周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 第四章转动参照系系
周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案第三章4-5刚体力学解析
所以可以把所有空间力化为过一点的力和力偶. P点叫简化中心, 力的矢量和叫主矢, 力偶矩的矢量 和叫对简化中心的主矩.
主矢使刚体平动状态发生变化 主矩使刚体转动状态发生变化
2 刚体运动微分方程
如果ri代表刚体中任一质点Pi 对静止系S原点O的位 矢, rC 为质心C对O的位矢, 而ri’ 为Pi 对质心C的位矢, 动 坐标系S’随质心作平动, 其原点与质心C重合.
2
a R
T
a mg 5 m s2
mm
mM 2
h 1 at 2 2.5 m T 40 N
mg
2
例3、一质量为 m 、长为 l 的均质细杆，转轴在 O 点， 距A端 l/3 . 杆从静止开始由水平位置绕O点转动. 求： （1）水平位置的角速度和角加速度. （2）垂直位置时的角速度和角加速度.
述位置仍处于平衡状态，求棍与地面的摩擦系数
解： 受力分析知本题是一共
y
面力系的平衡问题, 取棍子所 在的平面为xy平面, 则
Fx 0, N1 sin 0 f 0
B
N1
Cl
Fy 0, N1 cos0 N2 P 0
对A点
Pl cos0 N1h / sin 0 0
h P
O
l N2
0
x
f
A
第三章 刚体力学
导读
• 空间力系和平行力系的求和 • 刚体运动微分方程和平衡方程 • 简单转动惯量的计算 •转动惯量的计算
§3.4 刚体运动方程与平衡方程
1 力系的简化
F1 F2 F3
将所有空间力作用点都迁移到一点.
力是滑移矢量
F
F
F
F
力可沿作用线移动，不能随意移动
经典教材——周衍柏理论力学教程及参考答案chp-4
第四章思考题4.1为什么在以角速度ω转动的参照系中，一个矢量G 的绝对变化率应当写作G ωG G ⨯+=*dt d dt d 在什么情况下0=*dtd G？在什么情况下0=⨯G ω？又在什么情况下0=dtd G？ 4.2式（4.1.2）和式（4.2.3）都是求单位矢量i 、j 、k 对时间t 的微商，它们有何区别？你能否由式（4.2.3）推出式（4.1.2）？4.3在卫星式宇宙飞船中，宇航员发现自己身轻如燕，这是什么缘故？ 4.4惯性离心力和离心力有哪些不同的地方？4.5圆盘以匀角速度ω绕竖直轴转动。
离盘心为r 的地方安装着一根竖直管，管中有一物体沿管下落，问此物体受到哪些惯性力的作用？4.6对于单线铁路来讲，两条铁轨磨损的程度有无不同？为什么？4.7自赤道沿水平方向朝北或朝南射出的炮弹，落地是否发生东西偏差？如以仰角 40朝北射出，或垂直向上射出，则又如何？4.8在南半球，傅科摆的振动面，沿什么方向旋转？如把它安装在赤道上某处，它旋转的周期是多大？4.9在上一章刚体运动学中，我们也常采用动坐标系，但为什么不出现科里奥利加速度？第四章思考题解答4.1.答：矢量G 的绝对变化率即为相对于静止参考系的变化率。
从静止参考系观察变矢量G 随转动系以角速度ω相对与静止系转动的同时G 本身又相对于动系运动，所以矢量G 的绝对变化率应当写作G ωG G ⨯+=*dt d dt d 。
其中dtd G *是G 相对于转动参考系的变化率即相对变化率；G ω⨯是G 随动系转动引起G 的变化率即牵连变化率。
若G 相对于参考系不变化，则有0=*dt d G ，此时牵连运动就是绝对运动，G ωG ⨯=dt d ；若0=ω即动系作动平动或瞬时平动，则有0=⨯G ω此时相对运动即为绝对运动 dtd dt d G G *=；另外，当某瞬时G ω//，则0=⨯G ω，此时瞬时转轴与G 平行，此时动系的转动不引起G 的改变。
当动系作平动或瞬时平动且G 相对动系瞬时静止时，则有0=dtd G；若G 随动系转动引起的变化G ω⨯与相对动系运动的变化dtd G *等值反向时，也有0=dt d G 。
周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 3-4章作业解答
a 0
x2bdx
ba3
3
ma2 3
d
a2 d k 2ba4 0 / 2 d t 3kba2
I AB
dt
M AB
3
m dt
4
dt
2
0
0 4m
t
4m
3kba20
3.16)一矩形板ABCD在平行自身的平面内运动, 其角速度为定值
. 在其一瞬时, A点的速度为v, 其方向则沿对角线AC. 试求此瞬
别为a,b. 则当平衡时, AB和竖直直线所成的角满足下列关系
tan
a2
b2 2ab
解: 研究对象为ABC结构,受力分析如图. 按照题意,知道
R
A
B m1g
m1 a, m2 b
m2g C
平衡时:
n
MA 0
i1
m1g
a 2
sin
m2
g
b 2
cos
a sin
tan
(m1
m2b 2m2 )a
tan b2
(a 2b)a
3.5)一均质的梯子, 一端置于摩擦系数为1/2的地板上, 另一端 则斜靠在摩擦系数为1/3的高墙上,一人的体重为梯子的三倍, 爬到 梯的顶端时, 梯尚未开始滑动, 则梯与地面的倾角,最小当为若干?
