复杂网络同步问题研究王立夫
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复杂网络同步问题的研究
答 辩 人: 王立夫 指导教师: 井元伟 教授
绪论 主要工作 结论与展望
绪论
1.1 复杂网络同步背景
复杂网络同步能解释许多自然现象
横梁上的钟摆一段时间后同步摆动 萤火虫的同时发光 夜晚青蛙蟋蟀的齐鸣 观众有节奏的鼓掌
1.2 复杂网络同步意义
复杂网络同步的应用
激光系统 超导材料 通信系统等
当 0 时，网络为加权有向网络； 当 0 时，网络为无权无向网络；
(2.9) (2.10)
第2章 提高复杂网络同步能力
2.3 基于节点特征路长提高网络同步能力
把式(2.10)写成矩阵的形式为：
G D L
(2.11)
其中：D
角阵 。
diag
d1
d2
dN 为每个节点的特征路长所组成的对
H 对称矩阵 H是半负定矩阵 G的每行和为0 网络是连通的
G的特征值是实的。 G的特征值为非正实数。
G的最大的特征值为 1 0
i 0(i 2,3, N)
第2章 提高复杂网络同步能力
2.2 基于节点介数提高网络同步能力
无标度网络，度服从 P(k) k ，度的分布很不均匀。 这种度分布很不均匀的网络叫做不均匀网络或称为异质网络。
值，使特征值比率减小，即增强了网
络的同步能力，且当 0时同步能
力达到最优值。
第2章 提高复杂网络同步能力
2.2 基于节点介数提高网络同步能力
应用于均匀网络中：随机网络和小世界是典型的均匀网络
图2.2 随机网络 R 与 之间的函数关系图
图2.3 小世界网络 R 与 之间的函数关系图
都存在适当 值，增强了网络的同步能力，且当 0 时同步能
Exp.Stable over [0, ) (2) || vk (t)ukT (t0 ) || hkedk (tt0 ),
0 hk , 0 dk ck
引理3.2:
|k (t) | M and em{Re k (t)} 0 Exp.Stable over [0, )
det(D L I ) det(D /2LD /2 I )
(2.12)
非对称的耦合矩阵G的特征值与对称矩阵H D /2LD /2 的特征值相等。
H 对称矩阵 H是半负定矩阵 G的每行和为0 网络是连通的
G的特征值是实的。 G的特征值为非正实数。
G的最大的特征值为 1 0
第2章 提高复杂网络同ห้องสมุดไป่ตู้能力
2.1 预备知识
N个相同的节点的构成动态网络，其中第i个节点的状态方程：
n
xi f (xi ) Gijh(x j )
(2.1)
i 1
如果当 t 时有 x1(t) x2 (t) xN (t) s(t) 则称动态网络(2.1)达
到完全同步。
3.2 同步状态稳定性分析
定 理 3.2 ： 考 虑 动 态 网 络 系 统 (3.12) ， 令 耦 合 矩 阵 A 的 特 征 值 为
0 1 2 3 N 。 如 果 对 于 k 2,3, , N 有 当 t>0, 存 在 M 使 | Re k,l (t) | M 和 em{Re k,l (t)} 0 ，那么动态网络动态网络的同步状态是指 数 稳 定 的 。 其 中 ： {k,l (t)}ln1 是 VPDOs PJk 的 SD 谱 ， PJk Jk (t) ， Jk (t) Df (s(t)) ck
图2.4 不同情况下特征值比率 R 的函数关系图
不同连接概率p的 不同近邻边数k的 不同网络规模N的
都存在适当 值使得网络的同步能力增强
第2章 提高复杂网络同步能力
2.4 本章小结
两种提高复杂网络的同步能力的加权方法。 基于节点介数的加权方法。
对于度分布是异质的和匀质的网络都是有效的。 并得出最优条件。 基于节点的特征路径长度的加权方法。 对于不同近邻耦合边数，不同的连接概率，以及不同规模 的小世界网络，都能有效的提高其同步能力。
