大学第五届大学生数学建模竞赛题目 (1)
全国大学生数学竞赛初赛2013年第五届《非数学专业》竞赛题目及答案解析高清无水印版
所求极限为
lim
r
I
a
(r
)
0,a ,a1, 2,a
1, 1.
1
1
1
第七题：(14 分)判断级数
2
n 的敛散性，若收敛，求其和。
(n 1)(n 2)
n 1
1
1
【参考解答】：(1) 记a 1 , u
a n
, n 1, 2, 。
n
2
n n (n 1)(n 2)
因为n 充分大时
x x 2y
【参考解答】：方程两边对x 求导，得 3x2 6xy 3x2y 6y2y 0 y 2y2 x2
令y(x) 0 x 0, x 2y 。将x 0, x 2y 代入所给方程，得 x 0, y 1; x 2 , y 1.
2y2 x2 2x 2xy 2y x2 2xy 4yy 2x
n
原式
lim
n
1
sin
1
4n 2
2n
exp
lim n
n
ln
1
sin
1
4n 2
2n
exp lim n sin n
n
exp lim
e4.
n 1 4n 2 2n
1 4n 2 2n
sin x
2．证明广义积分 0
d x 不是绝对收敛的。 x
(n1) | sin x |
【参考证明】：an n
d x . 只要证明
x
an 发散.
n 0
1
(n 1)
1
2
因为an (n 1) n
| sin x | d x
sin xdx
.
(n 1) 0
五一数学建模往届试题
五一数学建模往届试题摘要：1.五一数学建模竞赛简介2.往届试题的特点和分类3.往届试题的参考价值4.如何有效利用往届试题正文：五一数学建模竞赛是中国工业与应用数学学会主办的面向全球高校大学生的竞赛，旨在激发学生学习数学的积极性，提高学生建立数学模型解决实际问题的综合能力。
该竞赛每年五一期间举行，吸引了众多高校的学生参加。
往届五一数学建模竞赛的试题内容丰富，涵盖了多个领域，如数理化、环境生态、经济管理等。
根据试题的难度和涉及的领域，我们可以将往届试题分为基础题、提高题和挑战题三个层次。
基础题主要测试学生的基本数学知识和解题能力，提高题则要求学生运用所学的专业知识和技能解决实际问题，而挑战题则需要学生具有较强的创新意识和综合能力。
研究往届试题对于参赛选手来说具有很高的参考价值。
首先，通过分析往届试题，学生可以了解竞赛的题型、难度和趋势，从而为自己的参赛做好充分的准备。
其次，往届试题可以帮助学生熟悉竞赛的解题思路和方法，提高自己的解题速度和准确率。
最后，往届试题还可以激发学生的学习兴趣，培养他们建立数学模型解决实际问题的能力。
要充分发挥往届试题的参考价值，学生需要做到以下几点：1.认真分析往届试题，总结解题方法和技巧，了解题型和难度。
2.针对不同层次的试题，制定相应的学习计划和策略，提高自己的解题能力。
3.多与同学和老师交流，分享解题心得和经验，取长补短，共同进步。
4.多动手实践，将所学的理论知识应用到实际问题中，提高自己的创新能力和综合素质。
总之，五一数学建模竞赛的往届试题对于参赛选手具有很高的参考价值。
通过认真研究这些试题，学生可以提高自己的解题能力和综合素质，为竞赛做好充分的准备。
数学建模题目及答案
09级数模试题1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。
试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。
（15分）解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。
因此对这个问题我们假设 ：（1）地面为连续曲面（2）长方形桌的四条腿长度相同（3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的（4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。
那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。
现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。
以长方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处，A 、B,C 、D的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也与A 、B ，C 、D 平行。
当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab 与x 轴的夹角记为θ。
容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。
为消除这一不确定性，令 ()f θ为A 、B 离地距离之和，()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。
由假设（1），()f θ,()g θ均为θ的连续函数。
又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立（∀θ）。
不妨设(0)0f =,(0)0g >g （若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为：已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。
证明：当θ=π时，AB 与CD 互换位置，故()0f π>，()0g π=。
作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，00θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。
浙江大学第五届大学生数学建模竞赛题目
浙江大学第五届大学生数学建模竞赛题目（A题、B题）1.各参赛队可在公布的A、B两题中任选一题作答，在规定时间内完成论文。
论文应包括模型的假设、建立和求解、计算方法的设计和计算机实现、结果的分析和检验、模型的改进等方面，并附主要程序代码。
2.答卷用白色A4纸打印，上下左右各留出2.5厘米的页边距。
论文第一页为封面，各参赛队需从浙江大学数学建模实践基地网站/mmb上下载答卷封面，如实填写后作为封面与论文全文装订成册. 论文题目和摘要写在论文第二页上，从第三页开始是论文正文。
论文从第二页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。
3.论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。
4.论文题目用3号黑体字、一级标题用4号黑体字，并居中。
论文中其他汉字一律采用小4号黑色宋体字，行距用单倍行距。
5.提请各参赛队注意：摘要在整篇论文评阅中占有重要权重，请认真书写摘要（注意篇幅不能超过一页）。
评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。
6.论文请于5月23日上午9：00-11：00期间交到以下地点之一: （1）玉泉校区欧阳纯美数学楼104室（2）紫金港校区理学院学生会办公室（蓝田学园四舍104室）。
7.各参赛队应严格遵守竞赛规则，比赛开始后不得更换队员，不得与队外任何人（包括在网上）讨论。
8.引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文献的表述方式, 在正文引用处和参考文献中均明确列出。
正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。
参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为：[编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。
