桩基础的设计计算 m值法
m法求解桩身内力与变形的幂级数解
m法求解桩身内力与变形的幂级数解m法求解桩身内力与变形的幂级数解1. 前言在土木工程领域，桩基承载力和变形是极为重要的研究对象。
而求解桩身内力和变形的方法有很多种，其中一种较为常用的方法是m法。
m法是一种基于幂级数展开的解法，能够提供高精度的结果。
本文将从简单到复杂，由浅入深，详细解释m法的原理和应用，并探讨其优缺点。
2. m法的原理m法是一种基于幂级数展开的解法，通过求解某一点处的内力和变形，来近似求解整个桩身的力学行为。
具体而言，m法假设桩身内力和变形可以表示为幂级数的形式。
通过边界条件确定幂级数展开的起始项。
将幂级数代入相应的微分方程中，并利用幂级数的性质逐项求解。
通过逼近和截断幂级数，得到近似解。
3. m法的应用m法在桩基工程中有着广泛的应用，可以用于求解桩身的内力和变形。
对于不同类型的桩身，m法都可以适用。
无论是钢筋混凝土桩、钢管桩还是木桩，m法都能提供较为准确的计算结果。
m法还可以用于考虑桩-土相互作用的情况，从而更加真实地模拟桩体在土体中的行为。
4. m法的优点相比其他方法而言，m法具有以下优点：4.1 高精度：m法基于幂级数展开，可以提供非常精确的计算结果。
通过逐项求解幂级数，m法能够较好地避免由于截断误差引起的计算偏差。
4.2 灵活性：m法能够适用于各种桩身类型和不同边界条件的情况。
无论是直桩、扭曲桩还是多支撑桩，都能够通过m法求解其内力和变形。
4.3 可视化：m法求解的结果可以较为直观地展示桩身在各个截面和节点的内力和变形分布情况。
这有助于工程师准确评估桩身的受力状态，为后续设计和施工提供参考。
5. m法的缺点然而，m法也存在一些缺点：5.1 计算复杂度：m法的计算过程相对复杂，需要逐项求解幂级数，可能导致计算耗时较长。
5.2 运算稳定性：在幂级数求解过程中，由于级数的收敛性与边界条件和各项系数相关，选择合适的级数截取点和缺省项是一个复杂的问题。
若选择不当，可能导致计算结果不稳定。
m法计算桩基础原理
m法计算桩基础原理桩基础是土木工程中常用的一种基础形式，广泛应用于建筑物、桥梁、堤坝等结构工程中。
其原理是通过在土体中插入大直径的长桩，使其在土层深部产生阻力，从而将建筑物的荷载直接传递至更深的土层，增加基础的稳定性和承载能力。
桩基础的原理主要包括以下几个方面：1.桩依靠摩擦阻力传递荷载：当桩侧面与土体接触时，由于两者的相互作用，桩身周围的土体会产生一定的摩擦力。
这种摩擦力可以通过桩体表面积和土体的黏结力来计算，其作用方向与桩的轴线方向相反。
通过摩擦力的作用，桩可以将荷载向下传递至土层深部。
2.桩依靠端阻力传递荷载：当桩插入土体深部时，底端与土层交界处产生的阻力，称为端阻力。
这种阻力的大小取决于桩侧面与土体交界面的形状、土的性质以及桩的直径等因素。
通常情况下，桩的端阻力比摩擦阻力要大，因此在计算桩的承载能力时，端阻力的贡献较大。
3.桩的承载力计算：桩基础的承载能力主要通过荷载试验来确定。
荷载试验是通过在实际工程中对桩进行负载测试，观测桩的沉降、变形和承载力等情况。
通过试验数据的分析计算，可以得到桩的承载力及其变形特性。
4.桩的稳定性分析：桩在承受水平力（如风荷载或地震力）时，会产生倾覆和滑移的情况。
因此，对于较高的建筑物或地震活跃地区的桩基础设计，需要进行稳定性分析。
该分析考虑了桩的倾覆和滑移的稳定性，以确保桩基础在复杂的工况下能够满足结构的要求。
综上所述，桩基础的原理主要涉及摩擦阻力和端阻力的传递，承载力的计算以及稳定性的分析。
通过合理地设计桩基础，可以确保建筑物的承载能力和稳定性，为土木工程的安全运行提供保障。
M法的计算土弹簧-刚度
《JTG D63-2007公路桥涵地基与基础设计规范》桩基土弹簧计算方法根据地基基础规范中给出的m法计算桩基的土弹簧：基本公式：K=ab1mz ③式中： a：各土层厚度b1：桩的计算宽度m：地基土的比例系数z：各土层中点距地面的距离计算示例：当基础在平行于外力作用方向由几个桩组成时，b1=0.9×k(d + 1) ①h1=3×(d+1)∵ d=1.2∴ h1=6.6L1=2mL1＜0.6×h1＝3.96M∴ k＝b′＋((1－b′)/0.6)×L1/h1 ②当n1=2时，b′＝0.6代入②式得：k=当n1=3时，b′＝0.5代入②式得：k=0.92087542当n1≥4时，b′＝0.45带入②式得：k=0.912962963将k值带入①式可求得b1，对于非岩石类地基，③式中m值可在规范表P.0.2-1中查到对于岩石类地基，③式中m值可由下式求得：m=c/z其中c值可在表P.0.2-2中查得将a、b1、m、z带入③可求得K值m同时，《08抗震细则》，第6.3.8中规定，对于考虑地震作用的土弹簧，M动=（2~3倍）M静。
