高数 重积分 (1)
高等数学 第九章 第2节 二重积分的计算法(1)(中央财经大学)
第二节 二重积分的计算法（1）一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系(right angle 计算二重积分)(2x y ϕ=abD)(1x y ϕ=Dba)(2x y ϕ=)(1x y ϕ=y yy x f x S x x d ),()()()(21∫=ϕϕy )(1x ϕ=)(2x y ϕ= d d ),(d )( )()(21∫∫∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛==ba x x ba x y y x f x x S V ϕϕyy x f x S x x d ),()()()(21∫=ϕϕx ϕ=)(1y ϕDcdcd(2x ϕ=)(1y ϕ=DX 型区域的特点： 穿过区域且平行于y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y 型区域的特点：穿过区域且平行于x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，3D 2D 1D 在分割后的三个区域上分别使用积分公式.321∫∫∫∫∫∫∫∫++=D D D D则必须分割.,X=YY=2X=1YX 2112dxdyy dy2x2xy=y=−y e2−dyey 2∵2d y=2x y =xy =xy −=1例6 改变积分 ∫d x10的次序.原式∫∫−=y dxy x f dy 101),(.解积分区域如图例xy −=222x x y −=例7 改变积分∫∫∫∫−−+xxx dy y x f dx dy y x f dx 20212010),(),(2的次序.原式∫∫−−−=12112),(yy d xy x f d y .解积分区域如图例x+ =−d x y y )二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）二、小结.),(),()()(21∫∫∫∫=Dbax x dy y x f dx d y x f ϕϕσ.),(),()()(21∫∫∫∫=Ddcy y dx y x f dy d y x f ϕϕσ［Y －型］［X －型］谢谢大家！。
高数大一知识点总结重积分
高数大一知识点总结重积分高数大一知识点总结：重积分高等数学中的重积分是一种扩展了二重积分的概念，它在多变量函数的积分中扮演重要的角色。
本文将对高数大一课程中的重积分进行总结和讲解。
一、重积分的概念和性质重积分是定义在三维空间内的函数的积分，通常用来计算多变量函数在某个区域上的累积效应。
与二重积分类似，重积分可以通过分割区域，将其近似为无穷小的小区域，然后对每个小区域进行积分，再将这些积分进行累加而得到。
重积分的计算通常与坐标系的选择有关，常见的坐标系有直角坐标系、极坐标系和柱坐标系等。
根据实际问题的特点和对称性的分析，选择合适的坐标系可以简化计算过程。
在计算重积分时，需要注意积分顺序的选择。
根据题目给定的区域和函数的特点，可以选择先对哪个自变量进行积分，这样有助于简化计算，并得到准确的结果。
重积分具有一些重要的性质，例如线性性、划分性和保号性等。
这些性质在具体计算过程中可以灵活运用，简化计算和分析。
二、重积分的计算方法1. 直角坐标系下的重积分计算方法直角坐标系下的重积分计算通常通过多次积分来实现。
根据题目给定的区域和函数的特点，可以选择先对哪个自变量进行积分，再对另一个自变量进行积分。
通过逐步积分，最终可以得到准确的结果。
2. 极坐标系下的重积分计算方法极坐标系下的重积分计算常常适用于具有旋转对称性的问题。
在极坐标系下，将函数和区域表示成极坐标形式，通过选择合适的积分顺序和极角范围，可以简化计算过程，得到准确的结果。
3. 柱坐标系下的重积分计算方法柱坐标系下的重积分计算通常应用于具有柱对称性的问题。
在柱坐标系下，将函数和区域表示成柱坐标形式，通过选择合适的积分顺序和柱角范围，可以简化计算过程，得到准确的结果。
三、重积分的应用领域重积分在科学和工程领域有广泛的应用。
例如，在物理学中，用重积分可以计算物体的质量、质心和转动惯量等；在电磁学中，可以用重积分计算电荷、电场和电势等；在流体力学中，可以用重积分计算流体的质量、流速和流量等。
大一高数重积分知识点总结
大一高数重积分知识点总结在大一高数学习中，重积分是一个重要的知识点，它是对多重积分的深入学习和扩展。
在本文中，我们将对大一高数中重积分的相关知识点进行总结和概述。
一、重积分的定义重积分是对二重积分的进一步推广，用于计算曲顶柱体与曲面之间的空间体积。
对于三维空间中的函数f(x,y,z)，其在某一立体区域D上的重积分定义为：∬Df(x,y,z)dV其中，dV表示体积元素，满足dV = dxdydz。
二、重积分的计算1. 直角坐标系下的重积分计算在直角坐标系下，计算重积分的方法有两种：先y后x的积分次序和先x后y的积分次序。
根据具体情况选择合适的积分次序进行计算，并利用定积分的性质进行积分计算。
2. 极坐标系下的重积分计算在极坐标系下，计算重积分相对简便。
利用极坐标系的变换关系，将被积函数和积分区域转化为极坐标系下的表示形式，然后按照定积分的性质进行积分计算。
3. 应用：质量、质心和转动惯量重积分在物理学和工程学中有着广泛的应用。
通过计算重积分可以求解三维空间中物体的质量、质心和转动惯量等参数，为实际问题的分析提供了数学工具。
三、重积分的性质1. 重积分的线性性质重积分具有线性性质，即对于任意常数k，函数f(x,y,z)和g(x,y,z)，以及积分区域D，有以下等式成立：∬D[kf(x,y,z) + g(x,y,z)]dV = k∬Df(x,y,z)dV + ∬Dg(x,y,z)dV2. 重积分的保号性如果积分区域D上的函数f(x,y,z)始终大于等于0，则重积分的结果也大于等于0。
这一性质在实际问题中常用于判断物体的质量分布或概率密度分布等情况。
3. 重积分的积分域可加性对于积分区域D，若可以分解为两个互不相交的子区域D1和D2，则有以下等式成立：∬Df(x,y,z)dV = ∬D1f(x,y,z)dV + ∬D2f(x,y,z)dV四、常见的重积分问题1. 计算空间几何体的体积通过重积分的计算，可以求解复杂几何体的体积。
西工大高数答案重积分
第九章 重积分第一节 重积分的概念与性质1.选择 设21()d DI x y =+σ⎰⎰,32()d DI x y =+σ⎰⎰, 1若D 由x 轴、y 轴与直线1x y +=围成,则在D 上B . A .23()()x y x y +≤+; B .23()()x y x y +≤+; 由二重积分的性质可知,A .A .12I I ≥;B .12I I ≤;C .12I I =; 2若D 由圆周22(2)(1)2x y -+-=围成,则B . A .12I I ≥; B .12I I ≤; C .12I I =; 2.填空 设(,)d DI f x y =σ⎰⎰,1若(,)1f x y x y =++,域D 为01x ≤≤,02y ≤≤,则在D 上,(,)f x y 的最小值为1,最大值为4;由二重积分的性质可知,28I ≤≤;2若22(,)49f x y x y =++,域D 为224x y +≤,则在D 上,(,)f x y 的最小值为9,最大值为25,因此36100I π≤≤π.3.设12231()d D I xy =+σ⎰⎰,其中1D 是矩形闭区域：11x -≤≤,22y -≤≤;22232()d D I x y =+σ⎰⎰,其中2D 是矩形闭区域：01x ≤≤,02y ≤≤,试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系.解 设函数223(,)()f x y x y =+,则积分1(,)d D f x y σ⎰⎰的几何意义是在矩形域1D 上以曲面(,)z f x y =为曲顶的曲顶柱体体积. 