上海交通大学附属中学2020年自主招生数学试卷及答案解析
2020年上海交通大学附属中学浦东实验中学高三数学理模拟试卷含解析
2020年上海交通大学附属中学浦东实验中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数的最大值和最小值分别是，则为A．1 B．2 C．-1 D．-2参考答案：A2. 在等比数列中，为其前项和，已知，则此数列的公比为（）A. 5B. Ｃ. 3 D. 4参考答案：C3. 抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为L，A、B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=．设线段AB的中点M在L上的投影为N，则的最大值是（）A．B．1 C．D．参考答案：B【分析】设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣3ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab，配方得，|AB|2=（a+b）2﹣3ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．∴≤1，即的最大值为1．故选：B．【点评】本题给出抛物线的弦AB对焦点F所张的角为直角，求AB中点M到准线的距离与AB比值的取值范围，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、梯形的中位线定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．4. 设D为△ABC中BC边上的中点，且O为AD边上靠近点A的三等分点，则（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】可先画出图形，根据条件及向量加法、减法和数乘的几何意义即可得出【解答】解：∵D为△ABC中BC边上的中点，∴=（+），∵O为AD边上靠近点A的三等分点，∴=，∴=（+），∴=﹣=﹣（+）=（﹣）﹣（+）=﹣+．故选：A．5. 设函数，直线与函数图像相邻两交点的距离为.（I）求的值；（II）在中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若点（B，0）是函数图像的一个对称中心，且b=3，求面积的最大值.参考答案：略6. 输入，经过下列程序运算后，！A.B．C．D．参考答案：C略7. 在数列中，则的值为A．7 B．8 C．9 D．16参考答案：B因为点生意，即数列是公比为2的等比数列，所以，选B.8. 命题“?x∈R，使得x2＜1”的否定是( )A．?x∈R，都有x2＜1 B．?x∈R，都有x≤﹣1或x≥1C．?x∈R，使得x2≥1 D．?x∈R，使得x2＞1参考答案：B【考点】命题的否定．【分析】根据命题“?x∈R，使得x2＜1”是特称命题，其否定为全称命题，即：?x∈R，都有x2≥1．??x∈R，都有x≤﹣1或x≥1．从而得到答案．【解答】解：∵命题“?x∈R，使得x2＜1”是特称命题∴否定命题为：?x∈R，都有x2≥1∴?x∈R，都有x≤﹣1或x≥1．故选B．【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的转化．9. 设x，y满足不等式组，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2] B．[﹣2，1] C．[﹣3，﹣2] D．[﹣3，1]参考答案：B【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a，y轴上的截距为z的直线，作出不等式组对应的平面区域如图：则A（1，1），B（2，4），∵z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，∴直线z=ax+y过点B时，取得最大值为2a+4，经过点A时取得最小值为a+1，若a=0，则y=z，此时满足条件，若a＞0，则目标函数斜率k=﹣a＜0，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，则目标函数的斜率满足﹣a≥k BC=﹣1，即0＜a≤1，若a＜0，则目标函数斜率k=﹣a＞0，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，则目标函数的斜率满足﹣a≤k AC=2，即﹣2≤a＜0，综上﹣2≤a≤1，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定A，B是最优解是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．10. 如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点刀枪面对而距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小（仰角为直线与平面所成的角），若，，，则的最大值是（）A. B. C. D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知离心率为2的双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px （p＞0）的准线交于A，B两点，O为坐标原点，若S△AOB=，则p的值为．参考答案：2【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程与抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，列出方程，由此方程求出p 的值．【解答】解：∵双曲线，∴双曲线的渐近线方程是y=±x，又抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是x=﹣，故A，B两点的纵坐标分别是y=±，又由双曲线的离心率为2，所以=2，则=，A，B两点的纵坐标分别是y=±，又△AOB的面积为，x轴是角AOB的角平分线，∴×p×=，得p=2．故答案为2．12. 在等比数列中，存在正整数则= 。
2020年上海市交大附中高考数学考前试卷(附解析)
2020年上海市交大附中高考数学考前试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分） 1. “x ∈[−π2,π2]是“sin(arcsin)=x ”的( )条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要2. 已知F 为抛物线y 2=2px(p >0)的焦点，A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)是抛物线上的不同两点，则下列条件中与“A 、F 、B 三点共线”等价的是( )A. x 1x 2=p 24 B. y 1y 2=−p 2C. 1|FA|+1|FB|=2pD. x 1x 2+y 1y 2=−3p 243. 已知曲线Γ的参数方程为{x =t 3−tcosty =ln(t +√t 2+1)，其中参数t ∈R ，则曲线Γ( )A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于原点对称D. 没有对称性4. 已知数列{a n }与{b n }前n 项和分别为S n ，T n ，且a n >0,2S n =a n 2+a n ,n ∈N ∗，b n =2n +1(2n +a n )(2n+1+a n+1)，对任意的n ∈N ∗，k >T n 恒成立，则k 的最小值是( )A. 1B. 12C. 13D. 16二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 已知集合A ={x||x|≤2,x ∈R}，B ={x|√x ≤4,x ∈Z}，则A ∩B = ______ ．6. 函数y =√3sin2x +cos2x 的最小正周期是______．7. 抛物线y =x 2的准线方程是______．8. 已知方程∣∣∣x−1bx −2∣∣∣=0的一个根是a +2i(其中a ∈R ，i 是虚数单位)，则实数b =______．9. 设x ，y 满足约束条件{2x +3y −3≤02x −3y +3≥0y +3≥0，则z =2x +y 的最小值是____________10. 若a n 是(2+x)n (n ∈N ∗,n ≥2,x ∈R)展开式中x 2项的系数，则n →∞lim(22a 2+23a 3+⋯+2na n)=______．11. 在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，其三视图是三个全等的等腰直角三角形，则异面直线AC与BD所成的角的余弦值为______．12.为抗击此次疫情，我市某医院从3名呼吸内科医生、4名急诊重症科医生和5名护士中选派5人组成一个抗击疫情医疗小组，则呼吸内科与急诊重症科医生都至少有一人的选派方法种数是______．13.若关于x的方程1|x−1|+|2x+2|−4=a的解集为空集，求实数a的取值范围______．14.已知函数y=f(x)为定义域R上的奇函数，且在R上是单调递增函数，函数g(x)=f(x−3)+x，数列{a n}为等差数列，且公差不为0，若g(a1)+g(a2)+⋯+g(a9)= 27，则a1+a2+⋯+a9=______．15.已知整数数列{a n}共5项，其中a1=1，a5=4，且对任意1≤i≤4，都有|a i+1−a i|≤2，则符合条件的数列个数为______．16.已知点P(0,2)，椭圆x216+y28=1上两点A(x1,y1)，B(x2,y2)满足AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，则|2x1+3y1−12|+|2x2+3y2−12|的最大值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图，四棱锥O−ABCD的底面是边长为1的菱形，OA=2，∠ABC=60°，OA⊥平面ABCD，M、N分别是OA、BC的中点．(1)求证：直线MN//平面OCD；(2)求点M到平面OCD的距离．18.某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB进行改建．如图所示，平行四边形OMPN区域为停车场，其余部分建成绿地，点P在围墙AB弧上，点M和点N分别在道路OA和道路OB上，且OA=60米，∠AOB=60°，设∠POB=θ．(1)求停车场面积S关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围；(2)当θ为何值时，停车场面积S最大，并求出最大值(精确到0.1平方米)．19.对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0，满足f(−x0)=−f(x0)，则称f(x)为“M类函数”．(1)已知函数f(x)=2cos(x−π3)，试判断f(x)是否为“M类函数”？并说明理由；(2)若f(x)={log2(x2−2mx)−2,x≥3,x<3为其定义域上的“M类函数”，求实数m取值范围．20.已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点N(√2,√22)．(1)求椭圆M的方程；(2)若斜率为−12的直线l1与椭圆M交于P，Q两点(点P，Q不在坐标轴上)；证明：直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列．(3)设直线l2与椭圆M交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求ABC面积的最大值．21.已知f(x)是定义在[0,+∞)上的函数，满足：①对任意x∈[0,+∞)，均有f(x)>0；②对任意0≤x1<x2，均有f(x1)≠f(x2).数列{a n}满足：a1=0，a n+1=a n+1f(a n)，n∈N∗．(1)若函数f(x)=a⋅2x−1(x≥0)，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)在[0,+∞)上单调递减，求证：对任意正实数M，均存在n0∈N∗，使得n>n0时，均有a n>M；(3)求证：“函数f(x)在[0,+∞)上单调递增”是“存在n∈N∗，使得f(a n+1)<2f(a n)”的充分非必要条件．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵y=arcsinx的定义域为[−1,1]，∴sin(arcsinx)=x⇔x∈[−1,1]，∵x∈[−π2,π2]推不出x∈[−1,1]，x∈[−1,1]⇒x∈[−π2,π2 ]，∴“x∈[−π2,π2]是“sin(arcsin)=x”的必要非充分条件．故选：B．根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．2.【答案】B【解析】解：P(p2,0)，若A，B，F三点共线，设直线AB的方程为：x=my+p2，代入y2=2px可得：y2−2pmy−p2=0，∴y1y2=−p2，∴x1x2=y12y224p =p24．∴x1x2+y1y2=p24−p2=−3p24，又|FA|=x1+p2，|FB|=x2+p2，∴1|FA|+1|FB|=1x1+p2+1x2+p2=x1+x2+px1x2+p2(x1+x2)+p24=x1+x2+pp22+p2(x1+x2)=x1+x2+pp2(x1+x2+p)=2p，设B关于x轴的对称点为B′(x2,−y2)，显然A，F，B′满足条件x1x2=p24，且|FB|=|FB′|，但此时A，F，B′三点不共线，故A，C错误；若x1x2+y⋅y2=−3p24，则y12y224p2+y1y2+3p24=0，解得y1y2=−p2或y1y2=−3p2，故D错误，故选：B．当A，B，F共线时计算各结论，再根据对称点的坐标关系判断是否等价．本题考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题．3.【答案】C【解析】 【分析】本题考查曲线的参数方程，属于基础题型．设出当t =t 0时，对应点的坐标为(x 0,y 0)，判断出(−x 0,−y 0)也在曲线上，进而求出结果． 【解答】解：设当t =t 0时，对应点的坐标为(x 0,y 0)， 此时有{x 0=t 03−t 0cost 0y 0=ln(t 0+√t 02+1), 设x =f(t)=t 3−tcost ，y =g(t)=ln(t +√t 2+1)， 对于每一个参数t ，都有唯一对应的x 和y ， 则当t =−t 0时，有{(−t 0)3−(−t 0)cos (−t 0)=−(t 03−t 0cost 0)=−x 0ln[(−t 0)+√(−t 0)2+1]=−ln(t 0+√t 02+1)=−y 0, 即点(−x 0,−y 0)也在曲线Γ上，而点(x 0,y 0)和点(−x 0,−y 0)关于原点对称， 故曲线Γ关于原点对称． 故选：C ．4.【答案】C【解析】解：数列{a n }的前n 项和分别为S n ，且a n >0,2S n =a n 2+a n ,n ∈N ∗， 当n ≥2时，2S n−1=a n−12+a n−1，两式相减得2a n =a n 2−a n−12+a n −a n−1，所以(a n +a n+1)(a n −a n−1−1)=0，整理得a n −a n−1=1(常数)．