桥梁的地震反应分析研究中，考虑桩-土共同作用时，在力学图式中作如下处理。
假定土介质是线弹性的连续介质，等代土弹簧刚度由土介质的动力m 值计算。
“m -法”是我国公路桥梁设计中常用的桩基静力设计方法。
在此采用的动力m 值最好以实测数据为依据。
由地基比例系数的定义可表示为z zx x z m ⋅⋅=σ式中，zx σ是土体对桩的横向抗力，z 为土层的深度，z x 为桩在深度z 处的横向位移(即该处土的横向变位值)。
由此，可求出等代土弹簧的刚度为s K z m b a x x z m b a x A x P K p zz p z zx z s s ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅===)()(σ 式中，a 为土层的厚度，p b 为该土层在垂直于计算模型所在平面的方向上的宽度，m 值见表1。
桩基础的设计计算 m值法
桩基础的设计计算1．本章的核心及分析方法本节将介绍考虑桩与桩侧土共同抵抗外荷载作用时桩身的内力计算，从而解决桩的强度问题。
重点是桩受横轴向力时的内力计算问题。
桩在横轴向荷载作用下桩身的内力和位移计算，国内外学者提出了许多方法。
目前较为普遍的是桩侧土采用文克尔假定，通过求解挠曲微分方程，再结合力的平衡条件，求出桩各部位的内力和位移，该方法称为弹性地基梁法。
以文克尔假定为基础的弹性地基梁法从土力学观点看是不够严密的，但其基本概念明确，方法简单，所得结果一般较安全，在国内外工程界得到广泛应用。
我国公路、铁路在桩基础的设计中常用的"m"法、就属此种方法，本节将主要介绍"m"法。
2．学习要求本章应掌握桩单桩按桩身材料强度确定桩的承载力的方法，" "法计算单桩内力的各种计算参数的使用方法，多排桩的主要计算参数及其各自的含义。
掌握承台计算方法,群桩设计的要点及注意事项,了解桩基设计的一般程序及步骤。
本专科生均应能独立完成单排桩和多排桩的课程设计。
第一节单排桩基桩内力和位移计算一、基本概念（一）土的弹性抗力及其分布规律1．土抗力的概念及定义式（1）概念桩基础在荷载（包括轴向荷载、横轴向荷载和力矩）作用下产生位移及转角，使桩挤压桩侧土体，桩侧土必然对桩产生一横向土抗力，它起抵抗外力和稳定桩基础的作用。
土的这种作用力称为土的弹性抗力。
（2）定义式（4-1）式中：--横向土抗力，kN/m2；--地基系数，kN/m3；--深度Z处桩的横向位移，m。
2．影响土抗力的因素（1）土体性质（2）桩身刚度（3）桩的入土深度（4）桩的截面形状（5）桩距及荷载等因素3．地基系数的概念及确定方法（1）概念地基系数C表示单位面积土在弹性限度内产生单位变形时所需施加的力，单位为kN/m3或MN/m3。
（2）确定方法地基系数大小与地基土的类别、物理力学性质有关。
地基系数C值是通过对试桩在不同类别土质及不同深度进行实测及后反算得到。
4-桩基础计算
一般方法：要找出弯矩最大的截面所在的位置及相应 的最大弯矩Mmax值。一般可将各深度Z处的Mz值求出后绘 制Z－Mz图，即可从图中求得。
Q 3E 0 IAx M 2E0 IBx （9a）
式中：A x(A 1A x0B 1A 0D 1) B x(A 1B x0B 1B 0 C 1)
同理，将式（ 7）分别代入式（3）、（4）、（4-5） 再经整理归纳即可得
z Q 2E 0 IAM E0IB
Mz
Q0
AmM0Bm
（9b） （9c）
QzQ0AQM0BQ （9d）
对于单排桩 ，若作用于承台底面中心的荷载为N、H、 My，当N在承台横桥向无偏心时，则可以假定它是平均分 布在各桩上的，即
Pi N n;Qi H n;Mi M ny 式中：n——桩的根数。
当竖向力N在承台横桥向有偏心距e时，即Mx=Ne， 因此每根桩上的竖向作用力可按偏心受压计算，即
pi
N Mx yi n yi2
根据已有的试验资料分析，现行规范认为计算宽度的 换算方法可用下式表示：
b1Kf K0Kb(或 d)
b1Kf K0Kb(或 d)
上式中： b（或d）——与外力H作用方向相垂直平面上桩的宽度 （或直径）； Kf——形状换算系数。即在受力方向将各种不同截面形状 的桩宽度，乘以Kf换算为相当于矩形截面宽度，其值见 表4-3 ； K0——受力换算系数。即考虑到实际上桩侧土在承受水平 荷载时为空间受力问题，简化为平面受力时所给的修正系 数，其值见表4-3； K——桩间相互影响系数。