复杂网络同步的危害
伦敦“千年桥” Internet上的路由器
绪论
绪论
1.3 复杂网络同步研究现状
复杂网络系统同步的特点 提高复杂网络同步能力 网络结构与同步能力的关系 复杂网络同步控制 复杂网络同步的稳定性分析 复杂网络同步的应用
绪论
1.4 本文的主要工作
第2章 提高复杂网络同步能力 第3章 基于SD谱和PD谱的复杂网络同步判据 第4章 不确定复杂动态网络同步 第5章 延时耦合不确定动态复杂网络指数同步 第6章 复杂网络的输出同步
若无权无向连通网络，那么G的特征根为实数，可记为：
0 1 2 3 N
当同步化区域为 S (2,1) 2 1 0
则系统(2.1)的同步状态渐近稳定。
时，若
R N 2
2 1
(2.2)
网络同 步能力
R N 2
第2章 提高复杂网络同步能力
如果对于 k 2,3, , N 满足下面条件，那么动态网络的同步状态是指数稳定的。
（1）存在 0 ck,l 满足 em{Re k,l (t)} ck,l 0
（2）存在 hk,l 0 和
0 dk,l ck ,l
对所有的 t
t0
满足 ||
pk,l (t)qkT,l (t0 ) ||
相反，度分布均匀的网络叫做均匀网络或称为同质网络。
T. Nishikawa and A.E. Motter. 提出：度 分布的不均匀性对网络同步性质有重要 影响: 度分布越不均匀, 网络同步的能 力越差，也就越难于实现同步。
图2.1 无标度网络 R 与 之间的关系图
对于不同无标度网络，都存在适当
令：e1 j x1 j x2 j，e2 j x2 j x3 j， e3 j x3 j x4 j e4 j x4 j x1 j j 1, 2,3
1
e11
e21
0.5
e31
e41
0
ei1
-0.5
ei2
ei3
1
e12
0.5
e22
e32
e42
0
-0.5
-1
0
2
4
6
8
Time
N
, xN ) bijx j j 1
N
, xN ) bij H (x j ) j 1
线性耦合的网络模型 非线性耦合的网络模型
内部耦 合相同
N
hi0 bi0 jx j j 1
N
hj0 bj0 j H (x j ) j 1
内部耦 合不同
第4章 不确定复杂动态网络同步
0 1 2 3 N
如果下面的N-1个线性时变系统
w [Df (s(t)) ck]w
k 2,3, , N
是指数稳定的，那么动态网络的同步状态也是指数稳定的。
(3.13)
第3章 基于SD谱和PD谱复杂网络同步判据
3.2 同步状态稳定性分析
定理 3.1 考虑动态网络(3.12)，令耦合矩阵 A 的特征值为 0 1 2 3 N
第3章 基于SD谱和PD谱复杂网络同步判据
3.1 预备知识
LTV系统的SD谱和PD谱
LTI系统稳定性判定准则：所有的特征值在左半平面。
定义
em{ (t)} lim sup 1 t0T ( )d
T T t0 0
t0
引理3.1:
(1)em{Re k (t)} ck 0
假设4.1 存在非负常数 rij ( j 1, 2, N ) 满足
|| hi (x1, x2, , xN , s) ||
h edk (tt0 ) k ,l
其中：{k,l (t)}ln1 是 VPDOs PJk 的 PD 谱，PJk Jk (t) ，Jk (t) Df (s(t)) ck
pk ,l
(t
)
和
qT k ,l
(t)
分别是
PD
特征值
k
,l
(t)
的列
PD
特征向量和行
PD
特征向量。
第3章 基于SD谱和PD谱复杂网络同步判据
(3.9) (3.10) (3.11)
第3章 基于SD谱和PD谱复杂网络同步判据
3.1 预备知识
网络模型
