线性代数第二章矩阵

1 x1 0 x2 0 xn , 0 x1 1 x2 0 xn , 0 x1 0 x2 1 xn
y1 x1 , y1 y x , y 2 2 2 yn yn x n

a11 a21 A am 1 a12 a22 am 1 a1 n a2 n amn
Hale Waihona Puke Baidu
系数矩阵
线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.
例
y1 x1 , y x , 2 2 线性变换 称为恒等变换. yn x n
数乘矩阵的运算规律
a , b, c R
设 A、B是同型矩阵， , 是数
( ) A ( A) ( ) A A A
结 合 (ab)c a(bc ) 律 分 (a b) c ac bc 配 c (a b) ca cb 律
a21 a22 a2 n am1 am 2 amn
称为 m 行 n 列矩阵，简称 m×n 矩阵． 记作
a11 a21 A am 1 a12 a22 am 1 a1 n a2 n amn
a11 a21 A am 1
a12 a22 am 1
a1 n a2 n amn
简记为 A Amn (aij )mn (aij )
这 m×n 个数称为矩阵A的元素，简称为元.
元素是实数的矩阵称为实矩阵， 元素是复数的矩阵称为复矩阵.
行列式
矩阵
a11 a21 am 1 a12 a22 am 1 a1n a2 n amn
3. 元素全是零的矩阵称为零距阵．可记作 O . 例如：
O22
0 0 0 0
O14 0 0 0 0
同型矩阵与矩阵相等的概念
1. 两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵.
1 2 14 3 例如 5 6 与 8 4 为同型矩阵. 3 7 3 9
a11 a21 a 31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 a24 a34

c11 c12 c21 c22 c 31 c32
c13 c14 c23 c24 c33 c34
c11 aa c12 aa c13 aa c14 aa c11 c12 c13 c14 11 12 13 14 11 12 13 14 c24 aa cc cc cc c24 21 21 aa 22 22 aa 23 23 aa 24 21 21 22 22 23 23 24 a c a c a c a c a c a c a c a c 3131 3131 3232 3232 3333 3333 3434 3434
一、矩阵的加法
定义：设有两个 m×n 矩阵 A = (aij)，B = (bij) ，那么矩阵 A 与 B 的和记作 A＋B，规定为
a11 b11 a21 b21 A B am 1 bm 1 a12 b12 a22 b22 am 2 bm 2 a1n b1n a2 n b2 n amn bmn
表示一个从变量 x1 , x2 , , xn 到变量 y1 , y2 ,, ym 线性变换，
其中 aij 为常数.
y1 a11 x1 a12 x2 a1n xn , y a x a x a x , 2 21 1 22 2 2n n ym am 1 x1 am 2 x2 amn xn .
0
0 0 0 .
注意：不同型的零矩阵是不相等的.
四、矩阵与线性变换
n 个变量 x1 , x2 , , xn 与 m 个变量 y1 , y2 ,, ym 之间的 关系式 y1 a11 x1 a12 x2 a1n xn , y a x a x a x , 2 21 1 22 2 2n n ym am 1 x1 am 2 x2 amn xn .
b12 b22 b32 b42
二、数与矩阵相乘
定义：数 与矩阵 A 的乘积记作 A 或 A ，规定为
a11 a21 A A am 1
a 12 a22

