南京信息工程大学-概率统计试题和参考答案

南京信息工程大学-概率统计试题和参考答案一． 选择题（每小题3分, 本题满分15分）1．设甲乙两人进行象棋比赛，考虑事件A ={甲胜乙负}，则__A 是（ ）(A){甲负或乙胜} (B)｛甲乙平局｝ （C ）｛甲负｝ (D)｛甲负或平局｝2．X 的分布律为2.0}0{==X P , 6.0}2{==X P , 2.0}3{==X P , X 的分布函数为)(x F ; 则)4(F 和)1(F 的值分别为( )(A) 0和1.5 (B) 0.3和0 (C) 0.8和0.3 (D) 1和0.23．设)3,2(~2N X , X 的分布函数为)(x F ，则=)2(F ( )(A) 1 (B) 2 (C) 0.3 (D) 0.54．袋中有5个球（其中3个新球，2个旧球），每次取一个，有放回地取两次，则第二次取到新球的概率为（ ） (A)53 (B) 43 (C) 42 (D) 103 5．设随机变量),2(~p B X ，若{}951=≥X P ，则=p （ ） （A ）32 （B ）21 (C) 31 (D) 2719 二． 填空题（每小题3分, 本题满分15分）1.设C B A ,,是事件，则事件“A 、B 都不发生而C 发生”表示为2.8.0)(,6.0)(,5.0)(===B A P B P A P ，则)(B A P ⋃=3.电阻值R 是一个随机变量，在900欧-1100欧服从均匀分布，则{}=<<1050950R P 4．若),,,,(~),(222121ρσσμμN Y X ，则X 与Y 相互独立的充要条件为=ρ5．设随机变量X 的数学期望,)(μ=x E 方差2)(σ=X D ，则由切比雪夫不等式，有{}≤≥-σμ3X P三．(本题满分10分)一批产品共有100件，其中90件是合格品，10件是次品，从这批产品中任取3件，求其中有次品的概率。

四．(本题满分10分)已知随机变量X 的概率密度函数试求(1)常数A ；（2）P{0<x<1}；（3）X 的分布函数。

五．（本题满分10分)设总体有分布密度 ⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它002)(2θθx x x f其中θ为待估参数，),,,(21n x x x 为样本，试求θ的矩估计量。

六．(本题满分10分)设随机变量X 和Y 具有联合概率密度试求（x,y ）的边缘概率密度七．（本题满分10分)设总体),(~2σμN X ，其中2,σμ未知，n x x x ,,,21 是来自总体X 的样本。

写出假设检验问题0H ：0μμ= 1H ：0μμ≠（显著性水平为α）的步骤。

八．（本题满分10分）设随机变量X 具有以下的概率密度, ⎩⎨⎧≥<=-000)(23x ex x x f x 试求随机变量Y=2X+3的概率密度。

九．（本题满分10分）设随机变量X 和Y 同分布,X 的概率密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它02083)(2x x x p(1) 已知事件}{ax A >=和}{a y B >=独立，且43)(=⋃B A P ,求常数a ； (2) 求21x 的数学期望。

+∞<<∞-=-x Ae x p x ,)(⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其它020,1031),(2y x xy x y x f南京信息工程大学概率统计试题参考答案一． 选择题（每小题3分，本题满分15分）1．设甲乙两人进行象棋比赛，考虑事件A ={甲胜乙负}，则__A 是（ D ）(A){甲负或乙胜} (B)｛甲乙平局｝ （C ）｛甲负｝ (D)｛甲负或平局｝ 2．X 的分布律为2.0}0{==X P , 6.0}2{==X P , 2.0}3{==X P , X 的分布函数为)(x F ; 则)4(F 和)1(F 的值分别为( D )(A) 0和1.5 (B) 0.3和0 (C) 0.8和0.3 (D) 1和0.23．设)3,2(~2N X , X 的分布函数为)(x F ，则=)2(F ( D )( A) 1 (B) 2 (C) 0.3 (D) 0.54．袋中有5个球（其中3个新球，2个旧球），每次取一个，有放回地取两次，则第二次取到新球的概率为（ A ） (A) 53 (B) 43 (C) 42 (D) 103 5、设随机变量),2(~p B X ，若{}951=≥X P ，则=p （ C ） （A ）32 （B ）21 (C) 31 (D) 2719 二． 填空题（每小题3分, 本题满分15分）1.设C B A ,,是事件，则事件“A 、B 都不发生而C 发生”表示为C B A2.8.0)(,6.0)(,5.0)(===B A P B P A P ，则)(B A P ⋃= 0.623.电阻值R 是一个随机变量，在900欧-1100欧服从均匀分布，则{}=<<1050950R P 0.5 4．若),,,,(~),(222121ρσσμμN Y X ，则X 与Y 相互独立的充要条件为=ρ 05．设随机变量X 的数学期望,)(μ=x E 方差2)(σ=X D ，则由切比雪夫不等 式，有{}≤≥-σμ3X P 1/9三．(本题满分10分)一批产品共有100件，其中90件是合格品，10件是次 品，从这批产品中任取3件，求其中有次品的概率。