解: 研究对象为梯子, 人在顶端时,梯子与地面的夹角为, 梯子
度 .
解: 研究对象为棒, 受力分析如图. 建立直角坐标系为x轴水 平向右, y竖直向上
平衡方程
R 2l
B
Fy 0 R cos mg
《工程力学(第3版)》电子教案 第4章
参考体保持不动，平面Ⅱ连接在刚体上与刚体一起绕定轴转动，两平 面之间的夹角 ϕ 称为转角。
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4.1 转动方程、角速度和线速度
• 显然刚体在空间的位置可由转角 ϕ 来确定，对应一个转角 ϕ ，刚体 便有一个确定的位置。刚体转动时，转角 ϕ 随时间而变化，是时间 t 的单值连续函数，即ϕ =ϕ (t) （4−1）
• 式（4−2）表明，刚体的角速度等于转角对时间的一阶导数。角速度 的正负号表示刚体的转动方向。当 ω ＞0 时，Δϕ ＞0 ，刚体往转角 的正向转动，即逆时针转动；当 ω ＜0 时， Δ ϕ ＜0 ，刚体往转角 的负向转动，即顺时针转动。
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4.1 转动方程、角速度和线速度
• 角速度的单位为弧度/秒（rad/s），或简写为 1/秒（1/s）。 • 工程上常用转速 n 表示转动的快慢，转速 n 的单位为转/分（r/min），
n 与 ω 之间的关系为
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4.2 功率、转速与转矩间的关系
• 4.2.1 功率
• 力在单位时间内所做的功称为功率，用符号 P 表示。由物理学可知， 不变力的功率等于力 F 在其作用点速度 v 的乘积（设力 F 与速度方 向一致），即P = Fv
• 对于转动的刚体，如在其上某点 A 作用一个切向力 F ，则 A 点的线 • 速度 v =rω，如图 4−8 所示，则P =Fv= Frω =M ω （4−6） • 式中，M=Fr，为力 F 对刚体转轴 O 点之矩，即转矩的功率等于力对
转轴之矩与刚体的角速度的乘积。 • 功率的单位为瓦特，代号为 W，1 W=1 J/s=1 N·m/s。工程中常用
理论力学教程周衍柏第三版课件_图文
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§0.4 力学单位制
• 物理理论组成：概念、概念的数学表示假定、方程组（物理 量的关系） 单位制通过以
[P]
X X a1 a2 12
X
am m
上式取对数
ln[P] a1lnX1 a 2lnX2 amlnXm
把lnX1, lnX2, …,lnXm看做m维空间的“正交基矢”，则 （a1,a2,…,am）相当于“矢量”ln[P]在基矢上的投影.
22
定理
设某物理问题内涉及n个物理量(包括物理常量) P1, P2 ,, Pn, 而我们所选的单位制中有m个基本量(n>m),则由此可以组成n-m
• 在力学中CGS和MKS单位制的基本量是长度、质量和 来自间, 它们的量纲分别为L、M和T.
• 任何力学量Q的量纲为[Q]=LαMβTγ，式中, ,
为量纲指数.
21
量纲分析—— 定理
设我们在选定单位制中的基本量数目为m，它们的量纲 为X1，X2，…，Xm. 用[P]代表导出量P的量纲,则
由A=A1+A2得
c2Φ() a2Φ() b2Φ()
消去(),即得 c2 a2 b2
a
c
b
这样我们就利用量纲分析定量的得到了勾股定理.