am 1
a 1 n a 2 n amn
其中aij 表示工厂向第 i 家商店 发送第 j 种货物的数量．
这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：
b11 b21 b31 b41
b12 b22 b32 b42
其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量．
二、矩阵的定义
由 m×n 个数 aij (i 1, 2,, m; j 1, 2,, n) 排成的 m 行 n 列的数表 a11 a12 a1n
1 0 0 0 1 0 特别的，方阵 称为单位阵． 记作 E n ． 0 0 1
§2
矩阵的运算
例
某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店
发送货物的数量可用数表表示：
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33 c13 c23 c33
说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.
知识点比较
a11 a12 a13 a11 b12 a13 a11 a12 b12 a13 a21 a22 a23 a21 b22 a23 a21 a22 b22 a23 a31 a32 a33 a31 b32 a33 a31 a32 b32 a33
第二章
矩阵
教学要求：
1．理解矩阵概念，了解单位矩阵、对角阵、对称阵等 性质。 2．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律。 3．会分块矩阵及其运算。 4．理解逆阵的概念，熟悉逆矩阵存在的条件与矩阵求 逆的方法。
重点、难点：
矩阵与矩阵的乘法、逆矩阵存在的条件及其求法。
§1
矩阵的概念
一、矩阵概念的引入 二、矩阵的定义 三、特殊的矩阵 四、矩阵与线性变换
B
一、矩阵概念的引入
例 某航空公司在 A、B、C、D 四座 A 城市之间开辟了若干航线，四座城市 之间的航班图如图所示，箭头从始发 地指向目的地.
C
城市间的航班图情况常用表格来表示: 目的地
D
A
始发地
A B C D
√ √
√ √
B
√ √
C
D
其中√ 表示有 航班
√
A
A B C D
√ √
√ √
B
√ √
矩阵加法的运算规律
a , b, c R
设 A、B、C 是同型矩阵
A B B A
交 换 ab ba 律 结 合 (a b) c a (b c ) 律
( A B) C A ( B C )
其 他
设矩阵 A = (aij) ，记－A = (－aij)，称为矩阵 A 的负矩阵． 显然
( A B) A B
备 注
矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.
知识点比较
a11 a12 a13 a11 a12 a13 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a21 a22 a23 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a31 a32 a33 a31 a32 a33
a14 a24 a34 c14 c24 c34
其中aij 表示上半年工厂向第 i 家 商店发送第 j 种货物的数量．
c11 c12 c21 c22 c31 c32
其中cij 表示工厂下半年向第 i 家 商店发送第 j 种货物的数量．
试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量．
解：工厂在一年内向各商店发送货物的数量
a11 a21 a n1
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
p1 p2 pn

( 1)t ( p1 p2 pn ) a1 p1 a2 p2 anpn
行数不等于列数 共有m×n个元素 本质上就是一个数表
行数等于列数 共有n2个元素
det(aij )
解：工厂向该商店发送第 j 种货物的总值及总重量
b11 b12 b11 b b b 21 22 21 b31 b32 b31 b41 b42 b41
其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量．
(aij )mn
三、特殊的矩阵
1. 行数与列数都等于 n 的矩阵，称为 n 阶方阵．可记作 An .
2. 只有一行的矩阵 A (a1 , a2 ,, an ) 称为行矩阵(或行向量) .
a1 a2 只有一列的矩阵 B 称为列矩阵(或列向量) . an
对应
1 0 0 单位阵 E 0 1 0 n 0 0 1
1 0 0 2 4. 形如 0 0
0 0 记作 的方阵称为对角阵． A diag(1 , 2 , , n ) n
A ( A) 0, A B A ( B)
例（续）该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表：
b11 b21 b31 b41
b12 b22 b32 b42
其中bi 1 表示第 i 种货物的单价， bi 2 表示第 i 种货物的单件重量．
设工厂向某家商店发送四种货物各 件，试求：工厂向该商 店发送第 j 种货物的总值及总重量．
C
D
√
为了便于计算，把表中的√改成1，空白地方填上0， 就得到一个数表：
0
1 1
1 0
1 1 0
0 0
1
0
1
0
0
0
这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况.
例
某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可
用数表表示为：
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 a24 a34
2. 两个矩阵 A (aij ) 与 B (bij )为同型矩阵，并且对应元
素相等，即 aij bij (i 1, 2,, m; j 1, 2,, n)
则称矩阵 A 与 B 相等，记作 A = B .
0 0 例如 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
aa b12 b12 a13 2a13 a11 a12 a13 a11 b12 a13 2 1111 aa 1212 2 aa b22 b22 a2 2121 aa 2222 23a a21 a22 a23 a21 b22 a23 23 a a a a b a 2 a a a a b b a 2 a 33 31 32 33 31 32 33 3131 3232 3232 33 33