线性代数第二章矩阵
自考复习专题：线性代数第2章
第二部分矩阵本章概述矩阵是线性代数的重要内容，也是研究线性方程组和其它各章的主要工具。
主要讨论矩阵的各种运算的概念和性质。
在自学考试中，所占比例是各章之最。
按考试大纲的规定，第二章占26分左右。
而由于第三，四，五，六各章的讨论中都必须以矩阵作为主要工具，故加上试题中必须应用矩阵运算解决的题目的比例就要占到50分以上了。
以改版后的三次考试为例，看下表按考试大纲所占分数07.4 07.7 07.10 直接考矩阵这一章的26分左右31分34分38分加上其它章中必须用矩阵运算的所占分数51分53分67分由此矩阵这一章的重要性可见一般。
2.1 线性方程组和矩阵的定义2.1.1 线性方程组n元线性方程组的一般形式为特别若，称这样的方程组为齐次方程组。
称数表为该线性方程组的系数矩阵；称数表为该线性方程组的增广矩阵。
事实上，给定了线性方程组，就惟一地确定了它的增广矩阵；反过来，只要给定一个m×(n+1)阶矩阵，就能惟一地确定一个以它为增广矩阵的n个未知数，m个方程的线性方程组。
例1 写出下面线性方程组的系数矩阵和增广矩阵【答疑编号12020101】例2 写出以下面矩阵为增广矩阵的线性方程组【答疑编号12020102】2.1.2 矩阵的概念一、矩阵的定义定义2.1.1 我们称由mn个数排成的m行n列的数表为m×n阶矩阵，也可记为为矩阵A第i行，第j列的元素。
注意:矩阵和行列式的区别。
二、几类特殊的矩阵1.所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，记为O。
例如都是零矩阵。
2.若A的行数m=1，则称为行矩阵，也称为n维行向量。
若A的列数n=1，则称为列矩阵，也称为m维列向量。
3.若矩阵A的行数=列数=n，则称矩阵A为n阶方阵，或简称A为n阶阵。
如n个未知数，n个方程的线性方程组的系数矩阵。
4.称n阶方阵为n阶对角阵。
特别若上述对角阵中，，称矩阵为数量矩阵，如果其中λ=1，上述数量阵为，称为n阶单位阵。
5.上(下)三角阵称形如的矩阵为上(下)三角矩阵。
西北工业大学《线性代数》课件-第二章 矩阵
y1 x1,
y2 x2,
yn xn
对应
1 0 0
0
1 0
0
0 1
单位阵
我们把这样的线性变换称之为恒等变换。
矩阵的基本运算
一、矩阵的相等
同型矩阵：两个矩阵行数和列数都相等
矩阵相等：设两个矩阵 Amn 和 Bmn是同型矩阵， 且对应元素相等，即 aij bij (i 1,2,, m; j 1,2,, n)
则称矩阵A和B相等，记做 A B。
例如：
x 0
1 y
48
3 0
1 2
z 4
可得
x 3 y 2 z 8
判断正误：零矩阵相等。 （ ）
二、矩阵的线性运算
⒈ 矩阵的加法
设有两个同型矩阵 A aij mn , B bij mn ,那末矩阵A
与B的和记作A B，规定为
A B (aij bij )mn
y Bz
则 z 到 x 变换为
x Ay A(Bz) ( AB)z
求出AB即可。
四、方阵的幂
设A为n阶方阵，则规k 定A的k次方为 Ak A A A
可以看出：只有方阵才有幂运算。
规定：
A0 E
A1 A
Ak1 Ak A
(k 1,2,)
运算规律： Ak Al Akl
( Ak )l Akl
k，l为任意正整数
注意：当 AB BA时，某些关于数字幂运算的规律 不再成立，例如
( AB)k Ak Bk
( AB)k (AB)(AB)( AB) ( AB AB)( AB)( AB) k ( A2B2 )( AB)( AB)
所以
( AB)k Ak Bk
⒉ 线性变换
《线性代数》第二章矩阵(习题课)
13
8. 用初等变换法求矩阵的逆矩阵
定理： 可逆矩阵可以经过若干次初等行变换化为单位矩阵. 推论1： 可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积
第二章 矩阵习题课
一. 主要内容 二. 典型例题 三. 测验题
1
一. 主要内容
1. 矩阵的定义
由m n个数 aij (i 1,2,,m; j 1,2,,n)
排成的m行n列的数表， a11 a12 a1n
简称m n矩阵.
记作
A
a 21
a 22
a 2n
例1：设矩阵
A
1 0
1
1
,
求与A可交换的所有矩阵。
分析：根据乘法定义及矩阵相等定义求
解：设所求矩阵为 X 由 AX XA,
a
c
b
d
,
得
ac
c
b
d
d
a c
a b
c
d
c 0,a d
X
a 0
矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）
加法满足
1 交换律：A B B A.
2 结合律：A B C A B C . 3 A 0 A,其中A与O是同型矩阵. 4 A A O.
3
线性代数第二章矩阵及其运算2-3PPT课件
CHAPTER 02
矩阵的乘法
矩阵乘法的定义
01
矩阵乘法是将两个矩阵对应位置的元素相乘，得到一个新的矩 阵。
02
矩阵乘法的结果是一个矩阵，其行数等于左矩阵的行数，列数
等于右矩阵的列数。
矩阵乘法的操作顺序是先进行行操作，再进行列操作。
CHAPTER 05
矩阵的秩
秩的定义
秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
秩的Байду номын сангаас质
矩阵的秩是唯一的，且其值满足 特定的性质，如对于任何矩阵A， r(A)≤min(m,n)，其中m和n分别 为矩阵A的行数和列数。
秩的计算方法
可以通过多种方法计算矩阵的秩， 如高斯消元法、行变换法、初等 行变换法等。
线性代数第二章矩阵及 其运算2-3ppt课件
CONTENTS 目录
• 矩阵的加法与数乘 • 矩阵的乘法 • 逆矩阵与伴随矩阵 • 矩阵的行列式 • 矩阵的秩 • 矩阵的应用
CHAPTER 01
矩阵的加法与数乘
矩阵的加法
矩阵加法定义
两个矩阵A和B的和记作A+B，定义 为满足以下条件的矩阵C，即C的元 素Cij=Aij+Bij（i，j=1，2，…，n）。
03
矩阵乘法的性质
1 2
结合律
$(AB)C=A(BC)$，即矩阵乘法满足结合律。
分配律
$A(B+C)=AB+AC$，即矩阵乘法满足分配律。
3
单位元
存在一个单位矩阵，使得任意矩阵与单位矩阵相 乘都等于原矩阵。
《线性代数》第二章矩阵及其运算精选习题及解答
第二章 矩阵及其运算2.1 目的要求1．理解矩阵的概念；2．了解单位矩阵, 对角矩阵, 三角矩阵, 对称矩阵以及它们的基本性质； 3．掌握矩阵的线性运算, 乘法, 转置及其运算规则；4．理解逆矩阵的概念; 掌握可逆矩阵的性质; 会用伴随矩阵求矩阵的逆； 5．了解分块矩阵的概念, 了解分块矩阵的运算法则．2.2重要公式和结论1．对于任意方阵A , 总有 E A =A A =AA **，如果0≠A , 即A 为可逆矩阵, 则有 *1A AA1=−或1*A A A −=； 2．数乘以方阵的关系 , TTk k A A =)(111)(−−=A A kk , A A n k k =, A A 11=−；3．矩阵乘法的关系T T T A B (AB)=, , 111A B (AB)−−−=BA AB =；，()22T TA)(A =()2112A )(A−−=，22A A =；4．若A 、均为可逆矩阵, 则; ； B 10B A 0−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−−0AB 011⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−111B 00A B 00A ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−11111B 0CB A A B 0C A ；； ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−11111B CA B 0A BC 0A 5．已知A 为一个n 阶可逆矩阵, 则有)2(≥n 1n *AA −=；6．已知A 为一个阶矩阵，则n A A nk k =，1−=n nk k A A *，()1)1(*−−=n n n kk AA ；7．已知A 为一个n 阶可逆矩阵, 则有)3(≥n A AA 2**)(−=n ．2.3典型例题例2.1计算:(1) (2) .⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛n n b b a a M L 11)(()n n b b a a L M 11⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛解 (1) =;⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛n n b b a a M L 11)(∑==+n k k k n n b a b a b a 111L (2) . ()⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b a a L M M M L L L M 21222121211111例2.2 设 为三阶矩阵, 且已知)(j i a =A a =A , *A 为A 的伴随矩阵又⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=333231232221131211na na na ma ma ma la la la B , 求 *BA 解 由于 CA B =⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=333231232221131211333231232221131211000000a a a a a a a a a n m l na na na ma ma ma la la la 其中, ，故⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=n m l 000000C ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛====an am al a 000000C E A C CAA BA **．