27
§0.6 微积分预备知识
1 常见函数的导数
y xn
y' dy dxn nx n1 dx dx
y sin x
理论力学第四章 转动参照系
2 v
j
v
科里奥利加速度
科氏加速度2 v 是由牵连运动 和相对运动相互影响产 生的。
P
O
z
i k
x
2 a a' r r 2 v '
相对加速度 牵连加速度 科里奥利加速度
aa a at ac
真实性
质点的相对运动微分方程式
o1 是惯性坐标系(定系)，oxyz 是非惯性坐标系(动系)，
M 为所研究的质点(动点)。
牛顿第二运动定律相对惯性系适用
maa F
引入 Se mae
aa ae ar ac
（牵连惯性力） （科氏惯性力）
mar F mae mac
牵
o
Ny Nz
vz
v
x
z f 2mx c
f t mx vx
mg
由运动微分方程第1式得
dx dx dx 2x x x dx dt dx
xdx xdx
2
对xdx xdx 两边同时积分
2
x
0
dx xdx x
2 ma' F m R 2m v '
（3）相对平衡
z
O
x
2mx
P
Rz
m 2 x
x
a 0 A B t 0, x a, x 2 a t x e e t ach t 2
a t 2m Rz 2mx e e t 2ma 2 sht 2
2
Ry mg
周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 3-4章作业解答
T
N
T
物体 : ma2 mg T 圆柱 : Ma1 T f d 1 T f R, I 0 MR 2 dt 2 xC a1 d xC R , dt R R a A 2a1 a2 I0
M
r
f Mg
m
mg
4mg 8mg a1 , a2 3M 8m 3M 8m 3Mmg T 3M 8m
4.10) 质量为m的小环M, 套在半径为a的光滑圆圈上, 并可沿着圆 圈滑动. 如圆圈在水平面内以匀角速绕圈上某点O转动, 试求小 y 环沿圆圈切线方向的运动微分方程. 解: 设坐标系如图, oxy为水平面,它绕z轴转 动,即圆圈为转动参照系 受力分析,重力和约束反力都在z轴方向, 没 有画出. 惯性离心力m2r , 科里奥利力为 FC= -2m×v
b2 tan (a 2b)a
3.5)一均质的梯子, 一端置于摩擦系数为1/2的地板上, 另一端 则斜靠在摩擦系数为1/3的高墙上,一人的体重为梯子的三倍, 爬到 梯的顶端时, 梯尚未开始滑动, 则梯与地面的倾角,最小当为若干? 解: 研究对象为梯子, 人在顶端时,梯子与地面的夹角为, 梯子 y 重量p, 人重3p. 平衡时:
B x b C
a b
2
2
a
解2:用寻找瞬心法,过A做vA垂线，瞬心在O点，距离A为vA/. 连OB， 因角+=90o， 所以
OB OA 2 AB 2 2OA AB cos 1
v 2 2v
ab a 2 b2
2a 2
vB OB v 2 2v
2y sin C1 x 2my sin x m 2 z cos x sin C2 2m z sin y cos x y m m gt 2y cos C3 z cos mg 2my z 2y sin x y 0, z v0 , 在t =0, x 2 z cos x sin y x y z0 z v0 gt 2y cos
转动参照系动力学与平动参照系动力学的研究
（2-2-1）式中的最后一项为牵连变化率。该式表明：绝对变化率为相
对变化率与牵连变化率的矢量和。
2.2.2 空间转动参照系中的速度和加速度
在（2-2-1）中分别令G=r和令G=v ，得到
（2-2-2）
（2-2-3）
其中： 为相对加速度 。 为牵连加速度 。
参考文献：
[1]周衍柏.《理论力学》第三版[M].北京：高等教育出版社，1979:14-17.
1.平动参照系下的运动
在有些情况下，参考系本身也在运动。最简单的情况，即参考系作平动。设有两个参考系S和S´，前者是静止不动的，后者相对于前者是作匀速直线运动。如果有两个观察者A和B,分别处于S和S´系中观察同一物体（质点）的运动，那么他们所观察到的结果，彼此有什么不同和联系呢？
要观察物体的运动，总得要进行测量，即测量空间距离和时间间隔，现在又发生了一个问题，那就是这两个观察者所观测到的空间距离和时间间隔，会不会因他们之间有这种相对运动而发生差异？ 根据伽利略和牛顿的假定，这两个观察者用事先校准好了的仪器（钟和尺）进行空间距离和时间间隔的测量所得到的结果，并不因他们间这种相对运动而有任何差异。但严格说来，这只有在低速情况下才是正确的。当物体速度高到和光速相近时，上述假定就不能成立。但在通常情况下，物体运动的速度远比光速小，故伽利略、牛顿的假定可以成立。一般就是讨论低速情况下，关于高速运动物体，则要用到爱因斯坦的相对论。
[2]蒋纯志.动力学中有关参考系的选择[J].湖南学院学报，
2005，4.（2）：16-18.
[3]苏艳丽，蒋其畅，吉选芒等.对转动参考系仲加速度的思考[J].长春师范学院报，2010，10.（5）：23-25.
[4]金子布.科里奥力和科里奥加速度[J].瀚海学刊，
理论力学教程 (周衍柏)(第三版)
理论力学教程 (周衍柏)(第三版)一、引言理论力学是物理学的基础学科之一，它研究物体在力的作用下的运动规律。
本教程以周衍柏教授的《理论力学教程》第三版为蓝本，系统介绍了理论力学的基本概念、基本原理和常见的力学问题求解方法。
本教程主要面向物理学及相关专业的本科生，以系统、简明的方式解析力学理论，帮助读者建立起对力学问题的基本认知。
二、基本概念2.1 点、质点、物体点是一种没有大小和形状的基础几何概念，也是力学中的基本研究对象。
质点是一个研究物体运动时常用的模型，它假设物体可以看作是质量集中在一个点上的粒子。
而物体则表示具有一定体积和形状的物质实体。
2.2 粒子系粒子系是由多个质点组成的系统。
在粒子系中，每个质点的运动状态都可以用力学中的基本物理量表示，如质量、位置矢量和速度矢量等。
2.3 音速和光速音速是指声波在介质中传播的速度，而光速则是指光在真空中传播的速度。
它们是两个重要的物理量，对于理论力学的研究具有重要意义。
三、基本原理3.1 牛顿第一定律牛顿第一定律，也称为“惯性定律”，指出在没有外力或合力为零的情况下，物体维持静止或匀速直线运动的状态。
这一定律是理论力学研究的基础。
3.2 牛顿第二定律牛顿第二定律描述了物体在外力作用下的运动规律。
它表达了力与物体的质量和加速度之间的关系，可以用等式F=FF表示，其中F是合力，F是物体的质量，F是物体的加速度。