即C=mz。 基于这一基本假定，进行桩的内力与位移的理论公式
推导和计算。
m值
5.1.1. 桩基—土弹簧模拟根据地勘报告，桩基础上部土层为粉质粘土、粘土及细中砂相间，m 值建议按基础规范取。
根据《公路桥涵地基和基础设计规范》（JTG D63-2007）附录P 第P.0.2条，可取上部两层土按深度的换算m 值作为整个深度的m 值，m 值计算如下：在2(1) 6.0m h d =+=m 深度内：第一层 黏 土 湿，软塑 5000m =KN/m 4 厚1.4m第二层 粉 土 稍密～中密 15000m =KN/m 4 厚1.0m第三层 粉细砂 稍密～中密 15000m =KN/m 4 厚2.1m第四层 黏 土 软塑～可塑 5000m =KN/m 4 厚1.5m先计算上面三层土的换算m 值，将第二层和第三层土作为一层考虑，此时1.4 1.0 2.1 4.5m h =++=m1/ 1.4/4.50.2m h h =>，2211 1.25(1/)1 1.25(1 1.4/4.5)0.4067m h h γ=--=--=12(1)10900m m m γγ=+-=KN/m 4将上面三层土作为一层，10900m =KN/m 4，与下面一层土进行换算， 6.0m h =m ，1/ 4.5/6.00.2m h h =>， 2211 1.25(1/)1 1.25(1 4.5/6.0)0.922m h h γ=--=--=12(1)10440m m m γγ=+-=KN/m 4因此，综合取m =10440 kN/m 4作为整个深度的m 值。
主塔承台及桩基础按实际尺寸建模，桩基刚度计入0.8的折减系数。
土弹簧刚度按下式计算得到：1k ab mz =，式中，a 为土层厚度，1b 为桩基计算宽度，z 为计算点距地面或一般冲刷线高度。
代入1b =2.106m ，m =10440 kN/m 4，各分层厚度及计算点高度即可得到沿桩基深度的土弹簧刚度。
在桩侧只施加水平土弹簧约束，在桩底还施加竖向土弹簧约束，竖向土弹簧刚度采用相关软件按群桩基础计算得到。
桩基础的设计计算
无量纲法 (桩身在地面以下任一深度处的内力和位移的简捷计算方法) 当桩的支承条件、入土深度符合一定要求时，可利用比较简捷的计算方法计算。即无量纲法。 主要特点： 利用边界条件求x0、 0时，系数采用简化公式； 利用x0、 0是Q0、M0的函数的特征，代入基本公式后，无须再计算x0、 0，可由已知的Q0、M0直接计算。
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多排桩在外力作用平面内有多根桩，各桩受力相互影响，其影响与桩间净距L1有关。 单排桩或L1≥0.6h1的多排桩 k=1.0； L1＜0.6h1的多排桩 h1——地面或最大冲刷线以下桩柱 计算埋入深度：h1=3(d+1) ；但h1值不 得大于桩的入土深度（h）；
L1
H
q1、q2——梯形土压力强度。
桩顶为弹性嵌固——适合于墩 台受上部结构约束较强的情况。 轻型桥台用锚柱固接； 摩擦力较大的毛毡支座； 固定支座的单孔桥。
——单位水平力作用在地面或最大冲刷线处，桩在该处产生的转角；
——单位弯矩作用在地面或最大冲刷线处，桩在该处产生的转角；
x0、 0的计算 摩擦桩、柱承桩 x0、 0 的计算 桩底受力情况分析 桩底为非岩石类土或支承在岩基面上，在外荷作用下，桩底产生位移 xh、 h，桩底 x 处产生竖向位移 x h，桩底的抗力情况如下图所示。如竖向地基系数为C0，桩底竖向力增量：
z——地面或最大冲刷线以下地基系数计算点的深度； n——随不同计算假定而设置的指数。 “m”法假定—— “K”法假定——地基系数C沿深度分两段变化，在桩身第一挠曲零点以上按凹形抛物线变化（n=2），以下为常数K。 “C”法假定——地基系数C沿深度分两段变化， ， ； 的桩长段地基系数C取常数。 “张有龄”法假定（常数法）——地基系数C沿深度不变为常数C=K0（n=0）。
桩基础水平承载力的概念及计算方法(一)
桩基础水平承载力的概念及计算方法(一)对于承受水平荷载显著的建（构）筑物，根据其受荷方式的不同大致方式分为几类：一类是以长期水平荷载为主九种的构筑物，例如挡土墙、拱结构、堆载场地等构筑物桩基受到年力的高度力；另一类是以周期荷载或循环荷载为主的建筑物，例如地震或风产生的建（构）筑物水平力、吊车等产生的制动力、海洋客户端平台工程或岸边工程等波浪产生的水平力。
对于一般建筑物，当水平荷载较大且桩基埋深此时较浅时，人体工学桩基的水平承载力设计应成为重点。
本文章主要考虑单桩水平承载力的问题。