参考文献中期刊杂志论文的表述方式为：[编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。
参考文献中网上资源的表述方式为：[编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。
全国大学生数学竞赛第五届试题
专业：考生座位号：线所在院校：封密准考证号：姓名：第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷 （非数学类，2013） 考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分.注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记. 3、如当题空白不够，可写在当页背面，并标明题号. 一、（本题共4小题，每小题各6分，共24分）解答下列各题. (1) 求极限 (lim 1sin n n →∞+. (2) 证明广义积分sin 0x dx x +∞⎰不是绝对收敛的. (3) 设函数()y y x =由323322x x y y +-=所确定, 求()y x 的极值. (4) 过曲线0)=≥y x 上的点A 作切线, 使该切线与曲线及x 轴所围成的平面图形的面积为34, 求点A 的坐标.专业：考生编号：线所在院校：封密准考证号：姓名：二、（本题12分）计算定积分2sin arctan d 1cos x x x e I x x ππ-⋅=+⎰.三、（本题12分）设()f x 在0x =处存在二阶导数，且0()lim 0.x f x x →= 证明：级数11n f n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛.四、（本题10分）设|()|,()0()f x f x m a x b π'≤≥>≤≤，证明 2sin ()d b a f x x m ≤⎰.专业：考生编号：线所在院校：封密准考证号：姓名：五、（本题14分）设∑是一个光滑封闭曲面, 方向朝外. 给定第二型曲面积分 ()()()33323I x x dydz y y dzdx z z dxdy ∑=-+-+-⎰⎰. 试确定曲面∑, 使得积分I 的值最小, 并求该最小值.六、（本题14分）设22()()a a C ydx xdy I r x y -=+⎰, 其中a 为常数, 曲线C 为椭圆222x xy y r ++=, 取正向. 求极限lim ()a r I r →+∞.专业：考生编号：线所在院校：封密准考证号：姓名：七、（本题14分）判断级数∑∞=+ ++++1)2)(1(1211nnnn的敛散性, 若收敛，求其和.。
南昌大学第五届高数竞赛理工类试题及答案
南昌大学第五届高等数学竞赛(理工类)试题南昌大学第五届高等数学竞赛(理工类)试题答案一、1.12, 2. ()()0m n f x '+, 3. 2-, 4. 320x y z -++=,5. dx . 二、1、B 2、C 3、A 4、D 5、B三、由于()220,0lim0x y x y →→+=，sin1≤，因此()220,0lim0x y x y →→+==()0,0f ，所以()y x f ,在点()0,0连续. 2分()()()00,00,010,0lim lim sin 0x x x f x f f x x x→→-===， 3分同理()0,00y f =. 4分 求得()222220;,0,0,x x x y f x y x y ⎧-+≠⎪=⎨⎪+=⎩5分当0,0x y →→时，(),x f x y 不存在，因此(),x f x y 在点()0,0不连续，同理(),y f x y 在点()0,0不连续. 6分0,0,00,0limx y z f x f y∆→∆→∆-∆-∆0,0limxy ∆→∆→=0于是()y x f ,在点()0,0是可微.8分四、原式=()440011sin cos 2sin x x dx dx x πππ+⎛⎫+ ⎪⎰ 3分=)1126分五、()()()()2222222111x yP yy y x y x y⎛⎫--∂∂==⎪⎪∂∂-+-+⎝⎭，()()()()()22222221111x x yQx y x y x y⎛⎫----∂∂==⎪⎪∂∂-+-+⎝⎭. 2分由格林公式得0L lPdx Qdy-++=⎰ ，于是L Pdx Qdy+=⎰ l Pdx Qdy+⎰ ，3分其中l为()2211x y-+=的正向，令1cosxθ-=，sinyθ=，则()222sin sin cos coscos sinI dπθθθθθθθ--=+⎰6分=22dπθπ-=-⎰7分六、设凸弧的方程为()y f x=，依题意得()()312x xx f t d t f x=-⎡+⎤⎣⎦⎰. 3分两边对x求导得261xy y x'-=--,即116y y xx x'-=--.通解为261y cx x=-+, 6分由()10y=得5c=.故所求曲线为2561y x x=-+. 7分七、)sinna n nππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=()1n-)sin n π =()1n-2, 3分当n 充分大时，级数1nn a∞=∑是交错级数.lim n→∞2sin=0，且当n 充分大时1n n a a +>，因此级数1nn a∞=∑收敛. 4分其次，考虑级数1nn a∞=∑，由于lim lim n n n a n n→∞→∞==22k π， 因此级数1nn a∞=∑发散， 5分所以级数(1sin n ∞=∑条件收敛. 6分 八、()()222F t z dv f x y dv ΩΩ=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ =()2222222220hhx y tx y t z dzdxdy dzf x y dxdy +≤+≤++⎰⎰⎰⎰⎰⎰2分=()322203th t h d f r rdr ππθ+⎰⎰ 3分=()322023th t h f r rdr ππ+⎰, 5分()32223dF h t htf t dt ππ=+. 6分 由罗毕达法则得()()()233200lim lim 20323t t tf t F t h h h hf t t ππππ→→=+=+. 7分九、令()2,u x y v xy ϕ=-=，122z xf y f xϕ∂'''=+∂, 2分 ()()()222211122222z xy f xf x y f xy f x yϕϕϕϕ∂''''''''''''=+-+-+∂∂. 7分 十、因为2221i i i n n n i n nn n≤≤++ , 2分 所以111121221i ii n n n n n n i i i i n n n n===≤≤++∑∑∑. 10111lim 22ln 2i nx n n i dx n →∞===∑⎰, 4分 11111lim 2lim lim 211ln 2i i nn n n n n n i i n n n n →∞→∞→∞====++∑∑, 6分 由夹逼准得12222lim 1112n n n n n n n n n →∞⎛⎫ ⎪+++ ⎪+ ⎪++⎝⎭ =1ln 2. 7分 十一、()()21112n n n n n ∞=--+∑=()0011122n n n n n n ∞∞==⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑, 011212312n n ∞=⎛⎫-== ⎪⎝⎭+∑. 2分 令()()22112nn n s x n n x ∞-=⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑, 则 ()s x =()321422nn n x x ∞=''⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭∑， 4分 ()1s =()0141227nn n n ∞=⎛⎫--= ⎪⎝⎭∑， 6分 ()()20112nn n n n ∞=--+∑=242232727+= 7分 十二、因为()f t 连续，()f t 也连续，所以由积分中值定理存在[]0,1ξ∈使()()10,01f t dt f ξξ=≤≤⎰. 2分 又()()()x f x f f t dt ξξ'-=⎰，即()()()x f x f f t dt ξξ'=+⎰， 4分 所以 ()()()()()x xf x f f t dt f f t dt ξξξξ''≤+≤+⎰⎰ 6分 ()()10f f t dt ξ'≤+⎰故()()()()10f x f t f t dt '≤+⎰.7分。