当n =1时，2a 1=a 12+a 1，解得a 1=1(a 1=0舍去)，故数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列．所以a n =n(首项符合通项)． 所以b n =2n +1(2n +an )(2n+1+an+1)=12n +n −12n+1+n+1，所以T n =(13−16)+(16−111)+⋯+12n +n −12n+1+n+1=13−12n+1+n+1<13， 所以对任意的n ∈N ∗，k >T n 恒成立，只需k ≥13即可． 即k 的最小值为13．故选C．首先利用已知条件利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法、放缩法和恒成立问题的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，放缩法和恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题．5.【答案】{0,1，2}．【解析】解：∵集合A={x||x|≤2,x∈R}={x|−2≤x≤2}，B={x|√x≤4,x∈Z}={0,1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，∴A∩B={0,1，2}．故答案为：{0,1，2}．先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．6.【答案】π【解析】解：y=√3sin2x+cos2x=2(√32sin2x+12cos2x)=2sin(2x+π6)，∵ω=2，∴T=2π2=π．故答案为：π函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期．此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及周期公式，将函数解析式化为一个角的正弦函数是解本题的关键．7.【答案】4y+1=0【解析】解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；所以：2p=1，即p=12，所以：p2=14，∴准线方程y=−p2=−14，即4y+1=0．故答案为：4y+1=0．先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=1，再直接代入即可求出其准线方程．本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．8.【答案】5【解析】解：方程∣∣∣x −1b x −2∣∣∣=0可化为 x(x −2)+b =0，把x =a +2i 代入方程，得(a +2i)(a −2+2i)+b =0， 即(a 2−2a −4+b)+(4a −4)i =0，所以{a 2−2a −4+b =04a −4=0， 解得a =1，b =5； 所以实数b =5． 故答案为：5．根据行列式列出方程，把根代入方程，利用复数的运算性质列出方程组求出a 、b 的值． 本题考查了行列式与复数的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．9.【答案】−15【解析】解：x ，y 满足约束条件{2x +3y −3≤02x −3y +3≥0y +3≥0的可行域如图：z =2x +y 经过可行域的A 时，目标函数取得最小值， 由{y =−32x −3y +3=0，解得A(−6,−3)， 则z =2x +y 的最小值是：−15． 故答案为：−15．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可． 本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．10.【答案】8【解析】解：∵a n 是(2+x)n (n ∈N ∗,n ≥2,x ∈R)展开式中x 2项的系数，又(2+x)n 的展开式的通项公式为T r+1=C n r ⋅2n−r ⋅x r ，令r =2，可得x 2项的系数为C n 2⋅2n−2．∴a n =C n 2⋅2n−2．∴n →∞lim(22a 2+23a 3+⋯+2n a n )=n →∞lim(221+23C n 2⋅2+⋯+2n C n 2⋅2n−2)=n →∞lim(221+22C 32+⋯+22C n 2)=n →∞lim4⋅(11+1C 32+⋯+1C n2)=n →∞lim4⋅(11+22×3+23×4…+2n(n−1))=n →∞lim8⋅(1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1−1n)=n →∞lim8⋅(1−1n)=8，故答案为：8．由题意可得x 2项的系数为C n 2⋅2n−2，即a n =C n 2⋅2n−2.再把要求的式子 n →∞lim(22a 2+23a 3+⋯+2n a n) 化为n →∞lim4⋅(11+1C 32+⋯+1Cn2)，即n →∞lim8⋅(1−1n)，从而得到结果．本题主要考查二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，极限及其运算，属于中档题．11.【答案】√33【解析】解：由三视图可知AB ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，且AB =BD =CD ，以D 为原点建立空间坐标系如图所示：设AB =1，则A(1,0，1)，B(1,0，0)，C(0,1，0)，D(0,0，0)，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，−1)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，0)， ∴cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC⃗⃗⃗⃗⃗ ||DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−1√3×1=−√33． 设AC 与BD 所成的角为α，则cosα=|cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=√33． 故答案为：√33．根据三视图得出三棱锥的结构特征，建立空间坐标系，利用平面向量计算异面直线所成角．本题考查了异面直线所成角的计算，属于基础题．12.【答案】611【解析】解：根据题意，有3名呼吸内科医生、4名急诊重症科医生和5名护士共12人，从中选出5人，有C 125=792种选法，其中没有内科医生的选法有C 95=126种，没有重症科医生的选法有C 85=56种， 内科医生和重症科医生都没有，即只有护士的选法有1种， 则有792−126−56+1=611种选派方法；故答案为：611根据题意，首先计算从12人中选出5人的选法，进而计算其中“没有内科医生”、“没有重症科医生”和“内科医生和重症科医生都没有”的选法，分析可得答案．本题考查排列组合的应用，注意用间接法分析，避免分类讨论，属于基础题．13.【答案】(−12,0]【解析】解：由已知设y=1|x−1|+|2x+2|−4={13x−3,x≥11 x−1,−1<x<11−3x−5,x≤−1，所以函数的值域为{y|y>0，或y≤−12}，要使1|x−1|+|2x+2|−4=a的解集为空集，只要函数y=1|x−1|+|2x+2|−4与y=a没有交点，所以满足条件的a的取值范围为−12<a≤0．故答案为：(−12,0]．设y=1|x−1|+|2x+2|−4，得到函数的值域，利用y=a在函数值域的补集中即可．本题考查了方程解的个数问题；关键是正确求出函数的值域．14.【答案】27【解析】解：因为函数f(x)为定义域上的奇函数，则f(x)关于(0,0)对称．设ℎ(x)=f(x−3)+x−3，所以ℎ(x)关于(3,0)对称，则ℎ(x)+ℎ(6−x)=0．由g(a1)+g(a2)+⋯…+g(a9)=27可得：f(a1−3)+a1+f(a2−3)+a2+⋯…+f(a9−3)+a9=27，所以f(a1−3)+a1−3+f(a2−3)+a2−3+⋯…+f(a9−3)+a9−3=0即ℎ(a1)+ℎ(a2)+⋯…+ℎ(a9)=0又数列{a n}为等差数列，且ℎ(x)在R上是单调递增函数，所以必有ℎ(a1)+ℎ(a9)=0，则有a1−3+a9−3=0，所以2a5=a1+a9=6，即a5=3所以a1+a2+⋯…+a9=9a5=27故答案为：27．设ℎ(x)=f(x−3)+x−3，则可得ℎ(a1)+ℎ(a2)+⋯…+ℎ(a9)=0，综合等差数列的性质可得；a1+a9=a2+a8=⋯…=a5+a5，再利用函数ℎ(x)的单调性和对称性，即可计算得出．本题主要考查函数综合，函数概念与性质以及等差数列，属于中档题．15.【答案】52【解析】解：根据题意，设x 1=a 2−a 1，x 2=a 3−a 2，x 3=a 4−a 3，x 4=a 5−a 4，x 5=a 5−a 4，∴x 1+x 2+x 3+x 4=3且x 1、x 2、x 3、x 4∈{−2,−1,0，1，2}， 不妨设x 1≤x 2≤x 3≤x 4，则(x 1,x 2,x 3,x 4)=(−2,1，2，2)，(−1,1，1，2)，(−1,0，2，2)，(0,0，1，2)，(0,1，1，1)共五类，则符合条件的数列个数为4C 42C 21+4=52，故答案为：52．根据题意，设x 1=a 2−a 1，x 2=a 3−a 2，x 3=a 4−a 3，x 4=a 5−a 4，x 5=a 5−a 4，可得x 1+x 2+x 3+x 4=3且x 1、x 2、x 3、x 4∈{−2,−1,0，1，2}，再利用组合知识进行求解．本题考查排列组合的应用，涉及数列的表示方法，属于基础题．16.【答案】24【解析】解：如图所示，满足AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，可得：λ∈[3−2√2,1]． 直线l 的方程为：2x +3y −12=0． 点A ，P ，B 到直线l 的距离分别为：d 1=|2x 1+3y 1−12|√13，d 0=√13=√13，d 2=22√13．∴|2x 1+3y 1−12|+|2x 2+3y 2−12|=√13(d 1+d 2).λ=1时，d 1+d 2=2d 0=√13，可得√13(d 1+d 2)=12． λ=3−2√2时，d 1+d 2=√2√13+√3√13=√13.可得√13(d 1+d 2)=24．λ∈[3−2√2,1].可得：d 1+d 2∈[12,24]．则|2x 1+3y 1−12|+|2x 2+3y 2−12|的最大值为24． 故答案为：24．如图所示，满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)，可得：λ∈[3−2√2,1].直线l 的方程为：2x +3y −12=0.点A ，P ，B 到直线l 的距离分别为：d 1=11√13，d 0=√13=√13，d 2=22√13.|2x 1+3y 1−12|+|2x 2+3y 2−12|=√13(d 1+d 2).λ=1时，d 1+d 2=2d 0.λ=3−2√2时，可得√13(d 1+d 2)=24.进而得出结论．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】(1)证明：取OD 的中点P ，连接PC 、PM ，∵M 、N 分别是OA 、BC 的中点，∴PM//AD ，且PM =12AD ，NC//AD ，且NC =12AD ，∴PM//NC ，且PM =NC ，则PMNC 是平行四边形，得MN//PC ，∵PC ⊂平面OCD ，MN ⊄平面OCD ， ∴直线MN//平面OCD ；(2)解：连接ON 、ND ，设点M 到平面OCD 的距离为d ， 由(1)得，点N 到平面OCD 的距离为d ，设三棱锥O −CDN 的体积为V ，则V =13×S △CDN ×OA =13×S △OCD ×d ， 依题意，S △CDN =12×CD ×CN ×sin∠BCD =√38， ∵AC =AD =CD =1，∴OC =OD =√5，则S △OCD =12×CD ×√5−14=√194．由13×√38×2=13×√194×d ，得点M 到平面OCD 的距离d =√5719．【解析】(1)取OD 的中点P ，连接PC 、PM ，由三角形的中位线定理可得PMNC 是平行四边形，得MN//PC ，再由直线与平面平行的判定可得直线MN//平面OCD ； (2)连接ON 、ND ，设点M 到平面OCD 的距离为d ，可得点N 到平面OCD 的距离为d ，然后利用等体积法求点M 到平面OCD 的距离．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．18.【答案】解：(1)△OPN 中，由正弦定理得，OPsin2π3=ONsin(π3−θ)，即√32=ONsin(π3−θ)，解得ON =40√3sin(π3−θ)；所以停车场面积S 关于θ的函数关系式为S =40√3sin(π3−θ)⋅60sinθ=2400√3sin(π3−θ)sinθ，其中θ∈(0,π3)；(2)由S =2400√3sin(π3−θ)sinθ=2400√3(√32cosθ−12sinθ)⋅sinθ =1200√3(√3sinθcosθ−sin 2θ) =1200√3(√32sin2θ+12cos2θ−12) =1200√3[sin(2θ+π6)−12]；当2θ+π6=π2，即θ=π6时，停车场面积S 最大，最大值为： 1200√3×(1−12)=600√3=600×1.732=1039.2(平方米)．【解析】(1)由正弦定理求得ON ，再计算停车场面积S 关于θ的函数关系式； (2)化简函数解析式S ，求出S 的最大值以及取最大值时对应θ的值． 本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)由题意，函数f(x)在定义域内存在实数x 0，满足f(−x 0)=−f(x 0)，可得2cos(−x 0−π3)=−2cos(x 0−π3)，即cos(−x 0−π3)=−cos(x 0−π3)，整理得√3cosx 0=0，所以存在x 0=π2满足f(−x 0)=−f(x 0)所以函数f(x)=2cos(x −π3)是“M 类函数”．(2)由x 2−2mx >0在x ≥3上恒成立，可得m <32，因为f(x)={log 2(x 2−2mx)−2x ≥3x <3为其定义域上的“M 类函数”，所以存在实数x 0使得f(−x 0)=−f(x 0)，①当x 0≥3时，则−x 0≤−3，所以−2=−log 2(x 02−2mx 0)，所以x 02−2mx 0=4，即m =12x 0−2x 0，因为函数y =12x −4x ，x ≥3为单调增函数，所以m ≥56； ②当−3<x 0<3时，−3<−x 0<3，此时−2=2，不成立；③当x 0≤−3，则−x 0≥3，所以log 2(x 02+2mx 0)=2，所以m =−12x 0+2x 0因为函数y =−12x +4x (x ≤−3)为单调减函数，所以m ≥56； 综上所述，求实数m 取值范围[56,32)．【解析】(1)根据题意只需2cos(−x 0−π3)=−2cos(x 0−π3)有解，即可判断f(x)是否为“M 类函数”．