单桩在水平荷载下的承载特性是指桩顶在水平荷载下产生水平位移和转角，桩身出现弯曲应力、桩前应力受侧向挤压，产生危急情况桩身结构和地基的破坏情况。
影响单桩水平承载力和位移的因素包括桩身截面抗弯刚度、材料强度、桩侧土质条件、桩身入土深度、桩顶约束条件等。
根据水平力作用下单桩的承载变形性状，可将桩分为刚性桩、半刚性桩、柔性桩。
1.1.1水平受荷单桩的破坏机理研究单桩在低水平荷载区域时基本表现为由线性到非线性区段的过渡过程，在达到极限荷载后，即使不继续增加主梁，水平位移也会急剧增加，会出现水平荷载下降经常出现的特征，即到达了极限状态。
这种单桩水平承载的非线性物理性质是随着水平位移化学成分的增大，不仅会和桩周边地基的非线性特性一起从地表面延伸到地基深部产生渐进性破坏，还会相继出现处于稳定性状态桩体向出现塑性铰转化的情况，见图1.1.1-1。
图1.1.1-1单桩桩顶水平荷载-水平位移关系（引自《大韩民国建筑基础结构设计建筑指南》）在桩身结构出现破坏到形成极限状态时，此种破坏情况一般包含条件两种情况：①地基土在桩长范围内产生破坏的情况；②桩头固定时，桩顶和桩身地下部分形成两个塑性铰（桩头自由而地下部分为铰）的状态，并且这两个断面间的地基土也有发生破坏的情况。
总的说来，单桩水平承载力主要是由桩身抗弯能力和桩侧土强度（稳定性）控制。
对于低配筋率灌注桩，通常是由桩身先出现裂缝，随后断裂破坏；此时，单桩水平气压承载力由桩身强度控制。
地基系数的比例系数M的确定
中图分类号:U443115 文献标识码:B 文章编号:1004 2954 2004 11 0083 02 在桩顶弯矩和横向荷载的作用下桩基的内力和位移的计算方法可以归纳为四大类:弹性地基反力法、性地基反力法又分线弹性地基反力法和非线弹性地基反力法。
线弹性地基反力法是将桩周土体视为弹性该方法中又派生出了m 法、K 法、C 法、张有龄法。
由于m 法简单实用国内有关地基基础的设计规范大都推荐采用该法见公式 1 和公式 2 σ CyΔx 1 桥规考虑了6 种土的情况m 值仅由土类确定粘性土式中σy ———地基土的横向水平向抗力MPa Cy ———y 深度处地基土的水平地基系数限相差较大如卵石的高值与低值之比为217 砂类土和桥涵地基和基础设计规范》TB1000215 —99 以下简确定过程为:对桩进行水平静载试验根据桩在地面处若能得到Cy 利用公式3 就可以求出m 。
Glick 1948 认为可用式4 计算桩侧土的Cy5 。
2214 E0 1 - μ 1 μ 3 - 4μ 2ln 2L/ D - 01443 Cy 4 淤粉细中粗角圆碎卵漂《长直截??桥梁?? 地基系数的比例系数m 的确定李俊强士中李小珍西南交通大学土木工程学院四川成都610031 摘要:在没有试桩资料的情况下根据动力触探击数可以获得土层的变形模量然后计算得到地基系数的比例系数m 降低按桥规建议表格取值的任意性。
关键词:地基系数的比例系数动力触探击数变形模量桩基础水平位移为6 mm 时此时假定的m 即为该种土的m 1 概述值1 。
表 1 非岩石地基的m 值MPa/ m2 编号土的名称m 值极限地基反力法、复合地基反力法和弹性理论法。
弹 1 流塑粘性土、泥35 2 软塑粘性土、砂510 3 硬塑粘性土、砂、砂1020 4 半干硬粘性土、砂2030 体由于对Winkler 假定中的地基系数的取值不同在5 砾砂、砾、砾、石、石3080 6 块石、石80120 桥规》指出m 值应采用试验实测值。
地基系数的比例系数m的确定
对于粘性土和砂土 ,参照《沈阳地区桩基础设计与
施工暂行规程》(SYJB1 —91) ,变形模量与 N6315的关系 见表 3 。
一般来说 ,对于某一种土 ,动力触探击数 N6315随 土的埋深 y 的增大而增大 , 土的变形模量 E0 也随 y 的增大而增大 ,由前述的式 (5) ,若土的泊松比 μ 固
1 概述
江西抚河钟岭特大桥是江西省抚州市东乡到临川 一级公路上的一座特大型桥梁 ,桥全长 921 m ,上部构 造为 26 ×35 m 的装配式部分预应力混凝土连续组合 箱梁 ,全桥共计 5 联 ,第 1 、2 、4 、5 联为 5 ×35 m ,第 3 联 为 6 ×35 m。桥梁横断面由 5 片单室箱梁组成 ,该桥在
采用 m 法计算桩基 ,首要的是确定 m 值 。《铁路 桥涵地基和基础设计规范》( TB1000215 —99) (以下简 称《桥规》) 给出了 m 值参考用表 , 见表 1 。该表 m 的 确定过程为 :对桩进行水平静载试验 ,根据桩在地面处 承受水平荷载作用的试验结果绘制荷载 位移关系曲