信息工程大学第五届数学建模竞赛题目
南京信息工程大学第五届数学建模竞赛题目A 停车场车位分配问题某写字楼拥有212个车位，主要供写字楼工作人员办卡包年或包月使用，车位不固定，只要有空闲车位就可以停。
现在的情况是，办卡客户虽然办了卡，但不一定都来停车，且很多车子是流动的，可能早上停进来，中午就走了。
这样，停车场空置率很大，造成了资源浪费，现计划扩大售卡数量和对象。
假定总车位固定不变，请依据附表中4月份每天各时段的停车流量数据，建立数学模型回答下列问题：（1）模拟附表中停车流量，分析停车量统计规律；（2）定义冲突概率α，求若冲突概率低于05.0=α情形下，计算最大售卡量；（3）如果你是车位管理员，你如何设计最佳车位分配管理方法，使得收益最大。
B 绿色经济影响效应分析倡导绿色、低碳生活，发展绿色经济，是21世纪世界各国实现可持续发展的必然选择。
请围绕我国绿色经济中如：绿色农业、绿色能源、新能源汽车等感兴趣的某一产业或者某一侧面，收集相关数据，建立数学模型回答下列问题：（1）阐述所选某一产业或某一侧面当前发展状况和发展形式；（2）从环境、经济以及健康等角度，评估该产业相对于传统产业究竟有多少优势；（3）若广泛发展或推广该产业，评估和预测其对环境、经济以及健康等方面的影响；（4）根据你的研究结论，给报社写一篇稿子，向社会大众介绍推广这一绿色产业的发展对人们改变生活习惯、行为方式的影响和意义。
C 货币面值系统的比较世界各个国家的货币面值都不尽相同，每个国家都有自己的货币面值系统，一般都以逢十进一，或者逢百进一，比如中国的：1元=10角=100分，但也有一些国家的货币进制比较特别，比如1971年之前，英国的货币进制为：1英镑等于20先令，1先令等于12便士。
请以美国和英国现行的货币面值系统为基础，完成如下问题：（1）附表中给定了一些金额（不考虑汇率问题），请计算对其中的每一个金额，分别用美国和英国的货币面值系统，最少需要多少张/个货币才能表示?（2）如果在现有的货币面值系统中删除任意一种面值的货币，则最少需要的货币张数会怎么变化?（3）如果让你往现有的货币面值系统中增加一种面值，你觉得增加哪种面值最好？为什么？（4）你认为美国和英国的货币面值系统哪种更好，请说明理由，有没有可能设计出一种比他们更好的货币面值系统呢。
2021年03月-数学类三、四年级参考解答-第五届全国决赛试卷
第五届全国大学生数学竞赛决赛 （数学类三、四年级）参考答案一、【参考证明】：设l 是过P 点的抛物面S 的一条切线，它的方向向量为V 示为= (u , v , w )，则切点可以表 Q = P + t V = (a + tu ,b + tv ,c + tw ),2 2其中t 是二次方程2(c + tw ) = (a + tu) + (b + tv ) , 也就是的唯一重根.(u 2 + v 2)t 2 + 2(au + bv - w )t + (a 2 + b 2 - 2c ) = 022 2 2 2w - au - bv a 2 + b 2 - 2c 这时，(au + bv - w) = (u+ v)(a + b - 2c ), 得t ==u 2 + v 2.w - au - bv于是切点Q = (X ,Y , Z ) = (a + tu ,b + tv ,c + tw )满足a X +b Y -Z = (a 2 + b 2 -c )+ t (a u + b v -w ) = c .于是所有切点Q 落在平面ax + by - z = c 上.二、【参考证明】：(1) 由于tr (A ) 是A 的特征值之和，得λ1 的代数重数也是 3，而A 的另一特征值λ2 = 0 ，且λ2 = 0 的代数重数为 1. 结果A 有四个线性无关的特征向量. 故A 可对角化. (2) 由于λ1 = 2 的重数为 3，故有⎛ 0 2 2 -2⎪⎫ ⎪rank (A - 2E ) = rank a -2 b c ⎪. ⎪ d e -2 f ⎪ ⎝g h k 2 ⎪⎪⎭进而a / 0 = -2 / 2 = b / 2 = c / -2 ，得a = 0,b = -2,c = 2;d / 0 =e / 2 = -2 / 2 =f / -2 ，得d = 0,e = -2, f = 2;g / 0 =h / 2 = k / 2 = 2 / -2 ，得g = 0,h = -2, k = -2 ，⎛ 2 2 2 -2⎪⎫ ⎪ 于是A = 0 0 -2 2 ⎪. 注意到f (x , x , x , x ) = x T Ax = x T Bx , 其中 1 2 3 4 0 -2 0 2 ⎪ ⎝0 -2 -2 4 ⎪⎪⎭⎛ 2 1 1 -1⎪⎫ T 1 0 -2 0 ⎪ B = A + A , B = ⎪.21 -2 0 0 ⎪ ⎪ -1 0 0 4 ⎪ ⎝⎪⎭1 2 3 4⎝ ⎢ 1 k m n k m k m k m m k m k m ⎰ ⎰ t B 的特征值为λ1 = 2 （二重），λ1,2 = 1 ± 2 为2y 2 + 2y 2 + (1 + 2 3)y 2 + (1 - 2 3)y 2. （一重）. 故 f (x 1, x 2, x 3, x 4 )在正交变换下的标准型三、【参考证明】：令g (t ) = ⎛ t 0 ⎫β f (x )d x ⎪ ⎭ - t f α 0 (x )d x , 则g (t ) 可导， ⎡ ⎛ t ⎫β-1⎤ g '(t ) = f (t )⎢β f (x )d x ⎪- f α-1(t )⎥ . ⎢ ⎝⎰0 ⎪⎭ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦1 ⎡ 1 ⎤令h (t ) = ββ-1 ⎰ t f (x )d x - f 2(t ), 则有h '(t ) = f (t )⎢ββ-1 - 2f '(t ⎥. )⎥ 0 ⎢ ⎥⎣⎢⎥⎦ 由于β > 1, f '(x ) ≤ 1，我们有h '(t ) ≥ 0 . 这说明h (t )单调递增，从h (0) = 0 ，得h (t ) ≥ 0 . 因 2而g '(t ) ≥ 0 . 从g (0) = 0 ，得g (t ) ≥ 0 ，即⎰ f α(x ) d x ≤ ⎛ ⎰ t⎫β f (x )d x ⎪. 0 令t → +∞ ，即得所证.⎝ 0⎪⎭ 四、【参考证明】：C max =1 - 2. 不妨设f (x ) 的最小实根为 0，最大实根为a . 设 nf (x ) = (x - x 1 )(x - x 2 )(x - x n ),先证以下引理：0 = x 1 ≤ x 2 ≤ ≤ x n = a .引理：若存在2 ≤ k , m ≤ n - 1 使得x k < x m ，令x k < x ' ≤ x ' < x 满足x + x = x ' + x' , 令 f 1 (x ) = (x - x ')(x - x ' )(x - x ' ), x ' = x , i ≠ k , m .则d (f ') ≤d (f '). 1 2 n i i证明：注意到f (x ) = f 1 (x )- δF (x ),F (x ) =其中f 1 (x ), δ = x 'x '- x x> 0.(x - x ' )(x - x ' )k mk m设 α, β 分 别 为 f '(x ) 的 最 大 最 小 实 根 ， 则 有 f (α) ≤ 0, f (β)(-1) ≤ 0. 