(2)由对数函数的性质可得由x 2−2mx >0在x ≥3上恒成立，即m <32；若是“M 类函数”，则存在实数x 0使得f(−x 0)=−f(x 0)，分①当x 0≥3时，②当−3<x 0<3时，③当x 0≤−3，三种情况分析方程f(−x 0)=−f(x 0)，能否有解，即可得m 的取值范围． 本题考查函数的新定义，“M 类函数”，解题中注意三角形数性质的应用，属于中档题． 20.【答案】解：(1)根据题意，设椭圆的上下顶点为B 1(0,b)，B 2(0,−b)，左焦点为F 1(−c,0)， 则△B 1B 2F 1是正三角形，所以2b =√c 2+b 2=a ，则椭圆方程为x 24b 2+y 2b 2=1．将(√2,√22)代入椭圆方程，可得24b 2+12b 2=1，解得a =2，b =1．故椭圆的方程为x 24+y 2=1．(2)证明：设直线u 的方程为y =−12x +m ，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)， 由{y =−12x +mx 24+y 2=1，消去y ，得x 2−2mx +2(m 2−1)=0则△=4m 2−8(m 2−1)=4(2−m 2)>0，且x 1+x 2=2m >0，x 1x 2=2(m 2−1)>0； 故y 1y 2=(−12x 1+m)(−12x 2+m) =14x 1x 2−12m(x 1+x 2)+m 2=m 2−12，k OP k OQ =y 1y 2x 1x 2=14x 1x 2−12m(x 1+x 2)+m 2x 1x 2=14=k PQ2． 即直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列．(3)由题意，设直线v 的方程为x =ky +n ，联立{x 24+y 2=1x =ky +n ，消去x 得(k 2+4)y 2+2kny +n 2−4=0． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则有y 1+y 2=−2knk 2+4，y 1y 2=n 2−4k 2+4， 因为以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C(2,0)，所以CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 由CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2,y 1)，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−2,y 2)，则(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=0， 将x 1=ky 1+n ，x 2=ky 2+n 代入上式并整理得(k 2+1)y 1y 2+k(n −2)(y 1+y 2)+(n −2)2=0， 则(k 2+1)(n 2−4)k +4+−2k 2n(n−2)k +4+(n −2)2=0，化简得(5n −6)(n −2)=0，解得n =65或n =2， 因为直线x =ky +n 不过点C(2,0)，所以n ≠2，故n =65.所以直线l 恒过点D(65,0)． 故S ABC =12|DC||y 1−y 2|=12×(2−65)√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =25√(−125k k 2+4)2−4(3625−4)k 2+4=825√25(k 2+4)−36(k 2+4)2，设t =1k 2+4(0<t ≤14)，则S ABC =825√−36t 2+25t 在t ∈(0,14]上单调递增， 当t =14时，S ABC =825√−36×116+25×14=1625，所以ABC 面积的最大值为1625．【解析】(1)设椭圆的上下顶点为B 1(0,b)，B 2(0,−b)，左焦点为F 1(−c,0)，椭圆方程为x 24b 2+y 2b 2=1．将(√2,√22)代入椭圆方程，解得a ，b ，即可得到椭圆方程．(2)设直线u 的方程为y =−12x +m ，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，由{y =−12x +m x 24+y 2=1，消去y ，得x 2−2mx +2(m 2−1)=0利用韦达定理，转化求解直线的斜率乘积，然后说明直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列．(3)设直线v 的方程为x =ky +n ，联立{x 24+y 2=1x =ky +n，消去x 得(k 2+4)y 2+2kny +n 2−4=0.设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，利用韦达定理，结合斜率的数量积为0，转化求解n ，得到直线恒过的定点，推出三角形的面积，然后求解最大值．本题考查椭圆方程的求法直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．21.【答案】解：(1)由f(x)=a ⋅2x −1>0，即a >(12)x 对一切x ∈[0,+∞)恒成立，所以a >1，当a >1时，f(x)在x ∈[0,+∞)上单调递增，所以对任意0≤x 1<x 2，均有f(x 1)≠f(x 2)， 综上，实数a 的取值范围为：a >1；证明(2)：由函数f(x)在[0,+∞)上单调递减，即对一切x ∈[0,+∞)，均有f(x)≤f(0)， 所以对一切n ∈N ∗，均有f(a n )≤f(0)，可得：a n+1=a n +1f(a n)≥a n +1f(0)，所以：a n =a n −a n−1++a 2−a 1+a 1≥n−1f(0)，对一切n ≥2， 对任意正实数M ，取n 0=[Mf(0)]+2∈N ∗， 当n >n 0时，a n ≥n−1f(0)>n 0−1f(0)>Mf(0)+1−1f(0)=M ；证明：(3)非必要性：取f(x)={x +13−x ，x ∈[0,1]∪[2,+∞)x ∈(1,2)，在[0,+∞)不为增函数，但a 1=0，a 2=a 1+1f(a 1)=1，a 3=a 2+1f(a 2)=32，f(a 2)=2，f(a 3)=32<2f(a 2)，充分性：假设对一切n ∈N ∗，均有f(a n+1)≥2f(a n )>0， 所以：f(a n )≥2n−1f(a 1)=2n−1f(0)，①由递推式a n+1=a n +1f(a n)≤a n +12n−1f(0)≤≤a 1+1f(0)(12n−1++12+1)<2f(0)，因为f 为增函数，所以f(a n+1)≤f(2f(0))，②由①②可知：2n f(0)≤f(2f(0))对一切n ∈N ∗，n ≥2均成立，又A =f(0)>0，B =f(2f(0))>0可知，当n >log 2(AB )时，上述不等式不成立， 所以假设错误，即存在n ∈N ∗，使得f(a n+1)<2f(a n ).【解析】(1)根据定义可得a >(12)x 对一切x ∈[0,+∞)恒成立，即可求出a 的范围； (2)根据函数的单调性可得对一切n ∈N ∗，均有f(a n )≤f(0)，即可证明； (3)分别从必要性和充分性两个方面证明即可．本题考查了数列的函数特征，不等式的证明，充分性和必要性，考查了转化与化归能力，逻辑推理能力，属于难题．。
2020年上海交通大学附属中学高三数学文摸底试卷含解析
2020年上海交通大学附属中学高三数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 椭圆以x轴和y轴为对称轴，经过点（2，0），长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的方程为( )A．+y2=1 B．+=1C．+y2=1或+=1 D．+y2=1或+x2=1参考答案：C考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；分类讨论；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用椭圆的性质，得a=2b，再讨论焦点的位置，即可得到a，b的值，进而得到椭圆方程．解答：解：由于椭圆长轴长是短轴长的2倍，即有a=2b，由于椭圆经过点（2，0），则若焦点在x轴上，则a=2，b=1，椭圆方程为=1；若焦点y轴上，则b=2，a=4，椭圆方程为=1．故选C．点评：本题考查椭圆的方程和性质，注意讨论焦点位置，考查运算能力，属于基础题和易错题．2. 若动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切，则此圆恒过定点（）A. B. C. D.参考答案：C3. 函数的值域为( )A. B. C. D.参考答案：B4. P是双曲线上的点，F1、F2是其焦点，且，若△F1PF2的面积是9，a+b=7，则双曲线的离心率为（）A．B． C． D．参考答案：D5. 等比数列的各项均为正数，且，则（）A B C D参考答案：B6. 若，则复数＝ ( )A．－2－ B．－2＋ C．2－ D．2＋参考答案：D7. 若复数是纯虚数，则实数的值为（）...或.参考答案：B由且得，选B；8. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4 B．C．2 D．参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是同底的两个四棱锥，AQDP是边长为2的正方形，ABCD是矩形，且与底面垂直，如图所示．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是同底的两个四棱锥，AQDP是边长为2的正方形，ABCD是矩形，且与底面垂直，如图所示：该几何体的体积V==．故选：D．9. 函数的零点所在的大致区间是（）A．（3，4）B．（2，e）C．（1，2）D．（0，1）参考答案：C略10. 设θ∈R，“sinθ=cosθ“是“cos2θ=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及三角函数的性质判断即可．【解答】解：若sinθ=cosθ，则θ=kπ+，（k∈z），故2θ=2kπ+，故cos2θ=0，是充分条件，若cos2θ=0，则2θ=kπ+，θ=+，（k∈z），不是必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查三角函数的性质，是一道基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若数列满足，则数列的通项公式为.参考答案：；故12. 计算：_____________.参考答案：.13. 若（1+2x）n展开式中含x3项的系数等于含x项系数的8倍，则正整数n= ．参考答案：5【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】由题意可得T r+1=C n r（2x）r=2r C n r x r分别令r=3，r=1可得含x3，x项的系数，从而可求【解答】解：由题意可得二项展开式的通项，T r+1=C n r（2x）r=2r C n r x r令r=3可得含x3项的系数为：8C n3，令r=1可得含x项的系数为2C n1∴8C n3=8×2C n1∴n=5故答案为：514. ．一个算法的程序框图如图，若该程序输出的结果为，则判断框中的条件i＜m中的整数m的值是．参考答案：6【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；算法和程序框图．【分析】首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质．然后对循环体进行分析，找出循环规律．判断输出结果与循环次数以及i的关系．最终得出结论．【解答】解：第一次循环：S=0+=，i=1+1=2；第二次循环：S=+=，i=2+1=3；第三次循环：S=+=，i=3+1=4；第四次循环：S=+=，i=4+1=5；第五次循环：S=+=，i=5+1=6；输出S，不满足判断框中的条件；∴判断框中的条件为i＜6？故答案为：6．【点评】本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题15. 除以5的余数是______________.参考答案：316. 已知数列的前项和为，某三角形三边之比为，则该三角形最大角为_____________.参考答案：略17. （文）已知，关于的不等式的解集是.参考答案：原不等式等价为，即，因为，所以不等式等价为，所以，即原不等式的解集为。
交大附中自招真题试卷卷
交大附中自招真题卷整理【例 1】已知甲、乙、丙三个电荷，依次排列在同素来线上，且都处于静止状态，由此可以判断（）A.甲、乙、丙带同种电荷B.甲、丙带同种电荷，甲、乙带异种电荷C.甲、丙带同种电荷，甲、乙可能带同种电荷，也可能带异种电荷D.无论甲、乙、丙带何种电荷，均可能使它们同时静止【例 2】以下列图，作用在杠杆一端且向来与杠杆垂直的力F，将杠杆缓慢地由地址 A 拉至地址 B，在这个过程中，力 F 的大小（）A. 变小B.不变C.变大D.先变大后变小【例 3】人们常常用充气泵为金鱼缸内的水补充氧气，以下列图为充气泵气室的工作原理图。
设大气压强为P0，气室中的气体压强为P，气体经过阀门S1、S2与空气导管相连接，以下选项中正确的选项是（）A.当橡皮碗被拉伸时， P>P0， S1开通 ,S 2关闭B.当橡皮碗被拉伸时， P<P0， S1开通， S2关闭C.当橡皮碗被压缩时， P>P0， S1关闭， S2开通D.当橡皮碗被压缩时， P<P0， S1关闭， S2开通【例 4】以下列图，静止的传达带上有一木块 A 正在匀速下滑, 当传达带突然向上开动时，木块滑终究部所需的时间t 与传达带静止不动时所需时间t 0对照（）A.t=t 0B.t>t 0C.t<t 0D.无法判断【例5】某旅客在火车车厢内以米/ 秒的速度行走。
当车厢静止时，他从车厢头走到车厢尾需要 20 秒。
当火车以10 米/ 秒的速度向前匀速行驶时，则他从车厢头走到车厢尾需要的时间是 ______秒，站在地面上的人看见该旅客经过的行程为______米。
【例 6】以下列图，将一块重为3N，体积为100cm3的石块，用细线系着吞没在装有水的圆柱形容器中，容器中水的深度由10cm上升到 12cm。
则石块所受浮力大小为______牛；细线松动，石块沉到容器底静止后，容器对水平川面的压强为______帕 ( 容器的重力和容器壁的厚度， g=10N/kg) 。
2020届上海市交通大学附属中学高三上学期9月月考数学试题(解析版)
