圆的参数方程习题
人教版高中数学选修4-4：第二讲一第2课时圆的参数方程含解析
第二讲 参数方程一、曲线的参数方程第2课时 圆的参数方程A 级 基础巩固一、选择题1．已知圆P ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋10cos θ，y ＝－3＋10sin θ(θ为参数)，则圆心P 及半径r 分别是( ) A ．P(1，3)，r ＝10B ．P(1，3)，r ＝10C ．P(1，－3)，r ＝10D ．P(1，－3)，r ＝10解析：由圆P 的参数方程可知圆心(1，－3)，半径r ＝10.答案：C2．圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的参数方程为( )A.⎩⎨⎧x ＝2＋4cos θ，y ＝－3＋4sin θ(θ为参数) B.⎩⎨⎧x ＝－2＋4cos θ，y ＝3＋4sin θ(θ为参数) C.⎩⎨⎧x ＝2－4cos θ，y ＝3－4sin θ(θ为参数) D.⎩⎨⎧x ＝－2－4cos θ，y ＝3－4sin θ(θ为参数) 解析：圆的方程配方为：(x ＋2)2＋(y －3)2＝16，所以圆的圆心为(－2，3)，半径为4，故参数方程为B 选项．答案：B3．已知圆O 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2＋4cos θ，y ＝－3＋4sin θ(0≤θ<2π)，圆上点A 的坐标是(4，－33)，则参数θ＝( )A.7π6B.4π3C.11π6D.5π3解析：由题意⎩⎨⎧4＝2＋4cos θ，－33＝－3＋4sin θ(0≤θ<2π)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝12，sin θ＝－32(0≤θ<2π)，解得θ＝5π3. 答案：D4．若P(x ，y)是圆⎩⎨⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25解析：依题意P(2＋cos α，sin α)，所以(x －5)2＋(y ＋4)2＝(cos α－3)2＋(sin α＋4)2＝26－6cos α＋8sin α＝26＋10sin(α－φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中cos φ＝45，sin φ＝35， 所以当sin(α－φ)＝1，即α＝2k π＋π2＋φ(k ∈Z)时，有最大值为36. 答案：A5．直线：3x －4y －9＝0与圆：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的位置关系是( ) A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心 解析：圆心坐标为(0，0)，半径为2，显然直线不过圆心，又圆心到直线距离d ＝95<2. 所以直线与圆相交，但不过圆心．答案：D二、填空题6．已知圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，则它的一个参数方程是______．解析：将x 2＋y 2＝2x 化为(x －1)2＋y 2＝1知圆心坐标为(1，0)，半径r ＝1，所以它的一个参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)． 答案：⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数) 7．已知曲线方程⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，则该曲线上的点与定点(－1，－2)的距离的最小值为________． 解析：设曲线上动点为P(x ，y)，定点为A ，则|PA|＝（1＋cos θ＋1）2＋（sin θ＋2）2＝ 9＋42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4， 故|PA|min ＝9－42＝22－1.答案：22－18．曲线C ：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)的普通方程为__________．如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，那么a 的取值范围是________．解析：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)消参可得 x 2＋(y ＋1)2＝1，利用圆心到直线的距离d ≤r 得|－1＋a|2≤1， 解得1－2≤a ≤1＋ 2. 答案：x 2＋(y ＋1)2＝1 [1－2，1＋2]三、解答题9．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t ＋m ，y ＝12t(t 为参数)． (1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 普通方程；。
(完整版)圆的参数方程练习题有答案
圆的参数方程1.已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，(θ为参数，0≤θ<2π)判断点A (2，0)，B ⎝⎛⎭⎫－3，32是否在曲线C 上？若在曲线上，求出点对应的参数的值． 解：将点A (2，0)的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝1，sin θ＝0.由于0≤θ<2π，解得θ＝0，所以点A (2，0)在曲线C 上，对应θ＝0.将点B ⎝⎛⎭⎫－3，32的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝2cos θ，32＝3sin θ，即⎩⎨⎧cos θ＝－32，sin θ＝12.由于0≤θ<2π， 解得θ＝5π6，所以点B ⎝⎛⎭⎫－3，32在曲线C 上，对应θ＝5π6. 2.已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2ty ＝3t 2－1，(t 为参数)．(1)判断点M 1(0，－1)和M 2(4，10)与曲线C 的位置关系； (2)已知点M (2，a )在曲线C 上，求a 的值．[思路点拨] (1)将点的坐标代入参数方程，判断参数是否存在． (2)将点的坐标代入参数方程，解方程组．[解] (1)把点M 1(0，－1)的坐标代入参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝3t 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝2t－1＝3t 2－1，∴t ＝0.即点M 1(0，－1)在曲线C 上．把点M 2(4，10)的坐标代入参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝3t 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧4＝2t10＝3t 2－1，方程组无解． 即点M 2(4，10)不在曲线C 上． (2)∵点M (2，a )在曲线C 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝2t ，a ＝3t 2－1. ∴t ＝1，a ＝3×12－1＝2. 即a 的值为2.3.已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2＋1y ＝2t ，(t 为参数)．①判断点A (1，0)，B (5，4)，E (3，2)与曲线C 的位置关系； ②若点F (10，a )在曲线C 上，求实数a 的值． 解：①把点A (1，0)的坐标代入方程组，解得t ＝0， 所以点A (1，0)在曲线上．把点B (5，4)的坐标代入方程组，解得t ＝2， 所以点B (5，4)也在曲线上．把点E (3，2)的坐标代入方程组，得到⎩⎪⎨⎪⎧3＝t 2＋1，2＝2t ，即⎩⎨⎧t ＝±2，t ＝1.故t 不存在，所以点E 不在曲线上． ②令10＝t 2＋1，解得t ＝±3，故a ＝2t ＝±6.4.(1)曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝t －2，(t 为参数)与y 轴的交点坐标是____________．解析：令x ＝0，即t ＝0得y ＝－2，∴曲线C 与y 轴交点坐标是(0，－2)． 答案：(0，－2)(2)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝1－2t ，(t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θy ＝3cos θ，(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴，则a ＝________． 解析：由y ＝0知1－2t ＝0，t ＝12，所以x ＝t ＋1＝12＋1＝32.令3cos θ＝0，则θ＝π2＋k π(k ∈Z )，sin θ＝±1，所以32＝±a .又a >0，所以a ＝32.答案：325.已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2ty ＝at 2，(其中t 为参数，a ∈R)．点M (5，4)在该曲线上，则常数a ＝________．解析：∵点M (5，4)在曲线C 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝1＋2t 4＝at 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1.∴a 的值为1. 答案：16.圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝4的一个参数方程为____________．解析：令x ＋12＝cos θ，y －12＝sin θ得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θy ＝1＋2sin θ(θ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θy ＝1＋2sin θ(θ为参数)(注本题答案不唯一)7.已知圆的普通方程x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0，则它的参数方程为____________．解析：由x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0，得(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.令x ＋1＝cos θ，y －3＝sin θ，所以参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θy ＝3＋sin θ，(θ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θy ＝3＋sin θ，(θ为参数)(注答案不唯一)8.圆(x ＋2)2＋(y －3)2＝16的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋4cos θy ＝－3＋4sin θ，(θ为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋4cos θy ＝3＋4sin θ，(θ为参数) C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4cos θy ＝3－4sin θ，(θ为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－4cos θy ＝3－4sin θ，(θ为参数) 解析：选B.∵圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ，(θ为参数)∴圆(x ＋2)2＋(y －3)2＝16的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋4cos θy ＝3＋4sin θ，(θ为参数)9.已知圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，则它的一个参数方程是____________．解析：将x 2＋y 2＝2x 化为(x －1)2＋y 2＝1知圆心坐标为(1，0)，半径r ＝1，∴它的一个参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝sin θ(θ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝sin θ(θ为参数)10.已知圆P ：⎩⎨⎧x ＝1＋10cos θy ＝－3＋10sin θ，(θ为参数)，则圆心P 及半径r 分别是( )A ．P (1，3)，r ＝10B ．P (1，3)，r ＝10C ．P (1，－3)，r ＝10D ．P (1，－3)，r ＝10解析：选C.由圆P 的参数方程可知圆心P (1，－3)，半径r ＝10.11.圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θy ＝2sin θ，(θ为参数)，则圆的圆心坐标为( )A ．(0，2)B ．(0，－2)C ．(－2，0)D ．(2，0) 解析：选D.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θy ＝2sin θ得(x －2)2＋y 2＝4，其圆心为(2，0)，半径r ＝2.12.直线：3x －4y －9＝0与圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心解析：选 D.圆心坐标为(0，0)，半径为2，显然直线不过圆心，又圆心到直线距离d ＝95<2，故选 D.13.已知圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋2sin θy ＝2cos θ，(θ∈[0，2π)，θ为参数)与x 轴交于A ，B 两点，则|AB |＝________．解析：令y ＝2cos θ＝0，则cos θ＝0，因为θ∈[0，2π)，故θ＝π2或3π2，当θ＝π2时，x ＝－3＋2sin π2＝－1，当θ＝3π2时，x ＝－3＋2sin 3π2＝－5，故|AB |＝|－1＋5|＝4.答案：414.已知动圆x 2＋y 2－2x cos θ－2y sin θ＝0.求圆心的轨迹方程．解：设P (x ，y )为所求轨迹上任一点． 由x 2＋y 2－2x cos θ－2y sin θ＝0得： (x －cos θ)2＋(y －sin θ)2＝cos 2θ＋sin 2θ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ这就是所求的轨迹方程．15.P 是以原点为圆心，r ＝2的圆上的任意一点，Q (6，0)，M 是PQ 中点， (1)画图并写出⊙O 的参数方程；(2)当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹的参数方程． 解：(1)如图所示，⊙O 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ.(2)设M (x ，y )，P (2cos θ，2sin θ)，因Q (6，0)， ∴M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝6＋2cos θ2，y ＝2sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ. 16.已知点P (2，0)，点Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ上一动点，求PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：设Q (cos θ，sin θ)，PQ 中点M (x ，y )，则由中点坐标公式得x ＝2＋cos θ2＝12cos θ＋1，y ＝0＋sin θ2＝12sin θ.