由N个相同的节点构成的线性耦合网络，其中第i个节点的状态方程：
n
xi f (xi ) c aijx j i 1
(3.12)
引理3.3[48] 考虑网络动态方程（3.12），令耦合矩阵A的特征值为
第2章 提高复杂网络同步能力
2.2 基于节点介数提高网络同步能力
把（2.4）式 写成矩阵的形式为：
G DL
其中：D diagd1 d2
dN
， di
B i B
jKi j
由： det(DL I ) det(D1/2LD1/2 I )
(2.6) (2.7)
非对称的矩阵G的特征值与对称矩阵 H D1/2LD1/2 的特征值相等。
i 0(i 2,3, N)
第2章 提高复杂网络同步能力
2.3 基于节点特征路长提高网络同步能力
N 500, k 100
p 0.3
N 500, p 0.5
0 (* )
p 0.5 p 0.8
2.5 ()
k 40, p 0.5
0 (* ) 2.5 ()
力达到最优。
第2章 提高复杂网络同步能力
2.3 基于节点特征路长提高网络同步能力
定义节点 i 的特征路径长度
di
1 N
N
dij
j 1
其中： dij 为节点i和节点j之间的最短路径长度。
为提高网络的同步能力，令式(2.1) 中
Gij Lijdi 其中：di 为节点i 的特征路径长度； 为可调参数。
矩阵为
2 1 1 0
A＝
1
3
1
1
1 1 3 1
0
1
1
2
A 的特征值为 2 2 , 3 4 , 4 4
特征值<0 PJk w 0 k=2,3,4 系统稳定 xi 状态同步。
第3章 基于SD谱和PD谱复杂网络同步判据
3.3 数值仿真
图3.2 状态x2同步误差图
1
e13
e23
0.5
e33
e43
0
-1
0
2
4
6
8
Time
图3.1 状态x1同步误差图
-0.5
-1
0
2
4
6
8
Time
图3.3 状态x3同步误差图
第3章 基于SD谱和PD谱复杂网络同步判据
3.4 本章小结
研究问题：线性耦合的复杂网络模型。 解决方法：利用微分代数谱理论中线性时变系统的PD谱和SD 谱所给出的稳定性定理。 主要贡献：得到两个新的复杂网络指数同步判据，这两个判 据无需验证N-1个时变系统的稳定性，而只要验证PD谱实部 的正负和其特征向量的有界性，或SD谱实部的正负及有界性。
第4章 不确定复杂动态网络同步
4.1 模型描述
考虑不确定复杂动态网络模型，其每个节点状态方程如下 ：
xi f (xi ,t) hi (x1, x2 , , xN ) t 0
i 1, 2, N
(4.1)
不确定模型（4.1）它包括多种复杂网络的模型
hi (x1, x2 , hi (x1, x2 ,
4.2 线性控制器的设计
带控制器的网络系统描述如下式 xi f (xi , t) hi (x1, x2, , xN ) ui t 0
误差系统为 ei (t) f (xi , s, t) hi (x1, x2, , xN , s) ui
线性化误差系统(4.7)得 ei (t) A(t)ei (t) hi (x1, x2, , xN , s) ui
2.2 基于节点介数提高网络同步能力
节点的介数 Bn ginj
(i, j)
其中：ginj 为节点i和节点j之间通过节点n的最短路径的条数。
为提高网络的同步能力，令式(2.1) 中
Gij aij
Bi B
ji j
其中：i 为与节点i相邻的节点的集合。 为可调参数。
由于在网络 中引入权重 使得耦合矩 (2.4) 阵 G 由 原 来 的对称矩阵 变成为一般 的非对称的 矩阵。
第3章 基于SD谱和PD谱复杂网络同步判据
3.3 数值仿真
考虑第 i 个节点的动态方程：
xi
xi1
2
xi 2
c
N
aijx j
3xi3 j1
（3.22）