3.3 牛顿第三定律牛顿第三定律即“作用-反作用定律”，指出任何两个物体之间的相互作用力都是同等大小、相反方向的力。
这一定律充分体现了力的相互作用性质。
四、力学问题求解方法4.1 动力学方法动力学方法是研究力学问题的一种常见方法，它通过建立物体的运动方程和受力分析，求解物体的运动规律和相关物理量。
4.2 势能法势能法是一种基于能量守恒原理的力学分析方法。
通过定义系统的势能函数，可以将力学问题转化为求解势能函数的极值问题，从而得到物体的运动规律。
4.3 矢量法矢量法是一种运用矢量运算和矢量代数求解力学问题的方法。
[物理]理论力学
![[物理]理论力学](https://img.taocdn.com/s3/m/e6260132ee06eff9aef807e0.png)
高等学校试用教材理论力学时间:星期一（1，2）星期三（3，4）地点:实验楼134教室主讲教师:王松平E-mail:phspwang@预备知识:普通力学+高等数学理论力学：两个深化＋两个面向•方法上: 严谨的数学描述•理论体系上：经典力学•面向学科发展前沿和应用•面向实际体系学习内容：第一章：质点力学（20学时）第二章：质点组力学（10学时）第三章：刚体力学（24学时）第四章：非惯性系动力学（8学时）第五章：分析力学（12学时）学习成绩：平时成绩（20％）＋其中考试成绩（20％）+期末（60%）期末考试：闭卷平时作业:1. 习题（周衍柏理论力学）2. Project 报告（基于阅读多篇文献后的读书报告，必须附文献）提交方式：书面或电子（PDF or PS 格式）（独立完成）绪言Nature and nature’s law所蒙蔽上帝说，让牛顿来！一切遂臻光明！物质层线度重要运动形式相互作用能量重要研究科学物理核和亚核10-14—10-13m 核运动107—108焦耳核物理、高能物理夸克<10-18m基本粒子运动>1011焦耳粒子物理、色动物理一、理论力学研究对象物理学是研究物质性质、结构、运动规律的科学。
世界物质可分为不同层次、不同运动级别，因而有相应的主要研究科学：理论力学是研究宏观物体低速运动情况机械运动(即一个物体相对另一个物体发生位移变化)的科学。
机械运动指物体的位形随时间变化。
包括:平动、转动、流动、变形、静止等。
根据研究对象性质分：质点力学、刚体力学、连续介质力学（流体弹性、塑性）理论力学主要研究：质点、质点组、刚体。
二、理论力学研究方法观察、实验，总结实验规律，建立物理模型，提出合理假设，数学演译、逻辑推理，探讨规律，实验验证。
理论力学与普通物理的力学不同点是：逻辑推理、数学演译更强。
主要数学要求是：微积分和解常系数微分方程。
三、理论力学的内容结构理论力学分为矢量力学（即牛顿力学）和分析力学两大部分。
2023大学_理论力学教程第三版(周衍柏著)课后答案下载
2023理论力学教程第三版(周衍柏著)课后答案下载理论力学教程第三版内容简介绪论第一章质点力学1.1 运动的描述方法1.2 速度、加速度的分量表示式1.3 平动参考系1.4 质点运动定律1.5 质点运动微分方程1.6 非惯性系动力学(一)1.7 功与能1.8 质点动力学的基本定理与基本守恒定律1.9 有心力小结补充例题思考题习题第二章质点组力学2.1 质点组2.2 动量定理与动量守恒定律2.3 动量矩定理与动量矩守恒定律 2.4 动能定理与机械能守恒定律 2.5 两体问题2.6 质心坐标系与实验室坐标系 2.7 变质量物体的运动2.8 位力定理小结补充例题思考题习题第三章刚体力学3.1 刚体运动的分析3.2 角速度矢量3.3 欧拉角3.4 刚体运动方程与平衡方程3.5 转动惯量3.6 刚体的平动与绕固定轴的.转动 3.7 刚体的平面平行运动3.8 刚体绕固定点的转动__3.9 重刚体绕固定点转动的解__3.10 拉莫尔进动小结补充例题思考题习题第四章转动参考系4.1 平面转动参考系4.2 空间转动参考系4.3 非惯性系动力学(二)__4.5 傅科摆小结补充例题思考题习题第五章分析力学5.1 约束与广义坐标5.2 虚功原理5.3 拉格朗日方程5.4 小振动5.5 哈密顿正则方程5.6 泊松括号与泊松定理5.7 哈密顿原理5.8 正则变换__5.9 哈密顿-雅可比理论__5.10 相积分与角变数__5.11 刘维尔定理小结补充例题思考题习题附录主要参考书目理论力学教程第三版目录本书是在第二版的基础上修订而成的，适用于高等学校物理类专业的理论力学课程。
本书与第二版相比内容保持不变，仅将科学名词、物理量符号等按照国家标准和规范作了更新。
本书内容包括质点力学、质点组力学、刚体力学、转动参考系及分析力学等，每章附有小结、补充例题、思考题及习题。
理论力学第三版[周衍柏]习题答案解析
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完美WORD 格式编辑第一章 质点力学第一章习题解答1.1 由题可知示意图如题1.1.1图:{{SSt t 题1.1.1图设开始计时的时刻速度为0v ,由题可知枪弹作匀减速运动设减速度大小为a . 则有:()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+=-=221210211021221t t a t t v s at t v s 由以上两式得11021at t s v +=再由此式得()()2121122t t t t t t s a +-=证明完毕.1.2 解 由题可知,以灯塔为坐标原点建立直角坐标如题1.2.1图.