由于域1D 关于0x =即y 轴对称,而函数(,)f x y 是x 的偶函数即曲面(,)z f x y =关于yOz 面对称,因此1(,)d D f x y σ⎰⎰=2(,)d D f x y *σ⎰⎰ ,其中域D *为01x ≤≤,2y ≤. 同理,D *关于0y =对称,(,)f x y 是y 的偶函数,因此,(,)d D f x y *σ⎰⎰=22(,)d D f x y σ⎰⎰于是1(,)d D f x y σ⎰⎰=42(,)d D f x y σ⎰⎰,即124II =.第二节 二重积分的计算1.填空 1改变积分次序e ln 1d (,)d x x f x y y ⎰⎰=14d (,)d y ey f x y x ⎰⎰.2改变积分次序 I =2220d (,)d x x f x y y ⎰⎰+2(,)d x f x y y ⎰⎰2 若(,)f x y xy =,则I =103. 3设D ：15y ≤≤,5y x ≤≤,则应把二重积分d d ln Dx yI y x=⎰⎰化为先对y 后对x 的二次积分I =5111d d ln x x y y x⎰⎰=4. 4二重积分20d xx f y ⎰⎰=π2sec 3π04d ()d f r r r θθ⎰⎰.5二重积分211222d ()d xxx x y y -+⎰⎰=2πsin 4cos 01d d r r rθθθ⋅⎰⎰=π420sin d cos θθθ⎰1. 2.画出积分区域,并计算下列二重积分. 122()d Dxy -σ⎰⎰,其中D 是闭区域0sin y x ≤≤,0πx ≤≤.解 原式=πsin 22d ()d x x x y y -⎰⎰=3π2sin (sin )d 3xx x x -⎰=2πππ3π000011cos 2sin 2cos [cos cos ]33x x x x x x x -+++-=240π9-.2d Dx y ⎰⎰,其中D 是由直线y x =,1x =-,1y =所围成的闭区域.解 将D 视为X -型区域,则D ：1x y ≤≤,11x -≤≤. 原式=111d xx y -⎰⎰=31222111(1)d 3xx y x --+-⎰=1302(1)d 3x x --⎰=12. 3e d d x yDx y +⎰⎰,其中D 是由不等式1x y +≤,0x ≥所确定的闭区域.解 原式=1101d ed x x yx x y -++-⎰⎰=111d x y y x y x ex +=-+=-⎰=1210(e e )d x x --⎰=e 122e+.易犯的错误是：认为积分区域D 是关于x 轴对称的,因此原积分等于在域D 内第一象限 部分域上积分的2倍,即原式=21e d x yD +σ⎰⎰ , 1D =01,01.x y x ≤≤⎧⎨≤≤-⎩ 此解错在没有被积函数的奇偶性,只有积分区域的对称性,就乱用对称性简化计算. 4cos d Dx x σ⎰⎰,其中D 是由曲线0y =,y x =和π6x =围成的闭区域. 解 cos d Dx x σ⎰⎰=π600cos d d x x x y x ⎰⎰=π60cos d x x ⎰=12. 3.计算积分222d ed y x x y -⎰⎰的值.解 由于函数2e y -的原函数不是初等函数,故需交换积分次序,积分区域D 为由0,2,x y y x ===所围成的区域,故原式=2e d d y Dx y -⎰⎰=2200d e d y y y x -⎰⎰=220e d y y y -⎰=221e 2y --=41(1e )2--. 4.设D 为以点(1,1),(1,1),(1,1)---为顶点的三角形,1D 为D 在第一象限部分,试将(cos sin )d d Dxy x y x y +⎰⎰化为1D 上的积分.解 如图所示,将积分区域分为1D '与2D '两部分,其中1D '为三角形AOB ,2D '为三角形BOC .显然1D '关于y 轴对称,2D '关于x 轴对称,又因为 函数xy 关于x ,y 均为奇函数,所以1d d D xy x y '⎰⎰=0, 2d d D xy x y '⎰⎰=0.故d d Dxy x y ⎰⎰=1d d D xy x y '⎰⎰+2d d D xy x y '⎰⎰=0.又函数cos sin x y 关于x 为偶函数,关于y 为奇函 数, 所以1cos sin d d D x y x y '⎰⎰=21cos sin d d D x y x y ⎰⎰,2cos sin d d D x y x y '⎰⎰=0.综上所述,(cos sin )d d Dxy x y x y +⎰⎰=21cos sin d d D x y x y ⎰⎰.5.证明：()0d e ()d a y m a x y f x x -⎰⎰=()0()e ()d am a x a x f x x --⎰.分析 因为欲证等式的左端为累次积分,等式右端为定积分,因此,应从左端出发证明, 作一次积分,化为定积分,使之与右端定积分相等. 但原累次积分的被积函数含有抽象函数,无法关于x 先积分,故考虑改变积分次序.解()0d e ()d a y m a x y f x x -⎰⎰=()0e ()d d a a m a x xf x x y -⎰⎰=()0()e ()d am a x a x f x x --⎰.6.求下列空间域Ω的体积.1由四个平面0,0,1,1x y x y ====所围成的柱体被平面0z =及236x y z ++=截得的立体.解 曲顶柱体以{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤为底,以623z x y =--为顶面,故所求立体体积 (623)d d DV x y x y =--⎰⎰=1100d (623)d x x y y --⎰⎰=103(62)d 2x x --⎰=6-1-32=72. 2由曲面222z x y =+及2262z x y =--围成的立体. 解 两曲面的交线满足方程组 消去z ,得222x y +=.所求立体的体积 21()d DV z z =-σ⎰⎰=2222[(62)(2)]d Dx y x y ---+σ⎰⎰ =322(2)d Dx y --σ⎰⎰=32π20d )d θ-ρρρ⎰⎰=426π(4ρ⋅ρ-=6π.7.画出积分区域,并且把积分(,)d d Df x y x y ⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分,其中积分区域D 是：图1 20y x ≤≤, 01x ≤≤;解 积分区域如图a 所示,其边界曲线2y x =及1x =在极坐标下的方程分别为2sin cos θρ=θ及1cos ρ=θ. 原积分=2π14cos sin 0cos d (cos ,sin )d f θθθθρθρθρρ⎰⎰易犯的错误是：积分区域如图b 所示.原积分=π14cos 0d (cos ,sin )d f θθρθρθρρ⎰⎰.此错误是由作图不准确造成的.2由曲线22y a x =-,2y ax x =-及y x =-围成的闭区域0a >.解 积分区域如图所示,曲线22y a x =-及2y ax x =-在极坐标下的方程分别为r a =及cos r a =θ. 原积分=π20cos d (cos ,sin )d a a f θθρθρθρρ⎰⎰+3π4π02d (cos ,sin )d af θρθρθρρ⎰⎰.易犯的错误是：原积分=3π40cos d (cos ,sin )a a f d θθρθρθρρ⎰⎰.8.计算()d d DI x y x y =+⎰⎰,其中D ：224xy +≤.解 积分区域关于x 轴,y 轴均对称,被积函数x y +关于x ,y 均为偶函数,故 I =41()d d D x y x y +⎰⎰1D 为D 位于第一象限的部分图 a图 b图=4π2220d (cos sin )d θθ+θρρ⎰⎰=643. 9.选择适当的坐标计算下列各题. 122sin d d Dx y x y +⎰⎰,其中D 是圆环形闭区域：2222π4πx y ≤+≤. 