例2.3 设, , 求的关系, 使⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=3421A ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=y x 21B y x 与A 与是可交换的． B 解 要使A , 可交换, 即B BA AB =又⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=y x y x y x 3464214213421AB ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=y y x x y x 3442324342121BA 故的充要条件是 ， 得到 BA AB =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=++=++=+yy y x x y x x 343442643221441−=y x .例2.4 设n ×=1)21,0,,0,21(L C , , ,计算C C E A T −=C 2C E B T +=AB ．解: C)C C)(E C (E AB TT +−=C CC 2C C C C 2C E T T T T −−+= )C (CC 2C C C E TTT−+=C C 212C C E T T ××−+=E = 故 E AB =．例2.5 设. , 求⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=5423A 1−A解 由于075423≠==A , 故A 是可逆的，又， 故⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=342522122111*A A A A A ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−==−3425711*1A A A ． 例2.6 设阶矩阵n A 的伴随矩阵为*A , 是常数, 试证 k ()*A A 1*−=n k k ． 证明 把看作一个整体, 根据A k E A AA *=, 有 ()E A A A )()(*k k k =，由于A 是可逆的,则也是可逆的，故)(A k ()*11111*1)()(A A A A A A A A −−−−−==×==n n n k k kk k k k ． 证毕例2.7 设, ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=2111021100210001A *A 为A 的伴随矩阵, 求． **)(A 解 由于 082111021100210001≠==A , 故A 是可逆的, *A 是可逆；根据E A AA *=, 有 E A )(A A ****=，方程左右两边同时左乘以A ，得 E A A )(A AA ****=， 即 A A A)(A ***1=， 又 1n *A A −=, A 是4阶矩阵，故 10001200()6411201112−⎛⎞⎜⎟⎜⎟===⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠n 22**A AA AA ． 例2.8 设A , 是n 阶方阵, 若B AB E −可逆, 试证 BA E −也可逆 ．证明 由于A AB)AB)(E B(E E BA E 1−−−−=−A AB)BAB)(E (B E 1−−−−=A AB)BA)B(E (E E 1−−−−=移项得到E A AB)BA)B(E (E BA)(E 1=−−+−−即E A)AB)B(E BA)(E (E 1=−−−−根据可逆矩阵的定义, BA E −可逆, 并且．证毕A AB)B(E E BA)(E 11−−−+=−例2.9 设, 求．⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=00010000200010L L MM M MLL n n n A 1−nA 解 对矩阵分块, , 其中 n A ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=0CB 0A n )(n =C ， ， ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=100020001n L M M M L L B 故1(1n=−C , ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=−)1(10002100011n L M M M LLB， 根据分块矩阵的逆矩阵公式⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−−−−0B C 00C B 0A 1111n⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=0)1(100021000011000n n LM M M M L L L ． 例2.10 设阶方阵 , , 求, 使n ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=100001010A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=021102341B X B AX =． 解 由于01100001010≠−==A , 故A 是可逆的; 并且 ；⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=−1000010101A 方程左右两边同时左乘以1−A 得到⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛==−021341102021102341100001010B A X 1．例2.11 设,求, 使⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=134030201A X X A E AX 2+=+．解 对方程移项得 E A X AX 2−=−， 根据矩阵乘法分配律得E A E)X (A 2−=−由于 016034020200≠−==−E A , 故E A −可逆．方程左右两边同时左乘以, 得(1−−E A )()()E)(A E A E)(A E A E)(A X 121+−−=−−=−−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=+=234040202E)(A例2.12 设, 求. 其中E BA)B X(E TT1=−−X , ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=1000110001100011A ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=2000120031204312B 解 根据乘法转置公式得 TTT(AB)A B =T T 1T T1A)(B A)]B [B(E BA)B (E −=−=−−−又 011234012300120001)(≠==−TA B , 故可逆， 对方程 右乘以[， 得到 ． T )(A B −E A)X(B T=−]1)(−−T A B []⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=−=−12100121001200011T A)(B X例2.13 设A 的伴随矩阵, 求, 使． ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=8030010100100001*A B 3E BA ABA 11+=−−解 根据, 得到 3E BA ABA 11+=−−()3E BA E A 1=−−故 皆是可逆的, 并且A E,A −()()()1111A E A A E AB −−−−−=−=33[]1111)A (E E))(A (A −−−−−=−=33又由1n *AA −=, 8*=A , , 故 4=n 2=A ，1*1*11)A E ()A (E )A (E B −−−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−=−=22132133 11*1*60300101001000016)2(6)2(213−−−⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−=−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=A E A E B . ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=1030060600600006例2.14 设阶矩阵n A 的伴随矩阵为*A , 试证(1) 若0=A , 则0*=A ； (2) 1*−=n AA ； (3) 1)1(*)(−−=n n n kk AA ．证明 (1 ) 根据0=A 得到0A =与0A ≠两种情况，① 当0A =时, 则, 显然0A *=0*=A ；② 当0A ≠时, 利用反证法, 不妨反设0*≠A ，则可逆, 即存在*A 1*−A , 又由于E A AA *=,0=A ，得到0)(A 0)(A A A 1*1*=⋅==−−, 这与矛盾.假设0A ≠0*≠A 不成立．故综合①②得到若0=A , 则0*=A .(2 ) 分0=A 和0≠A 两种情况，① 当0=A 时, 由(1)得到0*=A , 显然有1*−=n AA ．② 当0≠A 时, 则A 可逆, 由E A AA *=引入行列式得到n*A A A =, 从而1n *AA −=．(3 ) 根据(2 )中1n *AA −=得到1)1(11*)()()(−−−−===n n n n n n k k k k AA A A ．例2.15 设A , 均为阶方阵, B n 2=A , 3−=B , 求1*B)(A −2．解1*n1*1*1*B A B A B)(A B)(A −−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛===212122， 又根据E BB1=−, 得到1=−1B B , 即BB 11=−, 以及1−=n A A *，所以6131)2(212121−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−××⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−−−n n1*n1*B A B)(A例2.16 设5阶矩阵A , 且2=A , 求A A −． 