解法一：设A={有次品} Ai={有i 件次品}24768.0)(31002901101=∙=C C C A p ，02504.0)(31001902101=∙=C C C A p ， 00074.0)(31003101==C C A p ， 于是2735.0)()()()(321=++=A p A p A P A p解法二：=A {取出的三件产品全是合格品}，故 2735.07265.01)(1)(=-=-=A p A p四．(本题满分10分)已知随机变量X 的概率密度函数试求(1)常数A ；（2）P{0<x<1}；（3）X 的分布函数。

解：：(1)A dx Ae dx x p x 2)(1===⎰⎰∞∞--+∞∞- A=1/2 (2) P{0<X<1}=)1(2121110---=⎰e dx e x (3) ⎰∞-=xdt t p x F )()(当0≤x 时x xt e dt e x F 2121)(==⎰∞- 当x>0时x x e dt t f dt t p x F -∞--=+=⎰⎰211)()()(00 ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=∴-0211021)(x e x ex F x x五．（本题满分10分)设总体有分布密度 ⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它002)(2θθx x x f其中θ为待估参数，),,,(21n x x x 为样本，试求θ的矩估计量。

解：⎰===θθθμ02322dx xx EX +∞<<∞-=-x Ae x p x ,)(由矩估计法知X =μˆ， 于是X =3ˆ2θ，从而解得23ˆX =θ六．(本题满分10分)设随机变量X 和Y 具有联合概率密度试求（x,y ）的边缘概率密度解： x x dy xy x dy y x f x f x 322)31(),()(2202+=+==⎰⎰∞+∞- 10≤≤x y dx xy x dx y x f y f y 6131)31(),()(102+=+==⎰⎰∞+∞- 20≤≤y七．（本题满分10分)设总体),(~2σμN X ，其中2,σμ未知，n x x x ,,,21 是来自总体X 的样本。

写出假设检验问题0H ：0μμ= 1H ：0μμ≠（显著性水平为α）的步骤。

解：提出原假设：0H ：0μμ= 1H ：0μμ≠ 选择统计量)1(~/*0--=n t n S t μξ给定显著性水平α查得)1(2/-n t α拒绝域为：），，∞+----∞=)1(t [)]1( t (/2/2n n W αα 由题意算出x ，标准差*S 得q t 值若 W t q ∈，拒绝原假设；否则接收原假设八．（本题满分10分）设随机变量X 具有以下的概率密度,⎩⎨⎧≥<=-000)(23x e x x x f x 试求随机变量Y=2X+3的概率密度。

解： Y=2X+3于是由y=2x+3得23-=y x 则21='x 故⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=--303)23(212)23(3y y ey f yy ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其它020,1031),(2y x xy x y x f九．（本题满分10分）设随机变量X 和Y 同分布,X 的概率密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它02083)(2x x x p (3) 已知事件}{a x A >=和}{a y B >=独立，且43)(=⋃B A P ,求常数a ； (4) 求21x 的数学期望。

解：由条件知P （A ）=（B ），P （AB ）=P （A ）P （B ）P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=2P （A ）-P （A ）*P （A ）=3/4所以P （A ）=1/2从而有 （2）4383)(1)1(22022===⎰⎰∞+∞-dx x dx x P x XE32281183)(}{a dx x dx x P a x P a a -===>⎰⎰∞+33421811==-a a。