解 原式=2π2ππd sin d θρ⋅ρρ⎰⎰=2ππ2[cos sin ]π-ρρ+ρ=26π-.22d d yDxe x y -⎰⎰,其中D 是由曲线24y x =和29y x =在第一象限所围成的区域. 解2d d y Dxex y -⎰⎰=2203d d y y y y xe x +∞-⎰⎰=201()d 249y y y e y +∞--⎰ =205d 72y ye y +∞-⎰=5144. 3arctan d d Dy x y x ⎰⎰,D 是由圆周22224,1x y x y +=+=,及直线0,y y x ==所围成的在第一象限内的区域.解 arctan d d Dy x y x ⎰⎰=2401d d πθθ⋅ρρ⎰⎰=23π64.422()d d Dx y x y +⎰⎰,其中D 是由直线y x =,y x a =+,y a =,3(0)y a a =>所围成的闭区域. 解 原式=322d ()d a y ay ay x y x -+⎰⎰=232d []3a a y a ax y y x -+⎰=23321[()]d 33a ay y a y a y --+⎰=4433()[]12123aa y y a a y --+ =414a . 易犯的错误时：认为积分区域如图 所示. 原式=220d ()d a x a ax x y y ++⎰⎰+3322d ()d a aaxx x y y +⎰⎰.此错误是由画图不准确造成的. 5d d Dy x y ⎰⎰,其中D 是直线2x =-,0y =,2y =及曲线22x y y =--所围成的平面图区域.解1 区域D 及1D 如图所示,有d d Dy x y ⎰⎰=1d d D D y x y +⎰⎰-1d d D y x y ⎰⎰ =02π2sin π22d d d sin x y y d θ--θρθ⋅ρρ⎰⎰⎰⎰=4-428sin d 3ππθθ⎰=4-2811cos 4(1cos 2)d 342ππ+θ⋅-θ+θ⎰ =4-2π. 解2 如图所示,{(,)|22}D x y x y =-≤≤≤≤,d d Dy x y ⎰⎰=202d y y x -⎰⎰=222d y y y -⎰⎰=4-2y ⎰令y-1=s i nt π22π24(1sin )cos d t t t --+⎰=4-π2.10.求由圆2ρ=和心形线2(1cos )ρ=+θ所围图形在圆外部分的面积.解 由2(1cos )2ρ=+θ⎧⎨ρ=⎩得交点：0π2θ=±,02ρ=.面积A =d d Dρρθ⎰⎰=π2(1+cos θ)2π22d d -θρρ⎰⎰=π22π22[cos θ+2cos ]d -θθ⎰=1π4[2]22⋅+=8π+.11.设平面薄片所占的闭区域D 是由螺线2ρ=θ上一段弧π(0)2≤θ≤与直线π2θ=所围成,它的面密度22(,)x y x y μ=+.求此薄片的质量.解 质量M =(,)d Dx y μσ⎰⎰=22()d Dxy +σ⎰⎰=π2320d d θθρρ⎰⎰=π4204d θθ⎰=5π40.第三节 三重积分的计算1.化(,,)d d d I f x y z x y z Ω=⎰⎰⎰为三次积分,其中积分区域Ω分别是：图1由双曲抛物面xy z =及平面10x y +-=,0z =所围成的闭区域. 2由曲面22z x y =+,2y x =及平面1y =,0z =所围成的闭区域.解 1由0z xy z =⎧⎨=⎩消去z ,得0xy =,即0x =或0y =.因此空间域是以0z =为下曲面,z xy =为上曲面,侧面是柱面0x =,0y =,10x y +-=.因此原式=110d d (,,)d x xy x y f x y z z -⎰⎰⎰.2积分区域Ω可表示为220z x y ≤≤+,21x y ≤≤,11x -≤≤ 所以222111(,,)d d d d d (,,)d x y xf x y z x y z x y f x y z z +-Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.2.计算cos()d d d y x z x y z Ω+⎰⎰⎰,其中Ω由y =0y =,0z =和π2x z +=所围成的闭区域.解 将积分区域Ω向xOy 平面投影得xy D ：π02x ≤≤,0y ≤≤则Ω可表示成π02z x ≤≤-,(,)xy x y D ∈,故 cos()d d d y x z x y z Ω+⎰⎰⎰=π20d d cos()d xyx D x y y x z z -+⎰⎰⎰=(1sin )d d xyD y x x y -⎰⎰=π20d (1sin )d x y x y -⎰⎰=π201(1sin )d 2x x x -⎰=2π1162-.3.计算d d d z x y z Ω⎰⎰⎰,其中Ω是由锥面z =(0,0)z h R h =>>所围成的闭区域.解1 积分区域Ω如图所示,用竖 坐标为z 的平面截域Ω,得圆域22222():R z D z x y h+≤,其面积为222πR z h,采用“先二后一法”计算.d d d z x y z Ω⎰⎰⎰=0()d d h D z z z σ⎰⎰⎰=2220πd h R z z z h⋅⎰=242π4hR z h ⋅=22π4R h .解2 积分域Ω的边界曲面在柱面坐标下的方程分别为z h =及h z R=ρ. 利用柱面坐标计算.原式=2π0d d d R h h R z z ρθρρ⎰⎰⎰=2222012π[]d 2R h h Rρ-ρρ⎰=224202π[]24R h h R ρρ-⋅=22π4R h . 易犯的错误是： 1在柱面坐标下,原式=2π0d d d hRR z z ρθρρ⎰⎰⎰.关于z 的积分上、下限错误.2采用“先二后一法”.d d d z x y z Ω⎰⎰⎰=222d d d hx y R z zx y +≤⎰⎰⎰=2d h Rz z π⎰=222R h π. 关于x ,y 积分的积分域错误,积分域应为22222R z x y h +≤. 特别注意,将被积函数z用表达式z =. 4.计算d d d xz x y z Ω⎰⎰⎰,其中Ω是由平面0z =,z y =,1y =以及抛物柱面2y x =所围成的闭区域.解1 按先z 再x 后y 积分. 原式=10d d d 0yy x z z =⎰⎰⎰其中⎰为奇函数再对称区间上的积分,其值为0.解2 按先x 再y 后z 积分. 原式=110d d d 0zz z y x x =⎰⎰⎰其中d 0x =⎰.解3 按先x 再z 后y 积分.图原式=10d d d 0y y z z x =⎰⎰⎰5填空题.设Ω由球面z =与锥面z =围成,则三重积分在三种坐标系下分别可化为三次积分如下： 直角坐标系下： 柱面坐标系下： 球面坐标系下：π2π240d d sin d I f r r θϕϕ=⎰⎰⎰.6.利用柱面坐标计算下列三重积分. 122e d d d x y x y z --Ω⎰⎰⎰,其中Ω为由221x y +≤,01z ≤≤所确定.解22e d d d xy x y z --Ω⎰⎰⎰=22π11ρ0d ρd ρd ez θ-⎰⎰⎰=21ρ02πρd ρe-⎰=21ρ20πe d ρ-⎰=21ρ0πe --=1π(e 1)---=1π(1)e-.2d z v Ω⎰⎰⎰,其中Ω为由曲面z =及223x y z +=所围成的闭区域.解由223z x y z⎧⎪=⎨+=⎪⎩z ,得223x y +=,zdv Ω⎰⎰⎰=d ρd d zr z θΩ⎰⎰⎰=22π03d d ρd r z z θ⎰⎰⎰=4212π(4ρ)d ρ29r ⋅--⎰=13π4.3d d x y z Ω⎰⎰⎰, 其中Ω为由曲面y =,0z =,z a = (0)a >,0y =所围成的闭区域.解 原式=π2cos 220d ρd ρd a z z θθ⎰⎰⎰=π23204cos d 3a θθ⎰=289a .7.利用球面坐标计算下列三重积分：1d d x y z Ω,其中Ω是由球面222x y z z ++=所围成的闭区域.解 球面222x y z z ++=在球面坐标下的方程为cos r ϕ=.原式=π2πcos 320d sin d d r r ϕθϕϕ⎰⎰⎰=π420πsin cos d 2ϕϕϕ⎰=π520πcos 10ϕ-=π10. 