由 罗 尔 定 理111α ≥ x m , β ≤ x k ，并且f '(α) = δ(2α - x ' - x ' ) f (α).(α - x ' )2 (α - x ' )2 1则 f '(α)f 1(α) ≥ 0 ，故 f '(α) ≤ 0 . 这表明 f '(x ) = 0 的最大实根大于或等于α. 同理， f '(x ) = 0 最3- ⎦ ()F ⎩小实根小于或等于β. 引理证毕. 令g (x ) = x (x -a )(x -b )n -2,b =x 2 + x 3 ++ x n -1.n 2由引理得到d (f ')≥ d (g '). 由于g '(x ) = (x - b )n -3(nx 2 -((n - 1)a + 2b )x + a b ),2 d (g ') =≥ 1 - a . n⎛ a ⎫n -2于是C 的最大值C max ≥ , 且当f (x ) = x (x -a ) x - ⎪ 时，d (f ') = ⎝ (f ). 2 ⎪⎭ 五、【参考证明】：用反证法. 设存在x 0 ∈ ⎡⎢⎣a ,b ⎤⎥ 使得z x 0 ) > y (x 0 ).令M = {x ∈ ⎡⎢a ,b ⎤⎥ | z (x ) > y (x )}, 则M 为⎡⎢a ,b ⎤⎥ 的非空开子集. 故存在开区间(α, β) ⊂ M 满足 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦y (α) = z (α), z (x ) > y (x ), x ∈ (α, β).这推出z (x )- y (x )单调不增，故z (x )- y (x ) ≤ z (a )- y (a )= 0. 矛盾.六、【参考证明】：因为当| z |= 1 时，f (z ) = 1 ，所以根据极大模原理，在D 上 f (z ) < 1 ，即f (D )⊂ D .1 - af (z ) 若存在a ∈ D 使得a ∉ f (D ) ，则函数g (z )=f (z )- a以及1 / g (z )在D 上解析，并容易验证当| z |= 1 时， g (z ) = 1 . 因此，根据极大模原理，在D 上有 g (z )≤ 1, 1 / g (z )≤ 1, 这说明在D 上有 g (z ) = 1 . 因为模为常数的解析函数是常数，所以g (z )在D 上为常数，从而f (z )在D 上为常数，这与题设矛盾. 这就证明了f (D ) = D .七、【证明】：1) A =lim E =∞∞ E =∞ F . 其中F= ∞ E ， 则k →∞ kn =1k =nkn =1 nnk =nkF 1 ⊃ F 2 ⊃⊃ F n ⊃ F n +1 ⊃因为f∈ L ∞ ⇒ fk =1E k∈ L , ∀n ≥ 1 ⇒ f n∈ L A . 令 ⎧⎪f (x ), x ∈ F ,i) f n (x ) 可测， ∀n ≥ 1;f (x ) = ⎪⎨nn⎪0, x ∉ F n . ii) lim n →∞f n (x ) = f (x )χA (x ), x ∈ R ; x ∈ R ，若x ∈ A ，则f (x )χA (x ) = f (x ), 又x ∈ A =∞ F , ∀n ≥ 1, f (x ) = f (x ).故 lim n →∞f n (x ) = f (x )χA (x ).n =1 nna 2 -2a 2⎛a - 2b ⎫2n + ⎝ n ⎪ ⎪⎭ 1 - 2n 1 - 2n(F ⎩1F EF E⎰ ⎰ ⎰ ⎰ 若x ∉ A , f (x )χA (x ) = 0. 而x ∉ A = ∞ F , ∃n , x ∉ F ,{F } ↓, ∀n ≥ n , x ∉ F ,n =1 nn 0nn故 lim n →∞f n (x ) = f (x )χA (x ).f n (x ) = 0, 即 lim n →∞f n (x ) = f (x )χA (x ).iii) f n (x ) ≤ f (x ) χF (x ), ∀n ≥ 1 ，且 f (x ) χF (x ) ∈ L R .11由控制收敛定理， lim⎰R f n (x ) d m = ⎰R lim f n (x ) d m . 即 n →∞lim ⎰⋃∞n →∞ f (x )d m = E lim ⎰Ff (x ) d mn →∞k =n kn →∞n= ⎰R f (x )χA (x )d m = ⎰Af (x ) d m2) B = lim E = ∞ ∞E = ∞F . 其中F = ∞ E ， 则k →∞kn =1k =nkn =1 nnk =nkF 1 ⊂ F 2 ⊂ ⊂ F n ⊂ F n +1 ⊂f ∈ L ∞k =1 E k)⇒ f ⎧⎪f (x ), x ∈ F , ∈ L , ∀n ≥ 1 ⇒ f n∈ L B . 令f n (x) = ⎪⎨n⎪0, x ∉ F n . i) f n (x ) 可测， ∀n ≥ 1;ii) lim n →∞f n (x ) = f (x ), x ∈ B ;iii) f n (x ) ≤ f (x ) , x ∈ B 且 f (x ) χF (x ) ∈ L R .由控制收敛定理， limn →∞⎰B f n (x )d m = ⎰B f (x ) d m . 即 lim ⎰⋂∞f (x )d m = E lim ⎰Ff (x ) d mn →∞k =n kn →∞n= limn →∞⎰B f n (x )d m = ⎰B f (x )d m .3) 若{E} ↑⇒ lim E= lim E= lim E =∞ E= E . 由 2)，F =∞ E = E ，kk →∞kk →∞kk →∞kk =1 knk =nkn⎰E f (x )d m = lim n →∞ nf (x )d m = lim n →∞ nf (x )d m . 若{E} ↓⇒ lim E= lim E = lim E =∞ E = E . 由 1) F =∞ E = E ，kk →∞kk →∞kk →∞kk =1 knk =nkn⎰E f (x )d m = lim n →∞ nf (x )d m = lim n →∞ nf (x )d m . 八、【参考解答】：在空间选取坐标系，使得准线l 为z -轴，抛物线Γ 落在Oxz 平面上，且抛下顶点为P = (p , 0, 0) ，焦点为F = (2p , 0, 0). 由于抛物线上的任意点X = (x , 0, z )满足 XF = x ，我们得到(x - 2p )2+ z 2 = x 2.故抛物线方程为x = p + 1 z 2. 4p 记 f (z ) = p + 1 z 2 ，这是旋转面S 的方程 4pf ' (z )2+ 112可表示为γ = γ(z , θ) = (f (z )co s θ, f (z )s in θ, z ), θ ∈ ⎡⎢⎣0, 2π⎤⎥⎦ , z ∈ R则S 的单位法向量为γθ = (-f (z )s in θ, f (z )co s θ, 0), γz = (f '(z )cos θ, f '(z )sin θ,1),1'n = (cos θ, s in θ,-ff '(z )2+ 1(z )),γθθ = (-f (z )cos θ, -f (z )si n θ, 0), γθz γzz = (-f '(z )sin θ, f '(z )cos θ, 0),= (f ''(z )cos θ, f ''(z )sin θ, 0),于 是 ， 旋 转 面 的 第 一 基 本 形 式I = E d θ2 + 2F d θ d z +G d z 2 和 第 二 基 本 形 式II = L d θ2 + 2M d θ d z + N d z 2 为E = f (x )2, F = 0,G = f '(z )2+ 1 f (z )L = - , M = 0, N =f '(z )2+ 1f ''(z )因为k 1 = L / E ,k 2 = N /G , k我们得到f '(z )2+ 1 k = LG / EN = -f (z )f ''(z )= -2.【注】根据k ,k 的不同排序，也可以是k 1= - 1. 122九、【参考解答】：这个问题可以看作是一种等待时间问题. 