线 ,从此曲线上找出相应于地面处水平位移为 6 mm
土类
松散砾砂 可塑砂粘土 松散砾砂 可塑砂粘土 松散圆砾 中密漂卵石 松散漂卵石 中密漂卵石
按式 (5) 计 算的 m 值
415 3131 218 4152 3143 618 2195 6131
按式 (8) 计 算的 m 值
4168 719 9132 19186 23109 61145 3019 9216
粉质粘土 314 613 915 1312 1714 2115 2610 3018 3518 4110
E0 粉土 310 415 612 812 1014 1216
m法的计算步骤N
公路桩基土弹簧计算方法
根据地基基础规范中给出的m法计算桩基的土弹簧：
基本公式：
K=ab1mz ③
式中： a为各土层厚度
b1为基础的计算宽度
m为地基土的比例系数
z为各土层中点距地面的距离
当基础在平行于外力作用方向由几个桩组成时，
b1=0.9×k(d + 1) ①
h1=3×(d+1)
∵ d=1.2
∴ h1=6.6
L1=2m
L1＜0.6×h1＝3.96M
∴ k＝b′＋((1－b′)/0.6)×L1/h1 ②
当n1=2时，b′＝0.6
代入②式得：k=
当n1=3时，b′＝0.5
代入②式得：k=0.92087542
当n1≥4时，b′＝0.45
带入②式得：k=0.912962963
将k值带入①式可求得b1，
对于非岩石类地基，③式中m值可在规范表6.5中查到
对于岩石类地基，③式中m值可由下式求得：
m=c/z
其中c值可在表6.6中查得
将a、b1、m、z带入③可求得K值
桥梁的地震反应分析研究中，考虑桩-土共同作用时，在力学图式中作如下处理。
假定土介质是线弹性的连续介质，等代土弹簧刚度由土介质的动力m值计算。
“m-法”是我国公路桥梁设计中常用的桩基静力设计方法。
在此采用的动力m值最好以实测数据为依据。
由地基比例系数的。
组合桩地基土水平抗力系数的比例系数m的计算方法
组合桩地基土水平抗力系数的比例系数 m 的计算方法组合桩基础是建筑工程中一种重要的基础形式，其桩基承载力来源于桩侧地基土的水平抗力。
在组合桩基础的设计过程中，需要计算桩基的承载力和桩的承载面积，而桩侧地基土的水平抗力系数的比例系数 m 是其中一个重要的参数。
本文将介绍组合桩地基土水平抗力系数的比例系数 m 的计算方法。
组合桩基础是建筑工程中一种重要的基础形式，其桩基承载力来源于桩侧地基土的水平抗力。
在组合桩基础的设计过程中，需要计算桩基的承载力和桩的承载面积，而桩侧地基土的水平抗力系数的比例系数 m 是其中一个重要的参数。
本文将介绍组合桩地基土水平抗力系数的比例系数 m 的计算方法。
m 的计算方法主要有两种方法：一种是通过试验数据来确定 m 值，另一种是通过理论计算来确定 m 值。
1. 通过试验数据来确定 m 值这种方法通常用于组合桩基础的设计中。
通过在现场或实验室进行载荷试验，可以得到桩侧地基土的水平抗力与桩承载力之间的关系，即 LHR 与 UPC 之间的关系。
根据这一关系，可以计算出组合桩地基土水平抗力系数的比例系数 m。
2. 通过理论计算来确定 m 值这种方法通常用于组合桩基础的设计或桩基承载力的计算中。
通过理论计算，可以计算出组合桩基础中的桩承载力和桩侧地基土的水平抗力。
根据这些计算结果，可以确定 m 值。
在实际应用中，通常采用上述两种方法中的任何一种来计算出组合桩地基土水平抗力系数的比例系数 m。
但是，由于地基土的性质和桩的类型等因素的不同，不同的计算方法可能会得到不同的 m 值。
因此，在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的计算方法。
组合桩基础设计中，桩侧地基土的水平抗力系数的比例系数 m 是一个重要的参数。
通过采用上述两种方法中的任何一种，可以计算出 m 值，用于组合桩基础的设计和计算中。
但是，在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的计算方法。
m法在单桩水平荷载试验中的应用 - 副本
“m ”法在单桩水平载荷试验中的应用摘要：在桩的水平抗力计算中，“m ”法法是工程上最常用的方法。
本文结合工程实例介绍了弹性抗力“m ”法法的基本原理及内力计算，以及实际应用中应该注意的问题，为工程桩设计和施工提供有益的借鉴。
1前言桩基础在荷载（包括轴向荷载、横轴向荷载和力矩）作用下产生位移（包括竖向位移、水平位移和转角），桩的竖向位移引起桩侧土的摩阻力和桩底土的抵抗力。