2d d d z x y z Ω⎰⎰⎰,其中Ω是由不等式：2222()xy z a a ++-≤,22x y +2(0)z a ≤>所确定.解 曲面2222()x y z a a ++-=及222(0)x y z a +=>在球面坐标下的方程分别为2cos r a ϕ=及π4ϕ=. 原式=π2π2cos 340d sin d cos d a r r ϕθϕϕϕ⎰⎰⎰=π45402π4cos sin d a ϕϕϕ⎰=π640cos 8π6ϕ-⋅=47π6a . 8.选择适当的坐标计算下列三重积分. 12(1)d x v Ω+⎰⎰⎰,其中Ω是由曲面222x z y =+,2x =,4x =所围成的闭区域. 解 采用“先二后一法”计算.2(1)d x v Ω+⎰⎰⎰=422d (1)d d Dxx x y z +⎰⎰⎰=422(1)d d d Dxx x y z +⎰⎰⎰=4222(1)(π)d x x x +⎰=3256π15.2d d x y z Ω⎰⎰⎰,其中Ω由不等式：2221x y z ++≤,z ≥定.解1 曲面2221x y z ++=及z =在球面坐标下的方程分别为1r =及π6ϕ=.原式=π2π12600d sin d r cos r r dr θϕϕϕ⋅⋅⎰⎰⎰=π125600sin ρ2π25ϕ⋅⋅π20=. 解2 曲面2221x y z ++=及z =z =z =.原式=12π20d rdr z θ⎰⎰=120r 2π2⎰π20=.32d d d z x y z Ω⎰⎰⎰,其中Ω是2222xy z R ++≤和2222(0)x y z Rz R ++≤>的公共部分.解1 球面2222x y z R ++=及2222x y z Rz ++=在球面坐标下的方程分别为r R =及2cos r R ϕ=.由2cos r R r Rϕ=⎧⎨=⎩解得 3πϕ=.原式=π2π22230d d cos sin d Rr r r θϕϕϕ⋅⎰⎰⎰+π2π2cos 2222π03d d cos sin d R r r r ϕθϕϕϕ⋅⎰⎰⎰=ππ525732π03232cos dcos 2πcos dcos 55R R πϕϕϕϕ--⋅⎰⎰=557ππ60160R R +559π480R =. 解2 采用“先二后一法”计算. 原式=2222222222022d d d d d d RRR x y Rz z x y R z z zx y z zx y +≤-+≤-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰=22222202π(2)d π()d R RR z Rz z z z R z z -+-⎰⎰559π480R =. 第四节 重积分的应用1.求锥面z =被柱面22z x =所割下部分的曲面面积.解由22z z x⎧⎪=⎨=⎪⎩消去z ,得D 的边界：222x y x +=.所求曲面面积DS σ=⎰⎰=d Dx yd Dσ.2.求底圆半径相等的两个直交圆柱面222x y R +=及222x z R +=所围成立体的表面积.解1 所求曲面在第一卦限内的图形如图所示.面积为2016d 16R Rx R ==⎰⎰.解2 由222222x y R x z R⎧+=⎨+=⎩消去x ,得z y =±.对于曲面x =y x =,0z x =,所求曲面的面积为图8d 8R y R Ry z R y -==⎰⎰⎰12222082()|16RR R y R =-⋅-=.3.设平面薄片所占的闭区域D 由曲线2y x =,2x y +=围成,求该均匀薄片的重心. 解 y M x M=,xM y M=. 212120000229d d d (2)d 2x x DM x y x x x ρσρρρ---===--=⎰⎰⎰⎰⎰,212120000229d d d (2)d 4x y x DM x x x y x x x x ρσρρρ---===--=-⎰⎰⎰⎰⎰,2121240002236d d [(2)]d 25x x x M x y y x x x ρρρ---==--=⎰⎰⎰, 因此,12yM x M ==-,85x M y M ==,故重心坐标为(,)x y =18(,)25-. 4.设平面薄片所占的闭区域D 由直线2x y +=,y x =和x 轴所围成,它的面密度22(,)x y x y ρ=+,求该薄片的质量.解 质量为1222220()d d ()d y yDM xy y x y x σ-=+=+⎰⎰⎰⎰12323410088842(44)d [2]33333y y y y y y y y =-+-=-+-⎰43=. 5.利用三重积分计算.1由曲面z =224x y z +=所围成的立体体段.解 采用柱面坐标计算232242002π2π(5ρ)ρπ4)383=---=.2由曲面z =,0)z A a =>>,0z =所围匀质物体的重心.解 匀质物体的重心即形心,且形心在对称轴-z 轴上,因此0x =,0y =,d d z vz vΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.其中332d π()3v A a Ω=-⎰⎰⎰.d z v Ω⎰⎰⎰=π2π320d cos sin d d A ar r θϕϕϕ⎰⎰⎰=π24420sin 2π24A a ϕ-⋅⋅=44π()4A a -. 于是44333()8()A a z A a -=-.重心坐标为44333()0,0,8()A a A a --. 6.求半径为R 、高为h 的均匀圆柱体绕过中心而垂直于母线的轴的转动惯量设密度1ρ=.解 建立坐标系,使圆柱体的对称轴在z 轴上,且原点在其中心.则所求转动惯量为 y I =2π22222202()d d ρd ρ(ρcos )d hRh x y v z z θθ-Ω+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰4322π20[cos ]d 424hR h R θθ=+⎰=342ππ412h h R R + 22()43M h R =+ 其中2πM R h =为圆柱体质量 第九章 重积分总习题1.计算d D I x y =,22222:,D x y a x y ay +≤+≥.解1 2()d ρd D D I ρθ=+⎰⎰⎰⎰下上π2π220sin πd ρd ρd ρd ρa aa θθθ=+⎰⎰⎰⎰33π3(1sin )d π33a a θθ=-+⎰π3333202222πsin d (π)3333a a a θθ=+=-⎰.解222222x y a x y ayI σσ+≤+≤=-⎰⎰⎰⎰3π3330222πsin d (π)3333a a a θθ=-=-⎰. 2.计算()d DI x y σ=+⎰⎰,其中D 由2y x =,24y x =及1y =围成. 解11100d )d d )d I y x y x y x y x =+++⎰⎰13/202d 5y y ==⎰. 解2 ()()d D D I x y σ=-+⎰⎰⎰⎰大小14212221121116[(1)]d [(14)]d 22x x x x x x x x ----=-+--+⎰⎰25=.3.计算2101d d x y I y x x y ≤≤≤=-⎰⎰解1 1222()d ()d D D I y x x y σσ=-+-⎰⎰⎰⎰ 图 221112211d ()d d ()d x xx y x y x x y y --=-+-⎰⎰⎰⎰4411224111[(1)]d []d 22x x x x x x x ---=--+-⎰⎰1115=. 亦可利用对称性简化计算.由于1D 、2D 均关于0x =即y 轴对称,又(,)f x y 关于x 为偶函数即(,)(,)f x y f x y -=,因此 221112202d ()d 2d ()d x xI x y x y x x y y =-+-⎰⎰⎰⎰.4.计算2(369)d Dy x y σ+-+⎰⎰,其中D 是闭区域222x y R +≤. 