固体物理第二章金属自由电子论

1 ❖ 假设二： 电子按能量的分布遵从Fermi-Dirac统计； f(E)e(E)/kBT 1
❖ 假设三：电子在一有限深度的方势阱中运动，电子运动就是个一维方势井问题，
电子间的相互作用忽略不计；
能态问题，就是k的问题！
电子密度
波矢k密度
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§2.2 Sommerfeld的自由电子论
思路回顾
1. 假设在E~E+dE的区间里有dN个电子，那么dU可以写成： 2. dN=dE内电子密度× dE
ne： 1202 /cm 3或 1203 /cm 3
即金属中传导电子的浓度比标准状况下经典理想气体的浓 度约大数千倍 。
由此可见，Drude 等人将金属中这种高浓度的传导 电子看成自由电子气体确实是一个极其大胆的简化。
2.特鲁德模型的成功之处 --成功地解释了欧姆定律
如果是你, 你将从哪儿开始?
什么是欧姆定律?
电子在发生碰 撞前可自由穿 过10个晶格。
根据特鲁德假设：碰撞是由电子和原子间产生 的，因此平均自由程的估算与模型相对自洽。
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§2.2 Sommerfeld的自由电子论
核心问题
内能（U）和比热（Cv）
dU C v dT
内能（U）
U=电子能量×电子数 假设在E~E+dE的区间里 有dN个电子，那么dU 可以写成：
（4）经典近似 在与离子实的相继两次碰撞之间电子的运动遵循Newton 运动定律 ；碰撞前后电子遵循 Boltzmann统计分布。
以上四个基本假设，实际上就是把金属中存在的大量 传导电子简化成类似于经典的理想气体，故通常又将 Drude电子模型称为经典自由电子气体理论。
金属中的自由电子气体模型仅有一个独立的参量：电
上一个速度：
eEt vt m
(E为外加电场，m为电子质量)。因此电子平均速度 只是由各电子的附加速度取平均获得。
vv0vt
eE
m
t2 t1
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欧姆定律E=j ，其中E为外加电场强度、为电阻率、j 为电流密度。
成功用微观量解释了宏观量！
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特鲁德模型的其他成功之处
Nat. Photon. 1, 641, 2007
* d 1 (V) k k A 1 V
V: 金属的体积
kr
1 expikr
V
k ：电子波矢
电子的能量：
2k 2 Ek
2m
21
2. 周期性边界条件确定k的取值
怎么求dN！ 接下来问题就来了！ dU EdN
Here comes the problem U EdN
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§2.2 Sommerfeld的自由电子论
核心问题
怎么求dN！
对于理想气体貌似有某个方法 对于dV范围内的分子数为： dN=dV内分子密度×dV
对于dE范围内的：
dN=dE内电子密度×dE
第二章 金属自由电子论
物理现象 或实验结果
决定因素
修 改
物理模型
理论
验证
结果与预言
1
金属自由电子论
§ 2.1 经典电子论； § 2.2 Sommerfeld的自由电子论； § 2.3 Sommerfeld展开式及其应用； § 2.4 电子发射
2
§2.1 经典电子论——Drude模型
经典电子论诞生的背景
E k 2k2 2m
系统的自由电子总数为
N0fEEdE
核心问题
系统的总能量： U 00 EfEEdE
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一、金属中自由电子的运动状态（k）
1. 运动方程
2m2 2
V0
E
V0：电子在势阱底部所具有的势能，取V0 ＝0。
令
k2
2mE
2
有
2k20
20
方程的解：
r Aeikr k
A：归一化因子，由归一化条件确定
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3. 特鲁德模型的局限性
金属电子的弛豫时间
金属电阻率在 10-6欧姆.厘米量级
值落在10-15 至10-14之间
以铜为例，273K时电阻率为1.5610-6欧姆.厘米， 求得=2.710-14 s
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3. 特鲁德模型的局限性
金属电子的平均自由程：理论自洽但与实际实验 结果不符 以铜为例，=2.710-14 s
子浓度(定义为单位体积中的平均电子数)。
由于在各种热力学过程中金属材料体积的变化通常很
微小，因此电子浓度这一状态参量的变化是甚微的。
若某一金属元素原子的原子量为A、价电子数为Z，
其所形成的晶体的质量密度为 m ，则该金属中的电子浓
度为
ne
ZNa
m
A
其中，N a 为Avogadro常数。
计算结果表明
欧姆定律：20世纪以前，有关金属导电的一些经验规律 分子运动论：成功地处理了理想气体问题 电子的发现：1897年J. J汤姆生发现电子
原子核
价电子 芯电子
3
（3）弛豫时间近似 在dt时间内电子与离子实之间碰撞的几率应为 dt/τ 其中τ称为弛豫时间：电子在与离子实的相继两次碰撞之 间的平均自由时间。 不论碰撞前如何近似，认为与离子实碰撞后电子速度的统 计分布将恢复到平衡态——近似认为电子经历一个弛豫时 间τ后将恢复到平衡态。
u为平均附加速度: v
v :电场附加给电子的平均速度(平均附加速度)。?? 10
考虑某一个电子，从上次碰撞发生起，有t时间的行 程。如果无外电场，其速度为v0。根据特鲁德模型德假 设，碰撞后电子出现的方向是随机的，因此v0将对总体 的电子平均速度毫无影响，即：
v0 0
但在外电场存在条件下，在上一次碰撞后立即附加
dU EdN
U EdN
3. 假设一：电子的填充满足Pauli不相容原理；
电子密度问题变为电子能态 密度问题
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4. 假设二： 电子按能量的分布遵从Fermi-Dirac统计；
出现f(E)
5. 假设三：电子在一有限深度的方势阱中运动， 先解解薛定谔方程，
电子间的相互作用忽略不计；
看看k的密度再说吧！
欧姆定律E=j ，其中E为外加电场强度、为电阻率、j 为电流密度。
电流的定义是什么?
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特鲁德模型的成功之处 --成功地解释了欧姆定律
金属中取一垂直于电流线的面元S。从宏观的平均 效果来看，我们可以认为所有自由电子以同一速度u运动。
q neutS
ut
I q neuS
t
S
j I neu S
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§2.2 Sommerfeld的自由电子论
核心问题
怎么求dN！
dN=dE内电子密度× dE
dN=dE内能量密度× dE
dN=f(E) × dE内能量密度× dE
先解解薛定谔方程，
E k 2k2 2m
看看k的密度再说吧！
❖ 假设一：电子的填充满足Pauli不相容原理； 有一个能态，就有一个电子