解 由于2=A , ()()6423225−=×−=−=−=−A A AA A 5．例2.17 设A , 均为3阶矩阵, B 2=A , 21=B , 求()*AB ． 解()()122122=⎟⎠⎞⎜⎝⎛====−−1313*****ABA B A B AB ． 例2.18 设阶矩阵n A , 有E A m=, 若A 中每个元素用其对应的代数余子式代替, 得到矩阵, 求．ij a ij A B mB 解 依题意, 得 , (其中T *)(A B =*A 为A 的伴随矩阵)，由E A m=, 得到1=m A ,即A 是可逆的，故 1ΤΤ1Τ1Τ*)(ΑΑ)(ΑΑ)ΑΑ()(ΑΒ−−−====，又由, 得111A B (AB)−−−=T T T A B (AB)=()()222112)(,)(T T A A A A ==−−，所以 ()()11)()(−−=T m mTA A , 故()()E A A AB===−−11)()(Tm T m mm．例2.19 设⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=21232321A , 且E A 6=, 求11A 解 由 E A 6=, 得E A12=, 即E AA 11=, 故⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=−212323211A A 11. 例2.20 设, )5,4,3,2,1(=A ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=51,41,31,21,1B , 又B A X T =, 求n X 解 由X XX XnL =B)(A B)B)(A(A T TTL =()()()B BA BA BA A T T T T L =又因为，故 5=T BA ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛==−−514131211543215511n n n B A X T ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=−145352555413424534312335242321251413121151n ． 例2.21 设, 满足⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=100000001B ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=112012001P PB AP =,求A , 9A ．解．由于01112012001≠−=−=P , 故是可逆的,且，P ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=−1140120011P 由题意, ， ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−==−1140120011000000011120120011PBPA ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=116002001又 A PBP P PB PBP PBPA 119119====−−−−L ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=116002001．例2.22 设, 求⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=101λA nA ． 解 由于 ，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==1021101101λλλAA A 2⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==10311011021λλλA A A 23不妨假设结论,下用归纳法证明. 当⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=101λn nA 2=k 时,显然成立， 不妨设时也成立, 即, 则当1−=n k ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−10)1(11λn n An k =时⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−==−10110110)1(1λλλn n A A A 1n n ，故结论成立, 即． ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=101λn nA2.4 独立作业2.4.1 基础练习1．设阶矩阵, 且n )(ij a =A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=n λλO 1D )(j i j i ≠≠λλ则=AD （A ）()ij i a λ ； （B ）()j ij a λ； （C ）()ij i a 1+λ ； （D ）以上都不对． 2．设A 、均为阶矩阵，下列命题正确的是 B n（A ）0B 0A 0AB ==⇒=或； （B ）0B 0A 0AB ≠≠⇔≠且； （C ）00==⇒=B A 0AB 或； （D ）00≠≠⇔≠B A 0AB 且． 3．设阶矩阵满足， 则有 n E ABC =（A ） （B ）E ACB =E CBA = （C ）E BAC = （D ）E BCA =4．设，则⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=120001430A =A k（A ） （B ） （C ）311k −311k k 11− （D ） k 115．下列命题正确的是 （A ）若A 是阶方阵，且n 0A ≠，则A 可逆； （B ）若A 、是阶可逆方阵，则B n B A +也可逆； （C ）若A 是不可逆方阵，则必有0A =； （D ）若A 是阶方阵，则n A 可逆⇔TA 可逆．6．已知，，则⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=210413121A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=121312410B ()T AB 7．设，，则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=0111,300121A A ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=21A 00A A =−1A8．已知，则 ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=300041003A =−−1)(2E A9．设矩阵满足，其中B 9E 3B A AB 2−=−E 为三阶单位矩阵，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=400020101A , 则 =B10．已知，满足⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=200012021B A B AB =−，则=A 11．设，，求矩阵，使⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=311201A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=041012B X B X A =+23成立．12．设，计算⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=141021001A ()()()2181644A A E A E A E +−−−−T ．13．设，,求矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=1000210032101321B ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1000210002101021C A , 使成立．T T 1C B)A C(2E =−−14．设矩阵，，，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=3152P ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=1001B ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=2153Q PBQ A =， 试计算QP 和nA ．15．设（k 为正整数），（1）试证 ；0A k =1k 1A A E A)(E −−+++=−L （2）求． 1)4(−−E)(A 2.4.2提高练习1．设A 为阶矩阵,且有n A A 2=,则结论正确的是________________ (A)(B) 0A =E A = (C) 若A 不可逆,则0A = (D) 若A 可逆,则E A 2=2．已知，，且⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=22211211a a a a A ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=y a x a 2111B 1,1==B A ，则=+B A (A) 2； (B) 3; (C) 4; (D) 5．3．设 ，是两个阶方阵，则)(ij a =A )(ij b =B n AB 的第行是 i （A ） 的各行的线性组合，组合系数是B A 的第行各元素； i （B ） A 的各行的线性组合，组合系数是的第行各元素； B i （C ） 的各列的线性组合，组合系数是B A 的第行各元素； i （D ） 的各行的线性组合，组合系数是B A 的第列各元素． i 4．设A 、、C 为可逆矩阵，则B ()=−1T ACB（A ） ； （B ） ；()1−−−C A B11T 11T A C B −−（C ） ( D ) ()1T 11B CA −−−()11T1A C B−−−．5．设A 为阶矩阵，为其伴随矩阵，则n *A =*A k （A ） A n k （B） nk A （C）1−n n k A（D）nn kA1−6．