假设内部耦合矩阵 diag(1,1,1) ，网络为 4 个节点的网络，耦合强度 c=0.2，连接
答 辩 人: 王立夫 指导教师: 井元伟 教授
绪论 主要工作 结论与展望
绪论
1.1 复杂网络同步背景
复杂网络同步能解释许多自然现象
横梁上的钟摆一段时间后同步摆动 萤火虫的同时发光 夜晚青蛙蟋蟀的齐鸣 观众有节奏的鼓掌
1.2 复杂网络同步意义
复杂网络同步的应用
激光系统 超导材料 通信系统等
当 0 时，网络为加权有向网络； 当 0 时，网络为无权无向网络；
(2.9) (2.10)
第2章 提高复杂网络同步能力
2.3 基于节点特征路长提高网络同步能力
把式(2.10)写成矩阵的形式为：
G D L
(2.11)
其中：D
角阵 。
diag
d1
d2
dN 为每个节点的特征路长所组成的对
H 对称矩阵 H是半负定矩阵 G的每行和为0 网络是连通的
G的特征值是实的。 G的特征值为非正实数。
G的最大的特征值为 1 0
i 0(i 2,3, N)
第2章 提高复杂网络同步能力
2.2 基于节点介数提高网络同步能力
无标度网络，度服从 P(k) k ，度的分布很不均匀。 这种度分布很不均匀的网络叫做不均匀网络或称为异质网络。
值，使特征值比率减小，即增强了网
络的同步能力，且当 0时同步能
力达到最优值。
第2章 提高复杂网络同步能力
2.2 基于节点介数提高网络同步能力
应用于均匀网络中：随机网络和小世界是典型的均匀网络
图2.2 随机网络 R 与 之间的函数关系图
图2.3 小世界网络 R 与 之间的函数关系图
都存在适当 值，增强了网络的同步能力，且当 0 时同步能
Exp.Stable over [0, ) (2) || vk (t)ukT (t0 ) || hkedk (tt0 ),
0 hk , 0 dk ck
引理3.2:
|k (t) | M and em{Re k (t)} 0 Exp.Stable over [0, )
det(D L I ) det(D /2LD /2 I )
(2.12)
非对称的耦合矩阵G的特征值与对称矩阵H D /2LD /2 的特征值相等。
H 对称矩阵 H是半负定矩阵 G的每行和为0 网络是连通的
G的特征值是实的。 G的特征值为非正实数。
G的最大的特征值为 1 0
第2章 提高复杂网络同ห้องสมุดไป่ตู้能力
2.1 预备知识
N个相同的节点的构成动态网络，其中第i个节点的状态方程：
n
xi f (xi ) Gijh(x j )
(2.1)
i 1
如果当 t 时有 x1(t) x2 (t) xN (t) s(t) 则称动态网络(2.1)达
到完全同步。
3.2 同步状态稳定性分析
定 理 3.2 ： 考 虑 动 态 网 络 系 统 (3.12) ， 令 耦 合 矩 阵 A 的 特 征 值 为
0 1 2 3 N 。 如 果 对 于 k 2,3, , N 有 当 t>0, 存 在 M 使 | Re k,l (t) | M 和 em{Re k,l (t)} 0 ，那么动态网络动态网络的同步状态是指 数 稳 定 的 。 其 中 ： {k,l (t)}ln1 是 VPDOs PJk 的 SD 谱 ， PJk Jk (t) ， Jk (t) Df (s(t)) ck
图2.4 不同情况下特征值比率 R 的函数关系图
不同连接概率p的 不同近邻边数k的 不同网络规模N的
都存在适当 值使得网络的同步能力增强
第2章 提高复杂网络同步能力
2.4 本章小结
两种提高复杂网络的同步能力的加权方法。 基于节点介数的加权方法。
对于度分布是异质的和匀质的网络都是有效的。 并得出最优条件。 基于节点的特征路径长度的加权方法。 对于不同近邻耦合边数，不同的连接概率，以及不同规模 的小世界网络，都能有效的提高其同步能力。