我们等待第r 张新票券出现. 以ξ1, ξ2,依次表示对一张新票券的等待时间. 因为第一次抽到的总是新的，所以ξ1 = 1 . 于是ξ2 就是抽到任一张不同于第一张抽出的那张票券的等待时间. 由于这次抽时仍有N 张票券，但新的只有N - 1 张，因此成功的概 率为p =N - 1. 于是ξ 的分布列为N2N - 1 ⎛ 1 ⎫n -1P (ξ2 = n ) =⎪, n = 1, 2,N ⎝N ⎪⎭ ∞N - 1 ⎛ 1 ⎫n -1⎛1 ⎫ 1N从而E ξ2 = ∑n ⎪ = 1 - ⎪ ⋅ = .n =1N ⎝N ⎪⎭⎝ N ⎪⎭ ⎛ 1 ⎫2 N - 11 - ⎪ ⎝N ⎪⎭ 在收集到这两张不同的票券之后，对第三张新票券的等待时间其成功的概率为p =N - 2 . 因此Nk 2+ + + ≈ ln N .E ξ3 =N .N - 2以此类推，对1 ≤ r ≤ N ，有E (ξ ++ ξ ) = N + N ++ N1 r N N - 1 N - r + 1= N ⎛ 1++1 ⎫⎪.特别，若r = N 时，则⎝N N - r + 1⎪⎪⎭E (ξ ++ ξ ) = N ⎛ 1+ 1 ⎫⎪1N 1 + +⎪当N 时偶数，r = N / 2 时，则⎛⎫ ⎝ 2⎛ N ⎪⎭⎫⎪ ⎪1 1 ⎪ E ξ1 ++ ξN ⎪ = N ++ ⎪⎪N N ⎪⎝2 ⎭⎝ 2 + 1⎪⎭由欧拉公式1 + 1 + + 12 N= ln N +C + εN ，其中C 是欧拉常数， εN 为N 趋于无穷时的无穷小 lim 1 ⎛ 11 ⎫⎪ 量. 由于 1 + ++⎪ = 1. 于是当N 充分大时，我们可以近似公式 N →∞ ln N ⎝ 2 N ⎪⎭1 1 12 N 因而E (ξ ++ ξ ) = N ⎛ 1 + 1 ⎫⎪≈ N ln N .1N 1 + + ⎪ ⎝2 N ⎪⎭ ⎛ ⎫⎪ ⎛ ⎫⎪ 1 1 ⎪E ξ1 ++ ξN ⎪ = N ++ ⎪⎝ 2 ⎪⎭ N N ⎪= 2r ⎛ 1 ++ ⎝ 21 + 1+ 1 ⎪⎭ 1 + 1 ⎫⎪ - 2r ⎛ 1 + 1 ⎫⎪ + + ⎪ 1 + + ⎪⎝r + 1 2r 2 r ⎪⎭ ⎝ 2 r ⎪⎭ ≈ 2r ln 2r - 2r ln r = N ln 2, ⎛ ⎫⎪ 即E ξ1 ++ ξN ⎪ ≈ N ln 2 ≈ 0.69315N . 这说明如果只要收集一半票券，或只要稍多于票半数的⎝2 ⎪⎭抽取次数即可.十、【参考证明】：(a) 在(a)的条件下，要证明结论，既要证明x -1y -1xyaba -1b -1y -1x -1yx = aba -1b -1.由已知AB =BA 可得，存在A 中的元素a*, x*, B 中的元素b*, y*使得ya =a*y*, xb =b*x*.于是有1-x 2 ⎣ ⎦⎰ (1)yaba -1b -1y -1 = a *y *ba -1b -1y -1 （由ya = a *y * ）= a *by *a -1b -1y -1 = a *ba *-1yb -1y - 1 （由y *a -1 = a *-1y ） = a *ba *-1b -1 = ⎡a *,b ⎤ .⎣⎢ ⎥⎦ (2) 类似可证： x ⎡a *,b ⎤ x -1 = ⎡a *,b * ⎤ , y -1 ⎡a *,b * ⎤ y = ⎡a ,b * ⎤ , x -1 ⎡a ,b * ⎤ x = ⎡a ,b ⎤ . 如所需(a)获证.⎣⎢ ⎥⎦ ⎣⎢ ⎥⎦ ⎣⎢ ⎥⎦ ⎣⎢ ⎥⎦ ⎣⎢⎥⎦ ⎣⎢ ⎥⎦ (b) 任取G 的一个换位子⎡⎢⎣a 1b 1,b 2a 2 ⎤⎥⎦,a i ∈ A ,b i ∈ B , i = 1, 2 ，有⎡⎢a b ,b a ⎤⎥= a b b a b -1a -1a -1b -1 = a b a -1b -1 b a b a b -1a -1a -1b -1 ⎣ 1 1 2 2 ⎦1 12 2 1 1 2 2 1 1 11 1 1 2 2 1 1 2 2 = ⎡⎢a ,b ⎤⎥ b a b a -1b -1b a a b -1a -1a -1b -1⎣ 1 1 ⎦ 1 1 2 12212 1 1 2 2 = ⎡⎢a ,b ⎤⎥ b a b a -1b -1 b -1b b a a b -1a -1a -1b -1⎣ 1 1 ⎦ 1 1 2 1 2 1 12 1 2 1 1 2 2= ⎡a ,b ⎤ ⎡a *,b ⎤ b b a a b -1 a -1a -1b -1 = ⎡a ,b ⎤ ⎡a *,b ⎤ b b a a b -1a -1a -1b b -1b -1⎣⎢ 1 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 2 ⎥⎦ 121 21 1 2 2 ⎣⎢ 1 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 2 ⎥⎦ 1212 1 21112= ⎡a ,b ⎤ ⎡a *,b ⎤ ⎡(a a )* ,b -1 ⎤⎣⎢ 1 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 1 2 ⎥⎦ ⎢ 1 2 1 ⎥ ⎦其中(a 1a 2 )*为A 中的某元. 这样，G ' =< {⎡⎢a ,b ⎤⎥ : a ∈ A ,b ∈ B } >, 从而由(a)可知，G ' 为 Abel 群.十一、【参考证明】：(1) 用归纳法. 当n = 0, 1 时，结论显然成立.设n ≤ k 时，T n (x ) = cos (n arccos x ). 当n = k + 1 时，令x = cos θ ，则(2)<T n (x ),T mT k +1 (x ) = 2x T k (x )-T k -1 (x ) = 2 cos θ cos (k θ)- cos ((k - 1)θ) = cos ((k + 1)θ) = cos ((k + 1)arccos x )(x ) >=1 T n (x )T m(x ) d x . 令x =cos θ ，上述积分化为-1⎰ 0 cos(n θ)cos (m θ) d (cos θ) = ⎰ πcos (n θ)cos (m θ)d θπ当n ≠ m 时，上述积分为 0.sin θ 0(3) 注意以下事实： T n (x )是首项系数为 2n -1 的 n 次多项式， ||T(x ) ||∞ = 1,且T n (x )在x = cos ⎛ k π ⎫⎪ 处达到极值，即T(x ) = (- )k k = 0, 1,, n .k⎪ nk1 ,⎝ n ⎪⎭现假设|| p (x )||∞<1 2n -1， 考虑函数q (x ) = p (x )-k +11 T2n -1n(x ) ， 则q (x ) 在x k 处的符号与T n (x ) 在x k 处的符号相反，即为(-1)n ，这是不可能的！因此，⎣ n,k =0, 1,, n. 于是q (x )至少有n 个零点. 但q (x )次数小于|| p (x )||∞≥1. 2n-1当|| p (x )||∞= 12n-1时，可证q (z)至少有n 个零点，从而q (x )≡0 ，即p (x )= 1 T2n-1 n(x ).。
第五届大学生数学建模竞赛
第五届大学生数学建模竞赛1.活动意义：数学建模教育是锻炼大学生分析、解决复杂实际问题能力的有效手段和途径，对于培养大学生的实践能力、创新能力、团队意识、合作精神、顽强意志和综合素质具有显著作用和效果。
2.组织形式：竞赛由校学生工作委员会主办，理学院承办。
3.参赛对象：我校在册本科学生4.竞赛组织机构：为保证此次竞赛取得圆满成功，学校成立大学生数学建模竞赛组委会。
（具体名单于发放试题时公布）5.报名程序和条件：各学院须指定一名联络人，具体负责本单位的竞赛组织与协调工作。
竞赛报名表以学院为单位汇总后交至理学院团委办公室，并将电子版和各系联络人及联系方式（办公室电话、手机号、电子信箱）一并发送至办公自动化“团总支.理学院”。
参赛对象为我校在册本科生、学生自愿组队，每队三人。
学校鼓励学生跨学院、专业组队。
参赛队由队长所在学院负责组织管理。