∴所求轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12cos θ＋1y ＝12sin θ(θ为参数)消去θ可化为普通方程为(x －1)2＋y 2＝14，它表示以(1，0)为圆心、半径为12的圆．17.设Q (x 1，y 1)是单位圆x 2＋y 2＝1上一个动点，则动点P (x 21－y 21，x 1y 1)的轨迹方程是____________．解析：设x 1＝cos θ，y 1＝sin θ，P (x ，y )．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 21－y 21＝cos 2θ，y ＝x 1y 1＝12sin 2θ.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝12sin 2θ，为所求． 答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θy ＝12sin 2θ18.已知P 是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos αy ＝sin α，(α为参数)上任意一点，则(x －1)2＋(y ＋1)2的最大值为________．解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos αy ＝sin α代入(x －1)2＋(y ＋1)2得(1＋cos α)2＋(1＋sin α)2＝2sin α＋2cos α＋3＝22sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋3， ∴当sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1时有最大值为3＋2 2. 答案：3＋2219.已知点P (x ，y )在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝sin θ，(θ为参数)上，则x －2y 的最大值为( )A ．2B ．－2C ．1＋ 5D ．1－ 5解析：选C.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ，所以x －2y ＝1＋cos θ－2sin θ＝1－(2sin θ－cos θ) ＝1－5⎝⎛⎭⎫25sin θ－15cos θ＝1－5sin ()θ－φ⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝12， 所以x －2y 的最大值为1＋ 5.20.已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝sin θ，(θ为参数)，求曲线C 上的点到直线l ：x－y ＋1＝0的距离的最大值．解：点C (1＋cos θ，sin θ)到直线l 的距离 d ＝|1＋cos θ－sin θ＋1|12＋12＝|2＋cos θ－sin θ|2＝⎪⎪⎪⎪2＋2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π42≤2＋22＝2＋1，即曲线C 上的点到直线l 的最大距离为2＋1.21.(2016·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .[解] (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上． 所以a ＝1.22.若P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos αy ＝sin α，(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25解析：选A.依题意P (2＋cos α，sin α)，∴(x －5)2＋(y ＋4)2＝(cos α－3)2＋(sin α＋4)2＝26－6cos α＋8sin α＝26＋10sin(α－φ)(其中cos φ＝45，sin φ＝35)∴当sin(α－φ)＝1，即α＝2k π＋π2＋φ(k ∈Z )时，有最大值为36.23.已知点P ⎝⎛⎭⎫12，32，Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ，(θ为参数)上的动点，则|PQ |的最大值是________．解析：由题意，设点Q (cos θ，sin θ)， 则|PQ |＝⎝⎛⎭⎫cos θ－122＋⎝⎛⎭⎫sin θ－322＝2－3sin θ－cos θ ＝2－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6 故|PQ |max ＝2＋2＝2. 答案：224.已知曲线方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝sin θ，(θ为参数)，则该曲线上的点与定点(－1，－2)的距离的最小值为________．解析：设曲线上动点为P (x ，y )，定点为A ，则|P A |＝（1＋cos θ＋1）2＋（sin θ＋2）2 ＝9＋42sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4， 故|P A |min ＝9－42＝22－1. 答案：22－125.已知圆C ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝－1＋sin θ，与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围．解：法一：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ消去θ，得x 2＋(y ＋1)2＝1.∴圆C 的圆心为(0，－1)，半径为1. ∴圆心到直线的距离d ＝|0－1＋a |2≤1.解得1－2≤a ≤1＋ 2.法二：将圆C 的方程代入直线方程， 得cos θ－1＋sin θ＋a ＝0，即a ＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. ∵－1≤sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤1，∴1－2≤a ≤1＋ 2.26.设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝2y 上的动点．①求2x ＋y 的取值范围；②若x ＋y ＋c ≥0恒成立，求实数c 的取值范围．解：圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝1＋sin θ，(θ为参数)．①2x ＋y ＝2cos θ＋sin θ＋1＝5sin(θ＋φ)＋1(φ由tan φ＝2确定)，∴1－5≤2x ＋y ≤1＋ 5.②若x ＋y ＋c ≥0恒成立，即c ≥－(cos θ＋sin θ＋1)对一切θ∈R 成立．且－(cos θ＋sin θ＋1)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－1的最大值是2－1，则当c ≥2－1时，x ＋y ＋c ≥0恒成立．27.已知圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＋6＝0. (1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； (2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值． [解] (1)由ρ2－42ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＋6＝0， 得ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0， 即x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，∴圆的标准方程(x －2)2＋(y －2)2＝2，3分 令x －2＝2cos α，y －2＝2sin α，得圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos αy ＝2＋2sin α，(α为参数)6分(2)由(1)知x ＋y ＝4＋2(cos α＋sin α) ＝4＋2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4，9分 又－1≤sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤1， 故x ＋y 的最大值为6，最小值为2.12分28.圆的直径AB 上有两点C ，D ，且|AB |＝10，|AC |＝|BD |＝4，P 为圆上一点，求|PC |＋|PD |的最大值．解：如图所示，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中点为坐标原点建立平面直角坐标系．圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)．易知点C (－1，0)，D (1，0)．因为点P 在圆上，所以可设P (5cos θ，5sin θ)． 所以|PC |＋|PD |＝（5cos θ＋1）2＋（5sin θ）2＋（5cos θ－1）2＋（5sin θ）2 ＝26＋10cos θ＋26－10cos θ ＝（26＋10cos θ＋26－10cos θ）2 ＝52＋2262－100cos 2θ.当cos θ＝0时，|PC |＋|PD |有最大值为226.29.(2014·高考课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以G (1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝⎛⎭⎫32，32.。
河北省张家口一中高二数学《圆的参数方程》同步练习
[名校联盟]河北省张家口一中高二数学《圆的参数方程》同步练习
一、填空题
1．曲线⎩
⎨⎧+=-=1sin 1cos :θθy x C （为参数θ）的对称中心是 2.已知θ为参数，则点(3，2)到曲线cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩
的距离的最大值是
二、解答题
3.已知M 是正三角形的外接圆O 上的任意一点，求证：222||||||MC MB MA ++为定值
4.已知圆O 的直径AB 上有两点C ，D ，且|AB|=10，|AC|=|BD|=4，P 为圆上一点，求|PC|+|PD|的最大值
5.类比圆222r y x =+的参数方程，试选取恰当的参数，写出半径为r ，圆心为),(b a C 的圆C 的参数方程
6.若直线043=++m y x 与曲线⎩
⎨⎧-=+=2sin 1cos θθy x （为参数θ）没有公共点，求m 的取值范围（试
用两种方法求解）
7.已知圆C 的参数方程为⎩
⎨⎧=+=θθsin 2cos 21y x （θ为参数），P 是圆C 与y 轴的交点，若以圆心C 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则过点P 的圆切线的极坐标方程。
2020年高中数学人教A版选修4-4练习(八) 圆的参数方程 Word版含解析
课时跟踪检测(八) 圆的参数方程一、选择题1．圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．则圆的圆心坐标为( )A ．(0,2)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(2,0)解析：选D 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ化为(x －2)2＋y 2＝4，其圆心坐标为(2,0)．2．直线：x ＋y ＝1与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选C 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ化为x 2＋y 2＝4，它表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆，由于12＝22<2＝r ， 故直线与圆相交，有两个公共点．3．直线：3x －4y －9＝0与圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心解析：选D 圆心坐标为(0,0)，半径为2，显然直线不过圆心， 又圆心到直线距离d ＝95<2，故选D.4．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25解析：选A 设P (2＋cos α，sin α)，代入，得 (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2 ＝25＋sin 2α＋cos 2α－6cos α＋8sin α ＝26＋10sin(α－φ)． ∴最大值为36. 二、填空题5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋4sin φ，y ＝4cos φ－3sin φ(φ为参数)表示的图形是________．解析：x 2＋y 2＝(3cos φ＋4sin φ)2＋(4cos φ－3sin φ)2＝25.∴表示圆． 答案：圆6．已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝1，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为________．解析：由极坐标系与直角坐标系互化关系可知，直线l 的直角坐标方程为x ＝1. 由圆C 的参数方程可得x 2＋(y －1)2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x 2＋(y －1)2＝1 得直线l 与圆C 的交点坐标为(1,1)． 答案：(1,1)7．(广东高考)已知曲线C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________．解析：由极坐标方程与直角坐标方程互化公式可得，曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，故曲线C 对应的参数方程可写为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)． 答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)三、解答题8．P 是以原点为圆心，半径r ＝2的圆上的任意一点，Q (6,0)，M 是PQ 中点． (1)画图并写出⊙O 的参数方程；(2)当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹的参数方程．解：(1)如图所示，⊙O 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．(2)设M (x ，y )，P (2cos θ，2sin θ)，∵Q (6,0)，∴M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝6＋2cos θ2，y ＝2sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)． 9．设点M (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上移动，求点Q (x (x ＋y )，y (x ＋y ))的轨迹． 解：设M (cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点Q (x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝cos θ(cos θ＋sin θ)＝cos 2θ＋cos θsin θ，y 1＝sin θ(cos θ＋sin θ)＝sin θcos θ＋sin 2θ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝1＋sin 2θ，x 1y 1＝12sin 2θ＋12sin 22θ. 将sin 2θ＝x 1＋y 1－1代入另一个方程， 整理，得⎝⎛⎭⎫x 1－122＋⎝⎛⎭⎫y 1－122＝12. ∴所求轨迹是以⎝⎛⎭⎫12，12为圆心，以22为半径的圆．10．已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)． (1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点．当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解：(1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.联立方程组⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点坐标为(1,0)，⎝⎛⎭⎫12，－32.(2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0. A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)， 故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α(α为参数)．P 点轨迹的普通方程为⎝⎛⎭⎫x －142＋y 2＝116. 故P 点轨迹是圆心为⎝⎛⎭⎫14，0，半径为14的圆．.....................................使用本文档删除后面的即可 致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间 文档来源网络仅供参考 欢迎您下载可以编辑的word 文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。