解 原式222200d ρ[ρsin 3ρcos 6ρsin ]d ρ9πRR πθθθθ=+-+⎰⎰442π2229πsin d 009ππ44R R R R θθ=+++=+⎰.亦可利用对称性简化计算.由于积分Dxd σ⎰⎰及Dyd σ⎰⎰均为零,故原积分再利用极坐标计算.5.计算22()d d d y z x y z Ω+⎰⎰⎰,其中Ω是由xOy 平面上曲线22y x =绕x 轴旋转而成的曲面与平面5x =所围成的闭区域.解 Ω在yOz 面投影域yz D 为：2210y z +≤,所以22()d d d yz x y z Ω+⎰⎰⎰=22π522d ρd ρd r x θ⋅⎰⎰⎰51150010002502π[1001000]2ππ412123-=⨯-⨯==. 6.计算d d x y z Ω,其中Ω为由2221x y z ++≤,1z ≥所确定.解 投影区域D ：2224()5x y +≤,用柱面坐标得d d x y z Ω=42π50212d ρd ρd ρr z z θ-⎰⎰⎰图42250642π[1ρ(2ρ1)]d ρπ75=---=⎰. 7.计算()d d d x z x y z Ω+⎰⎰⎰,其中Ω是由曲面z =与z =所围成的区域.解d d d 0x x y z Ω=⎰⎰⎰因为被积函数是x 的奇函数,积分区域Ω关于0x =对称,所以有()d d d x z x y z Ω+⎰⎰⎰=d d d z x y z Ω⎰⎰⎰;又由于d d d z x y z Ω⎰⎰⎰的被积函数只是z 的函数,用平面z z =去截Ω所得闭区域()D z 的面积很容易求,因此可选用“先二后一”方法求解.()d d d x z x y z Ω+⎰⎰⎰=d d d z x y z Ω⎰⎰⎰=1210()()d d d d d d D z D z z zx y z zx y +⎰⎰⎰⎰⎰=1220πd π(1)d z z z z z z +-⎰=π8.8.计算22()d I x y v Ω=+⎰⎰⎰,其中Ω是由222x y z +=,2z =,8z =围成的闭区域. 解1 22()()d I x y v ΩΩ=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰外柱22π282π48330222d ρd ρd d ρd ρd z z ρθθ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰2432ρ62π42πρ(8)d ρ2=⋅⋅+-⎰48π288π336π=+=.解2 22()()d I xy v ΩΩ=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰大小222π482π2222ρρ022d ρd ρρd d ρd ρρd z z θθ=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰42353500112π(8ρρ)d ρ2π(2ρρ)d ρ22=---⎰⎰336π=. 解3 采用“先二后一法”计算. I=22882π223222d ()d d d d d ρx y zzx y x y z θ+≤+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰=8222πd z z ⎰336π=.易犯的错误是：将222x y z +=代入被积表达式,得 388222π2d 4π|672π3z z z z =⋅⋅==⎰.9.计算2221d xy z v Ω++-⎰⎰⎰,其中Ω是球体2224x y z ++≤.解 被积函数含有绝对值2221x y z ++-,用曲面22210x y z ++-=将Ω分成1Ω和2Ω,其中1Ω：2221x y z ++≤ ,2Ω：22214x y z ≤++≤. 于是采用球面坐标计算1222(1)d x y z v Ω---⎰⎰⎰=2ππ1220d d (1)sin d r r r θϕϕ-⎰⎰⎰=8π15, 2222(1)d x y z v Ω++-⎰⎰⎰=2ππ22201d d (1)sin d r r r θϕϕ-⎰⎰⎰=232π15, 所以2221d x y z v Ω++-⎰⎰⎰=8π15+232π15=16π. 10.半球面z =220x y Ry +-=,22x y +0(0)Ry R +=>割出两个窗口,求在这半球面上剩下部分的面积.解d d S x y σ==.sin 4d R R Rθθ=-⎰=π2204cos d 4R R R θθ=⎰.11.在底半径为R ,高为H 的圆柱体上面,拼加一个同半径的半球体,使整个立体的重心 位于球心处,求R 和H 的关系设体密度1μ=.解 建立坐标系如图所示,由题意知,物体重心的竖坐标 d 0d z vZ vΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰,222π(2)02R R H =-=.R =.12.设一个上、下底半径各为b 、a ,高为H 的圆锥台,轴的转动惯量b a <. 解1 建立坐标系下如图432π2πρ(ρ)d ρ4a b b H H a a b=⋅⋅+--⎰=55π()10()H a b a b --.解2 采用“先二后一法”.用竖坐标为z 的平面截闭区域Ω,得到 圆域()D z ,设其半径为()z ρ,则ρ()z b H z a b H --=-,ρ()a bz a z H-=-.原式=2π2230()d ()d d d ρd ρa bH Ha z HD z z x y z σθ--+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰45540π1π[()]d ()210()H H aH a b z z a b H a b =--=--⎰.。
高数第六章重积分课堂练习题及答案
r O
图3
D {(r, ) | 0 r r( ), 0 2}
f
(r cos , r sin )rdrd
2
0
d r( ) 0
f
(r cos , r sin )rdr
D
2o 极点在区域 D 的边界上，如图 8-10 所示.
O
r
图4
D {(r, ) | 0 r r( ), }
r( )
D
D
大小. 先判断 f (x, y) 和 g(x, y) 在 D 上的大小关系，再应用二重积分的比较性质比较两个二
重积分的大小.
解: 由 (x 1)2 ( y 1)2 2 ，可得
y
x y 1 (x2 y2 2x 3) 1 [(x 1)2 y2 ] 1 1
2
2
x
如图 8-22.
o
图 8-22
成的在第一卦限内的立体体积. R3 arctan K
y
3
z x2 y2 z2 1
y
O Dxy
y
x
x2 y2 1
O
x
o
x
图6
2. 求由曲面 z x2 2 y2 及 z 6 2x2 y2 所围成的立体的体积. 6 3. 求由曲面 z x2 y 2 及 z x 2 y 2 所围成的立体的体积
D
[思路] 利用二重积分的估值性质估计二重积分，先计算被积函数在积分区域上的最大、 最小值和积分区域的面积，应用估值性质来估计二重积分的值.
解: 因为在积分区域 D 上， 0 x 1,0 y 2 ，所以 0 xy 2, 1 x y 1 4
于是可得 0 xy(x y 1) 8 ，而 D 的面积 1 2 2 ，应用估值性质有
高数讲义第二节二重积分的计算(一)
方法一：将 D 看做 Y 型区域
y x2
y x y2
(4 , 2)
2
y
x y2
0 1
x
(1 , 1)
1 y 2 , y2 x y2
x y d x d y
2 1
d
y
y2 y2
xy d x
D
x y d x d y
2 1
d
y
y2 y2
xy d x
D
1 2
x
2
1 0
y
(
d xd
x2
y
x4
)
1 2
dx
1 x2
0
1 2
(1 ( x3
3
x2)dx x5) 1
5
0
1 15
例 2 求 ( x2 y)dxdy，其中D是由抛物线
D
y x2和 x y2所围平面闭区域.