题1.2.1图设A 船经过0t 小时向东经过灯塔,则向北行驶的B 船经过⎪⎭⎫ ⎝⎛+2110t 小时经过灯塔任意时刻A 船的坐标()t t x A 15150--=，0=A yB 船坐标0=B x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛+-=t t y B 15211150则AB 船间距离的平方()()222B A B A y y x x d -+-=即()2021515t t d -=201521115⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛++t t()202002211225225675900450⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-=t t t t t2d 对时间t 求导()()67590090002+-=t t dtd d AB 船相距最近，即()02=dtd d ，所以 h t t 430=- 即午后45分钟时两船相距最近最近距离22min231543154315⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=s km1.3 解 ()1如题1.3.2图第1.3题图y题1.3.2图由题分析可知，点C 的坐标为⎩⎨⎧=+=ψψϕsin cos cos a y a r x 又由于在∆AOB 中，有ϕψsin 2sin ar =（正弦定理）所以ry r a 2sin 2sin ==ψϕ联立以上各式运用1cos sin 22=+ϕϕ由此可得rya x r a x 22cos cos --=-=ψϕ得12422222222=---++r y a x y a x r y 得22222223y a x r a x y -=-++化简整理可得()()2222222234r a y x y a x -++=-此即为C 点的轨道方程. （2）要求C 点的速度，分别求导⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=2cos sin cos 2cos sin ϕωψψϕωϕωr y r r x其中ϕω = 又因为ψϕsin 2sin a r =对两边分别求导 故有ψϕωψcos 2cos a r = 所以22y x V +=4cos sin cos 2cos sin 2222ϕωψψϕωϕωr r r +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=()ψϕψϕϕψω++=sin cos sin 4cos cos 22r1.4 解 如题1.4.1图所示，A BOCLxθd 第1.4题图OL 绕O 点以匀角速度转动，C 在AB 上滑动，因此C 点有一个垂直杆的速度分量22x d OC v +=⨯=⊥ωωC 点速度dx d d v v v 222sec sec cos +====⊥⊥ωθωθθ 又因为ωθ= 所以C点加速度 θθθω ⋅⋅⋅⋅==tan sec sec 2d dt dv a ()2222222tan sec 2d x d x d +==ωθθω1.5 解 由题可知，变加速度表示为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=T t c a 2sin1π 由加速度的微分形式我们可知dtdv a =代入得dtT t c dv ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2sin 1π 对等式两边同时积分dt T t c dv t v⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=002sin 1π可得 ：D Ttc Tct v ++=2cos2ππ（D 为常数）代入初始条件：0=t 时，0=v ，故cT D π2-=即⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=12cos2T t T t c v ππ 又因为dtds v =所以=ds dt T t T t c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+12cos 2ππ 对等式两边同时积分，可得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+=t T t T T t c s 2sin 22212πππ1.6 解 由题可知质点的位矢速度r λ=//v ①沿垂直于位矢速度μθ=⊥v又因为 r r λ== //v ， 即r rλ= μθθ==⊥r v 即rμθθ= ()()j i v a θ r dtd r dt d dt d +==（取位矢方向i ，垂直位矢方向j ） 所以()j i i i θ r rdtd r i dt r d r dt d +=+= ()dtd r dt d r dt dr r dt d j j j j θθθθ ++=i j j 2r r r θθθ -+= 故()()j i a θθθr r r r 22++-= 即 沿位矢方向加速度()2θr r a -= 垂直位矢方向加速度()θθr r a 2+=⊥ 对③求导r rr 2λλ== 对④求导θμμθθ r r r +-=2⎪⎭⎫ ⎝⎛+=λμμθr把③④⑦⑧代入⑤⑥式中可得rr a 222//θμλ-= ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⊥r a μλμθ1.7 解 由题可知⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ①② 对①求导θθθ sin cos r r x-= ③ 对③求导θθθθθθθcos sin sin 2cos 2 r r rr x ---=④ 对②求导θθθcos sin r r y+=⑤ 对⑤求导θθθθθθθsin cos cos 2sin 2 r r rr y -++=⑥ 对于加速度a ，我们有如下关系见题1.7.1图题1.7.1图即⎩⎨⎧+=+=θθθθθθcos sin sin cos a a y a a x r r⑦--⑧ 对⑦⑧俩式分别作如下处理：⑦θcos ⨯，⑧θsin ⨯ 即得⎩⎨⎧+=-=θθθθθθθθθθcos sin sin sin cos sin cos cos a a y a a x r r⑨--⑩ ⑨+⑩得θθsin cos yx a r += ⑾ 把④⑥代入 ⑾得2θr r a r -= 同理可得θθθ r r a 2+= 1.8解 以焦点F 为坐标原点，运动如题1.8.1图所示]题1.8.1图则M 点坐标⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x对y x ,两式分别求导⎪⎩⎪⎨⎧+=-=θθθθθθcos sin sin cos r r yr r x 故()()22222cos sin sin cos θθθθθθ r r r r y xv ++-=+=222ωr r+= 如图所示的椭圆的极坐标表示法为()θcos 112e e a r +-=对r 