报名时间：2014年5月4日-5月20日竞赛时间：2014年5月22日-5月25日联系方式：6575792Email：办公自动化团总支.理学院6.竞赛方法：2014年5月22日上午8：00在内蒙古工业大学理学院网站公布竞赛试题，请各参赛队自行在网上下载赛题。
2013年5月22日8：00—5月25日8：00为竞赛时间，各学院负责督促本院参赛队按时交卷。
竞赛期间组委会将对各学校竞赛现场进行巡视检查，对作弊参赛队将取消参赛资格。
2014年5月25日上午8:00各学院联系人将本院参赛队的参赛试卷电子版发到指定邮箱（ngdsxjmjs@）。
上午10:00-11:00各学院联系人将本院参赛队的参赛试卷纸制版交到指定地点（理学院团委办公室，实验楼505），所有论文必须是计算机打印文稿，手写文稿一概不收，11:00以后交回的答卷无效。
④2014年5月24日起，组委会聘请专家组集中阅卷。
⑤2014年6月下旬，评选出一等、二等、三等奖若干队，公布获奖初步名单，并有一周异议期。
⑥2014年6月底，正式公布“内蒙古工业大学大学生数学建模竞赛”获奖名单并颁奖。
2011年湖州师范学院、求真学院第五届校内数学建模竞赛题目
3.对该题目内容有疑惑者，可发邮件至fxw@咨询。
3.浙江福利彩票网址：/
2011年湖州师范学院、求真学院第五届校内数学建模竞赛题目
B题药店采购计划
4.有教学经验的教师获得的报酬应该比同级别没有教学经验的教师高。但是这种差异会随着时间推移而减少，也就是说，多年之后同一级别的教师的工资应该是相等的。
设计新的薪酬方案，首先不增加生活费。然后增加生活费，在不减少每个人的工资的前提下，为现有教师设计一个转变程序，使所有工资都适合该方案。针对您认为系统可以改善的方面进行探讨。目前的教师工资、级别和工作年限见附表（C题数据.xls）。
2011年湖州师范学院、求真学院第五届校内数学建模竞赛题目
A题福利彩票选号策略
随着彩票奖金记录的不断被刷新，巨大的奖金的诱惑使越来越多的人加入到彩民的行列中去。总有那么多屡战屡败的彩民还在继续屡败屡战，于是我们发现，买彩票一定不要把赢的可能建立在运气上,彩票是一种智者的游戏，假设投资是白色的,赌博就是黑色的,而投机则是灰色的，如果你把它当作一种理性投资的话，那么技巧和策略是不可缺少的。于是现在的彩民相对于以前，表现出了更多的冷静、理智与成熟。目前，火爆的彩市，日益扩展的彩民队伍，蓬勃发展的彩票经济，逐渐成为中国经济生活中一个值得关注的现象。对彩票中的概率的研究和探索更是成为专家们以及普通彩民的研究对象，对它的研究除了具有一定的学术价值外，还具有一定的社会应用价值。
一药店除经营药品外，还经营保健品、个人洗护用品、食品等商品，药店所采购的药品和商品一部分留在店内展示销售，其余存入仓库。药店利润主要来自于销售药品和商品的利润，药店每半年要制定药品和商品的采购计划，节日期间要进行药品和商品促销，附表1-3给出了该药店2010年1月到3月所有药品和商品的销量、销售成本、进价、售价、总库存成本和总库存数量。
大学生数学建模竞赛题目1
A题系泊系统的设计
近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成（如图1所示）。
某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的圆柱体，浮标的质量为1000kg。
系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。
锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。
钢管共4节，每节长度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。
要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度错误！未找到引用源。
，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。
水声通讯系统安装在一个长1m、外径30cm的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100kg。
钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。
钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。
若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。
钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超过5度时，设备的工作效果较差。
为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。
图1 传输节点示意图（仅为结构模块示意图，未考虑尺寸比例）系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。
1。
全校大学生数学建模竞赛题目(1)
数学建模校赛选拔竞赛题目
A 物资的配送
某物流中心拥有一支货运车队，每台货运车辆的载重量（吨）相同、平均速度（千米/小时）相同，该物流中心用这样的车为若干个客户配送物资，物流中心与客户以及客户与客户之间的公路里程（千米）为已知。
每天，各客户所需物资的重量（吨）均已知，并且每个客户所需物资的重量都小于一台货运车辆的载重量，所有送货车辆都从物流中心出发，最后回到物流中心。
物流中心每天的配送方案应当包括：当天出动多少台车？行驶路径如何？由此形成的当天总运行里程是多少？一个合格的配送方案要求送
货车辆必须在一定的时间范围内到达客户处，早到达将产生等待损失，迟到达将予以一定的惩罚；而一个好的配送方案还应该给出使配送费用最小或总运行里程最短的车辆调度方案。
该物流中心希望：
1. 建立送货车辆每天总运行里程最短的一般数学模型，并给出求解方法。
2. 具体求解以下算例，并给出你们实际使用的软件名称、命令和编写的全部计算机
源程序。
〔算例〕载重量为Q=8吨、平均速度为v=50千米/小时的送货车辆从物流中心（i=0）出发，为编号是i=1,2,…,8的8个客户配送物资。
某日，第i个客户所需物资的重量为吨q i（q<Q），在第i个客户处卸货时间为s i小时，第i个客户要求送货车辆到达的时间范围[a i,b i]由表1给出。
物流中心与各客户以及各客户间的公路里程（单位：千米）由表2给出。
问当日如何安排送货车辆（包括出动车辆的台数以及每一台车辆的具体行驶路径）才能使总运行里程最短。
表1 物资配送任务及其要求
表2 点对之间的公路里程（千米）。
第五届全国大学生数学竞赛
n
2n 1 4n2
exp lim n ln 1 sin
n
2n 1 4n2
(2 分)
exp lim nsin
n
2n
1 4n2
exp lim
n
1 e4
n 2n 1 4n2
(2 分)
2 证明广义积分 sin x dx 不是绝对收敛的. 0x
证.
记 an
设 A f (a) ， B f (b) ， 是 f 的反函数，则
(2 分)
0 ( y) 1 1 ， f (x) m
又 | f (x) | ，则 A B ，所以
(3 分)
bxBiblioteka ( y) Ba sin f (x)d x A ( y)sin y d y
(3 分)
1 sin y d y 2
Q C1 Q
,
n = (sin θ, cos θ). , P
P
Q
P = P (θ) . ,
−−→ −→ −−→ −→ −→ OP = OP + P P = OP − 2(QP · n)n.
(5 )
P
(
)
P (θ) = P = (2r(1 − cos θ) sin θ, r + 2r(1 − cos θ) cos θ), 0 ≤ θ ≤ 2π.
x˜2
+
(r
−
R2 ).
4r
(15 )
:
:
:
1
5
( 10 ) n
B(t) n × 1
b(t)
=
b1(t) ...