解：画积分区域 两曲线的交点
x y2
y x2
x
(0,0) y2
, (1,1),
· y M 2 y 2( x )
y
· M 2 y 2( x )
D
D
· M 1 y 1( x )
0a x b x
· M 1 y 1( x )
0 a x bx
类型 I （X 型）：D 由直线 x = a , x = b 与曲线
y 1( x ) 和 y 2( x ) 所围成，即
D { ( x, y ) | a x b, 1( x) y 2( x) }
dx
y
A(x)
0
a
z f ( x, y)
y 1( x )
高数下册之重积分
第九章 重积分以前我们学过一元函数的积分字,若f(x)在(a ，b)上可积，到积分⎰ba dx x f )(其中)(x f 为被积函数，（a ，b ）为积分区间。
我们若把)(x f 推广到多元函数。
(a ，b)推广到区域。
曲线，曲面等危围上去，便得到重积分，曲线积分，曲面积分等，本章只讲二重积分。
〖补充〗：这章的所有图形请老师自己为学生画出，并讲述画图的经过！第一节 二重积分的概念和性质一、二重积分的概念先讲二个具体的问题：（1）、求曲顶柱体体积。
（二）求平方薄片的质量。
（一） 求曲顶柱体体体积：设z=f(x.，y)是定义在有界区域性D 上的非负连续函数。
我们称曲面z=f(x ，y)，xoy 平面上的区域D 和准线为D 的边界，母线平行于z 轴的柱体所围成的立体为曲顶柱体。
现在的问题是求这个曲顶柱体的体积V 。
首先用一组曲线T 把区域D 划分为n 个小区域i σ∆（i=1，2，…,n ）这样就把原柱体分为n 个小曲顶柱体V i 。
又记i σ∆为T i 的面积，λi 为i σ∆的直径，对于i σ∆来说，由于f(x ，y)在i σ∆连续。
故当λi 很小时，f(x ，y)在i σ∆上各点的函数值近似相等，从而可视i σ∆上的曲顶柱体为平顶柱体，为此在i σ∆中任放一点以),(i i f ηξ为高的小平顶柱体的体积为i i i f σηξ∆),(。
并用它来代替这个小曲顶柱体的体积V i 把所有这些小平顶柱体的体积加起来便得曲顶柱体的体积的近似值：∑∑==∆⋅≈∨=N i Ni i i i i f V 11)(σηξ最后，当分割T 的细度O Max T i →=λ时有：∑=→∆⋅Ni iiiV f 1)(σηξ即：i i i T f Vσηξ∆=→),(lim 0（2）、平面薄电的质量设薄电占有xoy 平面上的区域D 且在点（x 、y ）的D 外的面密度为P （x ，y ）>O 求该平面薄纯的质量M 。
高数 第六章-重积分-二重积分(第1-2节)
∫∫ 3．积分 3 1 − x 2 − y 2 dxdy 有怎样的符号, 其中 D : x 2 + y 2 ≤ 4. D
4.利用二重积分的性质估计下列积分的值:
∫∫ (1) I = (x2 + 4 y2 + 9) dσ , 其中=D {(x, y) x2 + y2 ≤ 4} ； D
闭区域;
(4)
∫∫
D
sin x
x
dxdy
,
其中 D 是由 y =
x,
y= x, 2
x = 2 所围成的闭区域；
(2) ∫∫| y − x2 | dxdy, 其中 D 为 −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1； D
3
(5) ∫∫ (x2 + y2 − x)dxdy , 其中 D 是由 y = 2 , y = x , y = 2x 所围成 D
π
dx
0
sin x −sin x
f (x, y)dy ;
2
4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∫ ∫ (4)
1
dy
y f (x, y)dx ;
0
y
2
2y
∫ ∫ (5) dy f (x, y)dx ;
0
y2
3. 将下列积分表示为极坐标形式下的二次积分:
{ } ∫∫ (1) f (x, y)dσ , 其= 中 D (x, y) | x2 + y2 ≤ 4x ; D
x − 3y = 0, y − 3x = 0 所围成的平面闭区域.
(3)
∫∫D
1+
1 x2 +
y2
dxdy
,
高等数学二重积分的计算(1)
0
0
1
0
积分次序.
解：积分区域如图
y 3
x 3 y
f (x, y)d
d
[
2(y)
f
(x, y)dx]dy
D
c 1(y)
d
dy
2 ( y)
f
(x, y)dx
c 1(y)
先对x后对y
的二次积
分
应用公式时注意：
1) 首先应判定区域D是否为X-型或Y型区域。
画出积分区域 D 的图形. 2) 若 D 既是 x－型 区域又是 y－型 区域 则有：
块为好；
②根据被积函数f(x,y)特点，选择积分次序，以积分 简便或能够进行积分为原则，
如被积函数是：e
1 x
,
sin
x
,
cos
x
,
1
y
, ex2 , e x等应选择先积y，后积x.
x x ln x
（3）确定二次积分的上、下限，把二重积分化 为二次积分计算即可。 定限方法归纳如下
①先定限后积②域内划条线③先交为下限④后交为上限
解: 设两个直圆柱方程为
z
x2 y2 R2, x2 z2 R2
利用对称性, 考虑第一卦限部分,
R
其曲顶柱体的顶为 z R2 x2
OR
(x,
y)
D
:
0 0
y x
R
R2
x2
则所求体积为
x x2 z2 R2
y
R
8
R2 x2 d x
R2 x2
dy
0
0
8 R (R2 x2 ) d x 16 R3
0
3
例 2 试将 f (x, y)d 化为两种不同次序的累次
大一高数重积分知识点
大一高数重积分知识点重积分是高等数学中的重要概念，主要是对二重积分的推广和拓展。
在本篇文章中，将介绍一些大一高数课程中涉及的重积分的基本知识点和相关概念。
一、重积分的概念重积分是对多变量函数在某个区域上的积分，主要用于计算空间内的体积、重心以及质心等物理量。
在二维情况下，重积分被称为二重积分，表示对平面上的区域进行积分；在三维情况下，重积分被称为三重积分，表示对空间内的区域进行积分。
二、二重积分的计算对于二重积分的计算，常用的方法有直角坐标法和极坐标法。
1. 直角坐标法通过将二重积分化为两个一重积分的形式来计算。
例如，对于函数f(x, y)，其在矩形区域D上的二重积分可以表示为：∬D f(x, y) dxdy通过确定积分的上下限，将二重积分转化为两个单变量函数的积分。
2. 极坐标法对于具有极坐标对称性的函数，可以采用极坐标来进行计算。
通过将二重积分转化为极坐标下的一重积分，可以简化计算过程。
三、三重积分的计算对于三重积分的计算，也可以采用直角坐标法或柱坐标法进行计算。
1. 直角坐标法对于函数f(x, y, z)，其在空间内的三重积分可以表示为：∭E f(x, y, z) dxdydz通过逐次进行积分，将三重积分转化为三个一重积分的形式。
2. 柱坐标法对于具有柱坐标对称性的函数，可以采用柱坐标来进行计算。
通过将三重积分转化为柱坐标下的一重积分，可以简化计算过程。
四、变量替换法在计算重积分时，有时可以通过变量替换法来简化积分的计算过程。
通过适当选择变量替换，可以将原先复杂的积分问题转化为更简单的形式。
变量替换法在求解一些特殊的积分问题时非常有用。
五、应用领域重积分在物理学、工程学等领域中具有广泛的应用。
在物理学中，通过重积分可以计算物体的质量、质心、转动惯量等物理量。
在工程学中，通过重积分可以计算流体的流量、电荷分布等问题。
总结：大一高数课程中的重积分是深入学习积分学的重要内容，涵盖了二重积分和三重积分的计算方法，以及变量替换法的应用。
中国矿业大学(北京)《高等数学》课件-第10章重积分
“分割, 近似, 求和, 取极限”
解决方法:
质量 M .