复杂网络同步的危害
伦敦“千年桥” Internet上的路由器
绪论
绪论
1.3 复杂网络同步研究现状
复杂网络系统同步的特点 提高复杂网络同步能力 网络结构与同步能力的关系 复杂网络同步控制 复杂网络同步的稳定性分析 复杂网络同步的应用
绪论
1.4 本文的主要工作
第2章 提高复杂网络同步能力 第3章 基于SD谱和PD谱的复杂网络同步判据 第4章 不确定复杂动态网络同步 第5章 延时耦合不确定动态复杂网络指数同步 第6章 复杂网络的输出同步
若无权无向连通网络，那么G的特征根为实数，可记为：
0 1 2 3 N
当同步化区域为 S (2,1) 2 1 0
则系统(2.1)的同步状态渐近稳定。
时，若
R N 2
2 1
(2.2)
网络同 步能力
R N 2
第2章 提高复杂网络同步能力
如果对于 k 2,3, , N 满足下面条件，那么动态网络的同步状态是指数稳定的。
（1）存在 0 ck,l 满足 em{Re k,l (t)} ck,l 0
（2）存在 hk,l 0 和
0 dk,l ck ,l
对所有的 t
t0
满足 ||
pk,l (t)qkT,l (t0 ) ||
相反，度分布均匀的网络叫做均匀网络或称为同质网络。
T. Nishikawa and A.E. Motter. 提出：度 分布的不均匀性对网络同步性质有重要 影响: 度分布越不均匀, 网络同步的能 力越差，也就越难于实现同步。
图2.1 无标度网络 R 与 之间的关系图
对于不同无标度网络，都存在适当
令：e1 j x1 j x2 j，e2 j x2 j x3 j， e3 j x3 j x4 j e4 j x4 j x1 j j 1, 2,3
1
e11
e21
0.5
e31
e41
0
ei1
-0.5
ei2
ei3
1
e12
0.5
e22
e32
e42
0
-0.5
-1
0
2
4
6
8
Time
N
, xN ) bijx j j 1
N
, xN ) bij H (x j ) j 1
线性耦合的网络模型 非线性耦合的网络模型
内部耦 合相同
N
hi0 bi0 jx j j 1
N
hj0 bj0 j H (x j ) j 1
内部耦 合不同
第4章 不确定复杂动态网络同步
0 1 2 3 N
如果下面的N-1个线性时变系统
w [Df (s(t)) ck]w
k 2,3, , N
是指数稳定的，那么动态网络的同步状态也是指数稳定的。
(3.13)
第3章 基于SD谱和PD谱复杂网络同步判据
3.2 同步状态稳定性分析
定理 3.1 考虑动态网络(3.12)，令耦合矩阵 A 的特征值为 0 1 2 3 N
第3章 基于SD谱和PD谱复杂网络同步判据
3.1 预备知识
LTV系统的SD谱和PD谱
LTI系统稳定性判定准则：所有的特征值在左半平面。
定义
em{ (t)} lim sup 1 t0T ( )d
T T t0 0
t0
引理3.1:
(1)em{Re k (t)} ck 0
假设4.1 存在非负常数 rij ( j 1, 2, N ) 满足
|| hi (x1, x2, , xN , s) ||
h edk (tt0 ) k ,l
其中：{k,l (t)}ln1 是 VPDOs PJk 的 PD 谱，PJk Jk (t) ，Jk (t) Df (s(t)) ck
pk ,l
(t
)
和
qT k ,l
(t)
分别是
PD
特征值
k
,l
(t)
的列
PD
特征向量和行
PD
特征向量。
第3章 基于SD谱和PD谱复杂网络同步判据
(3.9) (3.10) (3.11)
第3章 基于SD谱和PD谱复杂网络同步判据
3.1 预备知识
网络模型
由N个相同的节点构成的线性耦合网络，其中第i个节点的状态方程：
n