桩身的水平位移及转角使桩挤压桩侧土体，桩侧土必然对桩产生一横向土抗力zx σ，它起抵抗外力和稳定桩基础的作用，土的这种作用力称为土的弹性抗力。
zx σ即指深度为z 处的横向（X 轴向）土抗力，其大小取决于土体性质、桩身刚度、桩的入土深度、桩的截面形状、桩距及荷载等因素。
桩身内力与位移计算方法很多，常用的有：弹性地基梁法。
弹性地基梁法：将桩作为弹性地基上的梁，按文克尔假定(梁身任一点的土抗力和该点的位移成正比)的解法。
假定土的横向土抗力符合文克尔假定，即z zx Cx =σ⑴式中：zx σ—横向土抗力（kN/m 2）； C —地基系数（kN/m 3）； z x —深度z 处桩的横向位移（m ）。
基本概念明确，方法较简单，所得结果一般较安全。
弹性地基梁的弹性挠曲微分方程的求解方法可用数值解法、差分法及有限元法。
由于C 值的假定不同，产生了“张九龄法”、“m ”法，“k ”法及“c ”法。
工程上常用的是“m ”法，它是假定地基系数C 随深度呈线性增长(即C =mx )， m 称为地基系数随深度变化的比例系数（kN/m 4）。
2“m ”法基本原理及内力计算 2.1 “m ”法的基本假定⑴认为桩侧土为文克尔离散线性弹簧； ⑵不考虑桩土之间的粘着力和摩阻力； ⑶桩作为弹性构件考虑；⑷当桩受到水平外力作用后，桩土协调变形；⑸任一深度Z 处所产生的桩侧土水平抗力与该点水平位移z x 成正比，xz zx C =σ，且地基系数C 随深度成线性增长，即mz C =。
水平力作用下码头桩基m法与嵌固点法的内力分析
图 2 m 法、嵌固点法计算图示 表 1 土层 m 值和桩基方案一览表
计算编号 桩基布置 桩土模型
土层 m 值（kN/M4） 嵌固点深度（m）
M-Z-1
m法
淤泥质土
2,000
Q-Z-1
方案 1
嵌固点法
4.33
M-Z-2 （全直桩）
m法
松散细砂
6,000
Q-Z-2
嵌固点法
3.48
M-X-1
m法
淤泥质土
±345.25 ±391.02 ±333.59
61.12 25.69 69.67
-6.76/12.34 7.38
-2.22
1.90
-7.93/17.36 6.95
Q-X-2 嵌固点法
±388.35
27.19
-2.51
1.78
注：①轴力“-”表示拉桩力，“+”表示压桩力；
五、两者差异性
通过上述桩基内力分析，m 法和嵌固点法的差异性如下：
第 18 卷 第 10 期 2018 年 10 月
中国水运 China Water Transport
Vol.18 October
No.10 2018
水平力作用下码头桩基 m 法与嵌固点法的内力分析
关兴
（广州华申建设工程管理有限公司，广东 广州 510240）
摘 要：高桩码头桩基计算中，针对不同的土层和桩基布置方式，利用 Midas Civil 有限元分析桩基在 M 法和嵌固
160
中国水运
第 18 卷
和 2 根直桩，桩基与横梁铰接，桩底假想嵌固深度为固接。 采用 m 法计算，泥面以下桩基按 0.5m 细分为一个计算
单元，该单元根据土体 m 值、深度和桩径换算宽度根据公式 （1）、（2）、（3）计出桩侧向的弹性系数作为支座边界，示 意图见下图 3（a），（b）。
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桩基础的设计计算1．本章的核心及分析方法本节将介绍考虑桩与桩侧土共同抵抗外荷载作用时桩身的内力计算，从而解决桩的强度问题。
重点是桩受横轴向力时的内力计算问题。
桩在横轴向荷载作用下桩身的内力和位移计算，国内外学者提出了许多方法。
目前较为普遍的是桩侧土采用文克尔假定，通过求解挠曲微分方程，再结合力的平衡条件，求出桩各部位的内力和位移，该方法称为弹性地基梁法。
以文克尔假定为基础的弹性地基梁法从土力学观点看是不够严密的，但其基本概念明确，方法简单，所得结果一般较安全，在国内外工程界得到广泛应用。
我国公路、铁路在桩基础的设计中常用的"m"法、就属此种方法，本节将主要介绍"m"法。
2．学习要求本章应掌握桩单桩按桩身材料强度确定桩的承载力的方法，" "法计算单桩内力的各种计算参数的使用方法，多排桩的主要计算参数及其各自的含义。
掌握承台计算方法,群桩设计的要点及注意事项,了解桩基设计的一般程序及步骤。
本专科生均应能独立完成单排桩和多排桩的课程设计。
第一节单排桩基桩内力和位移计算一、基本概念（一）土的弹性抗力及其分布规律1．土抗力的概念及定义式（1）概念桩基础在荷载（包括轴向荷载、横轴向荷载和力矩）作用下产生位移及转角，使桩挤压桩侧土体，桩侧土必然对桩产生一横向土抗力，它起抵抗外力和稳定桩基础的作用。