(完整版)圆的参数方程练习题有答案
圆的参数方程1.已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，(θ为参数，0≤θ<2π)判断点A (2，0)，B ⎝⎛⎭⎫－3，32是否在曲线C 上？若在曲线上，求出点对应的参数的值． 解：将点A (2，0)的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝1，sin θ＝0.由于0≤θ<2π，解得θ＝0，所以点A (2，0)在曲线C 上，对应θ＝0.将点B ⎝⎛⎭⎫－3，32的坐标代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝2cos θ，32＝3sin θ，即⎩⎨⎧cos θ＝－32，sin θ＝12.由于0≤θ<2π， 解得θ＝5π6，所以点B ⎝⎛⎭⎫－3，32在曲线C 上，对应θ＝5π6. 2.已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2ty ＝3t 2－1，(t 为参数)．(1)判断点M 1(0，－1)和M 2(4，10)与曲线C 的位置关系； (2)已知点M (2，a )在曲线C 上，求a 的值．[思路点拨] (1)将点的坐标代入参数方程，判断参数是否存在． (2)将点的坐标代入参数方程，解方程组．[解] (1)把点M 1(0，－1)的坐标代入参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝3t 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝2t－1＝3t 2－1，∴t ＝0.即点M 1(0，－1)在曲线C 上．把点M 2(4，10)的坐标代入参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝3t 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧4＝2t10＝3t 2－1，方程组无解． 即点M 2(4，10)不在曲线C 上． (2)∵点M (2，a )在曲线C 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝2t ，a ＝3t 2－1. ∴t ＝1，a ＝3×12－1＝2. 即a 的值为2.3.已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2＋1y ＝2t ，(t 为参数)．①判断点A (1，0)，B (5，4)，E (3，2)与曲线C 的位置关系； ②若点F (10，a )在曲线C 上，求实数a 的值． 解：①把点A (1，0)的坐标代入方程组，解得t ＝0， 所以点A (1，0)在曲线上．把点B (5，4)的坐标代入方程组，解得t ＝2， 所以点B (5，4)也在曲线上．把点E (3，2)的坐标代入方程组，得到⎩⎪⎨⎪⎧3＝t 2＋1，2＝2t ，即⎩⎨⎧t ＝±2，t ＝1.故t 不存在，所以点E 不在曲线上． ②令10＝t 2＋1，解得t ＝±3，故a ＝2t ＝±6.4.(1)曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝t －2，(t 为参数)与y 轴的交点坐标是____________．解析：令x ＝0，即t ＝0得y ＝－2，∴曲线C 与y 轴交点坐标是(0，－2)． 答案：(0，－2)(2)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝1－2t ，(t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θy ＝3cos θ，(θ为参数，a >0)有一个公共点在x 轴，则a ＝________． 解析：由y ＝0知1－2t ＝0，t ＝12，所以x ＝t ＋1＝12＋1＝32.令3cos θ＝0，则θ＝π2＋k π(k ∈Z )，sin θ＝±1，所以32＝±a .又a >0，所以a ＝32.答案：325.已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2ty ＝at 2，(其中t 为参数，a ∈R)．点M (5，4)在该曲线上，则常数a ＝________．解析：∵点M (5，4)在曲线C 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝1＋2t 4＝at 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1.∴a 的值为1. 答案：16.圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝4的一个参数方程为____________．解析：令x ＋12＝cos θ，y －12＝sin θ得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θy ＝1＋2sin θ(θ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θy ＝1＋2sin θ(θ为参数)(注本题答案不唯一)7.已知圆的普通方程x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0，则它的参数方程为____________．解析：由x 2＋y 2＋2x －6y ＋9＝0，得(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.令x ＋1＝cos θ，y －3＝sin θ，所以参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θy ＝3＋sin θ，(θ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θy ＝3＋sin θ，(θ为参数)(注答案不唯一)8.圆(x ＋2)2＋(y －3)2＝16的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋4cos θy ＝－3＋4sin θ，(θ为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋4cos θy ＝3＋4sin θ，(θ为参数) C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4cos θy ＝3－4sin θ，(θ为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－4cos θy ＝3－4sin θ，(θ为参数) 解析：选B.∵圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ，(θ为参数)∴圆(x ＋2)2＋(y －3)2＝16的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋4cos θy ＝3＋4sin θ，(θ为参数)9.已知圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，则它的一个参数方程是____________．解析：将x 2＋y 2＝2x 化为(x －1)2＋y 2＝1知圆心坐标为(1，0)，半径r ＝1，∴它的一个参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝sin θ(θ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝sin θ(θ为参数)10.已知圆P ：⎩⎨⎧x ＝1＋10cos θy ＝－3＋10sin θ，(θ为参数)，则圆心P 及半径r 分别是( )A ．P (1，3)，r ＝10B ．P (1，3)，r ＝10C ．P (1，－3)，r ＝10D ．P (1，－3)，r ＝10解析：选C.由圆P 的参数方程可知圆心P (1，－3)，半径r ＝10.11.圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θy ＝2sin θ，(θ为参数)，则圆的圆心坐标为( )A ．(0，2)B ．(0，－2)C ．(－2，0)D ．(2，0) 解析：选D.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θy ＝2sin θ得(x －2)2＋y 2＝4，其圆心为(2，0)，半径r ＝2.12.直线：3x －4y －9＝0与圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心解析：选 D.圆心坐标为(0，0)，半径为2，显然直线不过圆心，又圆心到直线距离d ＝95<2，故选 D.13.已知圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋2sin θy ＝2cos θ，(θ∈[0，2π)，θ为参数)与x 轴交于A ，B 两点，则|AB |＝________．解析：令y ＝2cos θ＝0，则cos θ＝0，因为θ∈[0，2π)，故θ＝π2或3π2，当θ＝π2时，x ＝－3＋2sin π2＝－1，当θ＝3π2时，x ＝－3＋2sin 3π2＝－5，故|AB |＝|－1＋5|＝4.答案：414.已知动圆x 2＋y 2－2x cos θ－2y sin θ＝0.求圆心的轨迹方程．解：设P (x ，y )为所求轨迹上任一点． 由x 2＋y 2－2x cos θ－2y sin θ＝0得： (x －cos θ)2＋(y －sin θ)2＝cos 2θ＋sin 2θ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ这就是所求的轨迹方程．15.P 是以原点为圆心，r ＝2的圆上的任意一点，Q (6，0)，M 是PQ 中点， (1)画图并写出⊙O 的参数方程；(2)当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹的参数方程． 解：(1)如图所示，⊙O 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ.(2)设M (x ，y )，P (2cos θ，2sin θ)，因Q (6，0)， ∴M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝6＋2cos θ2，y ＝2sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ. 16.已知点P (2，0)，点Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ上一动点，求PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：设Q (cos θ，sin θ)，PQ 中点M (x ，y )，则由中点坐标公式得x ＝2＋cos θ2＝12cos θ＋1，y ＝0＋sin θ2＝12sin θ.∴所求轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12cos θ＋1y ＝12sin θ(θ为参数)消去θ可化为普通方程为(x －1)2＋y 2＝14，它表示以(1，0)为圆心、半径为12的圆．17.设Q (x 1，y 1)是单位圆x 2＋y 2＝1上一个动点，则动点P (x 21－y 21，x 1y 1)的轨迹方程是____________．解析：设x 1＝cos θ，y 1＝sin θ，P (x ，y )．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 21－y 21＝cos 2θ，y ＝x 1y 1＝12sin 2θ.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝12sin 2θ，为所求． 答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θy ＝12sin 2θ18.已知P 是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos αy ＝sin α，(α为参数)上任意一点，则(x －1)2＋(y ＋1)2的最大值为________．解析：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos αy ＝sin α代入(x －1)2＋(y ＋1)2得(1＋cos α)2＋(1＋sin α)2＝2sin α＋2cos α＋3＝22sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋3， ∴当sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1时有最大值为3＋2 2. 答案：3＋2219.已知点P (x ，y )在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝sin θ，(θ为参数)上，则x －2y 的最大值为( )A ．2B ．－2C ．1＋ 5D ．1－ 5解析：选C.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ，所以x －2y ＝1＋cos θ－2sin θ＝1－(2sin θ－cos θ) ＝1－5⎝⎛⎭⎫25sin θ－15cos θ＝1－5sin ()θ－φ⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝12， 所以x －2y 的最大值为1＋ 5.20.已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝sin θ，(θ为参数)，求曲线C 上的点到直线l ：x－y ＋1＝0的距离的最大值．