xi f (xi ) c aijx j i 1
(3.12)
引理3.3[48] 考虑网络动态方程（3.12），令耦合矩阵A的特征值为
第2章 提高复杂网络同步能力
2.2 基于节点介数提高网络同步能力
把（2.4）式 写成矩阵的形式为：
G DL
其中：D diagd1 d2
dN
， di
B i B
jKi j
由： det(DL I ) det(D1/2LD1/2 I )
(2.6) (2.7)
非对称的矩阵G的特征值与对称矩阵 H D1/2LD1/2 的特征值相等。
i 0(i 2,3, N)
第2章 提高复杂网络同步能力
2.3 基于节点特征路长提高网络同步能力
N 500, k 100
p 0.3
N 500, p 0.5
0 (* )
p 0.5 p 0.8
2.5 ()
k 40, p 0.5
0 (* ) 2.5 ()
力达到最优。
第2章 提高复杂网络同步能力
2.3 基于节点特征路长提高网络同步能力
定义节点 i 的特征路径长度
di
1 N
N
dij
j 1
其中： dij 为节点i和节点j之间的最短路径长度。
为提高网络的同步能力，令式(2.1) 中
Gij Lijdi 其中：di 为节点i 的特征路径长度； 为可调参数。
矩阵为
2 1 1 0
A＝
1
3
1
1
1 1 3 1
0
1
1
2
A 的特征值为 2 2 , 3 4 , 4 4
特征值<0 PJk w 0 k=2,3,4 系统稳定 xi 状态同步。
第3章 基于SD谱和PD谱复杂网络同步判据
3.3 数值仿真
图3.2 状态x2同步误差图
1
e13
e23
0.5
e33
e43
0
-1
0
2
4
6
8
Time
图3.1 状态x1同步误差图
-0.5
-1
0
2
4
6
8
Time
图3.3 状态x3同步误差图
第3章 基于SD谱和PD谱复杂网络同步判据
3.4 本章小结
研究问题：线性耦合的复杂网络模型。 解决方法：利用微分代数谱理论中线性时变系统的PD谱和SD 谱所给出的稳定性定理。 主要贡献：得到两个新的复杂网络指数同步判据，这两个判 据无需验证N-1个时变系统的稳定性，而只要验证PD谱实部 的正负和其特征向量的有界性，或SD谱实部的正负及有界性。
第4章 不确定复杂动态网络同步
4.1 模型描述
考虑不确定复杂动态网络模型，其每个节点状态方程如下 ：
xi f (xi ,t) hi (x1, x2 , , xN ) t 0
i 1, 2, N
(4.1)
不确定模型（4.1）它包括多种复杂网络的模型
hi (x1, x2 , hi (x1, x2 ,
4.2 线性控制器的设计
带控制器的网络系统描述如下式 xi f (xi , t) hi (x1, x2, , xN ) ui t 0
误差系统为 ei (t) f (xi , s, t) hi (x1, x2, , xN , s) ui
线性化误差系统(4.7)得 ei (t) A(t)ei (t) hi (x1, x2, , xN , s) ui
2.2 基于节点介数提高网络同步能力
节点的介数 Bn ginj
(i, j)
其中：ginj 为节点i和节点j之间通过节点n的最短路径的条数。
为提高网络的同步能力，令式(2.1) 中
Gij aij
Bi B
ji j
其中：i 为与节点i相邻的节点的集合。 为可调参数。
由于在网络 中引入权重 使得耦合矩 (2.4) 阵 G 由 原 来 的对称矩阵 变成为一般 的非对称的 矩阵。
第3章 基于SD谱和PD谱复杂网络同步判据
3.3 数值仿真
考虑第 i 个节点的动态方程：
xi
xi1
2
xi 2
c
N
aijx j
3xi3 j1
（3.22）
假设内部耦合矩阵 diag(1,1,1) ，网络为 4 个节点的网络，耦合强度 c=0.2，连接