金融时间序列分析第2部分时间序列分析基础3波动率模型

1、 t 的无条件均值和方差分别为
E(t ) 0
Var(t
)
E[(t
)2]
0 11
V a r(t)E (t2)EE (t2 t 1 )E h t
E (01t2 1 )01 E (t2 1 )01 V a r(t 1)
因为
2 t
是平稳的，所以
Var(t)Var(t1)E(t21)2
此时，
Eut 0,
2,
E(utus
)
0,
s t else
E(
2 t
, 2
t1
t22,L)E(
2 t
t1, t2,L)
c1
2
t1 2
t22Lmt2m
即：
Var(t t1,t2,L)E(t2t1,t2,L)
c1
2
t1 2
t22Lmt2m
二、模型表达形式
考虑 k 变量回归模型（或AR(p)过程）
Var(t
) 0 11
显然要求
0 1 1
2、令 tt2h tt2 V a r(t t 1)
则 t 是白噪声过程。
Et E(t2)EVar(t t1)
E(t2)E Et2 t1 0
s t
E(ts) E E(ts s) E sE(t s)
E sE(t2 ht s)
高峰厚尾 分布曲线
正态分布 曲线
高峰厚尾分布特征示意图
显然现期方差与前期的“波动”有关系。 自回归条件异方差模型（Engle 1982）通常有两类： 1）用确定的函数来刻画异方差的演变，GARCH模型 2）用随机方程来描述异方差。随机波动率模型
（二）自回归条件异方差模型（ARCH模型）
(Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Model)
y t01 x 1 t L kx k tt
满足
E(t t1)0, Var(t t1)E(t2 t1) @ht 0 1t212t22 L qt2q
其中：
(1),0,1,2,L ,q 0 保证条件方差为正数 (2),12 L q 1 平稳序列
则称 t 服从 q 阶自回归条件异方差过程。记为
t ~ARCH(q)
A. y t 的无条件期望是常数，但 y t 的条件期望却是随时
间而变化的。
B. t 的无条件方差是一常数 2 ，但 t 的条件方差却
可能随时间而变化。
一种方法是将
2 t
视为服从 AR(m) 过程。
t 2 c 1t 2 1 2t 2 2 L m t 2 m u t
其中： u t 是一新的白噪声：
注意：
E (yt t 1)E (01x1tLkxktt t 1) 01x1tLkxkt
均值方程 条件均值模型
t 1 表示 t 时刻之前可获得的信息集。
例 ARCH(1)模型为
h t V a r(t t 1 )01t2 1
ARCH(q)过程的另一种表达方式
y t01 x 1 t L kx k tt
金融时间序列分析
20ห้องสมุดไป่ตู้2年10月
波动率模型
（一）问题的提出
计量经济学模型中的异方差通常属于递增型异方差, 但利率，汇率，股票收益等时间序列中存在的异方差却 不是递增型异方差。
例如，汇率，股票价格常常用随机游走描述： xt = xt-1 + ut
其中, ut 为白噪声过程。
1995-2000年日元兑美元汇率时间序列及差分序列见下图
t ht vt
i.i.d
vt ~ N (0,1)
h t01t2 12t2 2 L qt2 q
E ( v t t 1 ) 0 ,E ( v t 2 t 1 ) V a r ( v t t 1 ) 1
三、ARCH模型的性质
主要讨论ARCH(1)的性质
t ht vt
h t V a r(t t 1 )01t2 1
这种序列的特征是： （1）过程的方差不仅随时间变化，而且有时变化得很激烈。
（2）按时间观察，表现出 “波动集群” （volatility clustering）特 征， 方差在一定时段中比较小，而在另一时段中比较大。
（3）从取值的分布看表现的则是 “高峰厚尾” 特征， （leptokurtosis and fat-tail）即均值附近与尾区的概率值比正 态分布大，而其余区域的概率比正态分布小。
8 Volatility of returns
6
4
60 50
DJPY^2 40 30
2
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
收益绝对值序列 (1995-2000)
20
10
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
D(JPY)的平方 (1995-2000)
随机变量之间不相关，只能说明它们之间没有线性关系，不能 说明它们之间没有非线性关系。
3、ARCH(1)模型的尾部特征
E (t 4 t 1 ) 3 [ E (t 2 t 1 ) ] 2 3 h t 2 3 (0 1 t 2 1 ) 2
E(t4)E[E(t4 t1)]3E(01t21)2 3E(02 201t2112t41) 3[02201Var(t1)12E(t41)]
160 JPY (1995-2000)
140
120
100
80 200 400 600 800 1000 1200 1400
日元兑美元汇率序列JPY(1995-2000)
6
4
D(JPY) (1995-2000)
2
0
-2
-4
-6
-8 200 400 600 800 1000 1200 1400
日元兑美元汇率差分序列（收益）D(JPY)
E s{E(t2 s)E[E t2 t1 s)]} E s{E(t2 s)E t2 s } 0
这样
残差平方服从一个 异方差的AR(1)过程
t2h tt01t2 1t
过程
{
2 t
}
的形式类似于AR(1)。
过程
{ t }
前后不相关，但过程
{
2 t
}
是不独立的）。
却是前后相关的（因而也
一、模型的提出 考察一个AR(p)过程
y t c 1 y t 1 2 y t 2 L p y t p t
其中： t 是白噪声：
Et 0,
E(ts
)
2,
0,
s t else
y t 的无条件期望是：
E (y t) c(1 12 L p )
y t 的条件期望是：
E ( y ty t 1 ,y t 2 , L ) c 1 y t 1 2 y t 2 L p y t p