设三阶矩阵A 的行列式3=A ，则=−−*123A A7．设阶矩阵n A 的行列式5=A ，则()=−1*5A8．已知 则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=θθθθcos sin sin cos A =−1A 9．设阶矩阵n A 、、C ，且B E CA BC AB ===，则 =++222C B A10．设A 、是四阶矩阵，且B 2=A ，21=B ，则()=*AB11．设三阶矩阵A 、Β满足关系式,BA 6A BA A 1+=−⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛=710004100031A ，求 B 12．设 B A B A AX AXB 22+−+=，求．其中，X⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=100110111A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=200020102B 13．设A 、均为阶方阵，若B n AB B A =+，求()1−−E A ．14．设, ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=211021001A *A 为A 的伴随矩阵, 求．1*)(−A第二章 参考答案与提示2.4.1 基础练习1．( B ) 提示 AD 表示A 的第i 行与D 的第列j 相乘得到()j ij a λ． 2．（C ）提示 0000==⇒=⇒=⇒=B A B A A 0AB 或B ． 3．（D ）提示 A 、、C 可逆，等式左乘以B 1−A ，右乘以A ． 4．（A ）提示 3311k k k −==A A ．5．（D ）提示 由于A 可逆⇔00≠⇔≠T A A ⇔TA 可逆．6．， ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=15419102935121312410210413121AB ()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=1541910293511995103425TAB ． 7．⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−−−110100000310000112111A 00A A．8．，()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=−1000210012E A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=−−1000212100121E A ． 9． ， ，E B A AB 293−=−E A B AB 293−=−)333E E)(A (A E)B (A +−=−由于021*********≠=−−=−E A ，故E)A 3(−是可逆的，．⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=+=7000501043E)(A B 10．A B AB =− ， ，B E)A(B =−04100002020≠=−=−E B ，E B −是可逆的,⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=−=−200012102111000021021020********E)B(B A ．11．()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=−=91461121321A B X ．12．()()()21T A A E A E A E +−−−−81644()()()A E A)E (A E A E 1T−−−−=−4444()()A E A E T−−=44()24A E −=324182==．13．左乘以C ，，由于 E B)A C (T=−20110002100321043212≠==−B C ，故 是可逆的，(． B C −2()()⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=−=−=−−−1210012100120001222C 1T T1B)C (B)C (B)A 14．，即、互为逆矩阵， ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=100131522153QP P Q ()()()()BQ QP QP B QP PB PBQ A nn L ==Q PB n =，由于，故．）（－L ,2,1,122===k k kBB E B⎪⎩⎪⎨⎧⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−==为奇数为偶数n n 1162011A E A n 15．（1）由于()1k AA E A)(E −+++−L )A A (A )AA (E n 21k +++−+++=−L LE A E n =−=， 故 ，1k 1A A E A)(E −−+++=−L （2）()111A)(E A))(E (E))(A (−−−−−=−−=−4144()1k A A E −+++−=L 41． 2.4.2提高练习 1．（D ）提示：，若0E)A(A A A2=−⇔=A 可逆，则E A =，E A 2=．2．（C ）提示：,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=+y a ax a a 2221121122B A 422221112221121122211211=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=++=+y a x a a a a a y a a x a a B A ． 3．（A ）提示：乘积AB 的第行是i A 的第行与的列的乘积． i B n ,,1L 4．（D ）提示：()()()()()()1−−−−−−−===A C B AC B B AC ACB1T 111T 1T 1T ．5．（C ）提示：1**−==n nn k k k AA A ．6．()()()9313133232333111*1−=×−=−=−=−=−−−−−AA A A A A A ．7．()n n n n211*1*1*5151151)(515−−−−==⎟⎠⎞⎜⎝⎛==A AA A． 8．⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−==−θθθθcos sin sin cos 1*1A A A ． 9．由于E CA BC AB ===，故 ，2A A(BC)A ABCA E ===2B B(CA)B BCAB E ===，，2C C(AB)C CABC E ===所以 ．E CB A 2223=++10．()()11=====−3341*)B A (AB ABABAB AB AB ．11．由于，，右乘以得BA A BA A 1+=−6A E)BA (A 16=−−1−A E E)B (A16=−−又可逆．故A)(E −16−−−=E)(A B1⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛=6100031000216． 12．方程整理得B E)A)(B A(X =−−由于0≠A ，0≠−E B ，故A 、E B −是可逆的，且⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=−1001102111A ，()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=−−1000101011E B 所以11E)B(B A A X −−−=− ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=200220522100010101200020102100110211故 ． ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=300330613X 13．由于AB B A =+B AB A −=⇒()B E A A −=⇒（但是B 不一定可逆，不能同时右乘以1−B）()()B E A E E A −=+−⇒()()E E B E A =−−⇒，故 ()E)(B E A 1−=−−．14．由于0421102101≠==A , 故A 是可逆的, *A 是可逆的； 根据E A AA *=, 有 E )(A A **=−1方程左右两边同时左乘以A 得，AE )(A AA **=−1即 A A )(A *11=−， 故 ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛==−2110210014111A A )(A *．。
《线性代数》课件-第二章 矩阵及其运算
a11
A
A
a21
am1
a12 a22
am1
a1n
a2n
amn
数乘矩阵的运算规律
a, b, c R 结 合 (ab)c a(bc) 律 分 (a b) c ac bc 配 律 c (a b) ca cb
设 A、B是同型矩阵， , m 是数 (m)A (m A)
a11
a12
a13
a14
4
c11 a1kbk1
b11
b21
b31
b41
k 1
4
c12 a11b12 a12b22 a13b32 a14b42 a1k bk 2 k 1
一般地，
4
cij ai1b1 j ai 2b2 j ai 3b3 j ai4b4 j aikbkj k 1
行列式
矩阵
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
(1) a a t( p1 p2 pn ) 1 p1 2 p2
p1 p2 pn
行数等于列数
共有n2个元素
a11 a12
a21
a22
am1 am1
anpn
a1n
a2n
amn
行数不等于列数 共有m×n个元素 本质上就是一个数表
第二章 矩阵及其运算
§1 矩阵
一、矩阵概念的引入 二、矩阵的定义 三、特殊的矩阵 四、矩阵与线性变换
B
一、矩阵概念的引入
例 某航空公司在 A、B、C、D 四座 A
城市之间开辟了若干航线，四座城市 之间的航班图如图所示，箭头从始发 地指向目的地.