2020届上海市交通大学附属中学高三上学期9月月考数学试题一、单选题1．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差【答案】A【解析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案． 【详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x ≤≤≤≤≤．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x ≤≤≤，中位数仍为5x ，∴A 正确． ②原始平均数1234891()9x x x x x x x =+++++，后来平均数234817x x x x x '=+++（）平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确 ③()()()222219119S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ ()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦由②易知，C 不正确．④原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 可能相等可能变小，D 不正确． 【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.2．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ．1010.1 B ．10.1C ．lg10.1D ．10–10.1【答案】A【解析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,.故选：A. 【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.3．已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A ．B ．C ．D 【答案】D【解析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得PA PB PC ===，从而得P ABC -为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】 解法一:,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点，//EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又E F C E⊥，,CE AC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，2R == 34433R V R =∴=π==π，故选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆为边长为2的等边三角形，CF ∴=又90CEF ∠=︒1,2CE AE PA x ∴=== AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D Q 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=，22121222x x x ∴+=∴==，PA PB PC ∴===，又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，2R ∴==R ∴=，34433V R ∴=π==，故选D. 【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．4．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是 A ．① B ．②C ．①②D ．①②③【答案】C【解析】将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围. 【详解】由221x y x y +=+得,221y x y x -=-,2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭厔, 所以x 可为的整数有0,-1,1,从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.由221x y x y +=+得,222212x y x y +++…,解得222x y +≤,所以曲线C 上任意一点. 结论②正确. 如图所示,易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -, 四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=,很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C.【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.二、填空题5．设集合{}|lg 0A x x =>，|03x B x x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则A B =______. 【答案】{}3|1x x <<【解析】解对数不等式求得集合A ，解分式不等式求得集合B ，由此求得两个集合的交集. 【详解】对于集合A ，依题意可知1x >，即{}|1A x x =>.对于集合B ，由()0303xx x x <⇔-<-，解得03x <<，即{}|03B x x =<<.所以A B ={}3|1x x <<.故答案为：{}3|1x x <<. 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，考查对数不等式的解法，考查分式不等式的解法，属于基础题. 6．复数11z i=+（i 为虚数单位），则||z =________.【解析】本题先计算z ，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查. 【详解】1|||1|2z i ===+. 【点睛】本题考查了复数模的运算，属于简单题.7．若0, 0a >b >，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的_____条件 【答案】充分不必要【解析】根据题意，利用基本不等式，可判定充分性是成立的，可举出反例，说明必要性不成立，即可得到答案. 【详解】当0,0a b >>时，由基本不等式，可得a b +≥，当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性是成立的； 例如：当1,4a b ==时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立， 综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要条件. 【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的判定，其中解答中熟记充分条件、必要条件的判定方法，以及合理利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8．已知tan 23tan 4απα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则tan α的值是______. 【答案】2或13-【解析】利用两角和的正切公式进行化简，由此解得tan α的值. 【详解】依题意()tan 1tan tan 2π1tan 3tan tan 4π1tan tan4αααααα-==-++-⋅，23tan 3tan 22tan ααα-=--，23tan 5tan 20αα--=，()()3tan 1tan 20αα+-=，解得tan α的值为2或13-.故答案为：2或13-【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题.9．若实数x 、y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是______.【答案】10【解析】画出可行域，向上平移基准直线320x y +=到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值. 【详解】画出可行域如下图所示，向上平移基准直线320x y +=到可行域边界()2,2A 处，由此求得目标函数的最大值为322210z =⨯+⨯=.故答案为：10 【点睛】本小题主要考查线性规划求最值，考查数形结合的思想方法，属于基础题.10．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为 “阳爻”和 “阴爻”，如图就是重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是______.【答案】516【解析】根据独立重复试验概率计算公式，计算出所求的概率. 【详解】每一“爻组”为“阳爻”的概率为12，6次独立重复试验，“阳爻”恰出现3次的概率为333611205226416C ⎛⎫⎛⎫⋅⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：516. 【点睛】本小题主要考查独立重复试验概率计算公式，属于基础题.11．设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则三个角α、β、γ中最小的角是______. 【答案】β【解析】作出线线角α，线面角β，二面角γ，根据它们的正弦值，比较出它们的大小关系. 【详解】作//PD CA 交VC 于D ，由于AB BC CA ==，VA VB VC ==，所以V ABC -为正三棱锥，由对称性知BD PB =.取PD 中点E ，连接BE ，作EH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于H ，连接BH .作PF ⊥平面ABC ，交平面ABC 于F ，连接BF .作PG AC ⊥，交AC 于G ，连接GF ，所以BE PD ⊥.由于//PD AC ，所以BPD α=∠.由于PF ⊥平面ABC ，所以PBF β=∠.由于PG AC ⊥，PF ⊥平面ABC ，所以PGF γ=∠.sin PF EH BPBPBP BPα==>=.因为//PD CA ，E 在PD 上，EH ⊥平面ABC 于H ，PF ⊥平面ABC 于F ，所以EH PF =.所以sin PF EHBP BPβ==.所以sin sin αβ>.由于,αβ都是锐角，所以αβ>.由于P 在VA 上，由对称性PB CP =，而CP PG >，则sin sin PF PF PFPG CP BPγβ=>==，由于γ也是锐角，所以γβ>. 综上所述，三个角中的最小角是β. 故答案为：β.【点睛】本小题主要考查线线角、线面角、二面角的概念，考查数形结合的数学思想方法，考查空间想象能力，属于中档题.12．已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______.【解析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁. 【详解】方法1：由题意可知||=|2OF OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y 可得22(2)16x y -+=，联立方程22195x y +=可解得321,22x x =-=（舍），点P 在椭圆上且在x 轴的上方，求得32P ⎛- ⎝⎭，所以212PF k ==方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|2OF |=|OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=-求得322P ⎛- ⎝⎭，所以212PFk ==【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.13．已知数列{}n a 和{}n b 满足11a =，10b =，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-，可证明数列{}n n a b +与数列{}n n a b -，一个是等差数列一个是等比数列，则数列{}n a 的通项公式为______.【答案】1122nn a n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【解析】求得数列{}n n a b +与数列{}n n a b -的通项公式，两者相加，求得数列{}n a 的通项公式. 【详解】 依题意11434434n n n n n n a a b b b a ++=-+⎧⎨=--⎩①②，①+②并化简得()1112n n n n a b a b +++=+，而111,0a b ==，所以1110a b +=≠，所以数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，112n n n a b -⎛⎫+= ⎪⎝⎭③.①-②并化简得()()112n n n n a b a b ++---=，111a b -=，所以数列{}n n a b -是首项为1，公差为2的等差数列，21n n a b n -=-④. ③+④并化简得1122nn a n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.故答案为：1122nn a n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.【点睛】本小题主要考查根据递推关系求数列的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.14．如图，在V ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.【解析】由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值. 【详解】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD .()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+- ()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，得2213,22AB AC =即3,AB AC =故AB AC=【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.15．设(),()fx g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()f x =(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中0k >.若在区间(0]9，上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_____.【答案】1,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 【解析】分别考查函数()f x 和函数()g x 图像的性质，考查临界条件确定k 的取值范围即可. 【详解】当(]0,2x ∈时，()f x =即()2211,0.x y y -+=≥又()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()f x 与()g x 的图象，要使()()f x g x =在(]0,9上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x =-时，函数()f x 与()g x 的图象有2个交点； 当g()(2)x k x =+时，()g x 的图象为恒过点()2,0-的直线，只需函数()f x 与()g x 的图象有6个交点.