密度函数为
定义. 设
且相等,
称为体积元素,
若对 作任意分割:
任意取点
则称此极限为函数
在 上的三重积分.
在直角坐标系下常写作
三重积分的性质与二重积分相似.
性质:
例如
下列“乘
中值定理.
在有界闭域 上连续,
则存在
使得
V 为 的
体积,
其中
解: 积分域 D 的边界为圆周
它在与 x 轴的交点 (1,0) 处与直线
从而
而域 D 位于直线的上方, 故在 D 上
估计下列积分之值
解: D 的面积为
由于
积分性质5
即: 1.96 I 2
D
例2.
判断积分
的正负号.
解: 分积分域为
则
原式 =
猜想结果为负 但不好估计 .
总有：
引例1中曲顶柱体体积:
引例2中平面薄板的质量:
如果 在D上可积,
元素d也常记作
二重积分记作
这时
分区域 D ,
因此面积
可用平行坐标轴的直线来划
二重积分存在定理:
若函数
定理2.
(证明略)
定理1.
在D上可积.
限个点或有限条光滑曲线外都连续 ,
积.
在有界闭区域 D上连续,
计算该薄片的质量 M .
度为
设D 的面积为 ,
则
若
非常数 ,
仍可用
其面密
“分割, 近似, 求和, 取极限”
解决.
1)“分割”
用任意曲线网分D 为 n 个小区域
高数第六章-二重积分(1-2节)(1)
本章起介绍多元函数积分学. 在一元函数积分学中我们知道定积分是某种确定形式的和的 极限. 这种和的极限的概念推广到定义在平面和空间区域、曲线及曲面上多元函数的情形, 便 得到重积分、曲线积分及曲面积分的概念. 本章将介绍重积分(包括二重积分和三重积分)的概 念、计算方法以及它们的一些应用.
n
f (i ,i ) i . 如果当各小闭区域 i 的直径 i 的最大值 趋于零时, 这和式的极限
i 1
总存在, 则称此极限为函数 f (x, y) 在闭区域 D 上的二重积分, 记作 f (x , y) d , 即
D
n
D
f (x , y) d lim 0 i1
f (i ,i )i .
域, 则在 D 上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分
的和.
例如闭区域 D 分为两个闭区域 D1 与 D2 (图 6-4), 则
f (x, y)d f (x, y)d f (x, y)d ,
图 6-4
D
D1
D2
这个性质表明二重积分对于积分区域具有可加性.
性质 3 如果在 D 上, f (x, y) 1, 为区域 D 的面积, 则
以上思想加以抽象推广, 可引入以下二重积分的概念. 2．二重积分的定义
定义 1 设 f (x, y) 是有界闭区域 D 上的有界函数. 将闭区域 D 任意分成 n 个小闭区
域 1 , 2 , , n , 其中 i 既表示第 i 个小闭区域, 也表示它的面积. 在每个小
闭 区 域 i 中 任 取 一 点 (i ,i ) , 作 乘 积 f (i ,i )i (i 1, 2, , n) , 并 作 和
上的二重积分都是存在的. (3) 直角坐标系下二重积分面积元素的表示
高数习题答案二
2π
1
2π
2
1 2 1 4 1 1 4 1 2 2 = 2π ( r − r )|0 +2π ( r − r )|1 = 5π. 2 4 4 2 y r = cosθ 3.利用极坐标计算下列二重积分 (1) ∫∫ xdxdy, D: x2 + y2 ≤ x D 0 1 x 解: 画出D的图形:
y
7.交换下列积分次序,并计算: (1)
∫ dy∫ e dx
y 0 y
1
1
1 y=x
0
D
解: 由已给积分次序知
y ≤ x ≤1 D: 0 ≤ y ≤1 ,
x =1 x 1
画出D的图形:
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x eydy = ey |0dx = ∫ dx ∫0 ∫ 0 0
1
x
1
y 1 y=x
x
1 x
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u v
2.将二重积分
∫∫ f ( x, y) dxdy 化为二次积分:
D
(1) D 是由 y = 2, y = 2x 及 x = 0 所围成的区域; 解: 画D的图形: 1 2 ∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫ dx∫ f ( x, y)dy
D
y
2D
0
D
x =1 1 x
(2) 解: 由已给积分次序知
0 ≤ x ≤1 D: 2 x ≤ y ≤1 ,
画出D的图形:
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8. 计算下列二重积分
(1) I = ∫∫ yexy dxdy,其中D 是由直线 y = 2, x =1,
x = 2及曲线
高数重积分复习题
高数重积分复习题一、选择题1. 对于二重积分 \(\iint_D f(x, y) \,dx\,dy\)，下列说法正确的是：A. 积分区域 D 必须为矩形B. 积分区域 D 可以是任意形状C. 函数 f(x, y) 必须连续D. 积分结果与积分顺序无关2. 在计算二重积分时，若积分区域 D 为圆形，通常采用的坐标变换是：A. 极坐标变换B. 直角坐标变换C. 球坐标变换D. 柱坐标变换3. 对于三重积分 \(\iiint_V f(x, y, z) \,dx\,dy\,dz\)，下列说法不正确的是：A. 积分区域 V 可以是任意形状B. 积分区域 V 必须为立体图形C. 函数 f(x, y, z) 可以是任意函数D. 积分结果与积分顺序有关二、填空题4. 假设函数 \( f(x, y) = x^2 + y^2 \)，计算区域为单位圆 \( D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \leq 1\} \)，则 \(\iint_D f(x, y)\,dx\,dy = \) ________。
5. 若 \(\iint_D xy \,dx\,dy\) 为 \( D = \{(x, y) | 0 \leq x\leq 1, 0 \leq y \leq x\} \) 上的二重积分，则积分结果为________。
三、计算题6. 计算下列二重积分：\[\iint_D (3x^2 - 2y^3) \,dx\,dy\]其中 \( D = \{(x, y) | 1 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq x\} \)。
7. 计算下列三重积分：\[\iiint_V (x + y + z) \,dx\,dy\,dz\]其中 \( V = \{(x, y, z) | 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1, 0 \leq z \leq x + y\} \)。
四、证明题8. 证明：对于任意的连续函数 \( f(x, y) \)，若 \(\iint_D f(x, y) \,dx\,dy = 0\) 对于所有简单连通区域 \( D \) 成立，则\( f(x, y) \equiv 0 \)。
高等数学二重积分的概念和性质1
∫∫ ln( x
2
号. + y )dxdy的符号
2
0 < x 2 + y 2 ≤ ( x + y )2 ≤ 1, 解 当 r ≤ x + y ≤ 1时,
故
ln( x + y ) ≤ 0 ;
2 2
又当 x + y < 1时,
ln( x 2 + y 2 ) < 0,
2
于是
r ≤ x + y ≤1
∫∫ ln( x
j
y
D
o x
其中L为 的围长 其中 为D的围长
⇒
∑ f (ξ j ,η j )∆σ j ≤ M ∑ ∆σ j ≤ MLλ → 0, (λ → 0) j j
dσ = dxdy
则面积元素为
故二重积分可写为
∫∫ f ( x, y)dσ =∫∫ f ( x, y)dxdy D D
三、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质） 二重积分与定积分有类似的性质） 性质１ 性质１ 性质２ 性质２
练习题
一、填空题: 填空题 : ______________时 1、当函数 f ( x , y ) 在闭区域 D 上______________ 时, 则其在 D 上的二重积分必定存在 . 2、二 重 积 分 ∫∫ f ( x , y )dσ 的 几 何 意 义 是
D
___________________________________. 3、若 f ( x , y ) 在 有 界 闭 区 域 D 上 可 积 , 且 D ⊃ D1 ⊃ D2 , 当 f ( x , y ) ≥ 0 时, 则 ∫∫ f ( x , y )dσ __________ ∫∫ f ( x , y )dσ ; 当 f ( x , y ) ≤ 0 时, 则 ∫∫ f ( x , y )dσ __________ ∫∫ f ( x , y )dσ .