城市间的航班图情况常用表格来表示:
线性代数(复旦大学出版社)第二章 矩阵
第二章矩阵第一节矩阵的概念1、分类：行矩阵：只有一行的矩阵列矩阵：只有一列的矩阵零矩阵O：元素全为零的矩阵单位阵E：主对角线上元素为1，其他元素为0的方阵数量阵（纯量阵）：λE对角阵：不在主对角线上的元素都为0的方阵上（下）三角阵：主对角线上以下（上）的元素全为0的方阵2、两矩阵同型：两个矩阵行数且列数都相等两矩阵相等：两矩阵同型，且对应元素相等。
记做A=B。
3、不同型的零矩阵是不相等的第二节矩阵的运算设A,B,C为m×n矩阵，λ, μ为数一、加法：只有同型矩阵才能进行加法运算（1）交换律：A+B=B+A（2）结合律：(A+B)+C=A+(B+C)（3）A+O=A二、减法：A-B=A+(-B) -B称为B的负矩阵三、乘法：1、只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（行矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘。
简记为：(m×s)(s×n)=(m×n)例: A为2×3矩阵，B为3×2矩阵，则AB=C为2×2矩阵2、数与矩阵：（1）(λμ)A=λ(μA)=μ(λA)（2）(λ+μ)A=λA+μA（3）λ(A+B)=λA+λ B（4）1*A=A, (-1)*A=-A矩阵与矩阵：（1）结合律：(AB)C=A(BC)（2）分配律：A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA（3）λ(AB)=(λA)B=A(λB)（4）EA=AE=A（5）A k A l=A k+l（6）(A k)l=A kl3、矩阵乘法不满足交换律，即(AB)C≠(AC)B另外：（1）一般有AB≠BA （A与B可交换时，等式成立）（2）AB=O，不能推出A=O或B=O（3）AB=AC,A≠O,不能推出B=C（4）(AB)k≠A k B k（A与B可交换时，等式成立）4、可交换的：对于两个n阶方阵A,B,有AB=BA，则称A与B是可交换的。
纯量阵与任意同行方阵都是可交换的。
线性代数第二章
课题：矩阵教学目的：理解矩阵的概念，熟练掌握矩阵运算；理解矩阵的初等变换及作用；理解矩阵的秩和逆的概念，熟练掌握矩阵的秩和逆的求解教学重点：矩阵运算、秩和逆的求解教学难点：矩阵的乘法、秩和逆的概念教学时数：10教学设计：§1、§2 矩阵的概念与运算一、矩阵的概念1 矩阵的定义①定义6P def1②矩阵的行、列③行标、列标④元素(元)⑤主对角线、主对角元2 特殊矩阵①矩阵的行、列数目特殊行矩阵(只有一行的矩阵) def列矩阵(只有一列的矩阵) defn阶方阵(行数等于列数) def 注：1阶方阵②矩阵的元素特殊零矩阵 def负矩阵 def单位阵 def3 矩阵的同型 def4 矩阵的相等 def二、矩阵的运算1 矩阵的加、减法①定义9P②性质a)满足交换律与结合律b)A+(-A)=O A+O=Ac)A+(-B)=A-B (减法也可用此式定义)注：可加(减)的条件是两矩阵同型，结果也同型2 矩阵的数乘 ① 定义 10P ② 性质a) ()()A A αβαβ= b) ()A B A B ααα+=+ c) ()A A A αβαβ+=+3 矩阵的乘法 ① 定义 12P注意：可乘条件：左矩阵的列数等于右矩阵的行数 相乘结果：为左矩阵的行数右矩阵的列数 ② 乘法举例例1 设21123,13010A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦求AB 解：2112322613010153AB --⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦例2 2115003,20141A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦求AB 解 21410115003603201416201AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦③ 性质a) 结合律 ()()A BC AB C = b) 左、右分配律 ()A B CAC BC +=+()A B C AB AC +=+c) 不满足交换律主要有以下三方面的原因1) 若AB 有意义，BA 未必有意义如 2223A B ⨯⨯有意义而2322B A ⨯⨯则没有意义 2) 即使AB 、BA 都有意义，也不一定同型 如322333A B C ⨯⨯⨯=， 233222B A C ⨯⨯⨯=3) 即使AB 、BA 都有意义且同型，也不一定相等如24241236A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦ 16320081600AB BA --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦d) 乘法消去律不满足即当AB AC =一般说来没有B C = 如000110010000A B C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦虽有0000AB AC ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，但B C ≠ 以如512100603011A B C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦虽有1100ACBC ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，但A B ≠ ④ 方阵的幂对于方阵A 与自然数k ，称k nA A A A =⋅⋅⋅为方阵A 的k 次幂，具有性质： a) 1212k k k k A A A +=, b) 1212()k k k k A A =例3已知1101A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求nA ⑤矩阵的行列式 AB A B=⋅4 矩阵的转置 ① 定义 16P② 性质1) ()T TAA =2) ()T T T A B A B +=+3) ()()T T A A λλ= 4) ()TT T AB B A =作业：P100 2，4,5(2)(3)(6)，10，14((1)(5)，17(1)，18§3、§4 特殊矩阵与分块矩阵一、 特殊矩阵 1 对角矩阵如果n 阶方阵()ij A a =中的元素满足：0(,1,2,)ij a i j i j n =≠= ，则称A 为对角矩阵。
线性代数教案_第二章_矩阵
授课章节第二章矩阵§2.1矩阵§2.2矩阵的运算目的要求理解矩阵的定义，掌握矩阵的运算重点矩阵的运算难点矩阵的乘法§2.1矩阵前面介绍了利用行列式求解线性方程组的方法，即Cramer法则。
但是Cramer法则有它的局限性：1. 系数行列式；2. 方程组中变量的个数等于方程的个数。
接下来要学习的还是关于解线性方程组，即Cramer法则无法用上的－――用“矩阵”的方法解线性方程组。
本节课主要学习矩阵的概念及其运算。
一、矩阵的概念矩阵是线性代数的核心，矩阵的概念、运算和理论贯穿线性代数的始终。
矩阵是一个表格，它的运算与数的运算是既有联系又有区别；矩阵与行列式也有很大的关联，但二者不能等同混淆。
对于分块矩阵，它在矩阵乘法、求逆、向量的线性表出、线性相关与秩、线性齐次方程组的解等方面，都有很大的用处。
矩阵是本课程的一个重要概念，在生产活动和日常生活中，我们常常用数表表示一些量或关系，如工厂中的产量统计表，市场上的价目表等等例1 某种物资有3个产地，4个销地，调配量如表1所示表 1 产地销地调配情况表销地产地B1 B2 B3 B4A1 1 6 3 5A2 3 1 2 0A3 4 0 1 2那么，表中的数据可以构成一个矩形数表：在预先约定行列意义的情况下，这样的简单矩形数表就能表明整个产销调配的状况。
不同的问题，矩形数表的行列规模有所不同，去掉表中数据的实际含义，我们得到如下矩阵的概念。
定义2.1 由个数排成的行列数表（2.1）称为一个行列矩阵，简称矩阵。
这个数称为矩阵的元素，其中称为矩阵的第行第列元素.（2.1）式也简记为或. 有时矩阵A也记作.注 1.元素是复数的矩阵称为复矩阵，元素是实数的矩阵称为实矩阵，本书中的矩阵除特别说明外，都指实矩阵.2.当时，称矩阵为长方阵（长得像长方形）；3.当时，称矩阵为阶方阵（长得像正方形），简称方阵；4. 两个矩阵的行数、列数均相等时，就称它们是同型矩阵.如果与是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即则称矩阵A与矩阵B相等，记作A＝B5.所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，记为O. 值得注意的是：不同型的零矩阵是不相等的.例2设，，已知A＝B，求.【解】因为，，，所以二、几种特殊矩阵（1）矩阵，当时，即称为n阶方阵，记为. 特别地，一阶方阵.方阵中从左上角元素到右下角元素的这条对角线称为方阵的主对角线，从右上角元素到左下角元素的这条对角线称为方阵的副对角线。
线性代数第二章 矩阵
a11 a12
A
(aij )mn
a21
a22
am1 am2
a1n
b11 b12
a2n
,
B
(bij )mn
b21
b22
amn
bm1 bm2
b1n
b2n
bmn
则矩阵 A 与 B 的和，简记为 A+B，规定为
a11 b11
A
B
(aij
bij )mn
a21
b21
am1 bm1
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定义5
设矩阵
a11 a12
A
(aij )mn
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
则矩阵 Ａ 的负矩阵，简记为 –A，规定为
a11
A
(aij )mn
a21
am1
a12 a22
am2
a1n
a2n
amn
由此，可以定义矩阵的减法，规定
A B A (B)
积，简记为 AB ．
下一页 上一页 退出
定义7 设 A (aij )是一个 m×n 矩阵， B (bij )是一个 n×p 矩阵，即
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
,
amn
b11 b12
B
b21
b22
bn1 bn2
b1p
b2
p
bnp
规定矩阵 A 与 B 矩阵的乘积是一 个m×p 矩阵 C (cij )
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n
线性代数详细解答 (袁晖坪版)第二章 矩阵
−3
1
4
⎟ ⎠
=
⎜ ⎝
9
−4
5
⎟ ⎠
(2) 由 AT + X T = BT ，得 X T = BT − AT ，所以
⎛ 2 −3⎞ ⎛1 2 ⎞ ⎛ 1 −5⎞
XT
=
BT
−
AT
=
⎜ ⎜
3
1
⎟ ⎟
−
⎜ ⎜
3
−1⎟⎟
=
⎜ ⎜
0
2
⎟ ⎟
⎜⎝ −1 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 3 ⎟⎠ ⎜⎝ −1 1 ⎟⎠
因此得
X
⎛ 9 12 6.2 8.3 ⎞
解：
(1)
A
=
⎜ ⎜
11
10.2
8.5
8
⎟ ⎟
，
B
=
⎜⎜11.2
9.9
8.6
8.5
⎟ ⎟
⎜⎝ 9 10 7.2 6.8 ⎟⎠
⎜⎝ 9.1 9.6 8 7 ⎟⎠
⎛8.7 9.1 6.4 7.9 ⎞ ⎛ 9 12 6.2 8.3 ⎞
(2)
A
+
B
=
⎜ ⎜
11
10.2
8.5
8
AT
.