当()f x 与()g x 图象相切时，圆心()1,0到直线20kx y k -+=的距离为11=，得4k =，函数()f x 与()g x 的图象有3个交点；当g()(2)x k x =+过点1,1（）时，函数()f x 与()g x 的图象有6个交点，此时13k =，得13k =.综上可知，满足()()f x g x =在(]0,9上有8个实根的k 的取值范围为134⎡⎢⎣⎭，. 【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.三、解答题 16．在二项式)9x 的展开式中，系数为有理数的项的个数是______个.【答案】5【解析】根据二项式展开式的通项公式，求得系数为有理数的项的系数，由此确定系数为有理数的项的个数. 【详解】二项式展开式的通项公式为9292r r r C x -⋅⋅，当1,3,5,7,9r =时，项的系数为有理数，故系数为有理数的项的个数为5. 故答案为：5. 【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，属于基础题.17．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14AA =，2AB =，60BAD ∠=︒，E 、M 、N 分别是BC 、1BB 、1A D 的中点.（1）证明：//MN 平面1C DE ； （2）求点C 到平面1C DE 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】（1）通过向外补形，证得//MN DE ，由此证得//MN 平面1C DE . （2）利用等体积法，求得点C 到平面1C DE 的距离. 【详解】（1）延长AB 到G 点位置，使AB BG =，由于,M E 分别是1,BB BC 的中点，所以1,A M DE 的延长线也相交于G 点.由于N 是1A D 的中点，所以MN 是三角形1A DG 的中位线，所以//MN DG ，也即//MN DE ，而MN ⊂平面1C DE ，DE ⊂平面1C DE ，所以//MN 平面1C DE .（2）由于四边形ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD BCD ∠=∠=︒，所以1321sin 602DCE S ∆=⨯⨯⨯=.而22DE =⨯=1C E ==1C D ==22211DE C E C D +=，1C ED ∠为直角.设C 到平面1C DE 的距离为h ，由11C CDE C C DE V V --=得11143232h ⨯=⨯，解得17h =.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 18．设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++ 的值域. 【答案】（1）3,22ππ；（2）122⎡-+⎢⎣⎦. 【解析】(1)由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定θ的值；(2)首先整理函数的解析式为()sin y a x b ωϕ=++的形式，然后确定其值域即可. 【详解】(1)由题意结合函数的解析式可得：()()sin f x x θθ+=+， 函数为偶函数，则当0x =时，()02k k Z πθπ+=+∈，即()2k k Z πθπ=+∈，结合[)0,2θ∈π可取0,1k =，相应的θ值为3,22ππ.(2)由函数的解析式可得：22sin sin 124y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 21cos 26222x x ππ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+ 11cos 2cos 2226x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦111cos 2sin 2sin 2222x x x ⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭1312sin 222x x ⎫=--⎪⎪⎝⎭1226x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.据此可得函数的值域为：1⎡+⎢⎣⎦. 【点睛】本题主要考查由三角函数的奇偶性确定参数值，三角函数值域的求解，三角函数式的整理变形等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．我们把定义在R 上，且满足()()f x T af x +=（其中常数a 、T 满足1a ≠，0a ≠，0T ≠）的函数叫做似周期函数.（1）若某个似周期函数()y f x =满足1T =且图象关于直线1x =对称，求证：函数()f x 是偶函数；（2）当1T =，2a =时，某个似周期函数在01x ≤<时的解析式为()()1f x x x =-，求函数()y f x =，[),1x n n ∈+，n Z ∈的解析式；（3）对于（2）中的函数()f x ，若对任意(],x m ∈-∞，都有()89f x ≥-，求实数m 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）()()()21nf x x n x n =---；（3）7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【解析】（1）利用似周期函数的性质、图像关于直线1x =对称，结合函数奇偶性的定义，证得()()f x f x -=，由此证得()f x 是偶函数.（2）利用迭代的方法，求得()f x ，[),1x n n ∈+，n Z ∈的解析式. （3）根据（2）中求得()f x 的解析式，画出()f x 图像和89y =-的图像，确定m 的大致区间，令()89f x =-，求得对应x 的值，由此确定m 的取值范围. 【详解】（1）依题意可知，函数()f x 的定义域为R ，关于原点对称.由于()f x 图像关于1x =对称，故()()11f x f x -=+①.又1T =，即()()1f x af x +=②，用x -代替x 得()()1f x af x -+=-③.由①②③可知()()af x af x =-，而1a ≠，0a ≠，所以()()f x f x -=，故函数()f x 为偶函数.（2）由于1T =，2a =，所以()()12f x f x +=，得()()21=-f x f x .当01x ≤<时，()()1f x x x =-；当12x ≤<时，011x ≤-<，()()()()21212f x f x x x =-=--； 当23x ≤<时，112x ≤-<，()()()()221223f x f x x x =-=--； 当34x ≤<时，213x ≤-<，()()()()321234f x f x x x =-=--；……以此类推，当1n x n ≤<+时，()()()21nf x x n x n =---.同理，由于1T =，2a =，所以()()12f x f x +=，得()()112f x f x =+. 当10x -≤<时，011x ≤+<，()()()111122f x f x x x =+=+⋅； 当21x -≤<-时，110x -≤+<，()()()()21112122f x f x x x =+=+⋅+；……以此类推，当1n x n --≤<-时，()()()1112n f x x n x n +=+++. 综上所述，当[),1x n n ∈+，n Z ∈时，()()()21nf x x n x n =---（3）由（2）画出()f x 的图像、函数89y =-图像如下图所示.由图可知，从左往右，从2n =开始，()f x 与89y =-图像有交点.由（2）知，当23x ≤<时， ()()()()221223f x f x x x =-=--；令()()()282239f x x x =--=-，解得73x =或83x =.结合图像可知，要使对任意(],x m ∈-∞，都有()89f x ≥-，则73m ≤.故m 的取值范围是7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】本小题主要考查新定义函数性质，考查函数奇偶性的证明，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.20．已知点()2,0A -，()2,0B ，动点(),M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为12-，记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P 、Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G ， ①证明：PQG ∆是直角三角形； ②求PQG ∆面积的最大值.【答案】（1）()221242x y x +=≠，曲线C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点；（2）①证明见解析；②169. 【解析】（1）利用12AM BM k k ⋅=-列方程，化简后求得C 的方程，并判断出C 是何种曲线.（2）①通过计算1PG PQ k k ⋅=-，由此证得PQG ∆为直角三角形.②利用弦长公式，计算出,PQ PG ，利用三角形面积公式求得PQG ∆面积，进而求得PQG ∆面积的最大值.【详解】 （1）,22AMBM y y k k x x ==+-，依题意12AM BM k k ⋅=-，即22142y x =--，化简得()221242x y x +=≠.曲线C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点. （2）①依题意可知，直线PQ 的斜率存在且不为零.设直线PQ 的方程为y kx =，与曲线C 的方程联立得22142x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，消去y 得()22214kx +=.由于P 在第一象限，故,P Q ⎛ ⎝. 由于PE x ⊥轴，垂直为点E，所以E ⎫⎪⎪⎭，2EQ k k ==.则:22EQ k k l y x x ⎛=-= ⎝由222142k y x xy ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y得222222140221k k x x k ⎛⎫++-= ⎪+⎝⎭，所以()222642112G Q k x x k k --⋅=⎛⎫++ ⎪⎝⎭，而Q x =所以223212G k x k +=⎫+⎪⎭，2232212G kk y k +=-⋅⎫+⎪⎭. 所以2226162G P PG G P y y k k k x x k k k --===---.所以11PG PQ k k k k ⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭，所以PQG ∆为直角三角形.②由①知，OQG ∆为直角三角形，且PQ PG ⊥，所以12PQG S PQ PG ∆=⋅.P QPQ x x=-==，22212P GkPG x xk=-=⎛⎫+⎪⎝⎭，所以()()()22324222141882521211212kk k k k kSk kkk k kk++⋅+===⋅++⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1,0,2k t k tk+=>≥，所以812Stt=+.所以当2t=，即1k=时，S取得最大值为8161942=+.【点睛】本小题主要考查曲线方程的求法，考查直线和曲线相交交点坐标的求法，考查方程的思想，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.21．数列{}n a满足：对一切n，有n a M≤，其中M是与n无关的常数，称数列上有界（有上界），并称M是它的一个上界，对一切n，有n a m≥，其中m是与n无关的常数，称数列下有界（有下界），并称m是它的一个下界.一个数列既有上界又有下界，则称为有界数列，常值数列是一个特殊的有界数列.设,a b∈R，数列{}n a满足1a a=，21n na a b+=+，*n N∈.（1）若数列{}n a为常数列，试求实数a、b满足的等式关系，并求出实数b的取值范围；（2）下面四个选项，对一切实数a，恒正确的是.（写出所有正确选项，不需要证明其正确，但需要简单说明一下为什么不选余下几个）A．当14b=时，1010a>B．当12b=时，1010a>C．当2b=-时，1010a>D．当4b=-时，1010a>（3）若a R∈，1,4b⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，且数列{}na是有界数列，求b的值及a的取值范围. 【答案】（1）20a a b-+=，1,4b⎛⎤∈-∞⎥⎝⎦；（2）B；（3）14b=，11,22a⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.【解析】（1）利用1n n a a a +==列方程，根据方程有实数根，求得b 的取值范围. （2）利用（1）的结论，判断出错误选项，由此得出正确选项.（3）对a 分成0,0a a ≥<两种情况进行分类讨论，根据{}n a 的上界和下界，列不等式，由此求得b 的值和a 的取值范围.【详解】（1）由于数列{}n a 为常数列，所以1n n a a a +==，故2a a b =+，即20a a b -+=，此方程有实数根，故140b ∆=-≥，解得14b ≤，即实数b 的取值范围是1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. （2）由（1）可知，当数列{}n a 为常数列时，实数b 的取值范围是1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，此时10a 的值与1a 有关，不一定大于10，故ACD 三个选项不正确，B 选项正确.（3） 依题意，大前提为：a R ∈，1,4b ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭①当{}n a 为常数列时，由（1）知1,4b ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，所以14b =，22211042a a b a a a ⎛⎫-+=-+=-= ⎪⎝⎭，12a =. ②当{}n a 不是常数列时，由于1,4b ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，22111024n n n n n a a a a b a b +⎛⎫-=-+=-+-> ⎪⎝⎭，故数列{}n a 是单调递增数列.最小值为1a a =，设对一切n ，有n a M ≤，故n a a M ≤≤（n *∈N ）.i)当0a ≥时，222n a a M ≤≤，所以222n a b a b M b +≤+≤+，即221n a b a M b ++≤≤+，故22a b a M b M ⎧+≥⎨+≤⎩③④，由于2211024a a b a b ⎛⎫-+=-+-≥ ⎪⎝⎭成立，故③成立.由④得20M M b -+≤，即存在实数M 使上式成立，故1140,4b b ∆=-≥≤，而本题大前提是1,4b ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，所以14b =.此时22211042M M b M M M ⎛⎫-+=-+=-≤ ⎪⎝⎭，所以12M =.所以12n a a ≤≤，即102a ≤≤. ii)当0a <时，22210a ab a b =+=+>，故0M >. 若a M >，则220n a a ≤≤，22n b a b a b ≤+≤+，即21n b a a b +≤≤+，则2a b M a +≤<-，20a a b ++<，其判别式140b ∆=-≤，故不存在a 使20a a b ++<成立. 所以a M ≤，此时220n a M ≤≤，22n b a b M b ≤+≤+，即21n b a M b +≤≤+，故2b a M b M ≥⎧⎨+≤⎩⑤⑥，⑤恒成立.对于⑥，由④的分析可知，14b =，12M =.所以12a M ≤=，解得102a -<<. 综上所述，14b =，11,22a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查新定义的理解和运用，考查一元二次方程、一元二次不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查分析、思考与解决问题的能力，综合性很强，属于难题.。