高数下学期挂科幂级数重积分
高数下学期挂科幂级数重积分
高数下学期挂科幂级数重积分
高数下学期是大多数学生都非常头疼的一门课程。
尤其是幂级数和重积分这两个章节，更是大多数学生最难以理解的部分。
一旦没有掌握好幂级数和重积分的知识，很容易就会导致挂科。
但是即便如此，只要掌握了正确的学习方法，对这两个章节的掌握也并不是完全没有希望。
首先，关于幂级数，我们要明确它的定义和性质。
幂级数是将一个函数展开成一系列幂函数之和的形式。
它的展开式可以写成如下形式：f(x)=∑(n∈N){an(x-a)n}。
其中，a是一个常数，an是函数f(x)的n次项系数。
当然在实际应用中，我们经常会遇到特殊的幂级数形式，比如泰勒级数和麦克劳林级数等。
对于这些级数，我们需要结合具体的题目来进行理解。
其次，重积分在高数下学期中也是比较重要的一个概念。
重积分是指将一个函数在二维平面上分成无穷个小块，然后用有限个积分的形式将其求和，并得出整个区域的积分值。
这里需要注意的是，重积分的
计算需要比较繁琐的求解过程，所以需要我们掌握正确的计算方法。
比如在使用重积分计算二重积分时，我们可以使用极坐标系来化简计算过程，从而更加方便实用。
最后，我们需要强调的是，学好幂级数和重积分并不是一蹴而就的，而需要我们持续的学习和复习。
只有在经常学习和练习的基础上，才能够真正的理解这两个章节的精髓并顺利的通过考试。
因此，我们建议在学习的过程中注意整理笔记，积极参加课堂上的讨论，多做练习题并及时复习。
只有这样，你才能够在高数下学期中掌握幂级数和重积分这两个关键的概念，从而成功的通过这门课程。
经典高等数学课件D10-2二重积分的计算(1)
1
e y2
(
x3
)
y
dy
D
0
0
0
3
0
e1 y2 y3 dy e1 y2 y2 d(y2 ) 1 (1 2).
0
3
0
6
6e
19
例4. 计算 xyd ,其中D是由 y2 x，y x 2 所围的区域.
D
解:区域D的图形如右阴影部分， y
解方程组
y2
x,
y x 2.
(4,2) x y2 2
于是得到：
y
A( x0) o
D
a
x0
y
b
1(
x)x
A( x0 )
2 ( x0 ) 1 ( x0 )
f
(
x0 ,
y)d
y.
x [a,b], 则x对应的截面面积是A( x) 2(x) f ( x, y)d y, 1( x)
则V f (x, y)d
b
A(x)d x
b
[
2(x) f (x,
分析:如图. D : 0 x 1, x y 1
1
则
x2e y2dxdy
1
dx
1 x2e y2 dy
0
x
y
yx
D
Q e y2dy无法用初等函数表示.
o
1x
积分时必须考虑次序.
解: 由于D : 0 y 1,0 x y
则
x2e y2dxdy
1
dy
y x 2e y2 dx
解: 积分区域 D D1 D2 ,
y
D1 :1 y 0，0 x 1 y,
1
D2 : 0 y 1，0 x 1 y.
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高数资料
第十章重积分
重积分
积分类型计算方法典型例题
二重积分
()σd
,
⎰⎰=
D
y
x
f
I
平面薄片的质
量
质量=面密度
⨯面积
（1）利用直角坐标系
X—型⎰⎰⎰⎰
=
D
b
a
x
x
dy
y
x
f
dx
dxdy
y
x
f)(
)
(
2
1
)
,
(
)
,
(φ
φ
Y—型⎰⎰
⎰⎰=d c y y
D
dx
y
x
f
dy
dxdy
y
x
f)(
)
(
2
1
)
,
(
)
,
(ϕ
ϕ
P141—例1、例3
（2）利用极坐标系
使用原则
(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段)；
(2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含22
()
x yα
+, α为实数)
2
1
()
()
(cos,sin)
(cos,sin)
D
f d d
d f d
βϕθ
αϕθ
ρθρθρρθ
θρθρθρρ
=
⎰⎰
⎰⎰
02
θπ
≤≤0θπ
≤≤2
πθπ
≤≤
P147—例5
（3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性
当D关于y轴对称时，（关于x轴对称时，有类似结论）
P141—例2
应用该性质更方便
110(,)(,)(,)2(,)(,)(,)(,)D f x y x f x y f x y I f x y dxdy
f x y x f x y f x y D D ⎧⎪⎪-=-⎪⎪
=⎨⎪⎪-=⎪⎪⎩
⎰⎰对于是奇函数，即对于是偶函数，即是的右半部分
计算步骤及注意事项
1． 画出积分区域
2． 选择坐标系 标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数
关于坐标变量易分离
3． 确定积分次序 原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙 4． 确定积分限 方法：图示法 先积一条线，后扫积分域 5． 计算要简便 注意：充分利用对称性，奇偶性
三重积分
⎰⎰⎰Ω
=
dv
z y x f I ),,(
空间立体物的质量
(1) 利用直角坐标⎩
⎨⎧截面法投影法
投影
⎰⎰⎰⎰⎰
⎰=Ω
b
a
y x z y x z x y x y z z y x f y x V z y x f )
,()
,()()
(2121d ),,(d d d ),,(
P159—例1
P160—例2
（2） 利用柱面坐标 cos sin x r y r z z θ
θ=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标 适用范围:
○
1积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如 旋转体 ○
2被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如2
2
2
2
()()f x y f x z ++ 21()
()
(,,)d d d (cos ,sin ,)d b r a
r f x y z V z f z β
θα
θθρθρθρρΩ
=⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
P161—例3
（3）利用球面坐标 cos sin cos sin sin sin cos x r y r z r ρθϕθρθϕθϕ==⎧⎪
==⎨⎪=⎩
dv r drd d =2sin ϕϕθ
适用范围:
○
1积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如，球体，锥体. P165—10-(1)
质量=密度⨯面积○2被积函数用球面坐标表示时变量易分离. 如，222
()
f x y z
++ 222
111
(,)2
(,)
d d(sin cos,sin sin,cos)sin d I f
αβρθϕ
αβρθϕ
ϕθρϕθρϕθρϕρϕρ=⎰⎰⎰
（4）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性。