T
⎛⎛ 1 3 ⎞
⎞ ⎛ −1 5 −5 ⎞
解：
( AB)T
=
⎜⎜ ⎜⎜
2
⎜⎝
⎜ ⎝
−2
−1⎟⎟
1
⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
2 −1
5 0
1⎞⎟
3
⎟ ⎠
⎟ ⎟⎠
=
⎜ ⎜
5
⎜⎝10
10 −1
−10
线性代数第二章,矩阵及其运算
a1n b1
a2n
b2
L L
amn bm
§2 矩阵的运算
一、加法
设 A (ai j )mn ， B (bi j )mn 都是m n 矩阵，则加法定义为
a11 b11
A
B
a21
b21
L
a12 b12 L a22 b22 L
LL
am1 bm1 am2 bm2 L
显然，
AB B A
a22
L
L L L
am1 am2 L
a1n
a11 a21 L
a2n
，记
AT
a12
a22
L
L
L L L
amn
a1n an2 L
则称
AT
A
是
的转置矩阵。
am1
am 2
L
amn
显然，
① ( AT )T A ，② ( A B)T AT BT ，③( A)T AT ，④( AB)T BT AT
2． 即使 Amn ， Bnm ，则Amn Bnm 是m 阶方阵，而Bnm Amn 是n 阶方阵；
3． 如 果 A ， B
都 是n
阶
方
阵
，
例
如
2
A
1
4
2
，
B
2
3
4
6
，则
16
AB
8
32 16
，而BA
0 0
0
0
；
AB BA
综上所述，一般
（即矩阵乘法不满足交换率）。
但是下列性质显然成立：
三、乘法
乘法运算比较复杂，首先看一个例子
设变量t1, t2 到变量 x1, x2 , x3 的线性变换为
(优选)线性代数第二章矩阵及其运算
A) A=E
B)A=-3E
C) A-E可逆 D) A+3E不可逆
解答：因为A与E是可交换的，依题意可得：
A2+2A-4E=0 A2+2A-3E=E (A-E)(A+3E)=E， 根据逆矩阵的定义，(A-E)与(A+3E)互逆。故选C
四、可逆矩阵的性质
设 A, B, Ai , (i = 1, 2, …, m), 为 n 阶可逆方阵， k 为非零常数，则
（6） (Am)-1 = (A-1)m , m 为正整数.
证明 我们证只明证（我３们）只和证（（４３））和（４）
（３） (AB（)(３B-）1A-(1A) B=)A(B(B-1BA-1)A=-1A=(ABEBA-1)-1A=-1A=AA-1EA-1 =
= E.
= E.
（４） AT（(A４-1)T）=A(AT(-1AA-1))TT==((EA)-T1A=)TE,= (E)T = E,
练习：
设
A
1
3
2 4
,
则A*=
, A-1=
。
解答：
A*
4 3
2
1
,
A1
1 2
4 3
2 1
2 3 2
1
1
,
2
例 11 用伴随矩阵法求下列矩阵的逆阵
2 2 3 (1) A1 1 1 0
3 1 2
1 2 3 (2) A2 1 2 1
5 2 3
1 3 1 4
项式，A 为 n 阶矩阵，记
(A) = a0 E + a1 A + … + am A m ，
所以 (AT所)-1以= (A(-1A)T).-1 = (A-1)T .
线性代数第二章矩阵试题及答案
线性代数第⼆章矩阵试题及答案第⼆章矩阵⼀、知识点复习1、矩阵的定义由m?n个数排列成的⼀个m⾏n列的表格，两边界以圆括号或⽅括号，就成为⼀个m?n型矩阵。
例如2 -1 0 1 11 1 1 0 22 5 4 -2 93 3 3 -1 8 是⼀个4?5矩阵.⼀个矩阵中的数称为它的元素,位于第i⾏第j列的数称为(i,j)位元素。
元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0。
两个矩阵A和B相等(记作A=B)，是指它的⾏数相等，列数也相等(即它们的类型相同)，并且对应的元素都相等。
2、n阶矩阵与⼏个特殊矩阵⾏数和列数相等的矩阵称为⽅阵，⾏列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵。
n阶矩阵的从左上⾓到右下⾓的对⾓线称为主对⾓线。
下⾯列出⼏类常⽤的n阶矩阵,它们都是考试⼤纲中要求掌握的.对⾓矩阵: 对⾓线外的的元素都为0的n阶矩阵.单位矩阵: 对⾓线上的的元素都为1的对⾓矩阵,记作E(或I).数量矩阵: 对⾓线上的的元素都等于⼀个常数c的对⾓矩阵,它就是c E.上三⾓矩阵: 对⾓线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三⾓矩阵: 对⾓线上的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵: 满⾜A T=A矩阵，也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.反对称矩阵:满⾜A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对⾓线上的元素⼀定都是0.) 正交矩阵：若AA T=A T A=E，则称矩阵A是正交矩阵。
（1）A是正交矩阵?A T=A-1 （2）A是正交矩阵?2A=1阶梯形矩阵:⼀个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满⾜:①如果它有零⾏，则都出现在下⾯。
②如果它有⾮零⾏，则每个⾮零⾏的第⼀个⾮0元素所在的列号⾃上⽽下严格单调递增。
把阶梯形矩阵的每个⾮零⾏的第⼀个⾮0元素所在的位置称为台⾓。
每个矩阵都可以⽤初等⾏变换化为阶梯形矩阵，这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运⽤的基本运算，必须⼗分熟练。
线性代数第二章矩阵及其运算
ann 0
0
5. 形如 下面两个矩阵 的方阵称为下三角矩阵(lower triangular matrix)．
a11 0 a21 a22
an1
an2
0 0
0
0
ann
an1
0 a1n
a2n1
a2n
ann1 ann
6. 若方阵 A (aij )n 中 aij a ji , 则称为对称矩阵 (symmetric matrix)． 即
一、线性方程组
定义1 设有 n 个未知数 m 个方程的线性方
程组
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1 ,
a21 x1 a22 x2 L LLL
a2n xn L
b2 ,
am1 x1 am2 x2 L amn xn bm .