2024年交大附中自主招生数学试题
2024年交大附中自主招生数学试题2024年交大附中自主招生数学试题的挑战与应对交通大学附属中学自主招生考试是一场极具挑战性的数学考试，而2024年的考试试题更是引人注目。
在这场考试中，考生们将面临一些颇具难度的问题，要求他们展现出卓越的数学思维和解决问题的能力。
本文将结合具体试题，为读者解析这场考试的挑战性，并提供一些应对策略。
首先，2024年交大附中自主招生数学试题的难点表现在以下几个方面。
首先，题目涉及的知识面非常广，包括代数、几何、概率与统计等多个领域。
考生需要在短时间内掌握并运用这些知识，无疑是一大挑战。
其次，题目对考生的数学思维能力和逻辑推理能力要求极高，需要考生具备严密的逻辑推理能力和深入的数学思维能力。
最后，试题中还出现了一些需要运用复杂数学模型和方法的题目，要求考生具备较高的数学建模能力和解决问题的能力。
针对这些难点，考生可以采取以下几种应对策略。
首先，考生需要全面复习数学知识，确保自己对各个领域都有深入的理解和掌握。
在复习过程中，考生可以结合历年自主招生试题进行练习，提高自己的应试能力。
其次，考生需要注重培养自己的数学思维能力和逻辑推理能力，通过大量的练习和反思来提升自己的数学素养。
最后，考生还需要加强对数学方法和技术的应用，通过模拟考试和练习，提高自己的解题能力和应变能力。
在应对2024年交大附中自主招生数学试题的过程中，考生还需要注意一些问题。
首先，要合理规划答题时间，避免在难题上过度纠结，影响整体成绩。
其次，要注重解题的准确性和规范性，避免因为细节问题而丢分。
最后，要保持冷静，遇到难题时要保持冷静，避免因为紧张而犯错。
总之，2024年交大附中自主招生数学试题是一场极具挑战性的考试，要求考生具备全面的数学知识、深刻的数学思维能力和灵活的解题技巧。
考生在备考过程中需要全面复习数学知识，注重培养数学思维能力和解题技巧，同时保持良好的心态和冷静的态度，以应对这场极具挑战性的考试。
上海中学自招数学真题(含答案)
上海中学自主招生试题1、因式分解：326114x x x -++=．【答案】()()()13421x x x --+．【解析】容易发现1x =是方程3261140x x x -++=的解，因此原式可以提出因式(1)x -，得到2(1)(654)x x x ---，对2(654)x x --用十字相乘可以得到原式等于(1)(34)(21)x x x --+．2、设0a b >>，224a b ab +=，则a ba b+=- ．【解析】由条件可得2()6a b ab +=，2()2a b ab -=．因此22()63()2a b aba b ab+==-．由于0a b +>，0a b ->，所以a ba b+=-3、若210x x +-=，则3223x x ++=．【答案】4．【解析】对多项式用带余除法可得32223(1)(1)4x x x x x ++=+-++，而由条件2(1)(1)0x x x +-+=，因此原式的值等于4．4、已知()()()24b c a b c a -=--，且0a ≠，则b ca+=_________． 【答案】2．【解析】令a b m -=，c a n -=，则c b m n -=+， 代入()()()24b c a b c a -=--中得()24m n mn +=， ()20m n ∴-=，m n ∴=，即a b c a -=-，即2a b c =+，2b ca+∴=．5、一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是 ．【答案】49．【解析】第一次取出红球的概率为23，且无论第一次取出什么球，第二次取出红球的概率仍为23，因此两次都是红球的概率是224339⨯=．6、直线:l y =与x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ∆关于直线AB 对称得到ACB ∆，则点C 的坐标是．【答案】32⎛ ⎝⎭．【解析】根据函数解析式可以算出A 、B 的坐标分别为(1,0)A，B ．由于ACB 是AOB 关于直线AB 对称得到的，所以AC AO =，BC BO =．设(,)C m n，则可列方程组2222(1)1(3m n m n ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，解得32m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩O重合，舍去．因此3(2C ．7、一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是． 【答案】454． 【解析】由题意知折痕是线段AC 的中垂线，设它与AB ,CD 分别交于,M N ．设MB x =，则由MC MA =可列方程2229(12)x x +=-，解得218x =．同理有218DN =．作ME CD ⊥，垂足为E ，则四边形MECB 是矩形，因此9ME BC ==，218CE BM ==．可知274NE CD DN CE =--=．而454MN ===．因此折痕长为454．8、任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半——得到2n，如果n 是奇数，则将它乘以3加1——得到31n +，不断重复这样的运算，如果对正整数n （视为首项）按照上述规则实施变换后（有些书可能多次出现）的第8项为1，则n 的所有可能取值为________． 【答案】128，21，20，3，16，2．【解析】设某一项为k ，则它的前一项应该为2k 或者13k -． 其中13k -必为奇数，即()4mod 6k ≡， 按照上述方法从1开始反向操作7次即可．9、正六边形ABCDED 的面积是6平方厘米，联结AC 、CE 、EA 、BD 、DF 、FB ，求阴影部分小正六边形的面积为．【答案】22cm ．【解析】右图中，阴影部分是正六边形，且与正六边形ABCDEF的相似比为1:3．因为ABCDEF 的面积是26cm ，所以阴影部分的面积为2632()cm ÷=．10、已知()()21244y x m x m =+-+-与2y mx =在x 取任意实数时，1y ，2y 至少有一个是正数，m 的取值范围是________． 【答案】4m <．【解析】取0x =，则14y m =-，20y =，40m ∴->，4m <， 此时函数1y 的对称轴404mx -=-<， 则对任意0x ≥总有10y >，只需考虑0x <； 若04m ≤<，此时20y ≤， 则对任意0x <，有10y >，()()24840m m ∴∆=---<，解得04m ≤<；若0m <，此时20y >对0x <恒成立； 综上，4m <．11、已知a ，b ，c 是互不相等的实数，x 是任意实数，化简：()()()()()()()()()222x a x b x c a b a c c b a b c a c b ---++=------________．【答案】1．【解析】令()()()()()()()()()()2222x a x b x c f x mx nx k a b a c c b a b c a c b ---=++=++------， ()()()1f a f b f c ∴===，即222111ma na k mb nb k mc nc k ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，01m n k ==⎧∴⎨=⎩ ，即()1f x ≡．12、已知实数a ，b 满足221a ab b ++=，22t ab a b =--，则t 的取值范围是________．【答案】133t -≤≤-．【解析】方法一：考虑基本不等式222a b ab +≥． 则2212a b ab ab +=-≥，则113ab -≤≤， 又2221t ab a b ab =--=-，133t ∴-≤≤-，其中1a =，1b =-时，3t =-成立；a b ==时，13t =-成立． 方法二：逆用韦达定理． 12t ab +=，()2302t a b ++=≥，3t ∴≥-，a b +=，故a ,b 是方程2102t x ++=的两个根， 314022t t ++∴∆=-⨯≥，解得13t ≤-，133t ∴-≤≤-．13、（1）求边长为1的正五边形对角线长；（2）求sin18︒．【答案】（1（2． 【解析】（1）设正五边形ABCDE ，联结,AC BE ，且设它们交于点M ．可以计算得到36ABM ABC ∠=∠=︒，因此ABM ACB ，可得2AB AM AC =⋅．同时，72BMC CBM ∠=∠=︒，所以BC MC =．若正五边形边长为1，则1AB BC CM ===，设AC x =，则由2AB AM AC =⋅可列方程21(1)x x =-，解得x去）． （2）根据诱导公式，sin18cos72︒=︒．在（1）的五边形中，BM AM AC CM ==-=．作CH BM ⊥，垂足为H ，则等腰三角形BMC 中12BH HM BM ===72CBM ∠=︒，所以sin18cos72BH BC ︒=︒==．14、（1）()32f x x ax bx c =+++，()()()01233f f f <-=-=-≤，求c 的取值范围；（2）()432f x x ax bx cx d =++++，()110f =，()220f =，()330f =，求()()106f f +-．【答案】（1）69c <≤ ；（2）8104．【解析】（1）()()()01233f f f <-=-=-≤，()0f x k ∴-=有三个实根1,2,3x =---，()()()()123f x k x x x ∴-=+++，展开得6c k =+，69c ∴<≤；（2）方程()100f x x -=有三个实根1,2,3x =，记第4个根为x p =，则()()()()()10123f x x x p x x x -=----，()()()()()12310f x x p x x x x ∴=----+，()()()()()()()106109871006789608104f f p p ∴+-=-⨯⨯⨯++--⨯-⨯-⨯--=．15、我们学过直线与圆的位置关系，根据材料完成问题（1）（2）类似给出背景知识：平面:0Ax By Cz D α+++=； 球：()()()2222x a y b z c R -+-+-=；点(),,a b c 到平面:0Ax By Cz D α+++=的距离公式：d =；球心到平面的距离为d ，当d R <时，球与平面相交，当d R =时，球与平面相切，当d R >时，球与平面相离；问题（1）：若实数m 、n 、k 满足1m n k ++=，求222m n k ++的最小值； 问题（2）()12x y z =++． 【答案】（1）13；（2）123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩．【解析】（1）条件可转化为点(,,)m n k 在平面10x y z ++-=上，而222m n k ++的最小值即该点到原点距离平方的最小值．这个距离最小为原点到平面10x y z ++-=的距离，而原点到平面的距离可由材料公式计算得到：3d ==，因此222m n k ++的最小值为213d =，等号在13m n k ===时取到．（2）移项后配方可以得到2221111)1)1)0222-+-+=，因此必有101010-==-=，于是解得123xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩．。
2024-2025学年上海交大附中高一数学上学期9月考试卷附答案解析
2024-2025学年上海交大附中高一数学上学期9月考试卷2024.09一.填空题1.方程组213y x y x =+⎧⎨=-+⎩的解集为_________.2.已知全集{|4}U x x =≤，集合{|23}A x x =-<<，{|32}B x x =-≤≤，则A B = ________3.已知集合{|12}A x x =≤≤，集合{|}B x x a =≤，若A B ≠∅ ，则实数a 的取值范围是________4.若集合{}2|10,A x ax x x =++=∈R，且A 中只有一个元素，则a =________；5.用反证法证明“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”时，假设应为_______．6.若集合()1,12y A x y x ⎧⎫-==⎨⎬-⎩⎭，(){}2,21B x y y xx ==-+，则A B = ____.7.若“12x a x a >⎧⎨>⎩”是“122122x x ax x a+>⎧⎨>⎩”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________.8.设集合2{|30,R}A x x mx x =-+=∈且{}1,3A A = ，则实数m 的取值范围是______.9.若集合{}2|2,,A x x ax b a b R=++=∈中有且只有3个元素，且这3个元素恰为直角三角形的三边，则4a b +=________.10.设集合ππ,24k M x x k ⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭Z ，π,4k N x x k ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，则M 、N 之间的关系为M _________N ．11.设集合{}1,2,3,,6M = ，现对M 的任一非空子集A ，令A x 为A 中最大数与最小数之和，则所有这样的Ax 的算术平均值为________．12.对于数集{}1231,,,,,n X x x x x =- ，其中1230,2n x x x x n <<<<<≥ ，定义点集(){},|,Y s t s X t X =∈∈，若对于任意()11,s t Y ∈，存在()22,s t Y ∈，使得12120s s t t +=，则称集合X具有性质P .