求导可得（利用ωθ= ）又因为()()221cos 111ea e e a r -+-=θ即()rer e a --=21cos θ 所以()()2222222221211cos 1sin e r e ar r e a --+--=-=θθ故有()2222224222sin 1ωθωr ea r e v +-=()2224221ea r e -=ω()()]1211[2222222e ar r ea --+--22ωr +()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-⋅-=2222222221121e e ar r r e e a r ω()r r a b r -=2222ω 即()r a r br v -=2ω（其中()b a e b ,1222-=为椭圆的半短轴）1.9证 质点作平面运动，设速度表达式为j i v y x v v +=令为位矢与轴正向的夹角，所以dt d v dt dv dt d v dt dv dt d yy x x j j i i v a +++==j i ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθ x y y x v dt dv v dt dv 所以[]j i a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθ x y y x v dt dv v dt dv ()j i y x v v +⋅ θθ y x y y y x xxv v dt dv v v v dt dv v ++-=dtdv v dt dv v y yx x += 又因为速率保持为常数，即C C v v y x ,22=+为常数对等式两边求导022=+dtdv v dt dv v y y xx所以0=⋅v a即速度矢量与加速度矢量正交.1.10解 由题可知运动轨迹如题1.10.1图所示，题1.10.1图则质点切向加速度dtdv a t =法向加速度ρ2n v a =，而且有关系式ρ2v 2k dt dv -= ① 又因为()232y 1y 1'+''=ρ②2px y 2=所以ypy =' ③ 32yp y -='' ④ 联立①②③④2322322y p 1y p 2kv dtdv⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-= ⑤又dydvydt dy dy dv dt dv =⋅= 把2px y 2=两边对时间求导得pyy x= 又因为222y xv += 所以22221py v y+= ⑥ 把⑥代入⑤23223222122121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y p y p kv dydvp y v既可化为222py dykp v dv +-= 对等式两边积分222py dykp v dv p p vu+-=⎰⎰- 所以πk ue v -=1.11解 由题可知速度和加速度有关系如图1.11.1所示题1.11.1图⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====ααcos sin 2a dt dv a a r v a t n 两式相比得dtdv r v ⋅=ααcos 1sin 2即2cot 1vdv dt r =α 对等式两边分别积分200cot 1v dv dt rv v t⎰⎰=α 即αcot 110rt v v -= 此即质点的速度随时间而变化的规律.1.12证 由题1.11可知质点运动有关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==ααcos sin 2a dtdv a r v ①② 所以 ωθθθd dv dt d d dv dt dv =⋅=，联立①②，有ααωθcos sin 2r v d dv = 又因为r v ω=所以 θαd vdv cot =，对等式两边分别积分，利用初始条件0=t 时，0θθ=()αθθcot 00-=e v v1.13 证（a ）当00=v ，即空气相对地面上静止的，有牵相绝v v v +=.式中绝v 质点相对静止参考系的绝对速度， 相v 指向点运动参考系的速度， 牵v 指运动参考系相对静止参考系的速度.可知飞机相对地面参考系速度：绝v =v '，即飞机在舰作匀速直线运动.所以飞机来回飞行的总时间v l t '=20. （b ）假定空气速度向东，则当飞机向东飞行时速度01v v v +'=飞行时间1v v lt +'=当飞机向西飞行时速度0v v v v v -'=+=牵相飞行时间2v v lt -'=故来回飞行时间021v v l t t t +'=+=0v v l -'+222v v lv -''= 即2200220112v v t v v v lt '-='-'= 同理可证，当空气速度向西时，来回飞行时间2201v v t t '-= （c ）假定空气速度向北.由速度矢量关系如题1.13.1图v 题1.13.1图v v v '+=0绝202v v v -'= 所以来回飞行的总时间222vv l t -'=2200220112v vt v v v l '-='-'=同理可证空气速度向南时，来回飞行总时间仍为2201v v t t '-=1.14解 正方形如题1.14.1图。
理论力学第三版-课件PPT
§0.1 力学的研究对象
▪ 力学（mechanics）的研究对象是机
械运动（mechanical motion）
▪ 经典力学研究在弱引力场中宏观物体的
低速运动
▪ 力学: 运动学、（静力学）、动力学
Nature and nature’s law lay hid in night: God said: let Newton be! And all was light！
②绝对时间
③绝对空间
理论力学的学习
▪ 预备知识: 普通力学+高等数学 ▪ 以公理、定律为依据，应用数学推演的
方法导出其他定理和结论
▪ 偏重于问题的提出、求解 ▪ 严格基础训练、强化现代技术应用 ▪ 注重问题的延拓分析 ▪ 培养科学精神
科学是一种方法，它教导人们：一些事物是怎样被了解
的，什么事情是已知的，现在了解到什么程度（因为没有事
▪ 使用时, 可以由两种不同的方法打开文件：
1. 直接打开相应章节的PPT文件； 2. 在电子教案的目录中点击相应的章节.