（1）
其中aij 表示第i个方程第j个未知数的系数(coefficient), bi 是第i个方程的常数项(constant)，i=1,2,…，m， j =1,2,…, n.
a11 b11
A
B
a21
b21
L
a12 b12 L a22 b22 L
LL
am1 bm1 am2 bm2 L
L
L
L
L
称为单位阵(unit
matrix),
记作 En ． 0 0 L 1
4. 形如 下面两个矩阵 的方阵称为上三角矩阵(upper triangular matrix)．
a11a12 0 a22
0 0
a1n
a2n
ann
a11 a1n1 a1n
a21
a2n1
0
a11 a12 L a1n
线性代数---矩 阵
aik
ml
bkj
ln (cij )mn Cmn
其中
l
cij ai1b1 j ai2b2 j L ailblj aikbkj k 1
(i 1, 2,L , m; j 1, 2,L , n)
l
即
C
cij
mn
k 1
aik bkj
材料
定额
1
产品
1 a11 2 a21
ML
i ai1
mMaLm1
2L
a12 L a22 L LL ai2 L LL am2 L
jL n
L a1 j
a1n
La2 j
L L
a2n
L
aij L ain L LL amj L amn
由m 行n 列构成的消耗定额阵列
L a11 a12
a1n
L a21 a22
a2n
排成4行4列的产值阵列
80 58 98 70 90 75 88 70
75 78 85 84 90 90 82 80
例3：
品i
生产 m
1, 2,L
种产品需要 n
, m 耗用第
j种种材材料料，如j 果1以, 2,aLij
,
表示生产第 i 种产
n 的定额，则消耗
定额可以用一个矩形表表示，如下：
cij ai1b1 j ai2b2 j (i 1, 2, 3; j 1, 2)
i j i 即矩阵C中第 行第 列的元素等于矩阵A第 行元
j 素与矩阵B第 列对应元素乘积的和。
定义：设矩阵 A
相同，则
aik
线性代数第二章矩阵及其运算
线性代数第二章矩阵及其运算$1.矩阵定义1 由m*n个数a_{ij}(i=1,2,3...,n)排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵，简称mn矩阵。
为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示，记作这mn个数称为矩阵A的元素，简称为元，数位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的（i,j）元。
以数. 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵，本书中的矩阵除特别说明者外，都指实矩阵。
行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。
n阶矩阵A也记作An。
只有一行的矩阵 . 只有一列的矩阵称为列矩阵，又称列向量。
两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵。
如果那么就称矩阵A与矩阵B相等，记作 A=B 元素都为零的矩阵称为零矩阵，记作O。
注意不同型的零矩阵是不同的。
矩阵的应用非常广泛，下面仅举几例。
例1工厂三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵其中这四种产品的单价及单件重量也可列成矩阵其中。
例2一般的，若干个点之间的单向通道都可以用这样的矩阵表示。
例3n个变量x_1,x_2,...,x_n与m个变量y_1,y_2,...,y_m之间的关系式表示一个从变量给定了线性变换（2），它的系数所构成的矩阵（称为系数矩阵）也就确定。
反之，如果给出一个矩阵作为线性变换的系数矩阵，则线性变换也就确定。
在这个意义上，线性变换和矩阵之间存在着一一对应的关系。
例如线性变换叫做恒等变换，它对应的一个n阶方阵叫做n阶单位矩阵，简称单位阵。
这个方阵的特点是：从左上角到右下角的直线（叫做（主）对角线上的元素都是1，其他元素都是0.即单位阵E的（i,j）元为）又如线性变换对应n阶方阵这个方阵的特点是：不在对角线上的元素都是0.这种方阵为对角矩阵，简称对角阵。
对角阵也记作$2.矩阵的运算一、矩阵的加法定义2 设有两个m*n矩阵A=(a_{ij})和B={b_{ij}},那么矩阵A和B的和记作A+B，规定为应该注意，只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。
线性代数 矩阵
3 (AB) (A)B A(B)
问题：乘法运算的维数变化。 乘法运算是否满足交换律？
2021年11月13日
29
例 2．设 矩 阵
4 1 0
A 1 0 3 1 2 1 0 2
B
1 2 1
1 0 3
3
1 4
求 AB
解
4 1 0
AB 1 2
0 1
3 0
21
2021年11月13日
12
在 n 阶 方 阵 中，如 果 主 对 角 线
以 外 的 元素 全 为 零，即
a11
A
a22
ann
则 称 为 对 角 矩 阵。
2021年11月13日
13
在 n 阶 对 角 矩 阵 中，如 果 对 角 线
上 的元素 全 为 1， 记 为 E，则 称
1
E
1
1
其 中 k, l 为 自 然 数 。
2021年11月13日
31
例 3. 设
A 2 1 , 4 2
求 AB, BA, A2 。
B 3 1 6 2
解：
AB 2 1 3 1 0 0 4 2 6 2 0 0
BA 3 1 2 1 10 5 6 2 4 2 20 10
2021年11月13日
35
即
b 2c, d a 2c
所以
X a 2c c a 2c
(其 中 a, c 是 任 意 常 数)。
2021年11月13日
36
例 5. 设 方 阵 A 满 足 A3 0 ， 则
(E A A2 )(E A) E
证 明：
左 边 E(E A) A(E A) A2 (E A) (右分配律)
线性代数与几何第二章矩阵
简记为
Amn (aij)mn
当 m=n 时称为n 阶方阵.
矩阵同形它们行数和列数相同.
矩阵相等它们同形且对应元素相等.
方阵的行列式: 2.特殊矩阵
或
.
| A|| aij |nn d e t Α
零矩阵:
0 mn, 0
对角矩阵: 单位矩阵: 数(纯)量矩阵:
上三角矩阵:
a11
a2n
an1 an 2
ann
运算性质(定理2.1):
A 设A, B, 为 n 阶方阵, k 为数, 则有 i
(1) kA k n A , A (1)n A (2) | AB |=| A | | B | (行列式乘法公式) (3) | A1A2 As || A1 || A2 | | As | (4) Am A m
线性代数与几何第二 章矩阵
本章主要内容
矩阵的概念及运算 可逆矩阵* 矩阵的初等变换与初等阵 矩阵的秩 分块矩阵
2.1 矩阵的概念 2.1.1.矩阵的概念
1. 矩阵的定义
由 mn 个数排成的m行、n列的矩形数表
称为阶数为
a11 a12
A
a21
a22
a
m
1
am2
mn 的矩阵.
a1n
a2n
amn
a
2
b1
a1b2 a2b2
,
BA
(b1a1 b2a2)
注意: 在这个例子中,虽然 AB 与 BA 均有意义,但是AB 是 2×2 矩阵,而BA是 1×1 矩阵.
设
1 1 1 1
例3
A1 1, B1 1
则
AB00 00,
BA22
2 2
注意: (1) AB与BA是同阶方阵，但AB 不等于BA. (2) 虽然A, B都是非零矩阵, 但是 AB = 0.