土的这种作用力称为土的弹性抗力。
（2）定义式（4-1）式中：--横向土抗力，kN/m2；--地基系数，kN/m3；--深度Z处桩的横向位移，m。
2．影响土抗力的因素（1）土体性质（2）桩身刚度（3）桩的入土深度（4）桩的截面形状（5）桩距及荷载等因素3．地基系数的概念及确定方法（1）概念地基系数C表示单位面积土在弹性限度内产生单位变形时所需施加的力，单位为kN/m3或MN/m3。
（2）确定方法地基系数大小与地基土的类别、物理力学性质有关。
地基系数C值是通过对试桩在不同类别土质及不同深度进行实测及后反算得到。
大量的试验表明,地基系数C值不仅与土的类别及其性质有关，而且也随着深度而变化。
由于实测的客观条件和分析方法不尽相同等原因，所采用的C值随深度的分布规律也各有不同。
常采用的地基系数分布规律有图下所示的几种形式，因此也就产生了与之相应的基桩内力和位移的计算方法。
图4-1 地基系数变化规律现将桩的几种有代表性的弹性地基梁计算方法概括在表下中。
桩的几种典型的弹性地基梁法表4-1计算方法图号地基系数随深度分布地基系数C表达式说明m法4-50a）与深度成正比C=mZ m为地基土比例系数K法4-50b）桩身第一挠曲零点以上抛物线变化，以下不随深度变化C=K K为常数C值法4-50c）与深度呈抛物线变化C=cZ0.5 c为地基土比例系数张有龄法 4-50d）沿深度均匀分布C=K0 K0为常数上述的四种方法各自假定的地基系数随深度分布规律不同，其计算结果是有差异的。
实验资料分析表明，宜根据土质特性来选择恰当的计算方法。
（二）单桩、单排桩与多排桩1．单排桩的概念与力的分配（1）概念是指与水平外力H作用面相垂直的平面上，仅有一根或一排桩的桩基础。
（2）力的分配对于单排桩，如下图所示桥墩作纵向验算时，若作用于承台底面中心的荷载为N、H、My ，当在单排桩方向无偏心时，可以假定它是平均分布在各桩上的，即（4-2）式中： --桩的根数。
当竖向力N在单排桩方向有偏心距e时，如图所示，即Mx=Ne，因此每根桩上的竖向作用力可按偏心受压计算，即图4-2 单桩、单排桩及多排桩图4-3 单排桩的计算（4-2）由于单桩及单排桩中每根桩桩顶作用力可按上述简单公式计算，所以归成一类。
2．多排桩概念基力的分配（1）概念是指在水平外力作用平面内有一根以上桩的桩基础（对单排桩作横桥向验算时也属此情况）。
（2）力的分配不能直接应用上述公式计算各桩顶上的作用力，须应用结构力学方法另行计算。
（三）桩的计算宽度1．定义计算桩的内力与位移时不直接采用桩的设计宽度（直径），而是换算成实际工作条件下相当于矩形截面桩的宽度b1，b1称为桩的计算宽度。
2．采用计算宽度的原因为了将空间受力简化为平面受力，并综合考虑桩的截面形状及多排桩桩间的相互遮蔽作用。
3．计算方法根据已有的试验资料分析，现行规范认为计算宽度的换算方法可用下式表示：· · · （）（4-3）式中：（）--与外力H作用方向相垂直平面上桩的边长（宽度或直径）；--形状换算系数，即在受力方向将各种不同截面形状的桩宽度乘以，换算为相当于矩形截面宽度，其值见表；--受力换算系数，即考虑到实际桩侧土在承受水平荷载时为空间受力问题，简化为平面受力时所采用的修正系数，其值见表；K--各桩间的相互影响系数。
如图所示，当水平力作用平面内有多根桩时，桩柱间会产生相互产生影响。
为了考虑这一影响，可将桩的实际宽度（直径）乘以系数K，其值按下式决定：L1≥0.6h1时K=1.0；当L1＜0.6h1时计算宽度换算表4-2名称符号基础形状形状换算系数Kf 1.0 0.90.9受力换算系数K0（4-4）式中：L1--与外力作用方向平行的一排桩的桩间净距（图3-53）；h1--地面或局部冲刷线以下桩柱的计算埋入深度，可按下式计算，但h1值不得大于桩的入土深度（），h1=3(d+1) m；d--桩的直径，m；--根据与外力作用方向平行的所验算的一排桩的桩数而定的系数。
当 =1时 =1，当 =2时 =0.6，当 =3时 =0.5，当≥4时 =0.45。
但桩基础中每一排桩的计算总宽度不得大于（ +1），当nb1大于（ +1）时，取（ +1）。
为边桩外侧边缘的距离。
当桩基础平面布置中，与外力作用方向平行的每排桩数不等，并且相邻桩中心距≥（b+1）时，可按桩数最多一排桩计算其相互影响系数K值，并且各桩可采用同一影响系数。
为了不致使计算宽度发生重叠现象，要求以上综合计算得出的b1≤2b。
以上的计算方法比较复杂，理论和实践的根据也是不够的，因此国内有些规范建议简化计算。
圆形桩：当d≤1m时，b1=0.9（1.5d+0.5）；当d＞1m时，b1=0.9（d+1）。