则下列命题中为真命题的是___________.①{}1,1,2X =-具有性质P ；②若集合X 具有性质P ，则1X ∈；③集合X 具有性质P ，若112x =，则1n x =.二.选择题13.数集{|21,}A x x k k ==-∈Z ，{|2,}B x x k k ==∈Z ，{|41,Z}C x x k k ==-∈，若a A ∈，b B ∈，则a b +∈（）A.AB.BC.CD.A ，B ，C 都有可能14.若A 、B 是全集I 的真子集，则下列四个命题：①A B A = ；②A B A = ；③()A B ⋂=∅；④A B I ⋂=；⑤x B ∈是x A ∈的必要不充分条件．其中与命题A B ⊆等价的有（）A .1个B.2个C.3个D.4个15.已知1a ，2a ，1b ，2b ，1c ，2c 均为非零实数，不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>的解集分别为集合M 和N ，且R M ∅⊂⊂，R N ∅⊂⊂．那么“111222a b c a b c ==”是“M N =”的（）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件16.当一个非空数集G 满足“如果,a b G ∈，则a b +，a b -，ab G ∈，且0b ≠时，aG b∈”时，我们称G 就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①0是任何数域的元素；②若数域G 有非零元素，则2023G ∈；③集合{}2,Z P x x k k ==∈是一个数域；④有理数集是一个数域.其中假命题的个数是（）.A .B.1C.2D.3三.解答题17.用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集.（1）不等式230x ->的解集；（2）二元二次方程组2y xy x=⎧⎨=⎩的解集；（3）由大于3-且小于9的偶数组成的集合.18.已知A 为方程2210ax x ++=的所有实数解构成的集合，其中a 为实数.（1）若A 是空集，求a 的范围；（2）若A 是单元素集合，求a 的范围：（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围.19.下列命题中，判断条件p 是条件q 的什么条件.（1）:||||p x y =，:q x y =；（2）:p ABC V 是直角三角形，:q ABC V 是等腰三角形；（3）:p 四边形的对角线互相平分，:q 四边形是矩形；（4）:1p x =，:1q x -=（5）:0p m >，:q 关于x 的方程20x x m +-=有实根.20.设集合{}()(){}222320,2150A x x x B x x a x a =-+==+++-=；（1）若{}2A B = ，求实数a 的值；（2）若B 集合中有两个元素12,x x ，求12x x -；（3）若,U B A =⋂=∅R ，求实数a 的取值范围；附加题：21.集合{}66,11,23,10,911,1,18,100,0,πM =---有10个元素，设M 的所有非空子集为i M ()1,2,,1023i = 每一个i M 中所有元素乘积为i m ()1,2,,1023i = ，则1231023m m m m ++++= ___________.22.设R x ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为“取整函数”，如：[]1.61=，[]1.62-=-.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合[]{}2|10,12A x x x x =--=-<<是单元素集：②对于任意R x ∈，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立，则以下说法正确的是（）A.①②都是真命题B.①是真命题②是假命题C.①是假命题②是真命题D.①②都是假命题2024-2025学年上海交大附中高一数学上学期9月考试卷2024.09一.填空题1.方程组213y x y x =+⎧⎨=-+⎩的解集为_________.【答案】()(){}2,1,1,2--【解析】【分析】通过解方程组求得正确答案.【详解】依题意，213y x y x =+⎧⎨=-+⎩，则()()2213,2210x x x x x x +=-++-=+-=，解得2x =-或1x =，所以方程组213y x y x =+⎧⎨=-+⎩的解为21x y =-⎧⎨=-⎩或12x y =⎧⎨=⎩，所以方程组213y x y x =+⎧⎨=-+⎩的解集为()(){}2,1,1,2--.故答案为：()(){}2,1,1,2--2.已知全集{|4}U x x =≤，集合{|23}A x x =-<<，{|32}B x x =-≤≤，则A B = ________【答案】(,2][3,4]-∞ 【解析】【分析】根据补集和并集的概念得到集合.【详解】{2A x x =≤-或}34x ≤≤，A B = {2x x ≤-或}34x ≤≤(,2][3,4]{|32}x x -≤=-∞≤ .故答案为：(,2][3,4]-∞ 3.已知集合{|12}A x x =≤≤，集合{|}B x x a =≤，若A B ≠∅ ，则实数a 的取值范围是________【答案】1a ≥【解析】【分析】由A B ≠∅ ,画出数轴,表示出集合,即可求解【详解】因为A B ≠∅ ,则画出数轴,并表示出集合,如下:可得1a ≥,故答案为:1a ≥【点睛】本题考查已知交集结果求参数范围,属于基础题4.若集合{}2|10,A x ax x x =++=∈R ，且A 中只有一个元素，则a =________；【答案】0或14【解析】【分析】分0a =和0a ≠两种情况讨论，当0a ≠时0∆=求出a 的值.【详解】因为{}2|10,A x ax x x =++=∈R ，表示关于x 的方程210ax x ++=的解集，当0a =时，由10x +=，解得1x =-，所以{}1A =-，符合题意；当0a ≠时，要使A 中只有一个元素，则2140a ∆=-=，解得14a =，此时方程21104x x +=+，解得122x x ==-，所以{}2A =-，符合题意；综上可得0a =或14a =.故答案为：0或145.用反证法证明“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”时，假设应为_______．【答案】a ，b ，c 中至少有两个偶数【解析】【分析】用反证法证明某命题是，应先假设命题的否定成立，所以找出命题的否定是解题的关键.【详解】用反证法证明某命题是，应先假设命题的否定成立.因为“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”的否定是：“a ，b ，c 中至少有两个偶数”，所以用反证法证明“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”时，假设应为“a ，b ，c 中至少有两个偶数”，故答案为：a ，b ，c 中至少有两个偶数.6.若集合()1,12y A x y x ⎧⎫-==⎨⎬-⎩⎭，(){}2,21B x y y xx ==-+，则A B = ____.【答案】(){}1,0【解析】【分析】集合A 表示直线去掉一个点，集合B 表示二次函数上的点，联立方程判断根即得交集.【详解】依题意，集合B 表示221y xx =-+上的点，集合A 表示直线()12y x x =-≠上的点，故集合A B ⋂中元素表示直线与二次函数的交点，联立2211y x x y x ⎧=-+⎨=-⎩得2123201,2x x x x -+===，(舍)，故直线与二次函数有1个交点()1,0，故集合A B ⋂中有1个元素,(){}=1,0A B .故答案为：(){}1,0.7.若“12x a x a >⎧⎨>⎩”是“122122x x a x x a+>⎧⎨>⎩”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________.【答案】(),0-∞【解析】【分析】根据题意，分0a ≥与0a <讨论，结合必要不充分条件即可得到结果.【详解】由题意可得，122122x x a x x a +>⎧⎨>⎩可以推出12x a x a >⎧⎨>⎩，则0a ≥不符合题意，比如当121,5,2x x a ===时，不符合题意；当0a =时，则12x a x a >⎧⎨>⎩是122122x x ax x a +>⎧⎨>⎩的充要条件，不符合题意；当0a <时，122122x x a x x a +>⎧⎨>⎩等价于()()122120x a x a x x a⎧-+->⎨>⎩，则12x ax a >⎧⎨>⎩，所以0a <，即实数a 的取值范围是(),0-∞.故答案为：(),0-∞8.设集合2{|30,R}A x x mx x =-+=∈且{}1,3A A = ，则实数m 的取值范围是______.【答案】({4}-⋃【解析】【分析】由题意可得{}1,3A ⊆，分A =∅、{1}A =、{3}=A 、{1,3}A =分别求解即可.【详解】解：因为{}1,3A A = ，所以{}1,3A ⊆，当A =∅时，2120m ∆=-<，解得m -<<当{1}A =时，2Δ120130m m ⎧=-=⎨-+=⎩，解得m ∈∅；当{3}=A 时，2Δ1209330m m ⎧=-=⎨-+=⎩，解得m ∈∅；当{1,3}A =时，2Δ120134m m ⎧=->⎨=+=⎩，解得4m =；综上所述，实数m 的取值范围是：({4}-⋃.故答案为：({4}-⋃9.若集合{}2|2,,A x x ax b a b R =++=∈中有且只有3个元素，且这3个元素恰为直角三角形的三边，则4a b +=________.【答案】2-【解析】【分析】先22x ax b ++=得22x ax b ++=或22x ax b ++=-，根据判别式，以及集合中元素个数，确定方程220x ax b ++-=有两个根，方程220x ax b +++=有一个根；求出2124b a =-，以及三个元素，再由三个元素恰为直角三角形的三边，求出a ，得出b ，即可得出结果.【详解】由22x ax b ++=得22x ax b ++=或22x ax b ++=-，方程220x ax b ++-=的判别式为()2212448a b a b ∆==---+，方程220x ax b +++=的判别式为()2222448a b a b ∆==-+--，显然12∆>∆，又集合{}2|2,,A x x ax b a b R =++=∈中有且只有3个元素，所以方程220x ax b ++-=和220x ax b +++=共三个根，且只能方程220x ax b ++-=有两个根，方程220x ax b +++=有一个根；即22480480a b a b ⎧-+>⎨--=⎩，即2124b a =-；所以方程220x ax b ++-=可化为221440x ax a +-+=，解得22a x =-或22ax =--，方程220x ax b +++=可化为22140x ax a ++=，解得2a x =-，则22222a a a ->->--，又这三个元素恰为直角三角形的三边，所以2222222202202202a a a a a a ⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪->⎪⎪⎨⎪->⎪⎪⎪-->⎪⎩，解得16a =-，则212624a b =-=，因此42a b +=-.故答案为：2-.【点睛】本题主要考查由集合中元素个数求参数的问题，属于常考题型.10.设集合ππ,24k M x x k ⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭Z ，π,4k N x x k ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，则M 、N 之间的关系为M _________N ．【答案】【解析】【分析】()πππ21,244k x k k =±=⨯±∈Z 表示π4的奇数倍，而,4πk x k =∈Z 表示π4的整数倍，故得解.【详解】因为()πππ21,244k x k k =±=⨯±∈Z ，所以集合ππ|,24k M x x k ⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭Z 中的元素是π4的奇数倍，又因为集合π|,4k N x x k ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z 中的元素是π4的整数倍，所以MN .故答案为：.11.设集合{}1,2,3,,6M = ，现对M 的任一非空子集A ，令A x 为A 中最大数与最小数之和，则所有这样的A x 的算术平均值为________．【答案】7【解析】【分析】根据集合的子集和并集的概念求解.【详解】集合M 的任一非空子集共有621-个，其中最小值为1的子集可视为{}2,3,,6 的子集与集合{}1的并集，共有52个，同上可知，最小值为2的子集共有42个，最小值为3的子集共有32个，最小值为4的子集共有22个，最小值为5的子集共有12个，最小值为6的子集共有02个，同上可知，最大值为6的子集共有52个，最大值为5的子集共有42个，最大值为4的子集共有32个，最大值为3的子集共有22个，最大值为2的子集共有12个，最大值为1的子集共有02个，所以M 的所有非空子集中最小值之和为543210122232425262⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，最大值之和为543210625242322212⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，所以543210543210612223242526262524232221221A x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=-54321067(222222)721⨯+++++==-，故答案为:7.12.对于数集{}1231,,,,,n X x x x x =- ，其中1230,2n x x x x n <<<<<≥ ，定义点集(){},|,Y s t s X t X =∈∈，若对于任意()11,s t Y ∈，存在()22,s t Y ∈，使得12120s s t t +=，则称集合X具有性质P .则下列命题中为真命题的是___________.①{}1,1,2X =-具有性质P ；②若集合X 具有性质P ，则1X ∈；③集合X 具有性质P ，若112x =，则1n x =.【答案】①②③【解析】【分析】根据已知条件及集合X 具有性质P 的定义，结合反证法即可求解.