,
bij(t), bi(t)
t
b(t)
第五届全国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案
第五届全国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案（非数学类， 2014 ）一、解答下列各题（本题共 28 分，每小题 7 分） 1. 计算积分22220sin xtxdx dt tππ⎰⎰解：交换积分次序得22220sin xt xdx dt t ππ⎰⎰22222000sin 1sin 2t t dt xdx tdt t ππ==⎰⎰⎰22014sin 2tdt π=⋅⎰12222ππ=⋅⋅=２、设f(x)是区间[0,1]上的连续函数，且满足1()1,f x dx =⎰求一个这样的函数f(x)使得积分1220(1)()x f x dx +⎰取得最小值。
解：101()f x dx =⎰1(f x dx =⎰ ()11211222201(1)()1x f x dxdx x ⎛⎫≤+ ⎪+⎝⎭⎰⎰ ()11212220(1)()4x f x dxπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰()1122204(1)()x f x dxπ⇒+≥⎰，取24()(1)f x x π=+即可。
３、设F(x,y,z)和G(x,y,z)有连续偏导数，雅可比行列式(,)0(,)F G x z ∂≠∂，曲线(,,)0:(,,)0F x y z G x y z =⎧Γ⎨=⎩过点0000(,,).P x y z 记Γ在xoy 平面上的投影曲线为Ｓ，求Ｓ上过点00(,)x y 的切线方程。
解：由两方程定义的曲面在0000(,,)P x y z 的切面分别为 000000()()()()()()0x y z F P x x F P y y F P z z -+-+-= 000000()()()()()()0x y z G P x x G P y y G P z z -+-+-=上述两切面的交线就是Γ在P 0点的切线，该切线在xoy 面上的投影就是Ｓ过00(,)x y 的切线。
消去z-z 0,可得0000()()()()0x z x z P y z y z P F G G F x x F G G F y y --+--= 这里0x x -的系数是(,)0(,)F G x z ∂≠∂，故上式是一条直线的方程，就是所要求的切线。
第5届全国大学生数学竞赛预赛(数学类)参考答案
φ(W ) = 0, P, Q φ(B ). φ(E11 ), · · · , φ(Enn ). wi . (1 (3 (5
R ) ) ) (1)
, i, j = 1, 2, · · · , n.
φ(A) = φ(P )φ(B )φ(Q),
φ(A) = φ(B ). , i = 1, 2, · · · , n.
{φ(Eij )|i, j = 1, 2, · · · , n}.
: w1 , w 2 , · · · , w n . : φ(Eii )φ(Ekk )wk = φ(Eii Ekk )wk = 0, k = i a) φ(Eii )wk = w , k=i i b) w1 , w2 , · · · , wn . i = 1, 2, · · · , n. c) k=j k = j , , φ(Eij )wk = φ(Eij )φ(Ekk )wk = φ(Eij Ekk )wk = 0; φ(Eij )wk = b1j w1 + · · · + bij wi + · · · + bnj wn . 2 5 , , R
(8 )
(15 )
(
15 {xn }
)
f (xn ) < f (axn ), n = 1, 2, · · · . , x > x0 , f (x) x0 > 0 , f (aξ )(a − 1)x x x0 , f (x) f (ax) > 0. (5 )
f (ax) − f (x) = f (ξ )(a − 1)x > f (ax)(a − 1)x. x>
n
(7
)
. , xi = 0, (11 )
,
W = [w 1 , w 2 , · · · , w n ] φ(Eii )
第五届峨眉校区数学建模知识竞赛复赛题
1，峨眉校区上课时间问题峨眉校区的同学们在周一到周五的日子里，都或多或少地对学校的上课时间有着自己的建议和见解，也许清晨8 点第一讲的课令你疲备不堪，也许在肚子咕咕叫时冲入食堂又发现人上人海 ......这些的全部，都是我们的上课时间安排所造成的。
下边是峨眉校区上课时间表：讲数时间第一讲8:00~8:50,9:00~9:50第二讲10:10~11:00,11:10~12:00第三讲14:00~14:50,15:00~15:50第四讲16:10~17:00,17:10~18:00第五讲19:30~20:20,20:30~21:30问题：（1）学校此刻的上课时间合理吗？请你运用数学建模的知识，查阅有关资料，合理选用影响要素，并对问题进行必定的量化，对学校此刻的作息时间合理性作出评论，并用一段文字论述。
（2）关于你的结果，你以为此刻的上课时间需不需要调整？假如需要，应当如何安排？峨眉校区的基建处需要确立与屋顶配套的檐沟的规格。
此刻假定中山梁一栋教学设计楼的房子的屋顶都是矩形，长 12M，从屋脊到檐沟的宽为 6M，屋顶对水平面的倾角还不决，但大概将在 20 度和 50 度之间。
一家檐沟生产企业急欲与学校基建处签订供货合同，该企业宣称他们的新式塑料檐沟持久耐用，不论什么样的天气状况都能有效地知足要求，对这批屋顶，设计的檐沟横截面是半径为 7.5 厘 M的半圆，用一条直径为 10 厘 M的排水管就够了。
学校的领导不可以确信檐沟供给单位的宣称，所以找到了对数学建模感兴趣的你，希望建一个数学模型，在批量定货前对此作一个全面剖析，此中至关重要的是这类尺寸在暴雨时能否足以排水。
并提交合理的建议。
峨眉校区的后勤部门一周中每日需要不一样数目的全时雇员来对学校的卫生，教学设计楼的财务安全，以及水电设备的维修进行管理。
每一个人每日工作8 小时：周一到周四每日起码50 人，周五和周日每日起码80 人，周六起码 90 人。
现规定应聘者须连续工作 5 天，试确立聘任方案，即周一到周六每日聘任多少人，使在知足需要的条件下聘任的总人数最少？假如周日的需要量由80 增添至 90 人，方案如何改变？假如能够用两个暂时聘任的半时雇员（一天工作 4 小时，不需要连续工作）取代一个全时雇员，但规定半时雇员的工作量不得超出总工作量的四分之一。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
浙江大学第五届大学生数学建模竞赛题目（A题、B题）1.各参赛队可在公布的A、B两题中任选一题作答，在规定时间内完成论文。
论文应包括模型的假设、建立和求解、计算方法的设计和计算机实现、结果的分析和检验、模型的改进等方面，并附主要程序代码。
2.答卷用白色A4纸打印，上下左右各留出2.5厘米的页边距。
论文第一页为封面，各参赛队需从浙江大学数学建模实践基地网站/mmb上下载答卷封面，如实填写后作为封面与论文全文装订成册. 论文题目和摘要写在论文第二页上，从第三页开始是论文正文。
论文从第二页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。
3.论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。
4.论文题目用3号黑体字、一级标题用4号黑体字，并居中。
论文中其他汉字一律采用小4号黑色宋体字，行距用单倍行距。
5.提请各参赛队注意：摘要在整篇论文评阅中占有重要权重，请认真书写摘要（注意篇幅不能超过一页）。
评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。
6.论文请于5月23日上午9：00-11：00期间交到以下地点之一: （1）玉泉校区欧阳纯美数学楼104室（2）紫金港校区理学院学生会办公室（蓝田学园四舍104室）。
7.各参赛队应严格遵守竞赛规则，比赛开始后不得更换队员，不得与队外任何人（包括在网上）讨论。
8.引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文献的表述方式, 在正文引用处和参考文献中均明确列出。
正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。
参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为：[编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。