解：点C (1＋cos θ，sin θ)到直线l 的距离 d ＝|1＋cos θ－sin θ＋1|12＋12＝|2＋cos θ－sin θ|2＝⎪⎪⎪⎪2＋2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π42≤2＋22＝2＋1，即曲线C 上的点到直线l 的最大距离为2＋1.21.(2016·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .[解] (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上． 所以a ＝1.22.若P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos αy ＝sin α，(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25解析：选A.依题意P (2＋cos α，sin α)，∴(x －5)2＋(y ＋4)2＝(cos α－3)2＋(sin α＋4)2＝26－6cos α＋8sin α＝26＋10sin(α－φ)(其中cos φ＝45，sin φ＝35)∴当sin(α－φ)＝1，即α＝2k π＋π2＋φ(k ∈Z )时，有最大值为36.23.已知点P ⎝⎛⎭⎫12，32，Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ，(θ为参数)上的动点，则|PQ |的最大值是________．解析：由题意，设点Q (cos θ，sin θ)， 则|PQ |＝⎝⎛⎭⎫cos θ－122＋⎝⎛⎭⎫sin θ－322＝2－3sin θ－cos θ ＝2－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6 故|PQ |max ＝2＋2＝2. 答案：224.已知曲线方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝sin θ，(θ为参数)，则该曲线上的点与定点(－1，－2)的距离的最小值为________．解析：设曲线上动点为P (x ，y )，定点为A ，则|P A |＝（1＋cos θ＋1）2＋（sin θ＋2）2 ＝9＋42sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4， 故|P A |min ＝9－42＝22－1. 答案：22－125.已知圆C ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝－1＋sin θ，与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围．解：法一：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ消去θ，得x 2＋(y ＋1)2＝1.∴圆C 的圆心为(0，－1)，半径为1. ∴圆心到直线的距离d ＝|0－1＋a |2≤1.解得1－2≤a ≤1＋ 2.法二：将圆C 的方程代入直线方程， 得cos θ－1＋sin θ＋a ＝0，即a ＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. ∵－1≤sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤1，∴1－2≤a ≤1＋ 2.26.设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝2y 上的动点．①求2x ＋y 的取值范围；②若x ＋y ＋c ≥0恒成立，求实数c 的取值范围．解：圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝1＋sin θ，(θ为参数)．①2x ＋y ＝2cos θ＋sin θ＋1＝5sin(θ＋φ)＋1(φ由tan φ＝2确定)，∴1－5≤2x ＋y ≤1＋ 5.②若x ＋y ＋c ≥0恒成立，即c ≥－(cos θ＋sin θ＋1)对一切θ∈R 成立．且－(cos θ＋sin θ＋1)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－1的最大值是2－1，则当c ≥2－1时，x ＋y ＋c ≥0恒成立．27.已知圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＋6＝0. (1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； (2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值． [解] (1)由ρ2－42ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＋6＝0， 得ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0， 即x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0，∴圆的标准方程(x －2)2＋(y －2)2＝2，3分 令x －2＝2cos α，y －2＝2sin α，得圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos αy ＝2＋2sin α，(α为参数)6分(2)由(1)知x ＋y ＝4＋2(cos α＋sin α) ＝4＋2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4，9分 又－1≤sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤1， 故x ＋y 的最大值为6，最小值为2.12分28.圆的直径AB 上有两点C ，D ，且|AB |＝10，|AC |＝|BD |＝4，P 为圆上一点，求|PC |＋|PD |的最大值．解：如图所示，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中点为坐标原点建立平面直角坐标系．圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)．易知点C (－1，0)，D (1，0)．因为点P 在圆上，所以可设P (5cos θ，5sin θ)． 所以|PC |＋|PD |＝（5cos θ＋1）2＋（5sin θ）2＋（5cos θ－1）2＋（5sin θ）2 ＝26＋10cos θ＋26－10cos θ ＝（26＋10cos θ＋26－10cos θ）2 ＝52＋2262－100cos 2θ.当cos θ＝0时，|PC |＋|PD |有最大值为226.29.(2014·高考课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以G (1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝⎛⎭⎫32，32.。
高中数学 2.2.2 圆的参数方程练习 新人教A版选修4-4(2
2.2。
2 圆的参数方程一、选择题1．圆(x －1)2＋y 2＝4上的点可以表示为( )A ．(－1＋cos θ，sin θ）B ．(1＋sin θ,cos θ)C ．(－1＋2cos θ，2sin θ）D ．（1＋2cos θ，2sin θ)2．P (x ，y ）是曲线⎩⎨⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ（0≤θ＜π，θ是参数）上的动点,则错误!的取值范围是（ )A.错误! B 。
错误! C 。
错误! D 。
错误!3．已知曲线的参数方程为错误!(θ为参数)，则曲线的普通方程为（ ）．A ．y 2＝1＋xB ．y 2＝1－xC ．y 2＝1－x (－错误!≤y ≤错误!)D ．以上都不对4．曲线{x ＝|sin θ|，，y ＝cos θ(θ为参数）的方程等价于（ )． A ．x ＝1－y 2B ．y ＝1－x 2C ．y ＝±错误!D ．x 2＋y 2＝15．参数方程错误!（t 为参数)化为普通方程为（ ）．A ．x 2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝1去掉(0,1)点 C ．x 2＋y 2＝1去掉(1,0）点 D ．x 2＋y 2＝1去掉（－1，0)点6．直线l ：错误!（t 为参数）与圆错误!(α为参数)相切,则直线的倾斜角θ为( ）． A.错误!或错误! B 。
错误!或错误! C.错误!或错误!D ．－错误!或－错误!二、填空题7．曲线错误!（θ为参数)经过点错误!，则a ＝____________。
8．直角坐标系xO y 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1:错误!(θ为参数)和曲线C 2:ρ＝1上,则｜AB |的最大值为________．9．将参数方程错误!（θ为参数)转化为直角坐标方程是________，该曲线上的点与定点A(－1，－1）的距离的最小值为________．10．设直线l1的参数方程为错误!(t为参数），直线l2的方程为y＝3x＋4,则l1与l2的距离为________．三、解答题11．设y＝tx(t为参数）,求圆x2＋y2－4y＝0的参数方程．12．两曲线的参数方程为错误!（θ为参数）和错误!（t为参数），求它们的交点坐标．圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化答案1．D 2.A 3C 4A5解析x2＋y2＝错误!错误!＋错误!错误!＝1，又∵x＝错误!＝－1＋错误!≠－1，故选D。
圆的参数方程高考真题教师版
圆的参数方程一．选择题（共2小题）1．（2014•北京）曲线1cos (2sin x y θθθ=-+⎧⎨=+⎩为参数）的对称中心( )A ．在直线2y x =上B ．在直线2y x =-上C ．在直线1y x =-上D ．在直线1y x =+上2．（2010•重庆）直线y =+与圆心为D的圆([0,2))1x y θθπθ⎧=⎪∈⎨=+⎪⎩交与A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为( )A ．76πB ．54πC ．43πD ．53π二．填空题（共6小题）3．（2019•天津）设a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,(12sin x y θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数）相切，则a 的值为 ． 4．（2013•陕西）（坐标系与参数方程选做题）如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆220x y x +-=的参数方程为 ．5．（2013•广东）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为 ．6．（2012•广东）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C的参数方程分别为(x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，0)2πθ和1(x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），则曲线1C 和2C 的交点坐标为 ． 7．（2012•北京）直线2(1x t t y t =+⎧⎨=--⎩为参数）与曲线3cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数）的交点个数为 ．8．（2011•陕西）（请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A ．（不等式选做题）若不等式|1||2|a x x ++-存在实数解，则实数a 的取值范围是 ． B ．（几何证明选做题）如图，B D ∠=∠，AE BC ⊥，90ACD ∠=︒，且6AB =，4AC =，12AD =，则AE = ．C ．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A ，B 分别在曲线13cos :4sin xC y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数）和曲线2:1C p =上，则||AB 的最小值为 ． 三．解答题（共3小题）9．（2015•福建）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为13cos (23sin x tt y t =+⎧⎨=-+⎩为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴），直线l 的方程为sin()4m πθ-=，()m R ∈（1）求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； （2）设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．10．（2014•福建）已知直线l 的参数方程为2(4x a t t y t =-⎧⎨=-⎩为参数），圆C 的参数方程为4cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为常数）． （1）求直线l 和圆C 的普通方程；（2）若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． 11．（2012•福建）选修44-：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，)2π，圆C 的参数方程22cos (2sin x y θθθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）． （Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系．圆的参数方程参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．（2014•北京）曲线1cos (2sin x y θθθ=-+⎧⎨=+⎩为参数）的对称中心( )A ．在直线2y x =上B ．在直线2y x =-上C ．在直线1y x =-上D ．在直线1y x =+上【解答】解：曲线1cos (2sin x y θθθ=-+⎧⎨=+⎩为参数）表示圆，圆心为(1,2)-，在直线2y x =-上，故选：B ．2．（2010•重庆）直线y =+与圆心为D 的圆([0,2))1x y θθπθ⎧=⎪∈⎨=+⎪⎩交与A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为( )A ．76πB ．54πC ．43πD ．53π【解答】解：数形结合，130α∠=-︒，230πβ∠=︒+-， 由圆的性质可知12∠=∠，3030απβ∴-︒=︒+-， 故43αβπ+=，故选：C ．二．填空题（共6小题）3．（2019•天津）设a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,(12sin x y θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数）相切，则a 的值为 34 ．【解答】解：a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,(12sin x y θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数）相切， ∴圆心(2,1)到直线20ax y -+=的距离：2d r ===，解得34a =． 故答案为：34． 4．（2013•陕西）（坐标系与参数方程选做题）如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆220x y x +-=的参数方程为 2cos sin x cos y θθθ⎧=⎨=⎩．