前言
▪ 本电子出版物是与周衍柏编《理论力学教
程》(第三版)主教材配套的电子教案, 其内 容涵盖了该教材的全部基本知识点, 其中的 章与节完全按照主教材的顺序编排, 每节有 一个小结, 每章有部分作业讲解.
X
a2 2
X
am m
上式取对数
ln[ P] a1lnX 1 a 2lnX 2 amlnX m
把lnX1, lnX2, …,lnXm看做m维空间的“正交基矢”，则 （a1,a2,…,am）相当于“矢量”ln[P]在基矢上的投影.
定理
设某物理问题内涉及n个物理量(包括物理常量) P1, P2,, Pn ,
理论力学课件：第四章_转动参照系
为r 的圆柱上作纯滚动，圆管中心的速度 v0 u 。试求小球在图示
位置时的绝对速度和绝对加速度
解：运动分析： 小球相对圆管运动：圆周运动
C
o1h
u
j
牵连运动：平面平行运动（纯滚动）
v小tv球的uv绝j0 对u速i度：3vrorMj
v' vt
3r
ui 2uj
u
u 3r
ho
3
r
v0
a v sin 4 2t2 7
§4.2非惯性系动力学
一、相对运动微分方程
在惯性系下：
ma
F
m{a
'
a0
d0 dt
r
20
v
'
0
(0
r
)}
F
牵m连a惯' 性 力FF：tm{maa00dmdtd0dt0
r
0 (0
r
m0
(0
r )}
r)
2m0
v
'
平动惯性力 转动惯性力 惯性离心力
科里奥利力：
第四章 转动参考系
§4.1(2)转动参照系 §4.3 非惯性系动力学 §4.4 地球自转的影响
1
§4.1转动参照系
z
复习平动参考 系、相对运动：
r
ro'
r ',
v
vo'
v',
r'
o'
ro '
r
x'
a
ao'
a'
O x
y z
ma' F (mao' )
**********************************
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上式中 为坐标系不动时G的变化率, 即相对变化率. 而G是坐标系转动所引起的, 故应为牵连变化率. 如转动坐标系的原点与固定坐标系的原点 O重合，并 以角速度 绕着O转动，则对静止系来说, 一个在转动 系中运动的质点P的绝对速度为
* dr d r v dt dt r
第 四章 转动参照系
导读
• 平面转动参照系 • 空间转动参照系 • 转动参照系动力学 • 地球自转所产生的影响 • 科里奥利力
§4.1 平面转动参照系
在平板参照系上取坐标系 O-xy, 它的原点和静止坐 标系原点O重合， O-xy绕着通过O点并垂宜于平板的 直线 ( 即 Z轴 ) 以角速度 转动 .令单位矢量 i, j 固着在平 板上的x轴和y轴上. P为平板上一质点
为P对转动参照系(平板)诸轴的分速度, 合 和 y 上式中 x 成应为相对速度v’. 而－y和x，是由于平板转动而带 动P一同转动所引起的，故应为牵连速度 r ，因此
v v' r
相对速度 牵连速度
P的加速度为
dv 2 2 yi xj 2y x i 2x y j a x y dt 2 2 yi xj 2y i j xi yj i 2x j x y 2 r a' r 2 r
R表示质点到转动轴的距离矢量.
如果转动系的原点O’不和静止系原点O重合, 且O’对O 的加速度为ao, 则
2 ma ' F ma0 m r 'm r ' m r ' 2m v '
如果质点固定在转动系中,
则v’=0, 故a’=0, ac=0, 则
相对速度 牵连速度
a a'
相对加速度 P相对平板
r
2
r
切向加速度 平板变速转动
2 r
科里奥利加速度 牵连和相对纠缠
向心加速度 平板转动
空间转动参照系
* d2 r a 2 dt
相对速度 牵连速度 d *r d* r r 2 dt dt 向心加速度 科里奥利加速度
§4.3 非惯性参照系
转动参照系以角速度 相对于静止参照系转动, 因 此转动参照系是非惯性参照系, 牛顿运动定律对这种参
照系来讲, 是不成立的.
在非惯性系质点m动力学方程为
* * dr d 2 ma ' F m r m r m r 2m dt dt
惯性离心力的作用使重力常小于引力. 重力随着纬度发生变化, 在 纬度越低的地方重力越小. 只有在两极的地方, 重力和引力才相等. 另外, 重力的方向也不与引力的方向一致. 引力的作用线通过地球 的球心，而重力的作用线一股并不通过地球的球心.