【详解】因为{}1,1,2X =-，所以()()()()()()()()(){}1,1,1,1,2,2,1,1,1,2,1,1,1,2,2,1,2,1Y =------，根据集合X 具有性质P 的定义，对于任意(),s t Y ∈，若0,0s t >>，则s t =或()(),1,2s t =，或()(),2,1s t =，若s t =，取221,1s t =-=-，则220ss tt +=；若()(),1,2s t =，取222,1s t ==-，则220ss tt +=；若()(),2,1s t =，取221,2s t =-=，则220ss tt +=；若,s t 有一个为负数，则1s =-或1t =-，若1s =-，则取22,1s t t ==，则220ss tt +=；若1t =-，则取221,s t s ==，则220ss tt +=；故①正确；对于任意()11,s t Y ∈，存在()22,s t Y ∈，使得12120s s t t +=取11(,)x x Y ∈，存在(,)p q x x 使得110p q x x x x +=，所以0p q x x +=，不妨设1,1p q x x ==-，所以若集合X 具有性质P ，则1X ∈，故②正确；③假设1n x >，令111,2n s t x ==，则存在,s t X ∈使得102n s tx +=，同②得,s t 中必有一个数为1-，若1s =-，则12n tx =，于是11122n t x x =<=，矛盾，若1t =-，则()112n s x ⋅-=，于是2n n s x x =>，也矛盾，所以1n x ≤，又由②得1X ∈，所以1n x ≥，所以1n x =，故③正确，故真命题是①②③正确.故答案为：①②③.【点睛】解决此题的关键是抓住集合X 具有性质P 的定义，结合反证法即可.二.选择题13.数集{|21,}A x x k k ==-∈Z ，{|2,}B x x k k ==∈Z ，{|41,Z}C x x k k ==-∈，若a A ∈，b B ∈，则a b +∈（）A.A B.BC.CD.A ，B ，C 都有可能【答案】A 【解析】【分析】根据可知：集合A 为奇数集，结合B 为偶数集，结合元素与集合之间的关系分析判断.【详解】由题意可知：集合A 为奇数集，集合B 为偶数集，即a 为奇数，b 为偶数，则a b +为奇数，所以BD 错误，A 正确；例如1,0a b ==，令41a b k +=-，即141k =-，解得12k =∉Z ，所以a b C +∉，故C 错误；故选：A.14.若A 、B 是全集I 的真子集，则下列四个命题：①A B A = ；②A B A = ；③()A B ⋂=∅；④A B I ⋂=；⑤x B ∈是x A ∈的必要不充分条件．其中与命题A B ⊆等价的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B 【解析】【分析】根据韦恩图和集合的交、并、补运算的定义逐一判断可得选项．【详解】解：由A B ⊆得韦恩图：对于①A B A = 等价于A B ⊆，故①正确；对于②A B A = 等价于B A ⊆，故②不正确；对于③()A B ⋂=∅等价于A B ⊆，故③正确；对于④A B I ⋂=与A 、B 是全集I 的真子集相矛盾，故④不正确；对于⑤x B ∈是x A ∈的必要不充分条件等价于A B ，故⑤不正确，所以与命题A B ⊆等价的有①③，共2个，故选：B .15.已知1a ，2a ，1b ，2b ，1c ，2c 均为非零实数，不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>的解集分别为集合M 和N ，且R M ∅⊂⊂，R N ∅⊂⊂．那么“111222a b c a b c ==”是“M N =”的（）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】解：因为R M ∅⊂⊂，R N ∅⊂⊂，所以,M N ≠∅≠∅，当1112220a b c a b c ==<时，21110a x b x c ++>等价于22220a x b x c ++<，所以M N =不成立，故不充分；当M N =≠∅时，111222a b c a b c ==，故必要，故选：B ．16.当一个非空数集G 满足“如果,a b G ∈，则a b +，a b -，ab G ∈，且0b ≠时，aG b∈”时，我们称G 就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①0是任何数域的元素；②若数域G 有非零元素，则2023G ∈；③集合{}2,Z P x x k k ==∈是一个数域；④有理数集是一个数域.其中假命题的个数是（）.A.0 B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】根据任意相同元素之差是0，可判断①；根据当0a ≠时，1a a=，利用定义依次推导2023G ∈，可判断②，举反例判断③，根据有理数的运算结果判断④.【详解】对于①，根据当a G ∈，则a a G -∈，即0G ∈，所以0是任何数域的元素，故①正确；对于②，根据当0b ≠时，b G ∈，则bG b∈，即1G ∈，进而112G +=∈，213G +=∈，L ，202212023G +=∈，故②正确；对于③，对2P ∈，4P ∈，但2142P =∉，不满足题意，所以集合{}2,Z P x x k k ==∈不是一个数域，故③不正确；对于④，若a ，b 是有理数，则a b +，a b -，ab ，ab()0b ≠都是有理数，故有理数集是一个数域，所以④正确;所以其中假命题的个数是1个.故选：B.三.解答题17.用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集.（1）不等式230x ->的解集；（2）二元二次方程组2y xy x =⎧⎨=⎩的解集；（3）由大于3-且小于9的偶数组成的集合.【答案】（1）32x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭，无限集（2）()(){}0,0,1,1，有限集（3）{}2,0,2,4,6,8-，有限集【解析】【分析】（1）直接解不等式即可，解集为无限，用描述法表示；（2）解方程组，解集为有限，用列举法表示；（3）元素有限个，所以用列举法表示.【小问1详解】因为32302x x ->⇒>，所以解集为32x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭，为无限集；【小问2详解】二元二次方程组2y x y x =⎧⎨=⎩，所以2x x =，解得00x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩，所以解集为()(){}0,0,1,1，为有限集；【小问3详解】大于3-且小于9的偶数有2,0,2,4,6,8-，所以解集为{}2,0,2,4,6,8-，为有限集.18.已知A 为方程2210ax x ++=的所有实数解构成的集合，其中a 为实数.（1）若A 是空集，求a 的范围；（2）若A 是单元素集合，求a 的范围：（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围.【答案】（1）1a >；（2）0a =或1a =；（3）0a =或1a ≥.【解析】【分析】（1）讨论a ，根据0∆<可得结果；（2）讨论a ，根据0∆=可得结果；（3）转化为方程2210ax x ++=至多有一个解，由（1）（2）可得结果.【小问1详解】若A 是空集，则方程2210ax x ++=无解，当0a =时，方程210x +=有解，不符合题意；当0a ≠时，440∆=-<a ，得1a >.综上所述：1a >.【小问2详解】若A 是单元素集合，则方程2210ax x ++=有唯一实根，当0a =时，方程210x +=有唯一解12x =-，符合题意；当0a ≠时，440a ∆=-=，得1a =.综上所述：0a =或1a =.【小问3详解】若A 中至多有一个元素，则方程2210ax x ++=至多有一个解，当方程2210ax x ++=无解时，由（1）知，1a >；方程2210ax x ++=有唯一实根时，由（2）知，0a =或1a =.综上所述：0a =或1a ≥.19.下列命题中，判断条件p 是条件q 的什么条件.（1）:||||p x y =，:q x y =；（2）:p ABC V 是直角三角形，:q ABC V 是等腰三角形；（3）:p 四边形的对角线互相平分，:q 四边形是矩形；（4）:1p x =，:1q x -=（5）:0p m >，:q 关于x 的方程20x x m +-=有实根.【答案】（1）必要不充分；（2）既不充分也不必要；（3）必要不充分；（4）充分不必要；（5）充分不必要【解析】【分析】根据充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件的定义逐一判断即可.【小问1详解】解：由||||x y =可得x y =或x y =-，即由p 推不出q ，但由q 可以推出p ，所以条件p 是条件q 的必要不充分条件；【小问2详解】解：由ABC V 是直角三角形推不出ABC V 是等腰三角形，由ABC V 是等腰三角形推不出ABC V 是直角三角形，所以条件p 是条件q 的既不充分也不必要条件；【小问3详解】解：由四边形的对角线互相平分推不出四边形是矩形(如菱形的对角线互相平分，但菱形不是矩形)，由四边形是矩形可以推出四边形的对角线互相平分，所以条件p 是条件q 的必要不充分条件；【小问4详解】解：由1x =可得10x -==，即有1x -=，但由1x -=只能得1x ≥，即由p 可以推出q ，但由q 不可以推出p ，所以条件p 是条件q 的充分不必要不条件；【小问5详解】解：由0m >，可得140m +>，从而得方程20x x m +-=有实根，但由方程20x x m +-=有实根，可得140m +≥，即14m ≥-，即由p 可以推出q ，但由q 不可以推出p ，所以条件p 是条件q 的充分不必要不条件.20.设集合{}()(){}222320,2150A x x x B x x a x a =-+==+++-=；（1）若{}2A B = ，求实数a 的值；（2）若B 集合中有两个元素12,x x ，求12x x -；（3）若,U B A =⋂=∅R ，求实数a 的取值范围；【答案】（1）1-或3-（2（3）3a ≤-【解析】【分析】（1）由2B ∈，代入后解方程并检验是否满足题意；（2）根据韦达定理和完全差的平方公式化简求值即可；（3）根据集合B 元素情况分类求解即可.【小问1详解】由题意得{}{}23201,2A x x x =-+==，因为{}2A B = ，所以2B ∈，所以2224(1)50a a +++-=即244450a a +++-=，化简得2430a a ++=，即(3)(1)0a a ++=，解得3a =-或1a =-，检验：当3a =-时，{}{}24402B x x x =-+==，满足{}2A B = ，当1a =-时，{}{}2402,2B x x =-==-，满足{}2A B = ，所以3a =-或1a =-.【小问2详解】因为B 集合中有两个元素12,x x ，所以方程()()222150x a x a +++-=有两个根，所以()22Δ4(1)458240a a a =+--=+>且122(1)x x a +=-+，2125x x a =-，所以12x x -===.【小问3详解】因为{}1,2A =，且,U B A =⋂=∅R ，当B =∅时，()22Δ4(1)458240a a a =+--=+<，解得3a <-，符合题意；当{}1B =时，则()()()()2222Δ4145824012150a a a a a ⎧=+--=+=⎪⎨+++-=⎪⎩，无解；当{}2B =时，则()()()2222Δ4145824024150a a a a a ⎧=+--=+=⎪⎨+++-=⎪⎩，所以3a =-；当{}1,2B =时，则()()()222Δ41458240122125a a a a a ⎧=+--=+>⎪⎪+=-+⎨⎪=-⎪⎩，无解；综上，3a ≤-.附加题：21.集合{}66,11,23,10,911,1,18,100,0,πM =---有10个元素，设M 的所有非空子集为i M ()1,2,,1023i = 每一个i M 中所有元素乘积为i m ()1,2,,1023i = ，则1231023m m m m ++++= ___________.【答案】-1【解析】【分析】分析可得M 的所有非空子集为i M 可分为4类，分别分析4类子集中，所有元素乘积i m ，综合即可得答案.【详解】集合M 的所有非空子集为i M ()1,2,,1023i = 可以分成以下几种情况①含元素0的子集共有92512=个，这些子集中所有元素乘积0i m =；②不含元素0，含元素-1且含有其他元素的子集有821255-=个③不含元素0，不含元素-1，但含其他元素的子集有821255-=个其中②③中元素是一一对应的，且为相反数，则i m 的和为0，④只含元素-1的子集1个，满足1i m =-，综上：所有子集中元素乘积12310231m m m m ++++=- .故答案为：-122.设R x ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为“取整函数”，如：[]1.61=，[]1.62-=-.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合[]{}2|10,12A x x x x =--=-<<是单元素集：②对于任意R x ∈，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立，则以下说法正确的是（）A.①②都是真命题B.①是真命题②是假命题C.①是假命题②是真命题D.①②都是假命题【答案】A 【解析】【分析】对于①，分类讨论0x =、1x =、10x -<<、01x <<和12x <<五种情况分别求解即可判断；对于②，分类讨论x 为整数和不为整数时原式是否成立，对于x 不为整数时，进一步分类讨论其小数部分即可.【详解】对于①：当0x =时，[]2100110x x --=--=-≠，不符合题意；当1x =时，[]2111110x x --=--=-≠，不符合题意；当10x -<<时，[]()2221110x x x x --=---==，则()01,0x =∉-，不符合题意；当01x <<时，[]22210110x x x x --=--=-=，则()10,1x =±∉，不符合题意；当12x <<时，[]22211120x x x x --=--=-=；则()1,2x =符合题意，()1,2x =不符合题意；综上，[]{}2|10,12A x x x x =--=-<<=是单元素集，故①正确.对于②：当x 为整数时，[][]1222x x x x x x ⎡⎤++=+==⎢⎥⎣⎦成立；当x 不为整数时，设x a b =+（a 为整数，01b <<），当102b <<时，[]122x x a a a ⎡⎤++=+=⎢⎥⎣⎦，[][]2222x a b a =+=，此时，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立；当12b =时，12x a =+，则[]11212x x a a a ⎡⎤++=++=+⎢⎥⎣⎦，[][]22121x a a =+=+，此时，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立；当112b <<时，[]11212x x a a a ⎡⎤++=++=+⎢⎥⎣⎦，[][]22221x a b a =+=+，此时，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立；综上，对于任意R x ∈，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立，故②正确.故选：A【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.。