【解答】解：将圆方程化为2211()24x y -+=，可得半径12r =，2cos cos OP r θθ∴==，2cos cos x OP θθ∴==，sin sin cos y OP θθθ==，则圆的参数方程为2cos sin x cos y θθθ⎧=⎨=⎩．故答案为：2cos sin x cos y θθθ⎧=⎨=⎩．5．（2013•广东）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为 1cos (sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数） ． 【解答】解：由曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，得22cos ρρθ=，即2220x y x +-=． 化圆的方程为标准式，得22(1)1x y -+=． 令1cos sin x y θθ-=⎧⎨=⎩，得()1x cos y sin θθθ=+⎧⎨=⎩为参数．所以曲线C 的参数方程为()1x cos y sin θθθ=+⎧⎨=⎩为参数．故答案为()1x cos y sin θθθ=+⎧⎨=⎩为参数．6．（2012•广东）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C的参数方程分别为(x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，0)2πθ和1(x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），则曲线1C 和2C 的交点坐标为 (2,1)．【解答】解：曲线1C 的普通方程为225(05)x y x +=，曲线2C 的普通方程为1y x =-联立方程22521x y x y x ⎧+=⇒=⎨=-⎩或1x =-（舍去）， 则曲线1C 和2C 的交点坐标为(2,1)． 故答案为：(2,1)7．（2012•北京）直线2(1x t t y t =+⎧⎨=--⎩为参数）与曲线3cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩ (α为参数）的交点个数为 2 ． 【解答】解：直线2(1x tt y t =+⎧⎨=--⎩为参数）化为普通方程为10x y +-= 曲线3cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩ (α为参数）化为普通方程为229x y +=圆心(0,0)到直线10x y +-=的距离为3d <∴直线与圆有两个交点故答案为：28．（2011•陕西）（请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A ．（不等式选做题）若不等式|1||2|a x x ++-存在实数解，则实数a 的取值范围是 [3，)+∞ ． B ．（几何证明选做题）如图，B D ∠=∠，AE BC ⊥，90ACD ∠=︒，且6AB =，4AC =，12AD =，则AE = ．C ．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A ，B 分别在曲线13cos :4sin xC y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数）和曲线2:1C p =上，则||AB 的最小值为 ． 【解答】解：A ．先作出函数|1||2|y x x =++-的图象可知函数的最小值为3，故当[3a ∈，)+∞上不等式|1||2|a x x ++-存在实数解， 故答案为：[3，)+∞B ．B D ∠=∠，AE BC ⊥，90ACD ∠=︒Rt ABE Rt ADC ∴∆∆∽而6AB =，4AC =，12AD =， 根据AD AE AB AC =解得：2AE =， 故答案为：2C ．3cos 4sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩ 消去参数θ得，22(3)(4)1x y -+-=而1p =，则直角坐标方程为221x y +=，点A 在圆22(3)(4)1x y -+-=上，点B 在圆221x y +=上 则||AB 的最小值为5113--= 故答案为：3三．解答题（共3小题）9．（2015•福建）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为13cos (23sin x tt y t=+⎧⎨=-+⎩为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴），直线l 的方程为sin()4m πθ-=，()m R ∈（1）求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； （2）设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．【解答】解：（1）消去参数t ，得到圆的普通方程为22(1)(2)9x y -++=，sin()4m πθ-=，得sin cos 0m ρθρθ--=，所以直线l 的直角坐标方程为：0x y m -+=．（2）依题意，圆心(1,2)C -到直线:0l x y m -+=的距离等于22=，解得3m =-±10．（2014•福建）已知直线l 的参数方程为2(4x a t t y t =-⎧⎨=-⎩为参数），圆C 的参数方程为4cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为常数）． （1）求直线l 和圆C 的普通方程；（2）若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）直线l 的参数方程为24x a ty t =-⎧⎨=-⎩，消去t 可得220x y a --=；圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，两式平方相加可得2216x y +=；（2）圆心(0,0)C ，半径4r =．由点到直线的距离公式可得圆心(0,0)C 到直线L 的距离d =直线L 与圆C 有公共点，4d ∴4，解得25a -．11．（2012•福建）选修44-：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，)2π，圆C 的参数方程22cos (2sin x y θθθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）． （Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系．【解答】解：（Ⅰ）M ，N 的极坐标分别为(2,0)，)2π，所以M 、N 的直角坐标分别为：(2,0)M ，N ，P 为线段MN 的中点，直线OP 的平面直角坐标方程y =；（Ⅱ）圆C 的参数方程22cos (2sin x y θθθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）．它的直角坐标方程为：22(2)(4x y -+=，圆的圆心坐标为(2,，半径为2，直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，)2π，方程为3(2)2)2y x x =--=-30y +-．322==<， 所以，直线l 与圆C 相交．。
课时作业1：1 参数方程的概念~2 圆的参数方程
一 曲线的参数方程1 参数方程的概念2 圆的参数方程一、基础达标1.已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，曲线C 不经过第二象限，则实数a 的取值范围是( )A.a ≥2B.a ＞3C.a ≥1D.a ＜0答案 A解析 ∵曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2cos θ，y ＝2sin θ.(θ为参数)，∴化为普通方程为 (x －a )2＋y 2＝4，表示圆心为(a,0)，半径等于2的圆.∵曲线C 不经过第二象限，则实数a 满足a ≥2，故选A.2.将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2 θ，y ＝sin 2 θ(θ为参数)化为普通方程为( ) A.y ＝x －2B.y ＝x ＋2C.y ＝x －2 (2≤x ≤3)D.y ＝x ＋2 (0≤y ≤1)答案 C解析 将参数方程中的θ消去，得y ＝x －2.又x ∈[2,3]，故选C.3.若曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－1t ，y ＝1－t 2(t 是参数，t ≠0)，它的普通方程是( ) A.(x －1)2(y －1)＝1B.y ＝x (x －2)(1－x )2C.y ＝1(1－x )2－1D.y ＝x 1－x 2答案 B解析 由x ＝1－1t ，得1t＝1－x ，由y ＝1－t 2，得t 2＝1－y .∴(1－x )2·(1－y )＝⎝⎛⎭⎫1t 2·t 2＝1. 整理得y ＝x (x －2)(1－x )2. 4.已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t y ＝b ＋t (t 为参数)，l 上的点P 1对应的参数是t 1，则点P 1与P (a ，b )之间的距离为( )A.|t 1|B.2|t 1|C.2|t 1|D.22|t 1| 答案 C解析 点P 1对应的点的坐标为(a ＋t 1，b ＋t 1)，∴|PP 1|＝(a ＋t 1－a )2＋(b ＋t 1－b )2＝2t 21＝2|t 1|.5.若曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)经过点⎝⎛⎭⎫32，a ，则a ＝________. 答案 ±3解析 点⎝⎛⎭⎫32，a 代入曲线方程得cos θ＝12，a ＝2sin θ＝±2 1－14＝± 3. 6.已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为______. 答案 (－1,1)，(1,1)解析 由圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α.可求得其在直角坐标系下的方程为x 2＋(y －1)2＝1，由直线l 的极坐标方程ρsin θ＝1可求得其在直角坐标系下的方程为y ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1，x 2＋(y －1)2＝1可解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±1，y ＝1. 所以直线l 与圆C 的交点的直角坐标为(－1,1)，(1,1).7.已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)，如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围.解 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ， ∴x 2＋(y ＋1)2＝1.∵圆与直线有公共点，则d ＝|0－1＋a |2≤1， 解得1－2≤a ≤1＋ 2.二、能力提升8.在直角坐标系下，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α (α为参数).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系下，曲线C 的极坐标方程为( )A.ρcos θ＝2B.ρsin θ＝2C.ρ＝2sin θD.ρ＝2cos θ 答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数).得(x －1)2＋y 2＝1. 所以曲线C 表示以(1,0)为圆心，以1为半径的圆.选项A 的直角坐标方程为x ＝2；选项B 的直角坐标方程为y ＝2；对于选项C ，由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，即x 2＋y 2－2y ＝0，不相符；对于选项D ，由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，即x 2＋y 2－2x ＝0，整理得(x －1)2＋y 2＝1. 所以曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.故选D.9.直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为任意实数)的交点个数为________. 答案 2解析 消参后，直线为x ＋y ＝1，曲线为圆x 2＋y 2＝9，圆心(0,0)到直线的距离为22，小于半径3，所以直线与圆相交，因此，交点个数为2.10.把圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0化为参数方程为________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数) 解析 圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的标准方程是(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，圆心为(－1,2)，半径为2，故参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数). 11.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆C 1，C 2的极坐标方程及这两个圆的交点的极坐标；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程.解 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2, 圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ， 由⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3， 故圆C 1，C 2交点坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫2，－π3. (2)由(1)得，圆C 1，C 2交点直角坐标为(1，3)，(1，－3),故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝t (－3≤t ≤3).12.在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点，若△AOB 是等边三角形，求a 的值.解 由ρ＝4sin θ可得x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4.由ρsin θ＝a 可得y ＝a .设圆的圆心为O ′，y ＝a 与x 2＋(y －2)2＝4的两交点A ，B 与O 构成等边三角形，如图所示.由对称性知∠O ′OB ＝30°，OD ＝a .在Rt △DOB 中，易求DB ＝33a ， ∴B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫33a ，a ， 又∵B 在x 2＋y 2－4y ＝0上，∴⎝⎛⎭⎫33a 2＋a 2－4a ＝0， 即43a 2－4a ＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝3. 三、探究与创新13.已知C (r,0)(r ＞0)，动点M 满足|MC |＝r ，根据下列选参数的方法，分别求动点M 的轨迹方程.(1)以x 轴正方向到CM 所成角θ为参数；(2)以x 轴正方向到OM 所成角α为参数.解 (1)如图所示，依题意动点M 的轨迹是以C (r,0)为圆心，r 为半径的圆，设圆和x 轴的正半轴交于A ，OA 为直径.设M (x ，y )，作MN ⊥Ox 于N ，在Rt △MCN 中，|CM |＝r ，∠ACM ＝θ，∴x ＝ON ＝OC ＋CN ＝r ＋r cos θ，y ＝MN ＝r sin θ.∴动点M 轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r (1＋cos θ)，y ＝r sin θ(θ为参数).(2)设点M 的坐标为M (x ，y )，OA ＝2r ，则ON ＝OA cos α·cos α＝2r cos 2 α，NM ＝OA cos α·sin α＝2r sin α·cos α＝r sin 2α.∴点M 的轨迹方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2r cos 2 α，y ＝r sin 2α(α为参数).。
课时作业3：一 第1课时 参数方程的概念及圆的参数方程
第二讲 参数方程一 曲线的参数方程第1课时 参数方程的概念及圆的参数方程一、选择题1．若点P (4，a )在曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t2，y ＝2t(t 为参数)上，则a 等于( )A ．4B ．4 2C ．8D ．12．在方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为( )A ．(2，－7) B.⎝⎛⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，12 D ．(1,0)3．已知O 为原点，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)上的任意一点为A ，则|OA |等于() A ．1 B ．2C ．3D ．44．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝2(t 为参数)表示的曲线是( )A ．两条直线B ．一条射线C ．两条射线D ．双曲线5．圆心为点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5－cos θ，y ＝5＋2sin θ(0≤θ<2π)B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋5cos θ，y ＝－1＋5sin θ(0≤θ<2π)C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<π)D.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π) 6．设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则曲线C 上到直线l 的距离为71010的点的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题7．若点(－3，－33)在参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6cos θ，y ＝6sin θ(θ为参数)的曲线上，则θ＝________. 8．已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为________．9．已知圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋2sin θ，y ＝2cos θ(θ∈[0,2π)为参数)与x 轴交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 10．若x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，则2x ＋y 的最小值为________．三、解答题11．已知直线y ＝x 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)相交于两点A 和B ，求弦长|AB |.12.已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)，如果曲线C 与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a 的取值范围．13．如图所示，OA 是圆C 的直径，且OA ＝2a ，射线OB 与圆交于Q 点，和经过A 点的切线交于B 点，作PQ ⊥OA ，PB ∥OA ，试求P 点的轨迹方程．四、探究与拓展14．设Q (x 1，y 1)是单位圆x 2＋y 2＝1上一个动点，则动点P (x 21－y 21，x 1y 1)的轨迹的参数方程是________．15．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在曲线C 上，曲线C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．答案精析1．B [根据题意，将点P 的坐标代入曲线方程中，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝t 2，a ＝2t ⇒⎩⎨⎧t ＝8，a ＝4 2.] 2．C [将点的坐标代入参数方程，若能求出θ，则点在曲线上，经检验知，C 满足条件．]3．A [|OA |＝x 2＋y 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，故选A.]4．C [当t ＞0时，⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，y ＝2是一条射线；当t ＜0时，⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－2，y ＝2也是一条射线，故选C.] 5．D [圆心为点C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ∈[0,2π))．故圆心为点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π)．] 6．B [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ，得(x －2)2＋(y ＋1)2＝9. 曲线C 表示以点(2，－1)为圆心，以3为半径的圆，则圆心C (2，－1)到直线l 的距离d ＝710＝71010<3， 所以直线与圆相交，所以过圆心(2，－1)与l 平行的直线与圆的2个交点满足题意，又3－d <71010，故满足题意的点有2个．] 7.4π3＋2k π，k ∈Z 解析 将点(－3，－33)的坐标代入参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，y ＝6sin θ(θ为参数)， 得⎩⎨⎧cos θ＝－12，sin θ＝－32，解得θ＝4π3＋2k π，k ∈Z . 8．(－1,1)，(1,1) 解析 由圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α， 可求得其在直角坐标系下的方程为x 2＋(y －1)2＝1，由直线l 的极坐标方程ρsin θ＝1，可求得其在直角坐标系下的方程为y ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1，x 2＋(y －1)2＝1，可解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±1，y ＝1. 所以直线l 与圆C 的交点的直角坐标为(－1,1)，(1,1)．9．4解析 令y ＝2cos θ＝0，则cos θ＝0，因为θ∈[0,2π)，所以θ＝π2或3π2. 当θ＝π2时，x ＝－3＋2sin π2＝－1， 当θ＝3π2时，x ＝－3＋2sin 3π2＝－5， 故|AB |＝|－1＋5|＝4.10．－2 5解析 令x －1＝2cos θ，y ＋2＝2sin θ，则有x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ－2，故2x ＋y ＝4cos θ＋2＋2sin θ－2＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)，tan φ＝2.∴－25≤2x ＋y ≤2 5.即2x ＋y 的最小值为－2 5.11．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋2cos α，y ＝2＋2sin α， 得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2cos α，y －2＝2sin α， ∴(x －1)2＋(y －2)2＝4，其圆心为(1,2)，半径r ＝2，则圆心(1,2)到直线y ＝x 的距离d ＝|1－2|12＋(－1)2＝22. ∴|AB |＝2r 2－d 2＝2 22－⎝⎛⎭⎫222＝14. 12．解 ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ， ∴x 2＋(y ＋1)2＝1. ∵圆与直线有公共点，则d ＝|0－1＋a |2≤1， 解得1－2≤a ≤1＋ 2.即实数a 的取值范围是[1－2，1＋2]．13．解 设点P (x ，y )是轨迹上任意一点，取∠DOQ ＝θ，由PQ ⊥OA ，PB ∥OA ，得x ＝OD ＝OQ cos θ＝OA cos 2θ＝2a cos 2θ，y ＝AB ＝OA tan θ＝2a tan θ.所以P 点的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a cos 2θ，y ＝2a tan θθ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. 14.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos 2θ，y ＝12sin 2θ 解析 设x 1＝cos θ，y 1＝sin θ，P (x ，y )．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 21－y 21＝cos 2θ，y ＝x 1y 1＝12sin 2θ. 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos 2θ，y ＝12sin 2θ为所求． 15．解 (1)半圆C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得半圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π)． (2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知曲线C 是以C (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线CD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3. 故D 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝⎛⎭⎫32，32.。
高中数学新人教A版选修4-4课堂测试圆的参数方程
解析：选 A 设 P(2 + cos a, sin a ），代入得,课时跟踪检测（八）圆的参数方程一、选择题x = 2+ 2cos 0,1.已知圆的参数方程为（0为参数），则圆的圆心坐标为（ ）|y = 2sin 0A . (0,2)B . (0, — 2)C . (— 2,0)D . (2,0)x = 2+ 2cos 0,22解析：选D 将化为(x — 2)2+ y 2= 4,其圆心坐标为(2,0).y = 2sin 0x =— 1+ V^cos 0, 2•已知圆的参数方程为 〈厂（0为参数），则圆心到直线 y = x + 3的距2sin 0离为（）A . 1 B. 2 C . 2D . 2 2x =— 1 + J2cos 0,2解析：选B 圆的参数方程（0为参数）化成普通方程为（x + 1） +y = 2sin 0y 2= 2，圆心（—1,0）到直线y = x + 3的距离d =x = a + rcos 0, 3.若直线y = ax + b 经过第二、三、四象限，则圆勺 y=b+rsin 0A •第四象限 C .第二象限D .第一象限解析：选B 根据题意，若直线y = ax + b 经过第二、三、四象限，则有a<0, b<0.圆x = a + rcos 0,的参数方程为（0为参数），圆心坐标为（a , b ）,又由a<0, b<0，得该圆的y = b + rsin 0圆心在第三象限，故选 B.|— 1 + 3|= 2，故选 B.（0为参数）的圆心B .第三象限解析：选 A 设 P(2 + cos a, sin a ），代入得,A . 36 C . 264. P(x , y)是曲线x = 2+ cos a, y = sin a（a 为参数）上任意一点，则（x — 5）2 + （y + 4）2的最大值B . 6 D . 252 2(2 + cos a— 5) + (sin a+ 4)■ 2 2=25+ sin a+ cos a—6cos a+ 8sin a=26 + 10sin(a—0)其中tan <^= 4，所以其最大值为36.二、填空题5. x= 1与圆x2+ y2= 4的交点坐标是__________ .2 2x = 2cos 0,解析：圆x2+ y2= 4的参数方程为(0为参数)|y= 2sin 01 、f3令2cos 0= 1，得cos 0= ，二sin 0= .2 2•••交点坐标为(1, 3)和(1, —3).答案：(1, 3), (1, —3)x = cos 0,6.曲线(0为参数)与直线x+ y —1 = 0相交于A, B两点，则|AB| =y= 1 + sin 0x— cos 0解析：根据题意，曲线—'（0为参数）的普通方程为x2+ （y—1）2—1,|y—1 + sin 0表示圆心坐标为（0,1），半径r—1的圆，而直线的方程为x + y— 1 —0，易知圆心在直线上，则AB为圆的直径，故|AB|—2r—2.答案：27 .在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标（n x—2+ 2cos 0, 系.已知直线l的极坐标方程为psin 0+T —1,圆C的参数方程为（0•6丿J——7 3 + 2sin 0为参数），则直线I与圆C相交所得的弦长为_________ .解析：直线I的极坐标方程为ein 0+n —1,.g 1展开可得psin 0+ pcos 0—1，化为直角坐标方程为x + 3y— 2 —0,圆C的参数方x —2+ 2cos 0, 2程'厂（0为参数）化为普通方程为（x—2）+（y+书）一4,Ly——V3+ 2sin 0可得圆心坐标为（2, —3），半径r —2.圆心C到直线l的距离d—|2—3—2 —3 12+ 32—2.•直线I与圆C相交所得弦长—2 r2—d2— 2 4 —j 2—,7.答案：7 三、解答题x = 1 + 4cost ,8.将参数方程< (t 为参数，0w t w n)为普通方程，并说明方程表示的|y = — 2 + 4sin t曲线.x = 1 + 4cost,-解：因为 0w t w n,所以一3 w x w 5,— 2w y w 2.因为*所以(x — 1)2 +|y =— 2+ 4sin t ,(x — 1)2 + (y + 2)2 = 16( —3w x w 5,(1)求经过点O , A , B 的圆C i 的极坐标方程; ⑵以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆x =— 1 + acos 0, (0是参数)，若圆C 1与圆C 2外切，求实数 a 的值.y =— 1+ asin 0解:(1)O(0,0), A 2, n ，B ,n 对应的直角坐标分别为0(0,0), A(0,2), B(2,2), x = 则过点 O , A , B 的圆的普通方程为 x 2 + y 2— 2x — 2y = 0，将 y =pcos 0,p>in 0代入可求得经过点O , A , B 的圆C 1的极坐标方程为P=(y + 2)2= 16cos 2t + 16sin 2t = 16，所以曲线的普通方程为 —2< y w 2).它表示的曲线是以点 (1, — 2)为圆心，4为半径的上9.在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为 p= 2cos 0, 0€ 0, 2(1)求C 的参数方程;(2)设点D 在C 上, C 在D 处的切线与直线 l : 数方程，确定D 的坐标.解：(1)C 的普通方程为(x — 1)2+ y 2= 1(0< y w 1).y = 3x + 2垂直，根据 ⑴中你得到的参 可得C 的参数方程为x = 1 + cost , (t 为参数，0w t wn)y = sin t⑵设D(1 + cos t , sin t).由 ⑴知C 是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆.因为 C 在点D 处的切线与I 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t = 3, t = #故D 的直角坐标为1 + cos n ， sin ，即3⑥ 2， 2 -10.在极坐标系中，已知三点C 2的参数方程为O(0,0), A [2, n BX =- 1 + acos 0,222(B 是参数)对应的普通方程为(x + 1)2+ (y + 1)2= a 2,圆心 y =—1 + asin 0 半径为|a|,由 ⑴知圆G 的圆心为(1,1),半径为 2，G 与圆 C 2 外切时，有■ ..：2 + |a|=、J 「— 1 — 1 | + — 1 — 1 彳，解得 a = ±, 2.(2)圆 C 2： 为(-1,- 1),所以当圆。