2 科里奥利力
当物体 (质点) 相对地球运动时, 应同时考虑惯性离心力 和科里奥利力的作用 . 由于质点离地轴的距离的变化不 太大, 惯性离心力可以用重力代替. 研究质点运动只要考 虑科里奥利力 例一质点在北半球的某点 P上以速度 v’相对于地球运动, P点的纬度为. 图中SN是地轴, 地球自转的角速度 就沿着该轴. 单位矢量i、j 、k固着在 地球表面上. 且 i 水平向南, j 水平向 东, k 竖直向上. 则在地球上看
积分, 得
2y sin x 2 ( z h) cos x sin y gt 2y cos z
4 2 sin ( x sin ( z h) cos ) x 2 gt cos 4 2 y y g 4 2 cos ( x sin ( z h) cos ) z
在高度不大时, 2项的值很小, 计算发现比科里奥利
加速度小100倍, 所以可以忽略. 这样上式就简化为
0, 2 gt cos , g x y z
两次积分, 并考虑初始条件, 得
1 3 1 2 x 0, y gt cos , z h gt 3 2
相对加速度 P相对平板
向心加速度 平板转动
切向加速度 平板变速转动
科里奥利加速度 牵连和相对纠缠
也可以简写为
a a'
相对加速度
at
牵连加速度
ac
科里奥利加速度
科里奥利加速度, 简称科氏加速度.
是由于在静止系中的观察者看来, 牵连运动(即)
可使相对速度v’发生改变, 而相对运动 (即v’) 又同 时使牵连速度r 中的 r 发生改变, 即科里奥利加 速度 2 v’ 是由牵连运动与相对运动相互影响所产 生的.
牵连速度
d *G dt
相对速度
dv d *v a v dt dt 2* * d r d 2 r dt dt 2* * d r d 2 r dt dt
dr dt
*
d r dt r * dr r 2 dt
2 F mat F m r ' r r 0
即当质点在非惯性系中处于平衡时, 主动力、约束反作 用力和由牵连运动而引起的惯性力的矢量和等于零. 我
们通常Biblioteka 这种平衡叫做相对平衡.§4.4 地球自转所产生的影响
地球既有自转又有公转, 所以是非惯性参照系. 公转的 角速度很小, 常可忽略不计. 自转的角速度约为7.3l0-5 弧度／秒, 虽然也比较小, 但却产生了一些可以观察到 的现象. 1 惯性离心力 地球绕地轴自转角速度是沿地轴的一个恒矢量, 所以 2 F离心 m r m r
其方向垂直于 及 v’所决定的平面并且依右手
螺旋法则定其指向. 如与v’者中有一为零, 则此项加速度即为零.
§4.2 空间转动参照系
转动参照系以角速度转动, 角速度的大小和方向都
随时间改变. 在转动参照系上取坐标系O-xyz, 它的原
点和静止坐标系原点O重合.令单位矢量i, j, z固着在 转动刚体的x轴、y轴和z轴上. 任一个矢量可以表述 为
消去时间, 得到轨道方程
8 cos 3 z h y 9 g
2 2 2
到达地面
1 8h y cos 3 g
3
这个数值一般很小, 在=40o, h=200m时,
y 4.75 10 m
显然在赤道上偏东最显著, 而在两极偏差为零.
2
平面转动参照系
小结 v v' r
r xi yj
因 P 和坐标轴都以角速度运动, dj di j , i dt dt
y
j
r
o
P
S
i
x
则P 点相对静止坐标系的速度
dr di dj dk i y j z k x y z v x dt dt dt dt y i y x j x
所以质点P运动微分方程的分量形式为
Fx 2my sin m x Fy 2m z sin cos x m y cos Fz mg 2my m z
利用科里奥利力可以解释一些地球上发生的基本现象 a．贸易风 在地球上, 热带的空气 因热上升, 并在高 空向两极推进, 而两极空气因冷下降, 在地面附近向赤 道附近推进,形成了一种对流, 故称为贸易风. 但由于 受到科里奥利力的作用, 南北向的气流, 就会发生东西 向的偏转. 如果气流自北向南推进, 则所受到科里奥利 力沿东西方向. 故北半球(sin ＞0)地面附近自北向南 的气流 , 有朝西的偏向 , 成为 东北贸易风 . 而在 南半球 (sin ＜0)地面附近自南向北的气流, 也有朝西的偏向, 而成为 东南贸易风 . 大气上层的反贸易风在北半球为 西南贸易风, 在南半球为西北贸易风.
* dr d r v dt dt
r
相对加速度 切向加速度
惯性力有三项:
d m r m r dt
*
参照系做变角速运动引起的.
2 m r m r
*
参照系转动引起的惯性离心力 科里奥利力
2 地球绕地轴自转 F离心 m r m r Fx 2my sin x 运动微分方程 m Fy 2m z sin cos x m y cos Fz mg 2my m z
*
相对加速度 切向加速度
向心加速度
科里奥利加速度
也可以简写为
a a'
相对加速度
at
牵连加速度
ac
科里奥利加速度
其中 2* d r a' 2 dt * * d d 2 at r r r r r dt dt * 角速度 转动 dr ac 2 2 v ' 变化 本身 dt
b．轨道磨损和河岸冲刷
当物体在地面运动时, 在北半球 (sin ＞0) 科里奥
利力的水平分量指向运动的右侧 , 这样长年累月的作
用, 使得北半球河岸右侧冲刷比左侧厉害, 因为比较陡 峭. 而在南半球 (sin ＜0) 情况与此相反, 是左侧磨损或 者冲刷比较厉害.
双轨单行列车也是同样的问题.
c．落体偏东问题
惯性力有三项: