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高中数学不等式的恒成立问题

不等式恒成立的问题既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何有机结

合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点 . 考题通常有两种设计方式：

一是证明某个不等式恒成立，二是已知某个不等式恒成立，求其中的参数的取

值范围 . 解决这类问题的方法关键是转化化归，通过等价转化可以把问题顺利解

决，下面我就结合自己记得教学经验谈谈不等式的恒成立问题的处理方法。一、构

造函数法

在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构

造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量

的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加面目

更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数.

例 1已知不等式对任意的都成立，求的取值范围.

解：由移项得 :. 不等式左侧与二次函数非常相

的似，于是我们可以设则不等式对满足

一切实数恒成立对恒成立.当时，

即

解得故的取值范围是.

注：此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路，把待求的x 为参数，以为变量，令

则问题转化为求一次函数（或常数函数）的值在内恒为负的问题，再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了。

二、分离参数法

在不等式中求含参数范围过程中，当不等式中的参数（或关于参数的代数式）

能够与其它变量完全分离出来并，且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的

最值或范围可求时，常用分离参数法.

例2已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数在区间上是减函数 .

都有在上恒成立，求实数的（Ⅰ）若对（Ⅰ）中的任意实数

取值范围 .

解：由题意知，函数在区间上是减函数.

在上恒成立

注：此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧

看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则；若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则.

三、数形结合法

如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、

图形的位置关系建立不等式求得参数范围 .

例 3已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是.

解：在同一个平面直角坐标系中分别作出函数及的图象，由于不等式恒成立，所以函数的图象应总在函数的图象下方，因此，当时，所以故的取值范围是

注：解决不等式问题经常要结合函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当

的两个函数，利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的范围. 利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数，准确做出函数的图象. 如：不等式，在时恒成立，求的取值范围 . 此不等式为超越不等式，求解时一般使用数形结

合法，设然后在同一坐标系下准确做出这两个函数的图象，借助图象观察便可求解 . 四、最值法

当不等式一边的函数（或代数式）的最值较易求出时，可直接求出这个最值（最

值可能含有参数），然后建立关于参数的不等式求解 .

例 4已知函数

（Ⅰ）当时，求的单调区间；

（Ⅱ）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

解（Ⅱ）当时，不等式即恒成立.由于，

，亦即

，由

在上单调递增，在

，所以

得. 且当时，

上单调递减，所以

. 令

；当时，

在处取得极大值

，则

，即

，也

就是函数在定义域上的最大值 . 因此要使恒成立，需要，所以的

取值范围为.

例 5对于任意实数x，不等式│ x+1│+│x-2 │＞ a 恒成立，求实数 a 的取值范围.

分析①：把左边看作x 的函数关系，就可利用函数最值求解.

解法 1：设 f （x）=│x+1│+│x-2 │

=-2x+1, （x≤1）3，（ -1 ＜x≤2）2x-1, （x＞2）

∴f（x）min=3.

∴a＜3.

分析②：利用绝对值不等式│a│- │b│＜│ a±b│＜│ a│+│b│求解 f （x）= │x+1│+│ x-2 │的最小值 .

解法 2：设 f （x）=│x+1│+│x-2 │，

∵│ x+1│+│x-2 │≥│（ x+1）- （x-2 ）│ =3，

∴f（x）min=3. ∴a＜3.

分析③：利用绝对值的几何意义求解 .

解法3：设x、-1 、2 在数轴上的对应点分别是P、A、B，则│ x+1│+│x-2 │=│PA│+│PB│，当点P 在线段AB上时，

PA│+│PB│=│AB│=3，当点P 不在线段

│

PA│+│PB│＞ 3，因此不论点P 在何处，总有│PA│+│PB│≥3，而当AB上时，

│

a＜3 时，│ PA│+│PB│＞ a 恒成立，即对任意实数x，不等式│x+1│+│x-2 │＞a 恒成立 . ∴实数a 的取值范围为（- ∞， 3）.

小结

求“恒成立问题”中参数范围，利用函数最值方便自然，利用二次不等式恒为

正（负）的充要条件要分情况讨论，利用图象法直观形象. 综上，恒成立问题多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的一个热门题型，它以“参数处理”

为主要特征，以“导数”为主要解题工具. 往往与函数的单调性、极值、最值等有关，

所以解题时要善于将这类问题与函数最值联系起来，通过函数最值求解相关问题. 不等式恒成立问题，因题目涉及知识面广，解题方法灵活多样，技巧性强，难度大等

特点，要求有较强的思维灵活性和创造性、较高的解题能力，上述方法是比较常用

的，但因为问题形式千变万化，考题亦常考常新，因此在备考的各个阶段都应渗透

恒成立问题的教与学，在平时的训练中不断领悟和总结，教师也要介入心理辅导和

思想方法指导，从而促使学生在解决此类问题的能力上得到改善和提高.