方形桩：当边宽b≤1m时，b1=1.5b+0.5；当边宽＞1m时，b1=b+1。
而国外有些规范更为简单：柱桩及桩身尺寸直径0.8m以下的灌注桩，b1=d+1（m）；其余类型及截面尺寸的桩，b1=1.5d+0.5（m）。
（四）刚性桩与弹性桩为计算方便起见，按照桩与土的相对刚度，将桩分为刚性桩和弹性桩。
1．弹性桩当桩的入土深度时，这时桩的相对刚度小，必须考虑桩的实际刚度，按弹性桩来计算。
其中称为桩的变形系数，2．刚性桩当桩的入土深度≤时，则桩的相对刚度较大，计算时认为属刚性桩，二、"m"法计算桩的内力和位移（一）计算参数地基土水平抗力系数的比例系数m值宜通过桩的水平静载试验确定。
但由于试验费用、时间等原因，某些建筑物不一定进行桩的水平静载试验，可采用规范提供的经验值如下表所示。
非岩石类土的比例系数m值序号土的分类m或m0（MN/m4）1 流塑粘性土IL＞1、淤泥3～52 软塑粘性土1＞IL＞0.5、粉砂5～103 硬塑粘性土0.5＞IL＞0、细砂、中砂10～204 坚硬、半坚硬粘性土IL＜0、粗砂20～305 砾砂、角砾、圆砾、碎石、卵石30～806 密实粗砂夹卵石，密实漂卵石80～120在应用上表时应注意以下事项1．由于桩的水平荷载与位移关系是非线性的，即m值随荷载与位移增大而有所减小，因此，m值的确定要与桩的实际荷载相适应。
一般结构在地面处最大位移不超过10mm，对位移敏感的结构、桥梁工程为6mm。
位移较大时，应适当降低表列m值。
2．当基桩侧面由几种土层组成时，从地面或局部冲刷线起，应求得主要影响深度hm=2（d+1）米范围内的平均m值作为整个深度内的m值（见图4-5）对于刚性桩，hm采用整个深度h。
当hm深度内存在两层不同土时：(4-5)当hm深度内存在三层不同土时：（4-6）3．承台侧面地基土水平抗力系数CnCn=m·hn （4-7）式中：m--承台埋深范围内地基土的水平抗力系数，MN/m4；hn--承台埋深，m。
4．地基土竖向抗力系数C0、Cb和地基土竖向抗力系数的比例系数m0（1）桩底面地基土竖向抗力系数C0C0=m0h （4-8）式中：m0--桩底面地基土竖向抗力系数的比例系数，kN/m4，近似取m0=m；h--桩的入土深度(m)，当h小于10m时，按10m计算。
（2）承台底地基土竖向抗力系数CbCb=m0hn （4-9）式中：hn--承台埋深(m)，当hn小于1m时，按1m计算。
岩石地基竖向抗力系数C0 表 3-17 单轴极限抗压强度标准值RC（MPa）C0（MN/m3）1≥25 30015000注：当RC为表列数值的中间值时，C0采用插入法确定。
（二）符号规定在公式推导和计算中，取4-6图所示的坐标系统，对力和位移的符号作如下规定：横向位移顺x轴正方向为正值；转角逆时针方向为正值；弯矩当左侧纤维受拉时为正值；横向力顺x轴方向为正值，如4-7图所示。
图4-6 桩身受力图示（三）桩的挠曲微分方程的建立及其解桩顶若与地面平齐（Z=0），且已知桩顶作用水平荷载及弯矩M0，此时桩将发生弹性挠曲，桩侧土将产生横向抗力σzx，如图3-55所示。
从材料力学中知道，梁的挠度与梁上分布荷载q之间的关系式，即梁的挠曲微分方程为（4-9）式中：E、I--分别为梁的弹性模量及截面惯矩。
因此可以得到桩的挠曲微分方程为（4-10）式中：E、I--分别为桩的弹性模量及截面惯矩；--桩侧土抗力，，C为地基系数；--桩的计算宽度；--桩在深度处的横向位移（即桩的挠度）。
将上式整理可得或（4-11）式中： --桩的变形系数或称桩的特征值（1/m），其余符号意义同前。
从桩的挠曲微分方程中不难看出，桩的横向位移与截面所在深度、桩的刚度（包括桩身材料和截面尺寸）以及桩周土的性质等有关，是与桩土变形相关的系数。
式（4-11）为四阶线性变系数齐次常微分方程，在求解过程中注意运用材料力学中有关梁的挠度与转角、弯矩和剪力之间的关系，即（4-12）就可用幂级数展开的方法求出桩挠曲微分方程的解（具体解法可参考有关专著）。
若地面处即 =0处，桩的水平位移、转角、弯矩和剪力分别以、、和表示，则桩挠曲微分方程（式4-11）的解即桩身任一截面的水平位移的表达式为（4-13）利用式（4-13），对求导计算，并通过归纳整理后，便可求得桩身任截面的转角、弯矩及剪力的计算公式：（4-14）（4-15）（4-16）根据土抗力的基本假定，可求得桩侧土抗力的计算公式：（4-17）以上公式（4-14）、（4-15）、（4-16）、（4-17）中，Ai、Bi、Ci、Di（i=1～4）为16个无量纲系数，根据不同的换算深度已将其制成表格, 由附表可查用。