圆的参数方程例题
1、已知圆的参数方程为x = 3cosθ, y = 3sinθ，则圆上一点P(x, y) 到原点O 的距离为：A. 6B. 3C. 9D. 依θ而定（答案：B）2、圆的参数方程为x = 2cosθ+ 1, y = 2sinθ- 3，则圆心的坐标为：A. (1, -3)B. (2, -3)C. (1, 3)D. (-1, 3)（答案：A）3、给定圆的参数方程x = 4sinθ, y = 4cosθ，点P(x, y) 在该圆上运动一周，其横坐标x 的取值范围是：A. [-4, 4]B. (-4, 4)C. [0, 4]D. (-∞, +∞)（答案：A）4、圆的参数方程为x = 5cos(θ- π/6), y = 5sin(θ- π/6)，则圆上一点P(x, y) 到x 轴的最大距离为：A. 5B. 2.5C. 5√3/2D. 5/2（答案：A）5、已知圆的参数方程x = 2cosθ+ 3, y = 2sinθ+ 1，则圆上一点P(x, y) 到直线x + y = 0 的最短距离为：A. √2B. 2√2C. 3√2/2D. √10/2（答案：C）6、圆的参数方程为x = 3cosθ- 2, y = 3sinθ+ 1，则圆上一点P(x, y) 到点A(1, -1) 的距离的最小值为：A. 1B. 2C. 3D. 4（答案：A）7、给定圆的参数方程x = √2cosθ, y = √2sinθ+ 1，则圆上一点P(x, y) 到直线y = x 的距离的最小值为：A. 0B. 1C. √2D. 2（答案：B）8、圆的参数方程为x = 2cosθ, y = 2sinθ+ 2，则圆上一点P(x, y) 到x 轴的距离等于其到y 轴距离的两倍时，点P 的坐标为：A. (0, 2)B. (√3, 3)C. (-√3, 1)D. (√3, 1) 和(-√3, 1)（答案：D）。
圆的参数方程解答题(1)
1．设点()M x y ，在圆221x y +=上移动，求点()()()Q x x y y x y ++，的轨迹的参数方程.答案：解答：设()()cos ,sin 02M θθθπ≤<,点()11,Q x y , 则()()11cos cos sin ,sin cos sin ,x y θθθθθθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数) 即为所求的参数方程.2．已知圆的方程为222x y +=，写出它的参数方程.答案：()1cos 02πsin x y θθθ=+⎧≤<⎨=⎩ 解答：222x y x +=的标准方程为()22 11x y -+=,设 1cos ,sin x y θθ-==,则参数方程为()1cos 02πsin x y θθθ=+⎧≤<⎨=⎩. 3．设质点沿以原点为圆心，2为半径的圆做匀角速运动，角速度为πrad /s 60，试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程.答案： π2cos 60(π2sin .60x t t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，为参数，0t ≥) 解答：如图，在运动开始时，质点位于点A 处，此时0t =，设动点()M x y ，，对应时刻t ，由图可知，2cos 2sin .x y θθ=⎧⎨=⎩， 又π(60t t θ=以s 为单位)， 所以所求的参数方程为π2cos 60(π2sin .60x t t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，为参数，0t ≥) 4．已知点P(2，0)，点Q 是圆cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)上一动点，求PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？答案：11cos 21sin 2x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解答：设中点为()2cos ,2,,0sin ,2x M x y y θθ+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩即11cos 21sin 2x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩它是圆的参数方程,表示以(1,0)为圆心,以12为半径的圆. 5．根据所给条件,把曲线的普通方程化为参数方程.(1)()()2212135x y --+=, 1x θ=+.(θ为参数)(22)10,1x y x x t -+-==+.(t 为参数)答案：(1) ()1,2,x y θθθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩为参数；(2) ()21,31,x t t y t t =+⎧⎨=++⎩为参数. 解答：(1)将1x θ=+代入()()2212135x y --+=得：2y θ=+.∴()1,2,x y θθθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩为参数这就是所求的参数方程.(2)将1x t =+代入210x y x -+-=得：()221111y x x t t =+-=+++-231t t =++ ∴()21,31,x t t y t t =+⎧⎨=++⎩为参数 这就是所求的参数方程.6．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数). (1)求曲线1C 的直角坐标方程；(2)曲线2C 的极坐标方程为，求1C 与2C 的公共点的极坐标. 答案：解答：试题分析：(1)利用同角三角函数关系22sin cos 1θθ+=消参数得22(2)1x y -+=(2)利用222,cos x y x ρρθ=+=先将1C 的直角坐标方程化为极坐标方程24cos 30ρρθ-+=，，所以1C 与2C 的公共点的极坐标试题解析：(1) 曲线1C 的普通方程为22(2)1x y -+=(2)7．在直角坐标系xOy 中， 曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数)．M 是1C 上的动点，P 点满足2,OP PM P =点的轨迹为曲线2C ，求曲线2C 的方程； 答案：()22416x y +-=．解答：设()y x p ,，则由条件知．由于M 点在1C 上， 即⎩⎨⎧+==ααsin 44cos 4y x ， 从而2C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 44cos 4y x (α为参数)，即()22416x y +-=； 8．在直角坐标系中，曲线(其中α为参数)，求曲线1C 的普通方程.答案：()2227x y +-=解答： 所以曲线1C 的普通方程为()2227x y +-=. 9.已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 22y x (θ为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)xOy 1C中，直线l 的极坐标方程为，求直线l 被曲线C 截得的弦长.答案：解答： 曲线C 的普通方程为4)2(22=+-y x ，即0422=-+x y x . 直线l 的直角坐标方程为04=-+y x . 由⎩⎨⎧=-+=-+040422y x x y x 得直线l 与曲线C 的交点坐标为)2,2(，)0,4(，。
高中数学 课时作业12 圆的参数方程 北师大版选修4-4-北师大版高二选修4-4数学试题
课时作业(十二)1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋3cos θ，y ＝－3＋3sin θ(θ为参数)表示的图形是( )A ．圆心为(－3，3)，半径为9的圆B ．圆心为(－3，3)，半径为3的圆C ．圆心为(3，－3)，半径为9的圆D ．圆心为(3，－3)，半径为3的圆答案 D解析 由圆的参数方程可知选D.2．已知圆O 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)，如果圆上的点A 的坐标是(532，－52)，则点A 所对应的参数是________．答案116π 解析 把点A 的坐标(532，－52)代入参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧532＝5cos θ，－52＝5sin θ，解得θ＝116π.3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝－5sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)表示的曲线是________．答案 以原点为圆心，半径为5的圆解析 把参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos （－θ），y ＝5sin （－θ），则此方程表示圆心为原点，半径为5的圆．4．直线3x ＋4y －5＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32cos θ，y ＝32sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)的位置关系是________．答案 相交解析 由圆的参数方程，知圆的圆心为原点，半径为32，圆心到直线3x ＋4y －5＝0的距离d＝|0＋0＋5|32＋42＝1<32. 5．已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋1，y ＝sin θ(θ为参数)，则点P(4，4)与圆C 上的点的最远距离是________． 答案 6解析 由圆的参数方程，知圆C 的圆心为(1，0)，半径为1，则点P 与圆心的距离为d ＝（4－1）2＋（4－0）2＝5，则点P(4，4)与圆C 上的点的最远距离为5＋1＝6.6．若直线x ＋y ＝m 与圆⎩⎨⎧x ＝mcos φ，y ＝msin φ(φ为参数，m>0)相切，则m 为________．答案 2解析 由圆的参数方程，知圆的圆心在原点，半径为m ，则圆心到直线的距离等于半径，得d ＝|0＋0－m|2＝m ，即m 2＝2m ，解得m ＝2.7．设y ＝tx(t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程为________． 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t t 2＋1，y ＝4t 2t 2＋1(t 是参数)解析 将y ＝tx 代入圆方程中，可得x ＝4t t 2＋1，因此y ＝4t 2t 2＋1.8．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t ，y ＝1－t (t 为参数)被圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos θ，y ＝－1＋5sin θ(θ为参数，θ∈[0，2π])所截得的弦长为________． 答案82解析 将直线与圆化为普通方程得x ＋y ＋1＝0，(x －3)2＋(y ＋1)2＝25，于是弦心距d ＝322，弦长l ＝225－92＝82.9．设A 、B 分别是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)和ρsin (θ＋π4)＝22上的动点，则A 、B 两点的最小距离为________． 答案2－1解析 由曲线的参数方程，知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)是以(0，－1)为圆心，半径为1的圆；又极坐标方程ρsin (θ＋π4)＝22化为直角坐标方程是x ＋y －1＝0，圆心到直线x ＋y －1＝0的距离为d ＝|0－1－1|2＝2，则A 、B 两点的最小距离为2－1. 10．已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)，若P(2，－1)为圆C 的弦的中点，则该弦所在的直线方程为________． 答案 x －y －3＝0解析 由圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos θ，y ＝5sin θ，，得圆的圆心为C(1，0)，半径为5，则直线CP 的斜率为k CP ＝－1－02－1＝－1，由弦与CP 垂直，得弦所在的直线的斜率为1，∴弦所在的直线方程为y －(－1)＝1·(x－2)，即x －y －3＝0.11．在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________． 答案 3解析 曲线C 1是圆心为(3，4)，半径为1的圆，曲线C 2是圆心为(0，0)，半径为1的圆． 所以两圆心之间的距离为 d ＝32＋42＝5>1＋1， 所以两圆相离， 因为A∈C 1，B ∈C 2， 所以|AB|min ＝5－2＝3.12．P(x ，y)是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则P 到直线x －y ＋4＝0的距离的最小值是________． 答案 －1＋3 2解析 由P 在曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α上可得P 的坐标为(2＋cos α，sin α)．由点到直线的距离公式得d ＝|cos α－sin α＋6|2＝|2cos （α＋π4）＋6|2，当cos (α＋π4)＝－1时，d 最小，d min ＝－2＋62＝－1＋3 2.13．设方程⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝3＋sin θ(θ为参数)表示的曲线为C.(1)求曲线C 上的动点到原点O 的距离的最小值；(2)点P 为曲线C 上的动点，当|OP|最小时(O 为坐标原点)，求点P 的坐标． 解析 (1)设曲线C 上任意一点P 的坐标为(1＋cos θ，3＋sin θ)(0≤θ<2π)， ∴|OP|＝（1＋cos θ）2＋（3＋sin θ）2＝5＋4cos （θ－π3）.∴当θ＝4π3时，|OP|取最小值1.(2)由(1)知当θ＝4π3时，|OP|取最小值，此时1＋cos θ＝1＋cos 4π3＝12，3＋sin θ＝3＋sin 4π3＝32，∴P(12，32)．