 束绍态能级总数．并和无限深势阱作比较。
解：粒子能量 E 小于 Vo 时为束缚态， E 大于 Vo 时为游离态．定态薛定房方程为：
（ 1 ）
令（ 2 ）
式（ 1 ）可以写成
（阱内）（ 3 ）
（阱外）（ 4 ）
无限远处束缚态波函数应趋于 0 ，因此式 (4) 的解应取为
（ 5 ）
当阱口刚好出现束缚态能级时，，因此
（ 6 ）
阱内波函数可由式 (3) 解出，当，解为
（ 7 ）
阱内、外和应该连续，而由式 (6) 可知，处将这条件用于式 (7) ，即得
（ 8 ）
亦即阱口刚好出现束缚能级的条件为
（ 9 ）
即
（ 10 ）
一维势阱至少有一个束绍能级．因此，如，只存在一个束缚态，偶宇称 ( 基态 ) ．如，除基态外。
阱口将再出现一个奇宇称态能级，共二个能级．如，阱口将出现第三个能级 ( 偶字称 ) ．依此类推．由此可知，对于任何扩值，束缚态能级总数为
, (11)
其中符号表示不超过的最大整数
当粒子在宽度为 a 的无限深势阱中运动时，能级为
则的能级数为
(12)
也就是说，如果只计算的能级数，则有限深 ( ) 势阱的能级数比无限深势阱的能级数多一个。
注意，后者的每一个能级均一一对应地高于前者的相应能级。
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