最新第36届国际数学奥林匹克试题合集

第36届国际数学奥林匹克试题

1．（保加利亚）

设A 、B 、C 、D 是一条直线上依次排列的四个不同的点，分别以AC 、BD 为直径的圆

相交于X 和Y ，直线XY 交BC 于Z 。若P 为XY 上异于Z 的一点，直线CP 与以AC 为直径的圆相交于C 和M ，直线BP 与以BD 为直径的圆相交于B 和N 。试证：AM 、DN 和XY 三线共点。

证法一：*设AM 交直线XY 于点Q ，而DN 交直线XY 于点Q ′（如图95-1，注意：

这里只画出了点P 在线段XY 上的情形，其他情况可类似证明）。须证：Q 与Q ′重合。 由于XY 为两圆的根轴，故XY ⊥AD ，而AC 为直径，所以 ∠QMC=∠PZC=90°

进而，Q ，M ，Z ，B 四点共圆。 同理Q ′，N ，Z ，B 四点共圆。 这样，利用圆幂定理，可知 QP ·PZ=MP ·PC=XP ·PY ， Q ′P ·PZ=NP ·PB=XP ·PY 。

所以，QP= Q ′P 。而Q 与Q ′都在直线XY 上且在直线AD 同侧，从而，Q 与Q ′重合。命题获证。 分析二*

如图95-2，以XY 为弦的任意圆O ， 只需证明当P 确定时，S 也确定。 证法二：设X （0，m ）,P （0，y 0）， ∠PCA=α，

m 、y 0是定值。有2

0.yx x x ctg y x C A c =⋅-=但α，

则.0

2

αtg y m x A -=

因此，AM 的方程为

).(0

2

ααtg y m x ctg y ⋅+=

令0

2

,0y m y x s =

=得，即点S 的位置取决于点P 的位置，与⊙O 无关，所以AM 、DN 和ZY 三条直线共点。 2．（俄罗斯）设a 、b 、c 为正实数且满足abc=1。试证：

.2

3

)(1)(1)(13

33≥+++++b a c a c b c b a 证法一：**设γβα++=++=++=---------111111111

2,2,2b a c a c b c b a

，

有.0=++γβα于是，

)(4

)(4)(43

33b a c a c b c b a +++++ )

(4)(4)(4333b a c abc

a c

b ab

c c b a abc +++++=

1

12

111121111211)()()(------------+++++++++++=b

a b a c c b c b c b γαβα

2

1

11

21112111111)()()()(2)(2γ

βαγβα------------+++++++++++=b a a c c b c b a

.6132)111(

23=⋅≥++≥abc

c b a ∴原不等式成立。

背景资料：陕西省永寿县中学安振平老师在《证明不等式的若干代换技巧》一文中运用“增量代换”给出证法一，还用增量代换法给出第 6届IMO 试题的证明。什么是增量代换法？——

由α≤+=≥0,,其中令a b a b a 称为增量。运用这种方法来论证问题，我们称为增量代换法。

题1 设c b a ,,是某一三角形三边长。求证：

.3)()()(222abc c b a c b a c b a c b a ≤-++-++-+

（第6届IMO 试题）

证明 不失一般性，设.,0,0,0,,,y x z y x z y x c y x b x a >≥≥>++=+==且

abc c b a c b a c b a c b a 3)()()(222--++-++-+则

+

++++-+++++-++++=x z y x y x x z y x y x x z y x y x x [)()]()[()(])()[(222

)])((3)()(z y x y x x z y x y x +++-++-+

))((3)()()()()2(222z y x y x x z x z y x z x y x z y x x +++--++++++++= .0)2(3222≤++++-=xyz z yz xz xy ∴原不等式成立。

同时，安振平老师用二元代换法给出第25届IMO 试题的证明。 什么是二元代换法？——

若.,,2t a y t a x a y x -=+==+则可设运用这种方法来论证问题，我们称为二元代换法。

题 2 已知.1,,,=++z y x z y x 且都是非负实数求证：

.27

720≤

-++≤xyz zx yz xy （第25届IMO 试题）

证明 不妨设,.3

2

,31,1.0从而易得由≥+≤

=++≥≥≥y x z z y x z y x .3

2

2xy xy xyz ≤≤

.02≥-++∴xyz xy zx yz

另一方面，令则).3

10(31,32≤≤-=+=

+t t z t y x )21()(z xy y x z -++

⎪⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t t t t xy t t 231231323123132312

.27

7)21(2772≤--=t c t 还有，安振平老师用对称代换法给出了第24届IMO 试题的证明。 什么是对称代换法？——

任意三个正实数c b a ,,构成某一三角形三边的充要条件是存在着三个正实数

.,,,,,y x c x z b z y a z y x +=+=+=使得用这种方法来处理问题，我们称为对称代换

法。

题3 设c b a ,,是三角形的边长，求证：

.0)()()(222≥-+-+-a c a c c b c b b a b a