14．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，且0≤θ≤2π)，点M 是曲线C 1上的动点．(1)求线段OM 的中点P 的轨迹的直角坐标方程；(2)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋1＝0(ρ>0)，求点P 到直线l 距离的最大值．解析 (1)曲线C 1上的动点M 的坐标为(4cos θ，4sin θ)，坐标原点O(0，0)，设P 的坐标为(x ，y)，则由中点坐标公式，得x ＝12(0＋4cos θ)＝2cos θ，y ＝12(0＋4sin θ)＝2sin θ，所以点P 的坐标为(2cos θ，2sin θ)．因此点P 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数，且0≤θ≤2π)，消去参数θ得点P 的轨迹的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.(2)由直角坐标与极坐标关系⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.又由(1)知点P 的轨迹为圆心在原点半径为2的圆，因为原点(0，0)到直线x －y ＋1＝0的距离为|0－0＋1|12＋（－1）2＝12＝22， 所以点P 到直线l 距离的最大值为2＋22. 15．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)．(1)以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； (2)已知A(－2，0)，B(0，2)，圆C 上任意一点M(x ，y)，求△ABM 面积的最大值．解析 (1)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)，∴普通方程为(x －3)2＋(y ＋4)2＝4，∴圆C 的极坐标方程为ρ2－6ρcosθ＋8ρsin θ＋21＝0. (2)点M(x ，y)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离 d ＝|2cos θ－2sin θ＋9|2，△ABM 的面积S ＝12×|AB|×d ＝|2cos θ－2sin θ＋9|＝|22sin(π4－θ)＋9|，∴△ABM 面积的最大值为9＋2 2.1．直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θy ＝sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝2sin θ上，则|AB|的最小值为________．答案 10－2解析 两个方程分别表示圆：(x －3)2＋y 2＝1与x 2＋(y －1)2＝1，其圆心距为10，两圆相离，故其最短距离为10－2.2．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－3t ，y ＝－1＋4t (t 为参数)，圆M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则直线l 被圆M 截得的线段的长为________． 答案 2解析 把圆M 的参数方程化为普通方程是x 2＋y 2＝2； 设t ′＝5t ，得直线l 参数方程的标准形式为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－35t ′，y ＝－1＋45t ′(t ′为参数)． 代入圆M 的方程x 2＋y 2＝2，得(2－35t ′)2＋(－1＋45t ′)2＝2，即t ′2－4t ′＋3＝0，设直线与圆M 的交点A 、B 对应的参数为t ′1，t ′2，则 t ′1＋t ′2＝4，t ′1t ′2＝3，∴|AB|＝（t ′1＋t ′2）2－4t ′1t ′2＝2.3．若圆C 与直线x －y ＝0和直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t ，y ＝t (t 为参数)都相切，且直线x ＋y ＝0过圆心，则圆C 的标准方程为________． 答案 (x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析 把直线参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t ，y ＝t 消去参数t ，得x －y ＝4，与直线x －y ＝0平行，两直线的距离为d ＝|4－0|2＝2 2.∵圆C 与这两直线都相切，∴圆C 的半径为 2.又直线x ＋y ＝0过圆心，则圆心坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，x ＋y ＝0，∴圆心坐标为(1，－1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.4．已知直线l 的极坐标方程是ρcos θ＋ρsin θ－1＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．在曲线C 上求一点，使它到直线l 的距离最小，并求出该点坐标和最小距离． 解析 把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程是x ＋y －1＝0，由已知曲线C 的参数方程，可设曲线C 上任意一点的坐标为P(－1＋cos θ，sin θ)，则P 到直线l 的距离为d ＝|－1＋cos θ＋sin θ－1|2＝|sin (θ＋π4)－2|，∴当θ＋π4＝π2＋2k π(k∈Z)，即θ＝π4＋2k π(k∈Z)时，d 有最小值2－1，此时，点P的坐标为(－1＋22，22)． 故在曲线C 上点P(－1＋22，22)到直线l 的距离最小，最小距离是2－1.。
选修4-4 圆参数方程与极坐标练习
1.圆心为(0,0),半径为r 的圆的参数方程2、圆心为(a,b),半径为r 的圆的参数方程是什么？3. 已知圆参数方程： θθθ(sin 2cos 2⎩⎨⎧==y x ，如果圆上一点P 所对应的参数6πθ=，求P 点坐标4．已知圆参数方程： θθθ(sin 2cos 2⎩⎨⎧==y x ，如果圆上两点P 1P 2所对应的参数65πθ=，32πθ=，求弦P 1P 2长1.122=+y x2. 4)2()1(22=-+-y x3. 2)2(22=++y x4.化圆的普通方程x 2＋y 2－6x ＋2y ＋1=0为参数方程1. θθθ(sin 2cos 2⎩⎨⎧==y x2.⎩⎨⎧+=-=2sin 21cos 2θθy x3.⎩⎨⎧=+-=θθsin 8cos 81y x 4. θθθ(sin 32cos 31⎩⎨⎧-=+-=y x5.)(sin 1cos θθθ⎩⎨⎧+==y x6. ⎩⎨⎧+=-=ααsin 235cos 2y x1、参数方程⎩⎨⎧==θθsin 3cos 3y x （-22πθπ≤≤）表示的图形是以原点为圆心，半径为3的 （ ）A ．左半圆 B.上半圆C. 下半圆D.右半圆2、点（1，2）在圆⎩⎨⎧=+-=θθsin 8cos 81y x 的A.内部B.外部C.圆上D.与θ值有关3、已知圆的参数方程是5cos 5sin x y θθ=⎧⎨=⎩圆心坐标为________ ，半径为_______，圆的标准方程为__________4、求圆 θθθ(sin 32cos 31⎩⎨⎧-=+-=y x 与圆（x+6）2+y 2=8的圆心之间的距离.1、圆⎩⎨⎧--=-=θθsin 1cos 2y x 的圆心坐标是（ ）半径为 ______．2、已知曲线c 1：⎩⎨⎧+=+=t y tx sin 3cos 4（t 为参数），则圆心为 ______，半径为 ______．3、圆⎪⎩⎪⎨⎧--=-=1sin 3cos 3ααy x 的圆心坐标是______．半径为 ______．4、已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 1y x (θ为参数)，则曲线C 的普通方程是 ______；1、参数方程⎩⎨⎧-=-=θθsin 1cos y x 化成普通方程为_______．2、把圆的参数方程⎩⎨⎧--=+-=1sin cos 1t y tx 化成普通方程是______．3、将参数方程⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 21y x （θ为参数）化成普通方程为 ______．1、若直线l ：y=kx 与曲线C ：⎩⎨⎧=+=θθsin cos 2y x 有唯一的公共点，则实数k=______．2、若直线x+y-a=0与圆⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 1y x （θ为参数）没有公共点，则a 的取值范围是_____．3、曲线C ：⎩⎨⎧+==θθsin 1cos 1y x 的普通方程是______，如果曲线C 与直线x+y+a=0有公共点，那么实数a 的取值范围是______4、直线3x+4y-7=0截曲线⎩⎨⎧+==θθsin 1cos y x （α为参数）的弦长为______．5、直线x+2y=0被曲线C ：⎩⎨⎧+=+=θθsin 51cos 53y x （θ为参数）所截得的弦长等于______．．6、设曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 31cos 32y x （θ为参数），直线l 的方程为4x-3y+4=0，则7、在直角坐标系中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+==θθsin 22cos y x （θ为参数），则坐标原点到该圆的圆心的距离为______．8、圆C ：⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1y x （θ为参数）的圆心坐标是______；若直线ax+y+1=0与圆C 相切，则a 的值为______9.已知圆⎩⎨⎧-=-=2sin 3cos 32θθy x ，直线a y x 222=+相切，求a.10、已知圆C 参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1y x （θ为参数），则点P （4，4）与圆C 上的点的最远距离是11、已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1y x （θ为参数），则曲线C 上的点到直线x-y+1=0的距离的最大值为______．12、已知实数x 、y 满足⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1y x (θ为参数，0≤θ≤π)，，则3-x y的取值范围是（ ）1.已知圆422=+y x ，点M （x,y ）在圆上，①求xy,x+y 范围②若x+y+m ≥0恒成立，求m 范围2. 已知圆的参数方程：⎩⎨⎧=+-=θθsin 3cos 31y x ，M 为其上任意一点，则x+y 范围。
【同步测试】《2.2.2 圆的参数方程》同步练习1
θ， θ＋2
的圆心坐标是________．
【解析】 消去参数 θ，得圆的方程为 x2＋(y－2)2＝4，所以圆心坐标为(0,2)．
【答案】 (0,2)
3．(2012·广东高考)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为
x＝ y＝
5cos θ， 5sin θ
(θ 为参数，0≤θ≤π2)和
【答案】 (2,1)
4．直线xy＝ ＝2－＋13＋t，t 上对应 t＝0 和 t＝1 两点间的距离是________．
【答案】 10
5．方程xy＝ ＝ab＋ ＋ttcsions
θ， θ
分别以 t 为参数(t≠0)和 θ 为参数，得到两条曲线，则这两
条曲线公共点的个数是________． 【答案】 2 个
【答案】 (3，－1) 8．直角坐标系 xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点
A，B
分别在曲线
C1：xy＝ ＝34＋ ＋csions
θ， θ
(θ 为参数)和曲线 C2：ρ＝1 上，则 AB 的最小值
为________． 【解析】 曲线 C1 的方程是(x－3)2＋(y－4)2＝1，曲线 C2 的方程是 x2＋y2＝1，两
【解析】 C1 可化为 x＋2y－2a＝0，C2 可化为 x2＋(y－1)2＝4，曲线 C1，C2 有公 共点，则|2－2a|≤2，所以 1－ 5≤a≤1＋ 5，
5 故应填[1－ 5，1＋ 5]．
【答案】 [1－ 5，1＋ 5]
13．直线xy＝ ＝－1＋23－t，3t (t 为参数)的倾斜角是______．
6．已知点 P(x，y)在椭圆x42＋y2＝1 上，则 2x＋y 的最大值________． 【解析】 设 x＝2cos θ，y＝sin θ(0≤θ＜2π)， 2x＋y＝4cos θ＋sin θ＝ 17sin(θ＋φ)，所以 2x＋y 最大值为 17. 【答案】 17
(完整版)圆的参数方程习题
圆的参数方程习题
1．设圆M的方程为(x－3)2＋(y－2)2=2，直线l的方程为x＋y－3=0，点P的坐标为(2，1)，那么
[ ] A．点P在直线l上，但不在圆M上
B．点P在圆M上，但不在直线l上
C．点P在圆M上，又在直线l上
D．点P既不在圆M上，又不在直线l上
2．两圆x2＋y2=4和x2＋y2－6x－8y－24=0的位置关系是
[ ] A．内切B．外切C．相交D．内含
3．(1)化圆的普通方程x2＋y2－6x＋2y＋1=0为参数方程
迹方程，并说明轨迹是什么样的曲线．
8．求两圆x2＋y2=9与(x－6)2＋y2=1的内公切线的方程．
9．已知方程x2＋y2－2axcosθ－2aysinθ=0(a＞0，a是常数，θ是参数)
(1)证明：不论θ是何值，方程均表示圆．
(2)求圆心的轨迹方程．
10．已知两圆x2＋y2=9和(x－3)2＋y2=27，求大圆被小圆截得的劣弧的长度．
圆的参数方程习题答案
1．C
2．A
8．圆O：x2＋y2=9，圆O′：(x－6)2＋y2=1
O点(0，0)，r=3；O′点(6，0)，r′=1
设P点为(x0，y0)
9．(1)x2＋y2－2axcosθ－2aysinθ=0
即(x－acosθ)2＋(y－asinθ)2=a2．
∴不论Q是何值，方程总表示圆心在(acosθ，asinθ)半径为a的圆．
∴圆心的轨迹方程为x2＋y2=a2
的交点为A，B，A、B对应的参数为θ1，θ2，则θ1，θ2是方。
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圆的参数方程习题公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
圆的参数方程习题
1．设圆M的方程为(x－3)2＋(y－2)2=2，直线l的方程为x＋y－3=0，点P的坐标为(2，1)，那么
[ ] A．点P在直线l上，但不在圆M上
B．点P在圆M上，但不在直线l上
C．点P在圆M上，又在直线l上
D．点P既不在圆M上，又不在直线l上
2．两圆x2＋y2=4和x2＋y2－6x－8y－24=0的位置关系是
[ ] A．内切 B．外切 C．相交 D．内含
3．(1)化圆的普通方程x2＋y2－6x＋2y＋1=0为参数方程
迹方程，并说明轨迹是什么样的曲线．
8．求两圆x2＋y2=9与(x－6)2＋y2=1的内公切线的方程．
9．已知方程x2＋y2－2axcosθ－2aysinθ=0(a＞0，a是常数，θ是参数)
(1)证明：不论θ是何值，方程均表示圆．
(2)求圆心的轨迹方程．
10．已知两圆x2＋y2=9和(x－3)2＋y2=27，求大圆被小圆截得的劣弧的长度．
圆的参数方程习题答案 1．C
2．A
8．圆O：x2＋y2=9，圆O′：(x－6)2＋y2=1
O点(0，0)，r=3；O′点(6，0)，r′=1
设P点为(x
0，y
)
9．(1)x2＋y2－2axcosθ－2aysinθ=0
即(x －acosθ)2＋(y －asinθ)2=a 2
．
∴不论Q 是何值，方程总表示圆心在(acos θ，asin θ)半径为a 的圆．
∴圆心的轨迹方程为x 2＋y 2=a 2
的交点为A ，B ，A 、B 对应的参数为θ1，θ2，则θ1，θ2是方。