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对应
1 0 0 单位阵 E 0 1 0 n 0 0 1
1 0 0 2 4. 形如 0 0
0 0 记作 的方阵称为对角阵． A diag(1 , 2 , , n ) n
3. 元素全是零的矩阵称为零距阵．可记作 O . 例如：
O22
0 0 0 0
O14 0 0 0 0
同型矩阵与矩阵相等的概念
1. 两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵.
1 2 14 3 例如 5 6 与 8 4 为同型矩阵. 3 7 3 9
矩阵加法的运算规律
a , b, c R
设 A、B、C 是同型矩阵
A B B A
交 换 ab ba 律 结 合 (a b) c a (b c ) 律
( A B) C A ( B C )
其 他
设矩阵 A = (aij) ，记－A = (－aij)，称为矩阵 A 的负矩阵． 显然
aa b12 b12 a13 2a13 a11 a12 a13 a11 b12 a13 2 1111 aa 1212 2 aa b22 b22 a2 2121 aa 2222 23a a21 a22 a23 a21 b22 a23 23 a a a a b a 2 a a a a b b a 2 a 33 31 32 33 31 32 33 3131 3232 3232 33 33
a11 a21 a n1
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
p1 p2 pn
( 1)t ( p1 p2 pn ) a1 p1 a2 p2 anpn
行数不等于列数 共有m×n个元素 本质上就是一个数表
行数等于列数 共有n2个元素
det(aij )
A ( A) 0, A B A ( B)
例（续）该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表：
b11 b21 b31 b41
b12 b22 b32 b42
其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量．
设工厂向某家商店发送四种货物各 件，试求：工厂向该商 店发送第 j 种货物的总值及总重量．
解：工厂向该商店发送第 j 种货物的总值及总重量
b11 b12 b11 b b b 21 22 21 b31 b32 b31 b41 b42 b41
其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量．
a11 a21 A am 1 a12 a22 am 1 a1 n a2 n amn
系数矩阵
线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.
例
y1 x1 , y x , 2 2 线性变换 称为恒等变换. yn x n
1 x1 0 x2 0 xn , 0 x1 1 x2 0 xn , 0 x1 0 x2 1 xn
y1 x1 , y1 y x , y 2 2 2 yn yn x n
B
一、矩阵概念的引入
例 某航空公司在 A、B、C、D 四座 A 城市之间开辟了若干航线，四座城市 之间的航班图如图所示，箭头从始发 地指向目的地.
C
城市间的航班图情况常用表格来表示: 目的地
D
A
始发地
A B C D
√ √
√ √
B
√ √
C
D
其中√ 表示有 航班
√
A
A B C D
√ √
√ √
B
√ √
2. 两个矩阵 A (aij ) 与 B (bij )为同型矩阵，并且对应元
素相等，即 aij bij (i 1, 2,, m; j 1, 2,, n)
则称矩阵 A 与 B 相等，记作 A = B .
0 0 例如 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
a12 a22 am 1
a1 n a2 n amn
简记为 A Amn (aij )mn (aij )
这 m×n 个数称为矩阵A的元素，简称为元.
元素是实数的矩阵称为实矩阵， 元素是复数的矩阵称为复矩阵.
行列式
矩阵
a11 a21 am 1 a12 a22 am 1 a1n a2 n amn
1 0 0 0 1 0 特别的，方阵 称为单位阵． 记作 E n ． 0 0 1
§2
矩阵的运算
例
某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店
发送货物的数量可用数表表示：
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33 c13 c23 c33
b12 b22 b32 b42
二、数与矩阵相乘
定义：数 与矩阵 A 的乘积记作 A 或 A ，规定为
a11 a21 A A am 1
a 12 a22
am 1
a 1 n a 2 n amn
C
D
√
为了便于计算，把表中的√改成1，空白地方填上0， 就得到一个数表：
0
1 1
1 0
1 1 0
0 0
1
0
1
0
0
0
这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况.
例
某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可
用数表表示为：
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 a24 a34
数乘矩阵的运算规律
a , b, c R
设 A、B是同型矩阵， , 是数
( ) A ( A) ( ) A A A
结 合 (ab)c a(bc ) 律 分 (a b) c ac bc 配 c (a b) ca cb 律
第二章
矩阵
教学要求：
1．理解矩阵概念，了解单位矩阵、对角阵、对称阵等 性质。 2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律。 3．会分块矩阵及其运算。 4．理解逆阵的概念，熟悉逆矩阵存在的条件与矩阵求 逆的方法。
重点、难点：
矩阵与矩阵的乘法、逆矩阵存在的条件及其求法。
§1
矩阵的概念
一、矩阵概念的引入 二、矩阵的定义 三、特殊的矩阵 四、矩阵与线性变换
(aij )mn
三、特殊的矩阵
1. 行数与列数都等于 n 的矩阵，称为 n 阶方阵．可记作 An .
2. 只有一行的矩阵 A (a1 , a2 ,, an ) 称为行矩阵(或行向量) .
a1 a2 只有一列的矩阵 B 称为列矩阵(或列向量) . an
a14 a24 a34 c14 c24 c34
其中aij 表示上半年工厂向第 i 家 商店发送第 j 种货物的数量．
c11 c12 c21 c22 c31 c32
其中cij 表示工厂下半年向第 i 家 商店发送第 j 种货物的数量．
试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量．
解：工厂在一年内向各商店发送货物的数量
其中aij 表示工厂向第 i 家商店 发送第 j 种货物的数量．
这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：
b11 b21 b31 b41
b12 b22 b32 b42
其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量．
二、矩阵的定义
由 m×n 个数 aij (i 1, 2,, m; j 1, 2,, n) 排成的 m 行 n 列的数表 a11 a12 a1n
0
0 0 0 .
注意：不同型的零矩阵是不相等的.
四、矩阵与线性变换
n 个变量 x1 , x2 , , xn 与 m 个变量 y1 , y2 ,, ym 之间的 关系式 y1 a11 x1 a12 x2 a1n xn , y a x a x a x , 2 21 1 22 2 2n n ym am 1 x1 am 2 x2 amn xn .
说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.
知识点比较
a11 a12 a13 a11 b12 a13 a11 a12 b12 a13 a21 a22 a23 a21 b22 a23 a21 a22 b22 a23 a31 a32 a33 a31 b32 a33 a31 a32 b32 a33
一、矩阵的加法
定义：设有两个 m×n 矩阵 A = (aij)，B = (bij) ，那么矩阵 A 与 B 的和记作 A＋B，规定为
a11 b11 a21 b21 A B am 1 bm 1 a12 b12 a22 b22 am 2 bm 2 a1n b1n a2 n b2 n
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 a24 a34
c11 c12 c21 c22 c 31 c32
c13 c14 c23 c24 c33 c34
c11 aa c12 aa c13 aa c14 aa c11 c12 c13 c14 11 12 13 14 11 12 13 14 c24 aa cc cc cc c24 21 21 aa 22 22 aa 23 23 aa 24 21 21 22 22 23 23 24 a c a c a c a c a c a c a c a c 3131 3131 3232 3232 3333 3333 3434 3434