参考文献中期刊杂志论文的表述方式为：[编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。
参考文献中网上资源的表述方式为：[编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。
9．请各参赛队妥善保管有关参赛资料（包括源程序等），以便答辩及异议期质询所用。
10．本次竞赛题目版权属浙江大学数学建模实践基地所有，未经许可，不得转载。
A题投资新股的技巧股市红红火火，股民喜笑颜开，上证指数在短短的一年里已达原来三倍，深证成指更是历史性的突破万点，股票已经成为老百姓生活中的一个热门话题。
与此同时，曾暂停一年多的IPO（Initial Public Offerings）也于2006年6月开始重新启动，A股恢复了新老划断下全流通的IPO，新股的发行也恢复了网下询价申购和网上定价申购的模式。
在刚刚过去的不到一年时间里，上海证券交易所和深圳证券交易所累计发行了A股新股100多只，特别是几大银行股的成功发行更是促进了当前的牛市，新股发行的数量、速度和申购资金都大大超过了以往。
由于新股开盘价99％都高于申购价，而申购新股不需要任何交易成本，如果策略得当，每年的收益可以超过10％，大大高于其他无风险收益（银行存款和国债年收益率都低于4％）。
因此，打新股几乎成为一种没有风险的理财投资方式。
股民们对于新股申购的热情也是一浪高过一浪，某些新股（比如兴业银行）的申购资金已经接近一万亿。
同时新股的发行速度也越来越快，有时甚至一天内同时有四五个新股可以申购，这也使得一些股民产生茫然，有的分散资金投资，有的集中一个投资。
那么，到底应当采用何种投资策略呢？新形势下申购新股的收益又会有多少呢？新股的申购分为网下询价申购和网上定价申购两种模式。
网下申购限于专用资金（比如某证券公司、基金公司等），所配售的新股一般在其上市以后三个月才能流通；网上申购限于非专用资金（一般指的是个人资金），所中签的新股上市首日即可买卖交易，具体的申购流程及手续可参见。
现在你被授权管理一笔资金（可能是某一基金公司，也可能是你周围亲戚朋友的私人存款等），用于投资新股。
该资金仅限用于上海证券交易所和深圳证券交易所A股的IPO申购，具体时间范围规定为自2006年6月IPO恢复申购开始至今的所有已经上市的新股（所有数据可以参阅）。
请建模分析，并用上述数据来验证你的结论，解决如下一些问题：1. 如果你的亲人委托你管理一笔私人资金，数目介于1万到100万人民币，用于网上申购新股，对于中签的新股，要求在其上市首日即卖出。
问：应当如何投资才能获得最大的收益，并计算你的收益率。
2. 如果是一基金公司委托你投资新股，资金数目超过1000万人民币，用于网下申购新股，要求配售的新股在其解除流通限制后立即卖出。
为了能获得最大的收益，请为该基金公司写出一个投资策略报告。
3. 如果该基金公司允许你将其中部分资金用于网上申购，请具体分析是否可能带来更大的收益，给出你的理由。
4. 根据你的模型，分析一下今后一年内网下申购和网上申购投资新股的收益率。
B 题：学术评价与科技文献数据库为了帮助科研人员及时准确地把握学科发展的前沿和热点，全面迅速地获知某一问题的研究成果和现状，促进科研人员之间的交流和合作，适应科技文献和期刊数量迅猛增长的趋势，美国科学信息研究所（The Institute for Scientific Information, 简称为ISI ，现已更名为Thomson Scientific ）于二十世纪五十年代提出了建立科学引文数据库的构想。
目前学术界最为著名的综合性科技文献数据库之一即为该公司开发的科学引文索引（Science CitationIndex ，简称为SCI ）。
SCI 收录全球自然科学领域6100多种重要期刊，对发表在这些期刊上的每一篇论文，含有其篇名、作者、单位、关键词、摘要、参考文献等主要信息，并可对数据进行多种方式的检索和分析。
SCI 对所选期刊有较高的标准，并实行动态筛选机制，因此在SCI 收录的期刊上发表的论文常被认为具有较高的学术价值。
为了进一步区分不同期刊，ISI 于二十世纪七十年代又推出了用于期刊定量评价的期刊引证报告（Journal Citation Reports ）。
学术界有这样的认识，若论文A 被论文B 在文中提及，或A 中的结果、方法等被B 采用，则A 的学术价值得到了体现。
这在SCI 数据库中表现为A 在B 的参考文献中出现，称为引用。
ISI 提出的衡量期刊学术价值的指标称为影响因子（impact factor ），期刊J 某一年度的影响因子IF 的计算方式是上发表的所有论文数前两年度在期刊的次数期刊上发表的论文引用在所有上发表的论文被该年度前两年度在期刊J SCI J IF =。
附表列出了从网上搜集的一些数据，更多数据可在ISI 网站上获取（使用时请遵守ISI 的许可使用策略和浙江大学关于全文数据库使用的规定）。
1．用数学方法分析影响因子定义中的合理因素和不合理因素，以及它易受到哪些因素的干扰，如何修正其计算方式可使其更好地承担衡量期刊学术价值的作用；2．假设你是一所多科性研究型大学的科研管理人员，如何利用科学引文数据库对教师的科研成果和水平作出综合评价。
从附表中可以看出，不同学科SCI 论文的数量和SCI 期刊的影响因子差别很大，单纯比较论文篇数或影响因子大小都有失偏颇。
试对该问题建立一更为公平、客观、具操作性的数学模型，给出评价方案，并用不超过两页纸的篇幅向有关领导介绍你的方法；3．假设ISI 希望开发一种新的产品，可利用科学引文数据库对科研人员的学术造诣和成就作出评价和排序，试给出你对该问题的具体设想。
表1. 2005年度影响因子最大的3种期刊期刊名影响因子本年度论文数参考文献数1 CA-A CANCER JOURNAL FOR CLINICIANS 49.794 20 14592 ANNUAL REVIEW OF IMMUNOLOGY 47.400 29 53973 NEW ENGLAND JOURNAL OF MEDICINE 44.016 308 12888 （注：参考文献数指本年度发表在该期刊上的所有论文引用的文献数）表2. 部分学科2005年度SCI期刊数，论文数和影响因子学科期刊数论文数参考文献数影响因子数学（MATHEMATICS）181 13133 223939 0.504生物学（BIOLOGY）65 5539 223942 2.587电工电子工程（ENGINEERING, ELECTRICAL & ELECTRONIC）208 30366 527405 1.132（注：学科参考文献数和影响因子的计算方式类似于期刊，只需将统计范围由某一期刊改为该学科的所有期刊即可）表3. 2005年度数学、生物学和电工电子工程影响因子最高的期刊近三年论文数和影响因子简况2003年 2004年 2005年期刊名论文数影响因子论文数影响因子论文数影响因子JOURNAL OF THE AMERICANMATHEMATICAL SOCIETY35 2.457 30 2.581 28 2.323PLOS BIOLOGY 未收录196 13.868 177 14.672 PROGRESS IN QUANTUMELECTRONICS7 2.000 8 3.615 3 5.176表4. 表3中三种期刊被2005年度所有SCI期刊上的论文引用的次数按年度统计情况被引用的论文发表在该期刊上的年份期刊名2005 200420032002200120001999 1998 19971996 JOURNAL OF THEAMERICANMATHEMATICAL SOCIETY13 46 105 81 83 88 115 47 61 121PLOS BIOLOGY 6612191758 2 1 0 0 0 0 0PROGRESS IN QUANTUMELECTRONICS2 33 55 29 14 7 62 16 49 31表5. 2005年度Science期刊引用和被引用次数最多5种期刊2005年度发表在以下5种期刊上的论文引用Science的论文次数最多2005年度发表在Science的论文引用最多的5种期刊期刊缩略名引用次数影响因子期刊缩略名引用次数影响因子J BIOL CHEM 6692 5.854 SCIENCE 3360 30.927P NATL ACAD SCI USA 5584 10.231 NATURE 2252 29.273 PHYS REV B 3817 3.185 P NATL ACAD SCI USA 1027 10.231SCIENCE 336030.927PHYS REV LETT 621 7.489 J AM CHEM SOC 3319 7.419 CELL 58129.431。